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功能梯度压电材料的参数处理与自由振动特性分析卿光辉;吴宏伟【摘要】随着压电材料的应用越来越广泛,对压电材料的性能分析也越来越受到重视.针对功能梯度材料固有频率的分析,采用ANSYS 12.0中的Solid98单元进行分析,在此基础上采用ANSYS中的APDL语言进行编程,为实现参数的变化,假定材料的所有性能参数是变化且按同一方向进行变化,变化的方向为板厚方向,从而实现了压电材料性能的梯度化变化,并对其固有频率做了计算与探讨.【期刊名称】《中国民航大学学报》【年(卷),期】2016(034)001【总页数】4页(P36-39)【关键词】功能梯度;压电;ANSYS;固有频率【作者】卿光辉;吴宏伟【作者单位】中国民航大学航空工程学院,天津300300;中国民航大学航空工程学院,天津300300【正文语种】中文【中图分类】O177.91;O241.7功能梯度材料（functionallygradedmaterials，FGM），即材料本身的构成与布局连续变化，材料的宏观特性，诸如弹性模量、压电系数不会发生跳跃性的变化，而在空间上呈现梯度变化，此种材料性能可以减轻或者解决应力集中的问题。
当结构的不同位置有着不同的参数要求时，可以提供相应的功能，改善结构的整体性能。
而功能梯度压电材料（FGPM）的出现，则更进一步解决了压电材料物理性质与结构材料不匹配造成的应力集中现象，使得智能结构与传感器的机电耦合性能得到更大程度的发挥。
压电材料可以用于很多方面，压电驱动器和传感器就是典型的例子。
合理运用压电驱动器和传感器，首先需要计算力与电场对压电板的具体影响。
大量文献研究了如何对均匀压电板进行三维控制，也给出了相应的精确解。
HUANG等[1]建议沿着厚度方向对位移和电势进行坐标展开，运用傅立叶级数来描述动态响应。
但有时傅立叶级数并不能很方便地解出，因此在对未知傅立叶级数进行求解时，需要有特殊的边界条件和外部输入。
GAO和SHEN等[2]对自由振动问题的精确解进行了研究，分析的模型为压电层合板，求解方法为幂级数展开法。
功能梯度材料结构的非线性振动功能梯度材料结构的非线性振动引言：随着科技的不断进步，材料科学领域取得了许多重要的突破。
功能梯度材料是近年来材料科学领域的研究热点之一。
它通过在材料内部实现化学成分和物理性质的连续变化，实现了多种功能的融合，使得材料具备更广泛的应用前景。
功能梯度材料结构的非线性振动是其中一个重要的研究方向。
本文将重点介绍功能梯度材料结构的非线性振动的研究进展、原理和应用。
一、功能梯度材料结构的概述功能梯度材料指的是材料的化学成分、晶体结构和物理性质在空间上呈连续或逐渐变化的材料。
其制备方法多种多样，如溶胶凝胶法、烧结法、搅拌铸造法等。
功能梯度材料在力学、热学、光学、电学等领域都具有广泛的应用。
二、非线性振动的概念线性振动是指振动系统在受到外力作用下，沿一个确定的轨迹进行周期性运动，且力与位移之间呈线性关系。
而非线性振动则是指振动系统在外力作用下，力与位移之间呈非线性关系，即一个振动周期内，系统的振幅和频率都会发生变化。
三、功能梯度材料结构的非线性振动机理功能梯度材料结构的非线性振动主要受到三个因素的影响：材料刚度的梯度变化、材料内部的耗散和非线性材料特性。
1. 材料刚度的梯度变化功能梯度材料结构通常具有横向和纵向两个方向的刚度梯度。
这种刚度梯度的变化会导致材料结构在非线性条件下的振动特性发生变化。
例如，在一定的载荷下，位移沿着横向方向和纵向方向的变化率不同，从而导致振动的非线性变化。
2. 材料内部的耗散功能梯度材料结构的非线性振动还受到其内部的耗散机制的影响。
内部耗散主要通过摩擦力和粘附力的作用来实现，这些耗散会导致能量的衰减和损失。
耗散的存在会导致振动系统的频率下降，振幅减小以及能量的转化。
3. 非线性材料特性功能梯度材料中常见的非线性材料特性包括弹性非线性、塑性非线性和粘弹性非线性等。
这些非线性特性会导致功能梯度材料结构的非线性振动。
例如，材料的弹性模量随着位移的增加而发生变化，导致振动特性的非线性衰减。
梯度功能材料梯度功能材料是指具有渐变性质的功能材料，其物理、化学、结构等性能在空间上呈现出渐变变化的特点。
梯度功能材料是近年来发展起来的一种新型材料，它具有各种优异的性能，可以在许多领域发挥重要作用。
首先，梯度功能材料在力学性能方面具有显著的优势。
由于其物理结构和化学成分在空间上的渐变，梯度功能材料可以实现从硬到软、从脆到韧的过渡。
这对于一些领域，如材料设计、结构工程等非常有意义。
例如，在航天航空领域中，梯度功能材料可以用于制造轻巧但又具有很高抗压、抗弯性能的航天器件。
其次，梯度功能材料在热传导方面也具有独特的优势。
相对于传统材料，梯度功能材料可以实现热导率的逐渐变化。
这对于一些需要控制热传导的应用非常重要。
举个例子，梯度功能材料可以应用于热电子学器件中，以实现热管理和能量转换的最优化。
此外，梯度功能材料在生物医学领域也有广泛的应用。
例如，在组织工程和再生医学中，梯度功能材料可以模拟人体组织的力学性能和结构特点，从而更好地促进生物材料与人体组织的相容性和生物交互性。
此外，梯度功能材料还可以用于医学影像学领域，通过改变材料的渐变特性，实现对特定组织的显影效果。
最后，梯度功能材料还具有其他许多应用潜力。
例如，在能源领域，梯度功能材料可以用于提高储能设备的性能，如电池和超级电容器。
在环境领域，梯度功能材料可以用于制造高效的吸附材料，以去除有害气体和废水中的污染物等。
总而言之，梯度功能材料的出现为各领域的科研和工程应用带来了许多机会。
它的独特性能可以被广泛地应用于力学、热传导、生物医学、能源、环境等领域，为材料科学和工程技术的发展提供了新的思路和方法。
随着研究的深入和进一步的应用开发，相信梯度功能材料将发挥更加巨大的作用。
功能梯度材料的概述摘要：功能梯度材料是一种新型复合材料，本文阐述功能梯度材料的概念，表征，制备方法及应用。
关键词：功能梯度材料(FGM) 概念表征性能制备前景1 概述：功能梯度材料（Functionally Graded Materials,简称FGM）是采用先进的材料复合技术, 使材料的组成、结构沿厚度方向呈梯度变化的一种新型的非均质复合材料。
FGM的概念是由日本学者平井敏雄、新野正之等人于1987 年提出的为了解决在设计制造新一代航天飞机的热应力缓和问题的材料。
在航天飞机推进系统并列喷气燃烧器或再用型火箭燃烧器中, 由于气体燃烧温度高达2000℃ , 燃烧室壁承受的热负荷可达100MW/m2, 因此用做燃烧室壁的材料对耐热性、隔热性、耐久性和强韧性有很高的要求。
最初研究的FGM是表面使用温度达2000K、表里温度相差约1000K 的新型超耐热材。
2 表征:2.1 基于梯度源的功能梯度材料表示方法基于梯度源的功能梯度材料实体模型由香港大学的Y. K. Siu 和S. T. Tan,提出该模型将实体的几何元素 (如点、线、面)作为梯度源,记录该梯度源下的材料成分方程f ( d )及材料数组M, 其中, 材料成分方程f ( d)由各点到梯度源的垂直距离来记录实体内部材料分布情况.2.2 基于力学性能和玻璃化转变温度的功能梯度材料表示方法通过均匀分散碳纳米填料制备FGM ,用玻璃化转变温度和应力与应变行为的梯度来表征这些材料。
