轻杆模型弹力方向探析

9 轻杆物理模型的力学特征轻杆同轻绳及轻弹簧一起构成了力学中三类典型的关联物模型，它的受力情况、做功情况及能量转化情况对于物理问题的分析起着至关重要的作用，其力学特征主要概括以下几个方面。

9。

.1轻杆的受力不一定沿杆的方向图1中水平轻杆长为L ，其左端C 固定在竖直墙面上，在其右端B 处用与杆成300角的轻绳系于墙面上的A 点,若在距离C 点为45L 的P 点挂一质量为m 的重物，则轻绳受到的拉力T 可通过力矩平衡方程T CD mg CP ⋅=⋅求出，其大小为 1.6T mg =，方向沿绳AB 指向左上。

于是重力mg 、轻绳拉力T 及轻杆在C 端所受的弹力N 在O 点构成了同一平面内共点的三力平衡系统，此时依据拉密定理0sin120sin(240)sin N T mgαα==-不难求出0141.8, 1.4N mg α==在这个例题中可以看到，只有将重物悬挂在杆的端点B 时，轻杆所受到竖直墙的弹力N 才沿杆的方向；当重物的悬点P 沿BC 方向逐渐向左移动时，，杆所受的弹力N 将随α角的减小先减后增(这是三力平衡条件下六要素中重力mg 大小、方向不变，绳的拉力T 方向不变，大小改变，而杆所受弹力N 的大小、方向均匀变化时，当三力有交汇点沿轻绳移动到D 点时弹力N 的大小减至最小，以后又逐渐增大的情况)，而弹力N 的方向与轻杆的方向的偏离程度则越来越大。

9.2当轻杆受力沿杆的方向时，杆所受的力可以是拉力，也可以是压力在图2中倾角为α的固定斜面上，两木块A 和B 间用轻杆相连，木A 的质量为m 1, 其与斜面的动摩擦因数为1μ；木块B 的质量为m 2, 其与斜面的动摩擦因数为, 分析当两木块共同沿斜面下滑时轻杆的受力，此时轻杆受拉力还是压力？，其方向必定沿杆的方向。

设想轻杆既不受压力也不受拉力(即杆中无弹力作用)的情况，由于这相当于A 、B 各自独立下滑且其加速度相等，根据11sin cos ,a g g αμα=- 22sin cos a g g αμα=-可知，这只在12μμ=时才有可能；由此可见，当12μμ<B图1 图2时，是A 拉B ，轻杆受拉力作用；当12μμ>时，是B 推A ，轻杆受压力作用。

机械能守恒应用中的轻杆模型在力学中有很多的研究对象是通过“轻绳”“轻杆”“轻弹簧”连接的，在实际解题过程中，发现不少同学对这三种模型的特点、区别还不够清楚，容易混淆，造成解题错误。

特别提醒：轻杆的弹力方向“三百六十度”无死角，可以与速度成任意夹角，可以做功。

轻杆两端各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动或关联运动，该系统即为机械能守恒中的轻杆模型1．忽略空气阻力和各种摩擦．2．平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等，关联运动时沿杆方向速度相等。

1．杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．2．对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒．1如图所示，质量分别为2m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。

AO、BO的长分别为2L 和L，开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。

让该系统由静止开始自由转动，求：（1）当A到达最低点时， A小球的速度大小v；（2）B球能上升的最大高度h；（3）开始转动后B球可能达到的最大速度Vm解析：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。

（1）过程中A的重力势能减少， A、B的动能和B的重力势能增加，A的瞬时速度总是B的2倍。

解得：（2）B 球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA竖直位置向左偏了α角。

此式可化简为，利用三角公式可解得（3）B 球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功W G。

设OA从开始转过θ角时B球速度最大，解得本题如果用E P+E K=E′P +E′K这种表达形式，就需要规定重力势能的参考平面，显然比较烦琐。

用△E增=△E减就要简洁得多。

方法与技巧在利用轻杆模型求解问题时应注意以下几点：(1) 本类题目易误认为两球的线速度相等，还易误认为单个小球的机械能守恒．(2) 杆对球的作用力方向不再沿着杆，杆对某小球做正功从而使它的机械能增加，同时杆对另一小球做负功，使小球的机械能减少，系统的机械能守恒.(3) 求内力（杆的弹力）做功用动能定理。

