中考数学一轮复习精品讲义 图形认识初步 人教新课标版

课题：第四章《图形初步认识》2总复习教案一、教学目标1．对线段、射线、直线、角的概念及它们之间的关系有进一步的认识；2．掌握本章的全部定理和公理；理解本章的数学思想方法；了解本章的题目类型．二、教学重点和难点重点是理解本章的知识结构，掌握本章的全部定理和公理；难点是理解本章的数学思想方法．三、教学过程（一）典型题目：1.如图7-2,∠COB=2∠AOC,∠AOD=∠BOD,∠COD=17°,则∠AOB=_____图7-2 答案：102°提示：∠COB=∠BOD+∠COD=∠AO D+∠COD=∠AOC+2∠COD=∠AOC+34°=2∠AOC.2.要整齐地栽一行树,只要确定下两端的树坑的位置,就能确定下一行树坑所在的直线,这里用到的数学知识是______________________________________.答案：两点确定一条直线3.(1)从n 边形的某一顶点出发,分别连结这个点与其余顶点,可以把n 边形分成____________个三角形;(2)从n 边形一边上的一点(不是顶点)出发,分别连结这个点与各个顶点,可以把n 边形分成____________个三角形.(1)答案：n-2 提示：减去相邻的两边.(2)答案：n-1 提示：减去所在的一边.4.如图7-3,将一副三角板叠在一起,使直角的顶点重合于点O,则∠AOC+∠DOB 的度数为___________.图7-3答案：180°提示：∠AOC+∠DOB=∠AOC+∠AOD+∠BOC+∠AOC=∠AOB+∠COD=180°.5.时钟在下午4:00时,时针与分针间的夹角是________________.答案：120° 提示：12个格，每个格30°.6.已知A 、B 、C 三点共线,且线段AB=16 cm ,点D 为BC 的中点,AD=13.5 cm,则BC= __________________.答案：5 提示：设BC=x ，16-x+2x =13.5. 1、 如图，图中共有线段_____条，若D 是AB 中点，E 是BC 中点，⑴若3=AB ，5=BC ，=DE _________；⑵若8=AC ，3=EC ，=AD _________。

图形的认识Email：happy2008guo 一、图形的认识——《数学课程标准》的考察要求：二、2007—2009年某某省中招考试数学试卷及2009年其它五省市中招考试数学试卷图形的认识部分考点分析图形的认识部分试题考点分析：年某某省中招考试题的认识三角形用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题、勾股定理8 2 掌握5 4%等腰三角形的性质和判定24 3 掌握四边形矩形、菱形正方形的性质和判定3 2 掌握5 4%平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质26 3 了解三、典型例题分析及跟踪练习第一讲角例1、如图所示，点P是∠AOB的角平分线上一点，过P作PC∥OA交OB 于C，若∠AOB=600，OC=4，则点P到OA的距离PD=.分析：如图所示，过P作PE⊥OB于点E，∵OP是∠AOB的平分线，∴PE=PD，∠1=∠2=300，∵PC∥OA，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3=300，∴PC=OC=4，在△PCE中，PE=PCsin∠PCE=4sin6003，∴3.跟踪练习1、如图所示，已知BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S⊿ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE的长为.例2、（某某2009）已知一个角的补角是100037′那么这个角的余角是.（解：略）跟踪练习2、已知一个角是70039′，求它的余角和补角.例3、如右图所示，已知∠AOB=700，∠BOC=200，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠EOF的度数.（解：略）跟踪练习3、如右图所示，∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，∠COD=190，求∠AOB的度数.例4、用300、450的三角板不能拼出的角度是（）A、150B、750C、1050D、1250（答案：D）解：略跟踪练习4、用一副三角板可以拼出个不同的角.（小于1800的角）第二讲相交线、平行线例1、如图，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯的∠A是1200，第二次拐弯的∠B是1500，第三次拐弯的是∠C，这时道路恰好和第一次拐弯之前的方向相同，则∠C是（）A、1200 B、1300 C、1400 D、1500（答案：D）分析：这两条道路方向相同，就是两条道路DA∥CF，而∠A、∠C不是内错角，无法直接求出，过点B作BE∥CF，∴∠A=∠ABE=1200，∠EBC=300，只有当∠C=1500时，BE∥CF.跟踪练习1、如图，已知AB∥DE，∠ABC=800，∠CDE=1400，则∠BCD=.例2、如图所示，AB∥DE，∠E=650，则∠B+∠C=.A、1350B、1150C、360D、650（答案：D）分析：利用两直线平行，同位角相等，得∠AFC=∠E=650，而∠AFC=∠B+∠C，∴∠B+∠C=650跟踪练习2、（某某某某2008）如图所示，已知，直线AB∥CD，∠C=1150，∠A=250，则∠E=.例3、如左图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=300，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为（）A、800B、750C、450D、650（答案：C）分析：本例考查了线段垂直平分线的性质∵DE垂直平分AC，∴AD=DC，∴∠ACD=∠A=300，又∵∠B=∠ACB=750，∴∠BCD=450.