数学分析习题答案(陈纪修第二版)
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第6章 不定积分6.1 复习笔记一、不定积分的概念和运算法则1.微分的逆运算——不定积分(1)原函数若在某个区间上,函数F (x )和f (x )成立关系F'(x )=f (x ),则称函数F (x )是f (x )的一个原函数。
(2)不定积分一个函数f (x )的原函数全体称为这个函数的不定积分,记作这里,“”称为积分号,f (x )称为被积函数,x 称为积分变量。
2.不定积分的线性性质若函数f (x )和g (x )的原函数都存在,则对任意常数k 1和k 2,函数k 1f(x )+k 2g (x)的原函数也存在,且有二、换元积分法和分部积分法1.换元积分法(1)在不定积分中,用u=g (x )对原式作变量代换,这时相应地有du=g'(x )dx ,于是,这个方法称为第一类换元积分法,也被俗称为“凑微分法”。
(2)找到一个适当的变量代换x=φ(t )(要求x=φ(t )的反函数t=φ-1(x )存在),将原式化为这个方法称为第二类换元积分法。
2.分部积分法对任意两个可微的函数u (x )、v (x ),成立关系式d[u (x )v (x )]=v (x )d[u (x )]+u(x)d[v (x )],两边同时求不定积分并移项,就有也即这就是分部积分公式。
三、有理函数的不定积分及其应用1.有理函数的不定积分(1)形如的函数称为有理函数,这里和分别是m 次和n 次多项式,n,m 为非负整数。
若m>n ,则称它为真分式;若m≤n,则称它为假分式。
(2)设有理函数是真分式,多项式有k 重实根α即则存在实数λ与多项的次数低于的次数,成立(3)设有理函数是真分式,多项式有l 重共轭复根,即其中则实数和多项式的次数低的次数,成立2.可化成有理函数不定积分的情况(1)类的不定积分。
这里R (u ,v )表示两个变量μ、υ的有理函数(即分子和分母都是关于u ,v的二元多项式)。
对作变量代换,则。
陈纪修《数学分析》(第2版)配套模拟试题及详解一、判断题(3分×4=12分)1.两个周期函数的和一定是周期函数.()【答案】×【解析】可举反例如:令F(x)=f(x)+g(x),则f(x)周期为2π,g(x)周期为有理数.可以证明F(x)不是周期函数,用反证法,设F(x)有周期T(>0).若T=r为有理数,则F(0)=1,而,故F(0)≠F(0+r),矛盾.若T为无理数.则由可得再由也得矛盾.2.若函数f(x,y)在点(x,Y0)处的方向导数存在,则函数在该点一定可微.()【答案】×3.收敛.()【答案】√【解析】因为由柯西判别法的极限形式可知瑕积分收敛.4.拉格朗日中值定理的“中值”是指f(x)在[a,b]上的函数值的平均值.()【答案】×二、填空题(3分×4=12分)1.由方程所确定的隐函数,在点处的全微分______.【答案】2.向量函数,f在一点a连续的充要条件是:f的每个分量函数______连续。
【答案】都在点a3.若则,f(z)=____.【答案】4.若是某二元函数的全微分,则m= .【答案】1三、选择题(7×3分=21分)1.若是xOy平面上方的抛物线且,则曲面积分的物理意义为().A.表示面密度为1的曲面的质量B.表示面密度为1的曲面对z轴的转动惯量C.表示面密度为的曲面对z轴的转动惯量D.表示体密度为1的流体过曲面指定侧的流量【答案】B2.若f(x)在x0的某邻域内有三阶导数,且导数连续,则().A.f(x)在x0没有极值B.当f'''(x0)≠0时,f(x)在x0取到极值C.当f'''(x0)≠0时,f(x)在x0没有极值D.当f'''(x0)=0时,f(x)在x0没有极值【答案】C3.A.B.C.D.以上都不对【答案】B4.设函数处不连续,则f(x,y)在该点处().A.必无定义B.极限必不存在C.偏导数必不存在D.全微分必不存在【答案】D5.设,g(x)=2x,在x→0时().A.f(x)=O(g(x))B.f(x)=O(g(x))C.f(x)~g(x)D.无法比较【答案】B6.若f(x)在[a,b]上连续且既有极大值又有极小值,则().A.极大值一定是最大值B.极小值一定是最小值C.极大(小)值不一定是最大(小)值D.极大值一定比极小值大【答案】C7.设为在第一卦限中的部分,则有().A.B.C.D.【答案】C四、解答题(共105分)1.(15分)设证明:在[0,1]上一致收敛.证明:由可求得从而由于,关于n单调,又、x在[0,1]上连续,故由Dini定理知在[0,1]上一致收敛.2.(15分)求由曲面所围的均匀物体的重心坐标.解:物体的质量为重心的横坐标为同理可求得而于是,重心坐标为3.(15分)设函数f(x)在x=0连续,并目求证:存存,并且证明:于是,有。
