优化1高三数学文一轮课件： 不等式的解法

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b
x x≠2a
⌀
⌀
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答案 (1)A
(2)ab>ba
解析 (1)∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b.
又b+c=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2,
∴b=a2+1,
思考比较两个数(式)大小常用的方法有哪些?
解题心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法.
(1)作差法的一般步骤:①作差;②变形;③定号;④下结论.变形常采用配方、
因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.
(2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简
变形,从而使结果能够与1比较大小.
(3)构造函数法:构造函数,利用函数的单调性比较大小.
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常用结论
b
b+m b
b-m
a
a+m a

答案：{x|－3≤x≤1}
12/8/2021
第二十二页，共五十二页。
4．已知函数 f(x)＝x－2＋x22＋x，2xx，≥x0<，0，解不等式 f(x)>3.
解：由题意xx≥ 2＋02，x>3或x－<x02，＋2x>3，解得 x>1. 故原不等式的解集为{x|x>1}．
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第二十三页，共五十二页。
三、易错自纠 4．不等式－x2－3x＋4>0 的解集为________．(用区间表示) 解析：由－x2－3x＋4>0 可知，(x＋4)(x－1)<0，解得－4<x<1. 答案：(－4，1)
12/8/2021
第十四页，共五十二页。
5．设二次不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为x－1<x<13，则 ab 的值为________． 解析：由不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为x－1<x<13，知 a<0 且 ax2＋bx＋1＝0 的两 根为 x1＝－1，x2＝13，由根与系数的关系知－ －113＋ ＝131a＝ ，－ba， 所以 a＝－3，b＝－2，所以 ab＝6. 答案：6
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第五页，共五十二页。
2．三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
二次函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx 有两相异实根 x1，
＋c＝0 (a>0)的根
x2(x1<x2)
有两相等实根 x1＝x2 ＝－2ba
Δ<0 没有实数根
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第七章 不等式
第二节 一元(yī yuán)二次不等式及 其解法

４．构造函数，进而通过导数来证明不等式或解决不等 式恒成立的问题是高考热点问题．
第六单元 │ 使用建议
使用建议
１．本单元内容理论性强，知识覆盖面广，因此教学中 应注意：
（１）复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显 然成立”的思维定式，一定使要用注建议意不等式成立的条件，强化 或者弱化了条件都有可能得出错误的结论．
第34讲 │ 编读互动 编读互动
第34讲 │ 知识要点 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 双基固化 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
（１）理解不等式的性质及其证明． （２）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （３）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （４）掌握简单不等式的解法． （５）理解不等式｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ ｂ｜．
第六单元 │ 复习策略
复习策略
不等式
目录
第34讲 不等式的概念与性质 第35讲 均值不等式 第36讲 不等式的解法 第37讲 不等式的证明 第38讲 含绝对值的不等式
第六单元 不等式
第六单元 │ 知识框架 知识框架
第六单元 │ 考点解读 考点解读
不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的 解法、含绝对值的不等式．
第六单元 │ 考点解读
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化

4
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文数
x2－1<0 2．不等式组 2 的解集为( x －3x<0
C )
B．{x|0＜x＜3} D．{x|－1＜x＜3}
A．{x|－1＜x＜1} C．{x|0＜x＜1}
5
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文数
x2－1<0 －1<x<1 解析： 2 ⇒ ⇒0＜x＜1. 0<x<3 x －3x<0
15
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文数
(方法二)原不等式可化为 3x2－19x＋6≤0 1 ⇒(3x－1)(x－6)≤0⇒(x－ )(x－6)≤0. 3 1 所以原不等式的解集为{x| ≤x≤6}． 3
16
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文数
(2)(方法一)原不等式可化为
x>0 2 x ＋x－2≥0 x<0 或 2 x ＋x－2≤0
＋

2t＋1>t2＋2t－3 即 2 ，所以 1<t<2. t ＋2t－3>0
24
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文数
三
含参不等式的解法
【例 3】解关于 x 的不等式 x2－(a＋a2)x＋a3＜0(a∈R)．
25
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文数
解析：原不等式化为(x－a)(x－a2)<0. 当 a>1 或 a<0 时，a2>a，所以原不等式的解为 a<x<a2； 当 0<a<1 时，a2<a，所以原不等式的解为 a2<x<a； 当 a＝1 或 a＝0 时， 原不等式为(x－1)2<0 或 x2<0， 所以无 解． 综上所述， 当 a>1 或 a<0 时，原不等式的解集为{x|a<x<a2}； 当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|a2<x<a}； 当 a＝1 或 a＝0 时，原不等式的解集为∅.