跟踪练习3、如图所示，O是等腰三角形三边垂直平分线的交点AB=AC，且∠A=500，则∠BOC=.例4、如图所示，已知∠ABC=900，∠1=∠2，∠DCA=∠CAB，请判断CD是否平分∠ACE？为什么？分析：CD平∵∠DCA=∠CAB，∴AB∥CD，∴∠BCD+∠ABC=1800，∴∠BCD=900，∴∠1+∠DCA=900，∵∠1=∠2，∴∠2+∠DCA=900，分∠ACE，理由如下：∵∠1+∠2+∠DCA+∠DCE=1800，∴∠2+∠DCE=900，∠DCA=∠DCE，∴CD平分∠ACE跟踪练习4、如图所示，点A、O、B在一条直线上，∠AOC=∠BOC，若∠1=∠2，则图中互余的角共有（）A、5对B、4对C、3对D、2对第三讲三角形例1、在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC．求证：AO⊥BC分析：要证AO⊥BC，即证AO是等腰三角形底边的高，根据“三线合一”定理，只要证AO是顶角平分线即可．证明：延长AO交BC于D在△ABO和△ACO中∵AB=AC，OB=OC，AO=AO ∴⊿ABO≌⊿ACO（SSS）∴∠BAO=∠CAO 即∠BAD=∠CAD ∴AD⊥BC 即 AO⊥BC跟踪练习1、如图所示，点D、E是△ABC的边BC上的点AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE例2、在⊿ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E．求证：BD+EC=DE分析；由DE∥BC得∠2=∠3，由BF平分∠ABC得∠1=∠2，∴∠1=∠3，得DB=DF，同理得CE=EF，从而问题得证．证明；∵ DE∥BC ∴∠2=∠3，∵BF平分∠ABC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴DB=DF 同理CE=EF；∴BD+EC=DF+EF 即BD+EC=DE跟踪练习2、（同例2图）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E．求证：△ADE的周长等于AB+AC例3、在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，D为BC上任一点，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，M为BC的中点，试判断△MEF的形状，并证明你的结论．分析：要判断△MEF的形状，△MEF必为特殊的三角形：等腰三角形，或直角三角形，或等边三角形，或等腰直角三角形．由直观观察△MEF可能为等腰直角三角形，要证△MEF为等腰直角三角形，只要证△MBE≌△MAF即可，当△MBE≌△MAF时，ME=MF，∠1=∠2，又∠1+∠3=900，∴∠2+∠3=900即可得证．解：⊿MEF为等腰直角三角形，理由如下：连结AM，∵⊿ABC是等腰直角三角形，M是BC的中点∴AM=BM=MC，AM⊥BC，∠B=∠MAC=∠MAB=450又∵DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，∠BAC=900，∴四边形AEDF是矩形，∴AF=ED=BE在⊿MBE和⊿MAF中∵BM=AM，∠B=∠MAC=450，AF=BE ∴⊿MBE≌⊿MAF ∴ME=MF，∠1=∠2又∵∠1+∠3=900，∴∠2+∠3=900，即∠EMF=900∴⊿MEF为等腰直角三角形跟踪练习3、如图所示，⊿ABC≌⊿CDE，且B、C、D在一条直线上，连结AE，M是AE在中点，试判断⊿ACE的形状，并证明你的结论．例4、如图所示，分别以⊿ABC的边AB、AC为斜边作等腰直角⊿ABD，等腰直角⊿ACE，F是BC的中点．求证：DF=EF分析：要证明DF=EF，通常情况下只要证明DF、EF所在的三角形全等即可，可以过D作DM⊥AB于M，过E作EN⊥AC于N，连结MF、NF，只需证明△DMF≌△FNE即可得DF=EF证明：过D作DM⊥AB于M，过E作EN⊥AC于N，连结MF、NF，∵△ABD是等腰直角三角形，DM⊥AB于M，∴DM=AM=BM= AB, 同理EN=AN== AC 又∵AM=BM，BF=FC，MF是△ABC的中位线∴MF= AC ，MF∥AC；同理FN= AB ，FN∥AB；∴MF=EN，DM=FN；又MF∥AC，FN∥AB ∴∠1=∠2=∠3∴∠DMB+∠1=∠ENC+∠2，即∠DMF=∠FNE在△DMF和△FNE中∴MF=EN，∠DMF=∠FNE，DM=FN；△DMF≌△FNE ∴DF=EF跟踪练习4、（2009某某）如图所示，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点，四边形BCGF和CDHN都是正方形，AE的中点是M①如图1所示点E在AC的延长线上，点N与点G重合，点M与点C重合．求证：MF=MH，MF⊥MH②将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角得图2．求证：⊿FMH是等腰直角三角形．③将图2中的CE缩短到图3的情况，⊿FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）例5、（某某2008）如图所示，B、E、F、C四点在同一直线上，AB=DC，BE=CF，∠B=∠C.求证：OA=OD分析：要证明两条线段相等，通常通过三角形全等对应线段相等证明，本例可证△ABF≌△DCE得AF=DE，再证明△OEF是等腰三角形得OE=OF，从而得OA=OD证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE在⊿ABF和⊿DCE中.∵AB=DC，∠B=∠C，BF=CE，∴⊿ABF≌⊿DCE，∴AF=DE，∠AFB=∠DEC，∴OF=OEAF-OF=DE-OE，∴OA=OD.