高三数学第44练不等式的解法练习【精品】

智才艺州攀枝花市创界学校陕飞二中2021高考数学不等式的解法训练 考察内容：1、几种不等式的解法；2、“三个二次〞的关系。

题型一、解一元二次不等式例1、 求以下一元二次不等式的解集。

1〕、x 2-5x>62〕、4x 2-4x+1≤0 3〕、-x 2+7x>64〕、-x 2+6x-9>0 题型二、含参数的一元二次不等式的解法例2、 1)、解关于x 的不等式：x 2-(2m+1)x+m 2+m<02)、解关于x 的不等式：x 2+(1-a)x-a<0 题型四、恒成立问题例3、 当a 为何值时，不等式(a 2-1)x 2-(a-1)x-1<0的解集是R ？题型五、分式不等式的解法例4、 解以下不等式：1〕、x x -+112<02〕、321-+x x ≤1 2〕、11-x >a 题型六、简单高次不等式的解法例5、 解以下不等式：1〕、x(x-1)2(x+1)3(x+2)≥02〕、32532-+-x x x ≥2 题型七、一元二次不等式的简单应用例6、 国家原方案以2400元/t 的价格收买某种农产品m t ．按规定，农民向国家纳税：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，国家制定积极的收买，根据场规律，税率降低x 个百分点，收买量能增加2x个百分点，试确定x的取值范围．使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原方案的78%.练习题：1．不等式x2＜3x的解集是()．A．{x|x＞3}B．{x|x＜0或者x＞3}C．R D．{x|0＜x＜3}2．不等式x(x－a＋1)＞a的解集是{x|x＜－1或者x＞a}，那么()．A．a≥1B．a＜－1C．a＞－1D．a∈R3．全集U＝R集合A＝{x|x2－2x＞0}，那么∁U A等于()．A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|x＜0或者x＞2}D．{x|x≤0或者x≤2}4．不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为，那么a，c的值是()．A．a＝6，c＝1B．a＝－6，c＝－1C．a＝1，c＝1D．a＝－1，c＝－65、集合M＝，N＝，那么集合{x|x≥1}等于()．A．M∩N B．M∪NC．∁R(M∩N)D．∁R(M∪N)6．假设产品的总本钱y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20xx2(0＜x＜240)，假设每台产品的售价为25万元，那么消费者不赔本(销售收入不小于总本钱)时的最低产量是()．A．100台B．120台C．150台D．180台7．假设集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，那么实数a的值的集合是()．A．{a|0＜a＜4}B．{a|0≤a＜4}C．{a|0＜a≤4}D．{a|0≤a≤4}8．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．假设不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，那么()．A．－1＜a＜1B．0＜a＜2C．－＜a＜D．－＜a＜9．函数y＝log3(9－x2)的定义域为A，值域为B，那么A∩B＝________.10．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)的局部对应值如下表：11．不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集是，对于系数a ，b ，c ，那么有以下结论： ①a ＞0；②b ＞0；③c ＞0；④a ＋b ＋c ＞0；⑤a －b ＋c ＞0.其中正确结论的序号是________(把你认为正确的结论的序号都填上)．12、不等式2322++-x x x >0的解集是。