当油含量沿着薄层厚度从0 份变为100 份时,FGM 的玻璃化转变温度Tg从- 56 ℃变为- 80 ℃。
油含量的变化也使拉伸强度、弹性模量、拉断伸长率等沿厚度发生变化。
FGM 的机械性能和Tg 的这种变化有助于在过渡区的低温环境下(即- 56 ℃～80 ℃) 既保持弹性又具有强度。
3 制备方法:3.1 电沉积法在含有某种金属离子的电解溶液中将被沉积工件作为阴极，通过一定波形的低压直流电，使金属离子不断在阴极上沉积为金属的过程。
功能梯度材料浅壳结构在弹性冲击下的动态响应分析祁琦【摘要】研究一个以功能梯度材料构成的浅壳体结构在受到弹性冲击后的动态响应.根据冲击方向的不同将问题分为浅球壳冲击问题与浅凹壳冲击问题.采用Mori-Tanaka法则得到功能梯度壳的局部属性分布;运用一般三阶剪切变形理论,结合Von-Karman方程和哈密顿原理得到壳体在冲击下的运动控制方程;使用有限差分法和Newmark法对问题进行离散,再采用有限迭代法求得问题的解,最后得到功能梯度壳在弹性冲击下的响应.对比功能梯度浅凹壳和浅球壳的响应结果,数值结果表明功能梯度浅凹壳表现出更好的抗冲击性能.【期刊名称】《上海工程技术大学学报》【年(卷),期】2018(032)004【总页数】7页(P334-340)【关键词】功能梯度材料;浅球壳;弹性冲击;工程力学【作者】祁琦【作者单位】淮南联合大学机电系,淮南232001【正文语种】中文【中图分类】O347.3近年来,在航天航空、汽车、船舶等领域内,功能梯度材料(Functionally Gradient Materials,FGM)逐渐变成一种非常有竞争力的功能性材料.功能梯度材料作为一种广泛使用的材料,其构件需要满足各种环境下的工作要求,尤其工程中广泛存在的冲击现象，如冰雹冲击[1]、空中坠物冲击、汽车交通事故等.研究功能梯度结构在冲击下的动态响应,包括应力和位移在内的响应有着很重要的工程与科研意义,因而也引起学者的大量研究与关注.但由于功能精度材料非线性响应受冲击物的形状、材料、冲击角度与速度等许多因素的影响以及接触理论的复杂性,直至今天,对功能梯度材料结构进行精准的非线性动力学响应分析仍然是力学研究与机械材料研究中的一个难点和热点.因此,研究弹性冲击下的浅壳结构板的位移、正应力和接触力等响应问题是非常有必要的,同时也可以为功能梯度浅壳结构的设计与冲击问题求解提供理论支持和指导.功能梯度材料作为一种广泛应用的材料,其制作成涂层、构件等结构后的性能也被广泛研究：Ghorbanpour等[2]利用有限元法对封闭和开放的空心球体进行三维求解,研究内部压力和均匀温度场的影响;Dai等[3]采用积分方法提出一种解析解,解决了一个长的极化功能梯度空心旋转圆柱的轴对称问题,利用电磁热弹性的无穷小理论提出在耦合多场下功能梯度空心球的动态电磁弹性响应;Mao等[4]采用有限差分法对功能梯度板进行非线性动态响应和主动振动控制等相关研究.目前,对功能梯度材料所制各种结构研究的文献较为丰富，但对凹壳与浅球壳在低速冲击下的动态接触模型与热弹性行为研究的文献较少.本研究主要针对此不足,建立相应的动态接触力学模型,并进行数值求解与讨论.1 模型与理论部分1.1 几何模型图1为功能梯度材料浅凹壳和浅球壳的冲击模型示意图.浅凹壳的几何形状为浅球壳的对称结构.其中,FGM壳的厚度为h；面内曲率半径为R；基圆半径为r；凹壳中心和其上任意一点关于曲率中心的圆心角为θ；冲击小球的初速度为v0.1.2 功能梯度板性能图1 冲击模型示意图Fig.1 Schematic diagrams of impact model以图1所示的FGM壳为例,从功能梯度圆板的受冲击面到另一面完成由材料A到材料B的过渡,典型的A、B的选取可为金属基材料和陶瓷材料.FGM壳局部的等效材料属性采用Mori-Tanaka法则确定,材料的体积分数分布为(1)(2)式中：Vm和Vc分别为金属相和陶瓷相的体积分数；z和n分别为垂直方向坐标和体积分数指数(-h/2≤z≤h/2).在图1所示的坐标系中,受冲击面的坐标为z=h/2,其反面的坐标为z=-h/2.根据Mori-Tanaka法则,FGM壳局部的相应的等效体积模量K和剪切模量G分别为(3)(4)得到等效弹性模量及泊松比分别为(5)采用线性混合法则计算等效质量及热传导系数,公式为(6)式中：η(z)为任意厚度处的相关性能参数；ηc和ηm分别为陶瓷、金属相对应的性能参数.1.3 热传导方程本研究中考查功能梯度板性能的热环境为典型的一维定常温度场,其温度沿壳的厚度方向变化,可得热传导方程为(7)其中，k(z)为功能梯度板的热传导率,由式(6)可得k(z)=(km-kc)Vm+kc(8)其温度边界为(9)求解可得(10)1.4 功能梯度板的运动控制方程运用玻耳兹曼叠加原理可以得到FGM壳在温度场下的应力—应变本构关系为(11)式中：和α(z)分别为应力、应变、泊松比、杨氏模量和热膨胀系数(i=r,rz,θ).根据一般三阶剪切变形理论,FGM球壳在其上任何一点的位移(u,v,w)沿坐标(φ,θ,z)可表示为[5](12)式中：u0、v0、w0为FGM壳的中面内位移分量；φu、φv为曲面法线与对应坐标的夹角；ψ,η为对应方向的高阶剪切函数；t为时间变量.考虑到球壳在中心处冲击变形下的轴对称性,对其应用Von-Karman非线性方程,可得该FGM壳的应变几何关系为(13)由于球壳外表面的横向剪切应不存在,由式(12)、(13)可得高阶剪切函数为(14)为推导与分析的便捷性,引入处于球壳底圆沿半径方向的坐标系O-r,得几何关系如下(15)由式(12)至式(14)可得(16)其中(17)考虑FGM壳的运动控制方程,由哈密顿原理(δ∏=0)及式(13)可得运动控制方程为(18)式中：Nr、Nθ、Mr、Mθ、Qrz为对应的内力；I为惯性矩.由式(18)可得其在温度载荷与低速冲击下的非线性平衡方程为(19)1.5 接触力分析对图1所示的FGM壳受到球形冲击物冲击的过程建立动态赫兹接触模型可得F(x,y,t)=k(t)α(x,y,t)3/2(20)其中α(x,y,t)=w(t)-w1(t)(21)式中：w(t)为t时刻下冲头的位移;w1(t)为t时刻下板的横向挠度;k(t)为接触系数.其中k(t)的计算式为[6](22)式中:E1、E2分别为冲击物、被冲击面的杨氏模量；ν为被冲击物的泊松比；R(t)为接触半径，计算式为(23)式中:R1为冲击头的半径;为t时刻被冲击物在冲击处的曲率.由于FGM壳结构具有对称性,在中心冲击处沿各个方向的曲率都是相同的,因而有κ(t)=wθ(t)(24)设冲击物的位移为w(x,y,t),由Sun等[7]研究可知,其表达式为F(x,y,t)dt(25)其中，m为冲击物的质量.由方程式(21)以及式(25)可得F(x,y,t)dt-ws(x,y,t)(26)显然,由式(26)难以求解接触力F的解析解.