跟踪练习5、已知，如图所示，AD和BC相交于O，OA=OC，OB=OD，EF过点O分别交AB、CD于E、F，且∠AOE=∠COF，求证：OE=OF例6、（2008某某）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业：“如图1所示，已知△ABC中，AB=AC，P是△ABC内任一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP”小亮是一个爱动脑筋的同学，他通过对图1 的分析，证明了⊿ABQ≌⊿ACP，从而证得BQ=CP 之后，他将点P移到等腰三角形ABC外，原题中其它条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图2给出证明．分析：要证明两条线段相等，通常情况下，只要证明这两条线段所位于的两个三角形全等即可；本题中要证明BQ=CP，只要证明△ABQ≌△ACP即可．证明：∵∠QAP=∠BAC，∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB，即∠QAB=∠PAC在△ABQ和△ACP中∵AP=AQ，∠QAB=∠PAC，AB=AC，∴△ABQ≌△ACP，∴BQ=CP跟踪练习6、如图1所示已知等边△ABC和等边△ADE有一个公共顶点A，连接BE、DC相交于G，则有∠BGC=600．（1）请你证明这个结论；（2）若△ABC和△ADE都为等腰直角三角形（如图2所示），观察图形、写出结论，并加以证明．（3）若△ABC和△ADE是顶角相等且顶角为α的两个等腰三角形（如图3所示），你能得出什么结论？请写出这个结论．（4）若△ABC和△ADE是顶角不相等的两个等腰三角形，还有与（3）相同的结论成立吗？答“有”还是“没有”．第四讲四边形例1、如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC长．分析：运用勾股定理将几何问题转化为方程问题来解决．解：在长方形ABCD中，AB=CD=8cm，BC=AD=10cm∵⊿ADE≌⊿AFE，∴AD=AF=10cm，DE=FE在Rt⊿ABF中，BF= = =6cm∴CF=BC-BF=10-6=4cm,设CE=xcm，则DE=EF=（8-x）cm，在Rt⊿ABF中，(8-x)2 =x2+42,解方程得x=3cm，即CE=3cm．跟踪练习1、（2009某某）动手操作，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5，如图所示，折叠纸片，使点A落在BC上的A1处，折痕为PQ．当点A1在BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A1在BC上可移动的最大距离为．例2、E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，且CE=AF，请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．分析：由平行四边形对边平行且相等的性质，可知AB∥CD，AB=CD，从而得到∠BAC=∠DCA，又由CE=AF，得CE-EF=AF-EF，∴AE=CF，由此可证明⊿ABE≌⊿CDF，得到BE=DF，∠AEB=∠CFD，∴它的邻补角也相等，即∠BEF=∠DFE，从而得BE∥DF，∴猜想BE∥DF，BE=DF．猜想：BE∥DF，BE=DF证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠BAC=∠DCA，又CE=AF，∴CE-EF=AF-EF，即AE=CF，∴⊿ABE≌⊿CDF（SAS），∴BE=DF，∠AEB=∠CFD，∴1800-∠AEB=1800-∠CFD，即∠BEF=∠DFE故BE∥DF，BE=DF．跟踪练习2、（2009某某某某）如图所示，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把CD沿CA方向平移得到△A1C1D1，（1）证明△A1AD1≌△CC1B；（2）若∠ACB=300，试问当C1在AC上的什么位置时，四边形ABC1D1是菱形，并说明你的理由．例3、正方形OEFG的顶点O与边长为a的正方形ABCD的中心O重合，且与正方形ABCD的边分别相交于M、N，猜想两正方形重叠部分的面积是多少？并证明你的猜想．分析：两正方形重叠部分的面积一定与正方形ABCD的面积有关，观察图形猜想重叠部分的面积可能是a2；证明：连接AC、BD，则AC、BD必过O点∵四边形ABCD是正方形，∴OC =OD= AC =BD ， AC⊥BD，∠OCM=∠ODN=450∵AC⊥BD，∴∠COD=900，即∠1+∠3=900，又∵∠2+∠3=900，∴∠1=∠2在⊿OCM和⊿ODN中∵∠OCM=∠ODN，OC=OD，∠1=∠2 ∴△OCM≌△ODN∴S ⊿OCM = S⊿ODN，即S⊿OCM + S⊿CON= S⊿ODN+ S⊿CON故S四边形OMCD=S⊿OCD= a2跟踪练习3、如图所示，（n+1）个边长为a的正方形，后一正方形的一个顶点与前一个正方形的中心重合，则这些正方形重叠重叠部分的面积是．例4、（2005某某）四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点，直角三角尺的的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（E不与A、B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于F．（1）如图1所示，当点E在AB边的中点位置：①通过测量DE、EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；③请证明你的上述两个猜想．