2019年上海高中数学 解三角形强化训练

2019年高中数学单元测试试题 解三角形专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题 1．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列， ∠B=30°△ABC 的面积为23，那么b =（ ）A ．231+B ．31+C ．232+ D ．32+（2004全国4理11）2．若A ．B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cosB －sinA ，sinB －cosA ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2001北京安徽春季8）3．已知△ABC 中，a =10,B =60°,C =45°，则c =A.10+3 B .10（3-1） C.（3+1） D.1034．在△ABC 中，若b 2sin 2C +c 2sin 2B =2bc cos B cos C ，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题5．在ABC ∆中，已知2,1BC AB AC =⋅=，则ABC ∆面积的最大值是 ．6．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c ，则△ABC 的形状是 ▲ 三角形．（文科）7． ABC B A B A ABC ∆<∆则中，若,cos cos sin sin 的形状为_________8．在ABC ∆中，若sin cos A B a b =，则B ∠ ▲ ．9．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边为,,a b c ，若45a b B ===︒，则角A =10．在锐角△ABC 中，tan A = t + 1，tan B = t - 1，则t 的取值范围是 ．11．在等边三角形ABC 中,点P 在线段AB 上，满足AP AB λ=，若CP AB PA PB ⋅=⋅，则实数λ的值是___________．12．在△ABC 中，若sin(2π-A)=sin(π-B)，cosA=cos(π-B)，则△ABC 的三个内角中最小角的值为_______________.13．在ABC 中，若120,7,5A a b ===，则sin C =________14．在平地上一点A 处，测得一塔塔尖C 的仰角为45，向塔所在方向行进a m 到B 处，又测得塔尖C 的仰角为60，则塔高是____m15．两灯塔,A B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在C 的北偏东30，B 在C 的南偏东60，则,A B 之间的距离为__________km16． 在锐角△ABC 中，已知B A 2=，则的b a 取值范围是 ．17．△ABC 三个内角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，设),(),,(a c a b b c a --=+=，若//，则∠C 的大小为_____________．三、解答题18．设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且b c C a =+21cos . （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围. （本题满分14分）19．已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，且其对边分别为,,a b c ，这向量()()cos ,sin ,cos ,sin m B C n C B ==-u r r ，且12m n ⋅=u r r 。

2019年上海高中数学 强化训练（立体几何）类型一：转化1、位置关系的转化线线、线面、面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容，其精髓就是平行与垂直位置关系的相互依存及转化，平行与垂直问题不但能横向转化，而且可以纵向转化。

例1-1 已知三棱锥S －ABC 中，∠ABC ＝90°，侧棱SA ⊥底面ABC ，点A 在棱SB 和SC 上的射影分别是点E 、F 。

求证EF ⊥SC 。

例1-2 设矩形ABCD ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，以EF 为棱将矩形折成二面角A －EF －C 1(如图－2)。

求证：平面AB 1E ∥平面C 1DF 。

2、降维转化由三维空间向二维平面转化，是研究立体几何问题的重要数学方法之一。

降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去，用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题。

如线面垂直的判定定理的证明就是转化为三角形全等的平面问题。

例1-3 如图-3，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BC=2，BB 1=2，90=∠ABC ，E 、F 分别为AA 1、C 1B 1的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 .图－1 SCB例1-4 如图-4直四棱柱1111D C B A ABCD -中，21=AA ，底面ABCD 是直角梯形，∠A 是直角，AB||CD ，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线1BC 与DC 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）备注：实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。

3、割补转化“割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口。

例1-5 如图5，三棱锥P －ABC 中，已知PA ⊥BC ，PA ＝BC ＝n,PA 与BC 的公垂线ED ＝h ，求证：三棱锥P －ABC 的体积V ＝16n 2h.C 图—54、等积转化“等积法”在初中平面几何中就已经有所应用，是一种很实用的数学方法与技巧。

