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第五章离散系统的时域分析法目录5.1 引言5.2 离散时间信号5.3 离散系统的数学模型-差分方程 5.4 线性常系数差分方程的求解5.5 单位样值响应5.6 卷积和§5.1引言连续时间信号、连续时间系统连续时间信号：f(t)是连续变化的t的函数，除若干不连续点之外对于任意时间值都可以给出确定的函数值。
函数的波形都是具有平滑曲线的形状，一般也称模拟信号。
模拟信号抽样信号量化信号连续时间系统：系统的输入、输出都是连续的时间信号。
离散时间信号、离散时间系统离散时间信号：时间变量是离散的，函数只在某些规定的时刻有确定的值，在其他时间没有定义。
离散时间系统：系统的输入、输出都是离散的时间信号。
如数字计算机。
o k t ()k t f 2t 1−t 1t 3t 2−t 离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际系统生成。
量化幅值量化——幅值只能分级变化。
采样过程就是对模拟信号的时间取离散的量化值过程——得到离散信号。
数字信号：离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。
ot ()t f T T 2T 31.32.45.19.0o T T 2T 3()t f q t3421离散时间系统的优点•便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面显示其优越性；•容易作到精度高，模拟元件精度低，而数字系统的精度取决于位数；•可靠性好；•存储器的合理运用使系统具有灵活的功能；•易消除噪声干扰；•数字系统容易利用可编程技术，借助于软件控制，大大改善了系统的灵活性和通用性；•易处理速率很低的信号。
离散时间系统的困难和缺点高速时实现困难，设备复杂，成本高，通信系统由模拟转化为数字要牺牲带宽。
应用前景由于数字系统的优点，使许多模拟系统逐步被淘汰，被数字（更多是模／数混合）系统所代替；人们提出了“数字地球”、“数字化世界”、“数字化生存”等概念，数字化技术逐步渗透到人类工作与生活的每个角落。
数字信号处理技术正在使人类生产和生活质量提高到前所未有的新境界。
0=t ：换路时刻，换路经历的时间为0_到+0；-=0t ：换路前的最终时刻；+=0t ：换路后的最初时刻；5.1.2动态电路的初始条件设0=t 时电路换路，若换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，则在换路瞬间电容元件的电压和电感元件的电流不能跃变，这就是换路定律。
其数学表达式为)0()0()0()0(-+-+==u u q q c 电容上电荷和电压不发生跃变！ ①若-=0t 时，0)0(q q C =-,0)0(U u C =-,则有0)0(q q C =+,0)0(U u C =+,故换路瞬间，电容相当于电压值为0U 的电压源；②若-=0t 时，0)0( ,0)0(==--C C u q ,则应有0)0( ,0)0(==++C C u q ,则换路瞬间，电容相当于短路。
⎩⎨⎧==-+-+)0( )0( )0()0(L L L L i i ψψ电感的磁链和电流不发生跃变！ ①若-=0t 时，00)0( ,)0(I i L L ==--ψψ，则有00)0( ,)0(I i L L ==++ψψ,故换路瞬间，电感相当于电流值为0I 的电流源；②若-=0t 时，0)0( ,0)0(==--L L i ψ，则应有0)0( ,0)0(==++L L i ψ,则换路瞬间，电感相当于开路。
换路后初始瞬间+=0t 时刻，电路中电压和电流值称为初始值。
换路定律仅适用于电容电压和电感电流初始值的确定。
独立初始条件)0(+C u 和)0(+L i ：由-=0t 时的)0(-C u 和)0(-L i 确定。
