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2.3.3线面垂直的性质 2.3.4面面垂直的性质

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2.3.3-2.3.4直线与平面垂直的性质

2.3.3-2.3.4直线与平面垂直的性质

2 a,E 为 PA 的中点.
求证:平面 EDB⊥平面 ABCD.
名师导引:证明平面 EDB⊥平面 ABCD 的思路是 什么?(在平面 EDB 内寻找一条直线与平面 ABCD 垂直) 证明:设 AC EO∥PC. BD=O,连接 EO,E 为 PA 的中点,则
∵PC=CD=a,PD=
2 2 2
2 a,
跟踪训练 1 1:如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, M 是 AB 上一点,N 是 A1C 的中点,MN⊥平面 A1DC.
求证:(1)MN∥AD1; (2)M 是 AB 的中点.
证明:(1)∵四边形 ADD1A1 为正方形, ∴AD1⊥A1D. 又 CD⊥平面 ADD1A1, ∴CD⊥AD1. ∵A1D CD=D, ∴AD1⊥平面 A1DC. 又 MN⊥平面 A1DC, ∴MN∥AD1. (2)连接 ON,在△A1DC 中, A1O=OD,A1N=NC,
l⊥β)
1:地面上有两根相距 a 米的与地面 垂直的立柱,它们的高分别是 b 米和 c 米(b>c), 则它们上端的距离为 米.
解析:如图所示,根据题意可 知 AD=b,BC=c,AB=a,由线面垂 直的性质可得这两根立柱平 行,过点 C 向 AD 作垂线,设垂 足为 E,则可得 CD= 答案:
2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质
课前预习
栏 目 导 航
课堂探究
【课标要求】
1.通过直观感知、操作确认,归纳出直线与 平面、平面与平面垂直的性质定理. 2.掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直 的性质,并能运用性质定理解决一些简单 问题. 3.掌握平行与垂直之间的转化.
【实例】 在日常生活中常见到一排排和地面垂 直的电线杆.一排电线杆中的每根杆都与地面 垂直,那平面垂直的性质定理

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质

空间中得垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直得判定定理:如果,那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式:直线与平面垂直得性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。

2.面面垂直两个平面垂直得定义:相交成得两个平面叫做互相垂直得平面。

两平面垂直得判定定理:(线面垂直面面垂直)如果,那么这两个平面互相垂直。

推理模式:两平面垂直得性质定理:(面面垂直线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们得得直线垂直于另一个平面。

一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直线面垂直面面垂直.这三者之间得关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级得垂直关系中蕴含着低一级得垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB就是圆O得直径,C就是圆周上一点,PA⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;(2)若D也就是圆周上一点,且与C分居直径AB得两侧,试写出图中所有互相垂直得各对平面.2、如图,棱柱得侧面就是菱形,证明:平面平面3、如图所示,在长方体中,AB=AD=1,AA1=2,M就是棱CC1得中点(Ⅰ)求异面直线A1M与C1D1所成得角得正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM⊥平面A1B1 M14、如图,就是圆Ｏ得直径,Ｃ就是圆周上一点,平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC.5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您得结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VADVDC B A SAB8、如图,平行四边形中,,,将沿折起到得位置,使平面平面、求证:9、如图,在四棱锥中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别就是AP、AD得中点求证:(1)直线EF‖平面PCD;(2)平面BEF⊥平面PAD10、如图,在三棱锥中,平面平面,、过作,垂足为,点分别就是棱得中点。