此处采用时间增量法,将整个接触过程分为l个时间段,每一段时长为Δt,如果l取的足够大,那么可以认为在任意时间段[iΔt,(i+1)Δt]内接触力F与接触系数k为常数,且不影响计算结果.在这一假设下可得[8](27)其中∑Dl-i+1Fi= 2∑(l-i)∑(-1)i-jFj+∑(-1)l-iFi(28)式(27)即为接触力的数值解.2 问题的求解首先,为求解与推导的便利性,引入无量纲变化及刚度系数如下代入式(18)可得其无量纲化的运动控制方程、此处考虑图1中固支边界条件,可以得到其无量纲边界条件如下：显然,对式(18)、式(27)的问题是难求得其解析解的,因此本研究使用有限差分法和Newmark法对变量在空间和时间上进行离散,离散后在任意离散时间Δt内使用有限迭代法进行求解.应用有限差分法对浅球壳进行划分,则U、W及其各阶偏导均可用差分公式来表示.W关于时间t的偏导由Newmark法可表示为[9](29)其中，XI为变量X在迭代步I时的值.由于式(17)中存在非线性项使求解变得困难,此处先对其中的非线性项进行线性化处理[10]如下(x·y)I=(x)I·(y)IP(30)其中，(y)IP由二次外推法推算前几步的值得出,即(31)其中(32)为减小二次外推法运算带来的误差,在时间段[(I-1)Δt,IΔt]内进行有限次迭代运算,直到前后两次迭代结果的误差小于0.1%即可停止迭代,并进行I+1步的运算[11].3 结果与讨论针对图1所示结构,在曲率半径有限且不可近似为板结构的情形下进行模拟数值计算.考虑一功能梯度浅球壳受到一弹性小球的冲击,取浅球壳与凹壳的厚度为5 mm，基圆半径为200 mm，中面内曲率半径为1 000 mm,受冲击面材料的弹性模量、泊松比、热传导系数、热膨胀系数、密度分别为200 GPa、0.3、10 W/(m·K)、6×10-6 K-1、7 800 kg/m3,反面材料的弹性模量、泊松比、热传导系数、热膨胀系数、密度分别为100 GPa、0.3、10 W/(m·K)、6×10-6 K-1、7 800 kg/m3,冲击物直径为4 cm,材料选取与受冲击面一致,冲击速度为10 m/s.温度场施加于反面且高于无应力温度300 K,受冲击面维持无应力温度,体积分数指数n为1.在未作说明的算列中,计算均采用上面所示的默认参数.功能梯度壳在冲击中心处的位移历史曲线如图2所示.图2 考虑不同冲击速度下功能梯度浅球壳挠度响应Fig.2 Response of deflection of shallow spherical shell under different impact velocities由图可见，随着时间推移,冲击中心处的位移会逐渐增大,而且冲击速度增加时最大挠度有显著的增加,而响应时长只是略有增加.功能梯度壳在不同冲击速度下的冲击力历史曲线如图3所示.由图可以看出,冲击速度对冲击力的影响非常大,对接触时间也有一定影响,随着冲击速度的增加,接触时间会略有增加.考虑不同温度对响应结果的影响,设T为与无热应力时温度之差,分别选取270、350和420 K 3个温度差进行计算.功能梯度壳在冲击中心处的位移历史曲线如图4所示.从图4可以看出,当温度升高时,功能梯度壳变“软”了,即最大挠度随温度的升高而增大,这是由温度应力增大导致的,同时冲击响应周期也随温差增大略微增大. 图3 考虑不同冲击速度下功能梯度浅球壳冲击力响应Fig.3 Response of impact force of shallow spherical shell under different impact velocities图4 考虑不同温度场下功能梯度浅球壳挠度响应Fig.4 Response of deflection of shallow spherical shell under different temperature fields功能梯度壳在不同冲击速度下的冲击力历史曲线如图5所示.由图可以看出,冲击力受温度的影响相比较受冲击速度的影响要小得多,而且随温度升高冲击力幅值有所减小,这可以理解为由于温度升高降低了板的抗弯性能.同时温度对接触时间有较小的影响,随着温度升高,接触时间会略有上升.图5 考虑不同温度场下功能梯度浅球壳冲击力响应Fig.5 Response of impact force of shallow spherical shell under different temperature fields考虑不同体积分数指数对响应结果的影响,设n为体积分数指数,分别选取0.1、0.5和2.0进行计算.功能梯度壳在冲击中心处的位移历史曲线如图6所示.由图6可以看出,随着功能梯度指数减小,功能梯度壳变“软”了,即随着功能梯度材料的体积分数指数减小，挠度会有所增大.由功能梯度材料的分布函数可知,体积分数指数减小是结构中杨氏模量偏大的那部分成分减小所导致的,同时冲击响应周期也会随温度升高略微减小.图6 考虑不同体积分数指数下功能梯度浅球壳挠度响应Fig.6 Response of deflection of shallow spherical shell with different index of volume fraction 功能梯度浅球壳在不同体积分数指数下的冲击力响应历史曲线如图7所示.由图可以看出,冲击力受体积分数指数的影响相对受冲击速度的影响要小一些,而且功能梯度浅球壳的体积分数增大时,冲击力曲线会有较为明显的增大,这是由于此时FGM 板的材料主要由下表面的材料组成,因而FGM浅球壳材料整体的弹性模量较大，从而导致冲击下的最大冲击力的值较大.值得注意的是,当FGM板的整体弹性模量较大时,冲击过程中冲击力的峰值也更大,但冲击过程的时长会略有缩短.功能梯度浅球壳和与之几何对称的功能梯度浅凹壳在冲击中心处的位移历史曲线如图8所示.由图可以看出,两者几何对称而功能梯度体积分布指数方向相反,浅凹壳相比浅球壳结构有更强的抗冲击能力,在相同工况下受到冲击时其挠度会相对小一些. 功能梯度浅球壳和与之几何对称的功能梯度浅凹壳在冲击中心处的冲击力历史曲线对比如图9所示.图7 考虑不同体积分数指数下功能梯度浅球壳的冲击力响应Fig.7 Response ofimpact force of shallow spherical shell with different index of volume fraction图8 功能梯度浅球壳和浅凹壳挠度响应Fig.8 Response of deflection of shallow spherical shell and shallow concave shell图9 功能梯度浅球壳和浅凹壳冲击力响应Fig.9 Response of impact force of shallow spherical shell and shallow concave shell由图可以看出,两者结构几何对称而功能梯度体积分布指数方向相反.从前文推导可见,两种结构的冲击力差别是由接触面的形状所决定的.凹壳结构的接触系数更大一些,相对而言其有更强的抗冲击能力,冲击力幅值略大而接触时间略短,这也可以理解为凹壳结构抗冲击能力更强.4 结语本文研究了功能梯度浅凹壳与浅球壳结构在定常温度场下在弹性冲击下运用动态接触模型的力学响应问题,就此模型出发,推导了相应的动态接触力及相应的支配方程,并进行数值求解与讨论.