非独立初始条件（电阻电压或电流、电容电流、电感电压）需要通过已知的初始条件求得。
本节重点：动态电路初始值的确定，电路和换路情况复杂时，容易出错5.2一阶电路的时域分析5.2.1一阶电路的零输入响应零输入响应：无外施激励，由动态元件的初始值引起的响应。
电路的微分方程为⎪⎩⎪⎨⎧=≥=+0)0(0 0U u t u dt du RC C C C 0 )( 0≥=∴-t e U t u RC tC0 )(0≥=-=-t e RU dt du C t i RC t C 这里，特征方程RCs +1=0，特征根 1 RCs -=，时间常数RC =τ 。
时域分析方法总结引言时域分析是信号处理领域中常用的一种方法，它的核心思想是对信号在时间上进行观察和分析，从而获取有关信号的时序特征和动态行为。
本文将对时域分析的基本概念和常用方法进行总结和介绍。
时域分析的基本概念时域分析主要依赖于时域信号，即信号在时间轴上的变化。
时域信号是连续的，可以通过采样来离散表示。
常见的时域信号包括周期信号、非周期信号以及随机信号等。
时域分析的目的是通过观察和分析信号在时间上的变化，揭示信号的特征和规律。
常用的时域分析方法1. 时域波形分析时域波形分析是最直观和基本的时域分析方法。
它通过观察信号的波形，分析信号的振幅、频率、周期和相位等特征。
常用的时域波形分析方法包括均方根(RMS) 分析、极值分析和傅里叶级数分析等。
这些方法适用于周期信号和非周期信号的分析。
2. 自相关函数分析自相关函数是用于描述信号与其自身之间的相关性的函数。
自相关函数分析能够揭示信号中的周期性成分和重复模式。
通过计算信号与其延迟后的版本之间的相关性，可以获得自相关函数。
自相关函数分析常用于随机信号的分析和模式识别任务。
3. 相位谱分析相位谱分析是用于分析信号的频率和相位关系的方法。
它通过将信号转换为频域表示，获得信号的频谱信息。
相位谱分析基于信号的频域特性，可以帮助人们理解信号的相位信息、频率成分以及相位偏移等。
常用的相位谱分析方法包括快速傅里叶变换 (FFT) 和功率谱密度分析。
4. 瞬态响应分析瞬态响应分析是用于分析信号对于外部激励的瞬时响应情况。
它通过分析信号在时域上的变化来了解系统的动态行为。
瞬态响应分析常用于分析系统的响应时间、准确性和稳定性等性能指标。
常用的瞬态响应分析方法包括阶跃响应分析和脉冲响应分析。
应用场景时域分析方法在多个领域中都有广泛的应用，包括信号处理、通信、控制系统、生物医学工程等。
时域分析方法可以帮助人们深入了解信号的特性和行为，并根据分析结果进行系统设计、故障诊断、模式识别等工作。
第5章 时域分析我们在上一章已经介绍了信号的频域分析法，这里我们再讨论信号的时域分析法。
所谓信号的时域分析．．．．．．．，就是根据信号的时间历程记录或波形，分析信号的组成和特征量。
换句话说，我们既可以通过波形分析．．．．来分析信号的强弱，也可以通过相关分析．．．．来确定信号前后时刻的相似程度。
5.1 波形分析一、 周期波形分析 1. 简谐波简谐波是最简单的周期信号，其数学表达式为)sin()(φω+=t x t x m可见，描述简谐波的主要波形参数有峰值（最大幅值）x m ，角频率ω和初相角φ。
其中波形幅值除了用峰值表示以外，还可以用均值（平均绝对值）和方均根来表示如下：均值 ∑⎰-=≈=1011N i iT xNdt x T x方均根 ∑⎰-=≈=120211N i iTrmsxNdt x Tx式中，T 为采样周期；N 为采样点数，x i 为采样瞬时的信号幅值。
注意：上述公式的两部分中，前者是模拟分析法的计算式，而后者为数字分析法的计算式。
2. 复杂的周期信号对于复杂周期信号的波形分析，实际上就是要确定其各次谐波的幅值、角频率和初相角，这种分析又称为谐波分析。
二、 随机波形分析我们在第一章中曾经介绍过，随机信号是用概率统计的方法来描述的，则其幅值可以用均值、方差、均方值、均方根以及概率密度函数来表征。
