2021-2022年高考数学二轮复习 攻克圆锥曲线解答题的策略 新人教版

2021年高考数学二轮复习专题1.6圆锥曲线教学案一．考场传真1. 【xx 课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A2．【xx 课标II ，理9】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）A ．2B ．C ．D ．【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线为：，圆心到渐近线距离为：，不妨考查点到直线的距离：222023b a b d ca b +⨯===+，整理可得：,双曲线的离心率.故选A. 3．【xx 课标3，理10】已知椭圆C ：，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A．B．C．D．【答案】A4．【xx课标1，理】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A 与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.【答案】【解析】如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且，，而，所以，点到直线的距离221APba=+，在中，，代入计算得，即，由得，所以.5．【xx课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则 .【答案】66．【xx 课标3，理5】已知双曲线C ： (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C 的方程为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】双曲线C ： (a ＞0,b ＞0)的渐近线方程为 ，椭圆中：2222212,3,9,c 3a b c a b ==∴=-== ，椭圆，即双曲线的焦点为 ，据此可得双曲线中的方程组：222523b a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，解得： ，则双曲线 的方程为 .故选B .7．【xx 课标3，理20】已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点，求直线l 与圆M 的方程.(2)由(1)可得()21212122,424y y m x x m y y m +=+=++=+ .故圆心 的坐标为 ，圆 的半径 .由于圆 过点 ，因此 ，故()()()()121244220x x y y --+++= ，即()()1212121242200x x x x y y y y ++++++= .由(1)可得 .所以 ，解得 或 .当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 .当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 .8．【xx 课标1，理20】已知椭圆C ：（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，），P 4（1，）中恰有三点在椭圆C 上.（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.【解析】（1）由于，两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过，两点.又由知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得.故C 的方程为. （2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知，且，可得A ，B 的坐标分别为（t ，），（t ，）.则221242421t t k k ---++==-，得，不符合题设.从而可设l ：（）.将代入得222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知.，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=，x 1x 2=.而.由题设，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m km k m k k --+⋅+-⋅=++.解得.当且仅当时，，欲使l ：，即，所以l 过定点（2，）9．【xx 课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足.(1) 求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线上，且.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .二．高考研究【考纲解读】1.考纲要求(1)直线方程：①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.②能根据两条直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④掌握正确直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.⑤能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.(2)圆与方程：①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.④初步了解用代数方法处理几何问题的思想.(３)圆锥曲线：①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.知道它的简单几何性质.④了解圆锥曲线的简单应用.⑤理解数形结合的思想(2)曲线与方程：了解方程的曲线与与曲线方程的对应关系.2.命题规律：1、题量稳定：解析几何与立体几何相似，在高考试卷中试题所占分值比例较大.一般地，解析几何在高考试卷中试题大约出现3个题目左右，其中选择题、填空题占两道，解答题占一道；其所占平均分值为22分左右，所占平均分值比例约为14%.2、整体平衡，重点突出：重点内容重点考，重点内容年年考.三大圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度.直线与圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是支撑解析几何的基石，也是高考命题的基本元素．高考十分注重对这些基础知识的考查，有的是考查定义的理解和应用，有的是求圆锥曲线的标准方程，有的是直接考查圆锥曲线的离心率，有的是考查直线与圆和圆锥曲线的位置关系等．数学高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：①求曲线方程（类型确定，甚至给出曲线方程）；②直线、圆和圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）；③与圆锥曲线定义有关的问题（涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理等）④与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）；⑤与曲线有关的几何证明(圆线相切、四点共圆、对称性或求对称曲线、平行、垂直等)；⑥探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征(很少)；3、题型稳定，中规中矩，不偏不怪，内容及位置也很稳定.解析几何试题的难度都不算太大，选择题、填空题大多属中等题，圆一般不单独考查，总是与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题.高考一般不给出图形，以考查学生的想象能力、分析问题的能力，从而体现解析几何的基本思想和方法，解答题加大与相关知识的联系（如向量、函数与导数、方程、不等式等），难度不是太大，所有问题均很直接，都不具备探索性.特别是近几年的解答题，计算量减少，但思考量增大，对于用代数方法研究有关直线与椭圆、抛物线位置关系问题，体现在解法上，不仅仅只是利用根与系数关系研究，而是在方法的选择上更加灵活，如联立方程求交点或向量的运算等，思维层次的要求并没有降低. 若再按以前的“解几套路”解题显然难以成功. 3．学法导航1.求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况．对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．2. 解决与圆有关的问题一般有两种方法：几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．3讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．4.准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．5．明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．6．解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．7．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．一．基础知识整合基础知识：1. 直线的方程：点斜式：； 截距式：；两点式：； 截距式：；一般式：，其中A 、B 不同时为0.2．两条直线的位置关系：两条直线，有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.两直线平行两直线的斜率相等或两直线斜率都不存在；两直线垂直两直线的斜率之积为或一直线斜率不存在，另一直线斜率为零；与已知直线0(0,0)Ax By C A B ++=≠≠平行的直线系方程为；若给定的方程是一般式，即l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有下列结论：l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.两平行直线间距离公式：10(0,0)Ax By C A B ++=≠≠与2120(0,0,)Ax By C A B C C ++=≠≠≠的距离3．圆的有关问题：圆的标准方程：（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为．圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （＞0）称为圆的一般方程，其圆心坐标为（，），半径为.当=0时，方程表示一个点（，）；当＜0时，方程不表示任何图形.圆的参数方程：圆的普通方程与参数方程之间有如下关系： （θ为参数）（θ为参数）直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系的判断：【方法一】几何法：根据圆心与直线的距离与半径的大小关系进行判断；设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则（1）直线与圆相交直线与圆有两个公共点；（2）直线与圆相离直线与圆无公共点；（3）直线与圆相切直线与圆有且只有一个公共点；【方法二】代数法：把直线的方程圆的方程联立方程组，消去其中一个未知数得到关于另外一个数的未知数的一元二次方程，则（1）直线与圆相交直线与圆有两个公共点；（2）直线与圆相离直线与圆无公共点；（3）直线与圆相切直线与圆有且只有一个公共点；若直线与圆相交，设弦长为，弦心距为，半径为，则4．椭圆及其标准方程：椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视.若这个距离之和小于||，则这样的点不存在；若距离之和等于||，则动点的轨迹是线段.椭圆的标准方程：（＞＞0），（＞＞0）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.如果已知椭圆过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为221(0,0)Ax By A B +=>>或；椭圆的参数方程： 椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为参数）.说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：；⑵ 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.5．椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质：设椭圆方程为（＞＞0）.范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里.对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.顶点：有四个（-a ，0）、（a ，0）（0，-b ）、（0，b ）. 线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆.椭圆的第二定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.准线：根据椭圆的对称性，（＞＞0）的准线有两条，它们的方程为.对于椭圆（＞＞0）的准线方程，只要把x 换成y 就可以了，即.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设（-c ，0），（c ，0）分别为椭圆（＞＞0）的左、右两焦点，M （x ，y ）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，，椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点，另一个顶点在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则三角形的周长为定值等于，面积等于，其中是短半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为2b 2a6．双曲线及其标准方程：双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a （小于||）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜||，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=||，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞||，则无轨迹.