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高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和答案2圆锥曲线形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__(答:b。
如 (1)短轴长为，于双曲线5S,1.圆锥曲线的两定义: ) 22,tan第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中，22xy2(2)双曲线(以()为,,1ab,,0,02a与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常22122aby2练习:点P是双曲线上上一点，为x,,1F,F2a数一定要大于，当常数等于时，轨迹FFFF例):?范围:或;?焦点:两个xayR,,,12xa,,121212;?对称性:两条对称轴，一焦点(,0),cxy,,0,0F，当常数小于时，无轨迹;双曲线是线段FFF=24，求的周双曲线的两个焦点，且PFPF1212,PFF1212个对称中心(0,0)，两个顶点，其中实轴长为(,0),a中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数长。
12b2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等a8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)2a2a，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝12时，称为等轴双曲线，其方程可设为以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦2a2a对值”与,|FF|不可忽视。
若,|FF|，则21212a点弦， M为准线与x轴的交点，则?AMF,?BMF;(3)22;?准线:两条准线; ?x,,xykk,,,,02a轨迹是以F，F为端点的两条射线，若，|FF|，1212设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，c11则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双c若P为AB的中点，则PA?PB;(4)若AO的延长线11e,1离心率:e,，双曲线，等轴双曲线,曲线的一支。
a，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行交准线于C2222如方程表示的(6)(6)8xyxy,，,，，,于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。
，越小，开口越小，越大，开口越大;e,2ee,曲线是_____(答:双曲线的左支) b ?两条渐近线:。
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式〔当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论〕，消去四个参数。
如：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
〔2〕)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)则有02020=-k by a x 〔3〕y 2=2p*〔p>0〕与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(*0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A 〔2，1〕的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
〔2〕焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(*,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
〔1〕求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；〔2〕求|||PF PF 1323+的最值。
〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()〔1〕求证：直线与抛物线总有两个不同交点〔2〕设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数)7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题(3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （4)圆锥曲线的有关最值（范围)问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知---—-—--这类问题一般可用待定系数法解决. 2．曲线的形状未知-———-求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1〉r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明.2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法"，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，弦AB 中点为M （x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法,具体有：(1))0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0，y 0），则有02020=+k b y a x 。
2023新高考二卷数学圆锥曲线解法2023年新高考二卷数学圆锥曲线题目的解题方法可以归纳为以下几点：建立坐标系：首先在平面直角坐标系中确定圆锥曲线的位置和范围，一般情况下，圆锥曲线都可以通过建立坐标系的方式进行求解。
确定变量：根据题目所给的条件，确定圆锥曲线上的变量，一般情况下，圆锥曲线上的变量包括点的坐标、距离、角度等。
建立方程：根据题目所给的条件，建立圆锥曲线的方程，一般情况下，圆锥曲线的方程包括椭圆、双曲线、抛物线等。
求解方程：根据建立的方程，求解圆锥曲线上的变量，一般情况下，求解的过程包括代入法、消元法、换元法等。
整合答案：根据题目所问的问题，整合答案，一般情况下，答案包括计算结果、图形、表格等形式。
下面以一例题为例，具体讲解圆锥曲线题目的解题方法：例题：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，且过点(2,3)。