侧视图正视图俯视图b ba a a a2019年上海高中数学 冲刺强化：立体几何类型一：三视图1、下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为（ ）A ．32πB ．23πC ．43πD ．34π 2、用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( )A ．9与13B ．7与10C ．10与16D ．10与153、一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为___________．4．如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱1111AA A B C ⊥面,正视图是边长为2的正方形， 该三棱柱的左视图面积为（ ）.A. 4B. 32C. 22D.35、已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是 （ ）A ．4πa 2B ．3πa 2C ．(5+2)πa 2D ．(3+2)πa 2正视图： 半径为1的半圆以及高为1的矩形侧视图： 半径为1的14圆以及高为1的矩形俯视图： 半径为1的圆俯视图主视图 _ B _1_ A _1_ B_ A_ B _1 _ A _1 _ B _ A正视图俯视图正视图 2a a 2a a R=a 侧视图 俯视图6、已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）． ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体； ④每个面都是等腰三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．7、已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是__________________cm 38、四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图：则四棱锥P ABCD -的表面积 为9、已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S10、用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积的差是（ ）.A ．6B ．7C ．8D ．9 11、某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视 图如右图示（单位长度：cm ，图中水平线与竖线垂直）， 则制作该工件用去的铁皮的面积为 2cm ． （制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）12、如图4，点O 为正方体ABCD A B C D ''''-的中心，点E 为面B BCC ''的中心，点F 为B C ''的中点，则空间四边形D OEF '在该正方体的面上的正投影可能是 （填出所有可能的序号）．①②③俯视图左视图主视图aa a D C B A13、如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）14、如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12．则该几何体的俯视图可以是（ ）15、已知几何体A —BCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； （2）求二面角A -ED -B 的正弦值； （3）求此几何体的体积V 的大小.16、如图是一个简单的组合体的直观图与三视图.下面是一个棱长为4的正方体，正上面放一个球，且球的一部分嵌入正方体中，则球的半径是( ) A. 12 B.1 C.32 D.217、已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为ABCD1111直观图18、若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．19、一个几何体的三视图如图所示：其中，主视图中大三角形的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体几的体积为 .20．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D)12题型二：求量：1．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，则过棱1AA 和BC 的中点P 、Q 的直线与球面交点为M 、N ，则M 、N 两点间的球面距离为 （ ）A ．3π B ．2πC ．23arccos3 D ．1arccos()6-2．在长方体 1111ABCD A B C D - 中, 12,1AB AA AD ===, 点 E 、F 、G 分别是棱 1AA 、11C D 与 BC 的中点, 那么四面体 1B EFG - 的体积是 3．在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为 A. 1, 15⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. )1, 2⎡⎣ D. 1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3.5．如图，四面体DABC 的体积为61，∠ACB=45°，22=++AC BC AD ，则CD=_________。

立几测001试一、选择题：1．a 、b 是两条异面直线，下列结论正确的是（ ）A ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个平面与a 、b 都平行B ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都相交C ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都平行D ．过a 可以且只可以作一个平面与b 平行2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为 ( )Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．1或4 Ｄ．无法确定 3．在正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别为棱1AA 、1BB 的中点，则异面直线CM 和1D N 所成角的正弦值为 ( )Ａ．19 Ｂ．23 Ｃ．9 Ｄ．94．已知平面α⊥平面β，m 是α内的一直线，n 是β内的一直线，且m n ⊥，则：①m β⊥；②n α⊥；③m β⊥或n α⊥；④m β⊥且n α⊥。

这四个结论中，不正确．．．的三个是 ( ) Ａ．①②③ Ｂ．①②④ Ｃ．①③④ Ｄ．②③④5.一个简单多面体的各个面都是三角形，它有6个顶点，则这个简单多面体的面数是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 86. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为（设地球半径为R ）( )A. R π42B. R 3πC. R 2πD. 3R7. 直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列四个命题(1)m l ⊥⇒βα// (2)m l //⇒⊥βα (3)βα⊥⇒m l // (4)βα//⇒⊥m l 其中正确的命题是( )A. (1)与(2)B. (2)与(4)C. (1)与(3)D. (3)与(4)8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为α，则下列不等式成立的是( ) A. 60πα<< B.46παπ<< C.34παπ<< D.23παπ<<9．ABC ∆中，9AB =，15AC =，120BAC ∠=︒，ABC ∆所在平面α外一点P 到点A 、B 、C 的距离都是14，则P 到平面α的距离为( )Ａ．7 Ｂ．9 Ｃ．11 Ｄ．1310．在一个45︒的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角45︒，则此直线与二面角的另一个平面所成角的大小为 ( )Ａ．30︒ Ｂ．45︒ Ｃ．60︒ Ｄ．90︒11. 如图,E, F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D,DD 2的中点, 沿SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使D 1,D,D 2重合,记作 D.给出下列位置关系:①SD ⊥面DEF; ②SE ⊥面DEF; ③DF ⊥SE; ④EF ⊥面SED,其中成立的有: ( )12. 某地球仪的北纬60度圈的周长为6πcm,则地球仪的表面积为( )A. 24πcm 2B. 48πcm 2C. 144πcm 2D. 288πcm 2二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 直二面角α—MN —β中，等腰直角三角形ABC 的斜边BC ⊂α，一直角边AC ⊂β，BC 与β所成角的正弦值是46，则AB 与β所成角大小为__________。