若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程：和（a ＞0，b ＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，不一定大于，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.如果已知双曲线过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为或7．双曲线的简单几何性质双曲线的实轴长为，虚轴长为，离心率＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大.双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中k 是一个不为零的常数.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是和.在双曲线中，如果一个三角形的两个顶点是焦点，另一个顶点在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则面积等于212tan 2b F PF ，其中是虚半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为 8．抛物线的标准方程和几何性质抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线.这个定点F 叫抛物线的焦点，这条定直线l 叫抛物线的准线.需强调的是，点F 不在直线l 上，否则轨迹是过点F 且与l 垂直的直线，而不是抛物线.抛物线的方程有四种类型：、、、.对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的负方向.抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px 为例（1）范围：x ≥0；（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；（3）顶点：O （0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；（4）离心率：e=1，由于e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p 决定的；（5）准线方程；（6）焦半径公式：抛物线上一点，F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p ＞0）：22112:;2:22p p y px PF x y px PF x ==+=-=-+ 22112:;2:22p p x py PF y x py PF y ==+=-=-+ （7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式.设过抛物线y2=2px （p ＞O ）的焦点F 的弦为AB ，A ，B ，AB 的倾斜角为，则有或，以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求.在抛物线中，以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物的对应准线相切；9．直线与圆锥曲线的位置关系：①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决． ②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行．③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．直线被圆锥曲线所截得弦为，则长为||||A B A B AB x x y y =-=-，其中为直线的斜率必备方法：1.点差法（中点弦问题）利用“点差法”来解决中点弦问题，其基本思路是设点（即设出弦的端点坐标）——代入（即将端点代入曲线方程）——作差（即两式相减）——得出中点坐标与斜率的关系.2．联立消元法：韦达定理法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用韦达定理和中点坐标公式建立等式求解3．设而不求法4.判别式法5.求根公式法椭圆与双曲线的经典结论一．椭圆1．2．标准方程：3．4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆（a ＞b ＞o ）的两个顶点为,，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是.10．若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.11．若在椭圆外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是.12．AB 是椭圆的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则.13．若在椭圆内，则被Po 所平分的中点弦的方程是.14．若在椭圆内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是.15．若PQ 是椭圆（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b+=+==. 16．若椭圆（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为,则(1) ;(2) .17．给定椭圆：（a ＞b ＞0）, ：222222222()a b b x a y ab a b -+=+,则(i )对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M (.(ii )对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点.18．设为椭圆（或圆）C : (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦P 0P 1, P 0P 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点的充要条件是.19．过椭圆 (a ＞0, b ＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B ,C 两点，则直线BC 有定向且（常数）.20．椭圆 (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为，2tan )2b Pc γ . 21．若P 为椭圆（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, , ，则.22．椭圆（a ＞b ＞0）的焦半径公式：,( , ).23．若椭圆（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e ≤时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为椭圆（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当三点共线时，等号成立.25．椭圆（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线：对称的充要条件是.26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是椭圆（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是.29．设A ,B 为椭圆上两点，其直线AB 与椭圆相交于,则.30．在椭圆中，定长为2m （o ＜m ≤a ）的弦中点轨迹方程为2222222221()cos sin x y a b m a bαα-+=+,其中,当时, . 31．设S 为椭圆（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A ,B 在椭圆上移动，记|AB |=，是AB 中点，则当时，有,);当时，有,.32．椭圆与直线有公共点的充要条件是.33．椭圆与直线有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.34．设椭圆（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记, ,，则有.35．经过椭圆（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则.36．已知椭圆（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP |2+|OQ |2的最大值为;（3）的最小值是.37．MN 是经过椭圆（a ＞b ＞0）过焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则.38．MN 是经过椭圆（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦，则2222111||||a MN OP a b +=+. 39．设椭圆（a ＞b ＞0）,M (m ,o ) 或(o , m )为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q (A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线：(或)上.40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q , A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF .42．设椭圆方程,则斜率为k (k ≠0)的平行弦的中点必在直线：的共轭直线上,而且.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为，直线AB 与CD 相交于P ,且P 不在椭圆上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+. 44．已知椭圆（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，的外（内）角平分线为，作F 1、F 2分别垂直于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是(2222222{[()()]}()[()]b y a ce x c x y cx ce x c +-+⋅++=+).45．设△ABC 内接于椭圆，且AB 为的直径，为AB 的共轭直径所在的直线，分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为上一点，则CD 与椭圆相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M ,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则.47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 分别是A 到椭圆两焦点的距离，则.48．已知椭圆（ a ＞b ＞0）和（ ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB │=|CD │.49．已知椭圆（ a ＞b ＞0）,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点, 则.50．设P点是椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .51．设过椭圆的长轴上一点B（m,o）作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN：于M，N两点,则.52．L是经过椭圆（a＞b＞0）长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点，若，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.53．L是椭圆（a＞b＞0）的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点，e是离心率，，H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.54．L是椭圆（a＞b＞0）的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点，,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且或（当且仅当时取等号）.55．已知椭圆（a＞b＞0），直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点F1连结起来，则2222112(2)||||a bb F A F Ba-≤⋅≤（当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号）.56．设A、B是椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .57．设A、B是椭圆（a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且、的横坐标，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则. 58．设A、B是椭圆（a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，（若B P交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称），且，则点A、B的横坐标、满足；（2）若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且,则点A、B的横坐标满足.59．设是椭圆的长轴的两个端点，是与垂直的弦，则直线与的交点P的轨迹是双曲线.60．过椭圆（a＞b＞0）的左焦点作互相垂直的两条弦AB、CD则2222282()||||ab a bAB CDa b a+≤+≤+.61．到椭圆（a＞b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.62．到椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.63．到椭圆（a＞b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆（e为离心率）.64．已知P是椭圆（a＞b＞0）上一个动点，是它长轴的两个端点,且,，则Q点的轨迹方程是.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.。