（2）如图2所示，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD上找一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系分析：（1）①②通过测量可以猜想DE=EF，NE=BF，③观察图形可知，DE与NE是△DNE的两条边，EF与BF是△EBF的两条边，因此可以通过三角形全等的方法来解决；（2）要想得到EN=BF，就是要构造包含这两条线段在内的全等三角形，为此可在线段AD上截取AN=EA，连接EN，用（1）中的方法判定⊿DNE≌⊿EBF，即可得点N的合理性，从而猜想出DE=EF．解：（1）①DE=EF，②NE=BF；③证明：∵AD=AB，N、E分别为AD、AB的中点∴DN=BE，AN=AE，∴∠ANE=450，∴∠DNE=1800-450=1350∵BF是∠CBM的平分线，∴∠FBC=450∴∠EBF=∠FBC+∠EBC=900+450=1350，∴∠EBF=∠DNE∵∠ADE+∠AED=900，∠FEB+∠AED=900，∴∠ADE=∠FEB∴⊿DNE≌⊿EBF，∴DE=EF，NE=BF，（2）在线段AD上截取AN=EA，连接EN同理可证⊿DNE≌⊿EBF，则点N满足要求且DE=EF．跟踪练习4、（2005某某）两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD，把一含600角的三角尺与这个菱形重合，使三角尺的600顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A按逆时针旋转．（1）当三角尺的两条边分别与菱形的两边BC、CD相交于E、F时（如图1），通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（如图2），你在（1）中得出的结论还成立吗？简要说明理由．例5、如图1、图2所示，点D、E分别是正△ABC、正四边形ABCM中以C为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P．（1）求图1中∠APD的度数；（2）求图2中∠APD的度数；分析：在（1）此题中，只知道等边三角形每个角600，因此猜想∠APB的度数与∠ABC有关，观图可知∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠APD=∠BAE+∠ABD，因此利用三角形全等证明∠DBC=∠BAE即可；（2）应想到用同类的方法来解决解：（1）∵⊿ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCD=600，又∵BE=CD，∴⊿ABE≌⊿BCD，∴∠BAE=∠DBC，∴∠ABD+∠BAE=∠ABD+∠CBD=∠ABC=600∴∠APB=1800-（∠ABD+∠BAE）=1800-600=1200；∴∠APD=1800-1200=600（2）∵四边形ABCM是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCD=900，又∵BE=CD，∴⊿ABE≌⊿BCD，∴∠BAE=∠DBC，∴∠ABD+∠BAE=∠ABD+∠CBD=∠ABC=900∴∠APB=1800-（∠ABD+∠BAE）=1800-900=900，即∠APD=900跟踪练习5、如图1、图2所示，点D、E分别是正五边形ABCMN、正六边形ABCQRS中以C为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P．（1）求图1中∠APD的度数；（2）求图2中∠APD的度数；（3）根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况，若能写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．例6、如图所示，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E是BD延长线上一点，且⊿ACE是等边三角形.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形分析：要证明一个平行四边形是菱形，只要证明它的两边对角线互相垂直即可，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明之；要证明一个平行四边形是正方形可先证明是菱形，再证明有一个角是直角，然后利用有一个角是直角的菱形是正方形证明之.证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO.又∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC，即BD⊥AC，∴平行四边形ABCD是菱形（2）∵△ACE是等边三角形，∴∠ACE=600，∵EO⊥AC，∴∠AEO=12∠AEC=300.又∵∠AED=2∠EAD，∴∠EAD=150.∴∠ADO=∠EAD+∠AED=450.又∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC=2∠ADO=900，∴四边形ABCD是正方形跟踪练习6、如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明.第五讲视图与投影例1、如图所示，是由若干个同样大小的小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）（答案：A）分析：从立方体的俯视图可以看出，该几何体从左到右的三列图形中，最高层数分别为3、2、1.因此，该几何体的主视图从左到右正方形的个数依次是3、2、1跟踪练习1、如图所示，是由若干个同样大小的小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）例2、如图1所示，一幢楼房，它有一个主楼，主楼的左右两侧各有一个副楼，图1是它的俯视图，小明站在这幢楼房南沿之前（即图中的直线a之前），请你按要求在图3中画出他的活动区域．