第二讲三角恒等变换与解三角形(40分钟70分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若cos α=-,α是第三象限的角,则= ( )A.3B. -C.D.【解析】选B.因为cos α=-,α是第三象限的角,所以sin α=-,则===-.2.设a=2sin cos,b=cos25°-sin25°,c=,则 ( )A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b【解析】选 C.因为a=sinπ=sin 72°,b=cos 10°=sin 80°,c=tan 60°=,函数y=sin x在区间上是增函数,所以c=<a<b.3.已知A是△ABC的内角且sin A+2cos A=-1,则tan A= ( )A.-B.-C.D.【解析】选A.因为sin A+2cos A=-1,所以代入sin2A+cos2A=1中,整理得5cos2A+4cos A=0,所以cos A=0或cos A=-,当cos A=0时,sin A=-1,矛盾,所以cos A=-,sin A=,所以tan A=-.4.在△ABC中,已知tan A=,tan B=,且△ABC最大边的长为,则△ABC的最小边为( )A.1B.C.D.3【解析】选 C.设△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c.在△ABC中,tan(A+B)===1,即tan C=-1,所以C=135°,所以c=,因为tan B>tan A,则角A所对的边最小.由tan A=可知sin A=,由正弦定理=,得a=sin A·=×=.5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccos B=2a+b,若△ABC的面积S=c,则ab的最小值为( )A. B. C. D.3【解析】选B.由题意得2sin Ccos B=2sin A+sin B⇒2sin Ccos B=2(sin Bcos C+cos Bsin C)+sin B⇒cos C=-,所以S=absin C=ab=c⇒c=3ab.因为cos C=,所以-=≥,解得ab≥,当且仅当a=b=时,等号成立,即ab的最小值为.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知tan α=4,则=____________.【解析】===.答案:7.若tan α,tan β是方程x2+5x+6=0的两个根,且α,β∈,则α+β=____________.【解析】因为tan α,tan β是方程x2+5x+6=0的两个根,所以tan α+tan β=-5,tan α·tan β=6,所以tan α<0,tan β<0,所以tan(α+β)===1,又因为α,β∈,所以α+β=-π.答案:-π8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,若c=2acos B, S=a2-c2,则C的大小为____________.【解析】因为c=2acos B,所以sin C=2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,所以tan A=tan B,所以A=B,又因为S=a2-c2,所以sin C=-,由正弦定理得sin C=1-,因为A=B,所以sin A=cos,所以sin C=cos C,所以C=.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,已知a=2,b2+c2-4=4S,B>A,2sin Bsin C=cos A.(1)求A的值.(2)判断△ABC的形状并求△ABC的面积.【解析】(1)因为b2+c2-4=4S,所以b2+c2-a2=4·bcsi n A,由余弦定理得,cos A=sin A,所以tan A=,因为A∈(0,π),所以A=.(2)因为2sin Bsin C=cos A,A+B+C=π,所以2sin Bsin C=-cos(B+C)=sin Bsin C-cos Bcos C,即sin Bsin C+cos Bcos C=0,cos(B-C)=0,所以B-C=或C-B=.(ⅰ)当B-C=时,由第(1)问知A=,所以B=,C=,所以△ABC是等腰三角形, S=acsin B=;(ⅱ)当C-B=时,由第(1)问知A=,所以C=,B=,又因为B>A,矛盾,舍去.综上,△ABC 是等腰三角形,其面积为.10.已知在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求.(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.【解析】(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,S△ADC=AC·ADsin∠CAD,因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC,在△ABC中,由正弦定理得:=,所以==.(2)设∠ADB=θ,则∠ADC=π-θ.由(1)知==,所以c=2b①,因为CD=,所以BD=,在△ACD中,由余弦定理得,b2=1+-2×1×cos(π-θ),即b2=+cos θ②,在△ABD中,由余弦定理,c2=1+2-2×1×cos θ,即c2=3-2×cos θ③,由①②③得b=1,故AC=1.11.在锐角△ABC中,2sin cos+2cos Bsin C=.(1)求角A.(2)若BC=,AC=2,求△ABC的面积.【解析】(1)因为2sin cos+2cos Bsin C=,所以sin(B-C)+2cos Bsin C=,则sinB cos C-cos Bsin C+2cos Bsin C=sin(B+C)=,即sin A=,由△ABC为锐角三角形得A=.