第16届中环杯决赛试卷与答案七年级_2861

第十六届全国中学生物理竞赛预赛试卷全卷共九题，总分为140分。

一、（10分）1．到1998年底为止，获得诺贝尔物理学奖的华人共有_______人，他们的姓名是______ _______________________________________________________________________________。

2．1998年6月3日，美国发射的航天飞机“发现者”号搭载了一台α磁谱仪，其中一个关键部件是由中国科学院电工研究所设计制造的直径1200mm 、高800mm 、中心磁感强度为0.1340T 的永久磁体。

用这个α磁谱仪期望探测到宇宙中可能存在的_____________。

3．到1998年底为止，人类到达过的地球以外的星球有_______________，由地球上发射的探测器到达过的地球以外的星球有__________________。

二、（15分）一质量为M 的平顶小车，以速度0v 沿水平的光滑轨道作匀速直线运动。

现将一质量为m 的小物块无初速地放置在车顶前缘。

已知物块和车顶之间的动摩擦系数为μ。

1. 若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该车顶最少要多长？2. 若车顶长度符合1问中的要求，整个过程中摩擦力共做了多少功？三、（15分）如图预16-3所示，两个截面相同的圆柱形容器，右边容器高为H ，上端封闭，左边容器上端是一个可以在容器内无摩擦滑动的活塞。

