线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质

本周知识小结：直线与平面垂直的判定和性质：线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线例3、.(2012·广东高考)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是CD上的点,且DF=21AB,PH为△PAD中AD边上的高.(1)证明:PH⊥平面ABCD.(2)若PH=1,AD= 2，FC=1,求三棱锥E-BCF的体积.(3)证明:EF⊥平面PAB.例4、（09一模东城）如图，ABCD是边长为2a的正方形，ABEF是矩形，且二面角C AB F--是直二面角，AF a=，G是EF的中点．（Ⅰ）求证：平面AGC⊥平面BGC；（Ⅱ）求GB与平面AGC所成角的大小；例5、（09年崇文一模）在直四棱柱1111ABCD A B C D-中，AB CD∥，1AB AD==，12D D CD==，AB AD⊥．（Ⅰ）求证：BC⊥平面1D DB；（Ⅱ）求1D B与平面11D DCC所成角的大小．例6、如图，在三棱锥P－ABC中，△PAC和△PBC角形，AB＝2，O是AB中点．(1)在棱PA上求一点M，使得OM∥平面PBC；(2)求证：平面PAB⊥平面ABC.课后练习：B1、若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原三角形面积的( )A.倍B.2倍C.倍D.倍2、(2013·惠州高一检测)某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为5的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为5的等腰三角形.则该几何体的体积为( )A.24B.80C.64D.2403、(2013·宿州高一检测)如图,四边形BCC1B1是圆柱的轴截面.AA1是圆柱的一条母线,已知AB=2,AC=2,AA1=3.(1)求证:AC⊥BA1.(2)求圆柱的侧面积4、如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱PA=a,PB=PD=a,则PC=5、对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( )A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β6、(2012·上海高考)一个高为2的圆柱,底面周长为2π,则该圆柱的表面积为.。

lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：．．．．在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。

线面垂直、面面垂直及其证明一 线面垂直的判定定理（1）线面垂直定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.（2（3）三垂线定理及其逆定理①三垂线定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.②三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直. （4）线面垂直的证明例1例2例3SDD 1ODBA C 1B 1A 1C例4在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD .练习1 在正方体1111ABCD A BC D -中. （1）求证：AC ⊥平面11B D BD .（2）求证：1BD ⊥平面1ACB .练习2在三棱锥A BCD -中，BC AC =，AD BD =，作BE CD ⊥，E 为垂足，作AH BE ⊥于H .求证：AH ⊥平面BCD .在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，AC CD ⊥，60ABC ︒∠=，PA AB BC ==，E 是PC 的中点.（1）求证：CD AE ⊥. （2）求证：PD ⊥面ABE .二 面面垂直（1条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，若棱为l ，两个面分别为，,αβ二面角记作为l αβ--.（2）二面角的平面角定义：在二面角l αβ--棱l 上取一点O ，在半平面α和β内，从点O 分别作垂直于棱l 的射线,OA OB ，射线组成AOB ∠.则AOB ∠叫做二面角的平面角.二面角的取值范围为[0,180]︒︒.（3）面面垂直定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直.（4）面面判定定理：一个平面过另一个平面，则这两个面相互垂直. （5）面面垂直的正面即：面面垂直→线面垂直→线线垂直. 例1如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点.（1）求证：1//AC 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . .例2如图，直三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，90ACB ︒∠=121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，求证：平面1BDC 平面BDC ．AC B1B 1A D1C练习 如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段,,SA SB SC ，且60ASB ASC ︒∠=∠=，90BSC ︒∠=，求证：平面ABC ⊥平面BSC ．三 立体几何高考证明例1（2013江苏）如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点．求证：（1）平面平面； （2）．例2（2012江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B A C =，D E，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F⊥，为11B C 的中点．求证：（1） 平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2） 直线1//A F 平面ADE ．ABC S -⊥SAB SBC BC AB ⊥AB AS =A SB AF ⊥F G E ，SC SA ，//EFG ABC SA BC ⊥ABCSGFE例3如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四四边形，60DAB ︒∠=，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD .（1）证明：PA BD ⊥（2）设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高.练习1如图，几何体E ABCD -是四棱锥，ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥.(Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC .练习2（2011天津）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，45ADC ∠=︒，1AD AC ==，O 为AC 的中点，PO ABCD ⊥平面，2PO =，M为PD 的中点．(Ⅰ) 证明：//PB ACM 平面；MP(Ⅱ)(Ⅲ)。

