直线、平面垂直的判定及其性质(二)(讲义)

内的无数条直线都垂直”是“直线a
BB1D1D，又OB1⊂平面
，则a与c的位置关系为
在同一个平面内，由题设条件可得a∥c；在空间中，直线
n⊥β，则n与l的位置关系为
l⊂β，又
中，底面ABCD为矩形，侧棱
________．
BC.由底面ABCD为矩形，
PD＝CD，点E是PC
⊥平面ABCD，AB∥DC，
⊥PA⇒AE⊥BC，
，故②正确，③若
2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”。

第25节直线、平面垂直的判定与性质基础知识要夯实1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一条直线的两平面平行．文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行a⊥αb⊥α⇒a∥b2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．[难点正本疑点清源]1．两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β，设β∩α＝l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α.2．两平面垂直的判定(1)两个平面所成的二面角是直角；(2)一个平面经过另一平面的垂线．基本技能要落实考点一线面垂直的判定与性质【例1】(2020·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点.(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离.【解析】(1)证明因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝23.连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 且OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC .(2)解作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离.由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝sin 455OC MC ACB OM ⋅⋅∠=.所以点C 到平面POM 的距离为455.【方法技巧】1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；(3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a ，l ⊥a ，l ⊂β⇒l ⊥α).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【跟踪训练】1.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是()A ．AD BC =B ．AC BD=C ．PE PF=D ．EP PF=【答案】D【解析】根据相等向量的定义，分析可得AD 与BC 不平行，AC 与BD不平行，所以AD BC = ,AC BD =uuu r uu u r 均错误.PE 与PF 平行，但方向相反也不相等，只有EP 与PF方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，所以EP PF =uu r uu u r.故选：D2.(2020·南宁二中、柳州高中联考)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°.(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)E 是棱CC 1上的一点，若三棱锥E －ABC 的体积为312，求线段CE 的长.【解析】(1)证明∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，BC 1⊂平面BB 1C 1C ，∴AB ⊥BC 1，在△CBC 1中，BC ＝1，CC 1＝BB 1＝2，∠BCC 1＝60°，由余弦定理得BC 21＝BC 2＋CC 21－2BC ·CC 1·cos ∠BCC 1＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，∴BC 1＝3，∴BC 2＋BC 21＝CC 21，∴BC ⊥BC 1，又AB ，BC ⊂平面ABC ，BC ∩AB ＝B ，∴BC 1⊥平面ABC .(2)解∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴V E －ABC ＝V A －EBC ＝13S △BCE ·AB ＝13S △BCE ·1＝312，∴S△BCE＝34＝12CE·BC·sin∠BCE＝12CE·32，∴CE＝1.考点二面面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【证明】(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA⊂平面PAD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.又∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.【方法技巧】1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【跟踪训练】1.（如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，∠ABC ＝90°，AD ＝SD ，BC ＝CD＝12AB ，侧面SAD ⊥底面ABCD .(1)求证：平面SBD ⊥平面SAD ；(2)若∠SDA ＝120°，且三棱锥S －BCD 的体积为612，求侧面△SAB 的面积.(1)证明设BC ＝a ，则CD ＝a ，AB ＝2a ，由题意知△BCD 是等腰直角三角形，且∠BCD ＝90°，则BD ＝2a ，∠CBD ＝45°，所以∠ABD ＝∠ABC －∠CBD ＝45°，在△ABD 中，AD ＝222cos 45AB BD AB DB +-⋅⋅︒＝2a ，因为AD 2＋BD 2＝4a 2＝AB 2，所以BD ⊥AD ，由于平面SAD ⊥底面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面SAD ，又BD ⊂平面SBD ，所以平面SBD ⊥平面SAD .(2)解由(1)可知AD ＝SD ＝2a ，在△SAD 中，∠SDA ＝120°，SA ＝2SD sin 60°＝6a .作SH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则SH ＝SD sin 60°＝62a ，由(1)知BD ⊥平面SAD ，因为SH ⊂平面SAD ，所以BD ⊥SH .又AD ∩BD ＝D ，所以SH ⊥平面ABCD ，所以SH 为三棱锥S －BCD 的高，所以V S －BCD ＝13×62a ×12×a 2＝612，解得a ＝1.由BD ⊥平面SAD ，SD ⊂平面SAD ，可得BD ⊥SD ，则SB ＝22SD BD +＝22+＝2.又AB ＝2，SA ＝6，在等腰三角形SBA 中，边SA 上的高为642-＝102，则△SAB 的面积为12×6×102＝152.达标检测要扎实一、单选题1．在空间中，下列命题是真命题的是（）A ．经过三个点有且只有一个平面B ．平行于同一平面的两直线相互平行C ．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等D ．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面【答案】D【解析】当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，故A 错误；平行于同一平面的两直线可能相交，故B 错误；由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C 错误；如果两个相交平面,αβ垂直于同一个平面γ，且l αβ= ，则在平面α、β内分别存在直线,m n 垂直于平面γ，由线面垂直的性质可知//n m ，再由线面平行的判定定理得//m β，由线面平行的性质得出//m l ，则l γ⊥，故D 正确；故选：D2．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上运动，则下列命题中错误的是（）A ．直线1PC 和平面11AA D D 所成的角为定值B ．点P 到平面1C BD 的距离为定值C ．异面直线1C P 和1CB 所成的角为定值D ．直线CD 和平面1BPC 平行【答案】A【解析】对A ，由11C D ⊥平面11AA D D ，当点P 分别在点A 或1D 时，线面角不一致，故A 错误；对B ，由1AD //1BC ,1BC ⊂平面1C BD ,1AD ⊄平面1C BD ,所以1AD //平面1C BD ，所以点P 到平面1C BD 的距离为直线1AD 上任意点到平面1C BD 的距离，故B 正确对C ，由平面1C PB 即平面11ABC D ,111,CB BC CB AB ⊥⊥,1AB BC B =I ,1,AB BC ⊂平面11ABC D ，所以1CB ⊥平面11ABC D ，所以11CB C P ⊥，故C 正确对D ，由平面1C PB 即平面11ABC D ，CD //11C D ，11C D ⊂平面11ABC D ，CD ⊄平面11ABC D ，所以CD //平面11ABC D ，所以D 正确故选：A3．在如图所示的棱长为20的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为CD 的中点，点P 在侧面11ADD A 上，且到11A D 的距离为6，到1AA 的距离为5，则过点P 且与1A M 垂直的正方体截面的形状是（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形【答案】B【解析】如图所示，过点P 作1//EF AD 分别交11,AA DD 于点,E F ，因为11AD A D ⊥，可得1EF A D ⊥，在正方体1111ABCD A B C D -中，CD ⊥平面11ADD A ，所以EF CD ⊥又1CD A D D = ,所以EF ⊥平面1MDA ,1A D ⊆平面1MDA ,所以1A D EF ⊥过P 作11PK A D ⊥交于11A D 点K ，则6PK =,设KF x =则11A E A F =,所以11FK KP FA A E =，即116x A E A F=,则6x =所以115611A F A K KF =+=+=在正方形1111D CB A 中，取11CD 的中点1M ，连接111,MM A M 则111A M D V 与11D C N V ,则11111D A M ND C ∠=所以111111111190ND M D M A ND M D A M ∠+∠=∠+∠=︒,即111A M D N ⊥取11B C 的中点N ，过F 作1//FH D N 交11B C 于点H ，连接1D N ，则11A M FH ⊥又1MM ⊥平面1111D C B A ,所以1MM FH ⊥,由1111MM A M M ⋂=所以FH ⊥平面11A M M ，所以1FH A M ⊥又EF FH F ⋂=，所以1A M ⊥平面EFH连接1BC ，过H 作1//HG BC ,由11//BC AD ，则1//BC FE ，所以//HG FE (且HG FE ≠)连接EG ，则四边形EFHG 为梯形，所以1A M ⊥平面EFHG 所以截面的形状为四边形边形EFHG .故选：B.4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且22EF =，则三棱锥A BEF -的体积为（）A ．112B ．14C ．212D ．不确定【答案】A【解析】由题可知，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则11//B D 平面ABCD ，又E ，F 在线段11B D 上运动，∴//EF 平面ABCD ，∴点B 到直线11B D 的距离不变，由正方体的性质可知1BB ⊥平面1111D C B A ，则1BB EF ⊥，而22EF =，1=1BB ，故BEF 的面积为1221=224⨯⨯，又由正方体可知，AC BD ⊥，1AC BB ⊥，且1BD BB B ⋂=，AC ∴⊥平面11BB D D ，则AC ⊥平面BEF ，设AC 与BD 交于点O ，则AO ⊥平面BEF ，点A 到平面BEF 的距离为22AO =，122134212A BEF V -∴=⨯⨯=.故选：A.5．如图.AB 是圆的直径，PA AC ⊥，PA BC ⊥，C 是圆上一点(不同于A ，B )，且PA AC =，则二面角P BC A --的平面角为（）A ．PAC ∠B ．CPA ∠C ．PCA ∠D ．CAB∠【答案】C【解析】∵C 是圆上一点(不同于A ，B )，AB 是圆的直径，∴AC BC ⊥，PA BC ⊥，AC PA A ⋂=，即BC ⊥面PAC ，而PC ⊂面PAC ，∴BC PC ⊥，又面ABC 面PBC BC =，PC AC C ⋂=，∴由二面角的定义：PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.