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一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n =.二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x ag x b →=;(2) 0()x U a ∀∈,有0()()g x U b ∈ (3) lim ()u bf u A →=用εδ-定义证明, lim [()]x af g x A →=.三. (10分)证明数列{}n x :cos1cos 2cos 1223(1)n nx n n =+++⋅⋅⋅+收敛.四. (12分)证明函数1()f x x=在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点.七. (12分)确定,a b 使lim )0x ax b →+∞-=.八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42-的最大值与最小值.九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使24()()()()f f b f a b a ζ''≥--.一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a =, 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的正常数, 证明{}n a 收敛,并求其极限.二. (10分)设0lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明011lim()x x f x b→=. 三. (10分)设0n a >,且1lim1nn n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞=.四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔()f x 在(,)a b 连续,且lim ()x a f x +→,lim ()x bf x -→存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2[()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导.七. (12分)求函数()1f x x x ααα=-+-在的最大值,其中01α<<.八. (12分)设f 在上是凸函数,且在(,)a b 可微,则对任意1x ,2x (,)a b ∈, 12x x <,都有12()()f x f x ''≤.九. (12分)设(),0()0,0g x x f x x x ⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩ 且(0)(0)0g g '==, (0)3g ''=, 求(0)f '.一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分: 1. arctan x x dx ⎰2. x e dx -⎰3.ln 0⎰4.20sin 1cos x xdx xπ+⎰二.(10分)设()f x 是上的非负连续函数, ()0baf x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.三. (10分)证明20sin 0xdx xπ>⎰. 四. (15分)证明函数级数0(1)n n x x ∞=-∑在不一致收敛, 在[0,]δ(其中)一致收敛.五. (10分)将函数,0(),0x x f x x x ππππ+ ≤≤⎧=⎨- <≤⎩展成傅立叶级数.六. (10分)设22220(,)0,0xy x y f x y x y ⎧ +≠⎪=⎨⎪ +=⎩证明: (1) (0,0)x f ', (0,0)y f '存在; (2) (,)x f x y ',(,)y f x y '在(0,0)不连续;(3) (,)f x y 在(0,0)可微.七. (10分)用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板?八. (15分)设01σ<<, 证明111(1)n n n σσ∞=<+∑.一. (各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:1.(0)a >2.1172815714x x dx x x++⎰3.1arcsin x dx ⎰4. 1000π⎰二. (各5分,共10分)求下列数列与函数极限:1. 221lim nn k nn k →∞=+∑2. 20lim1xt xx xe dt e →-⎰三.(10分)设函数在[,]a b 连续,对任意[,]a b 上的连续函数()g x , ()()0g a g b ==,有()()0baf xg x dx =⎰.证明()0f x = ([,])x a b ∈.四. (15分)定义[0,1]上的函数列2212,211()22211n n x x n f x n n x x n n x n ⎧ , 0≤≤⎪⎪⎪=- , <≤⎨⎪⎪0 , <≤⎪⎩证明{()}n f x 在[0,1]不一致收敛.五. (10分)求幂级数0(1)n n n x ∞=+∑的和函数.六. (10分)用εδ-定义证明2(,)(2,1)lim (43)19x y x y →+=.七. (12分)求函数22(2)(2)(0)u ax x by y ab =-- ≠的极值.八. (13分)设正项级数1n n a ∞=∑收敛,且1()n n a a n N ++≥ ∈.证明lim 0n n na →∞=.一 (10分) 证明方程11(, )0F x zy y zx --++=所确定的隐函数(, )z z x y =满足方程.z z xy z xy x y∂∂+=-∂∂ 二 (10分) 设n 个正数12, , , n x x x 之和是a ，求函数 n u x =的最大值.三 (14分) 设无穷积分() af x dx +∞⎰收敛，函数()f x 在[, )a +∞单调，证明1()() ().f x o x x=→+∞四 (10分) 求函数1220() ln() F y x y dx =+⎰的导数(0).y >五 (14分) 计算0sin sin (0, ).pxbx axI e dx p b a x+∞--=>>⎰六 (10分) 求半径为a 的球面的面积S . 七 (10分) 求六个平面111111122222223333333 ,, = 0 , , a x b y c z h a b c a x b y c z h a b c a x b y c z h a b c ++=±⎧⎪++=±∆≠⎨⎪++=±⎩ 所围的平行六面体V 的体积I ，其中, , , i i i i a b c h 都是常数，且0 (1, 2, 3).i h i >= 八 (12分) 求22Cxdy ydxx y-+⎰，其中C 是光滑的不通过原点的正向闭曲线. 九 (10分) 求dS z∑⎰⎰，其中∑是球面2222x y z a ++=被平面 (0)z h h a =<<所截的顶部.数学分析-3样题(二)一 (10分) 求曲面2233, , x u v y u v z u v =+=+=+在点(0, 2)对应曲面上的点的切平面与法线方程.二 (10分) 求在两个曲面2221x xy y z -+-=与221x y +=交线上到原点最近的点. 三 (14分) 设函数()f x 在[1, )+∞单调减少，且lim ()0x f x →+∞=，证明无穷积分1() f x dx +∞⎰与级数1001()n f n =∑同时收敛或同时发散.四 (12分) 证明ln (0).ax bx e e bdx a b x a--+∞-=<<⎰五 (12分) 设函数()f x 在[, ]a A 连续，证明 [, ]x a A ∀∈，有01lim [()()] ()().xa h f t h f t dt f x f a h→+-=-⎰六 (10分) 求椭圆区域221112221221: ()() 1 (0)R a x b y c a x b y c a b a b +++++≤-≠的面积A .七 (10分) 设222()() VF t f x y z dx dy dz =++⎰⎰⎰，其中2222: (0)V x y z t t ++≤≥，f 是连续函数，求'()F t .八 (10分) 应用曲线积分求(2sin )(cos )x y dx x y dy ++的原函数.九 (12分) 计算 Sxyz dx dy ⎰⎰，其中S 是球面2221x y z ++=在0, 0x y ≥≥部分并取球面外侧.。
数学分析 --复习资料一、单选题1、设 f (x) = x (x + 1)(x + 2) … (x +2004) , 则 f ' (0) = ( )A. 0B. 2003!C. 2004!D. 2005!参考答案： C2、设,则交换积分次序后为 ( )。
A.B.C.D.参考答案： A3、( )A. -2B. 2C. 0D. 发散参考答案： D4、幂级数的收敛域为( )。
A.B.C.D.参考答案： B5、 f (x) 在 x0 点连续的充分条件是( )。
