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第二章应力
第四章本构关系
讨论:
s
σ3
h 3
h s
ε2
时，s 44h 本构方程为:
ε
σE =时，s )
1()
(111E
E
E E s s s -+=-+=σεεεσσs
εs
σ3
h 3
h
P
三杆均处于弹3
h 3h
P
03
h 3h
P
3
h 3
h
P
在弹塑性阶段，１杆虽然进入塑性状态，但由于其余两杆仍处于弹性阶段，１杆的塑性变形受到限制，整个桁架的变形仍限制在弹性变形的量级，这个阶段可称为约束的塑性变形阶段．在塑性阶段，三杆都进入塑性状态，桁架的变形大于弹性变形量
级．一般说来，所有的弹塑性结构在外力的作用下，都会有这样三个变形的阶段．
3
h 3
h
P
扭和内压作用，有应力分量
求：
比例从零开
多大时开始进入屈服？z ϕϕτ3=（２）开始屈服后，继续给以应力增量，满足0
=d γMises ：
屈服准则为
21=z f σz z ϕϕτσσ32==代入上式得到屈服后，增量本构关系为：
z
z
z z d E G d d σστσλϕ898=
=
第五章 弹塑性力学问题的提法
第六章弹塑性平面问题
试求其应力分量。
图6.7 局部受均布载荷简支粱
的增大而迅速衰减。
弹性力学：1.应力：应力是描述一点内力各个方向上单位面积上的作用力的极限值，由于内力具有多重方向性因而应力也有多重方向性，需要用9个量描述，但表面独立的量有6个，实际上这6个量之间真正独立的只有3个。
2.应变；应变是描述一点的变形程度的物理量，变形包括伸缩和方向改变。
一点的应变是一个复杂的物理现象，需要6个量描述，但独立的量只有3个。
3.体积力：作用在物体每一点的外力。
比如每一点都有的重力。
4.面力：作用在物体表面的外力。
比如水给大坝表面的压力。
5.斜面应力公式：一点任一方向的面上的应力与这一点的6个坐标应力之间的关系，这个关系用于应力边界条件和斜面应力的计算。
物体表面的任一点的应力和该点的面力是相同的大小和方向。
6.平衡微分方程：分析一点：反映一点的体积力与该点的6个坐标应力之间的受力平衡的方程，方程是偏微分形式的方程。
直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。
7.可能应力：满足应力边界条件和平衡微分方程的应力场（该点进入弹塑性阶段时还要满足应力形式的屈服条件），因为应力对应的应变不一定是真实应变，因此只满足应力方程的应力只是可能应力而不一定是真实应力。
8.位移：分析一点：一点变形前后的位置差值。
变形体研究的位移是该点空间位置的连续函数。
9.几何方程：分析一点：反映一点位移与该点应变之间关系的方程。
直角坐标的几何方程形式上是最简单的，而其它坐标的复杂些。
10.变形协调方程：变形体不出现开裂或堆叠现象，即一点变形后产生的位移是唯一的，这时对一点的应变分量之间的相互约束关系。
直角坐标下的方程形式上简单，其它坐标的复杂些。
11.物理方程：这是材料变形的固有性质，反映一点应力与应变之间的约束关系，这种约束关系和坐标选取无关，即各种坐标下的物理关系都是相同的函数。
12.弹性：弹性指物体在外界因素(外荷载、温度变化等)作用下引起变形，在外界因素撤除后，完全恢复其初始的形状和尺寸的性质。
13.完全弹性：材料变形性质只有弹性而没有其他如流变、塑性等变形性质。
第六章平面问题的直角坐标解知识点平面应变问题应力表示的变形协调方程应力函数应力函数与双调和方程平面问题应力解法逆解法简支梁问题矩形梁的级数解法平面应力问题平面应力问题的近似性应力分量与应力函数应力函数与面力边界条件应力函数性质悬臂梁问题楔形体问题一、内容介绍对于实际工程结构的某些特殊形式，经过适当的简化和力学模型的抽象处理，就可以归结为弹性力学的平面问题，例如水坝，受拉薄板等。
这些问题的特点是某些基本未知量被限制在平面内发生的，使得数学上成为二维问题，从而简化了这些问题的求解困难。
本章的任务就是讨论弹性力学平面问题：平面应力和平面应变问题。
弹性力学平面问题主要使用应力函数解法，因此本章的工作从推导平面问题的基本方程入手，引入应力函数并且通过例题求解，熟悉和掌握求解平面问题的基本方法和步骤。
本章学习的困难是应力函数的确定。
虽然课程讨论了应力函数的相关性质，但是应力函数的确定仍然没有普遍的意义。
这就是说，应力函数的确定过程往往是根据问题的边界条件和受力等特定条件得到的。