α β a A 线、面垂直的判定与性质一、线、面垂直的判定与性质1.线面垂直的定义：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面α 互相垂直.2.线面垂直的判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 直线与平面垂直3.（1）的射影所成的角（2）（3一条直线与平面所成的角的取值范围是 4.二面角相关概念：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. ∠AOB即为二面角α-AB-β的平面角注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上.（2）角的两边分别在两个面内. （3）角的边都要垂直于二面角的棱.二面角的取值范围 5.面面垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记为β⊥α6.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．7.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行8.面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 面面垂直⇒线面垂直α⊥l 记为⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫l a l ⊥b l ⊥α⊂a α⊂b A b a = ]90,0[0[]]0[180,000π，或a β⊂a α⊥面⇒βα⊥//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭a b αa bl a a l αβαββ⊥⎫⎪=⎪⎬⊂⎪⎪⊥⎭a α⇒⊥二、例题解析题型一、判断问题例1、直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定变式：如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直()A．①③B．①②C．②④D．①④例2、已知直线a∥平面α，a⊥平面β，则( )A．α⊥βB．α∥βC．α与β不垂直D．以上都有可能变式：下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β例3、已知b⊥平面α，a⊂α，则直线a 与直线b 的位置关系是( )A．a∥b B．a⊥b C．直线a 与直线b 垂直相交D．直线a 与直线b 垂直且异面变式1：下面四个命题，其中真命题的个数为( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l 与平面α不垂直，则直线l 和平面α内的所有直线都不垂直；④如果直线l 与平面α不垂直，则平面α内也可以有无数条直线与直线l 垂直．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个变式2：已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是()①α内的直线必垂直于β内的无数条直线；②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任何一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α. A．4 B．3C．2D．1题型二：求角问题（线面角、面面角）例1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值．(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．变式：如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5且它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面ABC所成角的正弦值．例2、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BC －A 1的平面角是( )A ．∠ABCB ．∠ABB 1C ．∠ABA 1D ．∠ABC 1变式：如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝3，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝3，求二面角P －CD －B 的大小．题型三：证明问题例1、如图，在三棱锥 A-BCD 中，AD ，BC ，CD 两两互相垂直，M ，N分别为 AB ，AC 的中点．(1)求证：BC ∥平面 MND ；(2)求证：平面 MND ⊥平面 ACD .变式： 如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，AB=2，,侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD. （1）证明：侧面PAB ⊥侧面PBC ；（2）求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角.BC A B C D P三、巩固练习1．在三棱锥V -ABC 中，VA ＝VC ，AB ＝BC ，则下列结论一定成立的是( )A ．VA ⊥BCB ．AB ⊥VCC ．VB ⊥ACD ．VA ⊥VB2．若A ∈α，B ∈α，A ∈l ，B ∈l ，P ∈l ，则( )A ．P ⊂αB ．P αC ．l αD ．P ∈α3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．不能确定4．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.2 65C.155D.1055．设x ，y ，z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x ，y ，z 均为直线；②x ，y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x ，y 是平面；④x ，y ，z 均为平面．其中使“x ⊥z ，且y ⊥z ⇒x ∥y ”为真命题的是( )A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②6．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，异面直线BD 1与A 1D 所成的角等于__________．7如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则二面角C 1-BD -C 的正切值为________．8.如图，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图所示的三棱锥A -BCF ，其中BC ＝22. (1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F -DEG 的体积V F -DEG .。

线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。

1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。

符合表示： βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβααI 二、面面平行。

1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n I I 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。

符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβαI I （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。

1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a I ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。

（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。

）四、面面垂直。

1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。

βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，尽管人智慧有其局限，爱智慧却并不因此就属于徒劳。

智慧果实似乎是否定性：理论上——“我知道我一无所知”；实践上——“我需要我一无所需”。

然而，达到了这个境界，在谦虚和淡泊哲人胸中，智慧痛苦和快乐业已消融为了一种和谐宁静了。

线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理
线面垂直面面垂直的判定定理是指两个射线有一定的关系即垂直面是垂直的，其中一个起点在另一个终点上。

简单来说就是两线垂直于一个面，则这两条线的垂直的面也是垂直的。

由线面垂直面面垂直的判定定理可以得出线面垂直面面垂直的性质定理，这是建立在线面垂直面面的判断定理的基础之上的定理。

线面垂直面面垂直的性质定理：若两个射线分别与两个平面成垂直，则它们两个平面所成的平面也是垂直的。

该定理也可以用图形来表示，如下图所示：
从图中可以看出，射线AB和CD都是垂直于两个平面m、n，其中AB与m，CD与n成垂直。

而平面m和n又组成一个新平面mn，根据线面垂直面面垂直的性质定理可以知道AB与mn也是垂直的，同样CD也与mn是垂直的。

线面垂直面面垂直的定理主要应用在几何中，它可以用来证明两个平面的面积计算方法是正确的，也可以用来证明两个球面的夹角是垂直的。

同时，它同样可以应用在工程技术中，例如对于地面上的建筑物，我们可以用它来判断其是否与地面垂直。

由此可以看出，线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理对于各类几何计算和工程技术应用具有十分重要的意义。

