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）、线性齐次方程解的结构 （二）、线性齐次方程解的结构
定理1. 若 数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 函
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = 0
的两个解, 则y = C y1(x) + C2 y2 (x) 1 也是该方程的解. (叠加原理) 证: 将 y = C1y1(x) + C2 y2 (x) 代入方程左边, 得
u′′ − u′ = x (二阶常系数非齐次方程 二阶常系数非齐次方程) 二阶常系数非齐次方程 此题不需再作变换. 特征根: r = 0, r =1,
设⑦的特解为 代入⑦可得: 于是得⑦的通解: 故原方程通解为
说明: 说明
y = C1y1(x) + C2 y2 (x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如, 是某二阶齐次方程的解, 则 也是齐次方程的解 但是 并不是通解 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
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定义: 定义 设 y1(x), y2 (x),L, yn (x) 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 不全为 使得
得
′′ ′ + ( y2 + P y2 + Qy2 )v2 = f (x) y1, y2 是对应 ′ ′ ′ ′ y1v1 + y2v2 = f (x) ⑥
齐次方程的解
因y1, y2 线 无 , 故⑤, ⑥的系数行列式 性 关 y1 y2 W= ≠0 ′ ′ y1 y2
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定理 2. 数) 是该方程的通解. 例如, 例如 方程
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y = C1y1(x) + C2 y2 (x) 有特解 常数, 故方程的通解为 是 n 阶齐次方程 且
y2 y1 = tan x
定理2 定理 `.
y = C1y1 +L+ Cn yn (Ck为 意 数) 任 常
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件 充要条件: 充要条件 y1(x) k2 ( 无妨设 ≡− 线性相关 y2 (x) k1 k1 ≠ 0) y1(x) 常数 线性无关 y2 (x) 例: 常数 中有一个恒为 0, 则 必线性 相关 对于n个函数如何确定它们的线性相关性 个函数如何确定它们的线性相关性， 注: 对于 个函数如何确定它们的线性相关性，有行列式 wronsky理论 理论
例3. 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = f (x)的解, C ,C2 是任意 1 常数, 则该方程的通解是 ( D ).
(B) C1y1 + C2 y2 + (C1 + C2 ) y3; (C) C1y1 + C2 y2 − (1− C1 − C2 ) y3;
提示: 提示
y1 − y3, y2 − y3 都是对应齐次方程的解,
二者线性无关 . (反证法可证)
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例4. 已知微分方程 y′′ + p(x) y′ + q(x) y = f (x) 有三 个解 y1 = x, y2 = ex , y3 = e2x , 求此方程满足初始条件
于是得 积分得:
1 ′ v1 = − y2 f , W
1 ′ v2 = − y1 f W
v1 = C1 + g1(x), v2 = C2 + g2 (x)
代入③ 即得非齐次方程的通解:
y = C1y1 + C2 y2 + y1g1(x) + y2g2 (x)
说明: 说明 将③的解设为
y = y1(x) v1(x) + y2 (x) v2 (x)
设其通解为 积分得
(一阶线性方程)
z = C2Z(x) + z∗(x) u = C1 + C2U(x) + u∗(x)
由此得原方程③的通解:
y = C1y1(x) + C2U(x) y1(x) + u∗(x) y1(x)
代入③ 目录 上页 下页 返回 结束
例6. 求 程 x2 y′′ − (x + 2) (x y′ − y) = x4的通解. 方 解: 对应齐次方程为 x2 y′′ − (x + 2) (x y′ − y) = 0 由观察可知它有特解: y1 = x, 令 y = xu(x), 代入非齐次方程后化简得
第四节 高阶线性微分方程解的结构
一、线性齐次方程解的结构 二、线性非齐次方程解的结构 *三、常数变易法 三
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一、线性齐次方程解的结构
阶线性微分方程的概念 （一）n 阶线性微分方程 一个n阶微分方程，如果其中的未知函数及其个阶导数都 是一次的，则叫它为n阶线性微分方程，简称 阶线性方程 阶线性微分方程， 阶线性微分方程 简称n阶线性方程 n 阶线性微分方程 阶线性微分方程的一般形式为
只有一个必须满足的条件即方程③, 因此必需再附加一 个条件, 方程⑤的引入是为了简化计算.
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例5. 已知齐次方程 (x −1) y′′ − x y′ + y = 0 的通解为
Y = C1x + C2ex , 求 (x −1) y′′ − x y′ + y = (x −1)2 的通解. x 1 y′ + y = x −1 解: 将所给方程化为: y′′ − x −1 x −1 x 令 y = xv1(x) + e v2 (x), 利用⑤,⑥建立方程组: ′ + exv2 = 0 ′ xv1 ′ ′ v1 +exv2 = x −1 ′ = −1, v2 = x e−x , 积分得 ′ 解 v1 得 v1 = C1 − x, v2 = C2 − (x +1) e−x
y = y1(x) v1(x) + y2 (x) v2 (x) (v1(x), v2 (x)待 ) 定
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④
由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程:
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′ ′ ′ ′ y′ = y1 v1 + y2 v2 + y1 v1 + y2 v2 为 y′′中 含v1 , v2 , 令 使 不 ′′ ′′ ′ ′ ⑤ y1v1 + y2v2 = 0 于是 y′′ = y1 v1 + y2 v2 + y1 v1 + y2 v2 ′ ′ ′ ′ ′′ ′′ 将以上结果代入方程 : y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = f (x) ′ ′ ′ ′ ′′ ′ y1v1 + y2v2 + ( y1 + P y1 + Qy1)v1
(Y′′ + y *′′ ) + P(x) (Y′ + y *′ )+ Q(x) (Y + y *) + (Y′′ + P(x)Y′ + Q(x)Y)
= f (x) + 0 = f (x)
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故 y = Y(x) + y *(x) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有
两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 . 例如, 例如 方程 对应齐次方程 有特解 有通解
y(0) =1, y′(0) = 3 的特解 .
解: y2 − y1 与y3 − y1 是对应齐次方程的解, 且 y2 − y1 ex − x = 2x ≠ 常数 y3 − y1 e − x 因而线性无关, 故原方程通解为
y = C1(ex − x) + C2 (e2x − x) +
代入初始条件 y(0) =1, y′(0) = 3, 得C1 = −1, C2 = 2, 故所求特解为 y = 2e2x − ex .
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定理 4.
分别是方程
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = fk (x) (k =1, 2,L, n)
的特解, 是方程
n
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = ∑ fk (x)
k= k =1
的特解. (非齐次方程之解的叠加原理)
1 2 2x y = − x + x e 是 y′′ − 5y′ + 6y = xe2x 的一个特解 例 2 1 −x ∗ y2 = e 是 y′′ − 5y′ + 6y = 2e−x 的一个特解 6 1 2 2x 1 −x 则 y = − x + x e + e 是 y′′ − 5y′ + 6y = xe2x + 2e−x 的一个特解 6 2
则称这 n个函数在 I 上线性相关 否则称为线性无关 线性相关, 线性无关. 线性相关 线性无关 例如， 在(−∞ , +∞ )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关 线性相关; 线性相关 又如， 必需全为 0 , 若在某区间 I 上 在任何区间 I 上都 线性无关 线性无关.
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′′ ′′ ′ ′ [C1y1 +C2 y2 ] + P(x)[C1y1 +C2 y2 ]
+ Q(x)[C1y1 + C2 y2 ]
′′ ′ = C1[ y1 + P(x) y1 + Q(x) y1]