A. f (x0 +0) 、f (x0 - 0) 存在B. f (x) 在 x0 点的极限存在C. f-' (x0 ) 、f+' (x0 ) 存在D. f (x) 在 x0 点的某空心邻域内连续参考答案： C6、已知,f (x) = ( )A.B.C.D.参考答案： C7、积分=A. 1；B. ；C. ；D. 。
参考答案： D8、已知, 则( )；A.B.C.D.参考答案： D9、设,则( )。
A.B.C.D.参考答案： C10、下面广义积分发散的一个是A. ；B. ；C. ；D. 。
参考答案： C11、使函数序列一致收敛的区域为A. ；B. ；C. ；D. 。
其中。
参考答案： B12、锥面被柱面所截部分的面积是( )。
A.B.C.D.参考答案： B13、( )；A.B.C.D.参考答案： C14、幂级数的收敛域为( )；A. (-1,1)B.C.D.参考答案： B15、函数连续,则在[a,b]上=( )A.B.C.D.参考答案： B16、级数为( )级数。
A. 收敛B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 发散参考答案： B17、 f (x) 在 x0 点连续,则下列命题不成立的是( )。
A. f (x0 +0) 、f (x0 - 0) 存在B. f (x) 在 x0 点的极限存在C. f (x) 在 x0 点的某邻域内有界D. f (x) 在 x0 点的某空心邻域内连续参考答案： D18、函数在 [a,b] 上可积的充要条件是( )A."e>0,$ s>0和d>0使得对任一分法D，当l（D）<d时，对应于wi³e的那些区间Dxi长度之和∑Dxi< s B."e>0,s>0, d>0使得对某一分法D，当l（D）<d时，对应于wi³e的那些区间Dxi长度之和∑Dxi< s C."e>0,$d>0使得对任一分法D，当l（D）D."e>0, s>0，$ d>0使得对任一分法D，当l（D）参考答案： D19、已知, 则( )；A.B.C.D.参考答案： C20、幂级数的收敛半径为A. ；B. 1；C. 2；D.参考答案： D21、A. AB. BC. CD. D参考答案： C22、函数f (x) = ln (ln x) 的定义域是( )A. x > 0B. x ≥ 0C. x > 1D. x ≥ 1参考答案： C23、( )；A.B.C.D.参考答案： C24、下列反常积分收敛的是( )。
数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是（）。
A. 0B. 1C. 4D. 8答案：A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3+2x^2-5x+6的导数是________。
答案：3x^2+4x-52. 函数f(x)=ln(x)的原函数是________。
答案：xln(x)-x3. 函数f(x)=e^x的不定积分是________。
答案：e^x+C4. 函数f(x)=x^2-6x+8在x=3处的值是________。
答案：-1三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。
然后检查二阶导数f''(x)=6x-12，发现f''(1)=-6<0，所以x=1是极大值点；f''(11/3)=2>0，所以x=11/3是极小值点。
2. 求极限lim(x→∞) (x^2+3x+2)/(x^3-4x+1)。
答案：分子和分母同时除以x^3，得到lim(x→∞)(1+3/x+2/x^2)/(1-4/x^2+1/x^3)，当x趋向于无穷大时，极限为1。
3. 求定积分∫(0,2) (2x-1) dx。
答案：首先求不定积分∫(2x-1) dx = x^2 - x + C，然后计算定积分∫(0,2) (2x-1) dx = (2^2 - 2) - (0^2 - 0) = 4 - 2 = 2。
数学分析试卷及答案6套第一套试卷一、选择题（共20题，每题4分，共80分）1. 若函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求f(-1)的值是多少？A. -4B. 4C. 0D. 12. 函数f(x) = ln(x^2 + 1)在区间(-∞, 0)上的最小值是多少？A. ln(1)B. ln(0)C. ln(-1)D. 不存在最小值3. 已知函数f(x)在区间[0, 5]上连续，且f(0) = 2, f(5) = 1，证明在该区间上存在一个点c，使得f(c) = 3.（请写出证明过程）4. 求不等式2x - 5 < 3x + 2的解集。
A. x < -7B. x > -7C. x > -3D. x < -35. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b)，证明在该区间上至少存在两个不同的点c和d，使得f(c) = f(d).（请写出证明过程）..................第一套答案一、选择题1. B2. A3. (证明过程略)4. A5. (证明过程略)二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 若e^x = 2，则x = ln(2)；2. 设a, b为实数，若a^2 + 2ab + b^2 = 0，则a = -b；3. lim(x→∞) (x^2 - 2x - 3)/(3x + 1) = 1；4. 若函数f(x) = x^2 + 3x - 2，则f(-1) = -6；5. 若f(x) = √(2x + 1)，则f'(x) = 1/√(2x + 1)。
三、解答题（共3题，每题20分，共60分）1. 设函数f(x) = x^3 - 2x + 1在区间[-2, 2]上的一个驻点为c，请求该驻点c的值以及f(c)的极值。
（请写出解题过程）2. 求函数f(x) = x^3 - 3x + 1的所有零点。
（请写出解题过程）3. 若函数f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 4在区间[0, 3]上的导函数f'(x)恰有一个零点c，并且f(c) = 2，求函数f(x)在该区间上的最大值。
大学数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在区间(a, b)内连续，则下列说法正确的是：A. f(x)在区间(a, b)内一定有最大值和最小值B. f(x)在区间(a, b)内一定有界C. f(x)在区间(a, b)内不一定有界D. f(x)在区间(a, b)内一定单调答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 设函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)等于：A. 3x^2-3B. x^2-3x+1C. 3x^2+3D. -3x^2+3答案：A4. 函数y=e^x的导数是：A. e^xB. e^(-x)C. -e^xD. 1/e^x答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示______。
答案：函数f(x)在点x=a处的导数2. 设函数f(x)=x^2+2x+1，则f(2)的值为______。
答案：93. 若序列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则a_5的值为______。
答案：334. 函数y=ln(x)的定义域是______。
答案：(0, +∞)三、解答题（每题15分，共60分）1. 求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1, 4]上的最大值和最小值。
答案：函数f(x)=x^2-4x+3的导数为f'(x)=2x-4。
令f'(x)=0，解得x=2。
在区间[1, 2)上，f'(x)<0，函数单调递减；在区间(2, 4]上，f'(x)>0，函数单调递增。
因此，最小值为f(2)=-1，最大值为f(1)=0或f(4)=3。
2. 计算极限lim(x→0) (x^2+3x+2)/(x^2-x+1)。
答案：lim(x→0) (x^2+3x+2)/(x^2-x+1) = (0+0+2)/(0-0+1) = 2。
数学分析考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是有界函数？A. f(x) = sin(x)B. f(x) = e^xC. f(x) = x^2D. f(x) = 1/x2. 函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数3. 如果函数f(x)在点x=a处连续，那么：A. f(a)存在B. f(a) = 0C. lim(x->a) f(x) = f(a)D. lim(x->a) f(x) 不存在4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/35. 函数序列fn(x) = x^n在[0, 1]上一致收敛的n的取值范围是：A. n = 1B. n > 1C. n < 1D. n = 26. 级数∑(1/n^2)是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 无界序列7. 如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么：A. f(x)在[a, b]上连续B. f(x)在[a, b]上一定有界C. f(x)在[a, b]上单调递增D. f(x)在[a, b]上无界8. 函数f(x) = |x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导9. 微分方程dy/dx + y = 0的通解是：A. y = Ce^(-x)B. y = Ce^xC. y = Csin(x)D. y = Ccos(x)10. 函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式是：A. f(x) = 1 + x + ...B. f(x) = x + ...C. f(x) = 1 + x^2 + ...D. f(x) = 1 + x^3 + ...二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x->0) (sin(x)/x) 的值是 _______。
12. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的拐点是 _______。
考研数学分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b) = 0，若f(x)在区间(a, b)内至少有一个最大值点，则下列说法正确的是（）。
A. f(x)在[a, b]上必有最大值B. f(x)在[a, b]上必有最小值C. 函数f(x)在[a, b]上单调递增D. 函数f(x)在[a, b]上单调递减2. 下列级数中，发散的是（）。
A. ∑(-1)^n / nB. ∑1/n^2C. ∑(1/n - 1/(n+1))D. ∑sin(n)3. 已知函数F(x)在点x=c处可导，且F'(c)≠0，那么下列说法中正确的是（）。
A. F(x)在x=c处连续B. 函数F(x)在x=c处一定取得最大值或最小值C. 可导性不能保证函数的连续性D. F(x)在x=c处取得极值4. 对于函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5，其在区间[1, 5]上的最大值是（）。
A. 5B. 10C. 15D. 205. 设f(x)在[a, b]上可积，若∫[a, b] f(x) dx = 10，则下列说法中错误的是（）。
A. f(x)在[a, b]上非负B. 存在x₀∈[a, b]，使得f(x₀) > 0C. 存在x₀∈[a, b]，使得f(x₀) = 10/b - aD. f(x)可以是负函数6. 函数f(x) = e^x / (1 + e^x)的值域是（）。
A. (-∞, 0)B. (0, 1/2)C. (0, 1)D. (1/2, +∞)7. 下列选项中，不是有界函数的是（）。
A. y = sin xB. y = e^xC. y = x^2D. y = 1/x8. 设函数f(x)在点x=1处可导，且f'(1) = 2，那么f(1 + h) - f(1)在h趋近于0时的表达式是（）。
A. 2hB. 2h + o(h)C. h^2D. o(h)9. 对于函数f(x) = x^2，其在区间[-1, 1]上满足拉格朗日中值定理的条件，且存在ξ∈(-1, 1)，使得（）。
山东师范大学成人高等教育《数学分析》课程复习题A参考答案在试卷后（7月无纸化考试）一、 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1 . 若(,)f x y 在点(0, 0)的两个偏导数存在，则(,)f x y 在点(0, 0) （ ） （A ）连续且可微；（B ）连续但不一定可微； （C ）可微但不一定连续；（D ）不一定可微也不一定连续.2. 函数2221zy x u ++=在点)1,1,1(处最大方向导数为（ ）．（A ）21； (B) 31； (C)１； (D)31．3. 设D 由y y x 222=+围成的圆域，则二重积分DI dxdy ==⎰⎰（）．（A ）π2； (B)4π ； (C)π； (D) 2π． 4. 圆弧1=r 以外而圆弧θcos 2=r 以内的图形的面积等于（ ）． (A)216+π； (B)233-π； (C)216-π； (D)233+π．5. 函数x y x y x z 9332233-++-=的极小值点是（ ）（A ）)0,1( （B ）)2,1( （C ）)0,3(- （D ）)2,3(-二、 填空题（每小题3 分，共 15 分）1、函数)ln(22x y yx z -+=的定义域为 。
2、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f .3、 二元函数225z x y =--的极大值点是 。
4、 设2223z x xy y =+-，则2zx y∂=∂∂ 。
5、 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=y xx y x f ln ),(，求此函数在点)1,1(0P 处的全微分=)1,1(df。
三、 简答题（每小题10 分，共20 分）1、叙述二元函数()f P 关于集合D 在点0P 连续的定义。
2、叙述高斯公式。
四、 计算题（每小题 8 分，共 40 分）1、求二重极限 11lim222200-+++→→y x y x y x .2、),(y x z z =由xy e z z=+确定，求y x z∂∂∂2.3、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值.4、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx .5、计算二重积分22()Dxy dxdy+⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域.五、 证明题（共10 分）设)(22y x f y z -=,其中)(u f 为可导函数, 证明211y zy z y x z x =∂∂+∂∂.山东师范大学成人高等教育《数学分析》课程复习题A 答案六、 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）D B C D A二、填空题（每小题3 分，共 15 分） 1、{}22(,),1x y y x y x >-≠2、2(1)1x y y -+3、 (0,0)4、 35、=)1,1(dfdy dx 21-七、 简答题（每小题10 分，共20 分）1、叙述二元函数()f P 关于集合D 在点0P 连续的定义。
自考数学分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是周期函数？A. y = sin(x)B. y = e^xC. y = ln(x)D. y = x^2答案：A2. 函数f(x) = x^3 + 2x在区间(-∞, +∞)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数答案：A3. 极限lim (sin(x))/x 当x→0时的值是：A. 1B. -1C. 0D. 2答案：A4. 以下哪个选项是洛必达法则的应用？A. 0/0 型不定式B. ∞/∞ 型不定式C. 0•∞ 型不定式D. ∞ - ∞ 型不定式答案：B5. 函数f(x) = 1/x在x=0处是：A. 连续的B. 可导的C. 有界的D. 无界的答案：D6. 以下哪个序列是收敛的？A. 1, 1/2, 1/3, ...B. 2, 2, 2, ...C. -1, 1, -1, 1, ...D. -1, -2, -3, ...答案：B7. 如果函数f(x)在点x=a处可导，那么f'(a)表示：A. 函数在该点的斜率B. 函数在该点的切线方程C. 函数在该点的值D. 函数在该点的二阶导数答案：A8. 以下哪个选项是泰勒级数的基本形式？A. f(x) = Σ[(-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!]B. f(x) = Σ[f^(n)(a) * (x-a)^n / n!]C. f(x) = Σ[f^(n)(0) * x^n / n!]D. f(x) = Σ[f(a) * (x-a)^n]答案：C9. 以下哪个选项是定积分的几何意义？A. 曲线下的面积B. 曲线上的点的集合C. 曲线的长度D. 曲线的斜率答案：A10. 以下哪个选项是微分方程dy/dx = y/x的一个解？A. y = x^2B. y = e^xC. y = xD. y = 1/x答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^2 + 3的最小值是______。
《数学分析（一）》题库及答案一．单项选择1、函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为_______。
A ．]1,2[-B ．]2,1[-C ．[0,3]D ．[1,3]2、函数)(x f 在0x x →时极限存在，是)(x f 在0x 点处连续的_______。
A ．充分但非必要条件B ．必要但非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件3、设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=1,11,21,1)(x xx x x x f ，则=→)(lim 1x f x _______。