它能有效地帮助人们判断两面之间是否是垂直的关系，从而实现各种几何计算和工程技术应用。

线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】空间中的垂直关系1．线面垂直直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式：直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。

2．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果 ，那么这两个平面互相垂直。

推理模式：两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥证明：平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF 并证明你的结论6、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC.7、在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD .求证：AB DE ⊥ 9、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PADVDCBA SA10、如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,.过A 作SB AF ⊥，垂足为F ,点G E ,分别是棱SC SA ,的中点。

面面垂直线面垂直的判定定理一、引言在几何学中，面面垂直是一个基本的概念。

当两个平面垂直时，我们称它们是面面垂直的。

本文将介绍面面垂直线面垂直的判定定理。

二、定义1. 面：在三维空间中，由无数条线段组成的平坦曲面。

2. 平行：两条线或两个平面在同一平面内，且不相交。

3. 垂直：两条线或两个平面相交于一个角度为90度的交点。

4. 面面垂直：当两个平面相互垂直时，它们被称为“面面垂直”。

三、定理如果一条直线同时与两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个平面的交线是另一个平面上的一条直线，则这两个平面是“面面垂直”的。

四、证明假设有两个不同的平面A和B，并且这两个平面相互垂直。

我们需要证明如果一条直线同时与这两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个平面A的交线是另一个平面B上的一条直线，则这两个平面是“ 面面垂直”的。

首先，我们需要证明这条直线存在。

假设这两个平面A和B相交于一条直线L。

因为这两个平面相互垂直，所以它们的交角为90度，因此直线L与平面A和平面B的交线都是垂直的。

接下来，我们需要证明这条直线与平面A和平面B的交线是垂直的。

假设这条直线与平面A的交点为P，与平面B的交点为Q，并且PQ 在平面B上。

我们需要证明AP和BQ是垂直的。

由于PQ在平面B上，所以PQ与平面A的交线PA也在平面B上。

因此，我们可以得到三角形APQ和三角形BPQ共享一个角度PQB，并且它们有一个共同边界PQ。

根据余弦定理：cos(APQ) = (AQ² + PQ² - AP²) / (2 * AQ * PQ)cos(BPQ) = (BQ² + PQ² - BP²) / (2 * BQ * PQ)由于AP = BQ（因为它们都等于L），所以AP² = BQ²。

将其代入上式中可得：cos(APQ) = cos(BPQ)因此，APQ = BPQ因此，AP和BP是垂直的。

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。

【线面垂直定义】线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

【判定】线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

【性质】线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

【判定】面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

【性质】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

一、选择题1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】直线l与平面α内两条相交直线都垂直，是线面垂直判定定理的条件，故为充要条件．【答案】 C2．空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( ) A．面ABD⊥面BDC B．面ABC⊥面ABDC．面ABC⊥面ADC D．面ABC⊥面BED【解析】在等腰三角形ABC、ADC中，E为底边AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC.又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥面BDE，故面ABC⊥面BDE，面ADC⊥面BDE.【答案】 D3．对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得 ( )A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α【解析】当a，b异面时，A不成立；当a，b不平行时，C不成立；当a，b不垂直时，D不成立．故选B.【答案】 B4．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直【解析】在平面α内有无数条彼此平行的直线与直线m垂直，与直线m垂直的直线可能与平面α平行，与直线m平行的平面可能与平面α垂直．故A，C，D错误．【答案】 B5．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立．．．的是( )A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【解析】α⊥β，b⊂α，b不一定垂直于β.故C错误．【答案】 C6．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A．命题“p且q”为真 B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假 D．命题“綈p且綈q”为假【解析】命题p，命题q皆为假，所以命题C正确．【答案】 C7．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在的平面，那么( )A ．PA ＝PB >PCB ．PA ＝PB <PCC ．PA ＝PB ＝PCD ．PA ≠PB ≠PC【解析】 ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故PA ＝PB ＝PC .【答案】 C二、填空题8．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α.其中真命题的序号是________．【解析】 由平面平行的传递性知①正确，由面面垂直的判定定理知③正确．【答案】 ①③9．P 为△ABC 所在平面外一点，AC ＝2a ，连接PA 、PB 、PC ，得△PAB 和△PBC 都是边长为a 的等边三角形，则平面ABC 和平面PAC 的位置关系为________．【解析】如图所示，由题意知PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝a ，取AC 中点D ，连接PD 、BD ，则PD ⊥AC ，BD ⊥AC ，则∠BDP 为二面角P －AC －B 的平面角，又∵AC ＝2a ，∴PD ＝BD ＝22a ， 在△PBD 中，PB 2＝BD 2＋PD 2，∴∠PDB ＝90°.【答案】 垂直10．(精选考题·四川高考)如图所示，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________________________________________________________________________．【解析】 如图，过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ，连接AD ，由线面垂直关系可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，∴∠ADC ＝60°.连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角．设AD ＝2，则AC ＝3，CD ＝1，AB ＝AD sin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34. 【答案】34 三、解答题11．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .【证明】 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC .而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC, ∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．【解析】 (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PCD .∵PC ⊂平面PCD ，∴PC ⊥BC .(2)如图，连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°.从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1.由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13.∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC .又PD ＝DC ＝1，∴PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2.由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22.由V ＝13S △PBC h ＝13×22h ＝13，得h ＝ 2.因此点A 到平面PBC 的距离为 2.。

