数学分析试题及答案解析

WORD 格式整理2014 ---2015 学年度第二学期 《数学分析 2》A 试卷学院 班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七八总分核分人得分一. 判断题（每小题 3 分，共 21 分）( 正确者后面括号内打对勾，否则打叉 )1.若 f x 在 a,b 连续，则 f x 在 a,b 上的不定积分 f x dx 可表为x af t dt C （ ）.2. 若 f x ,g x 为连续函数，则 f x g x dx f x dx g x dx （ ）.3. 若f x dx 绝对收敛，g x dx 条件收敛，则 [ f x g x ]dx 必aaa然条件收敛（）.4. 若f x dx 收敛，则必有级数f n 收敛（ ） 1n 15. 若 f n 与 g n 均在区间 I 上内闭一致收敛，则 f ng n 也在区间 I上内闭一致收敛（）.6. 若数项级数a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散 n n 1于正无穷大（ ）.7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数， 并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）.专业资料值得拥有WORD 格式整理二. 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）8.若 f x 在 a,b 上可积，则下限函数axf x dx 在 a,b 上（）A.不连续B. 连续C. 可微D. 不能确定9.若g x 在 a,b 上可积，而f x 在 a,b 上仅有有限个点处与g x 不相等，则（）A. f x 在 a,b 上一定不可积；B. f x 在 a,b 上一定可积, 但是babf x dxg x dx；aC. f x 在 a,b 上一定可积，并且babf x dxg x dx；aD. f x 在 a,b 上的可积性不能确定 .10.级数n1 1 12nn 1nA. 发散B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 不确定11.设u n 为任一项级数，则下列说法正确的是（）uA. 若lim u n 0 ，则级数nn一定收敛；un 1B. 若lim 1，则级数u n 一定收敛；n unun 1C. 若N,当n N时有，1，则级数u n 一定收敛；un专业资料值得拥有WORD 格式整理u n 1D. 若 N,当nN 时有， 1，则级数u n 一定发散；u n12. 关于幂级数na n x 的说法正确的是（）A. na n x 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. na n x 在收敛域上各点是绝对收敛的；C. na n x 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；D.na n x 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三. 计算与求值（每小题 5 分，共 10分）1 1.lim nnnn 1 n 2nn专业资料值得拥有WORD 格式整理ln sin x13.dx2cos x四. 判断敛散性（每小题 5 分，共 15 分）3 x 12.dx0 1 2x x专业资料值得拥有14.n1 n! n n15.n 1nn1 2nn 1 2专业资料值得拥有五. 判别在数集D上的一致收敛性（每小题 5 分，共 10 分）sin nx16.f n , 1,2 , ,x n Dn专业资料值得拥有WORD 格式整理2n17. D , 2 2,nx六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面30 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。

习 题 12.5 偏导数在几何中的应用1． 求下列曲线在指定点处的切线与法平面方程：（1）⎪⎩⎪⎨⎧+==.1,2x x z x y 在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点； （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=.2sin 4,cos 1,sin tz t y t t x 在2π=t 的点；（3）⎩⎨⎧=++=++.6,0222z y x z y x 在)1,2,1(-点；（4）⎩⎨⎧=+=+.,222222R z x R y x 在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R 点。

解 （1）曲线的切向量函数为21(1,2,)(1)x x +，在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点的切向量为1(1,2,)4。

于是曲线在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点的切线方程为)12(41)1(2-=-=-z y x ，法平面方程为252168=++z y x 。

（2）曲线的切向量函数为(1cos ,sin ,2cos )2tt t -，在2π=t 对应点的切向量为。

于是曲线在2π=t 对应点的切线方程为222112-=-=+-z y x π， 法平面方程为(1)(1)2x y z π-++-+-=402x y π++--=。

（3）曲线的切向量函数为2(,,)y z z x x y ---，在)1,2,1(-点的切向量为(6,0,6)-。

于是曲线在)1,2,1(-点的切线方程为⎩⎨⎧-==+22y z x ， 法平面方程为z x =。

（4）曲线的切向量函数为4(,,)yz xz xy --，在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R 点的切向量为22(1,1,1)R --。

于是曲线在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R点的切线方程为222R z R y R x +-=+-=-，法平面方程为022=+--R z y x 。

2.在曲线32,,t z t y t x ===上求一点，使曲线在这一点的切线与平面102=++z y x 平行。

解 曲线的切向量为2(1,2,3)t t ，平面的法向量为(1,2,1)，由题设，22(1,2,3)(1,2,1)1430t t t t ⋅=++=，由此解出1t =-或13-，于是)1,1,1(-- 和 )271,91,31(--为满足题目要求的点。

数学分析考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是有界函数？A. f(x) = sin(x)B. f(x) = e^xC. f(x) = x^2D. f(x) = 1/x2. 函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数3. 如果函数f(x)在点x=a处连续，那么：A. f(a)存在B. f(a) = 0C. lim(x->a) f(x) = f(a)D. lim(x->a) f(x) 不存在4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/35. 函数序列fn(x) = x^n在[0, 1]上一致收敛的n的取值范围是：A. n = 1B. n > 1C. n < 1D. n = 26. 级数∑(1/n^2)是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 无界序列7. 如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么：A. f(x)在[a, b]上连续B. f(x)在[a, b]上一定有界C. f(x)在[a, b]上单调递增D. f(x)在[a, b]上无界8. 函数f(x) = |x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导9. 微分方程dy/dx + y = 0的通解是：A. y = Ce^(-x)B. y = Ce^xC. y = Csin(x)D. y = Ccos(x)10. 函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式是：A. f(x) = 1 + x + ...B. f(x) = x + ...C. f(x) = 1 + x^2 + ...D. f(x) = 1 + x^3 + ...二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x->0) (sin(x)/x) 的值是 _______。

12. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的拐点是 _______。

考研数学分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b) = 0，若f(x)在区间(a, b)内至少有一个最大值点，则下列说法正确的是（）。

A. f(x)在[a, b]上必有最大值B. f(x)在[a, b]上必有最小值C. 函数f(x)在[a, b]上单调递增D. 函数f(x)在[a, b]上单调递减2. 下列级数中，发散的是（）。

A. ∑(-1)^n / nB. ∑1/n^2C. ∑(1/n - 1/(n+1))D. ∑sin(n)3. 已知函数F(x)在点x=c处可导，且F'(c)≠0，那么下列说法中正确的是（）。

A. F(x)在x=c处连续B. 函数F(x)在x=c处一定取得最大值或最小值C. 可导性不能保证函数的连续性D. F(x)在x=c处取得极值4. 对于函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5，其在区间[1, 5]上的最大值是（）。

A. 5B. 10C. 15D. 205. 设f(x)在[a, b]上可积，若∫[a, b] f(x) dx = 10，则下列说法中错误的是（）。

A. f(x)在[a, b]上非负B. 存在x₀∈[a, b]，使得f(x₀) > 0C. 存在x₀∈[a, b]，使得f(x₀) = 10/b - aD. f(x)可以是负函数6. 函数f(x) = e^x / (1 + e^x)的值域是（）。