高三数学不等式解法15个典型例题典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。

专题04 常见不等式的解法所谓常见不等式是指，一元二次不等式、含绝对值不等式、指数对数不等式、函数不等式等，高考中独立考查的同时，更多地是在对其他知识的考查中，作为工具进行考查.正是解不等式的这一基础地位，要求务必做到求解快捷、准确．【重点知识回眸】（一）常见不等式的代数解法1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图象，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：图象与x 轴的交点2、高次不等式（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）①求出()0f x =的根12,,x x ② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根④ 观察图象，()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式3、分式不等式（1）将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式 （2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠（3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()00f xg x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积），进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式（1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解：① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理5、指数、对数不等式的解法：（1）利用函数的单调性：1a >时，x y > log log (,0)x ya a a a x y x y ⇔>⇔>>01a <<时，x y > log log (,0)x y a a a a x y x y ⇔<⇔<>（2）对于对数的两点补充：① 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当1a >时，()()()()()()0log log 0a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇒>⎨⎪>⎩② 如何将常数转化为某个底的对数.可活用“1”：因为1log a a =，可作为转换的桥梁6、利用换元法解不等式利用换元法解不等式的步骤通常为：①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体 ②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式③解出新元的范围④在根据新元的范围解x 的范围（二）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、假设()f x 在[],a b 上连续且单调递增，()()00,,0x a b f x ∃∈=，则()0,x a x ∈时，()0f x <;()0,x x b ∈时，()0f x > (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+ （2）()()()()()()()'''2f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图象只是辅助手段.所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点.那么问题便易于解决了.（三）利用函数性质与图象解不等式：1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系.通常可作草图帮助观察.例如：()f x 的对称轴为1x =，且在()1,+∞但增.则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合()f x ，不会影响结论），得到：距离1x =越近，点的函数值越小.从而得到函数值与自变量的等价关系2、图象与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如()()f x g x <，其中()(),f x g x 的图象均可作出.再由()()f x g x <可知()f x 的图象在()g x 图象的下方.按图象找到符合条件的范围即可.【典型考题解析】热点一 简单不等式的解法【典例1】（2022·全国·高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（ ）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-【答案】B【解析】【分析】求出集合B 后可求A B .【详解】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B =，故选：B.【典例2】（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【典例3】（2017·上海·高考真题）不等式11x x ->的解集为________【答案】(,0)-∞【解析】【详解】由题意，不等式11x x ->，得111100x x x->⇒<⇒<，所以不等式的解集为(,0)-∞. 【典例4】（2020·江苏·高考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<． 【答案】2(2,)3- 【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x << 所以解集为：2(2,)3- 【典例5】解下列高次不等式：（1）()()()1230x x x --->（2）()()()21230x x x +--< 【答案】（1）()()1,23,+∞；（2）()()1,22,3-. 【解析】（1）解：()()()()123f x x x x =---则()0f x =的根1231,2,3x x x ===作图可得：12x << 或3x >∴不等式的解集为()()1,23,+∞（2）思路：可知()220x -≥，所以只要2x ≠，则()22x -恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解()()13020x x x +-<⎧⎨-≠⎩ ，可得13x -<<且2x ≠∴不等式的解集为()()1,22,3-【名师点睛】在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可.穿根法的原理：它的实质是利用图象帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图象中的数轴分为上下两个部分，上面为()0f x > 的部分，下方为()0f x <的部分.以例2（1）为例，当3x >时，每一个因式均大于0，从而整个()f x 的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时()f x 的符号一定为正），当经过3x = 时，()3x -由正变负，而其余的式子符号未变，所以()f x 的符号发生一次改变，在图象上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，()f x 的符号再次发生改变，曲线也就跑到x 轴上方来了.所以图象的“穿根引线”的实质是()f x 在经历每一个根时，式子符号的交替变化.【规律方法】1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法2.零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些细节部分均要做好，才能保证答案的正确性.3.引入函数，通过画出分段函数的图象，观察可得不等式的解.热点二 含参数不等式问题【典例6】（2022·浙江·高考真题）已知,a b ∈R ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x ∈-+---≥R ，则（ ）A ．1,3a b ≤≥B ．1,3a b ≤≤C ．1,3a b ≥≥D ．1,3a b ≥≤ 【答案】D【解析】【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -≥---，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示：由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a ≤≤-≤，故选：D ．【典例7】（2020·浙江·高考真题）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ）A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >0【答案】C【解析】【分析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <.故选：C【典例8】（2023·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式()222R ax x ax a ≥-∈-．【答案】详见解析.【解析】【分析】分类讨论a ，求不等式的解集即可.【详解】原不等式变形为()2220ax a x +--≥．①当0a =时，1x ≤-；②当0a ≠时，不等式即为()()210ax x -+≥，当0a >时，x 2a≥或1x ≤-； 由于()221a a a+--=，于是 当20a -<<时，21x a≤≤-； 当2a =-时，1x =-；当2a <-时，21x a-≤≤． 综上，当0a =时，不等式的解集为(,1]-∞-；当0a >时，不等式的解集为2(,1][,)a-∞-⋃+∞； 当20a -<<时，不等式的解集为2,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为21,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【总结提升】关于含参数不等式，其基本处理方法就是“分类讨论”，讨论过程中应注意“不重不漏”.关于含参数的一元二次不等式问题：(1)当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集．(2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论．(3)含参数分类讨论问题最后要写综述．热点三 函数不等式问题【典例9】（2018·全国·高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D【解析】【分析】 分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果. 详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .【典例10】（2020·北京·高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】【分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【典例11】（天津·高考真题（理））设函数f (x )=()212log ,0log ,0x xx x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()()1,00,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃【答案】C【解析】【分析】由于a 的范围不确定，故应分0a >和0a <两种情况求解.【详解】当0a >时，0a -<，由()()f a f a >-得212log log a a>，所以22log 0a >，可得：1a >，当0a <时，0a ->，由()()f a f a >-得()()122log log a a ->-，所以()22log 0a -<，即01a <-<，即10a -<<，综上可知：10a -<<或1a >.故选：C【典例12】（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【典例13】（2023·全国·高三专题练习）设函数()f x '是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，f （﹣1）＝0，当x ＞0时，()()0xf x f x '->，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B ．（0，1）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D ．（﹣1，0）∪（1，+∞）【答案】D【解析】【分析】构造函数()()f x g x x =，求导结合题意可得()()f x g x x =的单调性与奇偶性，结合()10g -=求解即可 【详解】由题意设()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x '-'= ∵当x ＞0时，有()()0xf x f x '->，∴当x ＞0时，()0g x '>，∴函数()()f x g x x=在（0，+∞）上为增函数， ∵函数f （x ）是奇函数，∴g （﹣x ）＝g （x ），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数，g （x ）在（﹣∞，0）上递减，由f （﹣1）＝0得，g （﹣1）＝0，∵不等式f （x ）＞0⇔x •g （x ）＞0，∴()()01x g x g >⎧⎨>⎩或()()01x g x g <⎧⎨<-⎩， 即有x ＞1或﹣1＜x ＜0，∴使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：D ．【总结提升】关于函数不等式问题，处理方法往往从以下几方面考虑：（1）利用函数的奇偶性、单调性.（2）借助于函数的图象（数形结合法）.（3）涉及抽象函数、导数问题，利用构造辅助函数法，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.【精选精练】一、单选题1．（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.2．（2021·湖南·高考真题）不等式|21|3x -<的解集是（ ）A ．{}2x x <B ．{}1x x >-C ．{}12x x -<<D ．{1x x <-或}2x >【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的几何意义去绝对值即可求解.【详解】由|21|3x -<可得：3213x -<-<，解得：12x -<<， 所以原不等式的解集为：{}12x x -<<，故选：C.3．（2021·广东·潮阳一中明光学校高三阶段练习）设集合{}11A x x =-≤≤，{}2log 1B x x =<，则A B =（ ）A ．{}11x x -<≤B ．{}11x x -<<C ．{}01x x <≤D ．{}01x x <<【答案】C【解析】【分析】根据对数函数定义域以及对数函数不等式求解集合B ，再进行交集运算即可.【详解】 由题意得，{}{}2log 102B x x x x =<=<<，所以{}|01A B x x ⋂=<≤，故选：C.4．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知集合{}230A x x x =-<，{}|33x B x =≥，则A B =（ ） A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．(2 D ．()1,3【答案】B【解析】【分析】求出集合A 、B ，再由交集的定义求解即可【详解】 集合{}{}23003A x x x x x =-<=<<，{}1332x B x x x ⎧⎫==≥⎨⎬⎩⎭， 则132A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：B.5.（天津·高考真题（理））设x ∈R ，则“21x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】 由21x -<，可得13x <<，即x ∈(1,3)；由22(1)(2)0x x x x +-=-+>，可得2x <-或1x >，即x ∈(,2)(1,)-∞-+∞；∴(1,3)是(,2)(1,)-∞-+∞的真子集，故“21x -<”是“220x x +->”的充分而不必要条件.故选：A6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），若关于x 的不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），则实数c 的值为（ ）A ．4B ．3C ．9D ．94【答案】C【解析】【分析】根据函数的值域求出a 与b 的关系，然后根据不等式的解集可得()f x c =的两个根为,6m m +，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可.【详解】∵函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），∴f （x ）＝x 2+ax +b ＝0只有一个根，即Δ＝a 2﹣4b ＝0则b 24a =， 不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），即为x 2+ax 24a +＜c 解集为（m ，m +6）， 则x 2+ax 24a +-c ＝0的两个根为m ，m +6 ∴|m +6﹣m |22444a a c c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭6 解得c ＝9故选：C ．7．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x >的解集是（ ）A ．()()1,00,1-B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()(),11,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】【分析】根据函数为奇函数求出当0x <时，函数()f x 的函数解析式，再分0x <和0x >两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式即可.【详解】解：因为函数()y f x =是奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =当0x <时，则0x ->，则()()22x f x f x --=-=-，所以当0x <时，()22x f x -=-+，则()0220x x f x >⎧⎨=->⎩，解得1x >，()0220x x f x -<⎧⎨=-+>⎩，解得10x -<<，所以不等式()0f x >的解集是()()1,01,-⋃+∞.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，则不等式()(31)<-f a f a 的解集为（）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，当0x <时()33f x x =-+函数单调递减，且()3033f x >-⨯+=，当0x ≥时()e 1x f x -=+函数单调递减，且()00e 123f =+=<，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减，所以不等式()(31)<-f a f a 等价于31a a >-，解得12a <． 即不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； 故选：C9．（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.10．（2023·全国·高三专题练习）定义在(0)+∞，上的函数()f x 满足()()110,2ln 2xf x f '+=＞，则不等式)(e 0x f x +> 的解集为（ ） A ．(02ln2)，B ．(0,ln2)C ．(ln21)，D ．(ln2)+∞， 【答案】D【解析】【分析】构造新函数()()ln ,(0)g x f x x x =+>，利用导数说明其单调性，将)(e 0x f x +>变形为)>(e (2)x g g ，利用函数的单调性即可求解.【详解】令()()ln ,(0)g x f x x x =+> ， 则()11()()xf x g x f x x x'+''=+=，由于()10xf x '+＞, 故()0g x '>,故()g x 在(0)+∞，单调递增， 而1(2)(2)ln2ln ln 202g f =+=+= ， 由)(e 0x f x +>，得)>(e (2)x g g ，∴e 2x > ，即ln2x > ,∴不等式)(e 0x f x +>的解集为(ln2)+∞，, 故选：D ．二、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）不等式组230,340.x x x ->⎧⎨-->⎩的解集为_________. 【答案】()4,+∞【解析】【分析】解一元二次不等式取交集即可.【详解】原不等式组化简为3034(4)(1)041x x x x x x x ->>⎧⎧⇒⇒>⎨⎨-+>><-⎩⎩或 故答案为：()4,+∞.12．（2019·浙江·高考真题）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a =【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()222(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=•[++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤， 由折线函数，如图只需11133a -≤-≤，即2433a ≤≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.13．（2023·全国·高三专题练习）若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为________．【答案】(1，2]【解析】【分析】先利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性解不等式.【详解】解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴()1f x x'=＋e x －cos x . ∵x >0，∴e x >1，∴()f x '>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x －1)≤f (1)，∴0<x －1≤1，即1<x ≤2，则原不等式的解集为(1，2]．故答案为：(1，2]三、双空题14．（2019·北京·高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】 130. 15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值.【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8y y x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）111()12x x x x -≤⎧⎪=⎨⎪⎩，，＞，则()()2f f ＝__，不等式()()32f x f -<的解集为__．【答案】12## 0.5 {x |x 72＜或x ＞5} 【解析】【分析】第一空先求出()2f 的值，再求()()2f f 的值；第二空将3x -分为大于1或小于等于1两种情况讨论，分别解出不等式，写出解集即可.【详解】解：f （2）211122-⎛⎫== ⎪⎝⎭，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()122f f =， 当x ﹣3＞1时，即x ＞4时，311122x --⎛⎫ ⎪⎝⎭＜，解得x ＞5， 当x ﹣3≤1时，即x ≤4时，x ﹣312＜，解得x 72＜， 综上所述不等式f （x ﹣3）＜f （2）的解集为752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 故答案为：12，752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或． 四、解答题16．（2020·山东·高考真题）已知函数()225,02,0x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩. （1）求()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；（2）求()13f a -<，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3；（2）35a -<<.【解析】【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断1a -的取值范围，再代入分段函数解析式，得到()13f a -<的具体不等式写法，解不等式即可.【详解】解：（1）因为10>，所以()12153f =⨯-=-，因为30-<，所以()()()()2133233f f f =-=-+⨯⎤⎦-⎣=⎡.（2）因为10a -≥， 则()1215f a a -=--， 因为()13f a -<，所以2153a --<， 即14a -<，解得35a -<<.17．（2021·全国·高考真题（理））已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6， 当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥， 所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.[方法二]【最优解】：零点分段求解法当1a =时，()|1||3|f x x x =-++．当3x ≤-时，(1)(3)6-+--≥x x ，解得4x ≤-；当31x -<<时，(1)(3)6-++≥x x ，无解；当1≥x 时，(1)(3)6-++≥x x ，解得2x ≥．综上，|1||3|6-++≥x x 的解集为(,4][2,)-∞-+∞．（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-. 所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. [方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由||x a -是数轴上数x 表示的点到数a 表示的点的距离，得()|||3||3|f x x a x a =-++≥+，故|3|a a +>-，下同解法一.[方法三]：分类讨论+分段函数法当3a ≤-时，23,,()3,3,23,3,x a x a f x a a x x a x -+-<⎧⎪=--≤≤-⎨⎪-+>-⎩则min [()]3=--f x a ，此时3-->-a a ，无解．当3a >-时，23,3,()3,3,23,,x a x f x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-+>⎩则min [()]3=+f x a ，此时，由3a a +>-得，32a >-． 综上，a 的取值范围为32a >-． [方法四]：函数图象法解不等式由方法一求得()min 3f x a =+后，构造两个函数|3|=+y a 和y a =-，即3,3,3,3a a y a a --<-⎧=⎨+≥-⎩和y a =-， 如图，两个函数的图像有且仅有一个交点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭M ， 由图易知|3|a a +>-，则32a >-．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得()3min f x a =+，利用不等式恒成立的意义得到关于a 的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得()f x 的最小值，最有简洁快速，为最优解法方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求()f x 最小值，要注意函数()f x 中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数()f x 的最小值后，构造关于a 的函数，利用数形结合思想求解关于a 的不等式.18.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()2f x x ax =++，R a ∈．(1)若不等式()0f x 的解集为[1，2]，求不等式2()1f x x -的解集；(2)若对于任意的[1x ∈-，1]，不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，求实数a 的取值范围；(3)已知2()(2)1g x ax a x =+++，若方程()()f x g x =在1(,3]2有解，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(-∞，1][12，)∞+ (2)13a ≤ (3)[0，1）．【解析】【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出a ，然后解一元二次不等式即可；（2）问题转化为222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（3）利用参数分离法进行转化求解即可．（1）解：若不等式()0f x 的解集为[1，2]，即1，2是方程220x ax ++=的两个根，则123a +=-=，即3a =-，则2()32f x x x =-+，由2()1f x x -得，22321x x x -+-即22310x x -+得(21)(1)0x x --，得1x 或12x ，即不等式的解集为(-∞，1][12，)∞+． （2）解:不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，即222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，则2242()(2)x x h x x -+'=-，令()0h x '=，解得：22x =，故()h x 在[1-，22)递增，在(221]递减，故()min h x h =（1）或1()h -，而h （1）1=，1(1)3h -=，故13a ． （3）解：由()()f x g x =得22(2)12ax a x x ax +++=++，2(1)210a x x ∴-+-=，即2(1)12a x x -=-，若方程()()f x g x =在1(2，3]有解，等价为2212121x a x x x --==-有解，设22121()(1)1h x x x x =-=--，1(2x ∈，3]，∴11[3x ∈，2)，即1()0h x -<，即110a --<，则01a <，即实数a 的取值范围是[0，1)．。