1.线线平行判定：a用向量，方向向量平行b一条直线平行于另一个平面，则它平行于它所在平面与那个平面的交线。

C若一平面与两平行平面相交，则两交线平行。

D同时与一平面垂直的两直线平行。

E同时平行于一条直线的两直线平行。

性质：貌似没啥性质，一般是证明线面关系的时候先证明线线关系。

2.线线垂直判定：a向量，方向向量垂直b直线垂直于平面，则直线与平面中的任意直线都垂直c第一条直线与第二条直线平行，第一条垂直于第三条，则第二条也垂直于第三条d把两直线放在一个平面中，利用平面几何各种判定方法，如等腰三角形的底和高等。

E（重点）三垂线定理：平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。

三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线垂直，那么它也垂直于斜线在平面内的射影。

（这个比较重要，记不住的话找一下例题，多看看图就好了）性质：貌似也没什么性质，一般也是要证明线面关系的时候用到它。

注意：第一条直线垂直于第二条直线，第一条直线垂直于第三条直线，则第二条直线与第三条直线可垂直可平行也可普通相交。

3,线面平行判定：a面外一条线与面内一条线平行。

（常用）b空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量（x1x2-y1y2=0）（常用）c面外一直线上不同两点到面的距离相等d证明线面无交点（定义）e反证法（线与面相交，再推翻）性质：平面外一条直线与此平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。

4.线面垂直判定:a一条线和平面内两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直b两个平面垂直,其中一个平面内的直线垂直两平面的交线，那么这条直线和这个平面垂直c直线的方向向量与平面的法向量平行性质：如果两条直线同时垂直一个平面，那么这两条直线平行。

5.面面平行判定a一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行。

（常用）b如果两平面同时垂直于一条直线，则两平面平行（大题一般不用）性质：a两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面b两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面 c 两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行d平行平面所截的线段对应成比例（这个是推论，不好描述，书上或练习册上应该有类似的题）6.面面垂直判定：一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直性质：a如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