第3讲圆锥曲线的综合应用JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向⊙︱考情分析︱1．圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一．2．以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题．对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查．⊙︱真题分布︱(理科）年份卷别题号考查角度分值202 0Ⅰ卷20椭圆的简单性质及方程思想、定点问题12Ⅱ卷19椭圆离心率的求解,利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程12Ⅲ20椭圆标准方程和求三角形12(文科）Ⅲ卷21椭圆标准方程和求三角形面积问题，椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积,12201 9Ⅰ卷21直线与圆的位置关系，定值问题12Ⅱ卷20椭圆的定义及其几何性质、参数的范围12Ⅲ卷21直线与抛物线的位置关系、定点问题12201 8Ⅰ卷20直线的方程，直线与抛物线的位置关系、证明问题12Ⅱ卷20直线的方程,直线与抛物线的位置关系、圆的方程12Ⅲ卷20直线与椭圆的位置关系、证明问题12KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点考点一圆锥曲线中的最值、范围问题错误!错误!错误!错误!典例1（2020·青海省玉树州高三联考）已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px（p〉0）相切．（1）求抛物线C的方程；（2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．【解析】（1)将l：x－y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px联立得:y2－2py＋2p＝0，∵l与C相切,∴Δ＝4p2－8p＝0，解得：p＝2，∴抛物线C的方程为:y2＝4x。

（2）由题意知，直线m斜率不为0，可设直线m方程为：x ＝ty＋1，联立｛y2＝4x，x＝ty＋1得：y2－4ty－4＝0．设A（x1，y1），B(x2，y2）,则y1＋y2＝4t，∴x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝4t2＋2，∴线段AB中点M(2t2＋1,2t)．设A,B,M到直线l距离分别为d A,d B，d M,则d A＋d B＝2d M＝2·错误!＝2错误!错误!＝2错误!错误!，∵（t－错误!)2＋错误!≥错误!，∴当t＝错误!时，错误!min＝错误!,∴A,B两点到直线l的距离之和的最小值为：22×错误!＝错误!。

2021年高三数学第二轮专题复习解析几何问题的题型与方法人教版一．复习目标：1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3． 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4．掌握圆的标准方程：（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.二．考试要求：(一)直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。

第3讲圆锥曲线中的热点问题
考情解读(1)本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大．(2)求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．
(理用的内容)
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(理用的内容)
(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：
将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．
(理用的内容)
(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：
将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by ＋c＝0)．
①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．
②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．
(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：
将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by ＋c＝0)．
①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．
②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．
2．有关弦长问题
有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．。

