WJF8-5线性微分方程的性质与解的结构

数学中的微分方程解析微分方程是数学中极为重要的一个分支，广泛应用于自然科学与工程领域。

在数学中，微分方程的解析求解是指通过使用数学方法，找到微分方程的解析解的过程。

本文将探讨微分方程解析求解的方法和应用。

一、一阶微分方程的解析求解一阶微分方程是最基础也是最常见的微分方程形式。

一阶微分方程可以写成以下形式：dy/dx = f(x, y)其中f(x, y)是已知的函数。

常见的一阶微分方程有线性方程、分离变量方程和齐次方程等。

这些方程可以通过不同的方法进行解析求解。

1. 线性方程线性方程的一般形式为：dy/dx + P(x)y = Q(x)其中P(x)和Q(x)是已知的函数。

线性方程可以通过积分因子的方法求解。

首先，我们通过求解线性方程的积分因子μ(x)：μ(x) = exp[∫P(x)dx]然后将原方程乘以积分因子μ(x)，得到：d[y exp[∫P(x)dx]]/dx = Q(x)exp[∫P(x)dx]接着，对上式进行积分，得到线性方程的解析解。

通过这种方法，我们可以求解出线性方程的解析解。

2. 分离变量方程分离变量方程的一般形式为：dy/dx = g(x)h(y)其中g(x)和h(y)是已知的函数。

分离变量方程可以通过将变量分离的方法进行求解。

将变量分离后，我们可以得到：1/h(y)dy = g(x)dx接着，对上式两边同时积分，得到分离变量方程的解析解。

3. 齐次方程齐次方程的一般形式为：dy/dx = f(x/y)其中f(x/y)是已知的函数。

齐次方程可以通过变量替换的方法进行求解。

令v = y/x，将原方程改写为：dy/dx = f(v) - v/x然后，使用变量替换后的方程进行求解，再将得到的解析解转换为原方程的解析解。

二、二阶微分方程的解析求解二阶微分方程是一种更为复杂的微分方程形式。

二阶微分方程可以写成以下形式：d^2y/dx^2 = f(x, y, dy/dx)其中f(x, y, dy/dx)是已知的函数。

微分方程解的性质在微分方程中，线性方程理论占有非常重要的地位，这不仅因为线性微分方程最简单、其一般理论也被研究的十分清楚，而且微分方程是研究非线性微分方程的基础。

在实际物理问题的数学模型中，线性微分方程非常常见，例如质量-弹簧-阻尼振动系统的运动学方程，就为二阶线性微分方程（组），如式(1)所示。

\left[ M \right]\left\{ {\ddot x} \right\} + \left[ C\right]\left\{ {\dot x} \right\} + \left[ K \right]\left\{ x\right\} = \left\{0\right\} \tag 1。

该“线性”体现在微分方程中，函数（这里x为时间t的函数）及其各阶导数的幂次为1。

在中，已经详细介绍了一阶线性微分方程的解法，为了一般性，需要将其推广到更高阶的线性微分方程，本文先给出线性常微分方程解的结构，按各种概念一步一步深入讲解，请按照本文顺序阅读，不要跳读。

[注]：下面的几个定理证明过程较为复杂，为节省篇幅，这里给出了部分关键定理的证明。

对于微分方程解的存在唯一性定理等更细节的具体证明步骤请参考西安交通大学周义仓的《常微分方程及其应用》或《常微分方程定性与稳定性方法》。

线性微分方程 Linear Differential Equations对于自变量x和未知函数y，其n阶线性微分方程的通式可以写为：\[{k_n}\left( x \right){y^{\left( n \right)}} + {k_{n - 1}}\left( x \right){y^{\left( {n - 1} \right)}} + \cdots +{k_1}\left( x \right)y' + {k_0}\left( x \right)y = g\left( x\right)\tag{2}\]。