南化一中高三数学第一轮复习讲义61 第六章《不等式》不等式的解法（习题课）【复习目标】1．能利用解不等式的手段解决含参数的不等式的综合问题；2．渗透分类讨论、数形结合、函数与方程等数学思想。

【课前预习】1.下列各组不等式中同解的是（）A ．x>6与22)5(6)5(x x x B ．3231332xx x x x 与0232x xC ．0)2(12xx与2xD．0)1()2(32xx x与0322xx 2.已知关于x 的不等式02cbx ax的解集为xx |其中β>α>0，则20cxbx a的解集是。

3.已知关于x 的不等式()()ab xab 230的解集为(,)13，则关于x 的不等式(3)(2)0ab xb a 的解集是。

4.若不等式ax x11的解集为x x x12或，则a=。

5.不等式()()()xxx x2123032的解集是。

【典型例题】例 1 若使不等式x xxx22430680和同时成立的x 的值使关于x 的不等式2902xxa也成立，求a 的范围。

例 2 设二次函数2()f x axbx c 对一切实数x [－1,1]，都有|()|1f x ，证明：对一切x[－1,1],都有|2|4axb .第61课：不等式的解法（习题课）《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写例3已知滿足不等式|x 2－4x+p|+|x －3|5的x 的最大值为 3. （1）求p 的值；（2）若11)(xx pp x f ，解关于x 的不等式kx x fp1log)(1.【巩固练习】1.若函数f x kxkx k()()268的定义域为R ，则k 的取值范围为。

2.若不等式ax xx 24的解集为}40|{xx ，则实数a 的取值范围是（）A ．0a B ．0aC ．4a D ．0a【本课小结】【课后作业】1．已知|x+y|=4，求xy 的最大值。

2．解关于x 的不等式：0922aa axx 3．设,,R ba 关于x 的方程02baxx的实根为α　、β，若.1||||b a 求证：||1，且||1.4．设P=(log 2x)2+(t －2)log 2x －t+1，若t 在区间[－2，2]上变动时，P 恒为正值，试求x 的变化范围．。

**题目1**：
解不等式：$|x - 2| < 3$
**分析**：
这个不等式涉及到绝对值，我们需要分两种情况来考虑：
1. $x - 2 > 0$
2. $x - 2 < 0$
对于第一种情况，我们可以直接去掉绝对值符号，得到 $x - 2 < 3$。