物理建模 1.轻杆、轻绳、轻弹簧模型模型阐述轻杆、轻绳、轻弹簧都是忽略质量的理想模型，与这三个模型相关的问题在高中物理中有相当重要的地位，且涉及的情景综合性较强，物理过程复杂，能很好地考查学生的综合分析能力，是高考的常考问题.为结点)图2－1－8【典例2】 一轻弹簧两端分别连接物体a 、b ，在水平力作用下共同向右做匀加速运动，如图2－1－9所示，在水平面上时，力为F 1，弹簧长为L 1，在斜面上时，力为F 2，弹簧长为L 2，已知a 、b 两物体与接触面间的动摩擦因数相同，则轻弹簧的原长为( )．图2－1－9A.L 1＋L 22B.F 1L 1－F 2L 2F 2－F 1C.F 2L 1－F 1L 2F 2－F 1 D.F 2L 1＋F 1L 2F 2＋F 1即学即练 (2013·石家庄质检，18)如图2－1－10所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L ，两根相同的橡皮条自由长度均为L ，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片．若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k ，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L (弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为( )．图2－1－10A ．kLB ．2kL C.32kL D.152kL 附：对应高考题组(PPT 课件文本，见教师用书)1．(2010·新课标全国卷，15)一根轻质弹簧一端固定，用大小为F 1的力压弹簧的另一端，平衡时长度为l 1；改用大小为F 2的力拉弹簧，平衡时长度为l 2.弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内，该弹簧的劲度系数为( )．A.F 2－F 1l 2－l 1 B.F 2＋F 1l 2＋l 1C.F 2＋F 1l 2－l 1 D.F 2－F 1l 2＋l 12．(2011·山东卷，19)如图所示，将两相同的木块a 、b 置于粗糙的水平地面上，中间用一轻弹簧连接，两侧用细绳系于墙壁．开始时a 、b 均静止，弹簧处于伸长状态，两细绳均有拉力，a 所受摩擦力F f a ≠0，b 所受摩擦力F f b ＝0.现将右侧细绳剪断，则剪断瞬间( )．A ．F f a 大小不变B ．F f a 方向改变C ．F f b 仍然为零D ．F f b 方向向右3．(2012·山东基本能力，85)力是物体间的相互作用，下列有关力的图示及表述正确的是( )．物理建模 1.轻杆、轻绳、轻弹簧模型模型阐述轻杆、轻绳、轻弹簧都是忽略质量的理想模型，与这三个模型相关的问题在高中物理中有相当重要的地位，且涉及的情景综合性较强，物理过程复杂，能很好地考查学生的综合分析能力，是高考的常考问题.为结点)图2－1－8解析 甲为自由杆，受力一定沿杆方向，如下图甲所示的F N1.乙为固定杆，受力由O 点所处状态决定，此时受力平衡，由平衡条件知杆的支持力F N2的方向与mg 和F 1的合力方向相反，如下图乙所示．答案 如解析图所示【典例2】 一轻弹簧两端分别连接物体a 、b ，在水平力作用下共同向右做匀加速运动，如图2－1－9所示，在水平面上时，力为F 1，弹簧长为L 1，在斜面上时，力为F 2，弹簧长为L 2，已知a 、b 两物体与接触面间的动摩擦因数相同，则轻弹簧的原长为( )．图2－1－9A.L 1＋L 22B.F 1L 1－F 2L 2F 2－F 1C.F 2L 1－F 1L 2F 2－F 1 D.F 2L 1＋F 1L 2F 2＋F 1解析 设物体a 、b 的质量分别为m 1、m 2，与接触面间的动摩擦因数为μ，弹簧原长为L 0，在水平面上时，以整体为研究对象有F 1－μ(m 1＋m 2)g ＝(m 1＋m 2)a ，①隔离a 物体有k (L 1－L 0)－μm 1g ＝m 1a ，② 联立解得k (L 1－L 0)＝m 1m 1＋m 2F 1，③ 同理可得k (L 2－L 0)＝m 1m 1＋m 2F 2，④ 联立③④可得轻弹簧的原长为L 0＝F 2L 1－F 1L 2F 2－F 1，C 对．