两容器由装有阀门的极细管道相连通，容器、活塞和细管都是绝热的。

开始时，阀门关闭，左边容器中装有热力学温度为0T 的单原子理想气体，平衡时活塞到容器底的距离为H ，右边容器内为真空。

现将阀门缓慢打开，活塞便缓慢下降，直至系统达到平衡。

求此时左边容器中活塞的高度和缸内气体的温度。

提示：一摩尔单原子理想气体的内能为32RT ，其中R 为摩尔气体常量，T 为气体的热力学温度。

四、（20分）位于竖直平面内的矩形平面导线框abcd 。

ab 长为1l ，是水平的，bc 长为2l ，线框的质量为m ，电阻为R .。

初一数学竞赛试题一．选择题（共12小题）1．化简（﹣x）3（﹣x）2，结果正确的是（）A．﹣x6B．x6C．x5D．﹣x52．在一年一度的“安仁春分药王节”市场上，小明的妈妈用280元买了甲、乙两种药材．甲种药材每斤20元，乙种药材每斤60元，且甲种药材比乙种药材多买了2斤．设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，你认为小明应该列出哪一个方程组求两种药材各买了多少斤？（）A．B．C．D．3．将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．下列结论：（1）∠1=∠2；（2）∠2+∠4=90°；（3）∠3=∠4；（4）∠4+∠5=180°；（5）∠1+∠3=90°．其中正确的共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个4．如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③（∠α+∠β）；④（∠α﹣∠β）．正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．已知∠1=17°18′，∠2=17.18°，∠3=17.3°，下列说法正确的是（）A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 C．∠1＜∠2 D．∠2＞∠36．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10 …这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16 …这样的数称为“正方数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（）A．20=6+14 B．25=9+16 C．36=16+20 D．49=21+287．为了考查一批日光灯管的使用寿命，从中抽取了30只进行试验，在这个问题中，下列说法正确的有（）①总体是指这批日光灯管的全体；②个体是指每只日光灯管的使用寿命；③样本是指从中抽取的30只日光灯管的使用寿命；④样本容量是30只．A．1个B．2个C．3个D．4个8．观察下列各式：31=3 32=9 33=27 34=81 35=243 36=729 37=2187 38=6561…用你发现的规律判断32004的末位数字是（）A．3 B．9 C．7 D．19．如图，M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若|a|+|b|=3，则原点是（）A．M或R B．N或P C．M或N D．P或R10．李强同学用棱长为l的正方体在桌面上堆成如图所示的图形，然后把露出的表面都染成红色，则表面被他染成红色的面积为（）A．37 B．33 C．24 D．2111．已知2x6y2和﹣是同类项，那么2m+n的值是（）A．2 B．4 C．6 D．512．下列去括号错误的共有（）①a+b+c=ab+c；②a﹣（b+c﹣d）=a﹣b﹣c+d；③a+2（b﹣c）=a+2b﹣c ④a2﹣[（﹣a+b）]=a2﹣a+b．A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题）13．如图，在地面上有一个钟，钟面的12个粗线段刻度是整点时时针（短针）所指的位置，根据图中时针与分针（长针）所指的位置，该钟面所显示的时刻是时分．14．观察一列单项式：a，﹣2a2，4a3，﹣8a4…根据你发现的规律，第7个单项式为；第n个单项式为．15．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB=．16．珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE=度．17．某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套．18．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式a+b+c的值是．三．解答题（共6小题）19．已知关于x，y的方程组和的解相同，求（2a﹣b）2的值．20．解方程组．21．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．（1）∠1与∠2有什么关系，为什么？（2）BE与DF有什么关系？请说明理由．22．先化简，再求值（1）（﹣x2+5x+4）﹣（5x﹣4+2x2），其中x=﹣2（2）已知A=x2+5x，B=3x2+2x﹣6，求2A﹣B的值，其中x=﹣3．23．（1）如图，直线a，b，c两两相交，∠3=2∠1，∠2=155°，求∠4的度数．（2）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE=4：1，求∠AOF的度数．24．“重百”、“沃尔玛”两家超市出售同样的保温壶和水杯，保温壶和水杯在两家超市的售价分别一样．已知买1个保温壶和1个水杯要花费60元，买2个保温壶和3个水杯要花费130元．（1）请问：一个保温壶与一个水杯售价各是多少元？（列方程组求解）（2）为了迎接“五一劳动节”，两家超市都在搞促销活动，“重百”超市规定：这两种商品都打九折；“沃尔玛”超市规定：买一个保温壶赠送一个水杯．若某单位想要买4个保温壶和15个水杯，如果只能在一家超市购买，请问选择哪家超市购买更合算？请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016•呼伦贝尔）化简（﹣x）3（﹣x）2，结果正确的是（）A．﹣x6B．x6C．x5D．﹣x5【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案．【解答】解：（﹣x）3（﹣x）2=（﹣x）3+2=﹣x5．故选D．【点评】主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．2．（2013•郴州）在一年一度的“安仁春分药王节”市场上，小明的妈妈用280元买了甲、乙两种药材．甲种药材每斤20元，乙种药材每斤60元，且甲种药材比乙种药材多买了2斤．设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，你认为小明应该列出哪一个方程组求两种药材各买了多少斤？（）A．B．C．D．【分析】设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，根据甲种药材比乙种药材多买了2斤，两种药材共花费280元，可列出方程．【解答】解：设买了甲种药材x斤，乙种药材y斤，由题意得：．故选A．【点评】本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，难度一般，关键是读懂题意设出未知数找出等量关系．3．（2013春•太原月考）将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．下列结论：（1）∠1=∠2；（2）∠2+∠4=90°；（3）∠3=∠4；（4）∠4+∠5=180°；（5）∠1+∠3=90°．其中正确的共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】由平行线的性质与互余的关系，即可求得：∠1=∠2，∠3=∠4，∠4+∠5=180°，∠2+∠4=90°；又由等量代换，求得∠1+∠3=90°．【解答】解：如图，根据题意得：AB∥CD，∠FEG=90°，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠4+∠5=180°，∠2+∠4=90°；故（1），（2），（3），（4）正确；∴∠1+∠3=90°．故（5）正确．∴其中正确的共有5个．故选A．【点评】此题考查了平行线的性质．注意掌握：两直线平行，同位角相等与两直线平行，同旁内角互补以及两直线平行，内错角相等定理的应用．4．（2008•西宁）如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③（∠α+∠β）；④（∠α﹣∠β）．正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据角的性质，互补两角之和为180°，互余两角之和为90°，可将，①②③④中的式子化为含有∠α+∠β的式子，再将∠α+∠β=180°代入即可解出此题．【解答】解：∵∠α和∠β互补，∴∠α+∠β=180°．因为90°﹣∠β+∠β=90°，所以①正确；又∠α﹣90°+∠β=∠α+∠β﹣90°=180°﹣90°=90°，②也正确；（∠α+∠β）+∠β=×180°+∠β=90°+∠β≠90°，所以③错误；（∠α﹣∠β）+∠β=（∠α+∠β）=×180°=90°，所以④正确．