二、重点1、平面应变问题；2、平面应力问题；3、应力函数表达的平面问题基本方程；4、应力函数的性质；5、典型平面问题的求解。
§6.1 平面应变问题学习思路:对于弹性力学问题，如果能够通过简化力学模型，使三维问题转化为二维问题，则可以大幅度降低求解难度。
平面应变问题是指具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束的弹性体。
这种弹性体的位移将发生在横截面内，可以简化为二维问题。
根据平面应变问题定义，可以确定问题的基本未知量和基本方程。
对于应力解法，基本方程简化为平衡微分方程和变形协调方程。
学习要点：1、平面应变问题；2、基本物理量；3、基本方程；4、应力表示的变形协调方程1、平面应变问题部分工程构件，例如压力管道、水坝等，其结构及其承载形式力学模型可以简化为平面应变问题，典型实例就是水坝，如图所示这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
第六章 弹塑性平面问题任何一个弹塑性体实际上都是空间(三维)物体，且一般的载荷严格说来也是空间力系。
因此，所有弹塑性力学问题实际上都是空间问题，即所有的力学量都是坐标),,(z y x 的函数。
但是，当所考察的物体(结构)及其所承受的载荷具有某些特点时，则可将它们近似地看作平面(二维)问题，即所有的力学量都是两个坐标(如y x ,)的函数，从而使问题得简化，且所得解答又具有工程所要求的精度。
由第二章知，弹塑性力学平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题两种，本章主要讨论弹塑性平面问题求解的一般方法。
6.1 弹性平面问题的基本方程由第二章己经知道，两类平面问题的基本未知量虽然是完全相同的，但非零的应力分量、应变分量和位移分量不是完全相同的。
1.1平衡方程无论是平面应力问题还是平面应变问题，由于在z 方向自成平衡，因此，两类问题的平衡方程均为 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y y x X y x y xy xy x σττσ (6.1-1) 1.2几何方程由于只需要考虑面内的几何关系，因此，对于两类平面向题均有 xv y u ，y v ，x u xy y x ∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=γεε (6.1-2) 由式(6.1-2)可得到平面问题的变形协调方程为 y x xy xy y x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222 (6.1-3) 1.3本构关系两类平面问题的非零应力分量和应变分量不相同，因此，由广义虎克定律所得本构方程也必然不尽相同。
(1) 平面应力问题对于平面应力问题，因,0=z σ 0==zx yz ττ，根据广义虎克定律显然有0==zx yz γγ。
因此本构方程为⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=-=-=xy xy y x z x y y y x x E E E E τνγσσνενσσενσσε)1(2)()(1)(1 (6.1-4a) 或 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=+-=xy xy x y y y x x E E E γντνεενσνεενσ)1(2)(1)(122 (6.1-4b) (2) 平面应变问题对于平面应变问题，有0===zx yz z γγε，根据广义虎克定律，必有)(y x z E σσνσ+-=和0==zx yz ττ。
因此，本构关系为 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=---=---=xy xy x y y y x x E E E τνγσννσνεσννσνε)1(2)1(1)1(122 (6.1-5a) 或⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+=+=-+-+=-+-+-=xy xy y x z x y y y x x E E E λντσσνσεννεννσεννενννσ)1(2)()1()21)(1()1()21)(1()1( (6.1-5b)将上面两种平面问题的本构方程式进行比较可以看出，只要将平面应力问题本构方程式中的E 换为)1/(2ν-E ，ν换为)1(νν-，就可以得到平面应变问题的本构方程式。