4、设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0,10,sin )(x x x x x x f ，则=→)(lim 0x f x ________。
A ．-1 B ．0 C ．1 D ．不存在5、已知)1ln()(a x x f += )0(>x ，则=')1(f ________。
A ．aB ．2aC ．21 D ． 1 6、若在区间),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(<'x f ，二阶导数0)(>''x f ，则)(x f 在),(b a 内是________。
A ．单调减少，曲线上凸B ．单调增加，曲线上凸C ．单调减少，曲线下凸D ．单调增加，曲线下凸二、填空题1、函数)43cos(π+=xy 的周期为________。
2、=+∞→x x x)21(lim ________。
3、设x y 2sin =，则='''y ________。
4、设,2xe y =则y '''=_______。
5、设,)(lim 0A x x f x =→则=→xbx f x )(lim 0_______。
6、曲线xy 1=的渐近线是_______、_______。
三、判断对错1. 设函数在)(x f （a 、b ）上连续，则在)(x f [ a 、b ] 上有界。
数学分析复习题及答案一.单项选择题1. 已知, 则=（）A. B. C. D.2. 设, 则（）A. B. C. D.3. （）A. B. C. D.4. 下列函数在内单调增加的是（）A. B. C. D.二、填空题1. 设函数2.3．在处连续, 则三、判断题1. 若函数在区间上连续, 则在上一致连续。
（）2. 实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点。
（）3．设为定义在上的单调有界函数, 则右极限存在。
（）四、名词解释1. 用的语言叙述函数极限的定义2. 用的语言叙述数列极限的定义五、计算题1. 根据第四题第1小题证明2. 根据第四题第2小题证明3. 设, 求证存在, 并求其值。
4．证明：在上一致连续, 但在上不一致连续。
5. 证明: 若存在, 则6. 证明: 若函数在连续, 则与也在连续, 问: 若在或在上连续, 那么在上是否必连续。
一、1.D 2.C 3.B 4.C二、1. 2. 3.三、1.× 2.√ 3.√四、1.函数极限定义: 设函数在点的某个空心邻域内有定义, 为定数。
, , 当时, , 则。
2.数列极限定义：设为数列, 为定数, , , 当时, 有, 则称数列收敛于。
五、1.证明:, , 当时, ；得证。
2.证明:令, 则, 此时, ,, , 当时,3.证明：⑴，⑵)1)(1(1111111----+++-=+-+=-n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x 而, 由数学归纳法可知, 单调增加。
综合⑴, ⑵可知存在,设, 则由解得=A 215+（负数舍去）4.证明: 先证在上一致连续。
, 取, 则当且有时, 有 []δ•''+'≤''-'''+'=''-'x x x x x x x f x f ))(()()(εε<+⋅++≤)(2)1(2b a b a故2)(x x f =在[]b a ,上一致连续。
数学分析题库（1-22章）四．计算题、解答题求下列极限解：１.∞=+=--+=--∞→∞→∞→)2(lim 2)2)(2(lim 24lim2n n n n n n n n n ２． 111lim(1)1223(1)n n n →∞++++⋅⋅+111111lim(1)122311lim(1)11n n n n n →∞→∞=+-+-++-+=-=+３．111cos lim cos 1lim00===-→→x e x e x x x x ４.这是型，而 )1()1ln()1()1(]111)1ln(1[)1(][])1[(2121)1ln(11x x x x x x x x x x x ex xxx x x+++-+=+⋅++-+='='++故 原极限＝12(1)ln(1)lim(1)(1)xx x x x x x x →-++++ 2001ln(1)1lim2311lim 261x x x e x x e x x →→-+-=⋅+-=⋅⋅=∞++53)1(lim )1()1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→n n n n n n n n n n n 6 211lim(1)nn n n →∞++22(1)121lim(1)1n n n n n n n n +⋅+→∞=++因1)1(lim 2=+∞→nn n n ， ∞=+∞→1lim 2n n n 故原极限＝e e =1. 7． 用洛必达法则333sin 3cos 2lim 3cos sin 21lim66=--=-→→xx x x x x ππ8. 00111lim()lim 1(1)x x x x x e xx e x e →→---=--0011lim lim 122x x x x x x x x e e xe e xe e →→-===+-+ 9. xx xx x sin tan lim--→;解法1：200tan sec 1lim lim sin 1cos x x x x x x x x →→--=--2201cos lim cos 1cos x x x x →-=-（）201cos limcos 2 x x x →+==解法2：2002030tan sec 1lim lim sin 1cos 2sec tan lim sin 2limcos 2x x x x x x x x x xx xxx→→→→--=--===10． 10lim(sin 2cos )xx x x →+解 因00sin 2cos 12cos 2sin limlim 21x x x x x xx →→+--==， （3分）故原式1sin 2cos 1sin 2cos 10lim(1sin 2cos 1)x x x x xx x x +-+-→=++-=2e求下列函数的导数sin 11.cos 12.ln(ln )13.14.sin .x xy e x y x y xy x ====求的各阶导数解 11x e x e y xxsin cos -=' 12 xx x x y ln 11ln 1=⋅=' 13)sin ln (cos )(sin ln sin xxx x x ey x xx +='=' 14 . cos sin()2y x x π'==+()sin sin(2)2cos sin(3)2sin()2n y x x y x x y x n πππ''=-=+⋅''=-=+⋅=+ 15 x e x e y xx2cos 22sin +=' 16 )1sin (ln cos 1xx x x y +-⋅+='17 )tan )ln(cos (cos )(cos ][sin )ln(cos sin x x x x e y x x x +='='18 ),2,1(),2)1(sin()( =⋅++=n n x yn π.19．1tan 22113sec ln 3x x x x x++-； 20.求下列函数的高阶微分：设x e x v x x u ==)(,ln )(，求)(),(33vud uv d解 因为xx x x x e x x xx e x e x e x e x v u v u C v u C v u dx uv d )ln 332(ln 13132)(2323231333++-=⋅+⋅+-⋅+='''+'''+'''+'''=所以 3233333)ln 332()()(dx x xx x e dx dx uv d uv d x ++-== )ln 332()(ln 13)(132)(ln )(23233333x x xx e e x e x e x e x e x dx d v u dx d x xx x x x -++=-⋅+⋅⋅+--⋅+=⋅=------所以 3233)ln 332()(dx x x xx e vud x-++=- 21. ;)(arctan 23x y = 解：332362arctan (arctan )6 arctan 1y x x x x x''==+22. ;xx y x =解： 令1xy x =,1ln ln y x x =两边对两边对x 求导有11ln 1y x y '=+,()ln x x x x x x x '=+ ln ln x y x x =两边对x 求导有(ln )x y x x y''= 1121 ()ln (ln ) (ln )ln ((ln )ln ) (ln ln )xxx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x ---''=+=++'=++=++23. 求由参量方程⎪⎩⎪⎨⎧==;sin ,cos t e y t e x tt所确定的函数的二阶导数:22dx y d 解法1：⎪⎩⎪⎨⎧==;sin ,cos t e y t e x tt由含参量方程的求导法则有cos sin cos sin cos sin cos sin t t t t dy e t e t t t dx e t e t t t++==-- 求22d y dx 即求参量方程cos sin ,cos sin cos ;t dy t tdx t t x e t +⎧=⎪-⎨⎪=⎩的导数 222223(cos sin )(cos sin )()2(cos sin )(cos sin )(cos sin )t t t t t t dyd d y t t dx dx dxe t t e t t -++-===-- 解法2：⎪⎩⎪⎨⎧==;sin ,cos t e y t e x tt由含参量方程的求导法则有cos sin cos sin tan()cos sin cos sin 4t t t t dy e t e t t t t dx e t e t t t π++===+-- 求22d y dx 即求参量方程tan(),4cos ;t dyt dx x e t π⎧=+⎪⎨⎪=⎩的导数2232()sec ()4sec ()4cos()4t t dy d t d ydx t dxdx t πππ-+===++24．