(2)在△ABC中,a=BC,b=AC,a2=b2+c2-2bccos A,即7=4+c2-2×2c×,化简得c2-2c-3=0,解得c=3(负根舍去),所以S△ABC=bcsin A=.【提分备选】1.如图所示,某镇有一块空地△OAB,其中OA=3 km,OB=3 km,∠AOB=90°.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖△OMN,其中M,N都在边AB上,且∠MON=30°,挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山,剩下的△OBN地带开设儿童游乐场. 为安全起见,需在△OAN的周围安装防护网.(1)当AM=km时,求防护网的总长度.(2)若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的倍,试确定∠AOM的大小.(3)为节省投入资金,人工湖△OMN的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使△OMN的面积最小?最小面积是多少?【解析】(1)因为在△OAB中,OA=3,OB=3,∠AOB=90°,所以∠OAB=60°,在△AOM中,OA=3,AM=,∠OAM=60°,由余弦定理,得OM=,所以O M2+AM2=OA2,即OM⊥AN,所以∠AOM=30°,所以△OAN为正三角形,所以△OAN的周长为9,即防护网的总长度为9 km.(2)设∠AOM=θ(0°<θ<60°),因为S△OMN=S△OAM,所以ON·OMsin 30°=×OA·OMsin θ,即ON=6sin θ,在△OAN中,由==,得ON=,从而6sin θ=,所以sin 2θ=,所以θ=15°,即∠AOM=15°.(3)设∠AOM=α(0°<α<60°),由(2)知ON=,又在△AOM中,由=,得OM=,所以S△OMN=OM·ON·sin 30°===,所以当且仅当2α+60°=90°,即α=15°时,△OMN的面积取最小值为 km2.2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足(2a-c)cos B=bcos C.(1)求B的大小.(2)如图,AB=AC,在直线AC的右侧取点D,使得AD=2CD=4.当角D为何值时,四边形ABCD的面积最大?【解析】(1)因为(2a-c)cos B=bcos C,所以(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,所以2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C,所以2sin Acos B=sin(B+C)=sin A,因为sin A≠0,所以cos B=,所以B=.(2)因为AB=AC,B=,所以△AB C为等边三角形,若四边形ABC D面积最大,则△ADC的面积最大,设AC=x,在△ADC中,由余弦定理可得x2=AC2=CD2+AD2-2CD·AD·cos D=4+16-2×2×4cos D,所以cos D=,所以sin D=,当x2=20,即x=2时,-(20-x2)2+162最大,即sin D最大,最大为1,因为S△ADC=CD·AD·sin D=4sin D,所以当D=时,S△ADC最大,所以当D=时,四边形ABCD的面积最大.3.已知△ABC为锐角三角形,若向量p=(2-2sin A,cos A+sin A)与向量q=(sin A-cos A,1+sin A)是共线向量.(1)求角A.(2)求函数y=2sin2B+cos的最大值.【解析】(1)因为p,q共线,所以(2-2sin A)(1+sin A)=(cos A+sin A)(sin A-cos A),则sin2A=.又A为锐角,所以sin A=,则A=.(2)y=2sin2B+cos=2sin2B+cos=2sin2B+cos=1-cos 2B +cos 2B+sin 2B=sin 2B-cos 2B+1=sin+1.因为B∈,所以2B-∈,所以当2B-=即B=时,函数y取得最大值,y max=2.(20分钟20分)1.(10分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan=2.(1)求的值.(2)若B=,a=3,求△ABC的面积.【解析】(1)由tan=2,得tan A=.所以==.(2)由tan A=,A∈(0,π),得sin A=,cos A=.又由a=3,B=及正弦定理=,得b=3.由sin C=sin(A+B)=sin,得sin C=,设△ABC的面积为S,则S=absin C=9.2.(10分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.(1)证明:sin AsinB=sin C.(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.【解析】(1)由正弦定理==,可知原式可以化解为+==1,因为A和B为三角形内角,所以sin Asin B≠0,则两边同时乘以sin Asin B,可得sin Bcos A+sin Acos B=sin Asin B,由和角公式可知,sin Bcos A+sin Acos B=sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,原式得证.(2)由题b2+c2-a2=bc,根据余弦定理可知,cos A==.因为A为三角形内角,A∈(0,π),sin A>0,则sin A==,即=,由(1)可知+==1,所以==,所以tan B=4.。