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第十八页，共三十九页。
当2a<－1，即－2<a<0 时，解得2a≤x≤－1. 综上所述，当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当－2<a<0 时，不等式的解集为x2a≤x≤－1
；
当 a＝－2 时，不等式的解集为{－1}；
பைடு நூலகம்
当 a<－2 时，不等式的解集为x－1≤x≤2a
.
1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)a>b⇔ac2>bc2.( × )
(2)若方程 ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式 ax2＋bx＋c>0
的解集为 R.( × )
(3)不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ＝b2－
4ac≤0.( × )
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第二十二页，共三十九页。
2．求不等式 12x2－ax>a2(a∈R)的解集． 解：原不等式可化为 12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0， 解得 x1＝－a4，x2＝a3. 当 a>0 时，不等式的解集为 －∞，－a4∪a3，＋∞； 当 a＝0 时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当 a<0 时，不等式的解集为 12/8/202－1 ∞，a3∪－a4，＋∞.
解析：当 k＝0 时，不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0 化为 8≥0，其 对任意的 x∈R 恒成立；当 k<0 时，不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0 不 能恒成立；当 k>0 时，要使不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0 对任意的 x ∈R 恒成立，对于方程 kx2－6kx＋k＋8＝0，需 Δ＝36k2－4(k2＋ 8k)≤0，得 0<k≤1.综上，实数 k 的取值范围是[0,1]，故选 A．

D.a2>ab>b2
答案 D 选项A,∵c为实数,∴取c=0,得ac2=0,bc2=0,此时ac2=bc2,故选项A不正确;选项B, 1 - 1 =
ab
b ,a∵a<b<0,∴b-a>0,ab>0,∴ b>0a,即 >1 ,1故选项B不正确;选项C,∵a<b<0,∴取a=-2,b=-1,
ab
ab
ab
12/11/2021
2.(2014江苏,10,5分)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的
取值范围是
.
答案
2 2
,0
解析 要满足f(x)=x2+mx-1<0对于任意x∈[m,m+1]恒成立,
只需
f f
(即m ) 0,解得-
(m 1) 0,
∵0<log0.20.3<log0.20.2=1,log20.3<log20.5=-1,即0<a<1,b<-1,∴a+b<0,排除D.
∵ b =l o g 2=0 . 3 =llgo0g.220.2,∴b- =logb 20.3-log20.2=log2
a lo g 0.2 0 .3 l g 2
a
解法二:易知0<a<1,b<-1,∴ab<0,a+b<0,
<1,∴3 b<1+
2
⇒ab b<a+b,排除A.故选B.
a
∵ 1 +1 =log0.30.2+log0.32=log0.30.4<1,

有
f f
(0) 5x 3 (1) (x2
2x2 0, 7) 5x
3
2x2
0,
化简得
2 x
x
2
2 5x 3 0, 5x 4 0,
解得
x x
1 或x 3, 2 1或x 4,
故x≤-4或x≥
1 2
.故选A.
答案 A
例2 (2021江苏连云港测试,14)设函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)< -m+5恒成立,求m的取值范围.
注意 可逆 同向
可逆 c的 符号 可逆 同向
同向同正 可乘性 可乘方性 可开方性
a>b>0,c>d>0⇒ac>bd
a>b>0,n∈N*⇒an>bn a>b>0⇒ n a > n b (n∈N,n≥2)
同向 同正 同正 同正
2.不等式的倒数和分数性质
1)倒数性质:a>b,ab>0⇒ 1< 1;
ab
考向一 解一元二次不等式
1.(2023届山东潍坊临朐实验中学月考,6)若关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x -1≥0的解集不为空集,则实数a的取值范围为 ( )
A.
2,
6 5
B.
2,
6 5
C.(-∞,-2)∪
6 5
,
D.(-∞,-2]∪
6 5
,
答案 C
2.(多选)(2023届山西长治质量检测,10)已知函数y=x2+ax+b(a>0)有且只有 一个零点,则 ( ) A.a2-b2≤4
1 n
x