综上可知，①②④均正确．故选B．【点评】本题考查了角之间互补与互余的关系，互补两角之和为180°，互余两角之和为90°．5．（2013秋•嘉峪关校级期末）已知∠1=17°18′，∠2=17.18°，∠3=17.3°，下列说法正确的是（）A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 C．∠1＜∠2 D．∠2＞∠3【分析】根据1°=60′把∠1=17°18′化成度数再进行解答即可．【解答】解：∵1°=60′，∴18′=（）°=0.3°，∴∠1=17°18′=17.3°，∴B正确．故选B．【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟知1°=60′．6．（2014秋•青岛期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10 …这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16 …这样的数称为“正方数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（）A．20=6+14 B．25=9+16 C．36=16+20 D．49=21+28【分析】本题考查探究、归纳的数学思想方法．题中明确指出：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．由于“正方形数”为两个“三角形数”之和，正方形数可以用代数式表示为：（n+1）2，两个三角形数分别表示为n（n+1）和（n+1）（n+2），所以由正方形数可以推得n的值，然后求得三角形数的值．【解答】解：根据规律：正方形数可以用代数式表示为：（n+1）2，两个三角形数分别表示为n（n+1）和（n+1）（n+2），只有D、49=21+28符合，故选D．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．7．为了考查一批日光灯管的使用寿命，从中抽取了30只进行试验，在这个问题中，下列说法正确的有（）①总体是指这批日光灯管的全体；②个体是指每只日光灯管的使用寿命；③样本是指从中抽取的30只日光灯管的使用寿命；④样本容量是30只．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】本题考查的是确定总体．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物．”．我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．【解答】解：本题中的总体是指这批日光灯管的全体的使用寿命，样本容量是30，所以①④不正确．个体是指每只日光灯管的使用寿命，样本是指从中抽取的30只日光灯管的使用寿命，所以②和③正确．故选B【点评】本题考查的是确定总体、个体、样本．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物．”8．（2012•湛江模拟）观察下列各式：31=3 32=9 33=27 34=81 35=243 36=729 37=2187 38=6561…用你发现的规律判断32004的末位数字是（）A．3 B．9 C．7 D．1【分析】根据给出的规律，3n的个位数字4个循环一次，用2005去除以4，看余数是几，再确定个位数字．【解答】解：设n为自然数，∵31=3 32=9 33=27 34=81 35=243 36=729 37=2187 38=6561…，∴34n+1的个位数字是3，与31的个位数字相同，34n+2的个位数字是9，与32的个位数字相同，34n+3的个位数字是7，与33的个位数字相同，34n的个位数字是1，与34的个位数字相同，∴32004=3501×4的个位数字与与34的个位数字相同，应为1．故选D．【点评】本题考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．9．（2007•佛山）如图，M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若|a|+|b|=3，则原点是（）A．M或R B．N或P C．M或N D．P或R【分析】先利用数轴特点确定a，b的关系从而求出a，b的值，确定原点．【解答】解：∵MN=NP=PR=1，∴|MN|=|NP|=|PR|=1，∴|MR|=3；①当原点在N或P点时，|a|+|b|＜3，又因为|a|+|b|=3，所以，原点不可能在N或P点；②当原点在M、R时且|Ma|=|bR|时，|a|+|b|=3；综上所述，此原点应是在M或R点．故选A．【点评】主要考查了数轴的定义和绝对值的意义．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简后根据整点的特点求解．10．（2011•自贡）李强同学用棱长为l的正方体在桌面上堆成如图所示的图形，然后把露出的表面都染成红色，则表面被他染成红色的面积为（）A．37 B．33 C．24 D．21【分析】此题可根据表面积的计算分层计算得出红色部分的面积再相加．【解答】解：根据题意得：第一层露出的表面积为：1×1×6﹣1×1=5；第二层露出的表面积为：1×1×6×4﹣1×1×13=11；第，三层露出的表面积为：1×1×6×9﹣1×1×37=17．所以红色部分的面积为：5+11+17=33．故选B．【点评】此题考查的知识点是几何体的表面积，关键是在计算表面积时减去不露的或重叠的面积．11．（2016秋•乌拉特前旗期末）已知2x6y2和﹣是同类项，那么2m+n的值是（）A．2 B．4 C．6 D．5【分析】依据同类项的蒂尼可知3m=6，n=2，从而得到m=2，然后代入计算即可．【解答】解：∵2x6y2和﹣是同类项，∴3m=6，n=2．∴m=2．将m=2，n=2代入得：原式=2×2+2=6．故选：C．【点评】本题主要考查的是同类项的定义，由同类项的定义得到3m=6，n=2是解题的关键．12．（2013秋•滨海县校级期中）下列去括号错误的共有（）①a+b+c=ab+c；②a﹣（b+c﹣d）=a﹣b﹣c+d；③a+2（b﹣c）=a+2b﹣c ④a2﹣[（﹣a+b）]=a2﹣a+b．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据去括号法则，括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号，对四个选项逐一进行分析，要注意括号前面的符号，以选用合适的法则．【解答】解：①a+b+c=a+b+c，故本选项错误；②a﹣（b+c﹣d）=a﹣b﹣c+d，故本选项正确；③a+2（b﹣c）=a+2b﹣2c，故本选项错误；④a2﹣[（﹣a+b）]=a2+a﹣b，故本选项错误．综上，①③④错误，共3个．故选C．【点评】本题考查了去括号与添括号的知识，注意去括号法则的熟练掌握．二．填空题（共6小题）13．（2008•资阳）如图，在地面上有一个钟，钟面的12个粗线段刻度是整点时时针（短针）所指的位置，根据图中时针与分针（长针）所指的位置，该钟面所显示的时刻是9时12分．【分析】方法一：结合图形，利用钟表表盘的特征解答．注意要先确定12点或6点的整点位置，才能解答．方法二：根据时针一小时走5个小格，分针一小时走60小格，可知时针绕1格，分针绕了12格，分针逆时针数12小格即为12点的位置，然后读出时间即可．【解答】解：方法一：本题没有确定12点或6点的整点位置，需要先确定，才能解题，由图知：时针转动了1小格，又每一小格所对角的度数为6°，即时针转动了6°，由分针每转动1°，时针转动（）°，知，分针转动了6°÷=72°，又由每一大格所对角的度数为30°，故分针转了两大格，两小格，从而确定12点位置，由此知时针所指的位置在9时过一小格，故可知所显示的时刻是9时，分针转动了72°÷6°=12小格，每小格一分，故分针显示为12分．∴该钟面所显示的时刻是9时12分；方法二：由图可知，时针过1个大格线，走过×60=12分钟，所以，分针逆时针数12小格即为12点的位置，所以，该钟面所显示的时刻是9时12分．【点评】本题考查的是钟表表盘与角度相关的特征．钟表表盘被分成12大格，每一大格又被分为5小格，故表盘共被分成60小格，每一小格所对角的度数为6°．分针转动一圈，时间为60分钟，则时针转1大格，即时针转动30°．也就是说，分针转动360°时，时针才转动30°，即分针每转动1°，时针才转动（）°，逆过来同理．14．（2011•铜仁地区）观察一列单项式：a，﹣2a2，4a3，﹣8a4…根据你发现的规律，第7个单项式为64a7；第n个单项式为（﹣2）n﹣1a n．．【分析】本题须先通过观察已知条件，找出这列单项式的规律即可求出结果．【解答】解：根据观察可得第7个单项式为64a7第n个单项式为（﹣2）n﹣1a n．故答案为：64a7，（﹣2）n﹣1a n．【点评】本题主要考查了单项式的有关知识，在解题时要能通过观察得出规律是本题的关键．15．（2016秋•郾城区期末）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB=180°．【分析】因为本题中∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．【解答】解：设∠AOD=a，∠AOC=90°+a，∠BOD=90°﹣a，所以∠AOC+∠BOD=90°+a+90°﹣a=180°．