数学分析第二版答案LtD数学分析第二版答案【篇一:?数学分析?第三版全册课后答案(1)】class=txt>------------------------------------------------- 密---------------------------------- 封----------------------------- 线---------------------------------------------------------第页(共)------------------------------------------------- 密---------------------------------- 封----------------------------- 线---------------------------------------------------------【篇二:复旦大学数学分析课后习题解陈纪修】> 4.〔1〕?x|?2?x?3?;〔2〕?(x,y)|x?0且y?0?;〔3〕?x|0?x?1且x?q?;〔4〕?x|x?k2,k?z?.?7.〔1〕不正确。
x?a?b?x?a或者x?b;〔2〕不正确。
x?a?b?x?a并且x?b.第2节2.〔1〕f:[a,b]?[0,1] x?y?x?ab?a.〔2〕f:(0,1)?(??,??) x?tan[x(?12)?]3.〔1〕y?log2a(x?3),定义域:,?33,,值域:(??,??);〔2〕y?arcsin3x,定义域:,0?,值域:???0,??;2??〔3〕y?tanx,定义域:k?k?z?2,k2?,值域:??0,;〔4〕y?x?1x?1,定义域:,?11,,值域:?0,11,. 5.〔1〕定义域:??2k?,(2k?1)??,值域:,0?;k?z〔2〕定义域:?2k??,2k,值域:?0,1?;k?z?22?1〔3〕定义域:??4,1?,值域:0,;?25??32 〔4〕定义域:,00,,值域:?,???2??. ??7.〔1〕f(x)?2x3?21x2?77x?97;〔2〕f(x)?2x?14x?1。
第16章Fourier级数一、判断题存在实数,,使得.()[华东师范大学2009研]【答案】对【解析】可选取周期为的连续可微函数,且当时,;时,,取,,为的Fourier系数,则有,.结论得证.二、解答题1.将函数展开为余弦级数.[华中科技大学2008研]解:对作偶式周期延拓,则的傅里叶系数为:,,即,(),所以.2.(1)试讨论级数关于0≤x≤1是否一致收敛;(2)设函数f的周期为2π,且,试利用f的Fourier展开计算的和数.[复旦大学研]解:(1),取,则故关于0≤x≤1不一致收敛.(2)Fourier系数由于f(x)在(0,2π)上连续,由收敛定理知对,有在端点x=0和x=2π处,其傅里叶级数收敛于令x=2π,有故3.把函数展开成Fourier(傅立叶)级数.[中山大学研]解:将f(x)延拓成以2π为周期的按段光滑函数.故f(x)的Fourier级数为由收敛定理知它收敛于4.设在上黎曼可积,证明:的傅里叶展开式有相同系数的充要条件是[北京大学2007研]证明:此处只需证明的情况(对于一般的情况只是区间的平移和拉伸).都为0,,5.在[0,π]上展开f(x)=x+cosx为余弦级数.[华中科技大学研]解:将f(x)= x+cosx延拓为[-π,π]上的偶函数.则由收敛定理,对在点x=π处,其傅里叶级数收敛于6.设f(x)为以为周期且在[-π,π]上可积的函数,和为f(x)的傅里叶系数.(1)试求f(x+h)的傅里叶系数,(其中h为常数);(2)令,求函数F(x)的傅里叶系数,并利用所得结果证明巴塞瓦(Parseval)等式:[哈尔滨工业大学研]解:(1)设f(x+h)的傅里叶系数为和即同理(2)设F(x)的傅里叶系数为,易知F(x)是以2π为周期的函数.因为f(x)连续,所以由含参变量积分性质知,F(x)是连续函数,又故F(x)是[-π,π]上的偶函数,从而F(x)的傅里叶系数另外,根据含参变量积分的积分顺序可交换定理,令x+t =u可得由F(x)的连续性和收敛定理得或取x=0,则得Parseval等式7.将函数展成级数,并求的和.[苏州大学2005研]解:根据题意,f(x)在上是奇函数因此。