(1)求椭圆C的方程；(2)求直线l过点(0,4)且与椭圆C有公共点，求出所有满足条件的直线l的方程；(3)在(2)的条件下，求出椭圆C与直线l的公共点的轨迹方程。
解题思路：1.建立坐标系：以原点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设椭圆C的方程为x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)。
2.确定变量：根据题意，已知焦距为4，且过点(2,3)，可以列出两个方程：c=2和b2/a2+9/4=1，其中c=2表示焦距的一半。
3.建立方程：根据以上两个方程，可以解得a2=16和b2=12，所以椭圆C的方程为x2/16+y2/12=1。
4.求解方程：根据椭圆C的方程，可以得出点(0,4)在椭圆C上，所以直线l与椭圆C有公共点。
因为直线l过点(0,4)，所以可以设直线l的方程为y=kx+4。
将直线l的方程代入椭圆C的方程中，得(12+4k2)x2+32kx+64=0。
因为直线l与椭圆C有公共点，所以判别式Δ=0-4(12+4k2)×64≥0，解得-4≤k≤4。
所以满足条件的直线l的方程为y=kx+4。
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型:(1) 中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两 点为(X i ，yJ ， (x 2 ,y 2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系 及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论)，消去四个参 数。
2 2X 7 如：(1) r T =1(ab 0)与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为a b M(x o ,y o )，则有畤 2k = O 。
a b 2 2 (2) 笃-% fa 0,b 0)与直线I 相交于A 、B ，设弦AB 中点为 a b(3) y 2=2px (p>o )与直线I 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x °,y o ),则有 2y o k=2p,即 y o k=p.2典型例题 给定双曲线X 2 -亍=1。
过A (2，1)的直线与双曲线交于 两点P i 及P 2，求线段P i P 2的中点P 的轨迹方程。
(2) 焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ,与两个焦点F i 、F 2构成的三角形问题，常用 正、余弦定理搭桥。
2 2典型例题 设P(x,y)为椭圆 J 七二1上任一点，F i (-c ,o)， F 2(c,o )a b 为焦点，• PF/?二〉，PF 2F 1 二。
sin (口 + P )(1) 求证离心率e 二sina + sin P M(x o ,y o)则有 直 Yoa 2b 2(2)求IPF J PF2|3的最值。
(3)直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程2=p(x 1)(p 0)，直线y = t与轴的交点在抛物线准线的右边。
(1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为A、B，且0A丄OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。
圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备: 1. 直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、 一般式。
(2) 与直线相关的重要内容 ① 倾斜角与斜率k tan , [0,)② 点到直线的距离dA/ B y0_C tan(3) 弦长公式 直线 y kx b 上两点 A(x i , yj, B(X 2, y 2)间的距离：AB| J i k 2|x X 2J (1 k 2)[(X i X 2)2 4沁]或 AB J i *|y i y 2(4) 两条直线的位置关系 ① l 1 l 2 k 1k 2=-1② l 1 //12k 1 k 2且b 1 b 22、圆锥曲线方程及性质(1) 、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)标准方程： 2 2—匚 1(m 0, n 0且 m n) m n 距离式方程:.(x c)2 y 2 . (x c)2 y 2 2a参数方程： x a cos , y bsin(2) 、双曲线的方程的形式有两种③夹角公式：k 2 12 2标准方程：—-1(m n 0)(3) 、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆：近；双曲线：玄；抛物线：2pa a(4) 、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？b 2 tan —2P 在双曲线上时，S FP F 2 b 2 cot —,t| PF |2 | PF |2 4c 2 uur ujrn uur uimr(其中 F 1PF 2,COS 】1鳥尙，PF ?PF 2 |PF 1||PF 2|COS(6)、 记住焦 半 径公式： (1 )椭圆焦点在x 轴上时为a ex g ；焦点在y 轴上时为a ey °，可简记为“左加右减，上加下减”(2) 双曲线焦点在x 轴上时为e|x 01 a(3) 抛物线焦点在x 轴上时为| x , | 2,焦点在y 轴上时为| % | 2 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ _ 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题)2B X 2,y 2，M a,b 为椭圆— 42 2 2 2 2222如: 已知F ,、 2 2F 2是椭圆勻七1的两个焦点,平面内一个动点 M足MF !MF 22则动点M 的轨迹是(A 、双曲线;B 、双曲线的一支；C 、两条射线;D 、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：P 在椭圆上时，S F1p F2设 A x ,, y ,2仝1的弦AB 中点则有3仝生1,空空1 ;两式相减得二竺上上04 3 4 3 4 3x i X2 捲X2 y i y2 y i y2 3a4 3 k AB一不2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A(X!, y i), B(X2, y2)，将这两点代入曲线方程得到①②两个式子，然后①-②，整体消元..................... ,若有两个字母未知数，贝S要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。
圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+bya x （0ab >>），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___）（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222by a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A ，B 异号）。
如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C的方程为_______（答：226x y -=）（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1. 直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、 一般式。
(2) 与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率 k tan , [0, )② 点 到 直 线 的 距 离 d Ax 0 By 0 CA 2B 2tan3)弦长公式直线 y kx b 上两点 A(x 1, y 1), B( x 2 , y 2 )间的距离： AB 1 k 2 x 1 x 2(1 k 2 )[( x 1 x 2)2 4x 1x 2] 或 AB 1 k 12 y 1 y 2 (4)两条直线的位置关系①l 1 l 2 k 1k 2=-1 ② l 1 //l 2 k 1 k 2且b 1 b 22、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)标准方程：22x y1(m 0,n 0且 m n) mn 距离式方程：(x c)2 y 2 (x c)2 y 22a 参数方程：x acos ,y bsin(2)、双曲线的方程的形式有两种③夹角公式：k21222标准方程：x y1(m n 0)mn距离式方| (x c)2 y 2 (x c) 2 y 2 | 2a(3) 、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆：2b；双曲线：2b；抛物线：2 p aa(4) 、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？b 2tan2 P 在双曲线上时， S F PF b cot| PF |2 | PF |2 4c 2 uuur uuuur uuur uuuur 其中 F 1PF 2,cos |PF 1||PF 1||P |F P 2F |2 | 4c ,u P u F ur1?u P u Fuur 2|u P uu F r 1 ||uu P u Fur2|cos(6) 、 记 住 焦 半 径 公 式 ： ( 1 )椭圆焦点在 x 轴上时为 a ex 0 ;焦点在 y 轴上时为 a ey 0，可简记为“左加右减，上加下减”(2)双曲线焦点在 x 轴上时为 e|x 0 | a(3) 抛物线焦点在 x 轴上时为 | x 1 | 2p ,焦点在 y 轴上时为 | y 1 | 2p(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备1、点差法(中点弦问题)2y1的弦 AB 中点则有3如： 已知 F 1、 22F2是椭圆 x4 y3 1的两个焦点， 平面内一个动点 M 足 MF 1MF 2 2 则动点 M 的轨迹是(A 、双曲线；B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线(5)、焦点三角形面积公式： P 在椭圆上时， S F 1PF 2设 A x 1, y 1B x 2,y 2 ， M a,b 为椭圆 x42 2 2 2 2 2 2 2 x 1 y 1 1， x 2 y 2 1；两式相减得 x 1 x 2y 1 y 24 3 4 3 4 3x 1 x 2 x 1 x 2y 1 y 2 y 1 y 23a4 3kAB =4b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到 一个二次方程， 使用判别式 0，以及根与系数的关系， 代入弦 长公式，设曲线上的两点 A( x 1, y 1), B(x 2 , y 2 ) ，将这两点代入曲线方 程得到 ○1 ○2 两个式子，然后 ○1-○2 ，整体消元······，若有两个 字母未知数， 则要找到它们的联系， 消去一个，比如直线过焦点， 则可以利用三点 A 、B 、 F 共线解决之。
高中数学圆锥曲线解答题解法题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：向量问题 题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值、最值问题 问题八：直线问题 问题九：对称问题问题十、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系（简单题型未总结） 题型二：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。
由2(1)y k x y x=+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104k <<② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。
则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。
线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k - ABE ∆为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d 为32AB 。
221212()()AB x x y y =-+-222141k k k -=+212k d k+=22223141122k k k k k -+∴+=解得3913k =±满足②式此时053x =。
【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
例题分析1：已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨=+⎩，进而可求出AB的中点11(,)22M b --+，又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出221114(2)32AB =+-⨯-=．题型三：动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
（I ）求椭圆的方程；（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论解：（I ）由已知椭圆C 的离心率32c e a ==，2a =,则得3,1c b ==。