2021-2022年高考数学数学圆锥曲线方程讲解例题新人教版说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的A.4倍B.9倍C.12倍D.18倍解析:设两条准线间的距离是焦距的k倍，则=2ck,k=()2.由已知得a=3c,∴k=()2=32=9.答案:B2.椭圆+=1上一点P到左焦点F1的距离为2，M是线段PF1的中点，则M到原点O的距离等于A.2B.4C.6D.8解析:如图，易知|OM|=|PF2|,而|PF2|=2a－|PF1|=2×5－2=8,∴|OM|=4.答案:B3.AB为过椭圆+=1中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB面积的最大值是A.b2B.abC.acD.bc解析:设A(x0,y0),B(－x0,－y0),S△ABF=S△OFB+S△OFA=c·|y0|+c·|－y0|=c·|y0|.∵点A、B在椭圆+=1上,∴|y0|的最大值为b.∴S △ABF 的最大值为bc . 答案:D4.函数y =的图象是平面上到两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹,则这两个定点间的距离为A.8B.4C.4D.2 分析:本题主要考查双曲线的定义.y解:函数y =y =0.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=,0,2y x xy 得或 即顶点为A 1(,),A 2(－,－).∵e ===,∴c =2.根据双曲线的定义,两定点间的距离为2c =4. 答案:C5.点P 在椭圆7x 2+4y 2=28上，则点P 到直线3x －2y －16=0的距离的最大值为 A. B. C. D. 解析:化椭圆方程为参数方程(α为参数). ∴点P 到直线3x －2y －16=0的距离为 d ==.∴d max ==. 答案:C6.一动圆与圆x 2+y 2=1外切，而与圆x 2+y 2－6x +8=0内切，那么动圆的圆心的轨迹是 A.双曲线的一支 B.椭圆 C.抛物线 D.圆解析:已知x 2+y 2=1的圆心为O (0,0),半径为r 1=1,圆x 2+y 2－6x +8=0的圆心为A (3，0),半径为r 2=1.设动圆的圆心为P ，半径为r , 则|PO |=1+r ,|PA |=r －1. 则有|PO |－|PA |=2<|OA |=3, ∴轨迹为双曲线的一支. 答案:A7.过原点的直线l 与双曲线－=－1有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围是 A.(－，)B.(－∞,－)∪(,+∞)C.［－,］D.(－∞,－］∪［,+∞)解析:双曲线方程－=1,其渐近线的斜率k =±,当直线l 的斜率为±时，直线与渐近线重合，直线l 与双曲线无交点，排除C 、D.又双曲线的焦点在y 轴上，当 －<k <时，直线与双曲线无交点.答案:B8.设P 是双曲线－=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF 1|=3,则|PF 2|等于A.1或5B.6C.7D.9 分析:本题考查双曲线的定义.y x解:∴可求得a 2=4.∴双曲线的方程为－=1,2a =4. 如图,可知P 点在左支上.由双曲线定义,|PF 2|－|PF 1|=4, ∴|PF 2|=4+3=7. 答案:C9.椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A 、B 是它的焦点,长轴长为2a ,焦距为2c ,静放在点A 的小球(小球的半径忽略不计)从点A 沿直线出发,经椭圆壁反射后第一次回到点A 时,小球经过的路程是A.4aB.2(a －c )C.2(a +c )D.4a 或2(a －c )或2(a +c ) 分析:本题属信息迁移题,考查学生灵活应用知识的能力.解:设靠近A 的长轴端点为M ，另一长轴的端点为N .若小球沿AM 方向运动,则路程应为2(a －c )；若小球沿ANM 方向运动,则路程为2(a +c )；若小球不沿AM 与AN 方向运动,则路程应为4a .答案:D10.椭圆a 2x 2+y 2=a 2(0<a <1)上离顶点A (0，a )距离最远的点恰好是另一个顶点A ′(0， －a ),则a 的取值范围是A.(，1)B.［，1)C.(0，)D.(0，］ 解析:由对称性，可设P 点坐标为(,y ), ∴|AP |2=1－+(y －a )2 =y 2－2ay +a 2+1.∵0<a <1,∴<0,开口向下.∴对称轴y=≥－a.解得≤a<1.答案:B第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.已知点M(－3，0)、N(3，0)、B(1，0)，⊙O与MN相切于点B，过M、N与⊙O相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为__________.2=2.解析:如图，|PM|－|PN|=|PA|+|AM|－|PC|－|CN|=|MA|－|NC|=|MB|－|NB|=4－∴方程为－=1(x>1).答案:x2－=1(x>1)12.点M到一个定点F(0，2)的距离和它到一条定直线y=8的距离之比是1∶2，则M点的轨迹方程是__________.解析:根据椭圆第二定义可知，椭圆焦点为(0，2)，y==8,e=.由c=2,=8,得a=4,满足e===.∴椭圆方程为+=1.答案: +=113.椭圆+ =1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是__________.解析:设P点横坐标为x0,则|PF1|=a+ex0=3+x0,|PF2|=a－ex0=3－x0.∠F1PF2为钝角，当且仅当|F1F2|2－|PF1|2－|PF2|2>0,解之即得－<x0<.答案:－<x0<14.设点A(－2，)，椭圆+ =1的右焦点为F，点P在椭圆上移动.当|PA|+2|PF|取最小值时,P点的坐标是__________.解析:设椭圆的右准线为l,过A作AN⊥l于N，AN交椭圆于P，则P点就是所求的点，坐标为(2，).事实上，易知椭圆离心率为.|PA|+2|PF|=|PA|+2×|PN|=|PA|+|PN|，(|PN|是P到相应准线的距离.显然|P′A|+|P′N′|>|AP|+|PN|).答案:(2,)三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)设椭圆+=1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－2,0),左准线l1与x轴交于点N(－3,0),过点N且倾斜角为30°的直线l交椭圆于A、B两点.