故答案为：180°．【点评】本题考查了角度的计算问题，在本题中要注意∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．16．（2011•曲靖）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE=20度．【分析】由已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，得AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，由平行线的性质可得，∠BCF+∠ABC=180°，所以能求出∠BCF，继而求出∠DCF，又由CF∥DE，所以∠CDE=∠DCF．【解答】解：过点C作CF∥AB，已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，∴AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠BCF+∠ABC=180°，∴∠BCF=60°，∴∠DCF=20°，∴∠CDE=∠DCF=20°．故答案为：20．【点评】此题考查的知识点是平行线的性质，关键是过C点先作AB的平行线，由平行线的性质求解．17．（2015•滨州）某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排120名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套．【分析】可设应该安排x名工人缝制衣袖，y名工人缝制衣身，z名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套，根据等量关系：①一共210名工人；②小袖的个数：衣身的个数：衣领的个数=2：1：1；依此列出方程组求解即可．【解答】解：设应该安排x名工人缝制衣袖，y名工人缝制衣身，z名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套，依题意有，解得．故应该安排120名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套．故答案为：120．【点评】考查了三元一次方程组的应用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础．（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中优越性．18．（2016春•耒阳市校级期末）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式a+b+c的值是﹣2或﹣3．【分析】根据二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1．【解答】解：若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则c+3=0，a﹣2=1，b+3=1，解得c=﹣3，a=3，b=﹣2．所以代数式a+b+c的值是﹣2．或c+3=0，a﹣2=0，b+3=1，解得c=﹣3，a=2，b=﹣2．所以代数式a+b+c的值是﹣3．故答案为：﹣2或﹣3．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解．三．解答题（共6小题）19．（2017春•杭州月考）已知关于x，y的方程组和的解相同，求（2a ﹣b）2的值．【分析】将两方程组中的第一个方程联立求出x与y的值，将第二个方程联立，把x与y 的值代入求出a与b的值，进而求出所求式子的值．【解答】解：由题意得：，解得：，代入，解得：，则（2a﹣b）2=[2×﹣（﹣）]2=4．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组两方程成立的未知数的值．也考查了解二元一次方程组以及代数式求值．20．（2017•津市市校级模拟）解方程组．【分析】根据代入消元法，可得答案．【解答】解：方程组化简，得，把②代入①，得﹣2x+3（﹣8+2x）=4，解得x=7，把x=7代入②，得y=﹣8+2×7=6，方程组的解是．【点评】本题考查了解方程组，利用代入消元法是解题关键．21．（2012•凤阳县校级模拟）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．（1）∠1与∠2有什么关系，为什么？（2）BE与DF有什么关系？请说明理由．【分析】（1）根据四边形的内角和，可得∠ABC+∠ADC=180°，然后，根据角平分线的性质，即可得出；（2）由互余可得∠1=∠DFC，根据平行线的判定，即可得出．【解答】解：（1）∠1+∠2=90°；∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∴∠1=∠ABE，∠2=∠ADF，∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴2（∠1+∠2）=180°，∴∠1+∠2=90°；（2）BE∥DF；在△FCD中，∵∠C=90°，∴∠DFC+∠2=90°，∵∠1+∠2=90°，∴∠1=∠DFC，∴BE∥DF．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，注意平行线的性质和判定定理的综合运用．22．（2014秋•金昌期中）先化简，再求值（1）（﹣x2+5x+4）﹣（5x﹣4+2x2），其中x=﹣2（2）已知A=x2+5x，B=3x2+2x﹣6，求2A﹣B的值，其中x=﹣3．【分析】（1）原式去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值；（2）把A与B代入2A﹣B中去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式=﹣x2+5x+4﹣5x+4﹣2x2=﹣3x2+8，当x=﹣2时，原式=﹣12+8=﹣4；（2）∵A=x2+5x，B=3x2+2x﹣6，∴2A﹣B=2x2+10x﹣3x2﹣2x+6=﹣x2+8x+6，当x=﹣3时，原式=﹣9﹣24+6=﹣27．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．（2014春•东昌府区期中）（1）如图，直线a，b，c两两相交，∠3=2∠1，∠2=155°，求∠4的度数．（2）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE=4：1，求∠AOF的度数．【分析】（1）根据邻补角的和等于180°求出∠1的度数，然后求出∠3，再根据对顶角相等解答；（2）利用角平分线及比例式求出角的关系，利用平角是180°，求出∠BOE=∠DOE=30°，OF平分∠COE得到∠EOF=75°，求出∠BOF=45°，根据邻补角的和等于180°求出∠AOF【解答】解：（1）如图，∵∠2=155°，∴∠1=180°﹣∠2=180°﹣155°=25°，∴∠3=2∠1=2×25°=50°，∵∠3=∠4，（对顶角相等）∴∠4=50°，（2）∵∠AOD：∠BOE=4：1，∴∠AOD=4∠BOE，∵OE平分∠BOD，∴∠D0E=∠EOB，∴∠AOD+∠DOE+∠BOE=180°，∴6∠BOE=180°，∴∠BOE=∠DOE=30°，∴∠COE=180°﹣30°=150°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=75°，∴∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=75°﹣30°=45°，∠AOF=180°﹣45°=135°．【点评】本题考查了邻补角的定义，对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图并熟记性质与概念是解题的关键．24．（2016春•六合区校级期中）“重百”、“沃尔玛”两家超市出售同样的保温壶和水杯，保温壶和水杯在两家超市的售价分别一样．已知买1个保温壶和1个水杯要花费60元，买2个保温壶和3个水杯要花费130元．（1）请问：一个保温壶与一个水杯售价各是多少元？（列方程组求解）（2）为了迎接“五一劳动节”，两家超市都在搞促销活动，“重百”超市规定：这两种商品都打九折；“沃尔玛”超市规定：买一个保温壶赠送一个水杯．若某单位想要买4个保温壶和15个水杯，如果只能在一家超市购买，请问选择哪家超市购买更合算？请说明理由．【分析】（1）设一个保温壶售价为x元，一个水杯售价为y元，根据买1个保温壶和1个水杯要花费60元，买2个保温壶和3个水杯要花费130元，列出方程组，求解即可．（2）根据题意先分别计算出在“重百”超市购买所需费用和在“沃尔玛”超市购买所需费用，然后进行比较即可得出答案．【解答】解：（1）设一个保温壶售价为x元，一个水杯售价为y元．由题意，得：．解得：．答：一个保温壶售价为50元，一个水杯售价为10元．（2）选择在“沃尔玛”超市购买更合算．理由：在“重百”超市购买所需费用为：0.9（50×4+15×10）=315（元），在“沃尔玛”超市购买所需费用为：50×4+（15﹣4）×10=310（元），∵310＜315，∴选择在“沃尔玛”超市购买更合算．【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．。