答案 C反思总结 如何理解理想化模型——“轻弹簧”与“橡皮筋” (1)弹簧与橡皮筋产生的弹力遵循胡克定律F ＝kx ，x 是指形变量．(2)“轻”即指弹簧(或橡皮筋)的重力不计，所以同一弹簧的两端及中间各点的弹力大小相等． (3)弹簧既能受拉力，也能受压力(沿弹簧轴线)，分析弹簧问题时一定要特别注意这一点，而橡皮筋只能受拉力作用．(4)弹簧和橡皮筋中的弹力均不能突变，但当将弹簧(或橡皮筋)剪断时，其弹力立即消失．即学即练 (2013·石家庄质检，18)如图2－1－10所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L ，两根相同的橡皮条自由长度均为L ，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片．若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k ，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L (弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为( )．图2－1－10A ．kLB ．2kL C.32kL D.152kL 解析 对裹片受力分析，由相似三角形可得：kL2L＝F2?2L ?2－⎝⎛⎭⎫L 22得：F ＝152kL 则裹片对弹丸的最大作用力为F 丸＝F ＝152kL ，故选项D 正确． 答案 D附：对应高考题组(PPT 课件文本，见教师用书)1．(2010·新课标全国卷，15)一根轻质弹簧一端固定，用大小为F 1的力压弹簧的另一端，平衡时长度为l 1；改用大小为F 2的力拉弹簧，平衡时长度为l 2.弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内，该弹簧的劲度系数为( )．A.F 2－F 1l 2－l 1B.F 2＋F 1l 2＋l 1 C.F 2＋F 1l 2－l 1 D.F 2－F 1l 2＋l 1解析 设弹簧原长为l ，由题意知，F 1＝k (l －l 1)，F 2＝k (l 2－l )，两式联立，得k ＝F 2＋F 1l 2－l 1，选项C 正确． 答案 C2．(2011·山东卷，19)如图所示，将两相同的木块a 、b 置于粗糙的水平地面上，中间用一轻弹簧连接，两侧用细绳系于墙壁．开始时a、b均静止，弹簧处于伸长状态，两细绳均有拉力，a所受摩擦力F f a≠0，b所受摩擦力F f b＝0.现将右侧细绳剪断，则剪断瞬间( )．A．F f a大小不变B．F f a方向改变C．F f b仍然为零D．F f b方向向右解析剪断右侧绳的瞬间，右侧细绳上拉力突变为零，而弹簧对两木块的拉力没有发生突变，与原来一样，所以b对地面有向左的运动趋势，受到静摩擦力F f b方向向右，C错误，D正确．剪断右侧绳的瞬间，木块a受到的各力都没有发生变化，A正确，B错误．答案AD3．(2012·山东基本能力，85)力是物体间的相互作用，下列有关力的图示及表述正确的是( )．解析由于在不同纬度处重力加速度g不同，旅客所受重力不同，故对飞机的压力不同，A错误．充足气的篮球平衡时，篮球壳对内部气体有压力作用，即内外气体对篮球壳压力的差值等于篮球壳对内部气体的压力，故B正确．书对桌子的压力作用在桌子上，箭尾应位于桌面上，故C错误．平地上匀速行驶的汽车，其主动轮受到地面的摩擦力是其前进的动力，地面对其从动轮的摩擦力是阻力，汽车受到的动力与阻力平衡时才能匀速前进，故D正确．答案BD。

