金版学案 数学选修1-1(人教版)练习：章末评估验收(三) Word版含解析

第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数A 级 基础巩固一、选择题1．函数y ＝12x 2－ln x 的单调减区间是( )A ．(0，1)B ．(0，1)∪(－∞，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，＋∞)解析：因为y ＝12x 2－ln x 的定义域为 (0，＋∞)，所以 y ′＝x －1x ，令y ′＜0，即x －1x ＜0，解得：0＜x ＜1或x ＜－1. 又因为x ＞0，所以 0＜x ＜1. 答案：A2．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x e 2C ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x解析：显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e 2，因e 2为大于零的常数，不用求导就知y ＝x e 2在(0，＋∞)内为增函数；对于C ，y ′＝3x 2－1＝3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33，故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞上为增函数，在⎝⎛⎭⎪⎫－33，33上为减函数；对于D ，y ′＝1x －1(x ＞0)．故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0，1)上为增函数． 答案：B3．(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4D ．π解析：因为f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin(x －π4)，所以当x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4时，y ＝sin(x －π4)单调递增，y ＝－2sin(x －π4)单调递减，因为函数f (x )在[－a ，a ]是减函数，所以[－a ，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4所以0<a ≤π4，所以a 的最大值为π4.答案：A4．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数．观察选项易知D 正确．答案：D5．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：依题意得f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥1x 在(1，＋∞)上恒成立，因为x >1，所以0<1x<1，所以k ≥1，故选D. 答案：D 二、填空题6．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________． 解析：令f ′(x )＝1－2cos x ＞0，得cos x ＜12，又x ∈(0，π)，所以π3＜x ＜π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π7．若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝1x －ax －2＝－ax 2＋2x －1x.因为函数f (x )存在单调递减区间，所以f ′(x )≤0有解． 又因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 所以ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内有解．①当a >0时，y ＝ax 2＋2x －1为开口向上的抛物线， ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内恒有解；②当a <0时，y ＝ax 2＋2x －1为开口向下的抛物线， 若ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内恒有解，则⎩⎨⎧Δ＝4＋4a ≥0，x ＝－1a >0，解得－1≤a <0， 而当a ＝－1时，f ′(x )＝x 2－2x ＋1x ＝（x －1）2x ≥0，不符合题意，故－1<a <0；③当a ＝0时，显然符合题意．综上所述，a 的取值范围是(－1，＋∞)． 答案：(－1，＋∞)8．函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调递增函数，则m 的取值范围为________．解析：因为f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由题意可知f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞三、解答题9．已知函数f (x )＝ln x －f ′(1)x ＋1－ln 2，试求f (x )的单调区间． 解：由f (x )＝ln x －f ′(1)x ＋1－ln 2，x ∈(0，＋∞)， 得f ′(x )＝1x－f ′(1)．令x ＝1，则f ′(1)＝1－f ′(1)，所以f ′(1)＝12，f ′(x )＝1x －12.由f ′(x )>0，即1x －12>0，得0<x <2；由f ′(x )<0，即1x －12<0，得x >2.故f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，＋∞)．10．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，求实数m 的取值范围．解：f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .因为f (x )是R 上的单调函数， 所以f ′(x )≥0恒成立或f ′(x )≤0恒成立．因为二次项系数3>0，所以只能有f ′(x )≥0恒成立． 因此Δ＝4－12m ≤0，故m ≥13.当m ＝13时，使f ′(x )＝0的点只有一个x ＝－13，也符合题意．故实数m的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.B 级 能力提升1．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )＞g ′(x )，则当a ＜x ＜b 时，有( ) A ．f (x )＞g (x ) B ．f (x )＜g (x )C ．f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )＞g (x )＋f (b )解析：因为f ′(x )－g ′(x )＞0，所以 ()f （x ）－g （x ）′＞0，所以 f (x )－g (x )在[a ，b ]上是增函数，所以 当a ＜x ＜b 时f (x )－g (x )＞f (a )－g (a )， 所以 f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )． 答案：C2．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1，2)，则b ＝________，c ＝________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1＜x ＜2是不等式f ′(x )＜0的解，即－1，2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1，2分别代入方程，联立解得b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－63．已知函数f (x )＝x 2－ax －1＋ln x (x >0)． (1)当a ＝3时，求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是增函数，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝3时，f (x )＝x 2－3x －1＋ln x ，所以f ′(x )＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x>0，解得x <12或x >1，又因为x >0，所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12和(1，＋∞)．(2)若f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是增函数，则对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，f ′(x )≥0恒成立，所以f ′(x )＝2x －a ＋1x ＝2x 2－ax ＋1x ≥0等价于∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12，2x 2－ax ＋1≥0恒成立，等价于∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，a ≤2x ＋1x 恒成立，令g (x )＝2x ＋1x，所以g ′(x )＝2－1x 2＝2x 2－1x 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －22⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22x 2，所以g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，12上为减函数，a ≤g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3.。

第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算A 级 基础巩固 一、选择题 1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6′＝cos π6；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π6＝12，而⎝ ⎛⎭⎪⎫12′＝0，所以②错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－（x 2）′x 4＝－2x x 4＝－2x －3，所以③错误；⎝⎛⎭⎪⎫－1x ′＝0－（x 12）′x ＝12x －12x ＝12x －32＝12x x ，所以④正确． 答案：B2．f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝6，则x 0等于( ) A. 2 B ．－ 2 C ．± 2 D ．±1解析：f ′(x )＝3x 2，由f ′(x 0)＝6，知3x 20＝6，所以 x 0＝±2. 答案：C3．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x （x ＋3）2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x （x ＋3）2D.3x 2＋6x （x ＋3）2解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2x ＋3′＝（x 2）′（x ＋3）－x 2·（x ＋3）′（x ＋3）2＝ 2x （x ＋3）－x 2（x ＋3）2＝x 2＋6x（x ＋3）2. 答案：A4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2 D.e 22解析：由于y ＝e x ，所以 y ′＝e x ，所以 y ′|x ＝2＝e 2＝k ，所以 切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.在切线方程中，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝1，所以 S 三角形＝12×|－e 2|×1＝e 22.答案：D5．若f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 013(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：由于f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ，所以循环周期为4，因此f2 013(x)＝f1(x)＝cos x.答案：C二、填空题6．已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x－y ＝0，则点P的坐标为________．解析：设点P的坐标为(x0，y0)，由于f′(x)＝4x3－1，所以4x30－1＝3，所以x0＝1.所以y0＝14－1＝0，所以即得P(1，0)．答案：(1，0)7．已知f(x)＝13x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________．解析：由于f′(0)是一常数，所以f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0，则f′(0)＝0，所以f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.答案：18．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程是____________________．解析：y′＝3x2＋6x＋6＝3[(x＋1)2＋1]，所以当x＝－1时，y′取最小值3.此时切点坐标为(－1，－14)．所以切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.答案：3x－y－11＝0三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(x－2)2；(3)y＝x－sinx2cosx2.解：(1)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.法二：由于y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，所以y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2)由于y＝(x－2)2＝x－4x＋4，所以y′＝x′－(4x)′＋4′＝1－4×12x－12＝1－2x－12.(3)由于y＝x－sinx2cosx2＝x－12sin x，所以y′＝x′－⎝⎛⎭⎪⎫12sin x′＝1－12cos x.10．已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0，16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．解：设切点为(x0，y0)．则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x20－3，所以切线方程为y＝(3x20－3)x＋16，又切点(x0，y0)在切线上，所以y0＝3(x20－1)x0＋16，即x30－3x0＝3(x20－1)x0＋16，解得x0＝－2，所以切线方程为9x－y＋16＝0.B 级 力量提升1．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)解析：y ′＝－4e x （e x ＋1）2＝－4e xe 2x ＋2e x＋1， 设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t＋2，由于t ＋1t ≥2，所以 y ′∈[－1，0)，α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：D2．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________． 解析：依据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图，则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即＝1.由于y ′＝(e x)′＝e x，所以 e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0，1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.答案：223．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解：f ′(x )＝a ＋bx2.由于点(2，f (2))在切线7x －4y －12＝0上， 所以 f (2)＝2×7－124＝12.又曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0， 所以 ⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝74，f （2）＝12，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 4＝74，2a －b 2＝12，⇒⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.所以 f (x )的解析式为f (x )＝x －3x.(2)证明：设⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0－3x 0为曲线y ＝f (x )上任意一点，则切线斜率k ＝1＋3x 20，切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，令x ＝0，得y ＝－6x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20（x －x 0），y ＝x得⎩⎨⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0.所以 曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12|2x 0||－6x 0|＝6，为定值．。