通过数值结果分析可以得到以下结论.1) 功能梯度浅壳结构在弹性冲击下,对响应结果影响最大的是冲击动能,冲击动能增加会大大增加其挠度幅值,略微增加接触时长.2) 在环境温度有所上升的情况下,功能梯度浅壳结构会显得更“软”,即在相同的外部条件下,其挠度响应幅值会随温度上升,而冲击力幅值略有下降同时接触时长略微增加.3) 功能梯度浅凹壳相比与之结构对称、功能梯度分布相反的功能梯度浅球壳来讲，具有更强的抗冲击能力.参考文献:【相关文献】[1] HAMMETTER C I,JONES R L,STAUFFACHER H L,et al.Measurement and modeling of supersonic hailstone impacts[J].International Journal of Impact Engineering,2017,99:48-57.[2] GHORBANPOUR ARANI A,KOLAHCHI R,MOSALLAIE BARZOKI A,et al.Electro-thermo-mechanical behaviors of FGPM spheres using analytical method and ANSYSsoftware[J].Applied Mathematical Modelling,2012,36(1):139-157.[3] DAI H L,DAI T,ZHENG H Y.Stresses distributions in a rotating functionally graded piezoelectric hollow cylinder[J].Meccanica,2012,47 (2):423-436.[4] MAO Y Q,FU Y M.Nonlinear dynamic response and active vibration control for piezoelectric functionally graded plate[J].Journal of Sound 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第２０卷第６期２０２２年１２月动力学与控制学报ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＤＹＮＡＭＩＣＳＡＮＤＣＯＮＴＲＯＬＶｏｌ．２０Ｎｏ．６Ｄｅｃ．２０２２文章编号：１６７２ ６５５３ ２０２２ ２０（６） １０１ ０５ＤＯＩ：１０．６０５２／１６７２ ６５５３ ２０２２ ０４７ ２０２２ ０８ ２０收到第１稿，２０２２ ０９ ２８收到修改稿．国家自然科学基金资助项目（１２１７２２８１，１１９７２２８４），基础加强１７３计划基金项目（２０２１ ＪＣＪＱ ＪＪ ０５６５），陕西省科技创新团队资助（２０２２ＴＤ ６１）和陕西高校青年教师创新团队资助 通信作者Ｅ ｍａｉｌ：ｗｐｈｕ＠ｎｗｐｕ．ｅｄｕ．ｃｎ轴向运动功能梯度梁横向振动问题的保结构分析刘涛１ 周洋忻２ 胡伟鹏２（１．榆林市城市投资经营集团有限公司，榆林 ７１９０００）（２．西安理工大学土木建筑工程学院，西安 ７１００４８）摘要 轴向运动速度和材料的非均匀性对轴向运动功能梯度梁振动问题分析提出了严峻挑战．本文在简要回顾轴向运动功能梯度梁横向振动动力学模型基础上，基于无限维动力学系统的对称破缺理论和广义多辛分析方法，构造了横向振动模型的保结构数值格式，并在给定材料参数时给出了数值格式具有良好保结构性能的条件．分别采用微分求积法、复模态法和保结构方法分析横向振动模型的前六阶频率，发现保结构方法得到的频率结果与复模态法得到的结果吻合较好，在此基础上分析了微分求积法的主要误差来源，以指导微分求积法的改进，并为复杂动力学系统的数值求解提供了新途径．关键词 保结构， 轴向运动功能梯度梁， 对称破缺， 广义多辛， 横向振动中图分类号：Ｏ３０２文献标志码：Ａ引言功能梯度材料由于控制界面的成分和组织连续变化，使材料的热应力大为缓和，而在航空航天、机械工程、生物医药等领域应用广泛［１ ３］．智慧建造［４］这一全新概念的提出，使得传统单一均匀材料无法满足建筑设计工程的需求，因此，功能梯度材料将是未来实现很多智慧建造特殊功能的不二选择．作为智慧建造中的基本力学构件，功能梯度梁的动力学行为分析尤为重要．特别是在装配式智慧建造过程中，功能梯度梁运输及吊装过程的横向振动特性对运输和吊装过程的稳定性影响显著．Ｓａｎｋａｒ［５］基于Ｅｕｌｅｒ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁理论，得到了横向载荷作用下功能梯度梁弹性范围内的解．Ｒｅｄｄｙ［６］基于ｖｏｎＫａｒｍａｎ几何非线性理论，建立了功能梯度梁的非线性Ｅｕｌｅｒ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁模型和Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁模型．丁虎［７］、王忠民等［８］轴向运动功能梯度梁振动模型，并分别采用伽辽金法和微分求积法分析其振动特性，为本文分析功能梯度梁横向振动过程奠定了基础．刘金建等［９］基于Ｅｕｌｅｒ梁理论研究了轴向运动功能梯度粘弹性梁横向振动的稳定性问题．Ｂａｌｉｒｅｄｄｙ和Ｐｉｔｃｈａｉｍａｎｉ［１０］分析了时变轴向载荷作用下功能梯度梁振动特性及稳定性．从本质上讲，功能梯度梁的材料非均匀性和梁式结构的轴向运动均属于动力学对称破缺［１１］因素．对于含有对称破缺因素的动力学系统，本课题组基于多辛分析方法，建立了广义多辛分析方法［１２］这一保结构理论框架，并解决了一系列复杂动力学问题［１３ １６］．因此，本文将基于保结构思想，分析轴向运动功能梯度梁的横向振动频率特性，为功能梯度梁的横向振动控制提供参考．１ 轴向运动功能梯度梁横向振动模型本节参考文献［８，９］，简要回顾轴向运动功能梯度梁横向振动动力学模型的建立过程．考虑一轴向运动的简支功能梯度矩形截面梁（图１），梁长度为Ｌ，横截面宽度为ｂ、高为ｈ，轴向运动速度为定常速度，大小为η．为了刻画材料特性沿界面高度方向的梯度，假定功能梯度材料有效杨氏模量和有效Copyright ©博看网. All Rights Reserved.动 力 学 与 控 制 学 报２０２２年第２０卷密度均为ｚ坐标的函数，即Ｅ（ｚ）和ρ（ｚ）．图１ 轴向运动功能梯度梁的物理模型Ｆｉｇ．１ Ｐｈｙｓｉｃａｌｍｏｄｅｌｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙ以含两种组分（如金属材料和陶瓷材料）的功能梯度材料为例，其有效材料参数可表述为：Ｅ（ｚ）＝（Ｅｃ－Ｅｍ）（ｚ／ｈ＋１／２）ｋ＋Ｅｍ ＝Ｅｍ［（βＥ－１）（ｚ／ｈ＋１／２）ｋ＋１］ρ（ｚ）＝（ρｃ－ρｍ）（ｚ／ｈ＋１／２）ｋ＋ρｍ ＝ρｍ［（βρ－１）（ｚ／ｈ＋１／２）ｋ＋１］（１）其中Ｅｃ，Ｅｍ，ρｃ，ρｍ分别为两种材料组分的物理参数，βＥ＝Ｅｃ／Ｅｍ，βρ＝ρｃ／ρｍ，ｋ为梯度指标．