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第 16 届中环杯七年级决赛
一、填空题（本大题共 10 小题，每题 6 分，共 60 分）： 1. 计算：
20142 20152 40282 2 2014 2015 2 2014 4028 2 2015 4028 ________. 22 42 62 1002
x n a1 x n 1 an 0 的某个根为质数， f 2015 也是质数，则 f 2015 _______.
【答案】2 10. 如图 a 所示，一个等腰梯形的腰长为 1，下底长为 2，底角为 83 （等腰梯形的两 个底角相等），用若干个这样的等腰梯形可以拼成一个对称的图形，这个对称图形的 一部分如图 b 所示。
k k 的外界攻击，我们将 称为他的抵挡值。比如，某个战士 k 10 k 10 40 80% 的外界攻击，这个战士的抵挡值就是 40 10
的盔甲值为 40，那么他可以抵挡住
80% 。游戏中的某个战士购买了一些盔甲值（购买的数值为整数），使得他的抵挡值
增加了 10% （比如原先的抵挡值为 20%，增加 10%后变为 20%+10%=30%），这个战士最 多购买了_______盔甲值 【答案】9801 8. 某个等比数列（后一项与前一项之比为固定值的数列）一共有 n 项，其中每一项都是 正整数，这 n 项的值都不同，并且每一项的值都在 200 ~ 400 之间（可以取 200 或 400）。则 n 的最大值为______. 【答案】4 9. 定义 f x xn a1 xn1 an 是一个多项式，其中 n 1 ， a1 ~ an 都是整数。若方程
1 4
12. 已知 a, b 是不同的实数，满足 【答案】5
b3 3a 2b 2 a 3ab 11
3 2
，求： a 2 b2 的值
13. 如图，ACGHI、ABDEF、BCJKL 都是正五边形，求证： KI FL
B D C A G I H J K L E F
【证明】略
14. 已知 n 是一个正整数，在黑板上写上 n3 个不同的三元有序正整数组 a, b, c ，其中
1 a, b, c n 。接下来，从每个数对中选出最大的数（可能有多个最大的数），将剩余
的数擦去。比如，在数组 1,3, 4 中，擦去 1、3，留下 4；在数组 2, 4, 4 中，擦去 2， 留下 4、4。对这 n3 个数组都进行这样的操作后，求证：黑板上留下数的个数不可能是 一个完全平方数 【证明】略
2 3 13 ，所以 2 3 13 6 19 。则 242 262 的最大素因数为_____. 3 2 6
【答案】157
6. 如果一个自然数的所有因数中至少有四个是两位数，那么这样的自然数就称为“中环 数”。最小的“中环数”是______. 【答案】48 7. 在一个游戏中，战士身穿盔甲，抵挡来自外界的攻击。如果一个战士的盔甲值为 k ， 那么他可以抵挡住
1 3
a
b
最后，这个对称图形的大致形状如图 c 所示（该图只是示意图），为了完成整个图 形，需要_______块等腰梯形
c 【答案】54 二、动手动脑题（本大题共 4 小题，每题 10 分，共 40 分，请写出解题过程）： 11. 若非零实数 x, y 满足 x3 xy 2 y 6 y 4 ，求： x y 的最小值 【答案】
b a
H E B
D C A
【答案】 0 4. 已知 x y z 6 ，则 【答案】0 5. 对正整数 m 和百度文库n，设 m n
m n 的最简分数表示式中分子与分母之和，例如：因为 n m
1 1 1 _____. xy 2 z 8 yz 2 x 8 zx 2 y 8
1 171700
【答案】
2. 若关于 x 的代数式 x 2 x a 4 x a （ a 0 ）的最小值为 b ，则 ______. 【答案】 5 3. 如图，正方形 BCDE ，正 ABC ，正五边形 BEFGH ，则 ADE AHE ________.
G F