上海市第十六届初中物理竞赛(大同中学杯)复赛试题(2002年)说明:1、本试题共有五大题，答题时间为120分钟，试卷满分为150分。

2、答案及解答过程均写在答卷纸上。

其中第一大题～第二大题只要写出答案，不写解答过程；第三大题～第五大题要写出完整的解答过程。

一.选择题(以下每题只有一个选项符合题意，每小题4分，共32分) 1.在下列四个事件中，经历时间最接近一秒钟的是( ) A 人眨一下眼。

B 人在安静时呼吸一次。

C 人在感冒时打一个喷嚏。

D 人在做剧烈运动时(如快速蹬楼)脉博跳动一次。

2.手掌中托一小石块，将它竖直向上抛出，在小石块与手掌脱离时，则( ) A 小石块不受任何力的作用。

B 小石块与手掌的运动速度相等。

C 小石块比手掌运动得快。

D 小石块速度继续增大，手掌速度将减小。

3.向如图1所示的玻璃瓶内注入水，然后将插有细玻璃管的软木塞塞紧玻璃瓶，玻璃瓶壁有A 、B 两个孔，也用软木塞子塞住。

瓶内液面如图1所示，现将A 、B 处的木塞同时拔去后，则下列说法中正确的是( ) A A 、B 两孔中均无水射出。

B A 、B 两孔中均有水射出。

C A孔中无水射出，B 孔中有水射出。

D A 孔中有水射出，B 孔中无水射出。

4.如图2所示，有三只底面积均为S 、水面高度相同，但形状不同的盛水容器a 、b 、c 。

现将三只相同的实心铝球分别放入容器a 、b 、c 中，铝球受到的浮力为F 。

设水对容器底部压强的增大值分别为△P 1、△P 2和△P 3，则下列说法中正确的是( ) A △P 1=△P 2=△P 3=F/S 。

B △P 1>F/S ，△P 2=F/S ，△P 3<F/S 。

C △P 1=F/S ，△P 2<F/S ，△P 3>F/S 。

D △P 1<F/S ，△P 2>F/S ，△P 3<F/S.5.如图3所示，用一根电阻为6R 的粗细均匀的镍铬合金线做成一个环，在环上6个对称的点上，焊接6个不计电阻的导线，并与接线柱连接，现有一根不计电阻的导线将6个接线柱中的任意两个相连接，利用这种方法，可以在其它各接线柱之间的获得不同阻值(不含零电阻)的总个数和最大电阻值分别是( ) A 9种，最大为1.5R 。

第16届中环杯六年级选拔赛答案1. 计算：18110347535357⨯+⨯+⨯=________.【答案】232. 一项工作，甲单独完成需要6天，乙单独完成需要3天，那么甲、乙合作需要______天完成这项工作【答案】23. 某校六（1）班里的男生数量与女生数量之比为8:5。

某天，有12个男生代表六（1）班出去参加足球比赛了，班里剩下的男生数量与女生数量相等，则（1）班里一共有________个学生【答案】524. 下图是由黑色正六边形和白色正六边形组成的，整个图形往各个方向不断地重复下去。

整个平面上黑色正六边形数量占总体的______%.【答案】12.5 5. 将分数11024000化为有限小数，小数点后一共有________个数码【答案】136. 将+、-号填入下面算式的空格内：123456，可以得到_____种不同的值【答案】227. 在一个森林中，青蛙都是绿色或者蓝色的。

从去年到今年，蓝色青蛙的数量增加了60%，绿色青蛙的数量减少了60%。

今年蓝色青蛙与绿色青蛙的数量比与去年绿色青蛙与蓝色青蛙的数量比相同。

那么，今年青蛙的总数量比去年减少了________%【答案】208. 下图是五个半圆互相外切（如果两个圆只有一个交点，并且两圆圆心的距离等于两圆半径之和，就称这两个圆外切），每个半圆的半径均为2，那么阴影部分的周长为______（答案保留π）【答案】6π9. 从一个34⨯的正方形网格的左上角走到右下角，要求满足下面两个条件：（1）每次走动都走到相邻的小正方形内（所谓相邻就是指有一条公共边的两个小正方形）。

（2）所有小正方形都走到过，并且只能走到一次（左上角的小方格除了出发的时候，不能再次进入；右下角的小方格除了到达的时候，也不能重复进入）。

不同的走法有______种【答案】410. 如果将1234569910034343434⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 化为qp的形式，其中,p q 为互质的正整数，p 的值为________. 【答案】7211. 四种瓷砖的尺寸为300300mm mm ⨯、300600mm mm ⨯、600600mm mm ⨯、600900mm mm ⨯。

第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一 第2试2005年4月17日 上午8∶30至10∶30一、选择题（每小题5分，共50分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内. 1、如果4)()(22=--+b a b a ，则一定成立的是（ ）A ．a 是b 的相反数;B ．a 是－b 的相反数;C ．a 是b 的倒数;D ．a 是－b 的倒数. 2、当127-=x 时，式子)1)(1()22(2)2(2x x x x -+----的值等于（ ） A ．7223- B ．7223 C ．1 D ．72493、从不同的方向看同一物体时，可能看到不同的图形。

其中，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图。

由若干个（大于8个）大小相同的正方体组成一个几何体的主视图和俯视图如图1所示，则这个几何体的左视图不可能．．．是（ ）4、如图2所示，在矩形ABCD 中，AE=BG=BF=21AD=31AB=2，E 、H 、G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．205、In a triangle ，if measures of three angles are x ，2x and 3x respectively ，then the measure of is （ ）A ．150°B ．120°C ．90°D ．60°（英汉词典 triangle ：三角形，Measure ：量度，the largest angle ：最大角。