（1）当他在什么区域活动时，只能看到主楼？（2）当他在什么区域活动时，只能看到主楼和右面的副楼？（3）当他在什么区域活动时，可以看到主楼和两个副楼？分析：如何在图上确定“不可见区”或“可见区”呢？如图2所示，视点为A，遮挡物为BC，由此形成了视点的盲区（图中阴影部分）解：（1）如图（3）-①中的阴影部分；（2）如图（3）-②中的阴影部分；（3）如图（3）-③中的阴影部分．跟踪练习2、暑假期间，汤姆到华盛顿去旅游，参观了国防部五角大楼．如图表示美国的五角大楼的俯视图．汤姆在地面上观察该建筑物．（1）当他在什么区域活动时，他只能看到一个面？（2）当他在什么区域活动时，他只能同时看到其中两个面？（3）当他在什么区域活动时，他只能同时看到其中三个面？（4）他能同时看到五角大楼的四个面吗？例3、如图1所示，有一朝南下的阶梯，阶梯各阶的高度为，宽度为，在距阶梯6m处，有一灯柱CD，阳光从正南面射下来，灯柱影子的一端恰好落在在第三阶外边沿B处，为测出灯柱的高度，某校学习小组分析了阳光照射的方向，灯柱和阶梯的位置关系，以及柱影形成的方式，采取了以下办法：先树立一根长70cm的杆子EF，在同样方向上测量其影子FG的长度为84cm，然后画出示意图，如图2所示，最后计算出了灯柱的高度．你知道他是们是怎样计算出来的吗？请你写出计算过程．分析：欲求灯柱CD，必须先求出灯柱影子的长，而灯柱影子的一部分落在阶梯上，因此，可以用平移的方法，把求阶梯上的影子转化为求AQ与QP，而AQ易求，求QP需要用到⊿BQP与⊿EFG相似来求，因此问题即可解决．解：在图2中作BQ⊥PD于Q，则AQ=2×0.3=0.6m，BQ=3×0.2=∵⊿BQP∽⊿EFG，∴QP：84=0.6：70，解得QP=0.72m.∴∵⊿CDP∽⊿EFG，∴CD:70=7.32：84，解得CD=6.1m.跟踪练习3、如图1所示，有一灯柱CD，离它6m处有一三棱锥雕塑，该雕塑的侧面与地面的夹角为600，阳光照射过来灯柱影子的一端恰好落在雕塑的侧面上，为测出灯柱的高度，某校学习小组采取了以下办法：先测出落在雕塑的一个侧面上的影子的长AB=，然后树立一根长为70cm 的杆子EF ，在同样方向上测量出影子FG 的长度为84cm ，最后画出示意图如图2所示，利用有关知识计算出了灯柱的高度．你知道他们是怎样计算出来的吗？请你写出计算过程．例4、如图所示，花丛中有一路灯AB ，在灯光下，小明在D 处的影DE=3 m ，沿BD 方向行走到G 点，DG=5m ，这时小明的影长GH=5m ，如果小明的身高为，求路灯AB 的高度（精确到）分析：乍看此题感觉解决问题的思路不明显，但很容易判定图形中有两对相似三角形，不妨利用这两对相似三角形列出比例式，并代入数据进行观察，发现利用两比例式能求出BD ，为进一步求AB 奠定了基础．解：根据题意得AB ⊥BH ，CD ⊥BH ，FG ⊥BH ；35310BD BD =++Rt △ABE 和 Rt △CDE 中，∵AB ⊥BH ，CD ⊥BH ，CD DE AB DE BD =+① 同理可得FG HG AB HG GD BD =++② 又∵CD=FG=1.7m ，由①②可得DE HG DE BD HG GD BD =+++.即35310BD BD =++，解得 BD=. BD=代入①AB==，答：路灯杆AB 的高度约为跟踪练习4、如图所示，小明在晚上由路灯A 走向路灯B ，当他行至P 点时发现他在路灯下B 的影长为2米，接着他又走了至Q 处（已知小明身高，路灯B 高9m ）．（1）标出小明站在P 处在路灯B 下的影子长；（2）计算出小明在Q 处在路灯A 下的影子长；（3）计算出路灯A 的高度．第六讲 图形的相似例1、已知 b c c a a b k a b c +++===，则k=.（答案：2或-1） 分析：当0a b c ++≠当时,由等比的性质可得:k=2()2a b c a b c a b c ++==++++b+c+a+c+a+b 当0a b c ++=时,即b+c=-a,则k=1a a -==-b+c a 综合上述,k 的值为2或-1 随堂练习1、已知b c a k a c a b b c ===+++则直线y=kx+2k 一定经过（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限例2、若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为2：3，则S ⊿ABC ：S ⊿DEF 为（ ）A 、2：3B 、4：9C 32、3：2 （答案：B ）分析：利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可使问题得以解决.随堂练习2、已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF周长的比等于（）A、1：2 B、1：4 C、2：1 D、4：1例3、如图所示CD是一个平面镜，光线从A射出经CD上的点E反射后照射到B点，设入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD,垂足分别为C、D，若AC=3，BD=6，CD=12，则tanα的值为（）A、43B、34C、45D、35（答案：A）随堂练习3、如下图所示，Rt△ABC∽Rt△DEF，则cosE的值等于（）A、12B、22C、32D、33例4、顶角为360的三角形称为黄金三角形，如图所示，△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形已知AB=1，试求DE的长.解：∵∠DBC=∠A=360，∠BCD=∠ACB，∴△BCD∽△ABC，∴BC CD AB BC=∴BC2=CD·AB，∵∠ABC=720，∴∠ABD=720-360=360，∴∠A=∠ABD，∴AD=BD，又BC=BD，AB=AC，∴AD2=CD·AC，即AD CDAC AD=∴D是AC的黄金分割点，∴AD=512，AC=1，DE=CD=AC-AD=1-512=352-随堂练习4、如图所示，点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，D、E分别是AC、BC的中点，仔细观察，试说明点C是线段DE的黄金分割点.