受力分析中弹力方向的判定弹力是物体在外力作用下发生弹性形而产生的力，是一种被动力。

常见弹力有轻绳、弹簧、轻杆发生形变产生弹力，对于轻绳、弹簧产生弹力的方向判定较为简单，因为轻杆形变有拉伸形变、压缩形变、扭转形变，所产生的弹力方向不一定沿杆，杆的弹力方向判定往往成为难点，下面就几种常见情况例析。

1、根据共点力的平衡或牛顿第二定律确定弹力的方向。

例1：如图，小车位于水平面上，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆间夹角为θ，斜杆下端固定有质量为m的小球，判断下列情况下杆对球的弹力方向。

①小车静止或者匀速运动。

②小车向右匀加速运动。

解析：以小球为受力分析对象，当小车静止或匀速运动时，小球处于平衡状态，所受合力为零，故杆的弹力和小球重力平衡，方向竖直向上。

当小车向右加速时，小球所受合力方向向右（如图），可知弹力F的方向与加速度大小有关，方向斜向右上方，可能沿杆，也可能不沿杆的方向。

2、“模型”分析法。

常见轻杆模型分“死杆”和“活杆”。

“死杆”即轻质轩一端固定，它的弹力不一定沿杆的方向。

作用力的方向需结合平衡方程或牛顿第二定律求得，如例1。

“活杆”即一端有铰链相连，可转动的杆，轻质活动杆的弹力方向一定沿杆。

这类问题往往和绳组合出现。

常见有“死杆活结”，“活杆死结”，“死杆死结”。

（1）死杆活结例2：如图，轻绳AD跨过固定在竖直墙面水平横梁BC右端的定滑轮，挂住一个质量为m的物体，绳AC与杆BC的夹角为θ，求杆BC在C点的作用力方向。

解析：这类问题是以“结点”C为受力分析对象，因“结点”点处为绳绕过定滑轮，称为“活结”。

绳AC段和CD段产生的拉力大小相等，均等于物体重力mg。

根据共点力平衡条件可知，杆的作用力与绳AC、CD的拉力合力平衡。

而两绳合力方向一定沿∠ACD的角平分线，所以杆的作用力方向肯定不沿杆。

（2）“活杆死结”例3：如图，水平轻杆BC，B端用铰链固定在竖直墙上，绳AC和CD拴在C端，求轻杆BC对C端的支持力。

例析轻杆弹力方向的判定
弹力的方向：从施力物体指向受力物体，与施力物体形变方向相反，即施力物体恢复
形变的方向。

弹力定义
物体在力的促进作用下出现的形状或体积发生改变叫作应力。

在外力暂停促进作用后，能恢复原状的.应力叫作弹性应力。

出现应力的物体，由于必须恢复原状，必须对跟它碰
触的物体产生力的促进作用。

这种促进作用叫做弹力。

即为，在弹性限度范围之内，物体
对并使物体出现应力的施力物产生的力叫做弹力。

弹力方向与物体形变方向相反的具体情况
1、轻绳的弹力方向沿绳指向绳膨胀的方向。

2、压力、支持力的方向总跟接触的面垂直，面与面接触，点与面接触，都是垂直于面；点与点的接触要找两接触点的公切面，弹力垂直于这个公切面指向被支持物。

3、二力杆件（即为只有杆的两端受力，中间不受力（包含杆本身的重力也忽略不计），叫做二力杆件），弹力必沿杆的方向。

通常杆件，受力较为繁杂，应当根据具体条
件分析。

4、杆：弹力方向是任意的，由它所受外力和运动状态决定。

探究轻质杆弹力的方向
王震
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2011(000)014
【摘要】关于杆的弹力方向判定是高中物理的难点,本文试从弹力产生的本质原因加以讨论,从而对弹力方向判断有一个初步的认识.rn如图1所示,一轻杆一端系一质量为m的小球,另一端固定在竖直杆上,现处于静止状态,求杆的弹力.rn分析本题如从受力平衡角度分析,杆的弹力FN＝mg,方向竖直向上.在实际教学过程中,学生虽能接受,但仍有疑点:弹力的方向为什么不沿杆斜向上呢?rn下面试从弹力产生的本质加以分析:弹力是由于物体发生形变并在恢复形变时对与其接触的物体施加的一种力.rn如图2所示,弹簧处于原长时弹簧的下端在O点处,现在弹簧的最下端挂一小球,弹簧静止时最下端在A点处,弹簧向下产生拉伸形变,对小球有向上的弹力.【总页数】1页(P38)
【作者】王震
【作者单位】河南省洛阳市第十九中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.轻杆上弹力的方向何时沿杆?——对广东省2015高考物理第7题的困惑 [J], 范学贤
2.培养提问技能发展问题探究能力r——以探究轻杆上的弹力方向为例 [J], 陈艳
3.弹力方向判断“操作方法”——针对基础较弱的学生如何突破对弹力方向的判断
[J], 李菲;
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5.竖直面内杆连小球做圆周运动的杆中弹力方向分析 [J], 谢禄桥;张轶炳
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轻绳、轻杆模型研究制作人：肖华琴轻杆、轻绳都是忽略质量的理想模型，这两个模型既有相同又有相异，由于不同模型呈现的物理情景不同，因而具有不同的性质与规律。

此类问题在高中物理中占有相当重要的地位，且涉及到的问题情景综合性较强、物理过程复杂，从受力的角度看，这类弹力可能是变力；从能量的角度看，可以通过弹力做功实现能量的转移、转化。