故选：C6．如图1，已知PABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB ⊥BC ，D 在线段PC 上，AD ⊥PC ．将△PAD 沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ，连接PB ，PC ，设PB 的中点为N ，如图2．对于图2，下列选项错误的是（）A ．平面PAB ⊥平面PBC B ．BC ⊥平面PDCC ．PD ⊥ACD ．PB ＝2AN【答案】A 【解析】图1中AD ⊥PC ，则图2中PD ⊥AD ，又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴PD ⊥平面ABCD ，则PD ⊥AC ，故选项C 正确；由PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDC ，得平面PDC ⊥平面ABCD ，而平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ，BC ⊥CD ，∴BC ⊥平面PDC ，故选项B 正确；∵AB ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴AB ⊥平面PAD ，则AB ⊥PA ，即△PAB 是以PB 为斜边的直角三角形，而N 为PB 的中点，则PB ＝2AN ，故选项D 正确．由于BC ⊥平面PDC ，又BC ⊂平面PBC∴平面PBC ⊥平面PDC若平面PAB ⊥平面PBC ，则平面PAB 与平面PDC 的交线⊥平面PBC由于//AB 平面PDC ，则平面PAB 与平面PDC 的交线//AB显然AB 不与平面PBC 垂直，故A 错误故选：A7．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 中点，F 在线段1DD 上.给出下列判断：①存在点F 使得1A C ⊥平面1B EF ；②在平面1111D C B A 内总存在与平面1B EF 平行的直线；③平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置无关；④三棱锥1B B EF -的体积与点F 的位置无关.其中正确判断的有（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④【答案】D 【解析】对于①，假设存在F 使得1AC ⊥平面1B EF ，则1AC ⊥1B E ，又BC ⊥1B E ，BC ∩1AC ＝C ，∴1B E ⊥平面1A BC ，则1B E ⊥1A B ，这与1A B ⊥1AB 矛盾，所以①错误；对于②，因为平面1B EF 与平面1111D C B A 相交，设交线为l ，则在平面1111D C B A 内与l 平行的直线平行于平面1B EF ，故②正确；对于③，以D 点为坐标原点，以DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴，建立空间坐标系，则平面ABCD 的法向量为(0,0,1)m = 而平面1B EF 的法向量n ，随着F 位置变化，故平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置有关，故③错误；对于④，三棱锥1B B EF -的体积即为三棱锥1F BB E -，因为1DD ∥平面11ABB A ，所以，当F 在线段1DD 上移动时，F 到平面11ABB A 的距离不变，故三棱锥1B B EF -的体积与点F 的位置无关，即④正确．故选：D ．8．已知正三棱锥A BCF -和正四棱锥A BCDE -的所有棱长均为2，如图将三棱锥A BCF -的一个面和正四棱锥A BCDE -的一个侧面重合在一起，得到一个新几何体，则下列关于该新几何体说法不正确的是（）A ．//AF CDB ．AF D E ⊥C ．新几何体为三棱柱D ．正四棱锥A BCDE -的内切球半径为22-【答案】D 【解析】取BC 的中点M ，DE 的中点N ，连AM 、FM 、MN 、AN ，如图：因为正三棱锥A BCF -和正四棱锥A BCDE -的所有棱长都为2，所以BC FM ⊥，BC AM ⊥，AN DE ⊥，又FM AM M = ，所以BC ⊥平面AMF ，因为//BC DE ，所以BC AN ⊥，因为AM AN A = ，所以BC ⊥平面AMN ，所以平面AMF 与平面AMN 重合，因为2AF MN ==，3FM AN ==，所以四边形AFMN 为平行四边形，所以//AF MN ，又//MN CD ，所以//AF CD ，故A 正确；因为CD DE ⊥，所以AF D E ⊥，故B 正确；因为//AF CD ，AF CD =，所以四边形AFCD 为平行四边形，同理得四边形AFBE 也为平行四边形，所以CF //AD ，因为CF ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以//CF 平面ADE ，同理得//BF 平面ADE ，因为CF BF F = ，所以平面//BCF 平面ADE ，又////AF CD BE ，根据棱柱的定义可得该新几何体为三棱柱，故C 正确；设正四棱锥A BCDE -的内切球半径为R ，因为正四棱锥A BCDE -的高为222(2)2-=，由22211322(422)334R ⨯⨯=⨯⨯+得622R -=，故D 不正确.故选：D.二、多选题9．如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列结论中正确的是（）A ．三棱锥11A PB D -的体积不变B ．//DP 平面11AB D C ．11A P BD ⊥D ．平面1ACP ⊥平面PBD 【答案】ABD【解析】对于A ，11AB D 的面积是定值，11//AD BC ，1AD ⊂平面11AB D ，1BC ⊄平面11AB D ，∴1//BC 平面11AB D ，故P 到平面11AB D 的距离为定值，∴三棱锥11P AB D -的体积是定值，即三棱锥11A PB D -的体积不变，故A 正确；对于B ，111111111/,,///,AD BC B D BD AD B D D BC BD B ⋂=⋂= ，∴平面11//AB D 平面1BDC ，DP ⊂ 平面1BDC ，//DP ∴平面11AB D ，故B 正确；对于C ，以1D 为原点，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 在1BC 上，故可设(,2,),02P a a a ，则11(2,0,0),(2,2,2),(0,0,0)A B D ，1(2,2,)A P a a =- ，1(2,2,2)BD =--- ，则()1122424A P BD a a a ⋅=----=- 不一定为0，1A P ∴和1BD 不垂直，故C 错误；对于D ，设(,2,),02P a a a，则11(2,0,0),(0,2,2),(2,2,2),(0,0,0),(0,0,2)A C B D D ，1(2,2,)A P a a =- ，1(2,2,2)A C =- ，(,2,2)DP a a =- ，(2,2,0)DB =，设平面平面1ACP 的法向量(,,)n x y z =，则11(2)202220n A P a x y az n A C x y z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x =，得221,,22a a n a a -⎛⎫= ⎪--⎝⎭ ，设平面PBD 的法向量(,,)m a b c = ，则20220m DP ax y az m DB x y ⎧⋅=+-=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得()1,1,1m =-- ，221022a a m n a a-⋅=--=-- .∴平面1ACP 和平面PBD 垂直，故D 正确.故选：ABD.10．如图所示，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．1AP DC ⋅u u u r u u u u r 不是定值C ．三棱锥11BD PC -的体积为定值D ．11DC D P⊥【答案】ACD 【解析】A.因为是正方体，所以11D A ⊥平面1A AP ，11D A ⊂平面11D A P ，所以平面11D A P ⊥平面1A AP ，所以A 正确；B.11111111()AP DC AA A P DC AA DC A P DC ⋅=+⋅=⋅+⋅ 11112cos 45cos 901212AA DC A P DC =+=⨯⨯= ，故11AP DC ⋅= ，故B 不正确；C.1111B D PC P B D C V V --=，11B D C 的面积是定值，1//A B 平面11B D C ，点P 在线段1A B 上的动点，所以点P 到平面11B D C 的距离是定值，所以1111B D PC P B D C V V --=是定值，故C 正确；D.111DC A D ⊥，11DC A B ⊥，1111A D A B A = ，所以1DC ⊥平面11A D P ，1D P ⊂平面11A D P ，所以11DC D P ⊥，故D 正确.故选：ACD11．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取30θ=︒，侧棱长为21米，则（）A ．正四棱锥的底面边长为6米B ．正四棱锥的底面边长为3米C ．正四棱锥的侧面积为243平方米D ．正四棱锥的侧面积为123平方米【答案】AC 【解析】如图，在正四棱锥S ABCD -中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为AB 的中点，则SH AB ⊥，设底面边长为2a ．因为30SHO ∠=︒，所以323,,33OH AH a OS a SH a ====．在Rt SAH 中，2223213a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3a =，底面边长为6米，162342432S =⨯⨯⨯=平方米．故选：AC.12．正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为4，已知1AC ⊥平面α，1AC β⊂，则关于α､β截此正方体所得截面的判断正确的是（）A ．α截得的截面形状可能为正三角形B ．1AA 与截面α所成角的余弦值为63C ．α截得的截面形状可能为正六边形D ．β截得的截面形状可能为正方形【答案】ABC【解析】如图因为正方体1111ABCD A B C D -∴AC BD ⊥，1BD CC ⊥，又∵1AC CC C = ∴BD ⊥平面11ACC A 又∵1AC ⊂平面11ACC A ∴1AC BD⊥同理：11AC A D⊥又∵1A D BD D⋂=∴1AC ⊥平面1A BD∴平面α可以是平面1A BD ，又因为11A D BD A B ==∴1A BD 为等边三角形，故A 正确取111111,,,,,A D D D CD CB BB A B 的中点,,,,,E G P K H F 并依次连接易知11=2EG A D ∥，因为EG ⊄平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ∴=EG ∥平面1A BD同理：GP 平面1A BD又因为EG GP G = 且EG ⊂平面EGPKHF ，GP ⊂平面EGPKHF∴平面EGPKHF ∥平面1A BD∴平面α可以是平面EGPKHF∵=EG GP PK KH HF FE====∴六边形EGPKHF 是正六边形，故C 正确以平面α是平面1A BD 为例计算：设A 到平面1A BD 的距离为h 等体积法求距离∵11A A BD A ABD V V --=，∴111133A BD ABD h S AA S ⋅⋅=⋅⋅ 又因为113=4242=8322A BD S ⨯⨯⨯ ，1=44=82ABD S ⨯⨯ ∴43=3h 则1AA 与平面1A BD 所成角的正弦值为13=3h AA ∴余弦值等于63，故B 正确对于D 选项：由于直线1AC β⊂，在正方体上任取点但异于1,A C ，与1,A C 可构成平面β，但是截面的形状都不是正方形，故D 错误故选：ABC三、填空题13．如图，已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C上运动，给出下列结论：①异面直线AP 与1DD 所成的角范围为ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②平面1PBD ⊥平面11AC D ；③点P 到平面11AC D 的距离为定值233；④存在一点P ，使得直线AP 与平面11BCC B 所成的角为π3.其中正确的结论是___________.【答案】②③【解析】对于①，当P 在C 点时，1DD AC ⊥，异面直线AC 与1DD 所成的角最大为π2，当P 在1B 点时，异面直线1AB 与1DD 所成的角最小为1π4D DC =∠，所以异面直线AP 与1DD 所成的角的范围为ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故①错误；对于②，如图，因为1111111111111,,,,AC B D AC B B B D B B B D B B ⊥⊥⊂ 平面1BB D ,所以111A C BD ⊥,同理11DC BD ⊥,又因为1111111,,AC DC C AC DC =⊂ 平面11DA C ,所以1BD ⊥平面11AC D ，所以平面1PBD ⊥平面11AC D ，故②正确；对于③，因为11//,B C A D 1B C ⊄平面11AC D ,1A D ⊂平面11ACD ,所以1//B C 平面11AC D ，所以点P 到平面11AC D 的距离为定值，且等于1BD 的13，即233，故③正确；对于④，直线AP 与平面11BCC B 所成的角为APB ∠，tan AB APB BP ∠=，当1BP B C ⊥时，BP 最小，tan APB ∠最大，最大值为π2tan 3<，故④不正确，故答案为：②③.14．