A. (-∞, 0)B. (0, 1/2)C. (0, 1)D. (1/2, +∞)7. 下列选项中，不是有界函数的是（）。

A. y = sin xB. y = e^xC. y = x^2D. y = 1/x8. 设函数f(x)在点x=1处可导，且f'(1) = 2，那么f(1 + h) - f(1)在h趋近于0时的表达式是（）。

A. 2hB. 2h + o(h)C. h^2D. o(h)9. 对于函数f(x) = x^2，其在区间[-1, 1]上满足拉格朗日中值定理的条件，且存在ξ∈(-1, 1)，使得（）。

数学分析习题精选精解数学分析是数学中的一个重要分支，其核心内容是函数论和微积分学。

在学习数学分析的过程中，习题的练习是不可或缺的一环。

通过多做习题，巩固知识点、提高解题能力和思维能力，进而提高数学水平。

下面我们选取一些经典的数学分析习题，进行精选精解。

一、极限【例1】设$\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n}}=a$，求$a$的值。

【解】这是一个简单的极限问题，我们采用夹逼法求解。

显然有$\sqrt[n]{n-1}<\sqrt[n]{n}<\sqrt[n]{n+1}$。

那么$\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n-1}}=\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n+1}}=1$。

因此，$\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n}}=1$。

二、导数与微分【例2】已知$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x-a},x\geqa\\0,x<a\end{cases}$，求$f'(a)$和$f''(a)$。

【解】首先，我们求$f'(x)$。

当$x\geq a$时，$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-a}}$。

当$x<a$时，$f'(x)=0$。

因此，$f'(a)=\lim\limits_{x\to a}{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}=\lim\limits_{x\to a}{\dfrac{\sqrt{x-a}}{x-a}}=\lim\limits_{x\to 0}{\dfrac{\sqrt{x}}{x}}=+\infty$。

再求$f''(x)$。

当$x\geq a$时，$f''(x)=\dfrac{-1}{4(x-a)^{\frac{3}{2}}}$。

习 题 12.5 偏导数在几何中的应用1． 求下列曲线在指定点处的切线与法平面方程：（1）⎪⎩⎪⎨⎧+==.1,2x x z x y 在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点； （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=.2sin 4,cos 1,sin tz t y t t x 在2π=t 的点；（3）⎩⎨⎧=++=++.6,0222z y x z y x 在)1,2,1(-点；（4）⎩⎨⎧=+=+.,222222R z x R y x 在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R 点。

解 （1）曲线的切向量函数为21(1,2,)(1)x x +，在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点的切向量为1(1,2,)4。

于是曲线在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点的切线方程为)12(41)1(2-=-=-z y x ，法平面方程为252168=++z y x 。

（2）曲线的切向量函数为(1cos ,sin ,2cos )2tt t -，在2π=t 对应点的切向量为。

于是曲线在2π=t 对应点的切线方程为222112-=-=+-z y x π， 法平面方程为(1)(1)2x y z π-++-+-=402x y π++--=。

（3）曲线的切向量函数为2(,,)y z z x x y ---，在)1,2,1(-点的切向量为(6,0,6)-。

于是曲线在)1,2,1(-点的切线方程为⎩⎨⎧-==+22y z x ， 法平面方程为z x =。

（4）曲线的切向量函数为4(,,)yz xz xy --，在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R 点的切向量为22(1,1,1)R --。

于是曲线在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R点的切线方程为222R z R y R x +-=+-=-，法平面方程为022=+--R z y x 。

2.在曲线32,,t z t y t x ===上求一点，使曲线在这一点的切线与平面102=++z y x 平行。

解 曲线的切向量为2(1,2,3)t t ，平面的法向量为(1,2,1)，由题设，22(1,2,3)(1,2,1)1430t t t t ⋅=++=，由此解出1t =-或13-，于是)1,1,1(-- 和 )271,91,31(--为满足题目要求的点。

数学分析复习题及答案一.单项选择题1. 已知, 则=（）A. B. C. D.2. 设, 则（）A. B. C. D.3. （）A. B. C. D.4. 下列函数在内单调增加的是（）A. B. C. D.二、填空题1. 设函数2.3．在处连续, 则三、判断题1. 若函数在区间上连续, 则在上一致连续。

（）2. 实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点。

（）3．设为定义在上的单调有界函数, 则右极限存在。

（）四、名词解释1. 用的语言叙述函数极限的定义2. 用的语言叙述数列极限的定义五、计算题1. 根据第四题第1小题证明2. 根据第四题第2小题证明3. 设, 求证存在, 并求其值。

4．证明：在上一致连续, 但在上不一致连续。

5. 证明: 若存在, 则6. 证明: 若函数在连续, 则与也在连续, 问: 若在或在上连续, 那么在上是否必连续。

一、1.D 2.C 3.B 4.C二、1. 2. 3.三、1.× 2.√ 3.√四、1.函数极限定义: 设函数在点的某个空心邻域内有定义, 为定数。

, , 当时, , 则。

2.数列极限定义：设为数列, 为定数, , , 当时, 有, 则称数列收敛于。

五、1.证明:, , 当时, ；得证。

2.证明:令, 则, 此时, ,, , 当时,3.证明：⑴，⑵)1)(1(1111111----+++-=+-+=-n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x 而, 由数学归纳法可知, 单调增加。

综合⑴, ⑵可知存在,设, 则由解得=A 215+（负数舍去）4.证明: 先证在上一致连续。

, 取, 则当且有时, 有 []δ•''+'≤''-'''+'=''-'x x x x x x x f x f ))(()()(εε<+⋅++≤)(2)1(2b a b a故2)(x x f =在[]b a ,上一致连续。

华东师大数学分析答案完整版一、填空题1. 极限的定义是当自变量趋近于某个值时，函数的值趋近于另一个确定的值。

2. 函数在某一点连续的充分必要条件是左极限、右极限和函数值在该点相等。

3. 无穷小量与无穷大量的关系是无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量的倒数是无穷小量。

4. 函数的导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

5. 微分表示函数在某一点的微小变化量。

6. 函数的积分表示函数在某个区间上的累积变化量。

7. 变限积分的导数是原函数的导数。

8. 无穷级数的收敛性可以通过比较判别法、比值判别法等方法进行判断。

9. 函数的泰勒级数表示函数在某一点的幂级数展开。

10. 傅里叶级数表示周期函数的三角级数展开。

二、选择题1. 下列函数中，连续的是（A）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = 1/xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = |x|2. 下列极限中，存在的是（B）。

A. lim(x→0) 1/xB. lim(x→∞) x^2C. lim(x→0) sin(x)/xD. lim(x→∞) e^(x)3. 下列函数中，可导的是（A）。

A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(1/x)D. f(x) = x^(1/3)4. 下列积分中，收敛的是（C）。