1.3应变协调方程如果采用应力法求解，还必须将平面问题的应变协调方程(6.1-3)式变换为用应力表示。
(1) 平面应力问题的应变协调方程对于平面应力问题，将方程(6.1-1)式中的第一式对x 求导，第二式对y 求导，有⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂-∂∂-=∂∂∂∂∂-∂∂-=∂∂∂y Y y y x x X x y x y xy x xy 222222στστ 将上式相加后，得)(21)(2122222y Y x X yx y x y x xy∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-=∂∂∂σστ 因 )(1)1(2222222y Y x X yx E y x E y x y x xy xy ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂∂+=∂∂∂σσντνγ 将式(6.1-3)中耐x ε、y ε用本构关系式(6.1-4a)入，而y x xy∂∂∂γ2用上式代换，可得0))(1(222222222222=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂++∂∂-∂∂+∂∂-∂∂y Y x X yx x x y y y x x y y x σσνσνσσνσ 化简上式，得))(1(22222222y Y x X y x y x y y x x ∂∂+∂∂+-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂νσσσσ 上式可进一步写为 ))(1())((2222y Y x X yx y x ∂∂+∂∂+-=+∂∂+∂∂νσσ (6.1-6) 如果不计体力或为常体力，则上式可写为 0))((2222=+∂∂+∂∂y x yx σσ (6.1-7a) 或用拉普拉斯算符简写为0)(2=+∇y x σσ (6.1-7b) 式(6.1-6)即为用应力表示的应变协调方程，通常称为纳维方程。
(2) 平面应变问题的应变协调方程对于平面应变问题，因为平衡方程同样为(6.1-1)式，应力分量x σ、y σ也只是x 、y 的函数，因此应用由平面应力变换到平面应变的对应关系，则平面应变问题的应变协调方程可直接从(6.1-6)中得到，即 )(11))((2222y Y x X yx y x ∂∂+∂∂--=+∂∂+∂∂νσσ (6.1-8) 注意到，当在平面应变问题中，如果不计体力或为常体力时，则(6.1-8)式也简化为(6.1-7)式，这时平面应力问题与平面应变问题的应变协调方程相同。
由以上可见，如果讨论的问题为D 域上的调和函数，则)(y x σσ+是在区域D 上直到二阶导数都是连续的连续函数。
在这种情况下，平面应力和平面应变问题的应力分量x σ，y σ，xy τ的分布是相同的，是是是说，他们在oxy 平面内应力场一致。
1.4边界条件平面内周边上的应力边界条件为 ⎪⎭⎪⎬⎫=+=+Y m l X m l y xy xy x σττσ (6.1-9a) 对于平面应变问题还有 Z z =σ (6.1-9b)对于平面应力问题．由于z 方向无外力作用，又0=z σ，所以该方向的边界条件自动满足。
从以上的讨论中不难发现，方程(6.1-1和(6.1-7)以及边界条件(6.1-9)中均不含材料常数。
由此得出重要结论：对于全部边界为力边界的无(或常)体力的平面问题，无论什么材料，只要它们的几何条件、载荷条件相同，则不论其为平面应力或平面应变问题，他们在平面内的应力分布规律是相同的。
这一结论，给实验模型的设计，尤其是光弹性实验提供了理论基础、并具有很大的灵活性。
但需特别注意的是，以上两种情况的应力z σ、应变和位移是不相同的。