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，123AA =.若M 是侧面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 与平面11BCC B 所成角的正切值的最大值为___________.【答案】2.【解析】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，设点(),4,M m n ，则()()()14,0,0,0,4,0,4,4,23A C B ，()(),0,,4,4,CM m n AM m n ∴==- ，又AM MC ⊥，得2240,AM CM m m n ⋅=-+= 即()2224m n -+=；又11A B ⊥平面11BCC B ，11A MB ∴∠为1A M 与平面11BCC B 所成角，令[]22cos ,2sin ,0,m n θθθπ=+=∈，()()()()1111221224tan 423442cos 22sin 232016sin 6A B A MB B Mm n πθθθ∴∠==-+-==⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭∴当3πθ=时，11tan A MB ∠最大，即1A M 与平面11BCC B 所成角的正切值的最大值为2.故答案为：215．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．【答案】402π【解析】因为母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，所以母线SA ，SB 所成角的正弦值为158，因为SAB △的面积为515，设母线长为,l 所以221155158028l l ⨯⨯=∴=，因为SA 与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为π2cos,42l l =因此圆锥的侧面积为22ππ402π.2rl l ==16．如图，把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使A 、C 的距离为a ，则异面直线AC 与BD 的距离为______．【答案】2a ##12a ##0.5a 【解析】分别取AC 、BD 的中点S 、E ，连接AE 、CE 、SB 、SD 、SE .AE BD CE BD ⊥⊥，，又AE CE E =I ，则BD ⊥平面ACE ，则SE BD⊥AC SD AC SB ⊥⊥，，又SD SB S ⋂=，则AC ⊥平面SBD ，则SE AC ⊥则SE 是异面直线AC 与BD 的公垂线段△SBD 中，32SB SD a ==，2BD a =，则22321222SE a a a ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则异面直线AC 与BD 的距离为2a 故答案为：2a 四、解答题17．如图长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA=，点E 为1DD 的中点.（1）求证：1//BD 平面ACE ；（2）求证：1EB ⊥平面ACE ；（3）求二面角1--A CE C 的余弦值.【解析】（1）连接BD 交AC 与点O ，连接OE四边形ABCD 为正方形，∴点O 为BD 的中点又点E 为1DD 的中点，∴1//OE BD OE ⊂ 平面ACE ，1BD ⊄平面ACE1//BD ∴平面ACE（2）连接11, B O AB 由勾股定理可知222121132EB ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，222111322222B O ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221162222OE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则22211B O OE EB =+1EB OE∴⊥同理可证22211B E AE AB +=，1EB AE ∴⊥,,AE OE E AE OE ⋂=⊂平面ACE1EB ∴⊥平面ACE（3）建立如下图所示的空间直角坐标系11(1,0,0),(0,1,0)(0,0,1)(0,1,2),(1,1,,,2)A C E C B 显然平面1CC E 的法向量即为平面yDz 的法向量，不妨设为(1,0,0)m = 由（2）可知1EB ⊥平面ACE ，即平面ACE 的法向量为1(1,1,1)n EB == 3cos ,||3m n m n m n ⋅==⋅ 又二面角1--A CE C 是钝角∴二面角1--A CE C 的余弦值为33-18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD △是等腰直角三角形，90DPA ∠=︒，底面ABCD 是直角梯形，其中AB AD ⊥，2AD =，3AB =，1BC =，3PB =，（1）证明：PC ⊥平面PAD ；（2）求二面角D PB C --的正切值．【解析】（1）取AD 中点O ，连接,CO PO ，因为PAD △为等腰直角三角形，且90DPA ∠=︒，所以PO AD ⊥且112PO AO DO AD ====，因为//AD BC ，所以BC PO ⊥，又因为//,1BC AO BC AO ==，且AB AD ⊥，所以四边形BCOA 为矩形，所以BC OC ⊥，且OC OP O = ，所以BC ⊥平面POC ，所以BC PC ⊥，所以AD PC⊥则222PC PB BC =-=，222PD PO DO =+=，222CD CO DO =+=，所以2224PC PD CD +==，所以PC PD ⊥，又因为AD PC ⊥且PD AD D ⋂=，所以PC ⊥平面PAD ；（2）记DB CO E = ，取PC 中点F ，连接EF ，过点F 作FG PB ⊥交PB 于G 点，连接EG ，BO ，因为//,1DO BC DO BC ==，所以四边形DOBC 是平行四边形，所以E 为CO 中点，又因为F 为PC 中点，所以11//,22EF PO EF PO ==，因为PC ⊥平面PAD ，所以PC PO ⊥，又因为PO AD ⊥，所以PO BC ⊥且PC BC C ⋂=，所以PO ⊥平面PBC ，所以EF ⊥平面PBC ，所以EF PB ⊥，又因为FG PB ⊥，且FG EF F = ，所以PB ⊥平面EFG ，所以PB EG ⊥，所以二面角D PB C --的平面角为EGF ∠，因为sin BC FG CPB PB PF ∠==，所以1=322FG ，所以66FG =，又因为EF FG ⊥，所以166tan 226EF EGF FG ∠==⨯=.19．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，M 是圆周上任意一点，AN ⊥PM ，垂足为N ,AE ⊥PB ，垂足为E .（1）求证：平面PAM ⊥平面PBM .（2）求证：AEN ∠是二面角A-PB-M 的平面角.【解析】（1）因为PA 垂直于圆O 所在的平面，所以PA BM ⊥，又AMB ∠为直径所对的圆周角，所以BM AM ⊥，而PA AM A = ，故BM ⊥面PAM ，而BM ⊂面PBM ，所以平面PAM ⊥平面PBM .（2）由（1）知，BM ⊥面PAM ，所以BM AN ⊥，而AN PM ⊥，所以AN ⊥面PMB ，即有AN PB ⊥，又AE PB ⊥，所以PB ⊥面AEN ，由此可得PB EN ⊥，而AE PB ⊥，根据二面角的定义可知，AEN ∠是二面角A-PB-M 的平面角．20．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C 为长方形，11AA=，2AB BC ==，120ABC ∠= ，AM CM =.(1)求证：平面11AA C C ⊥平面1C MB ；(2)求直线1A B 和平面1C MB 所成角的正弦值；(3)在线段1A B 上是否存在一点T ，使得点T 到直线1MC 的距离是133，若存在求1AT 的长，不存在说明理由.【解析】(1)由于,AB BC AM CM ==，所以BM AC ⊥，根据直三棱柱的性质可知1BM AA ⊥，由于1AC AA A =∩，所以BM ⊥平面11AAC C ，由于BM ⊂平面1C MB ，所以平面11AA C C ⊥平面1C MB .(2)设N 是11A C 的中点，连接MN ，则1//MN AA ，MA ，MB ，MN ，两两相互垂直.以M为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，11(3,0,1),(0,1,0),(3,0,1)A B C -，1(3,1,1)A B =-- ，设平面1C MB 的法向量为(,,)n x y z = ，则1030n MB y n MC x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x =，可得(1,0,3)n = ，设直线1A B 和平面1C MB 所成角为θ，则112315sin 525||n A B n A B θ⋅===⋅⋅ ；(3)设11(3,,)((0,1))AT A B λλλλλ==--∈ ，则(33,,1)MT λλλ=-- ，过T 作1TH MC H ⊥=，则|1|MH λ=-，∵222d MH MT +=，∴222213(1)(33)(1)9λλλλ+-=-++-，∴2182770λλ-+=，∴13λ=或76λ=（舍）∴153AT =.21．如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，BD DC ⊥，点E 是BC 的中点．将ABD △沿BD 折起，使AB AC ⊥，连接AE 、AC 、DE ，得到三棱锥A BCD -．(1)求证：平面ABD ⊥平面BCD ；(2)若1AD =，二面角B AD E --的大小为60°，求三棱锥A BCD -的体积．【解析】(1)AB AC ⊥，AB AD ⊥，AC AD A = ，故AB ⊥平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，故AB CD ⊥，BD DC ⊥，AB BD B = ，故CD ⊥平面ABD ，CD ⊂平面BCD ，故平面ABD ⊥平面BCD .(2)如图所示：,F G 分别为,BD AD 的中点，连接,,EF FG GE ，,E F 分别为,BC BD 中点，故EF CD ∥，CD ⊥平面ABD ，故EF ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，故AD EF ⊥.,G F 分别为,AD BD 中点，故FG AB P ，AB AD ⊥，故FG AD ⊥，EF FG E ⋂=，故AD ⊥平面EFG ，故EGF ∠为二面角B AD E --的平面角，即60EGF ∠=︒，设FG a =，则2AB a =，3EF a =，2GE a =，23CD a =，241BD a =+，2161BC a =+，根据BCD △的等面积法：2223412161a a a a ⨯+=⨯+，解得22a =.11132163263A BCD V AB AD CD -⎛⎫=⨯⨯⋅⋅=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.22．在多面体ABCDEF 中，正方形ABCD 和矩形BDEF 互相垂直，G 、H 分别是DE 和BC 的中点，2AB BF ==．（1）求证：ED ⊥平面ABCD ．（2）在BC 边所在的直线上存在一点P ，使得//FP 平面AGH ，求FP 的长；【解析】（1）因为四边形BDEF 为矩形，则ED BD ⊥，因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面ABCD BD =，ED ⊂平面BDEF ，所以，ED ⊥平面ABCD ；（2）因为ED ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DE 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则()2,0,0A 、()0,0,1G 、()1,2,0H 、()2,2,2F ，设点(),2,0P a ，()2,0,2FP a =-- ，()2,0,1AG =- ，()1,2,0AH =- ，设平面AGH 的法向量为(),,n x y z = ，由2020n AG x z n AH x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩ ，令2x =，可得()2,1,4n = ，要使得//FP 平面AGH ，则FP n ⊥ ，所以，()2280FP n a ⋅=--= ，解得6a =，则()4,0,2FP =- ，此时，()22240225FP =++-= .。