对于第二种情况，我们也可以去掉绝对值符号，得到 $2 - x < 3$。

**解答**：
1. 当 $x - 2 > 0$ 时，不等式变为 $x - 2 < 3$，解得 $x < 5$。

2. 当 $x - 2 < 0$ 时，不等式变为 $2 - x < 3$，解得 $x > -1$。

综合两种情况，不等式的解集为 $-1 < x < 5$。

**题目2**：
解不等式：$\log_{2}(x - 1) > 1$
**分析**：
这个不等式涉及到对数函数。

首先，我们需要确定对数函数的定义域，即 $x - 1 > 0$。

然后，将不等式转化为指数形式，并解出x的取值范围。

**解答**：
1. 根据对数函数的定义域，有 $x - 1 > 0$，解得 $x > 1$。

2. 将不等式 $\log_{2}(x - 1) > 1$ 转化为指数形式：$(x - 1) > 2$。

3. 解出 $x - 1 > 2$，得到 $x > 3$。

综合以上步骤，不等式的解集为 $x > 3$。

高三数学不等式的性质试题答案及解析1.已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是()A．a>ab>ab2B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2D．ab>ab2>a【答案】D【解析】∵a<0，－1<b<0，∴ab2－a＝a(b2－1)>0，ab－ab2＝ab(1－b)>0.∴ab>ab2>a.也可利用特殊值法，取a＝－2，b＝－，则ab2＝－，ab＝1，从而ab>ab2>a.故应选D.2.已知－3<b<a<－1，－2<c<－1，则(a－b)c2的取值范围是________．【答案】(0,8)【解析】依题意0<a－b<2,1<c2<4，所以0<(a－b)c2<8.3.已知实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围为________．【答案】(－∞，－1)【解析】若a<0，则b2<1<b，产生矛盾，所以a>0，则b2>1>b，解得b∈(－∞，－1)．4.已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是()A．xy>yz B．xz>yzC．xy>xz D．x|y|>z|y|【答案】C【解析】因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0,3z<x＋y＋z＝0，所以x>0，z<0.所以由，可得xy>xz，故选C.5. [2014·西安模拟]设α∈(0，)，β∈[0，]，那么2α－的取值范围是()A．(0，)B．(－，)C．(0，π)D．(－，π)【答案】D【解析】由题设得0<2α<π，0≤≤，∴－≤－≤0，∴－<2α－<π.6.(2014·十堰模拟)若不等式-a<x-1<a成立的充分条件是0<x<4,则实数a的取值范围是________.【答案】a≥3【解析】设A={x|-a<x-1<a}={x|1-a<x<1+a},B={x|0<x<4},依题意知B⊆A,因此解得a≥3. 7.已知a>b>1，c<0，给出下列四个结论：①>；②a c<b c；③logb (a－c)>loga(b－c)；④b a－c>a b－c．其中所有正确结论的序号是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】A【解析】a>b>1⇒，又c<0，故>，故①正确；由c<0知，y＝x c在(0，＋∞)上是减函数，故a c<b c．故②正确．由已知得a－c>b－c>1．故logb (a－c)>logb(b－c)．由a>b>1得0<loga (b－c)<logb(b－c)，故logb (a－c)>loga(b－c)．故③正确．8.若P=+,Q=+(a≥0),则P、Q的大小关系是() A．P>Q B．P=QC．P<Q D．由a的取值确定【答案】C【解析】要证P<Q,只需证P2<Q2,即证2a+7+2<2a+7+2,只需证a2+7a<a2+7a+12,只需证0<12成立,∵0<12成立,∴P<Q成立.故选C.9.设a、b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式中正确的是()A．b-a>0B．a3+b3<0C．a2-b2<0D．b+a>0【答案】D【解析】∵a-|b|>0,∴|b|<a,∴a>0,∴-a<b<a,∴b+a>0.10.>1的一个充分不必要条件是()A．x>y B．x>y>0C．x<y D．y<x<0【答案】B【解析】若x>y>0时>1,但>1时>0,不一定有x>y>0.故选B.11.观察下列不等式：1＋>1，1＋＋…＋>，1＋＋…＋>2，1＋＋…＋>，…，照此规律，第6个不等式_________________．【答案】1＋＋…＋>【解析】观察不等式：1＋＋>1＝；1＋＋…＋>；1＋＋…＋>；1＋＋…＋>；……所以由此猜测第6个不等式为1＋＋…＋>.12.设实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________．【答案】27【解析】根据不等式的基本性质求解. 2∈[16,81]，∈，＝2·∈[2,27]，的最大值是27.13.已知a＞b＞0，给出下列四个不等式：①a2＞b2；②2a＞2b－1；③＞－；④a3＋b3＞2a2b.其中一定成立的不等式序号为________．【答案】①②③【解析】因为a＞b＞0⇒a2＞b2，故①正确；a＞b＞0⇒a＞b－1⇒2a＞2b－1，故②正确；因为a＞b＞0⇒ab＞b2＞0⇒＞b＞0，而()2－(－)2＝a－b－a－b＋2 ＝2(－b)＞0，所以③正确；因为当a＝3，b＝2时，a3＋b3＝35＜2a2b＝36，故④不正确．14.已知函数.（Ⅰ）若，使得不等式成立，求的取值范围；（Ⅱ）求使得等式成立的的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据=求出的最小值，从而求得得不等式成立的的取值范围．（Ⅱ）由=，可知当且仅当时有，从而成立.解不等式由此求得的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由= 3分使得不等式成立的的取值范围是 5分（Ⅱ）由= 7分所以，当且仅当时取等 9分所以的取值范围是 10分【考点】1、绝对值不等式的性质；2、绝对值不等式的解法．15.设，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题主要考查不等式的性质，在不等式的性质中，与乘除相关的性质中有条件“均为正数”，否则不等式不一定成立，如本题中当都是负数时，都不成立，当然只能选D，事实上由于函数是增函数，故是正确的．【考点】不等式的性质．16.设，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题主要考查不等式的性质，在不等式的性质中，与乘除相关的性质中有条件“均为正数”，否则不等式不一定成立，如本题中当都是负数时，都不成立，当然只能选D，事实上由于函数是增函数，故是正确的．【考点】不等式的性质．17.设非零实数满足，则下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则无意义，则A不正确；当时，，当时，，故B不正确；令，则，故C不正确；时，则，故D正确.【考点】不等式的运算.18.已知，.（1）求的最小值；（2）证明：.【答案】（1）最小值为3；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生的分析问题的能力和转化能力.第一问，用基本不等式分别对和进行计算，利用不等式的可乘性，将两个式子乘在一起，得到所求的表达式的范围，注意等号成立的条件必须一致；第二问，先用基本不等式将，，变形，再把它们加在一起，得出已知中出现的，从而求出最小值，而所求证的式子的右边，须作差比较大小，只需证出差值小于0即可.试题解析：（Ⅰ）因为，，所以，即，当且仅当时，取最小值3． 5分（Ⅱ）．又，所以．【考点】1.基本不等式；2.不等式的性质；3.作差比较大小.19.设函数（1）若的最小值为3，求的值；（2）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查学生的分类讨论思想和转化能力以及计算能力.第一问，利用不等式的性质，得出的最小值，列出等式，解出的值；第二问，解含参绝对值不等式，用零点分段法去掉绝对值，由于已知中有和4的大小，所以直接解不等式即可，最后综合上述所得不等式的解集.试题解析：⑴因为因为,所以当且仅当时等号成立,故为所求. 4分⑵不等式即不等式，①当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.②当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.③当时，原不等式可化为即由于时所以，当时，原不等式成立.综合①②③可知：不等式的解集为 10分【考点】1.不等式的性质；2.绝对值不等式的解法.20.集合，且、、恰有一个成立，若且,则下列选项正确的是( )A．,B．,C．,D．,【答案】B【解析】从集合的定义，可三个不等式，也可得三个不等式，组合之后可知满足不等关系且，或且，或且，或且，这样可能有或或或，于是不一定成立，也不一定成立，故A，C，D都不能选，只能选B．【考点】不等关系．21.已知且，则下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】只有当时，选项A，B正确；要使，必须，所以选项C错误；当时，，所以D正确，故选D．【考点】不等式的性质．22.已知x、y、z∈R,且，则的最小值为 .【答案】【解析】由柯西不等式，，因为.所以，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.【考点】柯西不等式23.若是任意实数，，则下列不等式成立的是( )A．B．C．D．【答案】Ｄ【解析】当时，，可排除Ａ，Ｂ，Ｃ，故选Ｄ．【考点】不等式性质．24.若a，b R＋，a＋b＝1，则ab＋的最小值为 .【答案】【解析】由a，b R＋，a＋b＝1得 ab，a=b时取等号，ab＋=ab+=ab+=ab+=2+ab4+ab4+=，a=b时取等号.【考点】基本不等式的性质的应用.25.当时，则下列大小关系正确的是（）A．B．C．D．【答案】Ｃ【解析】取得，，故，故选Ｃ．【考点】比较大小．26.已知，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.【考点】不等式基本性质.27.设为正实数，满足，则的最小值是．【答案】3【解析】由已知得，∵，∴，即，两边同时平方得，.【考点】1、不等式的性质；2、基本不等式.28.已知正数满足则的取值范围是 .【答案】【解析】.由得：.所以，当时取等号.又当时，，所以.【考点】不等式的应用.29.已知函数（1）试求使等式成立的x的取值范围；（2）若关于x的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设=，利用零点分段法，将和写成分段函数的形式，然后观察=时自变量的取值范围即可；（2）这是不等式的有解问题，利用绝对值三角不等式求的最小值，.试题解析：（1）由=，又=，故使等式成立的x的取值范围为；（2）.【考点】1、零点分段法去绝对号；2、绝对值三角不等式；3、不等式有解问题.30.成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A．5千米处B．4千米处C．3千米处D．2千米处【答案】A【解析】设仓库到车站的距离是千米，那么有，，将，，分别代入两个式子，可得，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站5千米处.【考点】基本不等式及其应用31.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，，令，令，则，，，所以，所以.选B.【考点】1.不等式的性质； 2.恒成立问题.32.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】由题意，，令，令，则，，，所以，所以.【考点】1.不等式的性质； 2.恒成立问题.33.设为实数，若，则的最大值是。