例5、，他在阳光下的影长是1.2米，在同一时刻测得某一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度约为米.（答案：4.8米）分析；利用同一时刻物高之比等于影长之比可使问题得到解决.随堂练习5、赵亮同学想利用影长测量旗杆的高度，如图所示，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为，同一时刻旗杆的投影一部分在地上，另一部分在某一建筑物的墙上，分别测得其长度为和2米，则学校旗杆的高度为米.由于经验不足加之时间紧迫，在编写过程中有许多不当之处，敬请各位老师及某某谅解，并批评指正。

第四章图形认识初步本章小结小结1 本章内容概览本章的主要内容是多姿多彩的图形，直线、射线、线段以及角等有关的概念及其性质．其课标要求是：1理解线段、直线和射线的区别与联系，会比较线段的大小，并进行计算．2理解角的概念，会比较角的大小，会进行角的度数的计算．3了解互余、互补的概念，理解它们的性质．小结2 本章重点、难点：本章的重点是线段和角的概念及其相关的性质；难点是对平面图形的概念及其相关性质的理解．小结3 本章学法点津1．要通过直观感知，具体操作、确认等实践活动，区分图形，探索出图形的特征和性质，培养空间想象能力．2．要注意多观察、多分析实物，勤动手操作、勤动脑联想，同时又要注意对图形语言的理解和符号语言的运用．3．要淡化概念识记、不能机械地套用公式模式，达到“在做中学，在学中做”．4．要注重“简单说理”推理能力的培养，养成言之有据的良好习惯．知识网络结构图重点题型总结及应用题型一计算几何图形的数量1．数直线条数例1 已知nn ≥2个点(1)2n n -(1)2n n -(1)2n n -(1)2n n -121601603060︒36060︒8cm3cm．所以线段AC的长为11 cm或5cm例2 经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是A．1或3 B．3 C．2 D．1解析：这道题要分两种情况考虑：一是这三点都在一条直线上时，就只能画出一条直线；二是这三点不在同一条直线上时，此时共可以画出三条直线．答案：A2．数形结合思想数形结合思想就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的，线段、直线、角的重要性质也都是通过数形结合的思想体现的．例3 如图4—4—11所示放置的三角板，把三角板较长的直角边从水平状态开始，在平面上沿着直线BC滚动一周，求B点转动的角度．解：三角板转动的路线如图4—4—12所示．由图可知第一次转动90°，第二次转动 120°，第三次没动，所以B 点转动了210°．点拨解决本题的关键是明确角的变化情况，因此，可根据题意画出从起点到终点转动一圈的示意图，然后根据图形就很容易确定出B点转动的角度了．3．转化思想解决一个问题，往往是由未知向已知转化，由陌生向熟悉转化，由复杂向简单转化，转化思想贯穿整个数学学习的始终．例4 将下列选项中的平面图形绕直线旋转一周，可以得到如图4—4—13所示立体图形的是解析：分析立体图形可知，直线应为初始旋转的直角梯形垂直于两底的腰所在直线．答案：B点拨本题主要考查了同学们识别图形的能力．对于类似的图形识别问题我们要能从所给立体图形入手，分析形成它的基本图形，把复杂的立体图形转化为平面图形去认识、解决．中考热点聚焦考点1 线段考点突破：线段问题在中考题中一般难度不大，解题时要结合图形，认真分析，问题便会迎刃而解．例1 （2022广东佛山，12，3分）已知线段AB=6，若C为AB中点，则AC= 3 ．考点两点间的距离分析由题意可知，线段AB=6，C为AB中点，所以，AC=BC，即AC=3；解答解：如图，线段AB=6，C为AB中点，∴AC=BC，∴AC=3．故答案为：3．点评本题考查了两点间的距离，牢记两点间的中点到两端点的距离相等．（2022广西崇左，5，2分）在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是．考点：线段的性质：两点之间线段最短．分析：根据线段的性质：两点之间线段最短解答．解答：解：在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．点评：本题考查了两点之间线段最短的性质，是基础题，比较简单．如图4—4—14所示，点A、B、C是直线上的三个点，图中共有线段的条数是A．1 B．2 C．3解析：图中有线段AB、BC、AC．答案：C考点2 余角和补角考点突破：此类题在中考中的考查为基础性题目，一般为选择题或填空题，只要牢记余角和补角的定义，便能准确求解．例2 （2022清远，6，3分）已知∠α＝35°，则∠α的余角是（）°°°°考点：余角和补角专题：计算题分析：根据互为余角的两个角的和为90度作答．解答：解：根据定义∠α的余角度数是90°﹣35°＝55°．故选．点评：本题考查角互余的概念：和为90度的两个角互为余角．属于基础题，较简单．（2022•南通）已知∠α=20°，则∠α的余角等于70°．考点：余角和补角。