数学课程讲义 学科：数学专题：直线平面垂直的判定及性质考点梳理1.直线与平面垂直的定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l ⊥α.直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足.（线线垂直→线面垂直）2.直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.（线线垂直→线面垂直）3.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.⎭⎬⎫⊥⊥ααb a ⇒ a ∥b （线面垂直→线线平行）4.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.lα m npαα⊥⇒⎭⎬⎫⊥l m l m 内任一直线是平面ααα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l P n m n m ,,,三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.金题精讲题一题面：用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b .其中真命题的序号是( )．A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④题二题面：设a 、b 、c 表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是( )．A. ⎭⎪⎬⎪⎫c ⊥αα∥β⇒c ⊥β B.⎭⎪⎬⎪⎫b ⊂β，a ⊥b c 是a 在β内的射影⇒b ⊥c C. ⎭⎪⎬⎪⎫b ∥c b ⊂αc ⊄α⇒c ∥αD. ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αb ⊥a ⇒b ⊥αPA O aα题三题面：如图，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．题四题面：如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求证:MN⊥面PCD.题五题面：如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,（1）求证：BD1⊥平面B1AC;（2）求B到平面B1AC的距离.题六题面：如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O 为AC的中点，PO⊥平面ABCD.证明：AD⊥平面P AC.课后练习注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.题一题面：已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列正确命题的序号是.①若m∥α，n∥α，则m∥n，②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β③若m∥α，m∥β，则α∥β，④若m⊥α，n⊥α，则m∥n题二题面：如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=2a，则它的5个面中，互相垂直的面有对.题三题面：a、b表示直线，α、β、γ表示平面.①若α∩β=a,b⊂α,a⊥b，则α⊥β;②若a⊂α,a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩γ=a, β∩γ=b,则a⊥b;④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线；⑤若a⊥α,b⊥β,a∥b,则α∥β.上述五个命题中，正确命题的序号是.题四2AC，∠BDC=90°. 题面：四面体ABCD中，AC=BD，E、F分别是AD、BC的中点，且EF=2求证：BD⊥平面ACD.题五题面：如图所示，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，M、N分别是AB、PC的中点.求证：MN⊥平面PCD.讲义参考答案金题精讲题一答案：C题二答案：D题三答案：4题四答案：略题五答案：（1）略（2）3a3题六答案：略课后练习题一答案：④详解：①如图：，直线m与n可以异面；②我们可以考虑墙角，两个平面都与第三个平面垂直，但这两个平面却相交；③如图：α，β是相交的；④是线面垂直的性质定理，正确。