设3xy x e =, 试求(6)y.解 基本初等函数导数公式，有32333()()3,()6,()6,()=0, 4,5,6,k x x x x x x k ''''''==== ()(e )e ,1,2,,6x k x k ==,应用莱布尼兹公式（6n =）得(6)32e 63e 156e 206e x x x x y x x x =+⋅+⋅+⋅32(1890120)e x x x x =+++.25．试求由摆线方程(sin ),(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩所确定的函数()y f x =的二阶导数.解d ((1cos ))sin cot ,d ((sin ))1cos 2y a t t t x a t t t '-==='--22421cot csc d 1222csc .d ((sin ))(1cos )42t t y t x a t t a t a '⎛⎫- ⎪⎝⎭===-'-- 26 .求2()ln(1)f x x =+到6x 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式.解 因为233ln(1)()23x x x x o x +=-++,所以2()ln(1)f x x =+到6x 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为46226ln(1)()23x x x x o x +=-++.28．解 （1）)0(0sinlim )(lim 0f x x x f mx x ===→→，故对任意正整数m ，f 在0=x 连续. （2）⎩⎨⎧≤>==-=--='-→→→1101sin lim 01sinlim 0)0()(lim)0(1000m m x x x x x x f x f f m x m x x 不存在，故当1>m 时，f 在0=x 可导. （3）先计算f 的导函数.00≠∀x ，000000000000)1sin 1(sin 1sin)(lim1sin 1sin 1sin 1sin lim 1sin 1sinlim)(000x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f mmm x x mm m m x x m m x x --+-=--+-=--='→→→200102000010000000100211cos1sin 11cos 1sin 2sin 2cos2lim 1sin )(lim 00x x x mx x x x x mx x x xx xx xx x x x x x x x x m m m m mx x m m m x x ---→---→-=⋅-=--+++++=⎩⎨⎧≤>=-=-='-→--→→220)1cos 1sin (lim )1cos 1sin(lim )(lim 20210m m x x mx x x x x mx x f m x m m x x 不存在由（2）知，0)0(='f ，于是当2>m 时，有)0(0)(lim 0f x f x '=='→，所以当2>m 时，f '在0=x 连续.29．解 因为23)(,2)(x x g x x f ='='，故当0=x 时，0)0(,0)0(='='g f ，不满足柯西中值定理的条件，所以在区间[-1, 1]上不能用柯西中值定理. 30．证明 （1）对任何0≠x ，有)0(01sin)(24f xx x f =≥=，故0=x 是极小值点. （2）当0≠x 时，有)1cos 1sin 2(1sin 21cos 1sin 21sin 4)(2223xx x x x x x x x x x f -=-='，作数列 221ππ+=n x n ，421ππ+=n y n ，则0→n x ，0→n y .即在0=x 的任何右邻域)0(0+U 内，既有数列}{n x 中的点，也有数列}{n y 中的点.并且0)(>'n x f ，0)(<'n y f ，所以在)0(0+U 内f '的符号是变化的，从而f 不满足极值的第一充分条件.又因为001sin lim)0(240=-='→x x x f x ，00)1cos 1sin 2(1sin 2lim )0(20=--=''→xx x x x x f x ，所以用极值的第二充分条件也不能确定f 的极值.31．答：能推出f 在),(b a 内连续.证明如下：),(0b a x ∈∀，取},m i n {2100x b a x --=ε，于是],[0εε-+∈b a x ，由题设，f 在],[εε-+b a 上连续，从而在0x 连续.由0x 的任意性知，f 在),(b a 内连续.32.试求函数32|2912|y x x x =-+在[1,3]-上的最值和极值. 解32222|2912||(2912)|(2912),10,(2912),03,y x x x x x x x x x x x x x x =-+=-+⎧--+-≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩在闭区间[1,3]-上连续, 故必存在最大最小值.2261812,618126(1)(2),10,6(1)(2),03,x x y x x x x x x x x ⎧-+-⎪'=⎨-+⎪⎩----≤<⎧=⎨--<≤⎩ 令0y '=,得稳定点为1,2x =. 又因(0)12,f -'=-(0)12,f +'= 故y 在0x =处不可导. 列所以0x =和2x =为极小值点, 极小值分别为(0)0f =和(2)4f =,1x =为极大值点, 极大值为(1)5f =.又在端点处有(1)23f -=,(3)9f =, 所以函数在0x =处取最小值0,在1x =-处取最大值23.33.求函数155345++-=x x x y 在[1,2]-上的最大最小值： 解：令()y f x =43222252015 5(43) 5(1)(3)y x x x x x x x x x '=-+=-+=-- 令0y '=解得函数在[1,2]-的稳定点为120,1x x ==, 而(1)10,(0)1,(1)2,(2)7f f f f -=-===-，所以函数在[1,2]-的最大值和最小值分别为 max min (1)2,(1)10f f =-=-. 34. 确定函数25363223+--=x x x y 的凸性区间与拐点: 解：令()y f x =26636,y x x '=--126,y x ''=-1260,y x ''=-=解得12x =， 当1(,)2x ∈-∞时，0y ''<，从而区间1(,)2-∞为函数的凹区间,当1(,)2x ∈+∞时，0y ''>，从而区间1(,)2+∞为函数的凸区间.并且1113()0,()222f f ''==，所以113(,)22为曲线的拐点.35.设11(1,2,)nn a n n ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,则{}n a 是有理数列. 点集{}1,2,n a n =非空有界,但在有理数集内无上确界.数列{}n a 递增有上界,但在有理数集内无极限.36.设11(1,2,)nn a n n ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,则{}n a 是有理数列. 点集{}1,2,n a n =有界无限,但在有理数集内无不存在聚点.数列{}n a 满足柯西准则,但在有理数集内不存在极限.37.不能从H 中选出有限个开区间覆盖10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为H 中任意有限个开区间,设其中左端点最小的为12N +,则当103x N <<+时,这有限个开区间不能覆盖x .38.5232326129.6116ln 1326ln 1.x dx x x dx x x x x x x x C C ⎛⎫=-+-⎪++⎝⎭⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭=+⎛⎛⎜⎜⎠⎠39.令sin ,2x a t t π=<,则()()22222cos sin cos 1cos 2211sin 2arcsin .222a a td a t a tdt t dta x t t C a C a ===+⎛⎫⎛=++=++ ⎪ ⎝⎭⎝⎰⎰⎰⎰40.()222222211131.arctan arctan arctan 1arctan 22211111arctan arctan .22221x x x xdx xd x x d x x x x x dx x x C x ⎛⎫++==-+ ⎪⎝⎭+++=-=-++⎛⎜⎠⎛⎜⎠⎰⎰41.()()23222211432.ln 111121ln 1.x dx dx x dxx x x x x x C +⎛⎫=+=++ ⎪++-+⎝⎭-+=+++⎛⎛⎛⎜⎜⎜⎜⎠⎠⎠42.