注意：这里仅对平稳．．随机信号x (t )进行讨论。
1. 均值、均方值和均方根均值（静态分量） ∑⎰-=≈==∆101)(1][N i i T x N dt t x T x E x 均方值 []⎰==Tdt t x Tx E x 0222)(1均方根 2x x rms =2. 方差和标准偏差方差（动态分量） []()[][]()2222222][][)(1x x x E x E x E x E dt x t x T Tx-=-=-=-=⎰σ标准偏差 [][]x x E dt x t x TTx -=-==⎰0)(1σ3. 概率密度函数概率密度函数．．．．．．p ．(．x ．)．是用来表示瞬时数据落在某指定范围[x , x +Δx ]内的概率P [x , x +Δx ]，其定义为[]x x x P x p x ∆∆=→∆,lim)(05.2 相关分析相关分析是用来研究两个变量之间的相互关系。
若变量间存在确定的函数关系，则称为函数相关；但对于两个随即便量而言，则不可能有确切的函数关系，只是一种概率关系，这种相关就称为概率相关（包括自相关和互相关）。
一、 相关系数相关．．系数．．ρ．xy．．是用来表征两个随机变量x 和y 之间线性关联程度的量度，其定义为 ()()[]yx xyyx xy y y x x E σσσσσρ=--=式中，x 、y 为x 和y 的均值；x σ、y σ为x 和y 的标准偏差；xy σ为x 和y 的协方差。
故⎪⎩⎪⎨⎧=<±=互不相关和则因素含有随机噪声或非线性和则线性相关和则，，，y x y x y x xy 011ρ二、 自相关函数 1. 定义自相关函数．．．．．R ．xx ．．(．τ．)．是描述平稳随机信号x (t )一个时刻t 的数据值与另一个时刻t +τ的数据值之间的依赖关系，其定义为⎰+=∞→TT xx dt t x t x TR 0)()(1lim)(ττ2. 性质（1） 自相关函数表明了同一个信号在不同时刻的相关程度；（2） R xx (τ)是自变量τ的实偶函数，其图形是对称的，如图所示（参见P138图5.2.2）[ 注意：图中的σ2为方差，m 为均值。
]（3） τ=0时，则随机函数的自相关函数⎪⎩⎪⎨⎧+==不为零时当均值为零时当均值，，x x x x R x x xx 2222)0(σσ （4） τ→∞时，则随机函数的自相关函数⎩⎨⎧=±∞=∞→不为零时当均值为零时当均值，，x x x R R xx xx 20)()(lim ττ （5） 若x (t )是周期信号，则其自相关函数R xx (τ)也是周期性的、非收敛的、同频率函数； （6） 自相关函数在τ=0时有最大值，即R xx (0)≥R xx (τ)；例题：5.2.13. 估计一般，信号的相关分析按信号类型的不同，可分为模拟相关分析法和数字相关分析法。
（1） 模拟估计法在模拟相关分析法中，我们可以采用模拟仪器来进行自相关估计，如图所示。
其具体步骤为：○1用滞后时间发生器（如磁带记录仪）使信号x (t )时移τ，得x (t +τ)； ○2用乘法器把任一瞬时的x (t )与x (t +τ)相乘，得x (t )x (t +τ)； ○3用平均电路在采样时间T 内平均此乘积，得R ^xx (τ)； ○4改变时移τ，用X-Y 记录仪记下R ^xx (τ)~τ的关系。
（2） 数字估计法利用数字相关分析法进行自相关估计的具体途径有两种： 一是直接法．．．，即直接计算采样的平均乘积，其计算公式为 10)()(1)(1-≤+≤+=∑-=N n n x n x N R N n xx τττ，式中，N 为采样点数； 二是间接法．．．，即利用FFT 算法先计算采样数据的自功率谱，然后再根据相关函数与自谱密度函数互为傅里叶变换的性质，作IFFT 求得其自相关估计，如图所示。