其中，系数k_j(x)(j=0,1,2,…,n)及g(x)都只是关于x的函数，与函数y及y的导数无关。

§12.4 线性微分方程一、 线性方程线性方程:方程)()(x Q y x P dxdy =+叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )≡0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dx dy =+的齐次线性方程. 下列方程各是什么类型方程？(1)y dx dy x =-)2(⇒021=--y x dx dy 是齐次线性方程. (2) 3x 2+5x -5y '=0⇒y '=3x 2+5x , 是非齐次线性方程.(3) y '+y cos x =e -sin x , 是非齐次线性方程.(4)y x dxdy +=10, 不是线性方程. (5)0)1(32=++x dx dy y ⇒0)1(23=+-y x dx dy 或32)1(x y dy dx +-, 不是线性方程. 齐次线性方程的解法:齐次线性方程0)(=+y x P dx dy 是变量可分离方程. 分离变量后得 dx x P ydy )(-=, 两边积分, 得 1)(||ln C dx x P y +-=⎰,或 )( 1)(C dx x P e C Ce y ±=⎰=-, 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）.例1 求方程y dxdy x =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得2-=x dx y dy ,两边积分得 ln|y |=ln|x -2|+lnC ,方程的通解为y =C (x -2).非齐次线性方程的解法:将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把⎰=-dx x P e x u y )()(设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得)()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---, 化简得 ⎰='dx x P e x Q x u )()()(,C dx e x Q x u dx x P +⎰=⎰)()()(,于是非齐次线性方程的通解为])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-, 或 dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ⎰⎰⎰+⎰=--)()()()(. 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和.例2 求方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程.先求对应的齐次线性方程012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得 12+=x dx y dy , 两边积分得 ln y =2ln (x +1)+ln C ,齐次线性方程的通解为y =C (x +1)2.用常数变易法. 把C 换成u , 即令y =u ⋅(x +1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得2522)1()1(12)1(2)1(+=+⋅+-+⋅++⋅'x x u x x u x u 21)1(+='x u ,两边积分,得 C x u ++=23)1(32. 再把上式代入y =u (x +1)2中, 即得所求方程的通解为])1(32[)1(232C x x y +++=. 解法二 这里12)(+-=x x P , 25)1()(+=x x Q . 因为 )1ln(2)12()(+-=+-=⎰⎰x dx x dx x P , 2)1ln(2)()1(+==⎰+-x e e x dx x P , 2321225)()1(32)1()1()1()(+=+=++=⎰⎰⎰⎰-x dx x dx x x dx e x Q dx x P , 所以通解为])1(32[)1(])([232)()(C x x C dx e x Q e y dx x P dx x P +++=+⎰⎰=⎰-. 例3 有一个电路如图所示, 其中电源电动势为E =E m sin ωt (E m 、ω都是常数), 电阻R 和电感L 都是常量. 求电流i (t ).解 由电学知道, 当电流变化时, L 上有感应电动势dt di L-. 由回路电压定律得出 0=--iR dt di LE , 即 LE i L R dt di =+. 把E =E m sin ω t 代入上式, 得t L E i L R dt di m sin ω=+. 初始条件为i |t =0=0.方程t LE i L R dt di m sin ω=+为非齐次线性方程, 其中 L R t P =)(, t L E t Q m s i n )(ω=. 由通解公式, 得])([)()()(C dt e t Q e t i dt t P dt t P +⎰⎰=⎰-) sin (C dt e t L E e dt L Rm dt L R +⎰⎰=⎰-ω )sin (C dt te e LE t L R t L Rm +=⎰-ω t L R m Ce t L t R LR E -+-+=) cos sin (ωωωω. 其中C 为任意常数.将初始条件i |t =0=0代入通解, 得222 L R LE C m ωω+=, 因此, 所求函数i (t )为) cos sin ( )(222222t L t R L R E e L R LE t i m t L R m ωωωωωω-+++=-. 二、伯努利方程伯努利方程: 方程n y x Q y x P dxdy )()(=+ (n ≠0, 1) 叫做伯努利方程.下列方程是什么类型方程？(1)4)21(3131y x y dx dy -=+, 是伯努利方程. (2)5xy y dx dy +=, ⇒5xy y dxdy =-, 是伯努利方程. (3)x y y x y +=', ⇒11-=-'xy y xy , 是伯努利方程. (4)x xy dxdy 42=-, 是线性方程, 不是伯努利方程. 伯努利方程的解法: 以y n 除方程的两边, 得)()(1x Q y x P dxdy y n n =+-- 令z =y 1-n , 得线性方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -=-+. 例4 求方程2)(ln y x a x y dx dy -+的通解. 解 以y 2除方程的两端, 得x a y xdx dy y ln 112=+--, 即 x a y xdx y d ln 1)(11=+---, 令z =y -1, 则上述方程成为x a z xdx dz ln 1-=-. 这是一个线性方程, 它的通解为 ])(ln 2[2x aC x z -=.以y -1代z , 得所求方程的通解为1])(ln 2[2=-x a C yx .经过变量代换, 某些方程可以化为变量可分离的方程, 或化为已知其求解方法的方程. 例5 解方程yx dx dy +=1. 解 若把所给方程变形为y x dydx +=, 即为一阶线性方程, 则按一阶线性方程的解法可求得通解. 但这里用变量代换来解所给方程. 令x +y =u , 则原方程化为u dx du 11=-, 即uu dx du 1+=. 分离变量, 得dx du u u=+1,两端积分得u -ln|u +1|=x -ln|C |.以u =x +y 代入上式, 得y -ln|x +y +1|=-ln|C |, 或x =Ce y -y -1.。

微分方程总结归纳微分方程是数学中的一种重要概念，它描述了未知函数及其导数之间的关系。

微分方程在物理学、工程学、生物学等领域中具有广泛的应用。

本文将对微分方程进行总结归纳，介绍其基本概念、分类、解法以及应用等方面的内容。

一、基本概念微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。

其中，未知函数可以是一个或多个变量的函数，导数可以是一阶或高阶导数。

微分方程的一般形式可以表示为F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中x是自变量，y是未知函数，y'、y''等表示y的一阶、二阶导数。

二、分类微分方程根据方程中未知函数及其导数的阶数、方程中是否含有自变量x，以及方程的线性性质等，可以分为常微分方程和偏微分方程、一阶微分方程和高阶微分方程、齐次微分方程和非齐次微分方程、线性微分方程和非线性微分方程等多个类别。

常微分方程是指只涉及未知函数的一阶或高阶导数的微分方程，而偏微分方程是指涉及未知函数的偏导数的微分方程。

常微分方程主要研究函数的变化规律，而偏微分方程则主要研究多变量函数的变化规律。

三、解法解微分方程的方法多种多样，常见的方法有分离变量法、变量替换法、常数变易法、齐次方程法、特殊方程法、幂级数法、变系数法等。

分离变量法是指将微分方程中的变量分离成两部分，然后分别对两边进行积分。

变量替换法是通过引入新的变量来简化微分方程的形式，使得求解更加方便。

常数变易法是通过对未知函数加上一个特定的函数来将非齐次方程转化为齐次方程，从而简化求解过程。

四、应用微分方程在物理学、工程学、生物学等领域中具有广泛的应用。

例如，牛顿第二定律可以用微分方程来描述，从而解决物体的运动问题。

电路中的电流和电压关系、热传导方程、人口增长模型等都可以通过微分方程来描述和求解。

微分方程在金融学、经济学、生态学等领域中也有重要应用。

例如，在金融学中，可以通过微分方程建立利率、价格等变量之间的关系，从而进行金融市场的分析和预测。