A. ∫(1/x) dxB. ∫(1/x^2) dxC. ∫(e^(x)) dxD. ∫(1/x^3) dx5. 下列级数中，收敛的是（B）。

A. ∑(1/n)B. ∑(1/n^2)C. ∑(1/n^3)D. ∑(1/n^4)三、解答题1. 求函数 f(x) = x^3 3x + 2 在 x = 1 处的导数。

解答：f'(x) = 3x^2 3，代入 x = 1，得 f'(1) = 0。

2. 求不定积分∫(e^x) dx。

解答：∫(e^x) dx = e^x + C，其中 C 为任意常数。

数学分析期末试题A答案doc2024年数学分析期末试题A及答案一、选择题1、以下哪个函数在 x = 0 处连续？ A. $f(x) = x^2$ B. $f(x) = \frac{1}{x}$ C. $f(x) = sin x$ D. $f(x) = e^x$ 答案：D解析：在 x = 0 处，只有选项 D 中的函数 e^x 是连续的。

因此，答案为 D。

2、设 $f(x) = x^2$，则 $f(3x - 2) =$ __________。

A. $x^2$ B. $(3x - 2)^2$ C. $(3x - 2)^3$ D. $(3x - 2)^2 + 1$ 答案：B解析：将 $x$ 替换为 $3x - 2$，得 $f(3x - 2) = (3x - 2)^2$。

因此，答案为 B。

3、下列等式中，错误的是： A. $\int_{0}^{1}x^2dx =\frac{1}{3}x^3|{0}^{1}$ B. $\int{0}^{\pi}\sin xdx = \cosx|{0}^{\pi}$ C. $\int{0}^{2\pi}\sin xdx = 0$ D.$\int_{0}^{1}(2x + 1)dx = (x^2 + x)|_{0}^{1}$ 答案：A解析：等式两边取极限，只有 A 选项等式两边不相等，因此 A 选项是错误的。

4、下列哪个导数是常数函数？ A. $y = x^3$ B. $y = \sin x$ C. $y = e^x$ D. $y = log_a(x)$ 答案：C解析：常数函数的导数为零。

在选项中，只有 C 中的函数 e^x 的导数为常数函数，其导数为 $e^x$。

因此，答案为 C。

高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试是一次重要的学业水平测试，旨在考察学生在本学期学习生物课程的效果。

以下是本次考试的部分试题及其答案，供大家参考。

一、选择题1、下列哪一种生物不是由细胞构成的？ A. 细菌 B. 植物 C. 动物D. 病毒答案：D2、哪一个器官属于消化系统？ A. 口腔 B. 食道 C. 胃 D. 大肠答案：C3、在光合作用中，哪一个物质是植物从空气中吸收的？ A. 氧气 B. 二氧化碳 C. 葡萄糖 D. 水答案：B二、填空题1、病毒是一种生物，但它不能 _______ 和保持生命活动，必须_______ 在细胞内。

考试科目： 数学分析(I)一 、求极限、导数或高阶导数(每小题5分，共35分)1.n lim →∞⎛⎫++……解：n n n 11(1)(1)lim lim n n n n →∞++⎛⎫≤+≤……，故原式1=2.2.()222n x x x n x x x x 2x 2lim =lim =lim =lim =022ln 22ln 22n →∞→∞→∞→∞. 3.()42220011-cos 12lim =lim =sin ln 1+2x x xx x x x x x x →→•.4. 11limarcsin()1ln x x x x→--解：111limarcsin()arcsin 1ln 26x x x x π→-==-. 5.设(0)xxy x x =>,求y '.1(ln (ln 1))xx x x y x x x x x -'=++.6. 设函数)(x y y =是由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 确定，求2t dydxπ=和t dy dxπ=。

21t dy dxπ==.7. 设函数f 二阶可导，1()1x y f x -=+，22d y dx解：221()(1)1dy x f dx x x -'=++， 22344141()()(1)1(1)1d y x x f f dx x x x x --'''=-+++++.二、解答题（每小题8分，共32分）1. 已知001a <<，)n+1a n 0≥，求证n a 的极限存在并求其极限.解: 易知{}n a 单调增有上界1，故由单调收敛定理及n+1n n lim a =→∞知n n lima =1.→∞2. 讨论函数()211sin x x f x e x-=的间断点及其类型. 解: 0x =为可去间断点，=1x ±为第二类间断点.3. 求函数()(4)f x x =-的极值点与极值。