高中数学选修精品教学资料选修1-1 第三章 3.1 3.1.3一、选择题1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是导学号 92600557( ) A ．在点x 0处的斜率B ．在点(x 0,f (x 0))处的切线与x 轴所夹的锐角的正切值C ．曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处切线的斜率D ．点(x 0,f (x 0))与点(0,0)连线的斜率 [答案] C[解析] 由导数的几何意义可知函数y ＝f (x )在x ＝x 0的导数f ′(x 0),即为曲线在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率．2．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3,则点P 的坐标为导学号 92600558( ) A ．(－2,－8) B ．(1,1),(－1,－1) C ．(2,8) D ．(－12,－18)[答案] B [解析] ∵y ＝x 3,∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx ＝lim Δx →0 Δx 3＋3x ·Δx 2＋3x 2·ΔxΔx＝lim Δx →(Δx 2＋3x ·Δx ＋3x 2)＝3x 2. 令3x 2＝3,得x ＝±1,∴点P 的坐标为(1,1),(－1,－1)．3．(2016·重庆一中高二月考)已知曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8,则f (5)及f ′(5)分别为导学号 92600559( )A ．3,3B ．3,－1C ．－1,3D ．－1,－1[答案] B[解析] 由已知得f (5)＝－5＋8＝3,f ′(5)＝－1,故选B.4．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为导学号 92600560( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋2[答案] A [解析]∵f ′(x )＝lim Δx →0 (Δx ＋x )3－2(Δx ＋x )＋1－x 3＋2x －1Δx＝lim Δx →0 Δx 3＋3x ·Δx 2＋3x 2·Δx －2ΔxΔx＝lim Δx →(Δx 2＋3x ·Δx ＋3x 2－2) ＝3x 2－2,∴f ′(1)＝3－2＝1,∴切线的方程为y ＝x －1.5．已知曲线f (x )＝12x 2＋2x 的一条切线斜率是4,则切点的横坐标为导学号 92600561( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] D[解析] Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝12(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )－12x 2－2x ＝x ·Δx ＋12(Δx )2＋2Δx ,∴Δy Δx ＝x ＋12Δx ＋2,∴f ′(x )＝lim Δx →0 ΔyΔx＝x ＋2. 设切点坐标为(x 0,y 0),则f ′(x 0)＝x 0＋2. 由已知x 0＋2＝4,∴x 0＝2,故选D.6．(2016·山东临沂一中高二检测)已知函数f (x )的图象如图所示,f ′(x )是f (x )的导函数,则下列结论正确的是导学号 92600562( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)[答案] B[解析] 从图象上可以看出f (x )在x ＝2处的切线的斜率比在x ＝3处的斜率大,且均为正数,所以有0<f ′(3)<f ′(2),此两点处的斜率f (3)－f (2)3－2比f (x )在x ＝2处的切线的斜率小,比f (x )在x ＝3处的切线的斜率大,所以0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2),故选B.二、填空题7．已知函数f (x )＝x 3＋2,则f ′(2)＝________.导学号 92600563 [答案] 12[解析] f ′(2)＝lim Δx →0 (2＋Δx )3＋2－23－2Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx －2)[(2＋Δx )2＋(2＋Δx )·2＋22]Δx＝lim Δx →[4＋4Δx ＋(Δx )2＋4＋2Δx ＋4] ＝lim Δx →[12＋6Δx ＋(Δx )2]＝12. 8．设函数y ＝f (x ),f ′(x 0)>0,则曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处切线的倾斜角的范围是________.导学号 92600564[答案] (0,π2)[解析] 由于f ′(x 0)>0,说明y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率大于0,故倾斜角为锐角．9．若抛物线y ＝x 2与直线2x ＋y ＋m ＝0相切,则m ＝________.导学号 92600565 [答案] 1[解析] 设切点为P (x 0,y 0),易知,y ′|x ＝x 0＝2x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0＝－2y 0＝x 20,得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝1,即P (－1,1),又P (－1,1)在直线2x ＋y ＋m ＝0上, 故2×(－1)＋1＋m ＝0,即m ＝1. 三、解答题10．已知曲线方程为y ＝x 2,求过点A(2,4)且与曲线相切的直线方程.导学号 92600566 [解析] ∵f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0 2Δx ·x ＋Δx 2Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x ,又点A(2,4)在曲线y ＝x 2上,∴f ′(2)＝4,∴所求切线的斜率k ＝4, 故所求切线的方程为y －4＝4(x －2), 即4x －y －4＝0.一、选择题1．设曲线y ＝ax 2在点(1,a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行,则a 等于导学号 92600567( )A ．1B ．12C ．－12D ．－1[答案] A[解析] ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →1 a (1＋Δx )2－a ×12Δx＝lim Δx →0 2aΔx ＋a (Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (2a ＋aΔx )＝2a ,∴2a ＝2,∴a ＝1.2．(2016·天津南开中学检测)已知抛物线y ＝f (x )＝x 2与直线y ＝2x ＋b 相切,若f ′(x 0)＝2,则x 0＝导学号 92600568( )A ．－1B ．2C ．－12D ．1 [答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋by ＝x 2消去y ,得x 2－2x －b ＝0,①∵抛物线y ＝x 2与直线y ＝2x ＋b 相切,∴Δ＝4＋4b ＝0,解得b ＝－1.此时,方程①的根为x ＝1,∴切点坐标为(1,1)．由导数的几何意义得f ′(1)＝2,∴x 0＝1.3．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直,则ab 为导学号 92600569( )A.23 B ．－23C.13 D ．－13[答案] D[解析] 由导数的定义可得y ′＝3x 2,∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3, 由条件知,3×a b ＝－1,∴a b ＝－13.4．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点,且曲线在P 0处切线平行于直线y ＝4x －1,则P 0点的坐标为导学号 92600570( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1,－4)D ．(2,8)或(－1,－4) [答案] C [解析]f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－2－(x 3＋x －2)Δx＝lim Δx →0(3x 2＋1)Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx ＝3x 2＋1.由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,所以f (x )在P 0处的导数值等于4,设P 0(x 0,y 0),有f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4.解得x 0＝±1,这时P 0点的坐标为(1,0)或(－1,－4)． 二、填空题5．(2016·山东青岛期末)曲线f (x )＝x 2＋1在点P (1,2)处的切线方程为________.导学号 92600571[答案] y ＝2x[解析] 设曲线f (x )＝x 2＋1在点P (1,2)处的切线的斜率为k ,则k ＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 (1＋Δx )2＋1－(12＋1)Δx＝lim Δx →02Δx ＋(Δx )2Δx ＝2.所以切线方程为y －2＝2(x －1),即y ＝2x .6．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、x ＝2所围成的三角形的面积为________.导学号 92600572[答案] 83[解析] y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－x 3Δx ＝3x 2,所以k ＝y ′|x ＝1＝3×1＝3,所以在点(1,1)处的切线方程为y ＝3x －2,它与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫23，0,与x ＝2的交点为(2,4),所以S ＝12×⎝⎛⎭⎫2－23×4＝83. 三、解答题7．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切． (1)求切点的坐标；(2)求a 的值.导学号 92600573[解析] (1)设直线l 与曲线C 相切于P (x 0,y 0)点． f ′(x )＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx＝3x 2－2x .由题意知,k ＝1,即3x 20－2x 0＝1,解得x 0＝－13或x 0＝1. 当x 0＝1时,y 0＝1,此时a ＝0(舍去) 于是切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，2327. (2)当切点为⎝⎛⎭⎫－13，2327时,2327＝－13＋a ,a ＝3227. ∴a 的值为3227.8．已知曲线C ：y ＝1t －x 经过点P (2,－1),求(1)曲线在点P 处的切线的斜率.导学号 92600574(2)曲线在点P 处的切线的方程． (3)过点O (0,0)的曲线C 的切线方程． [解析] (1)将P (2,－1)代入y ＝1t －x 中得t ＝1,∴y ＝11－x.∴Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝11－(x ＋Δx )－11－x Δx ＝1(1－x －Δx )(1－x ),∴lim Δx →Δy Δx ＝1(1－x )2, ∴曲线在点P 处切线的斜率为k ＝y ′|x ＝2＝1(1－2)2＝1. (2)曲线在点P 处的切线方程为y ＋1＝1×(x －2), 即x －y －3＝0.(3)∵点O (0,0)不在曲线C 上,设过点O 的曲线C 的切线与曲线C 相切于点M (x 0,y 0),则切线斜率k ＝y 0x 0＝1(1－x 0)2,由于y 0＝11－x 0,∴x 0＝12,∴切点M (12,2),切线斜率k ＝4,切线方程为y －2＝4(x －12),即y ＝4x .。