通过分析这两种模型的特点，明确它们的相同之处与不同之处，以分析类似的问题。

这两种模型的特点如下：（1）轻绳模型：不能伸长，质量与重力可以视为零；同一根绳的两端与中间各点的张力相等；只能产生压力，与其他物体相互作用时总是沿绳子方向；在瞬间问题中轻绳的拉力发生突变，不需要形变恢复时间；（2）轻杆模型：不能伸长与压缩，质量与重力可以视为零；同一根轻杆的两端与中间各点的张力相等；能承受拉力、压力与侧向力，力的方向不一定沿杆的方向。

一、力的方向有异1、轻绳产生的弹力只能沿绳并指向绳收缩的方向；2、轻杆产生的弹力不一定沿杆的方向，可以是任意方向。

例1.如图1所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆下端固定有质量为m的小球，是分析小车在静止、水平向右以加速度a运动时杆对小球的作用力Fn的大小与方向。

解：（1）当小车静止时，小球也静止，小球处于平衡状态所受合外力为零。

小球受竖直向下的重力，因此所受杆对小球的支持力竖直向上，大小是Fn=mg;（2）当小车水平向左以加速度a 运动时，小球同时也向左以加速度a 运动，因此小球所受合外力F 合=ma ，F 合为小球所受重力与杆对小球的支持力合成的结果。

如图1（b ），根据平行四边形定则，杆对小球的支持力22)()(ma mg F N +=,方向是斜向左上方，且与水平方向夹角为arctan(g/a)；当a=g/tan 时，Fn 的方向是沿垂直于斜杆的左上方；（3）当小车水平向右以加速度a 运动时，分析同上，不同之处是小球的支持力Fn 方向是斜向右上方，且与水平方向夹角θ为arctan(g/a)；当a=g*tan θ时，Fn 的方向是沿斜杆的方向。

高中物理模型：轻绳、轻杆、轻弹簧）在力学中有很多的研究对象是通过“轻绳”“轻杆”“轻弹簧”连接的，在实际解题过程中，发现不少同学对这三种模型的特点、区别还不够清楚，容易混淆，造成解题错误。

特别提醒：轻杆的弹力方向“三百六十度”无死角。

轻绳特点轻绳模型的建立轻绳或称为细线，它的质量可忽略不计，轻绳是软的，不能产生侧向力，只能产生沿着绳子方向的力。

它的劲度系数非常大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长。

轻绳模型的特点①轻绳各处受力相等，且拉力方向沿着绳子；②轻绳不能伸长；③用轻绳连接的系统通过轻绳的碰撞、撞击时，系统的机械能有损失；④轻绳的弹力会发生突变。

轻杆特点轻杆模型的建立轻杆的质量可忽略不计，轻杆是硬的，能产生侧向力，它的劲度系数非常大，以至于认为在受力时形变极微小，看作不可伸长或压缩。

轻杆模型的特点①轻杆各处受力相等，其力的方向不一定沿着杆的方向；②轻杆不能伸长或压缩；③轻杆受到的弹力的方式有拉力或压力。

轻弹簧特点轻弹簧模型的建立轻弹簧可以被压缩或拉伸，其弹力的大小与弹簧的伸长量或缩短量有关。

轻弹簧的特点①轻弹簧各处受力相等，其方向与弹簧形变的方向相反；②弹力的大小为F=kx，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的伸长量或缩短量；③弹簧的弹力不会发生突变。

特别提醒：橡皮筋与轻弹簧极为相似，只是橡皮筋不能被压缩！静止或匀速运动例1、如图所示，有一质量为m的小球用轻绳悬挂于小车顶部，小车静止或匀速直线运动时，求绳子对小球作用力的大小和方向。

解析：小车静止或匀速直线运动时，小球也处于静止或匀速直线运动状态。

由平衡条件可知，绳子对小球的弹力为F=mg，方向是沿着绳子向上。

若将轻绳换成轻弹簧，其结果是一样的。

例2、如图所示，小车上有一弯折轻杆，杆下端固定一质量为m的小球。

当小车处于静止或匀速直线运动状态时，求杆对球的作用力的大小和方向。

解析：以小球为研究对象，可知小球受到杆对它一个的弹力和重力作用，由平衡条件可知小球受力如图所示。