弹塑性力学部分习题及答案

第一、二章作业一、选择题：1．弹性力学的研究对象是 B 。

A．刚体；B．可变形固体；C．一维构件； D．连续介质；2．弹性力学的研究对象是 C几何尺寸和形状。

A．受到…限制的物体； B．可能受到…限制的物体；C．不受…限制的物体； D．只能是…受限制的任何连续介质；3．判断一个张量的阶数是根据该张量的C确定的。

A．下标的数量； B．哑标的数量； C．自由标的数量； D．字母的数量。

4．展开一个张量时，对于自由下标操作的原则是按其变程C。

A．一一罗列； B．先罗列再求和； C．只罗列不求和； D．一一求和。

5．展开一个张量时，对于哑脚标操作的原则是按其变程B。

A．一一罗列； B．先罗列再求和； C．只罗列不求和； D．一一求和。

6．在弹性力学中，对于固体材料（即研究对象）物性组成的均匀性以及结构上的连续性等问题，提出了基本假设。

这些基本假设中最基本的一条是 A。

A．连续性假设； B．均匀性假设；C．各向同性的假设； D．几何假设——小变形条件；7．从一点应力状态的概念上讲，当我们谈及应力，必须表明的是D。

A．该应力的大小和指向，是正应力还是剪应力；B．该应力是哪一点处的正应力和剪应力，还是全应力；C．该应力是哪一点处的应力D．该应力是哪一点处哪一微截面上的应力，是正应力还是剪应力。

8．表征受力物体内一点处的应力状态一般需要__B_应力分量，其中独立的应力分量有_C__。

A． 18个； B． 9个； C． 6个； D． 2个。

9．一点应力状态的主应力作用截面上，剪应力的大小必定等于___D_________。

A．主应力值； B．极大值； C．极小值； D．零。

10．一点应力状态的最大（最小）剪应力作用截面上的正应力，其大小_____D_______。

A．一般不等于零； B．等于极大值； C．等于极小值； D．必定等于零。

11．平衡微分方程是 C 间的关系。

A ．体力分量和面力分量；B ．应力分量和面力分量；C ．体力分量和应力分量；D ．体力分量、面力分量和应力分量；12．静力边界条件是 B 间的关系。

二、填空题：（每空2分，共8分）1、在表征确定一点应力状态时，只需该点应力状态的-------个独立的应力分量，它们分别是-------。

（参照oxyz直角坐标系）。

2、在弹塑性力学应力理论中，联系应力分量与体力分量间关系的表达式叫---------方程，它的缩写式为-------。

三、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。

每小题4分，共16分。

）1、试根据由脆性材料制成的封闭圆柱形薄壁容器，受均匀内压作用，当压力过大时，容器出现破裂。

裂纹展布的方向是：_________。

A、沿圆柱纵向（轴向）B、沿圆柱横向（环向）C、与纵向呈45°角D、与纵向呈30°角2、金属薄板受单轴向拉伸，板中有一穿透形小圆孔。

该板危险点的最大拉应力是无孔板最大拉应力__________倍。

A、2B、3C、4D、53、若物体中某一点之位移u、v、w均为零（u、v、w分别为物体内一点，沿x、y、z直角坐标系三轴线方向上的位移分量。

）则在该点处的应变_________。

A、一定不为零B、一定为零C、可能为零D、不能确定4、以下________表示一个二阶张量。

A、B、C、D、四、试根据下标记号法和求和约定展开下列各式：（共8分）1、；（i ，j = 1，2，3 ）；2、；五、计算题（共计64分。

）1、试说明下列应变状态是否可能存在：；（）上式中c为已知常数，且。

2、已知一受力物体中某点的应力状态为：式中a为已知常数，且a＞0，试将该应力张量分解为球应力张量与偏应力张量之和。

为平均应力。

并说明这样分解的物理意义。

3、一很长的（沿z轴方向）直角六面体，上表面受均布压q作用，放置在绝对刚性和光滑的基础上，如图所示。

若选取＝ay2做应力函数。

试求该物体的应力解、应变解和位移解。

（提示：①基础绝对刚性，则在x＝0处，u＝0 ；②由于受力和变形的对称性，在y＝0处，v＝0 。

）题五、3图4、已知一半径为R＝50mm，厚度为t＝3mm的薄壁圆管，承受轴向拉伸和扭转的联合作用。

第二章 习题解答2-1解：已知 0,0,===-==y x xy y xf f q τσσ1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂xy y yxx x y yx τστσ23()()⎩⎨⎧++s xy y s yx x l m m l σστστσ 有：lq t x -=代入（*4理、几何方程得：E x u x ==∂∂ε11E y v y ==∂∂ε0==∂∂+∂∂xy yux v γ ()()⇒=+∴0dyy df dx x dg 类似于教材题2-3，可求出 ()()wx v x g wy u y f +=-=00,001;1v wx qy Ev u wy qx Eu ++--=+---=∴υυ从v u ,表达式可见，位移分量是坐标的单值函数，满足位移单值条件。