） 6、If we have0<ba，0<-b a and 0>+b a ，then the points in real number axis ，given by a and b ，can be represented as （ ） A ． B ． C ． D ．主视图 俯视图 图1A B C D 图2 HA B CDE FG b a Oa Ob a O b a Ob（英汉词典 point ：点，real number axis ：实数轴，represented ：表示） 7、方程6|3||2|=++-x x 的解的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48、如果3333||||b a b a +-=-，那么下列不等式中成立的是（ ）A ．b a >B ．b a <C ．a ≥bD ．a ≤b 9、如图3，两直线AB 、CD 平行，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6=（ ） A ．630° B ．720° C ．800° D ．900°10、若大于1的整数n 可以表示成若干个质数的乘积，则这些质数称为n 的质因数。

第17届中环杯七年级选拔赛试题1. 计算：32222016320162015320162015720142017-⨯⨯+⨯⨯+-=________. 2. 分解因式：333a b ab a b ++--=________.3. 若关于x 的方程34ax x b +=+有无数个解，则a b +=________.4. 已知()()623456012345652345012345254x a a x a x a x a x a x a x b b x b x b x b x b x x +++++++=++++++（4x ≠-），则0123456012345a a a a a a ab b b b b b -+-+-+=-+-+-________. 5. 费尔马猜想形如()221nF n =+的数为质数。

到目前为止，我们只知道()0F 、()1F 、()2F 、()3F 、()4F 这五个数为质数。

那么3217221++有______个不同的质因数 6. 五个正整数a b c d e 、、、、满足20a b c d e a b c d e <<<<⎧⎨++++=⎩，这样的有序数组(),,,,a b c d e 有______组。

7. 满足()()()222100100x y x y -+-=+的有序整数对(),x y 有_____对8. 如图所示，如果所有行、列、对角线的乘积都是同一个常数，则r s +=______.9. 如图，在扇形OAB 中，110AOB ∠=︒，半径18OA =。

将扇形OAB 沿着过点B 的直线折叠，点O 恰好落在AB 上的点D处，折痕交OA 于点C 。

则AD 的长等于______（答案保留π）10. 若()()()7112a b c a b b c c a abc ++=⎧⎪⎨++++=⎪⎩，则222a b c ++=________.11. 如果x 只能取整数，那么22217110x x x -+--+的最小值为________.12. 三座城市,,A B C ，每两座城市之间至少有一条道路相连。

2016年第16 届”中环杯”五年级决赛模拟试卷填空题（共10 题，前5 题每题4 分，后5 题每题6 分）1.若A *B 表示(A+B)÷ 2 ，则⎡⎣(2014 * 2016)* 2015⎤⎦⨯ 2 =.（吉祥培优夏宾供题）【答案】40302.今年是2016 年，最接近2016 的质数比最小的四位质数大.（学而思供题）【答案】10083.对于自然数N，计算所有相邻数码对的和（相邻数码对是指相邻两个数码。

例如，若N = 15207 ，所有相邻数码对的和有4 个，为：6 = 1 + 5 、7 = 5 + 2 、2 = 2 + 0 、7 = 0 + 7 ）。

如果有一个自然数，所有相邻数码对的和含有1 ~ 9 这九个数。

这个自然数最小是.（学而思供题）【答案】10213243544.在下图中，∆ADE 的面积是∆CDE 面积的2 ，则四边形BCFG 的面积是∆AFG 面积的5.（尚品教育李祖彬供题）【答案】3145.在算式abcd =e ⨯fbe 中，相同字母表示相同数字，不同字母表示不同数字，且每个字母均不大于6。

则abcdef - 10 =.（四季教育夏超群供题）【答案】2016356.如图为“中环村”的街道示意图，每个小方格的边长为20 米。

小洪住在A 处，小福住在B 处。

他们同时从自家出发前往对方的家，两人速度均为 2 米/秒，且以等概率选择每一条路线。

现在要求两人从起点到终点均用时110 秒，那么他们中途相遇的走法有种（尚品教育王洪福供题）【答案】245007.如图所示，已知三角形ABC 中，AC = 7MN ，ME//ND//AB，PE//QD//AC，三角形DEF的面积为1 平方厘米，则图中阴影部分的面积为平方厘米（上海交通大学张田忠供题）【答案】138. 有这样一种数 N ：它最小的四个正约数分别为a 1 < a 2 < a 3 < a 4 ，满足：（1） a 1 N ；（2） a 1 + a 2 N ；（3） a 1 + a 2 + a 3 N ；（4） a 1 + a 2 + a 3 + a 4 N 。