第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例A 级 基础巩固 一、选择题1．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( )A.323 cm 2 B ．4 cm 2 C ．3 2 cm 2D ．2 3 cm 2解析：设一个正三角形的边长为x cm ，则另一个正三角形的边长为(4－x )cm ，则这两个正三角形的面积之和为S ＝34x 2＋34(4－x )2＝32[(x －2)2＋4]≥23(cm 2)．答案：D2．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300解析：由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，由P ′(x )＝0，得x ＝300.当0≤x ＜300时，P ′(x )＞0；当300＜x ≤390时，P ′(x )＜0，所以当x ＝300时，P (x )最大．答案：D3．将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，则这两个数为( ) A ．2和6 B ．4和4 C ．3和5D ．以上都不对解析：设一个数为x ，则另一个数为8－x ，其立方和y ＝x 3＋(8－x )3＝83－192x ＋24x 2且0≤x ≤8，y ′＝48x －192.令y ′＝0，即48x －192＝0，解得x ＝4.当0≤x ＜4时，y ′＜0；当4＜x ≤8时，y ′＞0，所以当x ＝4时，y 取得微小值，也是最小值．答案：B4．做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( ) A ．6 m B ．8 m C ．4 m D ．2 m解析：设底面边长为x m ，高为h m ．则有x 2h ＝256， 所以h ＝256x 2.所用材料的面积设为S m 2，则有S ＝4x ·h ＋x 2＝4x ·256x 2＋x 2＝256×4x ＋x 2.S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0得x ＝8，因此h ＝25664＝4(m)．答案：C5．假如圆柱截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 33π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π D.14⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π 解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则4r ＋2h ＝l ，所以 h ＝l －4r 2，V ＝πr 2h ＝l 2πr 2－2πr 3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜r ＜l 4. 则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r ＞0，所以 r ＝l6是其唯一的极值点．所以 当r ＝l6时，V 取得最大值，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π.答案：A 二、填空题6．某商品每件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．解析：由题意知，利润S (x )＝(x －30)(200－x )＝－x 2＋230x －6000(30≤x ≤200)，所以S ′(x )＝－2x ＋230，令S ′(x )＝0，解得x ＝115.当30≤x ＜115时，S ′(x )＞0；当115＜x ≤200时，S ′(x )＜0，所以当x ＝115时，利润S (x )取得极大值，也是最大值．答案：1157．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米．解析：设广场的长为x 米，则宽为40 000x 米，于是其周长为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋40 000x (x＞0)，所以y ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－40 000x 2， 令y ′＝0，解得x ＝200(x ＝－200舍去)，这时y ＝800.当0＜x ＜200时，y ′＜0；当x ＞200时，y ′＞0.所以当x ＝200时，y 取得最小值，故其周长至少为800米．答案：8008．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．解析：设圆柱的底面半径R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，所以L ＝27R 2.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小．S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋2π·27R，令S ′表＝2πR －54πR2＝0，得R ＝3，即当R ＝3时，S 表最小．答案：3 三、解答题9.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解：设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，y －252，其中x ＞20，y ＞25.两栏面积之和为2(x －20)· y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25.广告的面积S ＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫18 000x －20＋25＝18 000x x －20＋25x ， 所以 S ′＝18 000[（x －20）－x ]（x －20）2＋25＝－360 000（x －20）2＋25. 令S ′＞0得x ＞140，令S ′＜0得20＜x ＜140.所以 函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20，140)上单调递减，所以 S (x )的最小值为S (140)．当x ＝140时，y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小．10．现有一批货物由海上从A 地运往B 地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A 地到B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度航行？解：(1)依题意得y ＝500x (960＋0.6x 2)＝480 000x ＋300x ，且由题意知函数的定义域为(0，35]，即y ＝480 000x＋300x (0＜x ≤35)．(2)由(1)得y ′＝－480 000x 2＋300，令y ′＝0，解得x ＝40或x ＝－40(舍去)．由于函数的定义域为(0，35]，所以函数在定义域内没有极值点．又当0＜x ≤35时，y ′＜0，所以函数y ＝480 000x ＋300x 在(0，35]上单调递减，故当x ＝35时，函数y＝480 000x ＋300x 取得最小值．故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度航行．B 级 力量提升1．某公司的盈利y (元)和时间x (天)的函数关系是y ＝f (x )，且f ′(100)＝－1，这个数据说明在第100天时( )A ．公司已经亏损B ．公司的盈利在增加C ．公司的盈利在渐渐削减D ．公司有时盈利有时亏损解析：由于f ′(100)＝－1，所以函数图象在x ＝100处的切线的斜率为负值，说明公司的盈利在渐渐削减．答案：C2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2(万元)与仓库到车站的距离成正比．假如在距离车站10千米处建仓库，y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x ，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离，k 1，k 2是比例系数．于是由2＝k 110，得k 1＝20；由8＝10k 2，得k 2＝45.因此，两项费用之和为y ＝20x ＋4x5(x ＞0)，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝0，得x ＝5或x ＝－5(舍去)．当0＜x ＜5时，y ′＜0；当x ＞5时，y ′＞0.因此，当x ＝5时，y 取得微小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．答案：53．某公司生产某种产品的固定成本为20 000元，每生产1吨该产品需增加投入100元，已知总收益满足函数R (x )＝⎩⎨⎧400 x －12x 2（0≤x ≤400），80 000（x ＞400），其中x 是该产品的月产量(单位：吨)． (1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，该公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000（0≤x ≤400），60 000－100x （x ＞400）.(2)当0≤x ≤400时，f ′(x )＝－x ＋300， 当0≤x ＜300时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数； 当x ＞300时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数；所以 当x ＝300时，f (x )取得极大值，也是最大值，且最大值为25 000. 当x ＞400时，f (x )＝60 000－100x ，易知f (x )是减函数， 所以 f (x )＜60 000－100×400＝20 000＜25 000， 综上，当x ＝300时，f (x )有最大值25 000.即当月产量为300吨时，利润最大，最大利润为25 000元．。