直线、平面垂直的判定与性质作者：郑灿基来源：《数学教学通讯·中等教育》2014年第12期重点难点本部分内容包括线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质.重点：（1）理解线面垂直的定义，掌握线面垂直的判定定理和性质定理，掌握面面垂直的判定定理和性质定理;（2）能运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题.难点：掌握线线垂直、线面垂直和面面垂直这三种垂直关系的相互转化.方法突破一、一种关系——垂直问题的转化关系垂直关系证明的基本思想是转化，即由线线垂直得线面垂直（线面垂直的判定定理），由线面垂直得面面垂直（面面垂直的判定定理），而由面面垂直得线面垂直（面面垂直的性质定理），由线面垂直得线线垂直（线面垂直的定义）. 垂直关系的证明就是在这些性质定理和判定定理的使用中，将各种垂直关系不断进行转化.在处理实际问题的过程中，我们常常需要先从题设条件入手，明确已有的垂直关系，再从结论分析待证的垂直条件，从而搭建起已知与未知之间的“桥梁”.二、三类证法1. 证明线线垂直的方法（1）定义：两条直线所成的角为90°.（2）平面几何中证明线线垂直的方法：如勾股定理、三角形全等、直线斜率的乘积为-1等.（3）线面垂直的性质：a⊥α，b α a⊥b.（4）线面垂直的性质：a⊥α，b∥α a⊥b.2. 证明线面垂直的方法（1）定义：a与α内任何直线都垂直 a⊥α.（2）线面垂直的判定定理1：m，n α，m∩n=A，l⊥m，l⊥n l⊥α.（3）线面垂直的判定定理2：a∥b，a⊥α b⊥α.（4）面面平行的性质：α∥β，a⊥α a⊥β.（5）面面垂直的性质：α⊥β，α∩β=l，a α，a⊥l a⊥β.3. 证明面面垂直的方法（1）定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角.（2）面面垂直的判定定理：a α，a⊥β α⊥β.典例精讲例1 ;（2014年高考浙江卷）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，（ ; ;）A. 若m⊥n，n∥α，则m⊥αB. 若m∥β，β⊥α，则m⊥αC. 若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD. 若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α思索 ;本题考查线线、线面和面面之间的位置关系. 解答此类问题，首先要对概念认识清楚、对定理理解透彻;其次要具备较强的空间想象能力，能通过对题设条件的分析想象出所研究的线线、线面、面面之间的位置关系，从而做出正确的判断和简单的论证.破解 ;对于A、B、D，m与平面α都可能有平行、相交或m在平面α内三种情况;对于C，若m⊥β，n⊥β，则m∥n，而n⊥α，所以m⊥α. 故选C.本题也可以构造正方体ABCD-A1B1C1D1，对于A，根据已知条件取平面ABCD为α，直线A1D1为m，直线A1B1为n，但是m∥α，所以A错. 对于B，根据已知条件取平面ABCD 为α，平面ADD1A1为β，直线BC为m，但是m α，所以B错. 对于D，根据已知条件取平面ABCD为α，平面ADD1A1为β，直线A1D1为m，直线A1B1为n，但是m∥α，所以D错. 故答案为C.例2 ;如图1，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：（1）PA⊥底面ABCD;（2）平面BEF⊥平面PCD.图1思索 ;（1）面面垂直的性质是用来推证线面垂直的重要依据，其核心是其中一个面内的直线与交线垂直. 本题中由平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD以及PA⊥AD 可推出PA⊥底面ABCD.（2）证明面面垂直，应先转化为证明线面垂直，再把证明线面垂直转化为证明线线垂直. 若由已知条件所得的其他线面垂直的结论，常常利用其性质辅助证明线线垂直.如第（1）问的结论就对第（2）问的证明起辅助作用.破解 ;（1）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA 平面PAD且PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.（2）因为AB⊥AD，而且易知四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由（1）知PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD. 因为E和F 分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF. 又BE⊥CD，BE∩EF=E，所以CD⊥平面BEF. 又CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.例3 ;如图2，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是DC上的点，DF= AB，PH为△PAD中AD上的高.（1）证明：PH⊥平面ABCD;（2）若PH=1，AD= ，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积;（3）证明：EF⊥平面PAB.图2图3思索 ;（1）线面垂直的证明，实质是由线线垂直推证得来，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直. 推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件. 