§2.3.3直线与平面垂直的性质

§2.3.3直线与平面垂直的性质
α C
B
β
A
D
E
结论
平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直。
α C
D A B
β
l b b bl
概念巩固
判断下列命题的真假 1.若α ⊥β ，那么α 内的所有直线都垂直于β 。 × 2.两平面互相垂直，分别在这两平面内的两直 线互相垂直。 × 3.两平面互相垂直，分别在两平面内且互相垂直的 两直线一定分别与另一个平面垂直。×
直线与平面垂直的性质
平面与平面垂直的性质
复习引入
直线与平面 垂直的判定 推论
定义法 如果一条直 线垂直于一个 平面内的任何 一条直线，那 么此直线垂直 于这个平面。
如果一条 直线垂直于一 个平面，那么 它的平行线也 会垂直于这个 平面。
a //b, a b
已知a ，b ，求证a //b.
图形语言：
a
b
α
符号语言：
a ，b a // b
例1.如图，在正方体 ABCD---A1B1C1D1中，M 是AB上一点，N是A1C的 中点，MN 面A1DC. 求证（1）MN // AD1 (2)M是AB的中点
D1 B1
C1
A1
N
o
D C
AMຫໍສະໝຸດ B已知：平面 ⊥平面β ，平面 ∩平面β =AB， CD 平面 ，CD ⊥ AB, 且CD ∩ AB =D。 求证：直线CD⊥平面β 。
在平面 中：l a，l c a //c 又a ，c a //，同理b // 又a b=A //
a


B
c
证明： (反证法) 假设a与b不平行 b ， 设求b =O过点O作b//a a ， b

高二数学《线面垂直、面面垂直的性质定理》课件07

高二数学《线面垂直、面面垂直的性质定理》课件07
证明两条直线平行
a //
// 面面平行性质定理 a a // b b
线面垂直性质定理
a α α // b b α
定义，与平面内的任何直线都没有公共点
证明线面平行
面面平行性质
// a // a
la lb
CD l 面面垂直性质定理 l
l二面角 (即二面角的平面角为直角) 证明两个平面垂直
面面垂直判定定理 a l b a b A
la lb
线面垂直、面面垂直 的性质
线线垂直和线面垂直的比较： （1）线面垂直一定有垂足，线线垂直不一定有垂足； （2）过一点有且只有一条直线和已知平面垂直； 过一点有且只有一个平面和已知直线垂直； 过一点有无数条直线和已知直线垂直. 在平面内 讨论呢？
1、直线与平面垂直有什么性质呢？ 定义：若直线和平面垂直，则直线与平面内 的任意直线都垂直. 线线垂直 线面垂直
α C B D l
A β
练1： 已知PA 平面ABC ， 二面角A PB C是 直二面角， 求证： AB BC . P
D
A C
练：已知平面 、 、 满足 ， ， 求证： l .
B
l.
三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
两条异面直线所成角 三大计算
例3 、 已知平面 、 ， ， 直线a满足a ， a ， 试判断直线a与平面的位置关系.

b
a

探究：
已知平面 、 和直线a ， 且 ，
AB ，
a // ， a AB ， 试判断直线a与平面的位置关系.
例2．已知：如图，α⊥β，在α与β的交线 上取线段AB＝4，AC、BD分别在α和β内，它 们都垂直于AB，并且AC＝3，BD＝12，求CD长.

2.3直线、平面垂直的判定及其性质(新课知识讲解)

2.3直线、平面垂直的判定及其性质(新课知识讲解)

从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角
思考:下列两个二面角在摆放上有什 么不同？
β l l
α
α
β
思考:一个二面角是由一条直线和两 个半平面组成，其中直线l叫做二面 角的棱，两个半平面α 、β 都叫做 二面角的面，二面角通常记作“二 面角α -l-β ”.那么两个相交平面共 组成几个二面角？
β
面
棱
l
α
二面角的 画法与记法 2、二面角的记法： 面1－棱－面2 （1）、以直线l 为棱，以 a , 为半平面的二面角记为：
a l
a, （2）、以直线AB 为棱，以 为半平面的二面角记为：
a AB

a
l

A
B
a
二面角的 平面角的定义、范围及作法 1、二面角的平面角： 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引 垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的 平面角。 ? AOB AOB== a 注:（1）二面角的平面角与点的位置 等角定理：如果一个角的两边和另 无关，只与二面角的张角大小有关。 A 一个角的两边分别平行，并且方向相 O （2）二面角是用它的平面角来度 同，那么这两个角相等。） B l 量的，一个二面角的平面角多大，就 说这个二面角是多少度的二面角。 B O （3）平面角是直角的二面角叫做 A 直二面角。 （4）二面角的取值范围一般规定 为（0,π）。 观看动画演示
4.总结反思—提高认识
（1）通过本节课的学习，你学会了
哪些判断直线与平面垂直的方法？
（2）在证明直线与平面垂直时应注
意哪些问题？
（3）本节课你还有哪些问题？
直线与平面垂直的判定方法 1. 定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条 直线，则此直线垂直于这个平面. 2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条 相交直线，那么此直线垂直于这个平面。 3. 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那 么另一条也垂直于同一个平面。