章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．关于切线的注意点在确定曲线在某点处切线的方程时，一定要首先确定此点是否为切点，若此点是切点，则曲线在该点处切线的斜率即为该点的导数值，若此点不是切点，则需应先设切点，再求斜率，写出直线的方程．2．求函数单调区间的两个关注点单调区间的求解过程中，应关注两点：(1)不要忽略y＝f(x)的定义域；(2)增(减)区间有多个时，用“，”或者用“和”连接，切不可用“∪”连接．3．函数单调性与导数的关系的注意点若函数f(x)可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明．f′(x)＞0与f(x)为增函数的关系：f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件．4．可导函数的极值与导数的关系的注意点x0为极值点能推出f′(x0)＝0，但反之不一定．f′(x0)＝0是x0为极值点的必要而不充分条件．x0是极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0点两侧导数异号．5．函数的最值与极值的注意点(1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的．函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个．(2)在闭区间上求函数的最大值和最小值，应把极值点的函数值与两端点的函数值进行比较，不可直接用极大(小)值替代最大(小)值．专题1导数的运算与导数的几何意义在导数的运算中，要熟练掌握基本导数公式和运算法则．由于函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决．[例❶]已知函数y＝x ln x.(1)求这个函数的导数；(2)求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．解：(1)因为y＝x ln x，所以y′＝(x ln x)′＝x′(ln x)＋(ln x)′·x＝1·ln x＋1x·x＝ln x＋1(x>0)．(2)由导数的几何意义得函数的图象在点x＝1处的切线斜率k＝y′|x＝1＝ln 1＋1＝1.又当x＝1时，y＝1×ln 1＝0，即切点为(1，0)，所以所求的切线方程为y－0＝1·(x－1)，即x－y－1＝0.归纳升华1．函数y＝f(x)在点x0处的导数为f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决．2．求曲线y＝f(x)过点P(x0，f(x0))的切线方程：设切点Q(x1，f(x1))，则切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，把点P的坐标代入切线方程解得x1，再回代到切线方程中．[变式训练]已知曲线y＝x ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0.求切点坐标与c的值．解：因为y＝x ln x，所以y′＝1·ln x＋1x·x＝ln x＋1(x>0)．设切点为(x0，x0ln x0)．由切线方程x－y＋c＝0知，切线斜率k＝1.所以ln x0＋1＝1，即x0＝1，x0ln x0＝0.所以切点为(1，0)，所以1－0＋c＝0，即c＝－1.专题2利用导数研究函数的性质把导数作为数学工具，求解单调区间，研究函数的极大(小)值，以及求在闭区间[a，b]的最大(小)值是本章的重点．利用导数求函数的单调性是基础，求极值是关键，学习时一定要熟练它们的求解方法．[例2] 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R)在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性． 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x .因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝3a ·169＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.经检验满足题意．(2)由(1)知g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，定义域为R ，所以g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛12x 3＋⎭⎪⎫52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x .令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数； 当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数．综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1，0)内为减函数， 在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数． 归纳升华1．利用导数求可导函数的单调区间的一般步骤： (1)确定函数y ＝f (x )的定义域． (2)求f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0. (4)不等式的解集与定义域取交集．(5)确定并写出函数的单调递增区间或单调递减区间． 2．关于函数的极值、最值与导数的关注点：(1)已知极值点求参数的值后，要回代验证参数值是否满足极值的定义． (2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f ′(x )的正负． (3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者．[变式训练] 已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋2bx 在x ＝1处有极小值－1. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在闭区间[－2，2]上的最大值和最小值．解：(1)f ′(x )＝3x 2－6ax ＋2b ，因为f (x )在点x ＝1处有极小值－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝0，f （1）＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋2b ＝0，1－3a ＋2b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－12.所以 f (x )＝x 3－x 2－x ，f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＞0，得x ＞1或x ＜－13；令f ′(x )＜0，得－13＜x ＜1.所以 函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.(2)由(1)，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：↗↘↗小值－10，所以函数f(x)在闭区间[－2，2]上的最大值为2，最小值为－10.专题3利用导数求参数的取值范围导数中的参数问题实质上是利用导数求解切线问题、单调性问题、极值问题的逆向思维型问题，此类问题主要是利用导数的几何意义及导数与函数的单调性、极值的关系，并结合函数与方程思想、分类讨论思想等来解答的．[例3]已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a的取值范围．解：由已知得a＞1＋ln xx在区间(1，＋∞)内恒成立．设g(x)＝1＋ln xx，则g′(x)＝－ln xx2.因为x＞1，所以g′(x)＜0.所以g(x)＝1＋ln xx在区间(1，＋∞)内单调递减，所以g(x)＜g(1)，即g(x)＜1在区间(1，＋∞)内恒成立．故a≥1.归纳升华已知函数的单调性求参数的取值范围可转化为不等式在某区间上恒成立问题，即f′(x)≥0[或f′(x)≤0]恒成立，用分离参数求最值或函数性质求解，注意验证使f′(x)＝0的参数是否符合题意．[变式训练]设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a＞0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 注：e 为自然对数的底数．解：(1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x ＞0， 所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－（x －a ）（2x ＋a ）x .由于a ＞0，所以f (x )的递增区间为(0，a )， 递减区间为(a ，＋∞)．(2)由题意得f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增， 要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a －1≥e －1，f （e ）＝a 2－e 2＋a e ≤e 2， 解得a ＝e.专题4 分类讨论思想分类讨论思想是一种重要的数学思想，运用分类讨论思想，必须理解为什么分类、如何分类以及最后如何整合，只有分类标准明确，分类才能不重不漏．本章中求单调区间、求参数的取值范围、求极值和最值以及恒成立问题，常常用到分类讨论思想．[例❹] 设a >0，讨论函数f (x )＝ln x ＋a (1－a )x 2－2(1－a )x 的单调性． 解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2a （1－a ）x 2－2（1－a ）x ＋1x.当a ≠1时，方程2a (1－a )x 2－2(1－a )x ＋1＝0的判别式Δ＝4(1－a )2－8a (1－a )＝12a 2－16a ＋4＝12(a －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a －13.(1)当0<a <13时，Δ>0，f ′(x )有两个零点，x 1＝12a －（a －1）（3a －1）2a （1－a ）>0，x 2＝12a ＋（a －1）（3a －1）2a （1－a ）>0，且当0<x <x 1或x >x 2时，f ′(x )>0，f (x )在(0，x 1)，(x 2，＋∞)内均为增函数；当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0，f (x )在(x 1，x 2)内为减函数．(2)当13≤a <1时，Δ≤0，f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)内为增函数；(3)当a ＝1时，f ′(x )＝1x >0(x >0)，f (x )在(0，＋∞)内为增函数；(4)当a >1时，Δ>0，x 1＝12a －（a －1）（3a －1）2a （1－a ）>0，x 2＝12a ＋（a －1）（3a －1）2a （1－a ）<0，所以f ′(x )在定义域内有唯一零点x 1，且当0<x <x 1时，f ′(x )>0，f (x )在(0，x 1)内为增函数；当x >x 1时，f ′(x )<0，f (x )在(x 1，＋∞)内为减函数．综上可知，f (x )的单调区间如下表：⎝ ⎛其中x 1＝12a －（a －1）（3a －1）2a （1－a ），⎭⎪⎪⎫x 2＝12a ＋（a －1）（3a －1）2a （1－a ） 归纳升华分类讨论的原则和步骤1．原则：要有明确的分类标准．2．分类讨论的一般步骤：先明确讨论对象，确定对象的范围，再确定分类标准，合理分类，逐类求解，最后归纳总结得出结论．[变式训练] 已知a ，b 为常数且a ＞0，f (x )＝x 3＋32(1－a )x 2－3ax ＋b .(1)函数f (x )的极大值为2，求a ，b 间的关系式；(2)函数f (x )的极大值为2，且在区间[0，3]上的最小值为－232，求a ，b的值．解：(1)f ′(x )＝3x 2＋3(1－a )x －3a ＝3(x －a )·(x ＋1)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝a ， 因为a ＞0，所以x 1＜x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：x (－∞，－1)－1 (－1，a ) a (a ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗即3a ＋2b ＝3.(2)①当0＜a ＜3时，由(1)知，f (x )在[0，a )上为减函数，在[a ，3]上为增函数，所以f (a )为最小值，f (a )＝－12a 3－32a 2＋b .即－12a 3－32a 2＋b ＝－232，又有b ＝3－3a 2，于是有a 3＋3a 2＋3a －26＝0，即(a ＋1)3＝27， 解得a ＝2，b ＝－32.②若a ＞3，f (x )在[0，3]上单调递减，则在x ＝3处取得最小值，f (3)＝27＋32×(1－a )×9－9a ＋b ＝－232.又因为3a ＋2b ＝3，解得a ＝3516＜3与a ＞3矛盾．综上：a ＝2，b ＝－32.。