从而椭圆的方程为2214x y +=（II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，由122(2)44y k x x y =+⎧⎨+=⎩消y 整理得222121(14)161640k x k x k +++-=12x -和是方程的两个根，21121164214k x k -∴-=+则211212814k x k -=+，1121414k y k =+，即点M 的坐标为2112211284(,)1414k k k k -++， 同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为2222222824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-12122k k k k t -∴=-+，直线MN 的方程为：121121y y y y x x x x --=--，∴令y=0，得211212x y x y x y y -=-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4x t=又2t >，∴402t<<椭圆的焦点为(3,0)43t∴=，即433t = 故当433t =时，MN 过椭圆的焦点。
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。
(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称，求直线PQ 的斜率。
解：(I)2BC AC =，且BC 过椭圆的中心OOC AC∴=0AC BC =2ACO π∴∠=又A (23,0)∴点C 的坐标为(3,3)。
A (23,0)是椭圆的右顶点，23a ∴=，则椭圆方程为：222112x y b+= 将点C (3,3)代入方程，得24b =，∴椭圆E 的方程为221124x y += (II)直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称，∴设直线PC 的斜率为k ，则直线QC 的斜率为k -，从而直线PC 的方程为：3(3)y k x -=-，即3(1)y kx k =+-，由223(1)3120y kx k x y ⎧=+-⎪⎨+-=⎪⎩消y ，整理得： 222(13)63(1)91830k x k k x k k ++-+--=3x =是方程的一个根，229183313Pk k x k --∴=+即2291833(13)P k k x k --=+同理可得：2291833(13)Q k k x k +-=+ 3(1)3(1)P Q P Q y y kx k kx k -=+-+-+＝()23P Q k x x k +-＝2123(13)k k -+2222918391833(13)3(13)P Q k k k k x x k k --+--=-++＝2363(13)k k -+13P Q PQ P Q y y k x x -∴==- 则直线PQ 的斜率为定值13。
题型五：共线向量问题1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E.I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围. 解：（1）.0,2=⋅=AM NP AP AM ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM| 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点 C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222=a焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a ∴曲线E 的方程为.1222=+y x （2）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12,222=++=y x kx y 代入椭圆方程 得.230.034)21(222>>∆=+++k kx x k 得由设),,(),,(2211y x H y x G)2(216213),1(21821422212221k k x x k k k k x x +=+=+-=+-=+则)2,()2,(,2211-=-∴=y x y x FH FG λλ 又,,2121x x x x =∴=∴λλ，)21(332)21(33221)2()1(2222+=+=++⇒kk k λλ.331.316214.316)21(3324,2322<<<++<∴<+<∴>λλλ解得kk .131,10<<∴<<λλ 又 又当直线GH 斜率不存在，方程为.31,31,0===λFH FG x )1,31[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴ 2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，离心率（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-.解：设椭圆C 的方程为22221x y a b+= （a ＞b ＞0）抛物线方程化为24x y =，其焦点为(0,1)，则椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即 1b =由5c e a ===，∴25a =，椭圆C 的方程为 2215x y +=（2）证明：右焦点(2,0)F ，设11220(,),(,),(0,)A x y B x y M y ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 (2)y k x =-，代入方程2215x y += 并整理，得2222(15)202050k x k x k +-+-=∴21222015k x x k +=+，212220515k x x k -=+ 又110(,)MA x y y =-，220(,)MB x y y =-，11(2,)AF x y =--，22(2,)BF x y =--，而 1MA AF λ=， 2MB BF λ=，即110111(0,)(2,)x y y x y λ--=--，220222(0,)(2,)x y y x y λ--=-- ∴1112x x λ=-，2222x x λ=-，所以 121212121212122()2102242()x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+==----++ 3、已知△OFQ 的面积S=26, 且m FQ OF =•。
设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过Q ，2)146(,||c m c OF -==，当||OQ 取得最小值时，求此双曲线方程。