三角形底边的高、等腰三角形底边的中线、勾股定理等都是寻找线线垂直的有力工具. 甚至有时，当证明线面垂直不易利用条件时，可试将线段沿特殊路径平移至特殊位置，这时可能和已知条件更接近. 例如第（3）问，若直接证明思维受阻，则可以考虑利用已知条件平移直线EF.（2）对于垂直与体积结合的问题，在求体积时，常常根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积，解题时应充分利用已经得到的结论，可以快速找到突破口.破解 ;（1）因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD. 因为AB⊥平面PAD，PH 平面PAD，所以PH⊥AB. 又AD∩AB=A，所以PH⊥平面ABCD.（2）如图3，连结BH. 取BH的中点G，连结EG. 因为E是PB的中点，所以EG∥PH，且EG= PH= . 因为PH⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD. 因为AB⊥平面PAD，AD 平面PAD，所以AB⊥AD，所以底面ABCD为直角梯形，所以V = ·S△BCF·EG= · ·FC·AD·EG= .（3）如图3，取PA的中点M，连结MD，ME. 因为E是PB的中点，所以ME∥AB，ME= AB. 又因为DF∥AB，DF= AB，所以ME∥DF且ME=DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD. 因为PD=AD，所以MD⊥PA. 因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB. 因为PA∩AB=A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.变式练习1. （2014年高考广东卷）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（ ; ;）A. l1⊥l4B. l1∥l4C. l1与l4既不垂直也不平行D. l1与l4的位置关系不确定2. （2013年浙江高考）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列结论正确的是（ ; ;）A. 若m∥α，n∥α，则m∥nB. 若m∥α，m∥β，则α∥βC. 若m∥n，m⊥α，则n⊥αD. 若m∥α，α⊥β，则m⊥β3. 如图4，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是PB，PC上的点，AE⊥PB，AF⊥PC，给出下列结论：①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC. 其中正确结论的序号是________.图44. （2014年高考江苏卷改编）如图5，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点. 已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.（1）求证：DE⊥平面ABC.（2）若BC⊥AB，求证：平面PAB⊥平面PBC5. （2014年高考重庆卷）如图6，在四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD= ，M为BC上一点，且BM= .（1）证明：BC⊥平面POM;（2）若MP⊥AP，求四棱锥P-ABMO的体积.图6参考答案：1. D ;2. C ;3. ①②③4. （1）因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA=6，BC=8，所以DE∥PA，DE= PA=3，EF= BC=4. 又因为DF=5，所以DF2=DE2+EF2，所以DE⊥EF. 又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC. 因为AC∩EF=E，所以DE⊥平面ABC.（2）因为DE⊥平面ABC，DE∥PA，所以PA⊥平面ABC. 因为BC 平面ABC，所以PA⊥BC. 又BC⊥AB，AB∩PA=A，所以BC⊥平面PAB，因为BC 平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.5. （1）因为四边形ABCD为菱形，O为菱形的中心，连结OB，则AO⊥OB. 因为∠BAD= ，所以OB=ABsin∠OAB=2sin =1. 又因为BM= ，且∠OBM= . 在△OBM中，OM2=OB2+BM2-2OB·BM·cos∠OBM=1+ -2·1· ·cos = . 所以OB2=OM2+BM2，故OM⊥BM. 又PO⊥底面ABCD，BC 底面ABCD，所以PO⊥BC. 因为OM∩PO=O，所以BC⊥平面POM.（2）由（1）可得，OA=ABcos∠OAB=2cos = . 设PO=a，由PO⊥底面ABCD知，△POA 为直角三角形，故PA2=PO2+OA2=a2+3. 又△POM也是直角三角形，故PM2=PO2+OM2=a2+ . 连结AM，在△ABM中，AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cos∠ABM=4+ -2·2· ·cos = . 由已知MP⊥AP，故△APM为直角三角形，则PA2+PM2=AM2，即a2+3+a2+ = ，解得a=± . 所以PO= . 此时S四边形ABMO=S△AOB+S△OMB= AO·OB+ BM·OM= . 所以四棱锥P-ABMO的体积V= S四边形ABMO·PO= · · = .。