令t =则有()()2222218,11t t x dx dt t t +-==--, ()()2222242211111ln2arctan 2arctan.1t dt dt t t t t tt C C t ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭-++=-+=-⎛⎛⎜⎜⎠⎠43. 令tan 2xt =,则有22212cos ,11t x dx dt t t-==++, 22(2)111arctan 2arctan 2tan .53cos 2222141(2)d t dx dt x t C C x t t ⎡⎤===+=+⎢⎥-++⎣⎦⎛⎛⎛⎜⎜⎜⎠⎠⎠. 44.()()11111111ln ln ln ln ln 2(1)ee eeeex dx xdx xdx x x x xx x e -=-+=--+-=-⎰⎰⎰.45.()()111111202222t t t t te dt tde tee dt e e ==-=-=⎰⎰⎰.46.12111000011arcsin arcsin 12222d x xdx x x πππ-=-=+=+=-⎛⎛⎜⎜⎠⎠⎰.47.22222111111lim lim 1221nn n i J n n n n n i n →∞→∞=⎛⎫=+++=⋅ ⎪++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑.其中和式是函数21()1f x x=+在[0,1]上的一个积分和,所以11200arctan 41dx J x x π===+⎛⎜⎠. 48.()()()()().xx xaaaF x f t x t dt x f t dt tf t dt =-=-⎰⎰⎰.于是()()()()(),()()x xaaF x f t dt xf x xf x f t dt F x f x '''=+-==⎰⎰.49.以平面00()x x x a =<截椭球面,得一椭圆2222220022111y z x x b c a a +=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以截面积函数为221,[,]x bc x a a a π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.于是椭球面的体积22413aa x V bc dx abc a ππ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎛⎜⎠.50.化椭圆为参数方程: cos ,sin ,[0,2]x a t y b t t π==∈.于是椭圆所围的面积为()2220sin cos sin A b ta t dt ab tdt ab πππ'===⎰⎰.51.(1cos ),sin ,02x a t y a t t π''=-=≤≤,于是所求摆线的弧长为22202sin 82t s a dta πππ====⎛⎜⎠⎰⎰.52.根据旋转曲面的侧面积公式2(baS f x π=⎰可得所求旋转曲面的面积为)02sin 2ln1S πππ⎤==⎦⎰.53.因为2222001111limlim lim 2222AAx xx A A A A xe dx xe dx e e +∞----→+∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰.于是无穷积分2x xedx +∞-⎰收敛,其值为12.54.因为22211111lim lim 1(1)(1)AAA A dx dx x dx x x x x x x +∞→+∞→+∞-⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭⎛⎛⎛⎜⎜⎜⎠⎠⎠ ()111lim ln(1)ln lim ln 1ln 2ln 11ln 2.AA A x x A A x A →+∞→+∞⎛⎫⎛⎫=+--=+--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是无穷积分21(1)dxdx x x +∞+⎰收敛,其值为1ln2-.55.因为1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦,从而级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑的部分和为1111111111()(1)(2)2(1)(1)(2)22(1)(2)4nn k k n k k k k k k k n n ==⎡⎤⎡⎤=-=-→→∞⎢⎥⎢⎥+++++++⎣⎦⎣⎦∑∑.于是该级数收敛,其和为14. 56.因为222111cos2sin 12limlim 112n n n n n n→∞→∞-==,且级数211n n ∞=∑收敛,所以级数111cos n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛.57.因为1lim 1212n n n n →∞==<+,由根式判别法知级数121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑收敛.58.因为()21sinlim21nn nn→∞-=,且级数11n n ∞=∑发散,故原级数不绝对收敛.但{}2sin n 单调递减,且2limsin 0n n →∞=,由莱布尼茨判别法知级数()121sin n n n ∞=-∑条件收敛. 59. 因为1111112sin sin cos cos cos cos 22222n nk k x kx k x k x x n x ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑,当(0,2)x π∈时,sin 02x≠,于是.所以级数1sin n nx ∞=∑的部分和数列111cos cos 221sin 2sin sin 22nn k x n x S kx x x =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==≤∑当(0,2)x π∈时有界,从而由狄利克雷判别法知级数1sin n nxn ∞=∑收敛;同法可证级数1cos 2n nxn ∞=∑在(0,)x π∈上收敛. 又因为2sin sin 11cos 21cos 2222nx nx nx nx n n n n n-≥=⋅=-,级数112n n∞=∑发散,1cos 2n nx n ∞=∑收敛,于是级数11cos 222n nx n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑发散,由比较判别法知级数1sin n nx n ∞=∑发散.所以级数1sin n nxn ∞=∑在(0,2)x π∈条件收敛. 60. 判断函数项级数∑++-1)() 1(n nn nn x 在区间] 1 , 0 [上的一致收敛性. 解 记nn n n n x x v n x u ⎪⎭⎫⎝⎛+=-=1)( , ) 1()(. 则有ⅰ> 级数∑)(x u n 收敛;ⅱ> 对每个∈x ] 1 , 0 [, )(x v n ↗；ⅲ> e n x x v nn ≤⎪⎭⎫⎝⎛+=1|)(| 对 ∀∈x ] 1 , 0 [和n ∀成立. 由Abel 判别法, ∑在区间] 1 , 0 [上一致收敛.61. )(x f n =221xn nx+, ∈x ] 1 , 0 [. 讨论函数列{)(x f n }的一致收敛性. 解 ∞→n lim )(x f n = 0, ∈x ] 1 , 0 [. |)(x f n ― 0|=)(x f n . 可求得10max ≤≤x )(x f n =,0 21) 1 (→/=n f n ) (∞→n . ⇒ 函数列{)(x f n }在区间] 1 , 0 [上非一致收敛.62. 函数列2212,0,211()22,,210, 1.n n x x n f x n n x x n n x n ⎧≤≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎩,2,1=n在]1,0[上是否一致收敛？解：由于(0)0n f =，故0)0(lim )0(==∞→n n f f .当10≤<x 时，只要xn 1>，就有0)(=x f n ，故在]1,0(上有0)(lim )(==∞→x f x f n n .于是函数列（8）在]1,0[上的极限函数0)(=x f ，又由于∞→==-∈n nf x f x f n n x )21()()(sup ]1,0[ )(∞→n ， 所以函数列（8）在[0，1]上不一致收敛. 63. )(x f n 2222x n xen -=在R 内是否一致收敛？解 显然有)(x f n →0, |)()(|x f x f n -= )(x f n 在点n x =n21处取得极大值022121→/=⎪⎭⎫⎝⎛-ne n f n ,) (∞→n . 由系2 , )}({x f n 不一致收敛. 64. 函数列⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<=≤<-≤≤=. 11 , 0), , 2 , 1 ( , 121 ,22,210 , 2)(22x n n n x n x n n n x x n x f n在] 1 , 0 [上是否一致收敛？