2019年上海高中数学 冲刺强化3(立体几何-角的问题)1、如图所示，111A B C A B C -是直三棱柱，090B C A ∠=，点11D F 、分别是11A B 和11A C 的中点，若1B C C A C C ==，求1B D 与1A F 所成角的余弦值。

2、三棱柱111B A O OAB -，平面11O OBB ⊥平面OAB ，90,601=∠=∠AOB OB O ，且12,O B O O ==O A =B A 1与1AO 所成角的余弦。

3、如图，在三棱柱A B C A B C '''-中，四边形A A B B ''是菱形，四边形B C C B ''是矩形，C B A B ''⊥,2,4,60C B A B A B B '''==∠=，求A C '与平面B C C B ''所成角的正切。

AB 1FC1A1B 1C1D A B O1A 1B 1OA B C A ' B ' C '4、（1）在0120的二面角P a Q --的两个面P 与Q 内分别有两点A B 、，已知点A 和点B 到棱的距离分别为2,4cm cm ，且线段10A B cm =。

求：①直线A B 和棱a 所成角的正弦值；②直线A B 和平面Q 所成角的正弦值。

（2）已知三棱柱111A B C A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面A B C 内的射影为A B C △的中心，则1A B 与底面A B C 所成角的正弦值等于（ ） A ．13B．3C．3D ．23（3）如图，在矩形A B C D中，3A B B C ==，沿对角线B D 将B C D ∆折起，使点C 移到C '点，且C '点在平面A B D 上的射影O 恰在A B 上。

求直线A B 与平面B C D '所成角的大小。

三角函数与解三角形解答题专项训练1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosC=csinA．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a=3，△ABC的面积为，求的值．2．已知函数f（x）=msinxcosx+mcos2x+n（m，n∈R）在区间[0，]上的值域为[1，2]．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，当m＞0时，若f（A）=1，sinB=4sin（π﹣C），△ABC的面积为，求边长a的值．3．已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若f（x）＜m在上恒成立，求实数m的取值范围．4．函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．5．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．6．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．7．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．8．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B= sinAcosA﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．10．设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A+）的值．11．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．12．如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．4．（2015•泸州模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosC=csinA．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a=3，△ABC的面积为，求的值．考点：正弦定理；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，由sinA不为0求出tanC的值，即可确定出角C 的大小；（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，把a，sinC，以及已知面积代入求出b的值，再利用余弦定理求出c的值，求出cosA的值，利用平面向量的数量积运算法则即可确定出原式的值．解答：解：（Ⅰ）∵acosC=csinA，由正弦定理得：sinAcosC=sinCsinA，∵0＜A＜π，∴sinA＞0，∴cosC=sinC，即tanC=，又0＜C＜π，∴C=；（Ⅱ）∵a=3，△ABC的面积为，∴S=absinC=×3bsin=，∴b=2，由余弦定理得：c2=4+9﹣6=7，即c=，cosA==，则•=bccos（π﹣A）=2×（﹣）=﹣1．点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．6．（2015•资阳模拟）已知函数f（x）=msinxcosx+mcos2x+n（m，n∈R）在区间[0，]上的值域为[1，2]．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，当m＞0时，若f（A）=1，sinB=4sin（π﹣C），△ABC的面积为，求边长a的值．考点：余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），对m讨论，m＞0，m＜0，根据值域求得m，n，再求单调增区间；（Ⅱ）当m＞0时，求得A，再由正弦定理得到b=4c，由面筋公式，即可得到b，c 再由余弦定理求得a．解答：解：（Ⅰ）===，当时，，则．由题意知m≠0，①若m＞0，则，解得m=2，n=﹣1，则，由（k∈Z），得函数f（x）的单调递增区间是，k∈Z．②若m＜0，则，解得m=﹣2，n=4．则，由（k∈Z），故函数f（x）的单调递增区间是，k∈Z；（Ⅱ）当m＞0时，由，所以．因为sinB=4sin（π﹣C），所以sinB=4sinC，则b=4c，又△ABC面积为，所以，即bc=4，所以b=4，c=1，则，所以．点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查三角函数的图象和性质，求单调区间和求值域，考查正弦、余弦定理和面积公式及运用，考查运算能力，属于中档题．7．（2015•重庆一模）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若f（x）＜m在上恒成立，求实数m的取值范围．考点：三角函数的最值；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）的解析式，再根据正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期．（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值，可得实数m的取值范围．解答：解：（1）∵函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+=cosx（sinx+cosx ）﹣•+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∴函数的最小正周期为．（2）∵，∴，∴．∵f（x）＜m在上恒成立，∴．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于基础题．8．（2014•北京）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈[﹣，﹣]可得2x+∈[﹣，0]，由三角函数的性质可得最值．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π，可知y0为函数的最大值3，x0=；（Ⅱ）∵x∈[﹣，﹣]，∴2x+∈[﹣，0]，∴当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0，当2x+=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣3点评：本题考查三角函数的图象和性质，属基础题．9．（2014•重庆）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π求得ω=2．再根据图象关于直线x=对称，结合﹣≤φ＜可得φ的值．（Ⅱ）由条件求得sin（α﹣）=．再根据α﹣的范围求得cos（α﹣）的值，再根据cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]，利用两角和的正弦公式计算求得结果．解答：解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．再根据图象关于直线x=对称，可得2×+φ=kπ+，k∈z．结合﹣≤φ＜可得φ=﹣．（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），∴sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=．再根据0＜α﹣＜，∴cos（α﹣）==，∴cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=+=．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题．12．（2014•广东）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值．（2）由（1）可得f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ的值，再由θ∈（0，），求得sinθ的值，从而求得f（﹣θ）的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．∴Asin（+）=Asin=A•=，∴A=．（2）由（1）可得f（x）=sin（x+），∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sin cosθ=cosθ=，∴cosθ=，再由θ∈（0，），可得sinθ=．∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题．13．（2014•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用．14．（2014•东城区一模）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．考点：正弦定理；两角和与差的正切函数．分析：本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，（Ⅰ）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中，进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，结合角A，B，C为△ABC的内角，我们易得tanA=4tanB＞0，则tan（A﹣B）可化为，再结合基本不等式即可得到tan（A﹣B）的最大值．解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，，由正弦定理得即sinAcosB=4cosAsinB，则；（Ⅱ）由得tanA=4tanB＞0当且仅当时，等号成立，故当时，tan（A﹣B）的最大值为．点评：在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式．15．（2014•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）△ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2•cos（A+B）sin（A﹣B）．求得tan（A+B）的值，可得A+B的值，从而求得C的值．（Ⅱ）由sinA=求得cosA的值．再由正弦定理求得a，再求得sinB=sin[（A+B）﹣A]的值，从而求得△ABC的面积为的值．解答：解：（Ⅰ）∵△ABC中，a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB，∴﹣=sin2A﹣sin2B，即cos2A﹣cos2B=sin2A﹣sin2B，即﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2•cos（A+B）sin（A﹣B）．∵a≠b，∴A≠B，sin（A﹣B）≠0，∴tan（A+B）=﹣，∴A+B=，∴C=．（Ⅱ）∵sinA=＜，C=，∴A＜，或A＞（舍去），∴cosA==．由正弦定理可得，=，即=，∴a=．∴sinB=sin[（A+B）﹣A]=sin（A+B）cosA﹣cos（A+B）sinA=﹣（﹣）×=，∴△ABC的面积为=×=．点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．16．（2014•安徽）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A+）的值．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：综合题；三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用正弦定理，可得a=6cosB，再利用余弦定理，即可求a的值；（Ⅱ）求出sinA，cosA，即可求sin（A+）的值．解答：解：（Ⅰ）∵A=2B，，b=3，∴a=6cosB，∴a=6，∴a=2；（Ⅱ）∵a=6cosB，∴cosB=，∴sinB=，∴sinA=sin2B=，cosA=cos2B=2cos2B﹣1=﹣，∴sin（A+）=（sinA+cosA）=．点评：本题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（2014•北京）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．解答：解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC===，则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7．点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．。