(1)求直线l和椭圆的方程；(2)求证:点F1(－2,0)在以线段AB为直径的圆上.(1)解:可知直线l:y=(x+3).由c=2及=3,解得a2=6,∴b2=6－22=2.∴椭圆方程为+=1.(2)证明:联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==-+),3(33,06322x y y x 将②代入①,整理得2x 2+6x +3=0.设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则x 1+x 2=－3,x 1x 2=. 方法一:k ·k =·===⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⨯++-⨯+4)3(22339)3(323=－1, ∴F 1A ⊥F 1B ,即∠AF 1B =90°.∴点F 1(－2,0)在以线段AB 为直径的圆上.方法二:·=(x 1+2,y 1)·(x 2+2,y 2)=(x 1+2)(x 2+2)+y 1y 2 =x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+［x 1x 2+3(x 1+x 2)+9］ =x 1x 2+3(x 1+x 2)+7=0,∴F 1A ⊥F 1B ,则∠AF 1B =90°.∴点F 1(－2,0)在以线段AB 为直径的圆上.16.(本小题满分10分)设F 1、F 2是双曲线x 2－y 2=4的左、右两个焦点，P 是双曲线上任意一点，过F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为M ，求点M 的轨迹方程.解:如图,F 1(－2，0)、F 2(2，0)、M (x ,y )，延长F 1M 与PF 2相交于点N ，设N (x 0,y 0). 由已知可得M 为F 1N 的中点,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒=+=⇒-=.22,2222220000y y y y x x x x又|NF 2|=|PN |－|PF 2|=|PF 1|－|PF 2|=2a =4,∴(x 0－2)2+y 02=16.∴(2x +2－2)2+(2y )2=16.∴x 2+y 2=4.评注:适当运用平面几何知识把条件进行转化，会给我们解题带来方便.17.(本小题满分12分)如图，某农场在P 处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路PA 或PB 送到庄稼地ABCD 中去，已知PA =100 m ，PB =150 m ，∠APB =60°.能否在田地ABCD 中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路PA 送肥较近；而另一侧的点，沿道路PB 送肥较近?如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程.① ②ABCD P解:设M 是这种界线上的点， 则必有|MA |+|PA |=|MB |+|PB |, 即|MA |－|MB |=|PB |－|PA |=50.∴这种界线是以A 、B 为焦点的双曲线靠近B 点的一支.建立以AB 为x 轴，AB 中点 O 为原点的直角坐标系，则曲线为－=1,其中a =25,c =|AB |.∴c =25,b 2=c 2－a 2=3750.∴所求曲线方程为－=1(x ≥25,y ≥0). 18.(本小题满分12分)已知点F (1，0)，直线l :x =2.设动点P 到直线l 的距离为d ,且|PF |=d ,≤d ≤.(1)求动点P 的轨迹方程； (2)若·=，求向量与的夹角.解:(1)根据椭圆的第二定义知，点P 的轨迹为椭圆.由条件知c =1,=2,∴a =.e ===满足|PF |=d .∴P 点的轨迹为+=1. 又d =－x ,且≤d ≤, ∴≤2－x ≤.∴≤x ≤.∴轨迹方程为+y 2=1(≤x ≤).(2)由(1)可知，P 点的轨迹方程为+y 2=1(≤x ≤),∴F (1,0)、P (x 0,y 0). =(1,0),=(x 0,y 0),=(1－x 0,－y 0). ∵·=,∴1－x 0=. ∴x 0=,y 0=±.又·=||·||·cos θ,∴1·x 0+0·y 0=·1·cos θ. ∴cos θ==979432 ==.∴θ=arccos.19.(本小题满分12分)(1)求右焦点坐标是(2,0),且经过点(－2,－)的椭圆C 的标准 方程；(2)对(1)中的椭圆C ,设斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,AB 的中点为M ,证明:当直线l 平行移动时,动点M 在一条过原点的定直线上；(3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作图步骤,并在图中标出椭圆的中心.解:(1)由题中条件,设椭圆的标准方程为+=1,a ＞b ＞0, ∵右焦点为(2,0),∴a 2=b 2+4, 即椭圆的方程为+=1.∵点(－2,－)在椭圆上,∴+=1. 解得b 2=4或b 2=－2(舍),由此得a 2=8,即椭圆的标准方程为+=1.(2)设直线l 的方程为y =x +m ,与椭圆C 的交点为A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,148,22y x m x y 得12x 2+16mx +8m 2－32=0,即3x 2+4mx +2m 2－8=0.∵Δ＞0,∴m 2＜12,即－2＜m ＜2. 则x 1+x 2=－,y 1+y 2=x 1+m +x 2+m =m , ∴AB 中点M 的坐标为(－m ,).∴线段AB 的中点M 在过原点的直线x +2y =0上.(3)如下图,作两条平行直线分别交椭圆于点A 、B 和点C 、D ,并分别取AB 、CD 的中点M 、N ,连结直线MN ；又作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于点A 1、B 1和点C 1、D 1,并分别取A 1B 1、C 1D 1的中点M 1、N 1,连结直线M 1N 1,那么直线MN 和M 1N 1的交点O 即为椭圆中心 .瘙35675 8B5B 譛 27107 69E3 槣28447 6F1F 漟40502 9E36 鸶34698 878A 螊c26661 6825 栥24428 5F6C 彬Q i。