直线、平面垂直的判定及其性质知识要点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足。

要点诠释：(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，注意区别。

(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式。

(3)若，则。

2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

符号语言：特征：线线垂直线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视。

(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要。

知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线。

过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

要点诠释：(1)直线与平面相交但不垂直，直线在平面的射影是一条直线。

(2)直线与平面垂直射影是点。

(3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。

(4)一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角。

知识点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或。

高二数学直线和平面垂直的判定和性质知识精讲人教版【基础知识精讲】1.直线与平面垂直的判定定义直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，叫做a垂直于α，记为a⊥α.注意把直线和平面的位置关系转化为直线和直线的关系.判定如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.m⊂α，n⊂α，m∩n＝A,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这一个平面.a∥b，a⊥α⇒b⊥α2.直线与平面垂直的性质定理性质如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.a⊥α，b⊥α⇒a∥b.是证明线线平行的又一种方法.3.点、直线和平面的距离点到平面的距离：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离.直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离.注意：一条直线上有两点到平面的距离相等时，这条直线可以和平面相交，利用直线和平面的距离可间接求两异面直线间的距离.4.平面的垂线、斜线、射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.一条直线和平面相交但不垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到该平面的斜线段.过斜足以外的点引平面的垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，垂足和斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影.从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短.5.直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，若直线垂直于平面，则成直角，若直线在平面内或平行于平面，我们规定为0°角，从而任意一条直线与平面成角θ的取值范围为［0°，90°］特别指出的是：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.6.三垂线定理及逆定理三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.必须弄清定理中一面四线：基础平面、平面的垂线、斜线及斜线在平面上的射影.它们有三种垂直关系：即垂线PA和平面α的垂直关系；射影AB和直线a的垂直关系；斜线PB和直线a 的垂直关系.a 在平面α内，但定理与a 在α的位置无关，因此要掌握a 在α的不同位置的情况.熟练掌握三垂线定理及其逆定理，善于在各种空间复杂的图形中找出符合三垂线定理的面以及该面的垂线，从而应用于证明线线垂直，计算点线距离、线面交角以及二面角的平面角等，并理解cos θ＝SS '的由来也能酌情加以应用.【重点难点解析】本课的重点是：线面垂直定义，判定定理及性质定理，应牢固掌握并熟练应用：直线与平面所成角及线面间距离，射影定理，三垂线定理及逆定理应能应用与掌握.线面垂直的定义及判定定理和性质定理的证明是本课的难点.学习本节注意体会反证法的证明思路.例1 已知矩形ABCD ，过A 作SA ⊥平面AC ，再过A 作AE ⊥SB 交SB 于E ，过E 作EF ⊥SC 交SC 于F(1)求证：AF ⊥SC(2)若平面AEF 交SD 于G ，求证：AG ⊥SD分析 如图，欲证AF ⊥SC ，只需证SC 垂直于AF 所在平面，即SC ⊥平面AEF ，由已知，欲证SC ⊥平面AEF ，只需证AE 垂直于SC 所在平面，即AE ⊥平面SBC ，再由已知只需证AE ⊥BC ，而要证AE ⊥BC ，只需证BC ⊥平面SAB ，而这可由已知得证证明 (1)∵SA ⊥平面AC ，BC ⊂平面AC ，∴SA ⊥BC ∵矩形ABCD ，∴AB ⊥BC ∴BC ⊥平面SAB∴BC ⊥AE 又SB ⊥AE ∴AE ⊥平面SBC ∴SC ⊥平面AEF ∴AF ⊥SC(2)∵SA ⊥平面AC ∴SA ⊥DC ，又AD ⊥DC ∴DC ⊥平面SAD ∴DC ⊥AG又由(1)有SC ⊥平面AEF ，AG ⊂平面AEF ∴SC ⊥AG ∴AG ⊥平面SDC ∴AG ⊥SD例2 已知四面体A —BCD ，AO 1⊥平面BCD ，且O 1为ΔBCD 的垂心.BO 2⊥平面ACD ，求证：O 2是ΔACD 的垂心.证明 如图所示，连结BO 1，AO 2，∵AO 1⊥平面BCD ，O 1为ΔBCD 的垂心， ∴BO 1⊥CD ，由三垂线定理得AB ⊥CD.又BO 2⊥平面ACD ，由三垂线逆定理得AO 2⊥CD. 同理连结DO 1，CO 2可证BC ⊥AD ，即CO 2⊥AD. ∴O 2是ΔACD 垂心.例3 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面三条对角线AB 1、BC 1、CA 1中，AB 1⊥BC 1.求证：AB 1⊥CA 1.证 方法1 如图，延长B 1C 1到D ，使C 1D ＝B 1C 1.连CD 、A 1D.因AB 1⊥BC 1，故AB 1⊥CD ；又B 1C 1＝A 1C 1＝C 1D ，故∠B 1A 1D ＝90°，于是DA 1⊥平面AA 1B 1B.故AB 1⊥平面A 1CD ，因此AB 1⊥A 1C.方法2 如图，取A 1B 1、AB 的中点D 1、P.连CP 、C 1D 1、A 1P 、D 1B ，易证C 1D 1⊥平面AA 1B 1B.由三垂线定理可得AB 1⊥BD 1，从而AB 1⊥A 1D.再由三垂线定理的逆定理即得AB 1⊥A 1C.说明 证明本题的关键是作辅助面和辅助线，证明线面垂直常采用下列方法： (1)利用线面垂直的定义；(2)证明直线垂直于平面内的两条相交直线； (3)证明直线平行于平面的垂线；(4)证明直线垂直于与这平面平行的另一平面.例4 已知：正三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AB ′⊥BC ′，BC ＝2，求：线段AB ′在侧面BB ′C ′C 上的射影长.解 如图，取BC 的中点D.∵AD ⊥BC ，侧面BCC ′B ′⊥底面ABC ，∴AD ⊥侧面B C BC ''， B ′D 是斜线AB ′在侧面的射影.又∵AB ′⊥BC ′，∴B ′D ⊥BC ′.设BB ′＝x ，在Rt ΔB ′BD 中，BE ∶BD ＝BB ′∶B ′D ，B ′D ＝21x +. ∵E 是ΔBB ′C 的重心.∴BE ＝31BC ′,＝3124x +∴x ＝3121x +·42+x ，解得：x ＝2. ∴线段AB ′在侧面的射影长为2.例5 平面α外一点A 在平面α内的射影是A ′，BC 在平面内，∠ABA ′＝θ，∠A ′BC ＝β，∠ABC ＝γ，求证:cos γ＝cos θ·cos β.证明 过A ′作A ′C ′⊥BC 于C ′，连AC ′.∵AA ′⊥平面α，BC 垂直AC 在平面α内的射线A ′C ′.∴BC ′⊥AC ′，cos γ＝ABC B '.又∵cos θ＝AB B A ',cos β＝BA CB ''，∴cos γ＝cos θ·cos β.例6 ΔABC 在平面α内的射影是ΔA ′B ′C ′，它们的面积分别是S 、S ′，若ΔABC 所在平面与平面α所成二面角的大小为θ(0＜θ＜90°)，则S ′＝S ·cos θ.略证 (1)如图(1)，当BC 在平面α内，过A ′作A ′D ⊥BC ，垂足为D.∵AA ′⊥平面α，AD 在平面α内的射影A ′D 垂直BC. ∴AD ⊥BC.∴∠ADA ′＝θ. 又S ′＝21A ′D ·BC ，S ＝21AD ·BC ，cos θ＝AD D A ',∴S ′＝S ·cos θ.(2)如图(2)，当B 、C 两点均不在平面α内或只有一点(如C)在平面α内，可运用(1)的结论证明S ′＝S ·cos θ.【难题巧解点拨】例1 求证：端点分别在两条异面直线a 和b 上的动线段AB 的中点共面.证明 如图，设异面直线a 、b 的公垂线段是PQ ，PQ 的中点是M ，过M 作平面α，使PQ ⊥平面α，且和AB 交于R ，连结AQ ，交平面α于N.连结MN 、NR.∵PQ ⊥平面α，MN ⊂α，∴PQ ⊥MN.在平面APQ 内，PQ ⊥a,PQ ⊥MN,∴MN ∥a,a ∥α，又∵PM ＝MQ ，∴AN ＝NQ ，同理可证NR ∥b,RA ＝RB.即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内.例2 如图，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA 1＝6，M 是CC 1的中点，求证：AB 1⊥A 1M.分析：不难看出B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，AC 1是AB 1在平面AA 1C 1C 上的射影.欲证A 1M ⊥AB 1，只要能证A 1M ⊥AC 1就可以了.证：连AC 1，在直角ΔABC 中，BC ＝1，∠BAC ＝30°，∴ AC ＝A 1C 1＝3. 设∠AC 1A 1＝α，∠MA 1C 1＝β ∴ tan α＝111C A AA ＝36＝2, tg β＝111C A MC ＝326＝22.∵cot(α+β)＝βαβαtan tan tan tan 1+-＝22211+-＝0,∴α+β＝90° 即AC 1⊥A 1M.∵B 1C 1⊥C 1A 1，CC 1⊥B 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AA 1CC 1， AC 1是AB 1在平面AA 1C 1C 上的射影.∵AC 1⊥A 1M ，∴由三垂线定理得A 1M ⊥AB 1.评注：本题在证AC 1⊥A 1M 时，主要是利用三角函数，证α+β＝90°，与常见的其他题目不太相同.例3 矩形ABCD ，AB ＝2，AD ＝3，沿BD 把ΔBCD 折起，使C 点在平面ABD 上的射影恰好落在AD 上.(1)求证：CD ⊥AB ；(2)求CD 与平面ABD 所成角的余弦值.(1)证明 如图所示，∵CM ⊥面ABD ，AD ⊥AB ， ∴CD ⊥AB(2)解：∵CM ⊥面ABC∴∠CDM 为CD 与平面ABD 所成的角，cos ∠CDM ＝CDDM作CN ⊥BD 于N ，连接MN ，则MN ⊥BD.在折叠前的矩形ABCD 图上可得 DM ∶CD ＝CD ∶CA ＝AB ∶AD ＝2∶3. ∴CD 与平面ABD 所成角的余弦值为32 例4 空间四边形PABC 中，PA 、PB 、PC 两两相互垂直，∠PBA ＝45°，∠PBC ＝60°，M 为AB 的中点.(1)求BC 与平面PAB 所成的角；(2)求证：AB ⊥平面PMC.分析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路. 解 ∵ PA ⊥AB ，∴∠APB ＝90°在Rt ΔAPB 中，∵∠ABP ＝45°，设PA ＝a ， 则PB ＝a,AB ＝2a,∵PB ⊥PC ，在Rt ΔPBC 中， ∵∠PBC ＝60°,PB ＝a.∴BC ＝2a,PC ＝3a.∵AP ⊥PC ∴在Rt ΔAPC 中，AC ＝22PC PA +＝22)3(a a +＝2a(1)∵PC ⊥PA,PC ⊥PB,∴PC ⊥平面PAB ， ∴BC 在平面PBC 上的射影是BP. ∠CBP 是CB 与平面PAB 所成的角∵∠PBC ＝60°，∴BC 与平面PBA 的角为60°. (2)由上知，PA ＝PB ＝a,AC ＝AB ＝2a. ∴M 为AB 的中点，则AB ⊥PM ，AB ⊥CM. ∴AB ⊥平面PCM.说明 要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.例5 在空间四边形ABCP 中，PA ⊥PC ，PB ⊥BC ，AC ⊥BC.PA 、PB 与平面ABC 所成角分别为30°和45°，(1)直线PC 与AB 能否垂直?证明你的结论；(2)若点P 到平面ABC 的距离为h ，求点P 到直线AB 的距离.分析：主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系的综合应用及线面角，点面间距离等概念应用，空间想象力及推理能力.解 (1)AB 与PC 不能垂直，证明如下：假设PC ⊥AB ，作PH ⊥平面ABC 于H ，则HC 是PC 在平面ABC 的射影，∴HC ⊥AB ，∵PA 、PB 在平面ABC 的射影分别为HB 、HA ，PB ⊥BC ，PA ⊥AC.∴BH ⊥BC ，AH ⊥AC∵AC ⊥BC ，∴平行四边形ACBH 为矩形. ∵HC ⊥AB ，∴ACBH 为正方形. ∴HB ＝HA∵PH ⊥平面ACBH.∴ΔPHB ≌ΔPHA.∴∠PBH ＝∠PAH ，且PB ，PA 与平面ABC 所成角分别为∠PBH ，∠PAH.由已知∠PBH ＝ 45，∠PAH ＝30°，与∠PBH ＝∠PAH 矛盾. ∴PC 不垂直于AB.(2)由已知有PH ＝h,∴∠PBH ＝45°∴BH ＝PH ＝h.∵∠PAH ＝30°，∴HA ＝3h.∴矩形ACBH 中，AB ＝22HA BH +＝22)3(h h +＝2h.作HE ⊥AB 于E ，∴HE ＝AB HA HB ⋅＝h h g 23⋅＝23h. ∵PH ⊥平面ACBH ，HE ⊥AB ，由三垂线定理有PE ⊥AB ，∴PE 是点P 到AB 的距离. 在Rt ΔPHE 中，PE ＝22HE PH +＝22)23(h h +＝27h. 即点P 到AB 距离为27h. 评析：此题属开放型命题，处理此类问题的方法是先假设结论成立，然后“执果索因”，作推理分析，导出矛盾的就否定结论(反证法)，导不出矛盾的，就说明与条件相容，可采用演绎法进行推理，此题(1)属于反证法.例6 平面α内有一个半圆，直径AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ，连SM 、SB 且N ，H 分别是A 在SM ，SB 上的射影.(1)求证：NH ⊥SB.(2)这个图形中有多少个线面垂直关系?(3)这个图形中有多少个直角三角形?(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线?分析：此题主要考查直线与直线，直线与平面的垂直关系及论证，空间想象力.解 (1)连AM ，BM.∵AB 为已知圆的直径，如图所示. ∴AM ⊥BM ，∵SA ⊥平面α，MB ⊂α， ∴SA ⊥MB.∵AM ∩SA ＝A ，∴BM ⊥平面SAM. ∵AN 平面SAM ， ∴BM ⊥AN.∵AN ⊥SM 于N ，BM ∩SM ＝M ， ∴AN ⊥平面SMB.∵AH ⊥SB 于H ，且NH 是AH 在平面SMB 的射影 ∴NH ⊥SB.(2)由(1)知，SA ⊥平面AMB ，BM ⊥平面SAM.AN ⊥平面SMB. ∵SB ⊥AH 且SB ⊥HN. ∴SB ⊥平面ANH.∴图中共有4个线面垂直关系 (3)∵SA ⊥平面AMB ，∴ΔSAB ，ΔSAM 均为直角三角形.∵BM ⊥平面SAM ，∴ΔBMA ，ΔBMS 均为直角三角形.∵AN ⊥平面SMB.∴ΔANS 、ΔANM 、ΔANH 均为直角三角形.∵SB ⊥平面AHN. ∴ΔSHA 、ΔBHA 、ΔSHN 、ΔBHN 均为直角三角形 综上所述，图中共有11个直角三角形.(4)由SA ⊥平面AMB 知：SA ⊥AM ，SA ⊥AB ，SA ⊥BM ； 由BM ⊥平面SAM 知：BM ⊥AM ，BM ⊥SM ，BM ⊥AN ； 由AN ⊥平面SMB 知：AN ⊥SM ，AN ⊥SB ，AN ⊥NH ； 综上所述，图中有11对互相垂直的直线.例7 如图，在棱长为a 的正方体AC 1中，M 是CC 1的中点，点E 在AD 上，且AE ＝31AD ，F 在AB 上，且AF ＝31AB ，求点B 到平面MEF 的距离.解法一：设AC 与BD 交于O 点，EF 与AC 交于R 点，由于EF ∥BD 所以将B 点到面MEF 的距离转化为O 点到面MRC ⊥面MEF ，而MR 是交线，所以作OH ⊥MR ，是OH ⊥面MEF ，OH 即为所求.∵OH ·MR ＝OR ·MC ，∴OH ＝59118a. 解法二：考察三棱锥B —MEF ，由V B-MEF ＝V M-BEF ，即31·h ·2EF ·MR ＝31MC ·BF ·AE 可得h.点评 求点面的距离一般有三种方法：①利用垂直面；②转化为线面距离再用垂直面；③当垂足位置不易确定时，可考虑利用体积法求距离.例8 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求A 1C 1和平面AB 1C 间的距离. 解法1 如图所示，A 1C 1∥平面AB 1C ，又平面BB 1DD 1⊥平面AB 1C. 故若过O 1作O 1E ⊥OB 1于E ，则OE 1⊥平面AB 1C ，O 1E 为所求的距离 由O 1E ·OB 1＝O 1B 1·OO 1， 可得：O 1E ＝33a解法2：转化为求C 1到平面AB 1C 的距离，也就是求三棱锥C 1—AB 1C 的高h. 由 V C AB C 11-＝V 11CC B A -，可得h ＝33a. 解法3 因平面AB 1C ∥平面C 1DA 1，它们间的距离即为所求，连BD 1，分别交B 1O 、DO 1与F 、G(图中未画出)。