4.4 数学归纳法(精练)【题组一 增项问题】1．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明等式(1)(2)()213(21)n n n n n n ++⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅-()N n *∈，从k 到1k +左端需要增乘的代数式为( ) A ．21k + B ．()221k + C ．211k k ++ D ．231k k ++ 【答案】B【解析】当n k =时，左端为()()()1232k k k k +++⋅⋅⋅当1n k =+时，左端为()()()()2322122k k k k k ++⋅⋅⋅+⋅+因为()()()()()()()()23221221232221k k k k k k k k k k ⎡⎤++⋅⋅⋅+⋅+=+++⋅⋅⋅⋅+⎣⎦所以从k 到1k +左端需要增乘的代数式为()221k +，故选：B. 2．(2021·全国高二专题练习)用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝221(1)1n a a a+-≠-”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4【答案】C【解析】由21n a +知，当1n =时，等式的左边是231a a a +++.故选：C.3．(2021·全国)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，n n x y +能被x y +整除”时，第二步归纳假设应写成( )A ．假设当()*21n k k N=+∈时成立，再推出当23n k =+时成立B ．假设当()*21n k k N =-∈时成立，再推出当21n k =+时成立C ．假设当()*n k k N =∈时成立，再推出当1n k =+时成立D ．假设当()1n k k =≥时成立，再推出当2n k =+时成立 【答案】B【解析】第二步假设当()*21n k k =-∈N 时成立，再推出当()21121n k k =+-=+时成立.故选：B.4．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明()1111N ,22321nn n n *++++<∈≥-时，第一步需要验证的不等式是( ) A ．1122+< B ．111223++<C ．111323++<D ．11113234+++<【答案】B【解析】因为2n ≥，由数学归纳法可知：第一步需要证明2n =时该不等式成立， 所以第一步需要验证的不等式是111223++<，故选：B.5．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明：首项是a 1，公差是d 的等差数列的前n 项和公式是S n ＝na 1＋(1)2n n -d 时，假设当n ＝k 时，公式成立，则S k ＝( ) A ．a 1＋(k －1)d B ．1()2k k a a + C ．ka 1＋(1)2k k -d D ．(k ＋1)a 1＋(1)2k k + d 【答案】C【解析】假设当n ＝k 时，公式成立，只需把公式中的n 换成k 即可，即S k ＝ka 1＋(1)2k k -d . 故选: C6(2021·杭州市实验外国语学校高中部高二期中)用数学归纳法证明：11112321n n ++++<-，(*,1)n n ∈>N 时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是( ) A ．2k B ．21k - C ．12k - D ．21k +【答案】A【解析】从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项为1111,,,22121k k k ++-，因此增加的项数是121212k k k +--+=，故选A .7．(2021·全国)用数学归纳法证明：()()()()1121321126n n n n n n n ⨯+⨯-+⨯-++⨯=++，当n k =时，左式为()f k ，当1n k =+时，左式为()1f k +，则()()1f k f k +-应该是( )A ．()11k ⨯+B ．()1231k +++++C ．123k ++++D ．()2k k ⨯-【答案】B【解析】由题意，()12(1)3(2)4(3)...1=⋅+-+-+-++⋅f k k k k k k ，()11(1)23(1)4(2)...2(1)1+=⋅+++-+-++⋅++⋅f k k k k k k k ，所以()()11[(1)]2[(1)]3[(1)(2)]4[(2)(3)]...(21)(1)1+-=⋅+-+⋅--+⋅---+⋅---++⋅-++⋅f k f k k k k k k k k k k k 123...(1)=++++++k k .故选：B.8．(2021·陕西省黄陵县中学高二月考(理))用数学归纳法证明“1111(2)2321n n n ++++<≥-”时，由n k =的假设证明1n k =+时，不等式左边需增加的项数为( ) A ．12k - B ．21k -C ．2kD ．21k +【答案】C【解析】当n k =时，左边11112321k =++++-， 当1n k =+时，左边11111111123212222121k k k k k ++=+++++++++-+-，所以左边增加111112212221k k k k +++++++-分母是连续的正整数所以共增加了1(21)212222k k k k k +--+=⨯-=项所以n k =的假设证明1n k =+时，不等式左边需增加的项数为2k 故选：C9．(2021·全国)用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝1n(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，左边计算所得的式子是( ) A ．1 B ．1＋a C ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3 【答案】B【解析】当n ＝1时，左边计算得出1a +故选：B10．(2021·河南信阳高中高二月考(理))用数学归纳法证明242123,2n n n n N *++++⋅⋅⋅+=∈，则当1n k =+时，左端应在n k =的基础上加上( ) A ．21k +B ．()21k +C ．()()()222121k k k +++⋅⋅⋅++D ．()()24112k k +++【答案】C【解析】当n k =时，等式左端为2123k +++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，等式左端为()()()2222123121k k k k +++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++，∴左端应在n k =的基础上加上()()()222121k k k ++++⋅⋅⋅++.故选：C.11(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，从“n=k ”到“n=k+1”，左边需增添的代数式是( ) A ．(2k+1)+(2k+2) B ．(2k-1)+(2k+1) C ．(2k+2)+(2k+3) D ．(2k+2)+(2k+4)【答案】C【解析】当n=k 时，左边是共有2k+1个连续自然数相加，即1+2+3+…+(2k+1)， 所以当n=k+1时，左边共有2k+3个连续自然数相加， 即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3). 所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3). 故选：C12．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明242123()2n n n n N *+++++=∈，则当1n k =+时，等式左边应该在n k =的基础上加上( ) A ．21k + B ．2(1)k +C ．2(2)k +D ．222(1)(2)(1)k k k ++++++【答案】D【解析】当n =k 时，等式左端2123k =++++，当n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++，增加了项222(1)(2)(1)k k k ++++++．故选：D ．13．(2021·全国)用数学归纳法证明下列等式：()()()()()()()()122135712112112312nn n n n n n n +++-+-++⋯+--+-++-+=-+．要验证当1n =时等式成立，其左边的式子应为( ) A ．1- B ．13-+ C ．135-+- D ．1357-+-+【答案】C 【解析】由题意，当1n =时， 左边1213(1)(213)+=-+++-⨯+135=-+-故选：C14．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明不等式11111123422n n-++++>-(*,2n N n ∈≥)时，以下说法正确的是( )A ．第一步应该验证当1n =时不等式成立B ．从“n k =到1n k =+”左边需要增加的代数式是12kC ．从“n k =到1n k =+”左边需要增加2k 项D ．从“n k =到1n k =+”左边需要增加的代数式是1111121222k k k--+++++ 【答案】D【解析】第一步应该验证当2n =时不等式成立，所以A 不正确； 因为11111111111111()2342234221222k k k k k---++++-++++=++++， 所以从“n k =到1n k =+”左边需要增加的代数式是1111121222k k k--+++++，所以B 不正确； 所以从“n k =到1n k =+”左边需要增加12k -项，所以C 不正确. 故选:D.【题组二 等式的证明】1．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明：22212(1)1335(21)(21)2(21)n n n n n n ++++=⨯⨯-++． 【答案】见解析【解析】(1)当1n =时，左边=211133=⨯，右边=213213⨯⨯=，等式成立， (2)假设当n k =时，等式成立，即22121335+⨯⨯＋…＋()()22121k k k -+＝()()1221k k k ++， 当1n k =+时，22121335+⨯⨯＋…＋()()22121k k k -++()()()221123k k k +++ ()()()()()2121212123k k k k k k ++++=++1121223k k k k k ++⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭()()()221121223k k k k k +++=⋅++ ()()()1112211k k k +++⎡⎤⎣⎦=++⎡⎤⎣⎦，即当1n k =+时等式也成立.，由(1)(2)可知：等式对任何*n N ∈都成立， 故22212(1)1335(21)(21)2(21)n n n n n n ++++=⨯⨯-++. 2．(2021·全国)用数学归纳法证明： (1)()213521n n +++⋯+-=；(2)21122221n n -++++=-；(3)233331123(1)2n n n ⎡⎤++++=+⎢⎥⎣⎦．【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3) 证明见解析. 【解析】(1)当1n =时，等式左边1=，右边1=，所以等式成立； 假设n k =时等式成立，即()213521k k +++⋯+-=，则当1n k =+时，()()()()221352121211k k k k k +++⋯+-+++==++， 故1n k =+时等式成立，综上可知，等式()213521n n +++⋯+-=成立.(2) 当1n =时，等式左边1=，右边1=，所以等式成立； 假设n k =时等式成立，即21122221k k -++++=-，则当1n k =+时，()1121222221222211k k k k k k +-++++=-=⨯-=++-，故1n k =+时等式成立， 综上可知，等式21122221n n -++++=-成立.(3) 当1n =时，等式左边1=，右边1=，所以等式成立； 假设n k =时等式成立，即233331123(1)2k k k ⎡⎤++++=+⎢⎥⎣⎦，则当1n k =+时，()()()2333333221123111(1)1124k k k k k k k k ⎡⎤+++++=+++⎢⎛⎫++=++⎣⎪⎦ ⎝⎥⎭()()()()()22222111111212222k k k k k k ⎛⎫++++++ ⎪⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ，故1n k =+时等式成立， 综上可知，等式233331123(1)2n n n ⎡⎤++++=+⎢⎥⎣⎦成立.【题组三 不等式的证明】1．(2021·全国高二课时练习)证明：不等式()*11111123422n n n N -+++++>∈，恒成立. 【答案】证明见解析. 【解析】当1n =时，112>成立 假设n k =时，不等式11111123422k k-++++⋯+>成立那么1n k =+时111111111111112342212222212k k k k k kk ----++++⋯+++++>++++++ 111212k k ->+，111222k k ->+，，1122k k=11111111111211234221222222k k k k k k k k ----+∴++++⋯+++++>+=++ 即1n k =+时，该不等式也成立综上：不等式()*11111123422n n n N -++++⋯+>∈，恒成立.2(2021·全国高三专题练习)证明：对于一切自然数1n ≥都有222n n +>.【答案】证明见解析【解析】(1)当1n =时，1222411+=>=，成立； 当2n =时，2222624+=>=，成立； 当3n =时，32221039+=>=，成立.(2)假设当(3,)n k k k =≥∈N 时不等式成立，即222k k +>，222k k >-， 当1n k =+时，()12222(1)22221k k k k k ++-+=⋅+-++()()2222222123(3)(1)k k k k k k k >-+-++=--=-+.因为3k ≥，即(3)(1)0k k -+≥， 所以1222(1)0k k ++-+>，即当1n k =+时，1222(1)k k ++>+时仍成立. 由(1)(2)所述，原不等式得证.3．(2021·全国高三专题练习)证明不等式1(n ∈N *)．【答案】证明见解析【解析】当n ＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即1< 当n ＝k ＋1时，1+<==所以当n ＝k ＋1时，不等式成立． 综上，原不等式对任意n ∈N *都成立．4．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明：1111123421++++⋯+≤-nn . 【答案】证明见解析；【解析】(1)当1n =时，左边1=，右边1=，不等式成立.(2)假设当n k =，*k N ∈时，不等式成立，即有1111123421kk ++++⋯+≤-，则当1n k =+时，左边=1111123421k ++++⋯+-112111221k k k ++⋯+++-+ k ≤+111122121k k k +++⋯++-， 又111122121k k k +++⋯++-1212k k <⋅= 即1111123421k ++++⋯+-112111221k k k ++⋯+++-+1k ≤+， 即当1n k =+时，不等式也成立.综上可得，对于任意*n N ∈，1111123421++++⋯+≤-nn 成立. 5．(2021·全国高二课时练习)试用数学归纳法证明2221111123(1)22n n ++⋯+>-++. 