学习目标
• 理解不等式性质，能运用不等式性质解决 不等式问题 • 会用基本不等式求解简单的最值问题 • 会解一元二次不等式（组），会解简单的 含参数的一元二次不等式.掌握不等式恒成 立问题的解法.
课前预习案
1、C 2、C 3、C
1 4、 -2 5、B 6、a ≥ 5 5 7、{x|-1<x<1} 8、a< 2
注意条件“一正二定三相等 一正二定三相等” 一正二定三相等 2、灵活应用“1”的代换
例3
1 解：原不等式可化为：a ( x − )( x − 1) < 0 a
1 (1)若a < 0, 原不等式 ⇔ ( x − )( x − 1) > 0 a
1 ∴ 不等式的解为x < 或x > 1 a
y
1 a
0
1
x
1 其解的情况由 与1的大小关系决定，故 a 。
1 (2)若a > 0, 原不等式 ⇔ ( x − )( x − 1) < 0(*) a
1当a=1时， 式 ⇔ x ∈∅ (*)
。
。
1 2 当a>1时，(*)式 ⇔ a < x < 1
1 3 当0<a<1时， (*)式 ⇔ 1 < x < y a
y
0
例4
(1)不等式mx -2x-m+1<0恒成立
2 2
即函数f(x)=mx -2x-m+1的图像 全部在x轴下方. 当m=0时,1-2x<0
1 即当x> 时，不等式成立. 2 不合题意，舍去.
当m ≠ 0时，函数f(x)为二次函数， 要使不等式对任意的实数x恒成立.
m < 0 m < 0 则 ⇒ 2 ∆ = 4 − 4m(1 − m) < 0 m − m + 1 < 0

得原不等式组的解集为
首先分别求绝对值不等式和一元二次不等式的解集,再求两个不
等式解集的交集.
同学们！再见！
知识点二 一元二次不等式的解法
2.一般一元二次不等式的解法
一元二次不等式
的解集可以联系二次函数
的
图像,图像在x 轴上方部分对应的横坐标x 值的集
合为不等式
的解集,图像在x 轴下
方部分对应的横坐标x 值的集合为不等式
的解集.
知识点二 一元二次不等式的解法
2.一般一元二次不等式的解法
如果一元二次方程
1
2
3
• 看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数.
①当Δ>0时,求出两根
且
• 写出相应的方程
计算判别式Δ.
(注意灵活运用因式分解法和配方法).
②当Δ=0时,求根
• 根据不等式,写出解集.
③当Δ<0时,方程无解.
考点三 含绝对值不等式的求解
1.绝对值的定义
代数意义
一个数的绝对值是非负数,即
由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况见表2-1.
不等式组（a＜b）
图示
解集
口诀
同大取大
同小取小
大小、小大中间找
空集
小小、大大找不到
知识点二 一元二次不等式的解法
1.一元二次不等式的定义
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.
例如：
任意的一元二次不等式,总可以化为一般形式:
(3)利用不等式的性质:
(4)两边平方法:
典例解析
例1 一元一次不等式
解析
的解集是( ).
整理后为x >-3,因此选C.

(5)x(x＋2)2>0 的解集是(－∞，－2)∪(0，＋∞).
() ()
解：(1)×； (2)√； (3)×； (4)×； (5)×.
不等式 2x2－x－3>0 的解集为
()
A. x|－1＜x＜32 C. x|x＜－1或x＞32
B. {x|x＜－3 或 x＞1} D. {x|x＜－1 或 x＞1}
判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
(1)－x2＋x>0 的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).
()
(2)若二次不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为(x1，x2)，则必有 a<0. (3)不等式 ax2＋bx＋c>0 恒成立，则 a>0 且 Δ<0.
() ()
(4)ax<b 的解集是ab，＋∞.
(2020 年江苏淮阴中学高二期末)不等式
x2－x－4 x－1 >1
的解集为
()
A. {x|x<－1 或 x>3}
B. {x|x<－1 或 1<x<3}
C. {x|－1<x<1 或 x>3}
D. {x|－1<x<1 或 1<x<3}
解：原不等式可化为x2－x－x－1 4－1>0，即x2－x－2x1－3>0，等价于(x＋1)(x－1)(x－3)>0.
(3)解关于 x 的不等式 ax2－2≥2x－ax(a∈R).
解：原不等式可化为 ax2＋(a－2)x－2≥0(a∈R)， 即(ax－2)(x＋1)≥0(a∈R). 当 a＝0 时，原不等式可化简为 x＋1≤0， 原不等式的解集为{x|x≤－1}； 当 a≠0 时，原不等式的解集由2a和－1 的大小决定，当 a>0 时，2a>－1；当－2<a<0 时， 2a<－1；当 a=－2 时，2a=－1；当 a<－2 时，2a>－1.