2021年高考数学二轮复习专题12 高考中的解答题的解题策略教案文【重点知识回顾】解答题可分为低档题、中档题和高档题三个档次，低档题主要考查基础知识和基本方法与技能，中档题还要考查数学思想方法和运算能力、思维能力、整合与转化能力、空间想象能力，高档题还要考查灵活运用数学知识的能力及分析问题和解决问题的能力．解答题的解题步骤1.分析条件，弄清问题2.规范表达，实施计划3.演算结果，回顾反思解答题的解题策略1.从条件入手——分析条件，化繁为简，注重隐含条件的挖掘；2.从结论入手——执果索因，搭好联系条件的桥梁；．3.回到定义和图形中来；4.换一个角度去思考；5优先作图观察分析，注意挖掘隐含条件；6.注重通性通法，强化得分点。

【典型例题】1.从定义信息入手定义信息型题是近几年来高考出现频率较高的新题型之一，其命题特点是：给出一个新的定义、新的关系、新的性质、新的定理等创新情境知识，然后在这个新情境下，综合所学知识并利用新知识作为解题工具使问题得到解决，求解此类问题通常分三个步骤：（1）对新知识进行信息提取，确定化归方向；（2）对新知识中所提取的信息进行加工，探究解题方法；（3）对提取的知识加以转换，进行有效组合，进而求解．例1、根据定义在集合A 上的函数，构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据，计算出；②若，则数列发生器结束工作，若，则输出x 1,并将x 1反馈回输入端，再计算出，并依此规律继续下去，现在有，)(1)(*N m xm mx x f ∈-+=， （Ⅰ）求证：对任意，此数列发生器都可以产生一个无穷数列；（Ⅱ）若，记，求数列的通项公式．【解析】（Ⅰ）证明：当，即0<x<1时，由可知m+1>x>0， ∴，又01)1)(1(11<-+-+=--+xm x m x m mx ，∴，∴， 即．故对任意有；由有，由有；以此类推，可以一直继续下去，从而可以产生一个无穷数列． （Ⅱ）由nn n n x m mx x f x -+==+1)(1，可得， ∴，即，令，则，又 011)1(11100111≠+=-+=-=-=mm mx x m x a b ， ∴数列是以为首项，以为公比的等差数列， ∴n n n mm m m m m b )1()1(11+=+⋅+=-，于是． 【题后反思】本题以算法语言为命题情境，构造一个数列发生器，通过定义工作原理，得到一个无穷数列，这是命题组成的第一部分，解答时只需依照命题程序完成即可，第（Ⅱ）问其实是一个常规的数学问题，由上可知，创新题的解答还是需要考生有坚实的数学解题功底．2. 由巧法向通法转换巧法的思维起点高，技巧性也强，有匠心独具、出人意料等特点，而巧法本身的思路难寻，方法不易把握，而通法则体现了解决问题的常规思路，而顺达流畅，通俗易懂的特点． 例2、已知，求的取值范围．【解析】由，得， ∴αααββ22222sin 41sin 4sin 411cos 1sin -=-=-=，∴)sin 1(sin 41sin 4)sin 1(sin cos sin 2222222ααααβαβ-⋅-=-= 41145)sin 41(sin 45sin 41sin 5sin 422224=-≤+-=-+-=ααααα， 从而得．【题后反思】本题是一典型、常见而又方法繁多、技巧性较强的题目，求解时常常出错，尤其是题目的隐含条件的把握难度较大，将解法退到常用的数学方法之一——消元法上来，则解法通俗、思路清晰．3. 常量转化为变量转化思想方法用于研究、解释数学问题时思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化成另一种情况，也就是转化到另一种情境，使问题得到解释的一种方法，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维模式，转化的目的是使问题变的简单、容易、熟知，达到解决问题的有利境地，通向问题解决之策．有的问题需要常、变量相互转化，使求解更容易． 例3、设0tan cos 4sin 0tan sin 3cos 92=⋅-=++C A B C B A ，，求证：． 【解析】令，则有0tan sin cos 2=++C B x A x ，若，则成立；若，则0tan cos 4sin 2=⋅-=∆C A B ，∴方程有两个相等的实数根，即，由韦达定理，，即，又，∴0cos 9cos 4sin 2=-A A B ，∴，∴．【题后反思】把变量变为常量，也就是从一般到特殊，是我们寻找规律时常用的解题方法，而本题反其道而行之，将常量变为变量，从特殊到一般使问题得到解决．4. 主元转化为辅元有的问题按常规确定主元进行处理往往受阻，陷于困境，这时可以将主元化为辅元，即可迎刃而解．例4、对于满足的所有实数p ，求使不等式恒成立的x 的取值范围．【解析】把转化为012)1(22>+-+-x x p x ，则成为关于p 的一次不等式，则，得，由一次不等式的性质有：0)1)(1()1()1(2>+--=-+-p x x x p x ，当时，，∴；当时，，∴，综上可得：．【题后反思】视x 为主元，不等式是关于x 的一元二次不等到式，讨论其取值情况过于繁琐，将p 转化为主元，不等式是关于p 的一次的不等式，则问题不难解决．5. 正向转化为反向有些数学问题，如果是直接正向入手求解难度较大，可以反向考虑，这种方法也叫“正难则反”例5、若椭圆与连接A （1，2）、B （3，4）两点的线段没有公共点，求实数a 的取值范围．【解析】设线段AB 和椭圆有公共点，由A 、B 两点的坐标可得线段AB 的方程为，，则方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+12222x y a y x ，消去y 得：，即31)32(231223222++=++=x x x a ， ∵，∴，∵，∴，∴当椭圆与线段AB 无公共点时，实数a 的取值范围为．【题后反思】在探讨某一问题的解决办法时，如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难，则应从反面的方向去探索．6. 数与形的转化数形结合，实质上是将抽象的语言与直观图形结合起来，以便化抽象为直观，达到化难为易，化简为繁的目的．例6、已知是定义在上的奇函数，且在区间上是增函数，若，解不等式．【解析】由在上为增函数，且是定义域上的奇函数，∴在上也是增函数．∵，∴，∴或，由函数的单调性知：或， ∴原不等式的解集为：}101|{a x a x x <<<<或 【题后反思】由已知，是定义在上的奇函数，且在区间上是增函数，由，则可得的大致图像如下图，可知7．