【答案】证明见解析【解析】(1)当1n =时，左边＝14，右边＝16，不等式成立；(2)假设当()*n k k N =∈时，原不等式成立，即2221111123(1)22k k ++⋯+>-++，当1n k =+时，22222111111123(1)(2)22(2)k k k k ++⋯++>-+++++ ∵()222111111111022(2)2332(2)3(2)k k k k k k k k ⎛⎫-+--=-+=> ⎪++++++++⎝⎭ ∴21111122(2)23k k k -+>-+++．即222211111123(1)(2)23k k k ++⋯++>-+++， 所以，当1n k =+时，不等式也成立．根据(1)和(2)可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立． 6．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明1＋2n ≤1＋111232n +++≤12＋n (n ∈N *)． 【答案】见解析【解析】(1)当n ＝1时，≤1＋≤，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k ， 则当n ＝k ＋1时， 1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k ·＝1＋.又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k ＋2k ·＝＋(k ＋1)，即n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有n ∈N *都成立．【题组四 数列的证明】1．(2021·全国高二课时练习)已知数列{a n }满足：11a =，点*1(,)()n n a a n N +∈在直线21y x =+上．(1)求234,,a a a 的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想．【答案】(1)23a =，37a =，415a =；21nn a =-；(2)证明见解析.【解析】(1)点*1(,)()n n a a n N +∈在直线21y x =+上可知，数列{}n a 满足： 121n n a a +=+，11a =，2343,7,15a a a ∴===．可猜得21n n a =-．(2)当1n =时，1211a =-=成立，假设当(1,)n k k k N =≥∈时，21kk a =-成立，则当1n k =+时，11212(21)121k k k k a a ++=+=-+=-成立，就是说*n N ∈，猜想正确；综上，21nn a =-．2(2021·河北曹妃甸一中高二期中)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中(21)n n S a n n =-且113a =.(1)求23,a a ；(2)猜想数列{}n a 的通项公式，并证明．【答案】(1)2115a =，3135a =，；(2)猜想1(21)(21)n a n n =-+，证明见解析.【解析】(1)由题意，数列{}n a 满足(21)n n S a n n =-，且113a =，可得21222(221)6S a a a +==⋅⨯-， 即2111515a a ==，又由312333(231)15S a a a a ++==⨯⨯-，可得31261415a a a =+=，可得3135a =. (2)由113a =，2115a =，31,35a =，猜想：1(21)(21)n a n n =-+，证明：当1n =时，由(1)可知等式成立； 假设n k =时，猜想成立，即1(21)(21)k a k k =-+，当1n k =+时，由题设可得11,(21)(1)(21)k k k k S S a a k k k k ++==-++， 所以1(21)(21)(21)(21)21k k k S k k a k k k k k -=-⋅=-++=， ()()11121k k S k k a ++=++， 又由111(1)(21)21k k k k k a S S k k a k +++=-=++-+，所以1(23)21k k k k a k ++=+， 所以()()()()1112123211211k a k k k k +==++⎡⎤⎡⎤+-++⎣⎦⎣⎦， 即当1n k =+时，命题也成立， 综上可得，命题1(21)(21)n a n n =-+对任意n *∈N 都成立. 3．(2021·安徽金安·六安一中高二月考(理))已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足1122n n n a S a =+-，且0n a >． (1)求1a 、2a 、3a ；(2)猜思{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明．【答案】(1)11a =，2a =32a =(2)猜想n a n *∈N ，证明见解析．【解析】(1)对任意的n *∈N ，1122n n n a S a =+-，且0n a >． 当1n =时，11111122a a S a ==+-，整理得211210a a +-=，且0n a >，所以11a ； 当2n =时，221221122a S a a a =+=+-，整理得22210a +-=，且0n a >，所以2a = 当3n =时，3312331122a S a a a a =++=+-，整理得23310a +-=，且0n a >，所以32a = (2)由(1)猜想n a n *∈N ，下面用数学归纳法加以证明：①当1n =时，由(1)知11a 成立；②假设当()n k k *=∈N时，k a = 当1n k =+时，11111111111222222k k k k k k k k k a a a a S S a a a ++++++⎛⎫⎛⎫=-=+--+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以21110k k a +++-=，且10k a +>，所以1k a +=1n k =+时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n *∈N 都成立．4．(2021·全国高二课时练习)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，214a =，且()1*1122n n n a S n N n -⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭. (1)求12S 、24S 、38S ； (2)由(1)猜想数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】(1)112S =，244S =，398S =；(2)()2*2n n S n n N =∈，证明见解析. 【解析】(1)()1*1122n n n a S n n -⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭N ， 当1n =时，1111112a S S ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，解得12S =，即有112S =； 当2n =时，22121121422a S S S ⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭，解得216S =，则244S =； 当3n =时，2332311223a S S S ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，解得372S =，则398S =； (2)由(1)猜想可得数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为()2*2n n S n n =∈N . 下面运用数学归纳法证明.①当1n =时，由(1)可得112S =成立； ②假设()*n k k N =∈，22k k S k =成立， 当1n k =+时，1111111221k k k k k a S S S k +-+++⎛⎫=-=+- ⎪+⎝⎭， 即有()221112221221k k k k k k S S k k k +⎛⎫-=-=-=-⋅ ⎪+⎝⎭⋅， 则()()()1111221k k k S k k k +-=+-⋅+， 当1k =时，上式显然成立；当1k >时，()()221121212k k k S k k ++=+⋅=+⋅，即()21112k k S k ++=+， 则当1n k =+时，结论也成立.由①②可得对一切*n ∈N ，22n n S n =成立. 5．(2021·全国)猜想满足1a a =，1121n n n a a a ++-=的数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．【答案】1(2)(1)n n n aa n n a ---=--，证明见解析【解析】由1121n n n a a a ++-=可得112n na a +=-， 得211122a a a ==--， 32112123222a a a a a-===----，4311322243232a a a a a a -===-----． 推测1(2)(1)n n n aa n n a ---=--．下面用数学归纳法证明：①当1n =时，左边1a a ==， 右边11(12)1(11)a a a ---==--，结论成立．②假设(*)n k n N =∈时等式成立， 有1(2)(1)k k k a a k k a ---=--，则当1n k =+时，111(1)1(2)212(1)k k k k a a k k a a k ka k k a +--===----+----故当1n k =+时，结论也成立．由①②可知，对任何*n N ∈都有1(2)(1)n n n a a n n a ---=--．【题组五 整除问题】1．(2021·陕西渭滨·(理))用数学归纳法证明：对任意正整数,4151n n n +-能被9整除．【答案】见解析【解析】证明：(1)当1n =时，4151n n +-18=，能被9整除，故当1n =时， 4151n n +-能被9整除．(2)假设当n k =时，命题成立，即4151k k +-能被9整除，则当1n k =+时，()1415(1)1441519(52)k k k k k +++-=+---也能被9整除.综合(1)(2)可得, 对任意正整数,4151n n n +-能被9整除．2．(2021·陕西碑林·西北工业大学附属中学高二月考(理))用数学归纳法证明：()21243n n n N ++++∈能被13整除．【答案】证明见解析.【解析】当1n =时，3343642791+=+=，又13791⨯=，∴()21243n n n N ++++∈能被13整除； 假设当n k =时，21243k k +++能被13整除，即()2124133k k m m N +++=∈+，那么当1n k =+时，21123321111643314364163133k k k k k k k +++++++=⨯+⨯=⨯+⨯-⨯+()()2111111643133161313313163k k k k k m m +++++=⨯+-⨯=⨯-⨯=-能被13整除；综上所述：()21243n n n N ++++∈能被13整除.3(2021·河南高二月考(理))用两种方法证明：()33*278n n n +--∈N 能被49整除．【答案】证明见解析. 【解析】证明：方法一：331278878n n n n ++--=--01112111111C 7C 7C 7C 7C 78n n nn n n n n n n n +-++++++=+++++--01112111C 7C 7C 77(1)178n n nn n n n n +-+++=++++++--()0111201121111111C 7C 7C 7C 7C 7C 49n n n n n n n n n n n n +----+++--+=+++=+++⨯因为01121111C 7C 7C n n nn n n ---++++++为整数，所以33278n n +--能被49整除．方法二：(1)当1n =时，33278641549n n +--=-=，能被49整除．(2)假设当(1)n k k =≥，33278k k +--能被49整除，那么，当(1)1n k k =+≥，()3(1)33333327(1)822715827849(1)k k k k k k k ++++-+-=⨯--=--++． 因为33278k k +--能被49整除，()491k +也能被49整除，所以()313)2718k k <++-+-能被49整除，即当(1)1n k k =+≥时命题成立，由(1)(2)知，()33*278n n n +--∈N 能被49整除．4．(2020·上海高二课时练习)求证：对于自然数*212,43n n n N ++∈+能被13整除.【答案】证明见解析；【解析】当1n =时，3343642791+=+=，91能被13整除.假设当*,n k n N =∈时结论成立，即21243k k +++能被13整除.则当1n k =+时，()21222122121114433444333k k k k k k ++++++++=⋅+⋅-⋅+⋅+()21221443331k k k +++=+⋅+⋅，由于21243k k +++能被13整除，所以()2111243k k +++++能被13整除. 所以当1n k =+时，结论成立.综上所述，对于自然数*212,43n n n N ++∈+能被13整除.5．(2022·上海高三专题练习)求证：当*n ∈N ，且2n 时，1(1)--+-n n n a nab n b 能被2()a b -整除.【答案】证明见解析；【解析】证明：当2n =时，原式为2222()a ab b a b -+=-，显然能被2()a b -整除，假设当(2)n k k =时1(1)k k k a kab k b --+-能被2()a b -整除，设上式除以2()a b -所得的商为r ，则12(1)()k k k a kab k b r a b --+-=-12(1)()k k k a kab k b r a b -∴=--+-1212(1)()k k k a ka b k ab r a b a +-∴=--+-因而11(1)k k k a k ab kb ++-++2121(1)()(1)k k k k ka b k ab r a b a k ab kb ++=--+--++122()()k kb a b r a b a -=-+-12()()k ra kb a b -=+-，∴当1n k =+时命题成立，∴当*n N ∈，且2n 时，1(1)--+-n n n a nab n b 能被2()a b -整除．6．(2022·上海高三专题练习)证明(31)71+-n n 能被9整除()*n ∈N .【答案】证明见解析；【解析】证明(1)当1n =时，(31)71(31)7127+-=+⨯-=n n 是9的倍数.命题成立.(2)假设当n k =时，命题成立，即(31)71+-k k 能被9整除.那么当1n k =+时，1[3(1)1]71(2128)71+++-=+⋅-k k k k(31)71(1827)7=+⋅-++⋅k k k k由假设(31)71k k +⋅-能被9整除，(1827)7(23)79k k k k =+⋅+⋅⋅能被9整除.所以(31)71(1827)7k k k k +⋅-++⋅能被9整除.即1n k =+是命题也成立.(3)根据(1)，(2)可知()3171n n +-能被9整除.7．(2021·全国高二课时练习)用数学归纳法证明：1211112n n +-+能被133整除 ()*n N∈．【答案】见解析 【解析】证明： ①当1n =时，121211*********n n +-+=+=能被133整除，所以 1n =时结论成立，． ②假设当()*n k k N =∈时，1211112k k +-+能被133整除，那么当1n k =+时， 2211212111211111212k k k k +++-+=⨯+⨯121212121111121112111212k k k k +---=⨯+⨯-⨯+⨯()1212111111213312k k k +--=⨯++⨯．由归纳假设可知()1212111111213312k k k +--⨯++⨯能被133整除，即 2211112k k +++能被133整除．所以1n k =+时结论也成立综上，由①②得，1211112n n +-+能被133整除.。