直线、平面垂直的判定及其性质知识要点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足。

要点诠释：(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，注意区别。

(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式。

(3)若，则。

2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

符号语言：特征：线线垂直线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视。

(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要。

知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线。

过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

要点诠释：(1)直线与平面相交但不垂直，直线在平面的射影是一条直线。

(2)直线与平面垂直射影是点。

(3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。

(4)一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角。

知识点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或。

直线、平面垂直的判定与性质讲义（2）课前双击巩固1.直线与平面垂直(1)定义:如果直线l与平面α内的都垂直,就称直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫作平面α的,平面α叫作直线l的.(2)直线与平面垂直的判定与性质类别语言表述图形表示符号表示应用判定根据定义,证明一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线b是平面α内任意一条直线,b⊂α,a⊥b}⇒a⊥α证明直线和平面垂直一条直线与一个平面内的都垂直,则该直线与此平面垂直a,b⊂α,a⋂b=O,l⊥a,l⊥b}⇒l⊥α如果两条平行直线中的垂直于一个平面,那么也垂直于同一个平面a⊥α,a∥b}⇒b⊥α性质如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内的都垂直b⊂α,a⊥α}⇒a⊥b 证明两条直线垂直垂直于同一个的两条直线平行a⊥α,b⊥α}⇒a∥b 证明两条直线平行2.两个平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.(2)两个平面垂直的判定和性质类别语言表述图形表示符号表示应用判 定 根据定义,证明两平面所成的二面角是∠AOB 是二面角α-l-β的平面角,且 ,则α⊥β证明 两平 面垂 直如果一个平面经过另一个平面的一条 ,那么这两个平面互相垂直l ⊂β,l ⊥α}⇒α⊥β 性 质如果两个平面垂直,那么它们所成 是直角α⊥β,∠AOB 是二面角α-l-β的平面角,则证明两条 直线 垂直 如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们 的直线垂直于α⊥β,l ⊂β,α⋂β=a,l ⊥a }⇒l ⊥α证明 直线 与平 面垂 直常用结论1.与线面垂直相关的两个常用结论:(1)两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直;(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个平面也垂直.2.三种垂直关系的转化:线线垂直线面垂直面面垂直题组一 常识题1.[教材改编] 已知直线a ,b 和平面α,且a ⊥α,b ∥α,则a 与b 的位置关系为 .2.[教材改编] 已知三棱锥P-ABC 的三条侧棱都相等,顶点P 在底面ABC 上的射影为O ,则O 是△ABC 的 心.3.[教材改编] 如图7-43-1所示,在三棱锥P-ABC 中,PA ⊥底面ABC ,∠BAC=90°,F 是AC 的中点,E 是PC 上的点,且EF ⊥BC ,则PEEC = .图7-43-14.[教材改编]如图7-43-2所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,平面ADC⊥平面.图7-43-2题组二常错题◆索引:忽略线面垂直的条件致误;忽视平面到空间的变化致误.5. “直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的条件.6.已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a与c的位置关系为.7.已知直线a和平面α,β,若α⊥β,a⊥β,则a与α的位置关系为.8.已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线n满足n⊥β,则n与l 的位置关系是.课堂考点探究探究点一垂直关系的基本问题1 (1)设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列四个说法中错误的是( )A.若a⊥b,a⊥α,b⊄α,则b∥αB.若a∥α,a⊥β,则α⊥βC.若a⊥β,α⊥β,则a∥αD.若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( )A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC[总结反思]解决空间中线面、面面垂直的问题有以下三种方法:(1)依据相关定理得出结论;(2)结合符合题意的模型(如构造正方体、长方体)作出判断;(3)否定命题时只需举一个反例即可.式题(1)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列四个说法中错误的是( )A.若m∥α,m∥β,α∩β=n,则m∥nB.若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥nC.若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=m,则m⊥αD.若α∥β,m∥α,则m∥β(2)若空间中四个不重合的平面α1,α2,α3,α4满足α1⊥α2,α2⊥α3,α3⊥α4,则下列结论一定正确的是( )A.α1⊥α4B.α1∥α4C.α1与α4既不垂直也不平行D.α1与α4的位置关系不确定探究点二线面垂直的判定与性质2在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,△PAD是等腰三角形,AB=2AD,E是AB 的一个三等分点(靠近点A),CE的延长线与DA的延长线交于点F,连接PF.证明:(1)CD⊥PF;(2)在线段PC,PD上可以分别找到两点A',A″,使得直线PC⊥平面AA'A″.图7-43-3[总结反思](1)解决直线与平面垂直问题的常用方法:①利用线面垂直的定义;②利用线面垂直的判定定理;③利用线面垂直的性质;④利用面面垂直的判定定理;⑤利用面面垂直的性质.(2)由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化,因此整个证明过程围绕着“线面垂直”这个核心展开,这是化解空间垂直关系问题难点的技巧所在.式题如图7-43-4所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥AC,AC=AA1,E,F分别是棱BC,CC1的中点.证明:(1)AB⊥平面AA1C1C;(2)EF⊥A1C.图7-43-4探究点三面面垂直的判定与性质3在四棱锥P -ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥CD,△PAD是等边三角形,已知AD=2,BD=2√3,AB=2CD=4.(1)设M是PC上一点,求证:平面MBD⊥平面PAD.(2)求四棱锥P -ABCD的体积.图7-43-5[总结反思](1)证明面面垂直的常用方法:①利用面面垂直的定义;②利用面面垂直的判定定理,转化为从现有直线中(或作辅助线)寻找平面的垂线,即证明线面垂直.(2)两个平面垂直问题,通常是通过“线线垂直→线面垂直→面面垂直”的过程来实现的.式题如图7-43-6,在三棱柱ABC - A1B1C1中,AC=AA1,AB=BC,∠AA1C1=60°,平面ABC1⊥平面AA1C1C.求证:BC1⊥平面AA1C1C.图7-43-6探究点四平行与垂直的综合问题考向1平行与垂直关系的证明4 如图7-43-7,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.图7-43-7[总结反思]处理空间图形中的平行与垂直问题,一般考虑判定定理和性质的应用,当满足相关定理的条件时,可直接使用相关定理得出结论.考向2探索性问题中的平行与垂直关系AD.5 如图7-43-8所示,在四棱锥P - ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=12(1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;(2)证明:平面PAB⊥平面PBD.图7-43-8[总结反思]处理空间中平行或垂直的探索性问题,一般是先根据条件猜测点或直线的位置再给出证明.点一般为中点或三等分点,直线一般为中位线.考向3折叠问题中的平行与垂直关系6 如图7-43-9(1)所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,AE⊥BD于点E(不同于点D),延长AE交BC于点F,将△ABD沿BD折起,得到三棱锥A1-BCD,如图(2)所示.(1)若M是FC的中点,求证:直线DM∥平面A1EF.(2)求证:BD⊥A1F.(3)若平面A1BD⊥平面BCD,试判断直线A1B与直线CD能否垂直?请说明理由.图7-43-9[总结反思]证明折叠问题中的平行与垂直,关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地,折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变,而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化.对于不变的关系可在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决.强化演练1.【考向1】在三棱锥S - ABC中,∠SBA=∠SCA=90°,△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形,给出以下结论:①异面直线SB与AC所成的角为90°;②直线SB⊥平面ABC;③平面SBC⊥平面ABC;a.④点C到平面SAB的距离是12其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.4图7-43-102.【考向1】对于四面体ABCD,给出下列四个说法:①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD;④若AB⊥CD,AC⊥BD,则BC⊥AD.其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.②④D.①④3.【考向3】如图7-43-11,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,翻折△ABD和△ACD,使得平面ABD⊥平面ACD.给出下列四个结论:①BD⊥AC;②△BAC是等边三角形;③三棱锥D - ABC是正三棱锥;④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的结论是( )图7-43-11A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④4.【考向2】如图7-43-12,在四棱锥P - ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,AB=1,∠,E为PD的中点,PA=1.ABC=π3(1)求证:PB∥平面AEC.(2)在棱PC上是否存在点M,使得直线PC⊥平面BMD?若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由.图7-43-12课时作业1.[2019昆明市高考模拟]已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,则“α∥β”是“l⊥m”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2. [2019河南八市重点高中联考]《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.在如图8 - 4 - 1所示的四棱锥P - ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,且PD=CD,点E,F 分别为PC,PD的中点,图8 - 4 - 1则图中的鳖臑有( )A.2个B.3个C.4个D.5个3.[2019辽宁五校联考]在正方体ABCD - A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则( )A.MN∥C1D1B.MN⊥BC1C.MN⊥平面ACD1D.MN⊥平面ACC14.[2020惠州市二调]如图8 - 4 - 2,AB为圆O的直径,点E,F 在圆O上,AB∥EF ,矩形ABCD所在平面和圆O所在平面互相垂直,已知AB=3,EF =1.(1)求证:平面DAF ⊥平面CBF .(2)设几何体F - ABCD,F - BCE的体积分别为V1,V2,求V1∶V2的值.图8 - 4 - 25.[2020安徽省示范高中名校联考]图8 - 4 - 3是由正方形ABCG,直角梯形ABED,三角形BCF 组成的一个平面图形,其中AB=2DE=2,BE=BF =CF =√3,将其沿AB,BC折起使得BE与BF 重合,连接DG,如图8 - 4 - 4.(1)证明:图8 - 4 - 4中的D,E,C,G四点共面,且平面ABD⊥平面DEC.(2)求图8 - 4 - 4中点A到平面BCE的距离.图8 - 4 - 3图8 - 4 - 46.[2019辽宁五校联考]在如图8 - 4 - 5所示的几何体中,DE∥AC,AC⊥平面BCD,AC=2DE=4,BC=2,DC=1,∠BCD=60°.(1)证明:BD⊥平面ACDE.(2)过点D作一平行于平面ABE的截面,画出该截面,说明理由,并求夹在该截面与平面ABE之间的几何体的体积.图8 - 4 - 5。