数学分析题库（1-22章）四．计算题、解答题求下列极限解：１.∞=+=--+=--∞→∞→∞→)2(lim 2)2)(2(lim 24lim2n n n n n n n n n ２． 111lim(1)1223(1)n n n →∞++++⋅⋅+111111lim(1)122311lim(1)11n n n n n →∞→∞=+-+-++-+=-=+３．111cos lim cos 1lim00===-→→x e x e x x x x ４.这是型，而 )1()1ln()1()1(]111)1ln(1[)1(][])1[(2121)1ln(11x x x x x x x x x x x ex xxx x x+++-+=+⋅++-+='='++故 原极限＝12(1)ln(1)lim(1)(1)xx x x x x x x →-++++ 2001ln(1)1lim2311lim 261x x x e x x e x x →→-+-=⋅+-=⋅⋅=∞++53)1(lim )1()1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→n n n n n n n n n n n 6 211lim(1)nn n n →∞++22(1)121lim(1)1n n n n n n n n +⋅+→∞=++因1)1(lim 2=+∞→nn n n ， ∞=+∞→1lim 2n n n 故原极限＝e e =1. 7． 用洛必达法则333sin 3cos 2lim 3cos sin 21lim66=--=-→→xx x x x x ππ8. 00111lim()lim 1(1)x x x x x e xx e x e →→---=--0011lim lim 122x x x x x x x x e e xe e xe e →→-===+-+ 9. xx xx x sin tan lim--→;解法1：200tan sec 1lim lim sin 1cos x x x x x x x x →→--=--2201cos lim cos 1cos x x x x →-=-（）201cos limcos 2 x x x →+==解法2：2002030tan sec 1lim lim sin 1cos 2sec tan lim sin 2limcos 2x x x x x x x x x xx xxx→→→→--=--===10． 10lim(sin 2cos )xx x x →+解 因00sin 2cos 12cos 2sin limlim 21x x x x x xx →→+--==， （3分）故原式1sin 2cos 1sin 2cos 10lim(1sin 2cos 1)x x x x xx x x +-+-→=++-=2e求下列函数的导数sin 11.cos 12.ln(ln )13.14.sin .x xy e x y x y xy x ====求的各阶导数解 11x e x e y xxsin cos -=' 12 xx x x y ln 11ln 1=⋅=' 13)sin ln (cos )(sin ln sin xxx x x ey x xx +='=' 14 . cos sin()2y x x π'==+()sin sin(2)2cos sin(3)2sin()2n y x x y x x y x n πππ''=-=+⋅''=-=+⋅=+ 15 x e x e y xx2cos 22sin +=' 16 )1sin (ln cos 1xx x x y +-⋅+='17 )tan )ln(cos (cos )(cos ][sin )ln(cos sin x x x x e y x x x +='='18 ),2,1(),2)1(sin()( =⋅++=n n x yn π.19．1tan 22113sec ln 3x x x x x++-； 20.求下列函数的高阶微分：设x e x v x x u ==)(,ln )(，求)(),(33vud uv d解 因为xx x x x e x x xx e x e x e x e x v u v u C v u C v u dx uv d )ln 332(ln 13132)(2323231333++-=⋅+⋅+-⋅+='''+'''+'''+'''=所以 3233333)ln 332()()(dx x xx x e dx dx uv d uv d x ++-== )ln 332()(ln 13)(132)(ln )(23233333x x xx e e x e x e x e x e x dx d v u dx d x xx x x x -++=-⋅+⋅⋅+--⋅+=⋅=------所以 3233)ln 332()(dx x x xx e vud x-++=- 21. ;)(arctan 23x y = 解：332362arctan (arctan )6 arctan 1y x x x x x''==+22. ;xx y x =解： 令1xy x =,1ln ln y x x =两边对两边对x 求导有11ln 1y x y '=+,()ln x x x x x x x '=+ ln ln x y x x =两边对x 求导有(ln )x y x x y''= 1121 ()ln (ln ) (ln )ln ((ln )ln ) (ln ln )xxx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x ---''=+=++'=++=++23. 求由参量方程⎪⎩⎪⎨⎧==;sin ,cos t e y t e x tt所确定的函数的二阶导数:22dx y d 解法1：⎪⎩⎪⎨⎧==;sin ,cos t e y t e x tt由含参量方程的求导法则有cos sin cos sin cos sin cos sin t t t t dy e t e t t t dx e t e t t t++==-- 求22d y dx 即求参量方程cos sin ,cos sin cos ;t dy t tdx t t x e t +⎧=⎪-⎨⎪=⎩的导数 222223(cos sin )(cos sin )()2(cos sin )(cos sin )(cos sin )t t t t t t dyd d y t t dx dx dxe t t e t t -++-===-- 解法2：⎪⎩⎪⎨⎧==;sin ,cos t e y t e x tt由含参量方程的求导法则有cos sin cos sin tan()cos sin cos sin 4t t t t dy e t e t t t t dx e t e t t t π++===+-- 求22d y dx 即求参量方程tan(),4cos ;t dyt dx x e t π⎧=+⎪⎨⎪=⎩的导数2232()sec ()4sec ()4cos()4t t dy d t d ydx t dxdx t πππ-+===++24．设3xy x e =, 试求(6)y.解 基本初等函数导数公式，有32333()()3,()6,()6,()=0, 4,5,6,k x x x x x x k ''''''==== ()(e )e ,1,2,,6x k x k ==,应用莱布尼兹公式（6n =）得(6)32e 63e 156e 206e x x x x y x x x =+⋅+⋅+⋅32(1890120)e x x x x =+++.25．试求由摆线方程(sin ),(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩所确定的函数()y f x =的二阶导数.解d ((1cos ))sin cot ,d ((sin ))1cos 2y a t t t x a t t t '-==='--22421cot csc d 1222csc .d ((sin ))(1cos )42t t y t x a t t a t a '⎛⎫- ⎪⎝⎭===-'-- 26 .求2()ln(1)f x x =+到6x 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式.解 因为233ln(1)()23x x x x o x +=-++,所以2()ln(1)f x x =+到6x 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为46226ln(1)()23x x x x o x +=-++.28．解 （1）)0(0sinlim )(lim 0f x x x f mx x ===→→，故对任意正整数m ，f 在0=x 连续. （2）⎩⎨⎧≤>==-=--='-→→→1101sin lim 01sinlim 0)0()(lim)0(1000m m x x x x x x f x f f m x m x x 不存在，故当1>m 时，f 在0=x 可导. （3）先计算f 的导函数.00≠∀x ，000000000000)1sin 1(sin 1sin)(lim1sin 1sin 1sin 1sin lim 1sin 1sinlim)(000x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f mmm x x mm m m x x m m x x --+-=--+-=--='→→→200102000010000000100211cos1sin 11cos 1sin 2sin 2cos2lim 1sin )(lim 00x x x mx x x x x mx x x xx xx xx x x x x x x x x m m m m mx x m m m x x ---→---→-=⋅-=--+++++=⎩⎨⎧≤>=-=-='-→--→→220)1cos 1sin (lim )1cos 1sin(lim )(lim 20210m m x x mx x x x x mx x f m x m m x x 不存在由（2）知，0)0(='f ，于是当2>m 时，有)0(0)(lim 0f x f x '=='→，所以当2>m 时，f '在0=x 连续.29．解 因为23)(,2)(x x g x x f ='='，故当0=x 时，0)0(,0)0(='='g f ，不满足柯西中值定理的条件，所以在区间[-1, 1]上不能用柯西中值定理. 30．证明 （1）对任何0≠x ，有)0(01sin)(24f xx x f =≥=，故0=x 是极小值点. （2）当0≠x 时，有)1cos 1sin 2(1sin 21cos 1sin 21sin 4)(2223xx x x x x x x x x x f -=-='，作数列 221ππ+=n x n ，421ππ+=n y n ，则0→n x ，0→n y .即在0=x 的任何右邻域)0(0+U 内，既有数列}{n x 中的点，也有数列}{n y 中的点.并且0)(>'n x f ，0)(<'n y f ，所以在)0(0+U 内f '的符号是变化的，从而f 不满足极值的第一充分条件.又因为001sin lim)0(240=-='→x x x f x ，00)1cos 1sin 2(1sin 2lim )0(20=--=''→xx x x x x f x ，所以用极值的第二充分条件也不能确定f 的极值.31．答：能推出f 在),(b a 内连续.证明如下：),(0b a x ∈∀，取},m i n {2100x b a x --=ε，于是],[0εε-+∈b a x ，由题设，f 在],[εε-+b a 上连续，从而在0x 连续.由0x 的任意性知，f 在),(b a 内连续.32.试求函数32|2912|y x x x =-+在[1,3]-上的最值和极值. 解32222|2912||(2912)|(2912),10,(2912),03,y x x x x x x x x x x x x x x =-+=-+⎧--+-≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩在闭区间[1,3]-上连续, 故必存在最大最小值.2261812,618126(1)(2),10,6(1)(2),03,x x y x x x x x x x x ⎧-+-⎪'=⎨-+⎪⎩----≤<⎧=⎨--<≤⎩ 令0y '=,得稳定点为1,2x =. 又因(0)12,f -'=-(0)12,f +'= 故y 在0x =处不可导. 列所以0x =和2x =为极小值点, 极小值分别为(0)0f =和(2)4f =,1x =为极大值点, 极大值为(1)5f =.又在端点处有(1)23f -=,(3)9f =, 所以函数在0x =处取最小值0,在1x =-处取最大值23.33.求函数155345++-=x x x y 在[1,2]-上的最大最小值： 解：令()y f x =43222252015 5(43) 5(1)(3)y x x x x x x x x x '=-+=-+=-- 令0y '=解得函数在[1,2]-的稳定点为120,1x x ==, 而(1)10,(0)1,(1)2,(2)7f f f f -=-===-，所以函数在[1,2]-的最大值和最小值分别为 max min (1)2,(1)10f f =-=-. 34. 确定函数25363223+--=x x x y 的凸性区间与拐点: 解：令()y f x =26636,y x x '=--126,y x ''=-1260,y x ''=-=解得12x =， 当1(,)2x ∈-∞时，0y ''<，从而区间1(,)2-∞为函数的凹区间,当1(,)2x ∈+∞时，0y ''>，从而区间1(,)2+∞为函数的凸区间.并且1113()0,()222f f ''==，所以113(,)22为曲线的拐点.35.设11(1,2,)nn a n n ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,则{}n a 是有理数列. 点集{}1,2,n a n =非空有界,但在有理数集内无上确界.数列{}n a 递增有上界,但在有理数集内无极限.36.设11(1,2,)nn a n n ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,则{}n a 是有理数列. 点集{}1,2,n a n =有界无限,但在有理数集内无不存在聚点.数列{}n a 满足柯西准则,但在有理数集内不存在极限.37.不能从H 中选出有限个开区间覆盖10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为H 中任意有限个开区间,设其中左端点最小的为12N +,则当103x N <<+时,这有限个开区间不能覆盖x .38.5232326129.6116ln 1326ln 1.x dx x x dx x x x x x x x C C ⎛⎫=-+-⎪++⎝⎭⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭=+⎛⎛⎜⎜⎠⎠39.令sin ,2x a t t π=<,则()()22222cos sin cos 1cos 2211sin 2arcsin .222a a td a t a tdt t dta x t t C a C a ===+⎛⎫⎛=++=++ ⎪ ⎝⎭⎝⎰⎰⎰⎰40.()222222211131.arctan arctan arctan 1arctan 22211111arctan arctan .22221x x x xdx xd x x d x x x x x dx x x C x ⎛⎫++==-+ ⎪⎝⎭+++=-=-++⎛⎜⎠⎛⎜⎠⎰⎰41.()()23222211432.ln 111121ln 1.x dx dx x dxx x x x x x C +⎛⎫=+=++ ⎪++-+⎝⎭-+=+++⎛⎛⎛⎜⎜⎜⎜⎠⎠⎠42.令t =则有()()2222218,11t t x dx dt t t +-==--, ()()2222242211111ln2arctan 2arctan.1t dt dt t t t t tt C C t ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭-++=-+=-⎛⎛⎜⎜⎠⎠43. 