1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x >0，x －2，x ≤0，则不等式f (x )<x 2的解集是( )A ．(2，＋∞)∪(－∞，0]B ．RC ．[0,2)D ．(－∞，0) 2．不等式－x 2－x ＋2<0的解集为( )A ．{x |x <－2或x >1}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |x <－1或x >2}D ．{x |－1<x <2}3．若关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－1,3)B ．(1,3)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)4．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1 5．(2016·许昌模拟)若不等式ax2＋bx －2<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －2<x <14，则ab 等于( ) A ．－28B ．－26C ．28D ．26 6．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]7．(2017·南宁调研)已知当a ∈[－1,1]时，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为( )A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3) 8．设定义域为R 的函数f (x )满足下列条件：①对任意的x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0；②对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有f ?x 2?－f ?x 1?x 2－x 1>0，且f (－1)＝－1. 若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则当a ∈[－1,1]时，t 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－12]∪{0}∪[12，＋∞) C ．[－12，12] D ．(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)二、填空题9．(2017·合肥质检)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为________________．10．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈[32，＋∞)，f (x m)－4m 2·f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________________．11．设关于x 的不等式|x 2－2x ＋3m －1|≤2x ＋3的解集为A ，且－1∉A,1∈A ，则实数m 的取值范围是________．12．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，若对于任意x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，则t 的取值范围为____________．答案精析1．A [当x >0时，x ＋2<x 2，即x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1，∴x >2.当x ≤0时，x －2<x 2，即x 2－x ＋2>0，恒成立．∴x ∈(－∞，0]∪(2，＋∞)．]2．A [不等式变形为x 2＋x －2>0，∴(x ＋2)(x －1)>0，∴x >1或x <－2，∴不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．]3．D [由题意得，关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，可得b a ＝1且a >0， 又(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x －3)(x ＋b a )>0，即(x －3)(x ＋1)>0，所以x <－1或x >3，故选D.]4．B [∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －b a. ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝a 2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a 2＝2∶1∶3.] 5．C [由题意知－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，且a >0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b a ＝－2＋14，－2a ＝(－2)×14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28.]6．A [由题意得，不等式x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4≥4，又关于x 的不等式x 2－2x ＋5≥a2－3a 对任意实数x 恒成立，则a 2－3a ≤4，即a 2－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4，故选A.]7．C [把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则由f (a )>0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，且f (1)＝x 2－3x ＋2>0即可，联立方程解得x <1或x >3.]8．D [由题设条件知f (x )是奇函数，在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，所以在[－1,1]上，f (x )max ＝f (1)＝－f (－1)＝1.f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，即t 2－2at ≥0恒成立． 设g (a )＝t 2－2at ，a ∈[－1,1]，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)≥0，g (－1)≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0，解得t ≤－2或t ＝0或t ≥2.故选D.]9．{x |x <－lg 2}解析 由已知条件得0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2. 10．{m |m ≤－32或m ≥32} 解析 依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈[32，＋∞)上恒成立， 即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈[32，＋∞)上恒成立． 当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53， 所以1m 2－4m 2≤－53， 即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32. 11．{m |－13<m ≤73} 解析 由－1∉A ，得|(－1)2－2×(－1)＋3m －1|>2×(－1)＋3，即|3m ＋2|>1，解得m <－1或m >－13.① 由1∈A ，得|12－2×1＋3m －1|≤2×1＋3，即|3m －2|≤5，解得－1≤m ≤73.② 故由①②得实数m 的取值范围是{m |－13<m ≤73}． 12．t ≤－10解析 2x 2＋bx ＋c ＝0的两个实根是x 1＝0，x 2＝5，所以c ＝0，b ＝－10， 不等式2x 2－10x ＋t ≤2对任意x ∈[－1，1]恒成立，即2x 2－10x ＋t －2≤0，又f (x )＝2x 2－10x 在(－∞，52)上为单调函数， 当x ∈[－1,1]时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2×(－1)2－10×(－1)＋t －2≤0，2×12－10×1＋t －2≤0，解得t ≤－10.。