专题8.5 直线、平面垂直的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直． (2)判定定理与性质定理的两条相交直线都垂直，2.(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°. (3)范围：[0,]2π.3．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． (3)范围：[0，π]． 4．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理5.(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．【常考题型剖析】题型一：与线、面垂直相关命题的判定例1.（浙江·高考真题（理））下列命题中错误的是（ ） A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β例2.（2023·全国·高三专题练习）设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下面说法正确的是（ ）A ．若αβ⊥，αγ⊥，则//βγB ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥C ．若m α⊥，//m β，则αβ⊥D ．若//m n ，n ⊂α，则//m α例3.（江苏·高考真题）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）例4.(2019·北京高考)已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： . 【方法技巧】判定定理与性质定理的合理转化是证明垂直关系的基本思想；另外，在解题中要重视平面几何知识，特别是正、余弦定理及勾股定理的应用． 题型二：直线与平面垂直的判定与性质例5.（2021·浙江·高考真题）如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（ ）A ．直线1A D 与直线1DB 垂直，直线//MN 平面ABCDB ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC ．直线1AD 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCD D ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B例6.【多选题】（2021·全国·高考真题）如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是（ ）A ． B ．C ．D ．【总结提升】证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． 题型三：平面与平面垂直的判定与性质例8. （2022·江西·高三阶段练习（理））如图，在四面体ABCD 中，AB CD ⊥，1AB CD ==，BD =，BC AD == ）A ．2B ．3C ．4D ．5例9.（2021·全国·高考真题（文））如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积．例10. （2020·全国·高考真题（文））如图，已知三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN =π3，求四棱锥B –EB 1C 1F 的体积．【总结提升】1.在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式(如勾股定理)证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直．2.垂直关系的转化：3.判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)． 4．证面面垂直的思路(1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑． (2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理． 题型四：平行和垂直的综合问题例11.（2018·江苏·高考真题）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =,111AB B C ⊥． 求证：（1）11//AB A B C 平面； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面．例12.（2019·北京·高考真题（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面P AC ；（Ⅱ）若∠ABC =60°，求证：平面P AB ⊥平面P AE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面P AE ？说明理由.例13．（2020·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，M 为棱AC 的中点，AB BC =，2AC =，12AA =.(1)求证：1//B C 平面1A BM ； (2)求证：1AC ⊥平面1A BM ；(3)在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AAC C ？如果存在，求此时1BNBB 的值；如果不存在，请说明理由.例14.（2018·全国·高考真题（文））如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且23BP DQ DA==，求三棱锥Q ABP-的体积．【规律方法】1.对命题条件的探索的三种途径途径一：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明．途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．途径三：将几何问题转化为代数问题．2．解决平面图形翻折问题的关键是抓住“折痕”，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变”．(1)与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；(2)与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变．3.探索性问题(1)处理空间中平行或垂直的探索性问题，一般先根据条件猜测点的位置，再给出证明．探索点存在问题，点多为中点或n等分点中的某一个，需根据相关的知识确定点的位置．(2)利用向量法，设出点的坐标，结论变条件，求出点的坐标，并指明点的位置．专题8.5 直线、平面垂直的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直． (2)判定定理与性质定理的两条相交直线都垂直，2.(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°. (3)范围：[0,]2π.3．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(3)范围：[0，π]．4．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理5.(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．【常考题型剖析】题型一：与线、面垂直相关命题的判定例1.（浙江·高考真题（理））下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【答案】D【解析】【分析】利用面面垂直的性质定理和线面平行的判定定理证明A正确；利用面面垂直的判定定理证明B正确；利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明C正确；举反例可得D错误.【详解】对于A ，设平面α∩平面β=直线a , 设直线b α⊂，且b //a , 则显然直线b ⊄平面β，根据线面平行的判定定理可得直线b //β， 故A 正确；对于B ，如果α内存在直线与β平行，则由面面垂直的判定定理可知平面α⊥平面β， 与已知矛盾，故B 正确；对于C ，设平面α平面a =，平面β平面γb =, 在γ内作直线,m a n b ⊥⊥，由面面垂直的性质定理可得,m n αβ⊥⊥， 又∵直线,l l αβ⊂⊂,∴,m l n l ⊥⊥, 又∵α∩β＝l ，∴,m n 为相交直线， 又∵⊂m,n 平面γ，∴l ⊥平面γ， 故C 正确；平面α⊥平面β，设平面α∩平面βa =， 在平面α内与a 平行的直线都不与平面β垂直， 故 D 项错误． 故选:D.例2.（2023·全国·高三专题练习）设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下面说法正确的是（ ）A ．若αβ⊥，αγ⊥，则//βγB ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥C ．若m α⊥，//m β，则αβ⊥D ．若//m n ，n ⊂α，则//m α 【答案】C 【解析】【分析】由线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质、面面垂直的判定等判断各选项的正误.【详解】A ：由αβ⊥，αγ⊥，则//βγ或,βγ相交，错误；B ：由αβ⊥，//m α，则//m β或m β⊂或,m β相交，错误；C ：由//m β，则存在直线l β⊂且//l m ，而m α⊥则l α⊥，根据面面垂直的判定易知αβ⊥，正确；D ：由//m n ，n ⊂α，则//m α或m α⊂，错误.故选：C例3.（江苏·高考真题）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直.上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）【答案】（1）（2）【解析】【详解】由线面平行的判定定理知，（2）正确；相应地（1）可转化为一个平面内有两相交直线分别平行于另一个平面，所以这两个平面平行．直线与平面垂直必须直线与平面内两条相交直线垂直，所以（3）（4）都不正确. 例4.(2019·北京高考)已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .【答案】②③⇒①或①③⇒②【解析】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线，由①l ⊥m 与②m ∥α，不能推出③l ⊥α，因为l 可以与α平行，也可以相交不垂直；由①l ⊥m 与③l ⊥α能推出②m ∥α；由②m ∥α与③l ⊥α可以推出①l ⊥m .故正确的命题是②③⇒①或①③⇒②.【方法技巧】 判定定理与性质定理的合理转化是证明垂直关系的基本思想；另外，在解题中要重视平面几何知识，特别是正、余弦定理及勾股定理的应用．题型二：直线与平面垂直的判定与性质例5.（2021·浙江·高考真题）如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（ ）A ．直线1A D 与直线1DB 垂直，直线//MN 平面ABCDB ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC ．直线1AD 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B【答案】A【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证1//,MN AB A D ⊥平面1ABD ，即可得出结论.【详解】连1AD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1A D 的中点，所以M 为1AD 中点，又N 是1D B 的中点，所以//MN AB ，MN ⊄平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD .因为AB 不垂直BD ，所以MN 不垂直BD则MN 不垂直平面11BDD B ，所以选项B,D 不正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，11AD A D ⊥，AB ⊥平面11AA D D ，所以1AB A D ⊥，1AD AB A ⋂=，所以1A D ⊥平面1ABD ，1D B ⊂平面1ABD ，所以11A D D B ⊥，且直线11,A D D B 是异面直线，所以选项C 错误，选项A 正确.故选：A.例6.【多选题】（2021·全国·高考真题）如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BC【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC 的正误，平移直线MN 构造所考虑的线线角后可判断AD 的正误.【详解】 设正方体的棱长为2，对于A ，如图（1）所示，连接AC ，则//MN AC ，故POC ∠（或其补角）为异面直线,OP MN 所成的角，在直角三角形OPC ，OC 1CP =，故tanPOC ∠==， 故MN OP ⊥不成立，故A 错误.对于B ，如图（2）所示，取NT 的中点为Q ，连接PQ ，OQ ，则OQ NT ⊥，PQ MN ⊥，由正方体SBCM NADT -可得SN ⊥平面ANDT ，而OQ ⊂平面ANDT ，故SN OQ ⊥，而SN MN N =，故OQ ⊥平面SNTM ，又MN ⊂平面SNTM ，OQ MN ⊥，而OQ PQ Q =，所以MN ⊥平面OPQ ，而PO ⊂平面OPQ ，故MN OP ⊥，故B 正确.对于C ，如图（3），连接BD ，则//BD MN ，由B 的判断可得OP BD ⊥，故OP MN ⊥，故C 正确.对于D ，如图（4），取AD 的中点Q ，AB 的中点K ，连接,,,,AC PQ OQ PK OK ，则//AC MN ，因为DP PC =，故//PQ AC ，故//PQ MN ，所以QPO ∠或其补角为异面直线,PO MN 所成的角，因为正方体的棱长为2，故122PQ AC ==，22123OQ AO AQ =+=+=，PO 222QO PQ OP <+，故QPO ∠不是直角，故,PO MN 不垂直，故D 错误.故选：BC.例7.（2019·全国高考真题（文））已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC P 到平面ABC 的距离为___________．【解析】作,PD PE 分别垂直于,AC BC ，PO ⊥平面ABC ，连CO ，知,CD PD CD PO ⊥⊥，=PD OD P ， CD 平面PDO ，OD ⊂平面PDO ，CD OD ∴⊥PD PE ==∵，2PC =．sin sin PCE PCD ∴∠=∠=， 60PCB PCA ︒∴∠=∠=， PO CO ∴⊥，CO 为ACB ∠平分线，451,OCD OD CD OC ︒∴∠=∴===2PC =，PO ∴==【总结提升】证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．题型三：平面与平面垂直的判定与性质例8. （2022·江西·高三阶段练习（理））如图，在四面体ABCD 中，AB CD ⊥，1AB CD ==，BD =，BC AD == ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】【分析】分别证明出平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD ，平面ACD ⊥平面ABD ，即可得到答案.【详解】因为1AB =，BD =AD =所以222AB BD AD +=，所以AB BD ⊥.又AB CD ⊥，BD CD D ⋂=，BD ⊂平面BCD ,CD ⊂平面BCD .所以AB ⊥平面BCD .又AB 平面ABC ，AB 平面ABD ，所以平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD .因为1CD =，BD =，BC =所以222CD BD BC +=，所以CD BD ⊥.又CD AB ⊥，BD AB B ⋂=，BD ⊥平面ABD ，AB ⊥平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ，又CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面ABD ，综上可知有3对.