第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系A级基础巩固一、选择题1．下列命题的逆命题为真命题的是()A．若xy≠0，则x，y不都为零B．正多边形都相似C．若m>0，则x2＋x－m＝0有实根D．若x是无理数，则x－3是有理数解析：A中逆命题为“若x，y不都为零，则xy≠0”，假命题；B 中逆命题为“相似的多边形都是正多边形”，假命题；C中逆命题为“若x2＋x－m＝0有实根，则m>0”，假命题；D中逆命题为“若x－3是有理数，则x是无理数”，真命题．答案：D2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a＋b＋c≥3，则a2＋b2＋c2＝3解析：否定条件，得a＋b＋c≠3，否定结论，得a2＋b2＋c2＜3.所以否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3”．答案：A3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除解析：原命题与它的逆否命题是等价命题，原命题的逆否命题是：不能被3整除的整数，一定不能被6整除．答案：B4．若命题p的逆命题是q，命题p的逆否命题是r，则q是r的() A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．以上都不正确解析：设命题p为：“若s，则t”，则命题q为：“若t，则s”，命题r是：“若¬t，则¬s”，由此知q为r的否命题．答案：B5．有下列四种命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；③“若x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3解析：(1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题；(2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性．而原命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题；(3)该命题的否命题为“若x＞3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题；(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题．答案：B二、填空题6．命题“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题为_______________，是______________(填“真”或“假”)命题．解析：命题“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，因为原命题是真命题，所以其逆否命题也是真命题．答案：若x≥2或x≤－2，则x2≥4真7．命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有________个．解析：原命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”是真命题，且互为逆否命题等价，故其逆否命题为真命题．其逆命题“若△ABC 是等腰三角形，则AB＝AC”是假命题，则否命题是假命题．则4个命题中有2个是真命题．答案：28．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有______；互为逆否命题的有________．解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆的内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系判断．答案：②和④、③和⑥①和⑥、②和⑤①和③、④和⑤三、解答题9．写出命题“在△ABC中，若a＞b，则A＞B”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：在△ABC中，若A＞B，则a＞b为真命题．否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B为真命题．逆否命题：在△ABC 中，若A≤B，则a≤b为真命题．10．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＞0的解集是R，则a＜74”的逆否命题的真假．解：先判断原命题的真假如下：因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＞0的解集为R，且抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7＜0.所以a＜74.所以原命题是真命题．因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题．B级能力提升1．若命题p 的逆命题是q ，命题q 的否命题是m ，则m 是p 的( )A ．原命题B ．逆命题C ．否命题D ．逆否命题解析：设命题p 为“若k ，则l ”，则命题q 为“若l ，则k ”，从而命题m 为“若非l ，则非k ”，即命题m 是命题p 的逆否命题．答案：D2．设有两个命题：①不等式mx 2＋1＞0的解集是R ；②函数f (x )＝log m x 是减函数．如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则实数m 的取值范围是________．解析：①当m ＝0时，mx 2＋1＝1＞0恒成立，解集为R.当m ≠0时，若mx 2＋1＞0的解集为R ，必有m ＞0. 综上知，不等式mx 2＋1＞0的解集为R ，必有m ≥0.②当0＜m ＜1时，f (x )＝log m x 是减函数，当两个命题中有且只有一个真命题时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤0或m ≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，0＜m ＜1， 所以m ＝0或m ≥1.答案：m ＝0或m ≥13．已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根．若p ，q 一真一假，求m 的取值范围．解：当p 为真时，即方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，设两个负根为x 1，x 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，x 1＋x 2＝－m <0，解得m >2.当q 为真时，即方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根，则有16(m －2)2－4×4×1<0，解得1<m <3.若p 真，q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，得m ∈[3，＋∞)； 若p 假，q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，得m ∈(1，2]． 综上所述，m 的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)．。