令tan 2xt =,则有22212cos ,11t x dx dt t t-==++, 22(2)111arctan 2arctan 2tan .53cos 2222141(2)d t dx dt x t C C x t t ⎡⎤===+=+⎢⎥-++⎣⎦⎛⎛⎛⎜⎜⎜⎠⎠⎠. 44.()()11111111ln ln ln ln ln 2(1)ee eeeex dx xdx xdx x x x xx x e -=-+=--+-=-⎰⎰⎰.45.()()111111202222t t t t te dt tde tee dt e e ==-=-=⎰⎰⎰.46.12111000011arcsin arcsin 12222d x xdx x x πππ-=-=+=+=-⎛⎛⎜⎜⎠⎠⎰.47.22222111111lim lim 1221nn n i J n n n n n i n →∞→∞=⎛⎫=+++=⋅ ⎪++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑.其中和式是函数21()1f x x=+在[0,1]上的一个积分和,所以11200arctan 41dx J x x π===+⎛⎜⎠. 48.()()()()().xx xaaaF x f t x t dt x f t dt tf t dt =-=-⎰⎰⎰.于是()()()()(),()()x xaaF x f t dt xf x xf x f t dt F x f x '''=+-==⎰⎰.49.以平面00()x x x a =<截椭球面,得一椭圆2222220022111y z x x b c a a +=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以截面积函数为221,[,]x bc x a a a π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.于是椭球面的体积22413aa x V bc dx abc a ππ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎛⎜⎠.50.化椭圆为参数方程: cos ,sin ,[0,2]x a t y b t t π==∈.于是椭圆所围的面积为()2220sin cos sin A b ta t dt ab tdt ab πππ'===⎰⎰.51.(1cos ),sin ,02x a t y a t t π''=-=≤≤,于是所求摆线的弧长为22202sin 82t s a dta πππ====⎛⎜⎠⎰⎰.52.根据旋转曲面的侧面积公式2(baS f x π=⎰可得所求旋转曲面的面积为)02sin 2ln1S πππ⎤==⎦⎰.53.因为2222001111limlim lim 2222AAx xx A A A A xe dx xe dx e e +∞----→+∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰.于是无穷积分2x xedx +∞-⎰收敛,其值为12.54.因为22211111lim lim 1(1)(1)AAA A dx dx x dx x x x x x x +∞→+∞→+∞-⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭⎛⎛⎛⎜⎜⎜⎠⎠⎠ ()111lim ln(1)ln lim ln 1ln 2ln 11ln 2.AA A x x A A x A →+∞→+∞⎛⎫⎛⎫=+--=+--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是无穷积分21(1)dxdx x x +∞+⎰收敛,其值为1ln2-.55.因为1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦,从而级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑的部分和为1111111111()(1)(2)2(1)(1)(2)22(1)(2)4nn k k n k k k k k k k n n ==⎡⎤⎡⎤=-=-→→∞⎢⎥⎢⎥+++++++⎣⎦⎣⎦∑∑.于是该级数收敛,其和为14. 56.因为222111cos2sin 12limlim 112n n n n n n→∞→∞-==,且级数211n n ∞=∑收敛,所以级数111cos n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛.57.因为1lim 1212n n n n →∞==<+,由根式判别法知级数121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑收敛.58.因为()21sinlim21nn nn→∞-=,且级数11n n ∞=∑发散,故原级数不绝对收敛.但{}2sin n 单调递减,且2limsin 0n n →∞=,由莱布尼茨判别法知级数()121sin n n n ∞=-∑条件收敛. 59. 因为1111112sin sin cos cos cos cos 22222n nk k x kx k x k x x n x ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑,当(0,2)x π∈时,sin 02x≠,于是.所以级数1sin n nx ∞=∑的部分和数列111cos cos 221sin 2sin sin 22nn k x n x S kx x x =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==≤∑当(0,2)x π∈时有界,从而由狄利克雷判别法知级数1sin n nxn ∞=∑收敛;同法可证级数1cos 2n nxn ∞=∑在(0,)x π∈上收敛. 又因为2sin sin 11cos 21cos 2222nx nx nx nx n n n n n-≥=⋅=-,级数112n n∞=∑发散,1cos 2n nx n ∞=∑收敛,于是级数11cos 222n nx n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑发散,由比较判别法知级数1sin n nx n ∞=∑发散.所以级数1sin n nxn ∞=∑在(0,2)x π∈条件收敛. 60. 判断函数项级数∑++-1)() 1(n nn nn x 在区间] 1 , 0 [上的一致收敛性. 解 记nn n n n x x v n x u ⎪⎭⎫⎝⎛+=-=1)( , ) 1()(. 则有ⅰ> 级数∑)(x u n 收敛;ⅱ> 对每个∈x ] 1 , 0 [, )(x v n ↗；ⅲ> e n x x v nn ≤⎪⎭⎫⎝⎛+=1|)(| 对 ∀∈x ] 1 , 0 [和n ∀成立. 由Abel 判别法, ∑在区间] 1 , 0 [上一致收敛.61. )(x f n =221xn nx+, ∈x ] 1 , 0 [. 讨论函数列{)(x f n }的一致收敛性. 解 ∞→n lim )(x f n = 0, ∈x ] 1 , 0 [. |)(x f n ― 0|=)(x f n . 可求得10max ≤≤x )(x f n =,0 21) 1 (→/=n f n ) (∞→n . ⇒ 函数列{)(x f n }在区间] 1 , 0 [上非一致收敛.62. 函数列2212,0,211()22,,210, 1.n n x x n f x n n x x n n x n ⎧≤≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎩,2,1=n在]1,0[上是否一致收敛？解：由于(0)0n f =，故0)0(lim )0(==∞→n n f f .当10≤<x 时，只要xn 1>，就有0)(=x f n ，故在]1,0(上有0)(lim )(==∞→x f x f n n .于是函数列（8）在]1,0[上的极限函数0)(=x f ，又由于∞→==-∈n nf x f x f n n x )21()()(sup ]1,0[ )(∞→n ， 所以函数列（8）在[0，1]上不一致收敛. 63. )(x f n 2222x n xen -=在R 内是否一致收敛？解 显然有)(x f n →0, |)()(|x f x f n -= )(x f n 在点n x =n21处取得极大值022121→/=⎪⎭⎫⎝⎛-ne n f n ,) (∞→n . 由系2 , )}({x f n 不一致收敛. 64. 函数列⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<=≤<-≤≤=. 11 , 0), , 2 , 1 ( , 121 ,22,210 , 2)(22x n n n x n x n n n x x n x f n在] 1 , 0 [上是否一致收敛？解 10≤<x 时, 只要1->x n , 就有)(x f n =0. 因此, 在] 1 , 0 (上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0. 0)0(=n f , ⇒ )0(f =∞→n lim )0(n f =0.于是, 在] 1 , 0 [上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0. 但由于021|)()(|max ]1,0[→/=⎪⎭⎫⎝⎛=-∈n n f x f x f n n x , ) (∞→n ,因此 , 该函数列在] 1 , 0 [上不一致收敛. 65. 求幂级数++++74533234333231x x x x 的收敛域 . 解 ++++74533234333231x x x x ∑∞=++=02131n n n x n x 是缺项幂级数 .∞→n lim, 31||||1⇒=+nn a a 3=R . 收敛区间为) 3 , 3 (-. 3±=x 时, 通项0→/. 因此 , 该幂级数的收敛域为) 3 , 3 (-.66. 计算积分⎰-=12dx e I x , 精确到0001.0.解 =-2x e∑∞=-02,!) 1(n nnn x ) , (∞+∞-∈x . 因此,⎰⎰∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞=-11002!) 1(2dx n x dx en n n x ∑⎰∞==-0102!) 1(n n n dx n x ∑∞=+-0!)12(1) 1(n nn n .上式最后是Leibniz 型级数 , 其余和的绝对值不超过余和首项的绝对值 . 为使10001!)12(1<+n n ,可取7≥n .故从第0项到第6项这前7 项之和达到要求的精度.于是⎰-=12dx e I x 1111111352769241112013720≈-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅ 7468.000011.000076.000463.002381.010000.033333.01=+-+-+-=. 67. 把函数)(x f =)5ln(x +展开成)2(-x 的幂级数.解+-+-+-=+-n x x x x x n n 132) 1 (32)1ln(∑∞=--=11) 1 (n n n n x , ] 1 , 1 (-∈x .而7ln 721ln )27ln()5ln(+⎪⎭⎫⎝⎛-+=-+=+x x x =∑∞=-+--117ln 7)2()1(n n nn nx , ] 9 , 5(-∈x .68. 求幂级数∑∞=+0!1n nx n n 的和函数. 解法一 收敛域为) , (∞+∞-,设和函数为)(x S , 则有⎰⎰∑⎰∑∞=∞==+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=xxn x nn n dt t n n dt t n n dt t S 00000)1(!1!1)(∑∞=+=01!n x n xe n x . 因此, ∑∞=+0!1n n x n n =)(x S =x x x e x xe dt t S )1()()(0+='='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰, ∈x ) , (∞+∞-. 解法二 ∑∞=+0!1n nx n n =∑∞=+0!n n n nx ∑∞==0!n nn x ∑∞=+-1)!1(n x ne n x = ∑∞=+=+=+=0)1(!n x x x x ne x e xe e n x x , ∈x ) , (∞+∞-.69. 展开函数xe x xf )1()(+=.解 =+=xxxe e x f )(∑∞=+0!n nn x ∑∞=+=01!n n n x ∑∑∞=∞=-+01)!1(!n n nn n x n x =+1∑∞=1!n n n x ∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++11)!1(1!11)!1(n n nn x n n n x ∑∞==++=1!11n nx n n ∑∞=∞+<+0 || ,!1n nx x n n . 70. 在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数,)(x x f =（i ）,ππ<<-x （ii ）.20π<<x解 （1）（i ）函数f 及其周期延拓后的图象所示. 显然f 是按段光滑的，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数. 由于011()0a f x dx xdx ππππππ--===⎰⎰.当1≥n 时，有211()cos cos 11sin |sin 1cos |0n a f x nxdx x nxdxx nx nxdx n n nx x ππππππππππππππ-----===-==⎰⎰⎰ 11()sin sin 11cos |cos 2,2,n b f x nxdx x nxdxx nx nxdx n n n n n nππππππππππππ----===+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩⎰⎰⎰当为偶数时，当为奇数时.所以在区间),(ππ-上,sin )1(2)(11nnxx f n n ∑∞=+-= （ii ）函数f 及其周期延拓后的图象所示. 显然f 是按段光滑的，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数. 由于20012a xdx πππ==⎰.当1≥n 时2022001cos 11sin |sin 0n a x nxdxx nx nxdxn n ππππππ==-=⎰⎰,2022001sin 11cos |cos 2n b x nxdxx nx nxdxn n πππππππ==-+=-⎰⎰.所以在区间)2,0(π上1sin ()2n nx f x n π∞==-∑. 71. 设)(x f 是以π2为周期的分段连续函数, 又设)(x f 是奇函数且满足)()(x f x f -=π试求)(x f 的Fourier 系数⎰-=πππnxdx x f b n 2sin )(12的值， ,2,1=n . 解 由)(x f 是奇函数，故nx x f 2sin )(是偶函数，再由)()(x f x f -=π，故有()b f x nx x n 2022=⎰ππsin d ()=-⎰220πππf x nx xsin d . 作变换π-=x t ，则()()()b f t n t tn 20221=--⎰πππsin d ()=-⎰220ππf t nt tsin d=-b n 2 .所以,02=n b ,.,2,1 =n72. 设)(x f 以π2为周期，在区间]2,0[π内,()f x x x x =≤<=⎧⎨⎪⎩⎪20202πππ,,,,试求)(x f 的Fourier 级数展开式。