故选:B.例9.（2021·全国·高考真题（文））如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2 【分析】（1）由PD ⊥底面ABCD 可得PD AM ⊥，又PB AM ⊥，由线面垂直的判定定理可得AM ⊥平面PBD ，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM ⊥平面PBD ；（2）由（1）可知，AM BD ⊥，由平面知识可知，~DAB ABM ，由相似比可求出AD ，再根据四棱锥P ABCD -的体积公式即可求出．【详解】（1）因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，所以PD AM ⊥，又PB AM ⊥，PB PD P =，所以AM ⊥平面PBD ，而AM ⊂平面PAM ，所以平面PAM ⊥平面PBD ．（2）由（1）可知，AM ⊥平面PBD ，所以AM BD ⊥，从而~DAB ABM ，设BM x =，2AD x =，则BM AB AB AD =，即221x =，解得x =AD = 因为PD ⊥底面ABCD ，故四棱锥P ABCD -的体积为(1113V =⨯⨯． 例10. （2020·全国·高考真题（文））如图，已知三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN =π3，求四棱锥B –EB 1C 1F 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）24.【解析】【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，只需证明EF ⊥平面1A AMN 即可；（2）根据已知条件求得11EB C F S 四边形和M 到PN 的距离，根据椎体体积公式，即可求得11B EB C F V -.【详解】（1）,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴又11//AA BB1//MN AA ∴在等边ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM ⊥ 又侧面11BB C C 为矩形，1BC BB ∴⊥1//MN BB MN BC ⊥由MN AM M ⋂=，,MN AM ⊂平面1A AMN ∴BC ⊥平面1A AMN 又11//B C BC ，且11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，11//B C ∴平面ABC 又11B C ⊂平面11EB C F ，且平面11EB C F ⋂平面ABC EF =11//B C EF ∴//EF BC ∴又BC ⊥平面1A AMN ∴EF ⊥平面1A AMNEF ⊂平面11EB C F∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN（2）过M 作PN 垂线，交点为H ，画出图形，如图//AO 平面11EB C FAO ⊂平面1A AMN ，平面1A AMN ⋂平面11EB C F NP =//AO NP ∴又//NO AP∴6AO NP ==O 为111A B C △的中心.∴1111sin 606sin 6033ON AC =︒=⨯⨯︒=故：ON AP ==3AM AP ==平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，平面11EB C F ⋂平面1A AMN NP =，MH ⊂平面1A AMN∴MH ⊥平面11EB C F 又在等边ABC 中EF AP BC AM=即2AP BC EF AM ⋅=== 由（1）知，四边形11EB C F 为梯形∴四边形11EB C F 的面积为：111126=62422EB C F EF B C S NP ++=⋅⨯=四边形 111113B EBC F EB C F V S h -∴=⋅四边形，h 为M 到PN 的距离sin 603MH =︒=， ∴1243243V =⨯⨯=. 【总结提升】1.在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式(如勾股定理)证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直．2.垂直关系的转化：3.判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．4．证面面垂直的思路(1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑．(2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理．题型四：平行和垂直的综合问题例11.（2018·江苏·高考真题）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =,111AB B C ⊥．求证：（1）11//AB A B C 平面；（2）111ABB A A BC ⊥平面平面．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB 1A 1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．-中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD为菱形，例12.（2019·北京·高考真题（文））如图，在四棱锥P ABCDE为CD的中点.（Ⅰ）求证：BD⊥平面P AC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面P AB⊥平面P AE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面P AE？说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)由几何体的空间结构特征首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理可得面面垂直；(Ⅲ)由题意，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可找到满足题意的点.【详解】（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA BD ⊥；因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥;因为PA AC A =,,PA AC ⊂平面PAC ,所以BD ⊥平面PAC .（Ⅱ）证明：因为底面ABCD 是菱形且60ABC ∠=︒，所以ACD ∆为正三角形，所以AE CD ⊥,因为//AB CD ,所以AE AB ⊥；因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ,所以AE PA ⊥；因为PA AB A =所以AE ⊥平面PAB ，AE ⊂平面PAE ,所以平面PAB ⊥平面PAE .（Ⅲ）存在点F 为PB 中点时，满足//CF 平面PAE ；理由如下:分别取,PB PA 的中点,F G ，连接,,CF FG EG ,在三角形PAB 中，//FG AB 且12FG AB =； 在菱形ABCD 中，E 为CD 中点，所以//CE AB 且12CE AB =，所以//CE FG 且CE FG =，即四边形CEGF 为平行四边形，所以//CF EG ;又CF ⊄平面PAE ，EG ⊂平面PAE ，所以//CF 平面PAE .例13．（2020·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，M 为棱AC 的中点，AB BC =，2AC =，1AA(1)求证：1//B C 平面1A BM ；(2)求证：1AC ⊥平面1A BM ；(3)在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AAC C ？如果存在，求此时1BN BB 的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)存在，112BN BB =. 【解析】【分析】（1）连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ，利用三角形中位线性质得到1//OM B C ，再利用线面平行的判定即可证.（2）应用线面垂直的性质、判定可得BM ⊥平面11ACC A ，从而得到1BM AC ⊥，根据11AC C A MA ∠=∠和111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=得到11A M AC ⊥，再利用线面垂直的判定即可证. （3）当点N 为1BB 的中点，设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN ，易证四边形BNDM 为平行四边形，从而得到//BM DN ，进而有DN ⊥平面11ACC A ，再利用面面垂直的判定即可证.(1)连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ，在1B AC △中M ，O 分别为AC ，1AB 的中点，所以1//OM B C ，又OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM ，所以1//B C 平面1A BM .(2)因为1AA ⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ，所以1AA BM ⊥.又M 为棱AC 的中点，AB BC =，所以BM AC ⊥.因为1AA AC A =，1AA ，AC ⊂平面11ACC A ， 所以BM ⊥平面11ACC A ，1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BM AC ⊥.因为2AC =，所以1AM =.又1AA =在1Rt ACC 和1Rt A AM中，11tan tan AC C AMA ∠=∠ 所以11AC C A MA ∠=∠，即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=，所以11A M AC ⊥，又1BMA M M =，BM ，1A M ⊂平面1A BM ，所以1AC ⊥平面1A BM .(3)当点N 为1BB 的中点，即112BN BB =时，平面1AC N ⊥平面11AAC C . 证明如下：设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN ，因为D ，M 分别为1AC ，AC 的中点，所以1//DM CC 且112DM CC =，又N 为1BB 的中点， 所以//DM BN 且DM BN =，所以四边形BNDM 为平行四边形，故//BM DN ，由（2）知：BM ⊥平面11ACC A ，所以DN ⊥平面11ACC A ，又DN ⊂平面1AC N ，所以平面1AC N ⊥平面11ACC A .例14.（2018·全国·高考真题（文））如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．【答案】(1)见解析.(2)1.【解析】【详解】分析：(1)首先根据题的条件，可以得到BAC ∠=90，即BA AC ⊥，再结合已知条件BA ⊥AD ，利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥平面ACD ，又因为AB ⊂平面ABC ，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD ⊥平面ABC ；(2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积.详解：（1）由已知可得，BAC ∠=90°，BA AC ⊥．又BA ⊥AD ，且ACAD A =，所以AB ⊥平面ACD ．又AB ⊂平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC ． （2）由已知可得，DC =CM =AB =3，DA =32．又23BP DQ DA ==，所以BP = 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE =13DC ． 由已知及（1）可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE =1．因此，三棱锥Q ABP -的体积为111131332Q ABP ABP V QE S -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=． 【规律方法】1.对命题条件的探索的三种途径途径一：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明．途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．途径三：将几何问题转化为代数问题．2．解决平面图形翻折问题的关键是抓住“折痕”，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变”．(1)与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；(2)与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变．3.探索性问题(1)处理空间中平行或垂直的探索性问题，一般先根据条件猜测点的位置，再给出证明．探索点存在问题，点多为中点或n 等分点中的某一个，需根据相关的知识确定点的位置．(2)利用向量法，设出点的坐标，结论变条件，求出点的坐标，并指明点的位置．。

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质一、直线和平面垂直的定义：如果一条直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直．．．．．．．．．，则称直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥平面α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。

注意：（1）定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同义语，但与“无数条直线”不．．．．．．．．同．；（2）直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式； （3）另两个结论：①过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；②过一点有且只一个平面与已知直线垂直。

二、直线和平面垂直的判定定理1、定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直．．．．．．．．．，那么这条直线就垂直于这个平面。

2、符号表示：ααα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l B n m m ,n ，注意：（1．）两条相交直线；（．．．．．．．．．2．）两条相交直线不能改成“两条直线”或“无数条直线”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

3、直线和平面垂直的性质：（．1．）如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．直于这个平面内的所有直线；（．．．．．．．．．．．．．．2．）如果两条直线同垂直于一个平面，那么．．．．．．．．．．．．．．．．．．这两．．条直线平行；（．．．．．．．3．）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．于这个平面；（．．．．．．．4．）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．于另一个平面。

．．．．．．．例1：下列说法中正确的个数是( )①如果直线l 与平面α内的两条相交直线都垂直，则l ⊥α； ②如果直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l ⊥α； ③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线；④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直。