学习目标1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题．知识点一在x ＝x 0处的导数1．定义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是li m Δx→0ΔyΔx＝________________，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数．2．几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数是函数图象在点(x 0，f (x 0))处的切线________． 知识点二导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的__________(简称________)，f ′(x )＝y ′＝____________.知识点三基本初等函数的导数公式知识点四导数的运算法则1．函数的单调性与导数如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间内单调递增；________，则f(x)在此区间内单调递减．2．函数的极值与导数已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有________，则称函数f(x)在点x0处取____________，记作y极大值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有________，则称函数f(x)在点x0处取____________，记作y极小值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．知识点六求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤1．求f(x)在开区间(a，b)内所有____________．2．计算函数f(x)在极值点和________________，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．类型一导数几何意义的应用例1已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．反思与感悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由y0－y1x0－x1＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一类类型．跟踪训练1已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在实数k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，说明理由．类型二函数的单调性与导数 例2已知函数f (x )＝ax －1e x .(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若对任意t ∈[12，2]，f (t )>t 恒成立，求实数a 的取值范围．反思与感悟(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间． (2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价． (3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集． (4)求参数的范围时常用到分离参数法． 跟踪训练2已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．类型三函数的极值、最值与导数例3已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，过曲线y ＝f (x )上的点P (1，f (1))的切线方程为y ＝3x ＋1，y ＝f (x )在x ＝－2时有极值． (1)求f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的单调区间和最大值．反思与感悟(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义． (2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f ′(x )的正负．(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者． 跟踪训练3已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．类型四分类讨论思想 例4已知函数f (x )＝ln xx －1.(1)试判断函数f (x )的单调性；(2)设m >0，求f (x )在[m,2m ]上的最大值； (3)试证明：对∀n ∈N ＋，不等式ln(1＋n n )e <1＋nn .反思与感悟(1)分类讨论即分别归类再进行讨论，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略．(2)解题时首先要思考为什么分类，即分类依据是什么，一般的分类依据如：方程类型、根的个数及与区间的关系、不等号的方向等；其次考虑分几类，每一类中是否还需要再分类． (3)分类讨论的基本原则是不重不漏．跟踪训练4设函数f (x )是定义在[－1,0)∪(0,1]上的偶函数，当x ∈[－1,0)时，f (x )＝x 3－ax (a 为实数)．(1)当x ∈(0,1]时，求f (x )的解析式；(2)若a >3，试判断f (x )在(0,1]上的单调性，并证明你的结论； (3)是否存在a ，使得当x ∈(0,1]时，f (x )有最大值1?1．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12B.12C ．－22D.22.2．如果函数f (x )的图象如图所示，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是()3．体积为16π的圆柱，它的半径为________时，圆柱的表面积最小．4．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上单调递增，则a 的最大值为________． 5．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．1．利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．明确“过点P (x 0，y 0)的曲线y ＝f (x )的切线方程”与“在点P (x 0，y 0)处的曲线y ＝f (x )的切线方程”的异同点．2．借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．3．利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题．答案精析知识梳理 知识点一 1．lim Δx→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx2．斜率 知识点二 导函数导数li m Δx→f (x ＋Δx )－f (x )Δx知识点三0ux u －1cos x －sin xa x ln ae x1x ln a 1x知识点四f ′(x )±g ′(x )f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )知识点五1．f ′(x )>0f ′(x )<02．f (x )<f (x 0)极大值f (x )>f (x 0)极小值 知识点六 1．极值点 2．端点的函数值 题型探究例1解函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ， f ′(x )＝1－2x (x >0),∴f (1)＝1，f ′(1)＝－1,∴y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－(x －1), 即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0.①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .∵当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．跟踪训练1解(1)因为f′(x)＝3ax2＋6x－6a，且f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，得a＝－2.(2)因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线y＝g(x)相切的直线方程．设切点坐标为(x0,3x20＋6x0＋12)，又因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)．将点(0,9)代入，得9－3x20－6x0－12＝－6x20－6x0，所以3x20－3＝0，得x0＝±1.当x0＝1时，g′(1)＝12，g(1)＝21，切点坐标为(1,21)，所以切线方程为y＝12x＋9；当x0＝－1时，g′(－1)＝0，g(－1)＝9，切点坐标为(－1,9)，所以切线方程为y＝9.下面求曲线y＝f(x)的斜率为12和0的切线方程：因为f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，所以f′(x)＝－6x2＋6x＋12.由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.当x＝0时，f(0)＝－11，此时切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，f(1)＝2，此时切线方程为y＝12x－10.所以y＝12x＋9不是公切线．由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.当x＝－1时，f(－1)＝－18，此时切线方程为y＝－18；当x＝2时，f(2)＝9，此时切线方程为y＝9，所以y＝9是公切线．综上所述，当k＝0时，y＝9是两曲线的公切线．例2解(1)当a＝1时，f(x)＝x－1 e x，∴f ′(x )＝－x ＋2e x .由f ′(x )>0，得x <2， 由f ′(x )<0，得x >2.故f (x )的单调递增区间为(－∞，2)，单调递减区间为(2，＋∞)． (2)若对任意t ∈[12，2]，f (t )>t 恒成立，则当x ∈[12，2]时，ax －1e x >x 恒成立，即当x ∈[12，2]时，a >e x ＋1x 恒成立．设g (x )＝e x ＋1x ，x ∈[12，2]，则g ′(x )＝e x －1x 2，x ∈[12，2]．设h (x )＝e x －1x2，∵h ′(x )＝e x ＋2x 3>0在x ∈[12，2]上恒成立，∴h (x )在[12，2]上单调递增，即g ′(x )＝e x －1x 2在[12，2]上单调递增．∵g ′(12)＝e 12－4<0，g ′(2)＝e 2－14>0，∴g ′(x )＝e x －1x 2在[12，2]上有零点m ，∴g (x )＝e x ＋1x 在[12，m ]上单调递减，在[m,2]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >g (12)，a >g (2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a >e ＋2，a >e 2＋12，∴a >e 2＋12.即实数a 的取值范围为(e 2＋12，＋∞)．跟踪训练2解(1)求导得f ′(x )＝3x 2－a ， 因为f (x )在R 上是增函数，所以f ′(x )≥0在R 上恒成立． 即3x 2－a ≥0在R 上恒成立， 即a ≤3x 2，而3x 2≥0，所以a ≤0.当a ＝0时，f (x )＝x 3－1在R 上单调递增，符合题意． 所以a 的取值范围是(－∞，0]．(2)假设存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减， 则f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立． 即3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立， 即a ≥3x 2，又因为在(－1,1)上，0≤3x 2<3， 所以a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )＝3x 2－3，在(－1,1)上，f ′(x )<0， 所以f (x )在(－1,1)上单调递减， 即a ＝3符合题意．所以存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，且a 的取值范围是[3，＋∞)． 例3解(1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 所以f ′(1)＝3＋2a ＋b ， 故过曲线上P 点的切线方程为 y －f (1)＝(3＋2a ＋b )(x －1)，即y －(a ＋b ＋c ＋1)＝(3＋2a ＋b )(x －1)， 已知该切线方程为y ＝3x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝3，c －a －2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，c －a ＝3，因为y ＝f (x )在x ＝－2时有极值，所以f ′(－2)＝0， 即－4a ＋b ＝－12， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，c －a ＝3，－4a ＋b ＝－12，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，c ＝5，所以f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5. (2)由(1)知f ′(x )＝3x 2＋4x －4 ＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23.当x ∈[－3，－2)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，23)时，f ′(x )<0；当x ∈(23，1]时，f ′(x )>0.所以f (x )的单调递增区间为[－3，－2)和(23，1]，单调递减区间为(－2，23)．又f (－2)＝13，f (23)＝9527，f (－3)＝8，f (1)＝4，所以f (x )在区间[－3,1]上的最大值为13.跟踪训练3解(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知，f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 所以函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln5. 例4(1)解函数f (x )的定义域是(0，＋∞)． 由已知f ′(x )＝1－ln xx2，令f ′(x )＝0，得1－ln x ＝0，所以x ＝e. 因为当0<x <e 时，f ′(x )＝1－ln xx 2>0，当x >e 时，f ′(x )＝1－ln xx 2<0，所以函数f (x )在(0，e]上单调递增， 在(e ，＋∞)上单调递减．(2)解由(1)知函数f (x )在(0，e]上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， ①当0<2m ≤e ，即0<m ≤e2时，f (x )在[m,2m ]上单调递增， 所以f (x )max ＝f (2m )＝ln2m2m－1；②当m ≥e 时，f (x )在[m,2m ]上单调递减．所以f (x )max ＝f (m )＝ln m m－1； ③当m <e<2m ，即e 2<m <e 时， 当m ≤x <e 时，f ′(x )>0，当e<x ≤2m 时，f ′(x )<0，所以f (x )max ＝f (e)＝1e－1. (3)证明由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )max ＝f (e)＝1e－1， 所以在(0，＋∞)上恒有f (x )＝ln x x －1≤1e －1， 即ln x x ≤1e，当且仅当x ＝e 时“＝”成立， 所以对∀x ∈(0，＋∞)恒有ln x ≤1ex . 因为1＋n n >0，1＋n n≠e ， 所以ln 1＋n n <1e ·1＋n n ⇒ln(1＋n n )e <1＋n n， 即对∀n ∈N ＋，不等式ln(1＋n n )e <1＋n n恒成立． 跟踪训练4解(1)设x ∈(0,1]，则－x ∈[－1,0)．∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x 3＋ax ，即当x ∈(0,1]时，f (x )＝－x 3＋ax .(2)f (x )在(0,1]上单调递增，证明如下：f ′(x )＝－3x 2＋a ，x ∈(0,1]，∴－3x 2∈[－3,0)．又a >3，∴a －3x 2>0，即f ′(x )>0.∴f (x )在(0,1]上单调递增．(3)当a >3时，f (x )在(0,1]上单调递增，∴f (x )max ＝f (1)＝a －1＝1.∴a ＝2与a >3矛盾．当0≤a ≤3时，令f ′(x )＝a －3x 2＝0，得x ＝a 3或x ＝－a 3(舍去)． 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 3时，f ′(x )>0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，a 3上单调递增． 当x ∈⎝⎛⎭⎫a 3，1时，f ′(x )<0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫a 3，1上单调递减． 又函数f (x )在x ＝a 3处连续， ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－⎝⎛⎭⎫a 33＋a a 3＝1.解得a ＝3274. 当a <0时，f ′(x )＝a －3x 2<0，∴f (x )在(0,1]上单调递减，f (x )在(0,1]上无最大值． 综上，存在a ＝3274，使f (x )在(0,1]上有最大值1. 当堂训练1．B[y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′|x ＝π4＝12， ∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12.] 2．A[由f (x )与f ′(x )的关系可知选A.]3．2解析设圆柱底面半径为r ，母线长为l .∴16π＝πr 2l ，即l ＝16r2， 则S 表面积＝2πr 2＋2πrl ＝2πr 2＋2πr ×16r 2＝2πr 2＋32πr， 由S ′＝4πr －32πr2＝0，得r ＝2. ∴当r ＝2时，圆柱的表面积最小．4．3解析由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ≥0(x ≥1)，∴a ≤3x 2，∴a ≤3，∴a 的最大值为3.5．解(1)f ′(x )＝a x －12x 2＋32. 由题意知，曲线在x ＝1处的切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1. (2)由(1)知，f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)， 则f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(舍去)． 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3，无极大值．。