综合测试试卷一一、 计算题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）1、xx x tan 01lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→； 2、()x x x 2cot lim 0→ ；3、设a 为非零常数，则xx a x a x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→lim ；4、⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→n n n n n 3lim ； 5、xx x ex e111lim +-+→；6、⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→x x x x 2sin 3553lim 2； 7、⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim ；8、()x x x sin 2031lim +→；9、⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x 11ln sin 31ln sin lim ； 10、()()x x x x x x +++→1ln cos 11cossin 3lim20 ； 11、20211limx x x x --++→； 12、⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x tan 11lim 20； 13、()3021ln arctan limx xx x +-→ ；14、若0>a ，0>b 为常数，则xxx x ba 302lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→；15、⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n πππcos 12cos 1cos 11lim。

. 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）16、xx x x sin sinlim10→的值为（ ） A. 1； B. ∞; C.不存在; D. 0.17、=+--+→232231x x x x x lim （ ）A. 3；B. 4-;C. 1;D. 1-.18、 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim （ ）A.e 2;B. 2-e; C. 2e ； D.e2. 19、若22222=--++→x x bax x x lim ，则必有( ) A. 82==b a ,; B. 52==b a ,;C. 80-==b a ,； D. 82-==b a ,. 20、当+→0x 时，以下四式中为无穷小量的是（ ）A. x x 1sin ;B. x e 1; C. x ln ; D. x xsin 1.21、当+→0x 时，以下四式中为无穷大量的是（ ） A. 12--x; B.xx sec sin +1; C. xe -; D. x e 1. 22、=→xx x x cos sinlim10（ ） A.不存在; B. 0; C. 1; D. ∞.23、()=-→xx x cos tan lim 02π（ ）A.0;B. 1;C. ∞;D. 不存在. 24、=⎪⎭⎫⎝⎛--→1110x x e x lim （ ）A.0;B. 21;C. ∞;D.21-. 25、()=+→xx x ex 10lim （ ）A.e ;B. 1;C. 2e ; D. 2.三、计算题（本大题共3小题，每小题17分，共51分）26、623lim 2232--++-→x x xx x x ; 27、()11lim 22--+∞→x x x . 28、38231lim x x x +---→. 29、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∞→1212lim 223x x x x x . 30、n n n n n !2lim ∞→. 31、()()()503020152332lim++-∞→x x x x . 32、设)(a f '存在，且0>)(a f ，求xx a f x a f ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→)(lim 1.33、xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→1lim . 34、11lim 31--→x x x . 35、xx x cos lim 00+→. 36、xx x x 10arcsin lim ⎪⎭⎫⎝⎛→. 37、()x x x x cos 1sin 1ln lim 0-+→. 38、201sin lim x x →. 39、21cos lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→. 40、121lim +∞→+++p p p p n n n ，0>p .41、()1ln lim0-+→xx e x.42、dx xx an nn ⎰+∞→1sin lim.（提示：先用积分中值定理：()()a b f dx x f ba-=⎰ξ)(，[]b a ,∈ξ）综合测试试卷一参考答案一、计算题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1、1； 2、21； 3、a e 2；4、2；5、1-；6、56；7、21；8、6e ；9、2；10、23；11、41-；12、31； 13、61-； 14、()23ab ； 15、22π。