解 10≤<x 时, 只要1->x n , 就有)(x f n =0. 因此, 在] 1 , 0 (上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0. 0)0(=n f , ⇒ )0(f =∞→n lim )0(n f =0.于是, 在] 1 , 0 [上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0. 但由于021|)()(|max ]1,0[→/=⎪⎭⎫⎝⎛=-∈n n f x f x f n n x , ) (∞→n ,因此 , 该函数列在] 1 , 0 [上不一致收敛. 65. 求幂级数++++74533234333231x x x x 的收敛域 . 解 ++++74533234333231x x x x ∑∞=++=02131n n n x n x 是缺项幂级数 .∞→n lim, 31||||1⇒=+nn a a 3=R . 收敛区间为) 3 , 3 (-. 3±=x 时, 通项0→/. 因此 , 该幂级数的收敛域为) 3 , 3 (-.66. 计算积分⎰-=12dx e I x , 精确到0001.0.解 =-2x e∑∞=-02,!) 1(n nnn x ) , (∞+∞-∈x . 因此,⎰⎰∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞=-11002!) 1(2dx n x dx en n n x ∑⎰∞==-0102!) 1(n n n dx n x ∑∞=+-0!)12(1) 1(n nn n .上式最后是Leibniz 型级数 , 其余和的绝对值不超过余和首项的绝对值 . 为使10001!)12(1<+n n ,可取7≥n .故从第0项到第6项这前7 项之和达到要求的精度.于是⎰-=12dx e I x 1111111352769241112013720≈-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅ 7468.000011.000076.000463.002381.010000.033333.01=+-+-+-=. 67. 把函数)(x f =)5ln(x +展开成)2(-x 的幂级数.解+-+-+-=+-n x x x x x n n 132) 1 (32)1ln(∑∞=--=11) 1 (n n n n x , ] 1 , 1 (-∈x .而7ln 721ln )27ln()5ln(+⎪⎭⎫⎝⎛-+=-+=+x x x =∑∞=-+--117ln 7)2()1(n n nn nx , ] 9 , 5(-∈x .68. 求幂级数∑∞=+0!1n nx n n 的和函数. 解法一 收敛域为) , (∞+∞-,设和函数为)(x S , 则有⎰⎰∑⎰∑∞=∞==+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=xxn x nn n dt t n n dt t n n dt t S 00000)1(!1!1)(∑∞=+=01!n x n xe n x . 因此, ∑∞=+0!1n n x n n =)(x S =x x x e x xe dt t S )1()()(0+='='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰, ∈x ) , (∞+∞-. 解法二 ∑∞=+0!1n nx n n =∑∞=+0!n n n nx ∑∞==0!n nn x ∑∞=+-1)!1(n x ne n x = ∑∞=+=+=+=0)1(!n x x x x ne x e xe e n x x , ∈x ) , (∞+∞-.69. 展开函数xe x xf )1()(+=.解 =+=xxxe e x f )(∑∞=+0!n nn x ∑∞=+=01!n n n x ∑∑∞=∞=-+01)!1(!n n nn n x n x =+1∑∞=1!n n n x ∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++11)!1(1!11)!1(n n nn x n n n x ∑∞==++=1!11n nx n n ∑∞=∞+<+0 || ,!1n nx x n n . 70. 在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数,)(x x f =（i ）,ππ<<-x （ii ）.20π<<x解 （1）（i ）函数f 及其周期延拓后的图象所示. 显然f 是按段光滑的，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数. 由于011()0a f x dx xdx ππππππ--===⎰⎰.当1≥n 时，有211()cos cos 11sin |sin 1cos |0n a f x nxdx x nxdxx nx nxdx n n nx x ππππππππππππππ-----===-==⎰⎰⎰ 11()sin sin 11cos |cos 2,2,n b f x nxdx x nxdxx nx nxdx n n n n n nππππππππππππ----===+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩⎰⎰⎰当为偶数时，当为奇数时.所以在区间),(ππ-上,sin )1(2)(11nnxx f n n ∑∞=+-= （ii ）函数f 及其周期延拓后的图象所示. 显然f 是按段光滑的，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数. 由于20012a xdx πππ==⎰.当1≥n 时2022001cos 11sin |sin 0n a x nxdxx nx nxdxn n ππππππ==-=⎰⎰,2022001sin 11cos |cos 2n b x nxdxx nx nxdxn n πππππππ==-+=-⎰⎰.所以在区间)2,0(π上1sin ()2n nx f x n π∞==-∑. 71. 设)(x f 是以π2为周期的分段连续函数, 又设)(x f 是奇函数且满足)()(x f x f -=π试求)(x f 的Fourier 系数⎰-=πππnxdx x f b n 2sin )(12的值， ,2,1=n . 解 由)(x f 是奇函数，故nx x f 2sin )(是偶函数，再由)()(x f x f -=π，故有()b f x nx x n 2022=⎰ππsin d ()=-⎰220πππf x nx xsin d . 作变换π-=x t ，则()()()b f t n t tn 20221=--⎰πππsin d ()=-⎰220ππf t nt tsin d=-b n 2 .所以,02=n b ,.,2,1 =n72. 设)(x f 以π2为周期，在区间]2,0[π内,()f x x x x =≤<=⎧⎨⎪⎩⎪20202πππ,,,,试求)(x f 的Fourier 级数展开式。
《数学分析（二）》题库及答案一、填空1、⎰=+11- 251dx xx ____________。
2、⎰∞+-= 02dx xe x ____________。
3、=++++⋅+⋅ )1(1321211n n ___________。
4、⎰∞+∞=+ - 2______1xdx。
5、_______)15)(45(11161611=++-++⋅+⋅ n n 。
6、幂级数∑∞=--11)1(n nn nx 的收敛域为______ 。
二、单项选择题1、设)(x f 是),(b a 上的连续函数，则在),(b a 上)(x f 必有___________。
A ．导函数 B ．原函数 C ．最大值 D ．最小值2、设)(x f 在),(+∞-∞上有连续的的导数)(x f '，则___________。
A ．⎰+='c x f dx x f )2(21)2( B ．⎰+='c x f dx x f )2()2( C ．⎰+='c x f dx x f )()2( D ． ⎰=')2(2))2((x f dx x f3、设)(x f 是),(+∞-∞上非零的连续奇函数，则⎰=xdt t f x F 0)()(是___________。
A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．可能是奇，也可能是偶函数 4、设函数)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上______ 。
A ．存在原函数B ．有界C ．连续D ．可导 5、若0lim =∞→n n a ，则数项级数∑∞=1n na______ 。
A ．收敛B ．发散C ．收敛且和为零D ．可能收敛，也可能发散 6、若反常积分⎰∞+ 12)(dx x f 收敛，则⎰∞+ 1)(dx x f ______ 。
A ．发散B ．条件收敛C ．绝对收敛D ．可能收敛，也可能发散。
三．判断对错1．若)(x f 在（a 、b ）内可微，则⎰+=c x f x df )()(。
数学分析复习题及答案
一.单项选择题
1．已知x e x x f +=3)(，则)0(f '=（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 2．设3)21(lim -∞
→=+e x kx x ，则=k （ ） A. 6- B.