（第10题图）2019年上海高中数学 冲刺强化：立体几何一、填空题：1、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．2、若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.3、已知球的表面积为64π2cm ，用一个平面截球，使截面圆的半径为2cm ，则截面与球心的距离是 cm . 4、一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为 5、已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是6、若一个球的半径与它的内接圆锥的底面半径之比为5,3且内接圆锥的轴截面为锐角三角形，则该球的体积与它的内接圆锥的体积之比等于7、如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B 作截面111A BC D 后形成的。

已知1AB =，11112A A C C D D ==，1DB 与底面ABCD 所成的角为3π，则这个多面体的体积为8、已知A 地位于东经30︒、北纬45︒，B 地位于西经60︒、北纬45︒，则A 、B 两地的球面距离与地球半径的比值为9、若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍。

10、等腰直角三角形的直角边长为1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为 11、已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为15πcm 2，则此圆锥的体积是____________ cm 3 .12、如图所示，半径2R =的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差 等于13、若圆锥的侧面展开图是半径为2，中心角为53π的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值 为14、若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍15、已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB ==、BC =O 的表面积等于二、解答题：16、如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1，AB=AD=2，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，证明A 1、C 1、F 、E 四点共面，并求直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角的大小．17、底面边长为2的正三棱锥-P ABC ，其表面展开图是三角形123PP P ，如图. 求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V .P 1218、如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.C 11A19、如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知21===AB BC AA ，AB ⊥BC ． （1）求四棱锥111A BCC B -错误！未指定书签。

2019年上海高中数学 专项训练[解析几何综合]1、焦点三角形的周长例题1 如图所示 21,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于A,B 两点，且|||,||,|22BF AB AF 成等差数列，则=ac 例题2 12||||,19252122=+=+B F A F y x ,则=||AB例题3 13422=-y x 则=-+||||||22MN NF MF焦点三角形的面积例题4 191622=+y x ，若21,,F F P 是一个直角三角形的三个顶点，则P 到x 轴的距离是例题5 0,122122=⋅=-MF MF y x ，则M 到x 轴的距离为焦点三角形的角平分线例题6 曲线C ：)3,2(,1121622A y x =+，求21AF F ∠的角平分线的方程。