一、选择题1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x >0，x －2，x ≤0，则不等式f (x )<x 2的解集是( )A ．(2，＋∞)∪(－∞，0]B ．RC ．[0,2)D ．(－∞，0) 2．不等式－x 2－x ＋2<0的解集为( )A ．{x |x <－2或x >1}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |x <－1或x >2}D ．{x |－1<x <2}3．若关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－1,3)B ．(1,3)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)4．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1 5．(2016·许昌模拟)若不等式ax2＋bx －2<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －2<x <14，则ab 等于( ) A ．－28B ．－26C ．28D ．266．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]7．(2017·南宁调研)已知当a ∈[－1,1]时，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x的取值范围为( )A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)8．设定义域为R 的函数f (x )满足下列条件：①对任意的x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0；②对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有f ?x 2?－f ?x 1?x 2－x 1>0，且f (－1)＝－1. 若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则当a ∈[－1,1]时，t 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－12]∪{0}∪[12，＋∞) C ．[－12，12] D ．(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)二、填空题9．(2017·合肥质检)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为________________．10．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈[32，＋∞)，f (x m)－4m 2·f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________________．11．设关于x 的不等式|x 2－2x ＋3m －1|≤2x ＋3的解集为A ，且－1∉A,1∈A ，则实数m 的取值范围是________．12．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，若对于任意x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，则t 的取值范围为____________．答案精析1．A [当x >0时，x ＋2<x 2，即x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1，∴x >2.当x ≤0时，x －2<x 2，即x 2－x ＋2>0，恒成立．∴x ∈(－∞，0]∪(2，＋∞)．]2．A [不等式变形为x 2＋x －2>0，∴(x ＋2)(x －1)>0，∴x >1或x <－2，∴不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．]3．D [由题意得，关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，可得b a ＝1且a >0，又(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x －3)(x ＋b a )>0，即(x －3)(x ＋1)>0，所以x <－1或x >3，故选D.]4．B [∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －b a. ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝a 2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a 2＝2∶1∶3.] 5．C [由题意知－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，且a >0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b a ＝－2＋14，－2a ＝(－2)×14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28.]6．A [由题意得，不等式x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4≥4，又关于x 的不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则a 2－3a ≤4，即a 2－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4，故选A.]7．C [把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则由f (a )>0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，且f (1)＝x 2－3x ＋2>0即可，联立方程解得x <1或x >3.]8．D [由题设条件知f (x )是奇函数，在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，所以在[－1,1]上，f (x )max ＝f (1)＝－f (－1)＝1.f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，即t 2－2at ≥0恒成立． 设g (a )＝t 2－2at ，a ∈[－1,1]，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)≥0，g (－1)≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0，解得t ≤－2或t ＝0或t ≥2.故选D.]9．{x |x <－lg 2}解析 由已知条件得0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2. 10．{m |m ≤－32或m ≥32} 解析 依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈[32，＋∞)上恒成立， 即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈[32，＋∞)上恒成立． 当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53， 所以1m 2－4m 2≤－53， 即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32. 11．{m |－13<m ≤73} 解析 由－1∉A ，得|(－1)2－2×(－1)＋3m －1|>2×(－1)＋3，即|3m ＋2|>1，解得m <－1或m >－13.① 由1∈A ，得|12－2×1＋3m －1|≤2×1＋3，即|3m －2|≤5，解得－1≤m ≤73.② 故由①②得实数m 的取值范围是{m |－13<m ≤73}． 12．t ≤－10解析 2x 2＋bx ＋c ＝0的两个实根是x 1＝0，x 2＝5，所以c ＝0，b ＝－10， 不等式2x 2－10x ＋t ≤2对任意x ∈[－1，1]恒成立，即2x 2－10x ＋t －2≤0，又f (x )＝2x 2－10x 在(－∞，52)上为单调函数， 当x ∈[－1,1]时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2×(－1)2－10×(－1)＋t －2≤0，2×12－10×1＋t －2≤0，解得t ≤－10.。