第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛初一组一试试题解答一、填空题（共3题，每题10分）1. 计算)]5(31[)41(2)32(|231|)1()2(22343-⨯-+-⨯-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--÷---⨯-= 解： 3432228594(2)(1)|123|()8122832781146472()[13(5)]4⎡⎤-⨯---÷---⨯-÷--⎢⎥⎣⎦==+-⨯-+-⨯- 6459431.4784--==-⨯ 2. 正方形ABCD 的面积等于625平方厘米.如图，DE 与CF 相交于G.已知125ADE CDG S S ∆∆==平方厘米.△BFG 的面积是 平方厘米.答：△BFG 的面积是50平方厘米.解：由于正方形ABCD 的面积等于625平方厘米.所以，边长25AB =厘米.由于125ADE S ∆=平方厘米，所以AE =10厘米.连接CE , 则1162531222CDE S ∆=⨯=（平方厘米）. 而已知125CDG S ∆=（平方厘米）， 则1252,312.55CDG CDE S DG DE S ∆∆===连接AG . 由221255055ADG ADE S S ∆∆==⨯=（平方厘米） 但16252ADGCBG S S ∆∆+=⨯，而16252BFG CBG S S ∆∆+=⨯，比较可得 50BFG ADG S S ∆∆==（平方厘米）.3. 用长度分别为50,,2,1 的木条去摆三角形，每个三角形的三条边的长度分别为c b a ,,，c b a <<，问),,(c b a 最多有多少种不同的取法？答案：9500.解：利用三条边可以构成三角形的条件：任意的两个边的和大于第三边. 边长为1的木条不能与其它长度的木条构成三角形.三角形的最小边长为2时，边长为2的木条只能与差值为1的两个木条构成三角形，故有47对.三角形的最小边长为3时，边长为3的木条只能与差值为1，2的两个木条构成三角形，故有46+45对.三角形的最小边长为4时，边长为3的木条只能与差值为1，2，3的两个木条构成三角形，故有45+44+43对.......三角形的最小边长为k （)25≤k 时，边长k 为的木条只能与差值为1，2，3，⋯，1-k 的两个木条构成三角形，故有(49)(491)(4922)k k k -+--++-+ 对.三角形的最小边长为k （)25>k 时，边长k 为的木条只能与差值为1，2，3，⋯，1-k 的两个木条构成三角形，故有1)149()49(++--+- k k 对. 故总数为(47461)(45441)(43421)(212k k +++++++++++++-+-+++ (321)1++++ 47244523(21)53321k k =⨯+⨯++-⨯++⨯+⨯+()22224231(24231)9500.=+++-+++=二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4. 用)(n S 表示自然数n 的数字和，如1)1(=S ，6)123(=S ，10)1234(=S 等等，求自然数n ，使得2011)(=+n S n .答: 1991.解1： 2011)(=+n S n ，20111900<<∴n 则可设y x n ++=101900或y x n ++=102000，其中90,90≤≤≤≤y x ，且y x ,为整数.若y x n ++=101900，则201191101900=++++++y x y x ，即101211=+y x ⎩⎨⎧==∴19y x 1991=n 若y x n ++=102000，则20112102000=+++++y x y x ，即9211=+y x 没有符合条件的整数解.因此，n =1991.解2：因为()(mod9),n S n ≡要使2011)(=+n S n ，只须()2011(mod9),n S n +≡ 即220114(mod9)2(mod9).n n ≡≡⇒≡已知在2011n ≤时()S n 最大为38，所以19832011,n ≤≤其中被9除余2的有1991，2000，2009.其中只有1991满足1991+20=2011，所以1991.n =5. 两个21位自然数m 和n ，每个都由三个1、三个2、三个3、三个4、三个5、三个6和三个7组成，使得nm k =是自然数，问k 能取哪几个自然数？说明你的理由.答：1.解：显然777666555444333222111 1.777666555444333222111k == 假设存在这样的m 和n ，使得数m n 是一个大于1的自然数，则可设m k n=，故m kn =. 两边分别除以9，用数被9除的性质知m 和n 被9除的余数均等于3(1234567)⨯++++++被9除的余数，即84被9除的余数，为3. 因此3与3k 模9同余. 由7776665554443332221117111222333444555666777m k n =≤<， 及m 和n 不同（即1k ≠）推得4k =，即4m n =. 考虑数n 最低位的数字7，当把n 乘以4时，这个数字7的下一位（如果有）最多为6，因此乘以4最多进两位，这说明m 中对应位的数字为8（下面不进位,7×4=28）或9（下面进一位）或0（下面进两位），这与m 由三个1、三个2、三个3、三个4、三个5、三个6和三个7组成相矛盾！即不存在满足条件的m 和n .使得数m n是一个大于1的自然数. 所以，只有 1.k =6. 使得关于未知数x 的方程k x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡32无解的自然数 k 由小到大排成一行,其前2011个k 的值之和等于多少？解. k0 1 2 3 x 1 2 3 4 23x x ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0 1 2 3 设5,0,1,2,3k m r r =+=；令6,x m p p =+待定. 325232323x x p p p p m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 从上表可知，=,0,1,2,3,23p p r r ⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦是有解的. 因此，5,0,1,2,3,(1)k m r r =+=都有解.下面考虑 5 1.k m =-显然，665.23m m m ⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦而对于01,q <<66323121115 2.232323m q m q q q q q m m m m m --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=-+-=-+-+-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦上式对于任意01q <<的q 成立. 所以当51k m =-时，方程无正有理数解.因此，前2011个k 的值之和=20112012(511)(521)(520111)5201110113319.2⨯⨯-+⨯-++⨯-=⨯-=初一组二试试题解答图3 一、填空题（共3题，每题10分）1. 一水池有一进水口，若干同样大小的排水口.如果同时打开进水口和5个排水口，连续30个小时可以将水排尽；如果同时打开进水口和6个排水口，连续20小时可以将水排尽.如果同时打开进水口和15个排水口，几小时可以将水排尽？答：5小时.