线面、面面垂直的判定与性质知识回顾1．直线与平面垂直的判定（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α垂直，记作l ⊥α．（2）判定定理文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α． 2．直线与平面垂直的性质文字表述：垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒ a ∥b 3. 直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．4．平面与平面的垂直的判定（1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．（2）面面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥β⇒α⊥β． 5．平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β． 6．二面角二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．题型讲解题型一例1、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交答案：C例2、如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1答案：A例3、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．证明在平面B1BCC1中，∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1，∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．题型二例4、若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒M ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α．A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C例5、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC ．求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1． ∵A 1D∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1．(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ． ∴ON12CD 12AB ， ∴ON ∥AM ． 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM ．∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．题型三例6、直线a 与平面α所成的角为50°，直线b ∥a ，则直线b 与平面α所成的角等于( )A ．40°B ．50°C ．90°D ．150°答案：B例7、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，(1)直线A 1B 与平面ABCD 所成的角是________； (2)直线A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角是________； (3)直线A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角是________． 答案：(1)45° (2)30° (3)90° 题型四例6、在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( ) A ．13 B ．12 C ．223 D ．32答案：B [如图所示，由二面角的定义知∠BOD 即为二面角的平面角． ∵DO ＝OB ＝BD ＝32， ∴∠BOD ＝60°．]例7、过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．答案：45° 题型五例8、下列命题中正确的是()A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β答案：C例9、如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．9．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．(2)解由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE．又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，则∠PBA＝60°．故二面角A—BE—P的大小是60°．题型六例10、平面α⊥平面β，直线a∥α，则()A．a⊥β B．a∥βC．a与β相交 D．以上都有可能答案：D例11、如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD 是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45．(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．11．(1)证明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥面PAD，又BD⊂面BDM，∴面MBD⊥面PAD．(2)解过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝23．在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四边形ABCD为梯形．在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高． ∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24． ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝163．跟踪训练1．正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于( )A ．33B ．22C ． 2D ． 3答案：C[解析] 设AC 、BD 交于O ，连A 1O ，∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，∴BD ⊥平面AA 1O ，∴BD ⊥A 1O ，∴∠A 1OA 为二面角的平面角． tan ∠A 1OA ＝A 1AAO＝2，∴选C.2．过两点与一个已知平面垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．有无数个 C ．有且只有一个或无数个 D ．可能不存在答案：C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 答案：A[解析] ∵DD 1⊥平面ABCD ， ∴D 1D ⊥AC ，又AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面BDD 1， ∴AC ⊥BD 1.同理BD 1⊥B 1C. 又∵B 1C ∩AC ＝C ， ∴BD 1⊥平面AB 1C.而AP ⊥BD 1，∴AP ⊂平面AB 1C.又P ∈平面BB 1C 1C ，∴P 点轨迹为平面AB 1C 与平面BB 1C 1C 的交线B 1C.故选A. 4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN ＝________．答案：90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN ． 又∵MN ⊥B 1M ， ∴MN ⊥面C 1B 1M ， ∴MN ⊥C 1M ．∴∠C 1MN ＝90°．5．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A －A′BB′的体积V ＝________.答案： 4[解析] ∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′⊂α，AA′⊥A′B′， ∴AA′⊥β，∴V ＝13S △A′BB′·AA′＝13×(12A′B′×BB′)×AA′＝13×12×2×4×3＝4.6. 如图所示，已知PA 垂直于⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过点A 作AE ⊥PC 于点E .求证：AE ⊥平面PBC .证明 ∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC . 又∵AB 是⊙O 的直径，∴BC ⊥AC . 而PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC . 又∵AE ⊂平面PAC ，∴BC ⊥AE .又∵PC ⊥AE ，且PC ∩BC ＝C ，∴AE ⊥平面PBC .7．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：平面BCE ⊥平面CDE.证明 取CE 的中点G ，连接FG ，BG ，AF. ∵F 为CD 的中点， ∴GF ∥DE ，且GF ＝12DE.∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE.则GF ∥AB. 又∵AB ＝12DE ，∴GF ＝AB.则四边形GFAB 为平行四边形．于是AF ∥BG. ∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD.∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF. 又∵CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDE ， ∴AF ⊥平面CDE.∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE.∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE.8．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面PAC⊥平面PBD；(3)二面角P－BC－D是45°的二面角．证明(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2.∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC.而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD.又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.(3)由(1)知PD⊥BC，又BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC.∴BC⊥PC.∴∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．在Rt△PDC中，PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°.∴二面角P－BC－D是45°的二面角．6．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AC，且BC1⊥A1C．(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)若D、E分别是A1C1和BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1.11解析： (1)∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ， ∴ACC 1A 1为正方形， ∴A 1C ⊥AC 1.又∵BC 1⊥A 1C ，AC 1∩BC 1＝C 1，∴A 1C ⊥平面ABC 1， 又∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1， ∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC 1.(2)如图，取AA 1的中点F ，连接DF 、EF.∵D 、E 、F 分别为A 1C 1、BB 1、AA 1的中点， ∴DF ∥AC 1，EF ∥AB ，DF∩EF ＝F ， ∴平面DEF ∥平面ABC 1， ∴DE ∥平面ABC 1.。