需要说明的是，从式（１）即可推导出功能梯度梁的中性层与几何对称中心重合．基于Ｅｕｌｅｒ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁基本假设，依据文献［８］，功能梯度梁上任意点的位移可由梁轴线上任意点的轴向位移ｕ（ｘ，ｔ）和横向位移ｗ（ｘ，ｔ）表述：ｕｘ（ｘ，ｚ，ｔ）＝ｕ（ｘ，ｔ）－ｚ ｘｗ（ｘ，ｔ）＋ηｔｕｚ（ｘ，ｚ，ｔ）＝ｗ（ｘ，ｔ）（２）功能梯度梁上任意点的正应变分量和正应力分量分别为：εｘ＝ ｘｕ－ｚ ｘｘｗσｘ＝Ｅ（ｚ）εｘ＝Ｅ（ｚ）（ ｘｕ－ｚ ｘｘｗ）（３）由其描述的梁的应变能可表述为：Ｕ＝１２∫Ｌ０∫ＡσｘεｘｄＡｄｘ ＝１２∫Ｌ０［Ｄ１（ ｘｕ）２－２Ｄ２ ｘｕ ｘｘｗ＋ Ｄ３（ ｘｘｗ）２］ｄｘ（４）其中，Ａ为梁的横截面面积，并且：（Ｄ１，Ｄ２，Ｄ３）＝∫ＡＥ（ｚ）（１，ｚ，ｚ２）ｄＡ功能梯度梁上任意点两个方向的速度分量分别为：ｖｘ＝ ｔｕｘ（ｘ，ｚ，ｔ） ＝ ｔｕ（ｘ，ｔ）－ｚ ｔｘｗ（ｘ，ｔ）＋ηｖｚ＝ ｔｗ（ｘ，ｔ）＋η ｘｗ（ｘ，ｔ）（５）由此描述的梁的动能可表述为：Ｋ＝１２∫Ｌ０∫Ａρ（ｚ）（ｖ２ｘ＋ｖ２ｚ）ｄＡｄｘ＝ １２∫Ｌ０｛Ｉ１［（ ｔｕ）２＋η２＋２η ｔｕ＋（ ｔｗ）２＋ η２（ ｘｗ）２＋２η ｔｗ ｘｗ］－２Ｉ２η ｔｘｗ－ ２Ｉ２ ｔｕ ｔｘｗ＋Ｉ３（ ｔｘｗ）２｝ｄｘ（６）其中（Ｉ１，Ｉ２，Ｉ３）＝∫Ａρ（ｚ）（１，ｚ，ｚ２）ｄＡ由哈密顿原理，忽略梁的轴向惯性力及其由轴向惯性力诱导的横向分布载荷项，并消去轴向位移项，得到轴向运动功能梯度梁横向振动方程：（Ｄ３－Ｄ２２Ｄ１） ｘｘｘｘｗ－（Ｉ３－Ｉ２Ｄ２Ｄ１） ｔｔｘｘｗ＋ Ｉ１（ ｔｔｗ＋η２ｘｘｗ＋２η ｔｘｗ）＝０ｗｉｔｈｗ（０，ｔ）＝０ｗ（Ｌ，ｔ）＝０ｘｘｗ（０，ｔ）＝０ ｘｘｗ（Ｌ，ｔ）＝{０（７）２ 振动模型的近似对称形式及保结构离散引入如下中间变量： ｔｗ＝ ｘψ＝Ｄ１φ－Ｄ１Ｉ１χＤ２Ｉ２－Ｄ１Ｉ３， ｘｗ＝φ， ｘχ＝φ，并定义状态向量：ｚ＝（ｗ，φ，χ，ψ，φ）Ｔ，轴向运动功能梯度梁横向振动方程（不含边界条件）可以写成如下近似一阶对称形式：Ｍ ｔｚ＋Ｋ ｘｚ＝ ｚＳ（ｚ）＋τ（ｚ）（８）其中，Ｍ，Ｋ∈Ｒ５×５为反对称矩阵：Ｍ＝００００１０００００００００００００００－１００００，Ｋ＝ ０Ｄ３－Ｄ２２Ｄ１００１Ｄ２２Ｄ１－Ｄ３０００００００Ｉ２Ｄ２Ｄ１－Ｉ３０００Ｉ３－Ｉ２Ｄ２Ｄ１０００００１０拟哈密顿函数为：Ｓ（ｚ）＝－１２［Ｉ１η２ｗ２＋（Ｄ３－Ｄ２２Ｄ１）φ２－２０１Copyright ©博看网. All Rights Reserved.第６期刘涛等：轴向运动功能梯度梁横向振动问题的保结构分析 Ｉ１χ２＋（Ｉ３－Ｉ２Ｄ２Ｄ１）ψ２］余项为：τ（ｚ）＝［－２Ｉ１ηψ，０，φ，０，０］Ｔ．与标准的多辛形式不同，近似对称形式含有如下对称破缺因素［１１］：①系数矩阵Ｍ，Ｋ及哈密顿函数Ｓ（ｚ）显含空间变量；②哈密顿函数梯度存在余项τ（ｚ）；③系数矩阵Ｍ非严格地反对称，因此将其分解Ｋ＝Ｋ＋Ｋ⌒０Ｄ３－Ｄ２２Ｄ１００１／２Ｄ２２Ｄ１－Ｄ３０００００００Ｉ２Ｄ２Ｄ１－Ｉ３０００Ｉ３－Ｉ２Ｄ２Ｄ１０－１／２－１／２００１／２０＋００００１／２００００００００００００００１／２１／２００１／２０ ①和③两个对称破缺因素引起的横向振动模型多辛结构残差和局部能量耗散均可以参照文献［１１］显式给出，第②个对称破缺因素在模拟仿真中的处理方式可参照参考文献［１７］进行．为避免与已有工作重复，在此不给出详细表达式和具体处理步骤，只在模拟结果中给出离散的多辛结构残差，以间接证明后续构造算法的有效性和保结构性能．在梁长度方位内（０≤ｘ≤Ｌ）采用空间步长进行均匀划分单元，并对系统采用时间步长进行Ｐｒｅｉｓｓｍａｎｎ离散，得到保结构差分格式：Ｍδ＋ｔｚｊｉ＋１／２＋Ｋδ＋ｘｚｊ＋１／２ｉ＝ ｚＳ（ｚｊ＋１／２ｉ＋１／２）＋τ（ｚｊ＋１／２ｉ＋１／２）（９）其中：ｚｊ＋１／２ｉ＋１／２＝１４（ｚｊｉ＋ｚｊｉ＋１＋ｚｊ＋１ｉ＋ｚｊ＋１ｉ＋１），δ＋ｘ，δ＋ｔ均为一阶前向差分．限于篇幅，格式的展开形式和消参后的形式不再给出，同时，离散的多辛结构残差和离散的局部能量耗散项也不再列出．需要强调的是，多辛结构残差是衡量格式保结构性能的重要依据，后续在数值结果中会详细讨论．３ 数值算例为了将结果与文献［８，９］的部分结果进行对比，材料参数取值如下：Ｅｃ＝３９０ＧＰａ，Ｅｍ＝２１０ＧＰａ，ρｃ＝３９６０ｋｇ／ｍ３，ρｍ＝７８００ｋｇ／ｍ３．为保证数值格式的保结构性能，依照广义多辛理论［１２］，需要选取合适的时间步长使得在每一时间步内，离散的多辛结构绝对残差不超过差分格式的数值截断误差，即Δｉ≤ｏ（Δｔ，Δｘ），其中ｏ（Δｔ，Δｘ）为格式的数值截断误差．为了计算方便，忽略高阶项并取Δｔ／Δｘ＝０．５后，可以将数值截断误差上限估计值近似取为：ｏ（Δｔ，Δｘ）≤［ｏ］＝７Δｔ２（１０）在考虑梯度指标取值较大的情形下，确定容许的最大时间步长．取ｋ＝１０５，将时间步长取值从Δｔ＝０．００１ｓ逐渐增大，当式（１０）刚好严格满足时，得到最大允许时间步长为Δｔ＝０．０６４ｓ，此时的多辛结构残差与数值截断误差上限估计值之间的关系如图２所示．因此，在后续模拟过程中，取时间步长为Δｔ＝０．０５ｓ，空间步长为Δｘ＝０．１ｍ，就能保证所构造的格式具有良好的保结构性能．分别取ｋ＝０．００１，１００两种梯度指标，分别采用微分求积法（ＤＱＭ）［８］、复模态法（ＣＭＭ）［９］和保结构方法（ＳＰＭ）模拟轴向运动功能梯度梁的横向振动过程，得到梁的前六阶频率值如表１所示．从表１中不难发现，采用保结构分析方法得到的结果与复模态法得到的结果整体吻合较好．随着频率阶次升高，复模态法和保结构方法得到的频率结果明显低于微分求积法得到的结果．考察微分求积法的求解过程，可知微分求积法得到的结果产生以上偏差的主要原因在于以下两个方面：①在进行微分求积运算之前，将偏微分方程化为常微分方程过程中，只考虑了方程解的一阶频率分３０１Copyright ©博看网. All Rights Reserved.动 力 学 与 控 制 学 报２０２２年第２０卷量而忽略了高阶频率分量；②微分求积法采用非均匀网格离散，无法判断每一时间步内不等式（Δｉ≤ｏ（Δｔ，Δｘ））的满足情况，不具有评价其保结构性能的条件．复模态法在一定程度上克服了上述两方面的问题，故得到的结果与本文保结构方法得到的结果吻合较好．上述结果表明，复模态法和保结构方法在分析轴向运动功能梯度梁横向振动问题中均具有较好的数值精度．图２ 轴向运动功能梯度梁的物理模型Ｆｉｇ．２ Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅａｂｓｏｌｕｔｅｒｅｓｉｄｕａｌｏｆｔｈｅｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｓｔｒｕｃｔｕｒｅ表１ 前六阶频率结果对比（Ｈｚ）Ｔａｂｌｅ１ Ｃｏｍｐａｒｉｓｉｏｎｏｆｔｈｅｆｉｒｓｔｓｉｘｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ（Ｈｚ）ｋＭｏｄｅＮｏ．