姓名，年级：时间：章末复习课[整合·网络构建］［警示·易错提醒]1．关于切线的注意点在确定曲线在某点处切线的方程时,一定要首先确定此点是否为切点,若此点是切点，则曲线在该点处切线的斜率即为该点的导数值，若此点不是切点，则需应先设切点，再求斜率,写出直线的方程．2．求函数单调区间的两个关注点单调区间的求解过程中,应关注两点：（1）不要忽略y＝f（x）的定义域；（2）增(减)区间有多个时，用“,”或者用“和”连接，切不可用“∪"连接．3．函数单调性与导数的关系的注意点若函数f（x）可导,其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明．f′(x)＞0与f(x)为增函数的关系：f′(x)＞0能推出f（x）为增函数，但反之不一定．如函数f(x）＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增,但f′(x）≥0，所以f′(x）＞0是f（x）为增函数的充分不必要条件．4．可导函数的极值与导数的关系的注意点x0为极值点能推出f′（x0）＝0，但反之不一定．f′（x0）＝0是x0为极值点的必要而不充分条件．x0是极值点的充要条件是f′（x0)＝0，且x0点两侧导数异号．5．函数的最值与极值的注意点（1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的．函数的极值可以有多个，但最大（小)值最多只能有一个．（2)在闭区间上求函数的最大值和最小值，应把极值点的函数值与两端点的函数值进行比较，不可直接用极大(小）值替代最大（小)值．专题1 导数的运算与导数的几何意义在导数的运算中，要熟练掌握基本导数公式和运算法则．由于函数y ＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f（x）在点P(x0，f(x0）)处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0）,因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决．［例❶] 已知函数y＝x ln x。