解：设一水池水为z 立方米，进水口每小时过水y 立方米，一个排水口每小时排水x 立方米.于是 3053020620x y z x y z ⨯=+⎧⎨⨯=+⎩由此此得 2305230232063203x y z xy z ⨯⨯=⨯+⎧⎨⨯⨯=⨯+⎩ 两式两边分别相减得 60x z = ∴ 160x z =；同样可得 120y z =. 设同时打开一进水口和15个排水口，t 小时可以将水排尽. 则1115,6020t z t z z ⨯=⨯+ 即 11 1.420t t =+ 所以 1155t t =⇒=（小时）. 2. 图中，四边形ABCD 是一个长方形，EF //AB ，GH //AD , EF 和GH 相交于点O , 三角形OBD 的面积是m ，求长方形OFCH 的面积和长方形AGOE 的面积差.答：2.m解：从图中可见，1.2BODC BOD ABCD BODA BOD S S S S S ∆∆-==+ 即 22.BODC BODA BOD S S S m ∆-==即 ()()2O F C H B O F D O H A G O E B O G D O ES S S S S S m ∆∆∆∆++-++= 但 ,,BOF BOG DOH DOE S S S S ∆∆∆∆== 因此得2.OFCH AGOE S S m -=3. 自然数a ，b 互质，如果a a b =⎥⎦⎤⎢⎣⎡，n b a b 101⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧，n 是10进制数b 的位数，则a b = .其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡a b 表示不超过a b 的最大整数，⎭⎬⎫⎩⎨⎧a b 表示a b 的小数部分.答：.25 解：设符合题意的最简分数为b a ，a 、b 均为正整数且互质.可知b >a ，根据题意即，则110n b a b a+⨯=，整理成正整数方程为210()n b a -=ab . 从方程中可知2a a b ≤<.因为a 与b 互质，所以b - a 2与ab 也互质.因为若 b -a 2与ab 有公因子p ，那么p 能整除a (或能整除b )，也能整除b -a 2，从而p 也能整除b (或也能整除a )，这样，与题意最简分数(分子与分母互质的分数)矛盾.因此，互质的a 与b 的积只能是10n 与1的乘积或5n 与2n 的乘积两种可能.若10n b =，1a =，这时21b a -≠； 若ab =10n =)(52n⨯，b =5n ,2n a =, 这时b -a =1得25(2)1n n -=,即()2521n n -=. 因此，n 只能是1时才成立，即a =2，b =5. 最简分数为.25 二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4. 将正整数1，2，3，… ，8分别放置于正方体的8个顶点，每个顶点与相邻3个顶点上的数之和称为该顶点的“众数”.对每一种填法，都可以得到最大“众数”的与最小“众数”的差，那么这个差至少等于多少.答：2解：首先考虑这样的8个众数能否全相等，如果能，因为它们的和等于144，即 1444364)8_321(=⨯=⨯+++，所以每个都等于18，那么最大与最小的众数之差就是0.如果不能全相等，为了求得最小可能值，如果有一个是19，那么 相应地得有一个是17，（总和须等于144）所以这个最小的可能值就不能小于21719=-.这样我们只要先证明8个众数不能全相等，然后找出一种布法，其最大与最小众数之差等于2，就可以断定所求的这个最小值是2.设顶点的编号为1，2，3，4，5，6，7，8，如图，记在顶点i 的数为,18,i x i ≤≤.这样，顶点1的众数为1234x x x x +++；顶点5的众数为1568x x x x +++. 若此二顶点的众数相等，则864286515421x x x x x x x x x x x x +=+⇒+++=+++同样地，顶点2的众数为1236x x x x +++，顶点4的众数为1348x x x x +++，若此二顶点的众数相等，则846284316321x x x x x x x x x x x x +=+⇒+++=+++由上面得到的二式相加得 2822,x x =即 28,x x =这是不可能的. 这就证明了8个众数不能全相等.构造一个摆放方式的图例（见右图），最大数和最小数的差等于2，故最小差值等于2.5. 已知三角形边长都是整数，周长不超过28，三个边长两两之差的平方和等于14. 问这样的三角形共有多少个？（三条边长分别对应相等的三角形只算1个）答：12个.解：设三角形三条边长分别为a,b,c ，由已知等式可得：()()()22214a b b c a c -+-+-=. ①令a b m,b c n -=-=，则a c m n -=+，其中m,n 均为自然数.于是，等式①变为 227m n mn ++=. ② 由于m,n 均为自然数，判断易知，2()3737.m n mn mn -+=⇒≤因此，使得等式②成立的m ，n 只有两组：21m n =⎧⎨=⎩ 和 12m n =⎧⎨=⎩. （1）当m ＝2，n ＝1时，b =c +1,a =c +3.又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即13c c c ++>+，解得2c >.又因为三角形的周长不超过28，即3428a b c c ++=+≤，解得8c ≤.因此28c <≤，所以c 可以取值3，4，5，6，7，8，对应可得到6个符合条件的三角形.（2）当12m ,n ==时，23b c ,a c =+=+.a,b,c 又为三角形的三边长，所以b c a +>，即23c c c ++>+.解得1c >.又因为三角形的周长不超过28，即()()3228a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤，因此17c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形，且和（1）中得到的三角形不同.综合可知：符合条件且周长不超过28的三角形的个数为6612+=个.6. 求最小自然数k , 使得对于任意正整数n , k 个奇数2n +1, 2n +3, ……, 2n +2k -1中至少有一个数, 不能被3, 5, 7, 11中的任何一个整除.解. 试验可知，我们有6个奇数: 115,117,119,121,123,125,它们中每一个都可以被3,5,7,11中的一个或几个数整除.所以,k>6.对于任意的正整数 n , 当 k >6时, 取前7 个数:2n +1, 2n +3, ….., 2n +13 (1)由于2个能被3整除的奇数之差,不小于6; 2个能被5整除的奇数之差,不小于10; 2个能被7整除的奇数之差,不小于14; 2个能被11整除的奇数之差,不小于22. 因此,(1)中能被3整除的数最多有3个,且只能是2n +1, 2n +7, 2n +13.(1)中能被5整除的数最多有2个,且只能是2n +1,2n +11或者2n +3，2n +13;(1)中能被7整除的数最多有1个;(1)中能被11整除的数最多有1个.下面证明(1)中能被3 或5 整除的数的个数不超过4.若能被3整除的数只有2个，显然能能被3 或5 整除的数的个数不超过4. 若能被3整除的数有3个，不管什么情况，能被3整除的数和能被5整除的数，必有一个重合. 能被3整除和能被5整除的数一共不能超过4个.除了能被3 或5 整除的数外，还余下3个.但能被7或11整除的数最多只有2个，因此，必有一个数不能含有质因子3，5，7，11.即这个数不能被3, 5, 7, 11中的任何一个整除.答.k的最小值是7。