例题7 2122,134F PF y x ∆=+的内切圆的半径为21，则=⋅21PF焦点三角形的中位线例题8 如图，已知椭圆的左焦点为1F ，若椭圆上存在一点P 满足以椭圆短轴为直径的圆与线段1PF 相切线段1PF 的中点E ，则=ac焦点间的转换例题9 )1,2(,1162522A y x =+，则||||1MA MF +的最大值为 例题10 1162522=+y x 。

将AB 分成8等份，并作垂线相较于椭圆于721,,P P P ,则=++||||171F P PF 例题11 N M y x ,,116922=-分别是圆4)5(22=++y x 和1)5(22=+-y x 上的点，则||||PN PM -的最大值。

焦点与相应准线的转换例题12 1:,0634:21-==+-x l y x l ，抛物线x y C 4:2=，动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值 是点线距离与线线距离的转换 例题13 04054:,192522=+-=+y x l y x ，椭圆上是否存在一点，使得它到直线l 的距离最小？最小值。

第二章　§3　第1课时一、选择题1．从塔顶处望地面A 处的俯角为30°，则从A 处望塔顶的仰角是( )A ．－60°　B ．30°C ．60°　D ．150°[答案]　B2．某人向正东方向走x km 后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好 km ，那么x 的值为( )3A ． B ．233C ．2或　D ．333[答案]　C[解析]　由题意画出三角形如下图．则∠ABC ＝30°，由余弦定理得，cos30°＝，∴x ＝2或.x 2＋9－36x333．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3km ，甲船以8km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是( )A ．kmB ．km 713C ．kmD ．km1910－33[答案]　B[解析]　由题意知AM ＝8×＝2，BN ＝12×＝3，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1，所以由15601560余弦定理得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos120°＝1＋9－2×1×3×(－)＝13，所以12MN ＝km.134．一艘船以4km/h 的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h ，则经过h ，该船实际航程为( )3A ．2km B ．6km15C ．2kmD ．8km21[答案]　B [解析]　如图，∵||＝2，||＝4，∠AOB ＝120°，OA → OB→ ∴∠A ＝60°，||＝＝2.OC→ 22＋42－2×2×4cos60°3经过h ，该船的航程为2×＝6(km)．3335．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km)，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a (km)B ．a (km)3C ．a (km)D ．2a (km)2[答案]　B[解析]　在△ABC 中，∠ACB ＝180°－(20°＋40°)＝120°.∵AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝a 2＋a 2－2a 2×(－)＝3a 2，12∴AB ＝a (km)．36．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )A ．米B ．米400340033C ．200米D ．200米3[答案]　A[解析]　如图，设AB 为山高，CD 为塔高，则AB ＝200，∠ADM ＝30°，∠ACB ＝60°，∴BC ＝200cot60°＝，AM ＝DM tan30°＝BC tan30°＝.200332003∴CD ＝AB －AM ＝.4003二、填空题7．某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A 、B 两点处测量与地面垂直的塔CD 的高，由A 、B 两地测得塔顶C 的仰角分别为60°和45°，又知AB 的长为40米，斜坡与水平面成30°角，则该转播塔的高度是________米．[答案]　4033[解析]　如图所示，由题意，得∠ABC ＝45°－30°＝15°，∠DAC ＝60°－30°＝30°.∴∠BAC ＝150°，∠ACB ＝15°，∴AC ＝AB ＝40米，∠ADC ＝120°，∠ACD ＝30°，在△ACD 中，由正弦定理，得CD ＝·AC ＝·40＝.sin ∠ACDsin ∠ADC sin30°sin120°40338．一船以24 km/h 的速度向正北方向航行，在点A 处望见灯塔S 在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东75°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是______ km.(精确到0.1 km)[答案]　4.2[解析]　作出示意图如图．由题意知，AB ＝24×＝6，1560∠ASB ＝45°，由正弦定理得，＝，6sin45°BSsin30°可得BS ＝＝3≈4.2(km)．6×12222三、解答题9．海面上相距10海里的A 、B 两船，B 船在A 船的北偏东45°方向上，两船同时接到指令同时驶向C 岛，C 岛在B 船的南偏东75°方向上，行驶了80分钟后两船同时到达C 岛，经测算，A 船行驶了10海里，求B 船的速度．7[解析]　如图所示，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝10，∠ABC ＝120°由余弦定理，得7AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC ·cos120°即700＝100＋BC 2＋10BC ，∴BC ＝20，设B 船速度为v ，则有v ＝＝15(海里/小时)．2043即B 船的速度为15海里/小时．