第四章几何图形初步一、基础知识小结： 知识结构图：画一个角等于已知角画一条线段等于已知线段方位角余角和补角和余角和补角的性质角的比较与运算角平分线角的度量及分类线段的中点两点之间的线段最短比较大小线段的有关性质直角的性质作图：（尺规）角直线、射线、线段展开立体图形从不同的方向看物体—三视图平面图形立体图形点、线、图、体几何图形知识要点，自己试着总结一下，忘记了可以看看书． 二、复习检测 选择题：1．将两个完全相同的杯子（如图甲）叠放在一起（如图乙），则从上往下看图乙，得到的平面图形是（ ）．图1图甲图乙A． B． C． D．【答案】C【解析】由图形可知，应选C ．2．美术课上，老师要求同学们将如图所示的白纸沿虚线裁开，用裁开的纸片和把白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个．．．．符合上述题意，那么这个示意图是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】【解析】3．有下列说法：①直线是射线长度的2倍；②线段AB是直线BA的一部分；③直线、射线、线段中、线段最短，其中说法正确的有（）．A．3个B．2个C．1个D．0个【答案】B【解析】因直线和射线都是无限长的，故①错；②正确；③正确．故选B．4．如图，小明从A处出发沿北偏东60︒方向行走至B处，又沿北偏西20︒方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（）．A．右转80︒B．左转80︒C．右转100︒D．左转100︒【答案】A【解析】根据题意，如图所示：∠=︒，CBG∠=20︒．A60∵AF BG∥，∴180∠+∠=︒，A ABG∴120ABG ∠=︒，∴100ABC ABG CBG ∠=∠-∠=︒． ∵18080DCB DCB ∠=︒-∠=︒，∴方向应调整为右转80︒，故选A ．5．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中α∠与β∠互余的是（ ）．A ．αβB ．αβC ．αβD ．αβ【答案】C【解析】A 中αβ∠=∠，B 中270αβ∠+∠=︒，C 中90αβ∠+∠=︒，D 中180αβ∠+∠=︒．故选C ．5．从三个不同方向看一个几何体，得到的平面图形如图所示，则这个几何体是（ ）．从上面看从左面看从正面看A ．圆柱B ．三棱锥C ．球D ．圆锥【答案】D【解析】根据图形判断，可知应选D ．6．下列说法中正确的是（ ）．A ．画一条3厘米长的射线B ．画一条3厘米长的直线C ．画一条5厘米长的线段D ．在线段、射线、直线中直线最长【答案】C【解析】因为直线和射线均可无限延伸，长度无限，只有线段有长度． 故选C ．填空题：1．计算：（1）30524350''︒+︒=__________．（2）10693458''︒-︒=__________． 【答案】7442'︒，7111'︒．【解析】（1）30524350731027442''''︒+︒=︒=︒．（2）106934581056934587111'''''︒-︒=︒-︒=︒．2．钟表上9点30分，时针与分针的夹角是__________度． 【答案】105︒【解析】9点30分时，时针指向9和10中间，分针指向6，因为相邻两个数字之间的夹角为30︒，所以此时时针与分针的夹角为13031052⎛⎫︒⨯+=︒ ⎪⎝⎭．3．如图是正方体的展开图，原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是__________．123456【答案】 【解析】4．计算：50403027557282''''''︒⨯-︒÷=__________． 【答案】692216'''︒ 【解析】原式106806074116882''''''=︒-︒÷ 10721375844''''=︒-︒ 1068060375844''''''=︒-︒692216'''=︒．5．用一副三角板能拼出__________个小于平角的角，度数分别为__________． 【答案】见解析【解析】可拼出的小于平角的角有30︒，45︒，60︒，75︒，90︒，105︒，120︒，135︒，150︒，175︒．共10个．6．平面上不重合的两点确定1条直线，不同点最多可确定3条直线，若平面上不同的6个点最多可确定__________条直线． 【答案】15 【解析】由题意，得不在同一直线上的4个点，最多可确定6条直线， 可总结规律，几个不同的点最多可确定(1)2n n -条直线． 所以不同的6个点最多可确定6(61)152-=（条）直线．解答题：1．已知：α∠和β∠互为补角，并且β∠的一半比α∠小30︒，求α∠、β∠． 【答案】【解析】根据题意，得1801302αβαβ∠+∠=︒⎧⎪⎨∠-∠=︒⎪⎩ 解得80α∠=︒，100β∠=︒．2．画图说明5cm AB =，4cm BC =，求A 、C 两点之间的距离． 【答案】【解析】①5cm4cm CB A ②ABC 4cm如图①，点B 在线段AC 上时，A 、C 两点间的距离9cm AC =． 如图②，点B 在AC 的延长线上时， A 、C 两点间的距离1cm AC =．3．如图，O 为直线AB 上一点，已知50AOC ∠=︒，OD 平分AOC ∠，90DOE ∠=︒．OABC D E（1）请你数一数，图中有多少个小于平角的角． （2）求BOD ∠的度数．（3）请通过计算说明OE 是否平分BOC ∠． 【答案】【解析】（1）图中有9个小于平角的角． （2）∵50AOC ∠=︒，OD 平分AOC ∠，∴1252AOD AOC ∠=∠=︒．∵180AOD BOD ∠+∠=︒， ∴18025155BOD ∠=︒-︒=︒． （3）OE 平分BOC ∠． 理由：∵50AOC ∠=︒， ∴180130BOC AOC ∠=︒-∠=︒． ∵OD 平分AOC ∠，∴1252DOC AOC ∠=∠=︒．∵90DOE ∠=︒，∴65COE DOE DOC ∠=∠-∠=︒，∴12COE BOC ∠=∠，∴OE 平分BOC ∠．三、拓展提高1．下图是由一些火柴棒搭成的图案，按照此规律摆下去，摆第n 个图案用__________根火柴棒．摆2013根火柴棒时，是第几个图案___________．图2图3【答案】(41)n +，503【解析】由图形可知，第1个图案5根火柴棒． 第2个图案，549+=（根）火柴棒．第3个图案，54413++=（根）火柴棒．所以，可根据规律总结，第n 个图案用54(1)41n n +-=+（根）火柴棒． 因为412013n +=时，503n =，所以摆第2013根火柴棒时，是第503个图案．2．