自变量与函数值的转化函数单调性的定义明确体现了函数自变量的不等式关系与函数值间不等关系相互转化的思想，理解它们之间的相互转化关系，有利于灵活运用函数的单调性解题．例7、设是定义在上的增函数，且对于定义域内任意x 、y ，都有，求使不等式成立的x 的取值范围．【解析】∵的定义域是，∴，即，由于，得])3[()3()(x x f x f x f ⋅-=-+，由，得)4()2()2(112f f f =+=+=，∴由题设条件得： ，∵是定义在上的增函数，∴，解之得：，又，∴适合题意的x 的取值范围为[3，4]．【题后反思】这类抽象函数求解是初学者较难掌握的，解题的关键需实现三种转化：①将函数值间的不等关系转化为自变量的不等关系；②根据函数的单调性意义又能比较两个值的大小，因此需将，根据等价转化为；③需将②转化为某自变量的函数值，从而建立关于x 的不等关系，求出x 的取值范围．8. 类比归纳类比是将式子结构、运算法则、解题方法、问题结论等式引申或推广，或迁移，由已知探索未知，由旧知识探索新知识的一种研究问题的方法；归纳是从个别特殊事例，若干特殊现象递推出同一类事物的一般性结论，总结出同一种现象的一般规律的一种思考问题的方法，这两种推理方法可有效地锻炼考生的创造性思维能力，培养考生的创新精神和创造力．因为这类创新题的思维含量高、知识覆盖面广、综合性强，所以它们在高考中频繁亮相，已成为高考中的又一个热点．例8、如下图所示，定义在D 上的函数，如果满足：对任意，存在常数A ，都有成立，则称函数在D 上有下界，其中A 称为函数的下界（提示：下图①②中的常数A 、B 可以是正数，也可以是负数或零．）（Ⅰ）试判断函数在上是否有下界？并说明理由；（Ⅱ）具有图②所示特征的函数称为在D 上有上界，请你类比函数有下界 ① ②的定义，给出函数在D 上有上界的定义，并判断（Ⅰ）中的函数在上是否有上界，并说明理由．【解析】∵，由，得，∵，∴x=2,∵当0<x<2时，，∴函数在（0，2）上是减函数；当x>2时，，∴函数在（2，）上是增函数；∴x=2是函数在区间（0，）上的最小值点，，于是，对任意，都有，即在区间（0，）是存在常数A=32，使得对任意，都有成立，所以，函数在上有下界．（Ⅱ）类比函数有下界的定义，函数有上界可以给出这样的定义：定义在D 上的函数，如果满足：对任意，存在常B ，都有成立，则称函数在D 上有上界，其中B 称为函数的上界．设x<0，则-x>0，则（Ⅰ）知，对任意，都有，∴，∵函数为奇函数，∴，∴，即，即存在常数B=-32，对任意，都有，所以，函数在上有上界．【题后反思】本题以高等数学中的函数有界性为命题素材，先给出一个定义，研究问题的结论，然后提出类比的方向，这是一种直接类比的情境题．数学中有许多能够产生类比的知识点，如等差数列与等比数列的内容有着非常和谐的“同构”现象，立体几何中的很多结论和方法都可以从平面几何中产生“灵感”进行迁移，我们复习时要注意研究知识间的纵横联系，把握知识间的内在规律，通过知识间的对比和类比，可以更好地掌握知识，提高解题能力．【模拟演练】（1）已知函数（Ⅰ）若，求x 的值；（Ⅱ）若对于恒成立，求实数m 的取值范围．（2）设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，曲线通过点（0，2a+3）且在点（-1，）处的切线垂直于x 轴．用a 分别表示b 和c ；（Ⅱ）当bc 取得最小值时，求函数的单调区间．（3）在直角坐标系xOy 中，点P 到两点（），（）的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线与C 交于A 、B 两点，（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）若，求k 的值；（Ⅲ）若点A 在第一象限，证明：当k>0时，恒有．（4）已知函数， )(cos sin )(sin cos )(x xf x xf x g +=，，（Ⅰ）将函数化简成))2,0[,0,0()sin(πϕωϕω∈>>++A B x A 的形式；（Ⅱ）求函数的值域．（5）已知曲线C 1：所围成的封闭图形的面积为，曲线C 1的内切圆半径为，记C 2为以曲线C 1与坐标轴的交点为顶点的椭圆，（Ⅰ）求椭圆C 2的标准方程；（Ⅱ）设AB 是过椭圆C 2中心的任意弦，是线段AB 的垂直平分线，M 是上异于椭圆中心的点，①若（O 为坐标原点），当点A 在椭圆C 2上运动时，求点M 的轨迹方程；②若M 是与椭圆C 2的交点，求面积的最小值．（6）已知元素为实数的集合S 满足下列条件：①；②若，则．若非空集合S 为有限集，则你对集合S 的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测．（7）已知椭圆的右准线与x 轴相交于点P ，右焦点F 到上顶点的距离为，点C(m,0)是线段OF 上的一个动点，（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线，其与椭圆交于A 、B 两点，且使得？亲说明理由．（8）设函数，函数，，其中a 为常数且，令函数为函数和的积函数．（Ⅰ）求函数的表达式，并求其定义域；（Ⅱ）当时，求函数的值域；（Ⅲ）是否存在自然数a ，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a 所构成的集合，若不存在，试说明理由．（9）已知函数，当点在的图像上移动时，点在孙函数的图像上移动．（Ⅰ）若点P 坐标为（1，-1），点Q 也在的图像上，求t 的值；（Ⅱ）求函数的解析式；（Ⅲ）当时，试探索一个函数，使得在限定域内为时有最小值而没有最大值．（10）矩形钢板的边长分别为，现要将它剪焊成正四棱柱或正四棱锥，并使其底面边长为矩形边长的一半，表面积为ab ，试比较得到所制作的正四棱柱与正四棱锥中哪一个体积最大，哪一个体积最小，并说明你的结论．答案：1．（1）；（2）2．（1）c=2a+3，b=2a ；（2）的单调减区间为，单调增区间为（-2，2）；3．（1），（2），（3）略；4．（1），（2）的值域为；5．（1），（2）①，②．6. S 的元素的个数为3的倍数；7. （Ⅰ）；（Ⅱ）当时，，即存在这样的直线；当时，k 不存在，即不存在这样的直线． 8， （Ⅰ）)0](,0[,31)(>∈++=a a x x x x f ； （Ⅱ）；（Ⅲ），且．9. （Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）当时，有最小值0，但没有最大值．10．如下图：图1易证：42314321V V V V V V V V <<>>，，，，即最大，最小．.精品资料。