4. 应用（1） 检测淹没在随机噪声中的周期信号例如，对于在海域中航行的潜水艇，其发动机发出的是周期信号，而周围的海浪是随机信号，则利用此项应用的原理就可以判断是否有潜水艇通过。
（2） 检测信号的回声 利用这一原理，对目标反射的回波进行分析，即可确定目标所在的距离、方位、速度等，比如，进行地震的测定。
三、 互相关函数 1. 定义互相关函数．．．．．R ．xy ．．(．τ．)．是描述随机信号x (t )在时刻t 的数据值与y (t )在时刻t +τ的数据值之间的依赖关系，其定义为⎰+=∞→TT xy dt t y t x TR 0)()(1lim)(ττ2. 性质（1） 互相关函数表明了两个信号在不同时刻的相关程度； （2） R xy (τ)不是自变量τ的偶函数，其图形也不是对称的，如图所示（参见P142图5.3.2）[ 注意：图中的σ为标准偏差，m 为均值。
]但它可以满足R xy (τ)= R yx (-τ)；（3） R xy (τ)的最大峰值一般均不在τ=0处，如图所示； （4） τ→∞时，R xy (τ)→m x m y ，如图所示；例题：5.2.23. 估计（1） 直接方法Nn y n x NR Nn y n x N R N n yx N n xy ≤≤+=≤≤+=∑∑--=--=ττττττττ0)()(1)(0)()(1)(110，，（2） 间接注意：这里包括两次独立的FFT 运算，分别对x (t )、y (t )求得相应的频谱X (ω)、Y (ω)，再利用互谱公式P xy (ω)= X (ω) Y *(ω)/N 即可得到其互谱。
4. 应用（1） 测量滞后时间由于当系统的输出与输入之间的时间差等于．．信号通过系统所需的时间时，互相关函数就会出现峰值，因此利用这一原理即可确定系统的滞后时间。
（2） 确定传递通道（3） 检拾和回收噪声中的信号 （4） 系统识别利用相关技术，即由互相关函数的傅里叶变换，测得反映系统特性的频响函数。
习题：P146 5.2, 5.3, 5.5, 5.65.3 例题与解答例5.2.1 随机相位正弦波)sin()(0ϕω+=t x t x式中，x 0,ω均为常数，φ在0~2π内随机取值，试求其自相关函数并作图。
分析：利用自相关函数的定义求解，即⎰+=∞→TT xx dt t x t x TR 0)()(1lim)(ττ解：由自相关函数的定义式，得[]()ωταωτααωταπτπωαωαϕωϕτωϕωττϕπϕπcos 2sin cos sin cos sin 2lim )(21)(sin )sin(1lim )()(1lim )(202202/2/200x d x R T d dt t dt t t x T dtt x t x T R T xx T T T TT xx =+====++++=+=⎰⎰⎰++-∞→-∞→∞→故且则令，可见，该随机相位正弦波的自相关函数只与角频率ω有关，而不含相位信息．．．．．．，这表明：正弦函数的自相关函数为失去了相位信息的同频率余弦函数。
其自相关函数图形如图所示。
例5.2.2 两个随机相位正弦波)sin()()sin()(00ϕθωθω-+=+=t B t y t A t x式中，A 0, B 0,ω, φ均为常数，θ在0~2π内的取值概率相同，即满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它，，02021)(πθπθp 试求其互相关函数并作图。
分析：利用互相关函数的定义求解，即⎰+=∞→TT xy dt t y t x TR 0)()(1lim)(ττ解：由互相关函数的定义式，得R xx (τ) τ x 02/2[])cos(21)(sin )sin(21)()(1lim)(0020000ϕωτθϕθτωθωπττπ-=-+++=+=⎰⎰∞→B A d t t B A dt t y t x T R TT xy 可见，两个正弦函数的互相关函数仍为同频率的余弦函数，其最大峰值出现在τ=φ/ω处。
其互相关函数图形如图所示。
τ。