线面垂直与面面垂直的判定线线垂直判定（1）线线垂直的定义：两条直线所成角是直角。

b a ,所成角为 90⇒b a ⊥（2）等腰三角形三线合一、勾股定理的逆定理等。

（3）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

c b c a b a ⊥⇒⊥,//（4）线面垂直的定义：如果直线与平面垂直，则直线与平面内的任何一条直线垂直。

m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα 线面垂直判定（1）线面垂直定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称直线与平面垂直。

若a 垂直于α内任一直线⇒α⊥aαα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l ,(2)线面垂直判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

α⊂⊥⊥c b c a b a ,,,且c b ,相交⇒α⊥a （线线垂直⇒线面垂直）(3)面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,面面垂直判定(1)面面垂直定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

βα,所成的二面角为直二面角⇒βα⊥(2)面面垂直判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l例1、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD F 是PC 的中点． 求证：（1）PA∥平面BDF ； （2）平面PAC ⊥平面BDF ．【练习1】 如图，已知BD ⊥平面ABC ，AC ＝BC ，N 是棱AB 的中点． 求证：CN ⊥AD .【练习2】如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F . (1)求证：P A ∥平面EDB ； (2)求证：PB ⊥平面EFD .【例2】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。

线面垂直、面面垂直及其证明一线面垂直的判定定理1）线面垂直定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直•（2）判定定理：如果直线I和平面内的两条相交的直线m,n都垂直，那么直线I垂直于平面.（线面垂直线线垂直）（3）三垂线定理及其逆定理①三垂线定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.②三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.（4）线面垂直的证明例1已知正方体ABCD A1B1C1D1，求证：AC 面AB1D1.例2如图1所示，ABCD为正方形，SA丄平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB SC, SD于E，F，G .求证：AE SB，AG SD .例3 已知ABC 中ACB 90°, SA 面ABC,AD SC,求证：AD 面SBC.D例4在正方体ABCD A i B1C1D1中，M为CG的中点，AC交BD于点0 ,求证:A0 平面MBD .练习1在正方体ABCD ABGD I中.(1)求证：AC 平面BD i BD.(2)求证：BD1平面ACB1.练习2在三棱锥A BCD中，BC AC , AD BD，作BE CD , E为垂足，作AH BE于H.求证：AH 平面BCD.练习3在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，AB AD，AC CD，ABC 60，PA AB BC，E 是PC 的中点•(1)求证：CD AE .(2)求证：PD 面ABE.面面垂直(1) 二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，若棱为 I ，两个面分别为， ,二面角记作为 I . (2)二面角的平面角定义：在二面角 I 棱I 上取一点0,在半平面 和 内， 从点0分别作垂直于棱I 的射线0A,0B ，射线组成 A0B .则 A0B 叫做二面角的平 面角•二面角的取值范围为[0 ,180].(3) 面面垂直定义： 若两个平面的二面角为直二面角 (平面角是直角的二面角)， 则这两个平面互相垂直.(4)面面判定定理：一个平面过另一个平面，则这两个面相互垂直 .(5) 面面垂直的正面即：面面垂直 线面垂直 线线垂直.例1如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 的中点.(1)求证： AC//平面 BDE ;例2如图，直三棱柱 ABC AB 1C 1中，侧棱垂直于底面, 1 ____________________________________AC BC 一 AA ，D 是棱AA 1的中点，求证：平面 BDG 平面BDC • 2(2)求证：平面 AAC 平面BDE .ACB 90(1) 平面EFG//平面ABC ; (2) BC SA •例2 （2012江苏）如图，在直三棱柱ABC ABG 中，AQ , D ,E 分别是棱BC，CCl上的点（点D 不同于点C ），且A D D E ，F 为BlCl的中点.求证： (1) 平面 ADE 平面 BCC 1B 1 ; (2)直线A.F //平面ADE .练习如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段 SASB,SC ，且 ASB ASC 60 , BSC 90，求证：平面 ABC 丄平面 BSC .三立体几何高考证明例1 （2013江苏）如图，在三棱锥SAB BC , AS AB ，过 A 作 AF SA, SC 的中点•求证：ABC 中，平面 SAB 平面SBC ,SB ，垂足为F ，点E , G 分别是棱BBCi£C例3如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四四边形，DAB 60 ,(I )求证：BE DE ;(II)若/ BCD 120 ，M 为线段AE 的中点，求证：DM //平面BEC .练习2 (2011天津)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形,AB 2AD ， PD 底面ABCD . (1) 证明： PA BD (2) 设PD AD1，求棱锥D PBC 的高练习1如图，几何体E ABCD 是四棱锥V ABD 为正三角形CB CD,EC BD.ADC 45，AD AC 1，O 为 AC 的中点，PO 为PD 的中点. 平面 ABCD ，PO 2，M(I )证明：PB//平面ACM ； (I)证明：AD 平面PAC ；(m)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.。

ED C BA PABCDABC DE F 线面垂直、线面夹角垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直例1. 如图：已知四棱锥P ABCD -中，,PD ABCD ABCD ⊥平面是正方形，E 是PA 的中点. 求证：(1)//PC 平面EBD (2)平面PBC ⊥平面PCD例2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．求证：（1）EF ∥平面CB 1D 1；（2）平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．例3. 如图，⊥PA 平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA AD =，,M N 分别是PC AB , 的中点. 求证：（1）//MN 平面PAD .（2）求证：平面⊥MND 平面PCD . 二面角例4. 在正方体1111ABCD A B C D -中，找出下列二面角的平面角并计算大小： （1）二面角1D AB D --和1A AB D --；（2）二面角1C BD C --和1C BD A --.例5. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点， （1）证明CD ⊥AE ；（2）证明AE ⊥平面PDC ；（3）求二面角A-PD-C 的正弦值 DNCBMAP新课标高考真题例6. （2011.18．）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（I ）证明：PA BD ⊥； （II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．例7. （2012全国）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点（1）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；（2）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。