∑⎰ ⎰ ⎰ 2014 ---2015 学年度第二学期《数学分析 2》A 试卷一. 判断题（每小题 3 分，共 21 分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1.若 f (x )在[a ,b ]连续，则 f (x )在[a ,b ]上的不定积分⎰ f (x )dx 可表为x f(t )dt + C （ ）.a2.若 f (x ), g (x )为连续函数，则⎰ f (x )g (x )dx = [⎰f (x )dx ]⋅ [⎰g (x )dx （）.+∞+∞3.若 f (x )dx 绝对收敛， ⎰ g (x )dx 条件收敛，则aa+∞[ f(x )- g (x )]dx 必然条件收敛（）.a+∞ 4. 若f (x )dx 收敛，则必有级数∑ f (n )收敛（ ）1n =15. 若{f n }与{g n }均在区间 I 上内闭一致收敛，则{f n + g n }也在区间 I上内闭一致收敛（ ）.∞6. 若数项级数 a n 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散n =1于正无穷大（ ）.7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1. 若 f(x )在[a ,b ]上可积，则下限函数af (x )dx 在[a ,b ]上（）xA. 不连续B. 连续C.可微D.不能确定⎰ ⎰∞⎰ ⎰ ⎰ ⎰ ∑ 2. 若 g (x )在[a ,b ]上可积，而 f (x )在[a ,b ]上仅有有限个点处与 g (x )不相等，则（ ）A. f (x )在[a ,b ]上一定不可积；B. f (x )在[a , b ]上一定可积,但是bf (x )dx ≠ bg (x )dx ；aaC. f (x )在[a , b ]上一定可积，并且 b f (x )dx = bg (x )dx ；aaD. f (x )在[a ,b ]上的可积性不能确定.∞3. 级数 n =11 + (- 1)n -1 n n2 A. 发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定4. 设∑u n 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ）A. 若lim u n →∞= 0 ，则级数∑u n一定收敛；B. 若lim un +1 = < 1，则级数∑u 一定收敛；n →∞ u nC. 若∃ N ,千D. 若∃ N ,千 n > N 千千n > N 千千千u n +1 n< 1，则级数∑u n 一定收敛； u n> 1，则级数∑u n 一定发散；5. 关于幂级数∑ a n x n 的说法正确的是（）A. ∑ a n x n 在收敛区间上各点是绝对收敛的；B. ∑ a n x n 在收敛域上各点是绝对收敛的；C. ∑ a n x n 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；千 u n +1u n nx ⎰⎰ D. ∑ a n x n 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题 5 分，共 10 分） 1. lim 1n (n + 1)(n + 2) (n + n ) n →∞ n2. ln (sin x )dx cos 2 x四. 判断敛散性（每小题 5 分，共 15 分）1. dx 01 + + x 2∞∑2. ∑ n ! n =1 n n∞ 3. n =1(- 1)nn 2n1 + 2n五. 判别在数集 D 上的一致收敛性（每小题 5 分，共 10 分）1. f n(x )= sin nx n, n =1,2 , D = (- ∞,+∞)∑2. n D xn= (- ∞, - 2]⋃[2, + ∞)六．已知一圆柱体的的半径为 R ，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面300 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。

数学分析题库（1—22章)五．证明题1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件：（1)对任何B b A a ∈∈,有b a <；（2）对任何0>ε,存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y 。

证明：.inf sup B A =证 由(1)可得B A inf sup ≤.为了证B A inf sup =,用反证法。

若B A inf sup ，设B y A x A B ∈∈∃=-,,sup inf 0ε，使得0ε≥-x y 。

2.设A ，B 是非空数集，记B A S ⋃=,证明：（1）{}B A S sup ,sup max sup =； （2）{}B A S inf ,inf min inf =证（1）若A ，B 中有一集合无上界，不妨设A 无上界,则S 也是无上界数集,于是+∞=+∞=S A sup ,sup ，结论成立。