ＤＱＭＣＭＭＳＰＭ１ｓｔ１８．０３８５１８．０３８５１８．０３８５２ｎｄ７２．５８０１７２．５３３９７２．５３３９０．００１３ｒｄ１６１．１９７５１６０．００１８１６０．００１８４ｔｈ２８９．８８０６２８６．２１４７２８６．２１４２５ｔｈ４５８．９３８０４５２．７３１１４５２．７０９６６ｔｈ６６６．２０３９６５９．９０１８６５９．３０８９１ｓｔ９．７８４９９．７８４９９．７８４８２ｎｄ３２．９０９１３２．２２８６３２．２２５９１００３ｒｄ８０．３６１０７８．４３９２７８．４２９８４ｔｈ１４８．１３１５１４４．３６１８１４３．８１００５ｔｈ２３７．２０２７２３１．２１５６２３０．９０３５６ｔｈ３４６．７７３８３３８．８０３３３３８．３２７１４ 结论基于动力学系统的对称破缺理论和广义多辛分析方法，本文针对轴向运动功能梯度梁横向振动的动力学模型，发展了保结构分析方法，并用于分析轴向运动功能梯度梁横向振动的频率分布情况．研究结果表明：本文构造的数值求解算法在求解步长满足给定条件时具有良好的保结构性能，得到的前六阶频率值与复模态法得到的结果吻合较好，同时分析了微分求积法得到的结果与保结构方法和复模态法得到的结果有明显差距的原因，为微分求积法的进一步改进指明了方向，也为轴向运动功能梯度梁横向振动这类复杂动力学问题的求解提供了新途径．参 考 文 献１ＲｅｄｄｙＪＮ，ＣｈｉｎＣＤ．Ｔｈｅｒｍｏｍｅｃｈａｎｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｃｙｌｉｎｄｅｒｓａｎｄｐｌａｔｅｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｈｅｒ ｍａｌＳｔｒｅｓｓｅｓ，１９９８，２１（６）：５９３～６２６２ＮａｅｂｅＭ，ＳｈｉｒｖａｎｉｍｏｇｈａｄｄａｍＫ．Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｍａｔｅｒｉａｌｓ：ａｒｅｖｉｅｗｏｆｆａｂｒｉｃａｔｉｏｎａｎｄｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｅｒｉａｌｓＴｏｄａｙ，２０１６，５：２２３～２４５３ＢａｒｔｌｅｔｔＮＷ，ＴｏｌｌｅｙＭＴ，ＯｖｅｒｖｅｌｄｅＪＴＢ，ｅｔａｌ．Ａ３Ｄ ｐｒｉｎｔｅｄ，ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｓｏｆｔｒｏｂｏｔｐｏｗｅｒｅｄｂｙｃｏｍ ｂｕｓｔｉｏｎ．Ｓｃｉｅｎｃｅ，２０１５，３４９（６２４４）：１６１～１６５４ＴｕａｎＡＮ，ＡｉｅｌｌｏＭ．Ｅｎｅｒｇｙｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔｂｕｉｌｄｉｎｇｓｂａｓｅｄｏｎｕｓｅｒａｃｔｉｖｉｔｙ：ａｓｕｒｖｅｙ．ＥｎｅｒｇｙａｎｄＢｕｉｌｄｉｎｇｓ，２０１３，５６：２４４～２５７５ＳａｎｋａｒＢＶ．Ａｎｅｌａｓｔｉｃｉｔｙｓｏｌｕｔｉｏｎｆｏｒｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｓ．ＣｏｍｐｏｓｉｔｅｓＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００１，６１（５）：６８９～６９６６ＲｅｄｄｙＪＮ．Ｍｉｃｒｏｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｃｏｕｐｌｅｓｔｒｅｓｓｔｈｅｏ ｒｉｅｓｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆｔｈｅＭｅｃｈａｎ ｉｃｓａｎｄＰｈｙｓｉｃｓｏｆＳｏｌｉｄｓ，２０１１，５９（１１）：２３８２～２３９９７ＤｉｎｇＨ，ＣｈｅｎＬＱ．Ｇａｌｅｒｋｉｎｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｎａｔｕｒａｌｆｒｅ ｑｕｅｎｃｉｅｓｏｆｈｉｇｈ ｓｐｅｅｄａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｂｅａｍｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｎｄａｎｄＶｉｂｒａｔｉｏｎ，２０１０，３２９（１７）：３４８４～３４９４８姚晓莎，王忠民，赵凤群．轴向运动功能梯度梁的横向振动．机械工程学报，２０１３，４９（２３）：１１７～１２２（ＹａｏＸＳ，ＷａｎｇＺＭ，ＺｈａｏＦＱ．Ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｂｅａｍｍａｄｅｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｍａｔｅｒｉ ａｌｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０１３，４９（２３）：１１７～１２２（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ））９刘金建，蔡改改，谢锋，等．轴向运动功能梯度粘弹性梁横向振动的稳定性分析．动力学与控制学报，２０１６，１４（６）：５３３～５４１（ＬｉｕＪＪ，ＣａｉＧＧ，ＸｉｅＦ，ｅｔａｌ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎａｌｙｓｉｓｏｎｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃｂｅａｍｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＤｙｎａｍｉｃｓａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，２０１６，１４（６）：５３３～５４１（ｉｎＣｈｉ ｎｅｓｅ））１０ＢａｌｉｒｅｄｄｙＳＮ，ＰｉｔｃｈａｉｍａｎｉＪ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｄｙｎａｍｉｃｂｅｈａｖｉｏｕｒｏｆｂｉ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｓｕｂｊｅｃ ｔｅｄｔｏｖａｒｉａｂｌｅａｘｉａｌｌｏａｄ．ＭａｔｅｒｉａｌｓＴｏｄａｙＣｏｍｍｕｎｉｃａ ｔｉｏｎｓ，２０２２，３２：１０４０４３１１ＨｕＷ，ＷａｎｇＺ，ＺｈａｏＹ，ｅｔａｌ．Ｓｙｍｍｅｔｒｙｂｒｅａｋｉｎｇｏｆｉｎｆｉｎｉｔｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｄｙｎａｍｉｃｓｙｓｔｅｍ．ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＬｅｔｔｅｒｓ，２０２０，１０３：１０６２０７４０１Copyright ©博看网. All Rights Reserved.