10．在上海世博会期间，小明在中国馆门口A 处看到正前方上空一红灯笼，测得此时的仰角为45°，前进200米到达B 处，测得此时的仰角为60°，小明身高1.8米，试计算红灯笼的高度(精确到1m)．[解析]　由题意画出示意图(AA ′表示小明的身高)．∵AB ＝200，∠CA ′B ′＝45°，∠CB ′D ′＝60°，∴在△A ′B ′C 中，＝A ′B ′sin ∠A ′CB ′B ′Csin45°∴B ′C ＝＝＝200(＋1)．A ′B ′sin45°sin15°200×226－243在Rt △CD ′B ′中，CD ′＝B ′C ·sin60°＝100(3＋)，3∴CD ＝1.8＋100(3＋)≈475(米)．3答：红灯笼高约475米.一、选择题1．一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(＋)海里/时B ．20(－)海里/时2662C ．20(＋)海里/时D ．20(－)海里/时6363[答案]　B[解析]　设货轮航行30分钟后到达N 处，由题意可知∠NMS ＝45°，∠MNS ＝105°，则∠MSN ＝180°－105°－45°＝30°.而MS ＝20，在△MNS 中，由正弦定理得＝，MNsin30°MSsin105°∴MN ＝＝20sin30°sin105°10sin (60°＋45°)＝10sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝＝10(－)．106＋2462∴货轮的速度为10(－)÷＝20(－)(海里/时)．6212622．如图所示，在山底A 处测得山顶B的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000米到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为( )A ．500mB ．200m 2C ．1000mD ．1000m2[答案]　D[解析]　∵∠SAB ＝45°－30°＝15°，∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS 中，AB ＝＝＝1 000，AS ·sin135°sin30° 1 000×22122∴BC ＝AB ·sin45°＝1 000×＝1 000(m)．2223．一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( )A ．5n mlieB ．5n mlie 3C ．10n mlieD ．10n mlie 3[答案]　C[解析]　如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt △ABC 中，求得AB ＝5，∴这艘船的速度是＝10(n mlie/h)．50.54．已知船A 在灯塔C 北偏东85°且到C 的距离为2km ，船B 在灯塔C 西偏北25°且到C 的距离为km ，则A 、B 两船的距离为( )3A ．2km B ．3km 32C ．km D ．km1513[答案]　D[解析]　如图可知∠ACB ＝85°＋(90°－25°)＝150°，AC ＝2，BC ＝，3∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos150°＝13，∴AB ＝.13二、填空题5．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．[答案]　20米，米34033[解析]　如图，依题意有甲楼的高度AB ＝20·tan60°＝20(米)，又CM ＝DB ＝20米，3∠CAM ＝60°，所以AM ＝CM ·cot60°＝米，2033故乙楼的高度为CD ＝20－＝(米)．3203340336．如图，一辆汽车在一条水平的公路上从C 处向正东行驶，到A 处时，测量公路南侧远处一山顶D 在东南15°的方向上，行驶15km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南30°的方向上，仰角为15°，则此山的高度CD 等于________km.[答案]　5(2－)3[解析]　在△ABC 中，∠A ＝15°，∠C ＝30°－15°＝15°，由正弦定理，得BC ＝＝＝5.AB sin Asin C 5×sin15°sin15°又CD ＝BC ·tan ∠DBC ＝5×tan15°＝5×tan(45°－30°)＝5(2－)．3三、解答题7．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，AB ＝120米，求河的宽度．[解析]　如图，在△ABC 中，∵∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，∴∠ACB ＝60°.由正弦定理，得AC ＝＝AB ·sin ∠CBAsin ∠ACB 120sin75°sin60°＝20(3＋)．26设C 到AB 的距离为CD ，则CD ＝AC sin ∠CAB ＝AC ＝20(3＋)．223答：河的宽度为20(＋3)米．38．在大海上，“蓝天号”渔轮在A 处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20海里的B 处．现在“白云号”以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8海里的速度由A 处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．[解析]　如下图，设经过t 小时，“蓝天号”渔轮行驶到C 处，“白云号”货轮行驶到D 处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD ．则根据题意，知在△ABC 中，AC ＝8t ，AD ＝20－10t ，∠CAD ＝60°.由余弦定理，知CD 2＝AC 2＋AD 2－2×AC ×AD cos60°＝(8t )2＋(20－10t )2－2×8t ×(20－10t )×cos60°＝244t 2－560t ＋400＝244(t －)2＋400－244×()2，70617061∴当t ＝时，CD 2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．7061。