若A ，B 都是有上界数集，且A B sup sup ≤，现设法证明:sup sup A S =（ⅰ）S x ∈∀，无论A x ∈或B x ∈,有;sup A x ≤ （ⅱ）000,,sup ,x A x A εε∀∃∈->>于是,0S x ∈0sup .x A >同理可证（2）. 3。

按N -ε定义证明352325lim 22=--+∞→n n n n 证 35232522---+n n n)23(3432-+=n n≤2234n n⋅ （n>4） n32=， 取⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4,132max εN ，当n>N 时,35232522---+n n n 〈ε。

注 扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的方法.这里先限定n>4，扩大之后的分式nn G 32)(=仍是无穷小数列。

4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞→lim 的正面陈述？并验证｜2n ｜和|n )1(-|是发散数列。

答 a a n n ≠∞→lim 的正面陈述:0ε∃〉0，+∈∀N N ，n '∃≥N ，使得｜a a n -'｜≥0ε数列{n a }发散⇔R a ∈∀,a a n n ≠∞→lim .（1）a n a n ∀=.2，0ε∃=41，+∈∀N N ，只要取⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+='N a n ,21max ，便可使||2a n -'≥||2a n -'≥||212a a -⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥41，于是{2n ｝为发散数列。

高中数学试题分析及答案一、选择题1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图像与x轴有两个交点，则这两个交点的横坐标之和为：A. 4B. 2C. 0D. -2答案：A解析：根据二次函数的图像性质，函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图像与x轴的交点即为方程x^2 - 4x + 3 = 0的根。

根据韦达定理，方程的两个根之和等于系数-4的相反数，即4。

2. 已知向量a = (3, -1)，向量b = (2, 4)，求向量a与向量b的数量积：A. 10B. -2C. 8D. 2答案：B解析：向量a与向量b的数量积计算公式为a·b = |a||b|cosθ，其中θ为两向量之间的夹角。

根据数量积的定义，a·b = 3×2 + (-1)×4 = 6 - 4 = 2。

因此，正确答案为D。

二、填空题3. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，求该数列的第5项a5。

答案：17解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

将已知条件代入公式，得到a5 = 2 + (5-1)×3 = 2 + 12 = 14。

4. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9，求该圆的圆心坐标和半径。

答案：圆心坐标为(2, -1)，半径为3。

解析：圆的标准方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。

将已知圆的方程与标准方程对比，可得圆心坐标为(2, -1)，半径为3。

三、解答题5. 已知函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3，求该函数的极值点。

解析：首先求出函数f(x)的导数f'(x) = 6x^2 - 18x + 12。

令f'(x) = 0，解得x1 = 1，x2 = 2。

然后计算二阶导数f''(x) = 12x - 18，判断极值点。

数学分析面试真题答案解析是数学基础课程中非常重要的一门学科。

它对于培养学生的逻辑思维能力、分析问题的能力以及解决实际问题的能力有着重要的作用。

所以，在面试过程中，问题经常是考察学生数学思维能力的一个重要方面。

以下是一些常见的面试真题及其解析，希望能对读者有所帮助。

一、求极限1. 计算极限$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$。

解析：要计算这个极限，可以利用泰勒展开的思想。

根据泰勒级数展开，有$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} -\cdots$。

因此，原极限可以改写为$\lim_{x\to 0}\frac{x -\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots}{x}$。

显然，当$x\to0$时，分子和分母同时趋于0，所以可以使用洛必达法则，即对分子和分母同时求导，有$\lim_{x\to 0}(1 - \frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!} - \cdots) = 1$。

2. 计算极限$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$。

解析：我们可以利用中的极限性质，即$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$。

所以，原极限可以改写为$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}$。

根据Stirling公式，$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2\pin}\left(\frac{n}{e}\right)^n}{n!} = 1$。

所以，原极限为1。

二、连续与可导1. 设$f(x)$在$x_0$处连续，且$\lim_{x\to x_0}f'(x)$存在，证明$f(x)$在$x_0$处可导。

解析：由题意可知，$\lim_{x\to x_0}f'(x) = L$存在。

一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（ ）是等价无穷小。

A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。

2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（ ）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（ ） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。

4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（ ）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。

5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（ ）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。

数学分析下考试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是否连续？A. 是B. 否答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4答案：B4. 函数f(x)=x^3在x=0处是否可导？A. 是B. 否答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2的导数是_________。

答案：2x2. 函数f(x)=x^3的不定积分是_________。

答案：(1/4)x^4 + C3. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是_________。

答案：04. 函数f(x)=sin(x)的原函数是_________。

答案：-cos(x) + C三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限lim(x→2) [(x^2 - 4) / (x - 2)]。

答案：42. 求函数f(x)=e^x的不定积分。

答案：e^x + C3. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。

答案：1/3四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^3在x=0处连续。

答案：由于f(x)=x^3是一个多项式函数，而多项式函数在其定义域内处处连续，因此f(x)=x^3在x=0处连续。

2. 证明函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是单调递增的。

答案：对于任意的0≤x1<x2≤1，我们有f(x1)-f(x2)=x1^2-x2^2=(x1-x2)(x1+x2)。

由于x1<x2，所以x1-x2<0，而x1+x2>0，因此f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，这说明函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是单调递增的。

本科数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则以下哪个选项是正确的？A. f(x)在点x=a处连续B. f(x)在点x=a处不可导C. f(x)在点x=a处不连续D. f(x)在点x=a处的导数为0答案：A2. 设f(x)是定义在实数集上的函数，若f'(x)存在，则以下哪个选项是正确的？A. f(x)是单调函数B. f(x)在任意点处都有定义C. f(x)在任意点处都可导D. f(x)是周期函数答案：B3. 若函数f(x)在区间(a, b)内连续，则以下哪个选项是正确的？A. f(x)在区间(a, b)内一定有最大值和最小值B. f(x)在区间(a, b)内一定有唯一的最大值和最小值C. f(x)在区间(a, b)内不一定有最大值和最小值D. f(x)在区间(a, b)内的最大值和最小值一定在区间端点处取得答案：C4. 若函数f(x)在区间[a, b]上可积，则以下哪个选项是正确的？A. f(x)在区间[a, b]上一定连续B. f(x)在区间[a, b]上一定有界C. f(x)在区间[a, b]上一定单调D. f(x)在区间[a, b]上一定有界且连续答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在区间(a, b)内连续，且f(a)=f(b)，则根据罗尔定理，存在至少一个点c∈(a, b)，使得f'(c)______。

答案：=02. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处的导数定义为______。

答案：lim (x→a) [f(x) - f(a)] / (x - a)3. 设f(x)在区间[a, b]上连续，则根据微积分基本定理，∫[a, b]f(x) dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数，即F'(x)______。

答案：=f(x)4. 若函数f(x)在区间[a, b]上可积，则∫[a, b] f(x) dx表示的是函数f(x)在区间[a, b]上与x轴所围成的区域的______。