第６期刘涛等：轴向运动功能梯度梁横向振动问题的保结构分析１２ＨｕＷＰ，ＤｅｎｇＺＣ，ＨａｎＳＭ，ｅｔａｌ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｉｎｔｅｇｒａｔｏｒｓｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎｎｏｎｌｉｎｅａｒｗａｖｅＰＤＥｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓ，２０１３，２３５：３９４～４０６１３宋明哲，邓子辰，赵云平，等．含弱阻尼空间结构的耦合动力学保结构分析．动力学与控制学报，２０１９，１７（５）：４１９～４２４（ＳｏｎｇＭＺ，ＤｅｎｇＺＣ，ＺｈａｏＹＰ，ｅｔａｌ．Ｃｏｕｐｌｉｎｇｄｙｎａｍｉｃｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｅｒｓｅｖｅｒｉｎｇａｎａｌｙｓｉｓｏｆｓｐａｔｉａｌｓｔｒｕｃｔｕｒｅｗｉｔｈｗｅａｋｄａｍｐｉｎｇ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＤｙｎａｍｉｃｓａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，２０１９，１７（５）：４１９～４２４（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ））１４ＨｕＷ，ＨｕａｉＹ，ＸｕＭ，ｅｔａｌ．Ｍｅｃｈａｎｏｅｌｅｃｔｒｉｃａｌｆｌｅｘｉｂｌｅｈｕｂ ｂｅａｍｍｏｄｅｌｏｆｌｏｎｉｃ ｔｙｐｅｓｏｌｖｅｎｔ ｆｒｅｅｎａｎｏｆｌｕｉｄｓ．ＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｙｓｔｅｍｓａｎｄＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０２１，１５９：１０７８３３１５ＨｕＷ，ＸｕＭ，ＳｏｎｇＪ，ｅｔａｌ．Ｃｏｕｐｌｉｎｇｄｙｎａｍｉｃｂｅｈａｖｉｏｒｓｏｆｆｌｅｘｉｂｌｅｓｔｒｅｔｃｈｉｎｇｈｕｂ ｂｅａｍｓｙｓｔｅｍ．ＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｙｓｔｅｍｓａｎｄＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０２１，１５１：１０７３８９１６ＨｕＷ，ＸｕＭ，ＺｈａｎｇＦ，ｅｔａｌ．Ｄｙｎａｍｉｃａｎａｌｙｓｉｓｏｎｆｌｅｘｉｂｌｅｈｕｂ ｂｅａｍｗｉｔｈｓｔｅｐ ｖａｒｉａｂｌｅｃｒｏｓｓ ｓｅｃｔｉｏｎ．Ｍｅｃｈａｎｉ ｃａｌＳｙｓｔｅｍｓａｎｄＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０２２，１８０：１０９４２３１７ＨｕＷＰ，ＤｅｎｇＺＣ，ＷａｎｇＢ，ｅｔａｌ．Ｃｈａｏｓｉｎａｎｅｍｂｅｄｄｅｄｓｉｎｇｌｅ ｗａｌｌｅｄｃａｒｂｏｎｎａｎｏｔｕｂｅ．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＤｙｎａｍｉｃｓ，２０１３，７２（１ ２）：３８９～３９８ＳＴＲＵＣＴＵＲＥ ＰＲＥＳＥＲＶＩＮＧＡＮＡＬＹＳＩＳＯＮＴＲＡＮＳＶＥＲＳＥＶＩＢＲＡＴＩＯＮＯＦＦＵＮＣＴＩＯＮＡＬＬＹＧＲＡＤＥＤＢＥＡＭＷＩＴＨＡＮＡＸＩＡＬＶＥＬＯＣＩＴＹＬｉｕＴａｏ１ ＺｈｏｕＹａｎｇｘｉｎ２ ＨｕＷｅｉｐｅｎｇ２（１．ＹｕｌｉｎＣｉｔｙＩｎｖｅｓｔｍｅｎｔＣｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔＣｏ．，Ｌｔｄ．，Ｙｕｌｉｎ ７１９０００，Ｃｈｉｎａ）（２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ，Ｘｉ’ａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｉ’ａｎ ７１００４８，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｈｅａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙａｎｄｔｈｅｍａｔｅｒｉａｌ’ｓｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｉｔｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｇｒｅａｔｃｈａｌｌｅｎｇｅｏｎｔｈｅｖｉｂｒａｔｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙ．Ｉｎｔｈｉｓｗｏｒｋ，ｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｍｏｄｅｌｏｆｔｈｅｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙｉｓｒｅｖｉｅｗｅｄｉｎｂｒｉｅｆｆｉｒｓｔｌｙ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｓｙｍｍｅｔｒｙｂｒｅａｋｉｎｇｔｈｅｏｒｙａｎｄｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｍｅｔｈｏｄｆｏｒｔｈｅｉｎｆｉｎｉｔｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｓｙｓｔｅｍ，ａｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｃｈｅｍｅｆｏｒｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｍｏｄｅｌｉｓｄｅｖｅｌｏｐｅｄ．Ｉｎｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，ｔｈｅｃｒｉｔｉ ｃａｌｓｔｅｐｌｅｎｇｔｈｓａｔｉｓｆｙｉｎｇｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｗｉｔｈｔｈｅｇｉｖｅｎｍａｔｅｒｉａｌｐａｒａｍｅ ｔｅｒｓ．