6.2应力解法与应力函数由以上讨论可知，当边值问题属于第一类，即面力已知问题，则采用应力法求解时，其基本方程归结为(1) 当体力为常量时 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y y x X y x y xy xy x σττσ (6.2-1a) 0))((2222=+∂∂+∂∂y x yx σσ (6.2-1b) ⎪⎭⎪⎬⎫=+=+Y m l X m l y xy xy x σττσ (6.2-1c) (2)当不计体力时 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00y x y x y xy xy x σττσ (6.2-2a) 0))((2222=+∂∂+∂∂y x yx σσ (6.2-2b) ⎪⎭⎪⎬⎫=+=+Y m l X m l y xy xy x σττσ (6.2-1c) 由数学上可知，方程(6.2-1)是一组线性非齐次偏微分方程，它的解答应该包含两部分：任意一组特解和齐次方程(6.2-2a)的通解。
非齐次方程(6.2-1a)的特解可取为⎪⎭⎪⎬⎫=-=-=0xy y x Yy Xx τσσ (a)或取为 ⎪⎭⎪⎬⎫--===Yx Xy xy y x τσσ0 (b) 或取为⎪⎭⎪⎬⎫=--==0xy y x Yy Xx τσσ (c) 等形式。
显然，这些特解都满足(6.2-1a)式。
对于齐次方程式(6.2-2a)，如果引进一个函数),(y x ϕ，使得 ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫∂∂∂-=∂∂=∂∂=y x x yxy y x ϕτϕσϕσ22222 (6.2-3) 则将(6.2-3)式代人齐次方程(6.2-2a)式，可知恒满足。
函数),(y x ϕ称为平面向题的应力函数，是英国天文学家艾里(Airy,G..B)于1862年首先提出的，因此也称它为艾里应力函数。
将(6.2-3)式与式(a)式相叠加，就得到(6.2-1a)式的全解为 ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫∂∂∂-=-∂∂=-∂∂=y x Yy x Xx y xy y x ϕτϕσϕσ22222 (6.2-4) 为使应力表达式同时满足协调方程、则应力函数),(y x ϕ还必须满足一定的条件。
将(6.2-4)式代入(6.2-1b)，得0))((22222222=∂∂+∂∂∂∂+∂∂yx y x ϕϕ 将上式展开为024422444=∂∂+∂∂∂+∂∂yy x x ϕϕϕ (6.2-5a) 或采用双调和算子简写为04=∇ϕ (6.2-5b)将(6.2-4)式代入(6.2-1c)式，得到相应的用应力函数表示的静力边界条件为 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-∂∂+∂∂∂-=∂∂∂--∂∂Y m Yy x l y x X m y x l Xx y )()()()(222222ϕϕϕϕ (6.2-6) 综上所述，对于常体力下的平面问题，只要求解一个未知函数),(y x ϕ，即在给定边界条件(6.2-6)的情况下，求解方程(6.2-5)式。
求出函数),(y x ϕ后，就可通过(6.2-4)式求出应力分量，最后可通过本构方程式求应变，通过几何方程式积分求位移。
对于无体力的平面问题情况，协调方程式不变．静力边界条件利用(6.2-3)式写为 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∂∂+∂∂∂-=∂∂∂-∂∂Y m x l y x X m y x l y )()()()(222222ϕϕϕϕ (6.2-7) 相应的应力分量为(6.2-3)式所示。
实际上，直接求解弹性力学问题往住是很困难的，因此有时不得不采用逆解法或半逆解怯等来求解。
当用逆解法时，需先假定满足双调和方程(6.2-5)式的某种形式的应力函数),(y x ϕ，然后用式(6.2-3)或(6.2-4)求出应力分量x σ，y σ，xy τ等，再根据边界条件式(6.2-6)或(6.2-7)来分析所得应力分量对应于什么样的面力。
由此判定所选应力函数),(y x ϕ可以解什么样的问题。
如用半逆解法则针对所要求的问题，假定部分或全部应力分量为某种形式的双调和函数，并引入足够多的待定参数，从而导出应力函数),(y x ϕ，然后分析所得应力函数是否满足应变协调方程，判断假定的以及由应力函数导出的应力分量是否满足边界条件。
如不满足则应重新假定。
应当注意的是，双调和方程是四阶的或低于四阶的多项式都是双调和函数。
