不等式应试技巧总结
1、不等式的性质：
（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-）
，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若
0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则
a b
c d
>）
； （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n
a b >
>（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b
>。 【例】（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,2
2；
③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0<<<则若；⑤b
a
a b b a >
<<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->
->>>则若,0；⑧11
,a b a b >>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；
（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；
（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则
a c 的取值范围是______（答：12,2⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭）
2. 不等式大小比较的常用方法：
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
【例】（1）设0,10>≠>t a a 且，比较
21log log 21+t t a
a 和的大小（答：当1a >时，11
log log 22
a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11
log log 22
a a t t +≥（1t =时取等号））；
（2）设2a >，1
2
p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >）；
（3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小（答：当01x <<或4
3
x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当
413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4
3
x =时，1+3log x ＝2log 2x ）
3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方
针。
【例】（1）下列命题中正确的是A 、1y x x =+的最小值是 2 B
、2y =的最小值是 2 C 、
423(0)y x x x =-->
的最大值是2- D 、4
23(0)y x x
=-->的最小值是2-（答：C ）
； （2）若21x y +=，则24x
y
+的最小值是______（答：；
（3）正数
,x y 满足21x
y +=，则y
x 1
1+的最小值为______（答：3+）；
4.常用不等式有：（12211
a b a b
+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a 、b 、c ∈R ，222
a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；
（3）若0,0a b m >>>，则b b m
a a m
+<+（糖水的浓度问题）。
【例】如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞）
5、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).
常用的放缩技巧有：
211111111(1)(1)1n n n n n n n n n
-=<<=-++--
=
<<= 【例】（1）已知c b a >>，求证：2
22222ca bc ab a c c b b a ++>++ ；
(2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(2
22222c b a abc a c c b b a ++≥++；
（3）已知,,,a b x y R +
∈，且11
,x y a b
>>，求证：
x y x a y b >++；
(4)若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg
lg lg lg lg lg 222
a b b c c a a b c +++++>++；
（5）已知R c b a ∈,,，求证：2222
a b b c +22()c a abc a b c +≥++；
(6)若*
n N ∈(1)n +(7)已知||||a b ≠，求证：||||||||
||||
a b a b a b a b -+≤-+；
（8）求证：2
22111
1223
n
++++
<。