2021年高考数学复习圆锥曲线方程专题教案【考点审视】1．考点分析：圆锥曲线是平面几何的核心内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中占总分的15%左右。

综观近年来的高考试题，一是圆锥曲线在高考试题中所占的比重大，题型、题量、难度保持相对稳定，且选择题、填空题、解答题均涉及；二是难度所占比重大，解答题多次在“压轴题”中出现，集中体现对同学们综合知识和灵活应变能力的考查。

估计xx年高考中，对圆锥曲线的考查仍将保持稳定。

圆锥曲线的概念和性质，求曲线方程或点的轨迹，直线与圆锥曲线的关系，两圆锥曲线的关系，定值、最值问题仍将是主要考查内容。

特别注意解析几何与向量、三角、代数结合的学科内综合性的问题。

2．考试要求：⑴掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；⑵掌握双曲线的定义，标准方程和双曲线的简单几何性质；⑶掌握抛物线的定义，标准方程和抛物线的简单几何性质；⑷了解圆锥曲线的一些实际应用，了解用坐标研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法。

【疑难点拔】1．要点归纳：⑴圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质。

⑵直线和圆锥曲线的位置关系，常用联立方程组、判别式来判断，特别当直线与圆锥曲线有两个相异的公共点时，则此直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。

注意弦长公式。

⑶关于圆锥曲线的中点弦问题，常用点差法，或联立方程组解决。

⑷轨迹问题①常用方法有：直接法；待定系数法；定义法；转移法；参数法。

②区别是“求轨迹”还是“求轨迹方程”，若是“求轨迹”，求出方程后，还应指出方程所表示的曲线类型。

③要注意轨迹的范围问题。

⑸圆锥曲线的最值问题：解法一般分为两种，一是几何法，特别是圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来处理；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用重要不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等来求解。

2．错题分析例1． 设F 1、F 2是双曲线的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离。

2023高考数学2卷圆锥曲线题多种解法近年来，高考数学2卷中的圆锥曲线题目备受考生和教师关注。

圆锥曲线是数学中重要的概念，其在几何、代数和应用数学中都有着广泛的应用。

掌握圆锥曲线的相关知识和多种解题方法是提高学生数学成绩的关键之一。

本文将针对2023年高考数学2卷的圆锥曲线题目，围绕不同的解题方法展开讨论，帮助考生深入理解、掌握相关知识，并提高解题的灵活性和准确性。

一、圆锥曲线的基本概念1.1 圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面上一类重要的几何曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

它们都可以由一个圆锥面与一个平面交线而成。

在坐标系中，圆锥曲线可以通过方程表示，分别为：圆：x^2 + y^2 = r^2椭圆：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1双曲线：(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1抛物线：y^2 = 2px1.2 圆锥曲线的性质圆锥曲线具有多种性质，例如椭圆的焦点性质、双曲线的渐近线性质、抛物线的焦点和准线性质等。

掌握这些性质有助于理解圆锥曲线的特点和解题方法。

二、2023年高考数学2卷圆锥曲线题目分析2.1 题目类型和难度2023年高考数学2卷的圆锥曲线题目主要涉及圆、椭圆和双曲线，涵盖了曲线方程、焦点、离心率、渐近线等知识点。

题目难度适中，但需要考生对相关知识有基本的掌握和灵活运用能力。

2.2 典型题目解析（1）椭圆的离心率问题题目描述：已知椭圆的长轴为6，短轴为4，求椭圆的离心率。

解析：根据椭圆的定义和离心率的计算公式，可求得椭圆的离心率为e=√(1 - (b^2/a^2))，带入长短轴的值计算即可得到答案。

（2）双曲线渐近线问题题目描述：已知双曲线的方程为y^2/9 - x^2/16 = 1，求双曲线的渐近线方程。

解析：通过判别式Δ=b^2-a^2来判断双曲线的类型，进而求得渐近线的斜率和方程。

三、圆锥曲线题目的多种解题方法3.1 几何分析法通过几何分析曲线的特点和性质，可以直观地求解题目。

2022年高考数学圆锥曲线复习方法高三复习过程中，速度快、容量大、方法多，特别是基础不好的同学，会有听了没办法记，记了来不及听的无所适从现象，但是做好笔记又是不容忽视的重要环节，那就应该记关键思路和结论，不要面面俱到，课后整理笔记，因为这也是再学习的过程。

再谈做题。

做题大家都认为是高三复习的主旋律，其实不是的。

不论对于哪种层次的学生，看题思考才是复习数学的主旋律。

看题主要是看你不会做的题，做错的题，尤其是卡住你的那一个步骤。

为什么答案中这道题这个步骤这么写，为什么用这个公式。

这个公式是从那几个条件确立的，它的出现时为了解决什么问题。

这是思考方向。

很多同学都有这个问题，题目不会做，往往就是一步卡死，只要这一步解决了，后面都会。

这就是因为没有找到应用的要点。

其实数学题目并不难，所给的条件都能够利用，得出一个有用的结论，这个结论是我们所要用来解决问题的关键，这就是数学解题的形式。

前一天晚上，一个同学问我为什么题目不会做，特别是数列问题。

这里我就举数列的问题，来说明如何解题和如何看题。

三、合理有效的针对性练习练习应具有针对性、同步性，如果见题就做常常起不到巩固作用，效益低、效果差;还要学会限时完成，才能提高效率，增强紧迫感，不至于形成拖拉作风;正确对待难题，即使做不出，也应该明确此刻的收获不一定小，因为实质上已经巩固了相关知识与方法，达到了一定的目的，不能因此影响信心。

遇到困难问题，应先自己思考，实在没有头绪要及时向同学或老师请教，防止问题积累，降低学习热情。

四、数学思维的培养平时教学中，好多同学都是一听就懂，一看就会，但是一做就错。

什么原因呢?这是因为没有达到应有的思维层次。

由于学习有三个能力层次：一是“懂”，只要教师讲解清楚，问题选取适当，同学认真投入，一般没有问题，这是思维的较低层次;二是“会”，也就是在懂的基础上能够模仿，需要在适量的练习中得以体现，相对来说思维上了一个台阶;三是“悟”，要悟出解决问题的道理，能够总结出解题的规律，并且能够灵活应用它解决其他问题，从本质上把握解决问题的思维方法，这是思维的高层次，也是我们追求的目标。