Ｔｈｅｆｉｒｓｔｓｉｘｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｏｆｔｈｅｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｍｏｄｅｌａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄｅｍｐｌｏｙｉｎｇｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｑｕａｄｒａｔｕｒｅｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｍｏｄａｌｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｍｅｔｈｏｄｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｆｒｏｍｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｒｅ ｓｕｌｔｓ，ｉｔｃａｎｂｅｆｏｕｎｄｔｈａｔｔｈｅｆｉｒｓｔｓｉｘｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｍｅｔｈｏｄａｒｅｈｉｇｈｌｙｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｗｉｔｈｔｈｏｓｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｍｏｄａｌｍｅｔｈｏｄ．Ｔｏｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｐｒｅｃｉｓｉｏｎｏｆｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｑｕａｄｒａｔｕｒｅｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅｍａｉｎｆａｃｔｏｒｓｒｅｓｕｌｔｉｎｇｉｎｔｈｅｅｒｒｏｒａｒｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ｔｈｅｍａｉｎｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｈｉｓｗｏｒｋｉｓｐｒｏｐｏｓｉｎｇａｎｅｗａｐｐｒｏａｃｈｔｏａｎａｌｙｚｅｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｄｙｎａｍｉｃｐｒｏｂｌｅｍｌｉｋｅｔｈｅｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ， ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙ， ｓｙｍｍｅｔｒｙｂｒｅａｋｉｎｇ， ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ， ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎＲｅｃｅｉｖｅｄ２０Ａｕｇｕｓｔ２０２２，ｒｅｖｉｓｅｄ２８Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒ２０２２．ＴｈｅｐｒｏｊｅｃｔｓｕｐｐｏｒｔｅｄｂｙｔｈｅＮａｔｉｏｎａｌＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＣｈｉｎａ（１２１７２２８１，１１９７２２８４），ＦｏｕｎｄａｔｉｏｎＳｔｒｅｎｇｔｈｅｎｉｎｇＰｒｏｇｒａｍｍｅＴｅｃｈｎｉｃａｌＡｒｅａＦｕｎｄ（２０２１ ＪＣＪＱ ＪＪ ０５６５），ｔｈｅＦｕｎｄｏｆｔｈｅＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＩｎｎｏｖａｔｉｏｎＴｅａｍｏｆＳｈａａｎｘｉ（２０２２ＴＤ ６１）ａｎｄＦｕｎｄｏｆｔｈｅＹｏｕｔｈＩｎｎｏ ｖａｔｉｏｎＴｅａｍｏｆＳｈａａｎｘｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｉｅｓ ＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｕｔｈｏｒＥ ｍａｉｌ：ｗｐｈｕ＠ｎｗｐｕ．ｅｄｕ．ｃｎ５０１Copyright ©博看网. 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含功能梯度材料的周期管路振动特性研究杜春阳;郁殿龙;温激鸿;刘江伟;贾鹏飞【摘要】In order to control the vibration of a pipe,the vibration properties of a periodic beam with functionally graded material (FGM) were investigated.Based on the finite element method,the band gap of the periodic pipeline with functionally graded materials was calculated.The properties of tunable band gap of FGM were discussed Results show that a considerable stress concentration can be alleviated by the application of the FGM.The results reveal that the band gap of classic periodic pipeline can be improved as well as the stress concentration problem because of the functionally graded materials.The FGMs can be used to provide a new way for tunable band gap and eliminating the stress concentration.%以管路振动控制为目标,研究了含功能梯度材料的周期管路振动特性研究.利用有限元法计算功能梯度材料管路的带隙特性和应力分布情况.深入分析了影响功能梯度材料管路带隙特性的因素,包括单元内功能梯度材料管路长度,过渡函数性质,研究表明功能梯度材料能有效调节经典周期管路的带隙特性;同时功能梯度材料可以有效减弱周期管路不同材料界面处应力集中问题.研究结果为带隙调节和消除应力集中提供了一个新思路.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2018(037)004【总页数】7页(P170-176)【关键词】功能梯度材料;周期管路;带隙;应力集中【作者】杜春阳;郁殿龙;温激鸿;刘江伟;贾鹏飞【作者单位】国防科学技术大学装备综合保障技术重点实验室,长沙410073;国防科学技术大学装备综合保障技术重点实验室,长沙410073;国防科学技术大学装备综合保障技术重点实验室,长沙410073;国防科学技术大学装备综合保障技术重点实验室,长沙410073;国防科学技术大学装备综合保障技术重点实验室,长沙410073【正文语种】中文【中图分类】TB535+.1管路系统通常用来传递能量或物质，广泛应用与船舶动力、航空航天等领域。