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质

空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。

2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。

推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。

一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。

2.3.3-4线面垂直面面垂直的性质课件


∴AE⊥平面PBC
A
C
∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴PA⊥BC
∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB
C
平面PAC∩平面ABC＝AC,
BC 平面ABC
A
O
B
∴BC⊥平面PAC
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
解题反思
1、面面垂直的性质定理给我们提供了 一种证明线面垂直的方法
2、本题充分地体现了面面垂直与 线面 垂直之间的相互转化关系。
面面垂直
性质定理 判定定理
线面垂直
练习1. 两个平面互相垂直,下列命题正确 的是 ( ) A. 一个平面内的已知直线必垂直于另一
一符个号平表面示的：有哪些位
l
b
置关系?
Ⅱ.概括结论
bbbll 面bb面垂 直该命题正确线吗？面垂直
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。
已知平面α⊥平面β,α∩ β＝l下列命题
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β
（ ×）
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β
（× ）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此
3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解 决空间图形问题的重要思想方法。
P
作业：
1：如图：已知PA⊥平面ABC，
平面PAB⊥平面PBC，求证： A
C
BC⊥平面PAB
2.如图：以正方形ABCD的对角线AC为 B
折痕，使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面，求
BD与平面ABC所成的角。
D
D
折成
A
O
CA
2.3.3-2.3.4直线与平面、 平面与平面垂直的性质

线面垂直、面面垂直的性质定理ppt课件

我们说直线 l 与平面 互相垂直。
一条直线与一个平面内的 两条相交线都垂直，则该 直线与此平面垂直．
线面垂直则线线垂直. 线线垂直则线面垂直.
精选
(1)长方体ABCDA'B'C'D'中,棱AA',BB', CC',DD'所在直线与平面ABCD的位置关 系怎样?它们之间又具有什么位置关系?
D'
A'
C'
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径，C P
是圆周上不同于A，B的任意一
点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC
又∵平面PAC⊥平面ABC，平面
C
PAC∩平面ABC＝AC,BC 平
面ABC ∴BC⊥平面PAC
A
O
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
精选
例2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
和∵αa的⊥交α点, 为o,则可过o作 b’∥a ∴b’⊥α.
∴过点o的两条直线 b和b’都 垂直平面α，这是不可能的， ∴a∥b. 精选
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内 找到另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
证明：过点A作AE⊥PB，垂足 P 为E，
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC=PB，
∴AE⊥平面PBC
A
C
∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴PA⊥BC
∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB

2.3.3-2.3.4线面垂直,面面垂直的性质定理-悠


已知正方形ABCD和矩形 和矩形ACEF所在的平面互相垂 练 已知正方形 和矩形 所在的平面互相垂 直，AB= 2 ，AF=1，M是线段 的中点。 ， 是线段EF的中点。 是线段 的中点 平面BDE； （1）求证 ）求证AM//平面 平面 ； 的大小； （2）求二面角 −DF−B的大小； ）求二面角A− − 的大小 上确定一点P，使得PF与 所成的 （3）试在线段 上确定一点 ，使得 与BC所成的 ）试在线段AC上确定一点 E 角是60° 角是 °。
注1：① α ：
⊥ β ,α I β = l, a ⊂ α , a ⊥ b ⇒ a ⊥ β
证明： 在平面 内过B点作 ⊥ l， 证明： 在平面β内过 点作 内过 点作BE⊥ ， 又∵AB⊥ l， ⊥ ， ∴∠ABE就是二面角 -l -β的平面角 就是二面角α∴∠ 就是二面角 的平面角 ∴∠ABE=90 ，即AB⊥BE ∴∠ ⊥ 又∵l∩BE=B， ， ∴AB⊥β ⊥
如图， 于点A， 于点B， 例 如图，已知 α I β = l, CA ⊥ α于点 ，CB ⊥ β于点 ， 求证： a ⊂ α, a ⊥ AB, 求证：a // l .
注意：空间内，垂直于同一条直线的两直线平行的结论不成立 注意：空间内，垂直于同一条直线的两直线平行的结论不成立.
C β B α l A a
。
α
a
A
l
B E
β
面面垂直⇒ 面垂直” ②该定理作用：“面面垂直⇒线面垂直”，是判定线面垂 该定理作用： 面面垂直 直的依据，可以帮助我们快速找到面的垂线——平面内垂 直的依据，可以帮助我们快速找到面的垂线 平面内垂 直于两平面的交线的直线. 直于两平面的交线的直线
例 判断下列命题的真假 1.若α⊥β，那么 内的所有直线都垂直于 内的所有直线都垂直于β. 若 ⊥ ，那么α内的所有直线都垂直于

§2.3.3 直线与平面垂直的性质§2.3.4 平面与平面垂直的性质

§2.3.3 直线与平面垂直的性质§2.3.4 平面与平面垂直的性质一、课前准备复习1：①什么是二面角？什么是二面角的平面角？②当两个平面所成的二面角____________时，这两个平面互相垂直.复习2：两个平面垂直的判定（1）方法一：方法二：________________.复习3：①垂直于同一直线的两条直线的位置关系是____________；②垂直于同一平面的两个平面的位置关系是___________.二、新课导学探究一：直线与平面垂直的性质定理问题1：已知直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，求证：a∥b.新知1：直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.反思：这个定理揭示了什么?探究二：平面与平面垂直的性质问题2：黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？新知2：平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.反思：这个定理实现了什么关系的转化?例1 判断下列命题是否正确，并说明理由.⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行；⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行.例2. 如图，在三棱锥中，PA PB⊥，若M是PC的中点，=，AB BC试确定AB上点N的位置，使得MN AB⊥.例3. 如图，平面α⊥平面γ，βγ⊥平面平面，l αβ=，求证：l γ⊥.例4. 如图，四棱锥P ABCD -的底面是个矩形，2,AB BC ==PAB 是等边三角形，且侧面PAB 垂直于底面ABCD . ⑴证明：侧面PAB ⊥侧面PBC ；⑵求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角.线线垂直面面垂直 面面平行。

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§ 2.3.3 直线与平面垂直的性质 § 2.3.4 平面与平面平行的性质
编号：001 编写人： 审核人： 使用时间：2013年X 月X 日 【学习目标】： 1.掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质； 2.能应用性质定理解决一些简单问题；
3.理解垂直的判定定理和性质定理之间的相互关系。

一.自学引导
1.直线和平面垂直的性质定理：
（1）文字语言：如果两条直线 ，那么着两条直线平行。

（2）符号语言：若 ， ，那么b a //。

2.两个平面平行的性质定理：
（1）文字语言：如果两个平面垂直，那么在一个平面内 垂直于另一个平面。

（2）符号语言：若 ，则α⊥a 。

（3）该定理成立的条件：
① ； ② 。

（两个条件缺一不可） 二.预习自测
1、若平面⊥α平面β，平面⊥β平面γ，则
A.γα// B γα⊥. C.α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能 2、在下列关于直线l 、m 与平面βα,的命题中，正确的是（ ） A.若β⊂l 且βα⊥，则α⊥l
B.若β⊥l 且βα//，则α⊥l
C. 若β⊥l 且βα⊥，则α//l
D.若m =⋂βα且m l //，则α//l 3、如图，P 为ABC ∆平面外一点，⊥PA 平面ABC ,平面⊥PAB 平面PBC ,PB AE ⊥，PC AF ⊥ （1）求证：BC AB ⊥
（2）求证：平面AEF ⊥平面PBC ；
教，学随笔 ※ 第I 部分 自主学习
※ 第II 部分 合作探究
平面
所在的平面垂直于矩形
平。