(1)求这个函数的导数;(2)求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．解：(1)因为y＝x ln x，所以y′＝(x ln x)′＝x′(ln x)＋（ln x)′·x＝1·ln x＋错误!·x＝ln x＋1（x>0）．(2)由导数的几何意义得函数的图象在点x＝1处的切线斜率k＝y′错误!＝ln 1＋1＝1.又当x＝1时，y＝1×ln 1＝0,即切点为(1，0），所以所求的切线方程为y－0＝1·（x－1)，即x－y－1＝0.归纳升华1．函数y＝f（x）在点x0处的导数为f′(x0)就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0)）处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)（x－x0)，因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决．2．求曲线y＝f（x）过点P(x0，f(x0))的切线方程：设切点Q（x1，f(x1)),则切线方程为y－f（x1)＝f′(x1）（x－x1)，把点P的坐标代入切线方程解得x1，再回代到切线方程中．［变式训练］已知曲线y＝x ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0。

第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数[A级基础巩固]一、选择题1．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则() A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：因为f(x)仅在x＝1处存在极小值，所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.答案：C2．(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析：根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f(x)在这些零点处取得极值，排除A、B；记导函数f′(x)的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在(－∞，x1)上f′(x)<0，在(x1，x2)上f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，x1)上单调递减，排除C，故选D.答案：D3．函数f(x)＝32x2－ln x的极值点为()A．0，1，－1 B.3 3C．－33 D.33，－33解析：由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－1x＝3x2－1x，令f′(x)＝0，得x＝33⎝⎛⎭⎪⎫x＝－33舍去.当x>33时，f′(x)>0；当0<x<33时，f′(x)<0.所以当x＝33时，f(x)取得极小值．从而f(x)的极小值点为x＝33，无极大值点，选B.答案：B4．设函数f(x)＝2x＋ln x，则()A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：f (x )＝2x ＋ln x (x >0)，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2，当x >2时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数，因此x ＝2为f (x )的极小值点．答案：D5．若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3内有极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103 解析：因为函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1.若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3内有极值点，则f ′(x )＝x 2－ax＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3内有零点． 由x 2－ax ＋1＝0，得a ＝x ＋1x.因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，y ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上递减，在(1，3)上递增，所以2≤a <103.又因为当a ＝2时，f ′(x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，不符合题意，所以a ≠2.答案：C 二、填空题6．函数f (x )＝x 3－6x ＋a 的极大值为________，极小值为________．解析：f′(x)＝x2－6令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，所以f(x)极大值＝f(－2)＝a＋42，f(x)极小值＝f(2)＝a－4 2.答案：a＋42，a－4 2.7．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，当x ∈(－1，1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)极小值＝f(1)＝－2，f(x)极大值＝f(－1)＝2.函数y＝x3－3x的大致图象如图所示，所以－2<a<2.答案：(－2，2)8．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出下列四个命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，有极值；③f(x)在区间(－∞，0)，(2，＋∞)内是增函数；④f(x)有极大值0，极小值－4.其中正确命题的序号为________．解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增；当x∈(0，2)时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增．所以当x＝0时，f(x)有极大值f(0)＝0；当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－4.故③④正确．答案：③④ 三、解答题9．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． 解：(1)因为f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ， 所以f ′(x )＝ax＋2bx ＋1.由极值点的必要条件可知：f ′(1)＝f ′(2)＝0， 所以a ＋2b ＋1＝0且a2＋4b ＋1＝0，解得，a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)可知f (x )＝－23ln x －16x 2＋x ，且其定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1＝－（x －1）（x －2）3x .当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，2)时，f ′(x )>0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0； 所以，x ＝1是函数f (x )的极小值点， x ＝2是函数f (x )的极大值点． 10．已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间； (2)证明：当a ≥1e时，f (x )≥0.(1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x .由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e2.从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e2e x －1x . 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e xe －ln x －1.设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x .当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e时，f (x )≥0.B 级 能力提升1．等差数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，则log 2a 2 016的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，且a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，所以a 1，a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两个实数根，则a 1＋a 4 031＝8.而{a n }为等差数列，所以a 1＋a 4 031＝2a 2 016，即a 2 016＝4，从而log 2a 2 016＝log 24＝2.故选A.答案：A2．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2的两个零点x 1，x 2满足x 1<2<x 2，所以f ′(2)＝12－8a ＋a 2<0，解得2<a <6.答案：(2，6)3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： ↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎭⎪⎫－13＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时， 有f (x )＞0，x 取足够小的负数时， 有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个定点．由(1)知f (x )最大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 所以f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0，即527＋a ＜0或a －1＞0，所以a ＜－527或a ＞1， 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。

姓名，年级：时间：章末评估验收(一)（时间：120分钟满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列语句中是命题的个数有( ）①“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?”；②“一个数不是正数就是负数”；③“大角所对的边大于小角所对的边"；④“若x＋y为有理数,则x，y也都是有理数”；⑤“作△ABC∽△A′B′C′”．A．2个B．3个C．4个D．5个解析：①疑问句：没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断,不是命题．②是假命题.0既不是正数也不是负数．③是假命题．没有指明在同一个三角形中．④是假命题．如x＝错误!，y＝－错误!。

⑤祈使句．不是命题．所以②③④是命题．答案：B2．命题“若a>0,则a2>0”的逆命题是（)A．若a>0，则a2≤0 B．若a2〉0，则a〉0C．若a≤0，则a2>0 D．若a≤0,则a2≤0解析：交换原命题的条件和结论即可得其逆命题．答案：B3．在△ABC中，“A＝错误!”是“cos A＝错误!”的( ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：在△ABC中,0〈A<π.所以A＝错误!⇔cos A＝错误!，故选C。

答案：C4．若“x2＜1，则－1＜x＜1"的逆否命题是（)A．若x2≥1,则x≥1或x≤－1B．若－1＜x＜1,则x2＜1C．若x＞1或x＜－1，则x2＞1D．若x≥1或x≤－1,则x2≥1解析：－1＜x＜1的否定是x≥1或x≤－1；x2＜1的否定是x2≥1。

则逆否命题为：若x≥1或x≤－1则x2≥1。

答案：D5．下列命题中，是真命题的是（）A．若向量a，b满足a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若0＜a＜b,则错误!＜错误!C．对任意x∈R，错误!是无理数D．∃x∈R，使得sin x＋cos x＝错误!成立解析：对于选项A中，当a⊥b时，a·b＝0也成立，此时不一定有a ＝0或b＝0；选项B显然是假命题；选项C是假命题，例如错误!是有理数；对于选项D，因为sin x＋cos x＝2sin错误!∈［－错误!，错误! ]，所以该命题正确．答案：D6．命题“设a,b，c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（)A．0个B．1个C．2个D．3个解析：原命题为真,则逆否命题也为真；逆命题“设a,b,c∈R,若a＞b,则ac2＞bc2”是假命题，故否命题也为假命题，因此真命题有2个．答案：C7．命题p：∀x∈R，x2＋1＞0,命题q：∃θ∈R，sin2θ＋cos2θ＝1。