23 C. 32- D. 23- 3．⎰
=dx xe x （ ） A. C e x + B. C e xe x x +- C. C e x x +- D. C e x ++1
4．下列函数在),(∞-∞内单调增加的是（ ）
A. x y =
B. x y -=
C. 3x y =
D. x y sin = 二、填空题
1．设函数==+dz e
z y x 则全微分,2 2．.______________23sin lim 0
=→x x x 3．⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>+=<=0)1ln()(00
sin )(x x x k x k x x x x f 为常数在0=x 处连续，则_________=a
三、判断题
1．若函数f 在区间),(b a 上连续，则f 在),(b a 上一致连续。
（ ）
2．实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点。
（ ）
3．设f 为定义在)(0x U ︒上的单调有界函数，则右极限)(lim 0
x f x x +→存在。
（ ） 四、名词解释
1．用δε-的语言叙述函数极限的定义
2．用N -ε的语言叙述数列极限的定义
五、计算题
1．根据第四题第1小题证明04
)1(lim 2=--+∞→n n n
n 2．根据第四题第2小题证明5311lim
22=++→x x x 3．设n n n x x x x x x x ++=++
==+11,,11110010 ，，求证n n x ∞→lim 存在，并求其值。
4．证明：2)(x x f =在[]b a ,上一致连续，但在()+∞∞-,上不一致连续。
5．证明：若)(0x f '存在，则=∆∆--∆+→∆x
x x f x x f x )()(lim 000)(20x f ' 6．证明：若函数)(x f 在0x 连续，则)(x f 与)(2x f 也在0x 连续，问：若在)(x f 或)
(2x f 在I 上连续，那么)(x f 在I 上是否必连续。
一、1.D 2.C 3. B 4.C
二、1. dy e dx e y x y x +++222 2.2
3 3. 1 三、1.× 2.√ 3.√
四、
1. 函数极限定义：设函数f 在点0x 的某个空心邻域);(0δ'︒x U 内有定义，A 为定数。
0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，ε<-A x f )(，则A x f x x =→)(lim 0。
2.数列极限定义：设为数列}{n a ，a 为定数，0>∀ε，0>∃N ，当N n >时，有ε<-a a n ，则称数列}{n a 收敛于a 。
五、1.证明：ε<-<-⋅++=-+<--+2
12121414)1(22n n n n n n n n n )2(>n 0>∀∴ε，21+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=∃εN ，当N n >时，ε<--+4)1(2n n n ；得证。
2. 证明：)13()2()
1(5)13)(2(531122+-<++-=-++x x x x x x x 令1)2(<-x ，则31<<x ，此时，1013<+x ，
∴0>∀ε，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=∃10,1min εδ，当δ<-<20x 时，ε<-++53112x x
3. 证明：⑴211≤≤+n x ，2111≤++=+n
n n x x x ⑵)
1)(1(1111111----+++-=+-+=-n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x 而01x x >，由数学归纳法可知，n x 单调增加。
综合⑴，⑵可知n n x ∞
→lim 存在， 设A x n n =∞→lim ，则由),11(lim lim 1n n n n n x x x ++=∞→+∞→ =A A
A ++11 解得=A 2
15+（负数舍去） 4. 证明：先证2)(x x f =在[]b a ,上一致连续。
0>∀ε，取)1(++=b a ε
δ，则当∈'''x x ,[]b a ,且有δ<''-'x x 时，有
故2)(x x f =在[]b a ,上一致连续。
但2)(x x f =在()+∞∞-,上不一致连续。
取10=ε，无论0>δ取得多小，由01lim
=∞→n
n 知，只要n 充分大， 总可以使n n x 1'+=，n x ='' 的距离δ<=-n
x x 1'''， 但0221)1(2)1()''()'(2ε=>+=-+=-n n n n x f x f 故2)(x x f =在()+∞∞-,上不一致连续。
5.证明：若)(0x f '存在，则=∆∆--∆+→∆x
x x f x x f x )()(lim 000)(20x f ' 证明：由导数的定义， 有)(0x f 'x
x f x x f x ∆-∆+=→∆)()(lim 000 ⑴ 而0→∆x 等价于0→∆-x ，故)(0x f 'x
x f x x f x ∆--∆-=→∆-)()(lim 000 ⑵ ⑴和⑵相比，得)(20x f 'x
x f x x f x f x x f x ∆-∆---∆+=→∆))()(())()((lim 00000 6. 证明：因为)(x f 在0x 连续，所以)()(lim 00x f x f x x =→，
则 0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，ε<-)()(0x f x f
则有 ε<-≤-)()()()(00x f x f x f x f ，所以)()(lim 00
x f x f x x =→即)(x f 在点0x 连续。
又因为 =-)()(022x f x f )()()()(00x f x f x f x f -+
且)(x f 在0x 连续，.0,0,0>>>∃δN M 当δ<-0x x 时，M f N x f ≤≤)0(,)(0 0>∀ε，},m in{1δδδ'=取，则当10δ<-x x 时， 有
=-)()(022x f x f )()()()()(00N M x f x f x f x f +<-+ε 因此)()(lim 0220x f x f x x =→
所以)(2x f 在点0x 连续。
若)(x f 在I 上某点0x 的值0)()(00≠-=x f x f ，则0x 是)(x f 的可去间断点，从而I 上未必连续。