如图，图①是一块边长为1，周长为1P 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边一次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的12）后，得到图③、④ ，记第(3)n n ≥块纸板的周长为n P ，则34P P -=__________．1n n P P --=___________．①②③④【答案】【解析】 3．用长为4cm 的n 根火柴可以拼成如图1所示的x 个边长都为4cm 的平行四边形，还可以拼成如图2所示的2y 个边长都为4cm 的平行四边形，那么用含x 的代数式表示y ，得到___________．...图1...图2【答案】315x y -= 【解析】图1中，31n x =+． 图2中，25n y =+． ∴3125x y +=+， ∴315x y -=4．对于正整数a ，我们规定：若a 为奇数，则()31f a a =+，若a 为偶数，则()2af a =．例如(15)315146f =⨯+=，10(10)52f ==．若18a =，21()a f a =，32()a f a =，43()a f a =， ，以此规律进行下去，得到一列数1a ，2a ，3a ，4a ， ，n a ， （n 为正整数），则3a =__________，1232014a a a a ++++= __________．【答案】【解析】5．有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数1x ，只显示不运算，接着再输入整数2x 后则显示12||x x -的结果．比如一次输入1，2，则输出的结果是|12|1-=，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算． （1）若小明依次输入3，4，5，则最后输出的结果是__________．（2）若小明将1到2011这2011个整数随意一个一个的输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m ，则m 的最大值为__________．（3）若小明将1到(3)n n ≥这n 个正整数随意地一个一个的输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m ，研究m 的最小值和最大值． 【答案】（1）4，（2）2010，【解析】（3）因为有绝对值，所以m 的最小值为0，如依次输入0，1，3，2时，m 的最大值为1n -．6．阅读下列材料：我们知道||x 的几何意义是在数轴上数x 对应点与原点的距离，即|||0|x x ==，也就是说，||x 表示在数轴上数x 与0对应点之间的距离，这个结论可以推广为12||x x -表示在数轴上1x ，2x 对应点之间的距离． 解方程||2x =，容易看出，在数轴上与原点距离为2的对应数为2或2-，即该方程的解为2x =或2x =-，解不等式|1|2x ->，如图，在数轴上找出|1|2x -=的解，即1的距离为2的点对应的数为1-和3，则|1|2x ->的解集为1x <-或3x >．解方程|1||2|5x x -++=．由绝对值的几何意义知，该方程表示在数轴上与1和2-的距离之间和为5的点对应的x 的值在数轴上，1和2-的距离为3，满足方程的x 对应点在1的右边或2-的左边，若x 对应点在1的右边，由下图可以看出2x =．同理，若x 对应点在2-的左边，可得3x =-，故原方程的解是2x =或3x =-．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|3|4x +=的解为__________．（2）不等式|3||4|9x x +++≥的解集为___________．（3）关于x 的方程|2||9|x x a -+-=，研究方程有解时a 的取值范围，并对方程的解进行讨论． 【答案】【解析】（1）1x =或7-． （2）5x -≤或4x >． （3）当7a <时，方程无解．当7a =时，方程有无数解，解集为29x ≤≤． 当7a >时，方程的解为112a x +=或112a-．。

第四期图形认识初步知识梳理的度数是（ ）．A ．60oB ．120oC ．60o 或 90oD ．60o 或120o思路点拨：首先根据题意画出图形，注意不要漏掉可能的多种情况。

（1）∠BOD=90°-30°=60°；（2）∠BOD=180°-（90°-30°）=180°-60°=120° 答案：选D 。

例3：将一副三角板按图中方式叠放，则角等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°思路点拨：根据三角板的度数知道∠CAB=∠ACD=90°, ∠CAD=45°,所以∠DAB=90°-45°=45°，所以∠AOB=180°-30°-45°=107°,所以∠=180°-75°=105°。

答案：选D练习1.如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．130° 练习2.如图，OP 平分，，， 垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（）ααABCD EF 150∠=°AEF ∠AOB ∠PA OA ⊥PB OB ⊥1A ED CBFA． B．平分C． D．垂直平分练习3.如图，于点是的平分线，则的度数为．答案：1.B 2.D 3.135°最新考题1.（2009年福州）已知∠1=30°，则∠1的余角度数是（）A．160° B．150° C．70° D．60°2.(2009年宁德市)如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB＝55º，则∠BOD的度数是（）A．35ºB．55ºC．70ºD．110º答案：1. D 2.C答案：选C例2：下列图形中，由，能得到的是（）思路点拨：A中∠1与∠2是同旁内角，两直线平行，同旁内角互补，C中∠1与∠2是由直线AC和直线BD被直线AD所截产生，D不符合平行线的性质。