综合1）～4），。

q xy y x 为问题的正确解答0,=-==τσσ2-2x =σxy τ注意：y x ，代入均满足。

2）验证相容方程：0)(2=+∇y x σσ 亦满足。

3）验证应力边界条件： i) 主要边界：()0,2=±=h y yx yτσ满足ii) 次要边界：()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰-=-=-=222222320)1(0h h lx xy h h l x x h h l x x Pdy ydy dy τσσ （1）、（2）满足，（3）式左=⎰-===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-223332212*41*618218hh P h I P h h I P dy y h I P 右 结论：所列xy y x τσσ,,满足平衡方程、相容方程；在主要边界上严格满足应力边界条件，次要边界近似满足应力边界条件，又为单连体，故在圣维南原理的前提下为问题的正确解。

2-3、证明：1）由,,yVf xV fy x∂∂-=∂∂-=则平衡微分方程为： ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂τ∂+∂-σ∂=∂τ∂+∂-σ∂⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂τ∂+∂σ∂=∂∂-∂τ∂+∂σ∂0x y V 0yx V 0y V x y 0x V y x yx y xyx yx y xy x （*） 类似于题2-10的推证过程，（*）式的通解为：y x x V yV 2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ∂ϕ∂=-σ∂ϕ∂=-σ;;即： yx V xV y2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ+∂ϕ∂=σ+∂ϕ∂=σ;;2） 对于平面应力问题，相容方程为：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+-=+∇y f x f y x y xυσσ12即：2222 2-4、x, y n l σσ2==2l 应力主向成∴l σn3-3、解： 1由x=0得： 2由 得： Fx Ex Cx Bx Ax y ++++=∴注：公式中已略去ϕ中与应力分量无关的一次项和常数项。

.1 / 9本教材习题和参考答案及部分习题解答第二章2.1计算：<1>pi iq qj jk δδδδ,<2>pqi ijk jk e e A ,<3>ijp klp ki lj e e B B 。

答案<1>pi iq qj jkpk δδδδδ=; 答案 <2>pqi ijk jk pq qp e e A A A =-;解：<3>()ijp klp ki ljik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。

2.2证明：若ijji a a =,则0ijk jk e a =。

〔需证明2.3设a 、b 和c 是三个矢量,试证明：证：因为123111123222123333i i i i i i i i i i i i i ii ii i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 所以123111123222123333123111123222123333det det()i ii i i i i ii i i i i ii ii i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即得 1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。

第二章 应力理论和应变理论2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。

己求得应力解为：σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。

解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0；OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0则：cos sin 0cos sin 0x xy yxy σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………（a ）将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求该点的最大主应力及其主方向。

解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：(()()31.233331210102217.0831******* 6.082810 4.9172410x yPa σσσ⎡++⎢=±=⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯则显然：3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=⨯=⨯=σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）()22612sin 22612102cos 2xyx ytg τθθσσθ--⨯-++====+=--+显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376°题图1-3则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）2—19.己知应力分量为：σx =σy =σz =τxy =0，τzy =a ，τzx =b ，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。

塑性力学测试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 塑性力学中，材料的屈服强度是指材料在受到何种应力条件下开始产生塑性变形的应力值？A. 单轴拉伸应力B. 单轴压缩应力C. 多轴应力D. 任何应力条件下答案：A2. 塑性变形与弹性变形的主要区别是什么？A. 塑性变形是可逆的，弹性变形是不可逆的B. 塑性变形是不可逆的，弹性变形是可逆的C. 塑性变形和弹性变形都是可逆的D. 塑性变形和弹性变形都是不可逆的答案：B3. 根据塑性力学理论，下列哪种材料可以被视为理想塑性材料？A. 脆性材料B. 弹性材料C. 塑性材料D. 粘弹性材料答案：C4. 在塑性力学中， Tresca 屈服准则与 Von Mises 屈服准则的主要区别是什么？A. Tresca 屈服准则基于最大剪应力，Von Mises 屈服准则基于最大正应力B. Tresca 屈服准则基于最大正应力，Von Mises 屈服准则基于最大剪应力C. Tresca 屈服准则和 Von Mises 屈服准则都基于最大剪应力D. Tresca 屈服准则和 Von Mises 屈服准则都基于最大正应力答案：C5. 塑性力学中，材料的硬化指数 n 表示什么？A. 材料的弹性模量B. 材料的屈服强度C. 材料的塑性变形能力D. 材料的断裂韧性答案：C二、填空题（每题2分，共10分）1. 塑性力学中，材料的______是指材料在受到应力作用下，从弹性状态转变为塑性状态的应力值。

答案：屈服强度2. 塑性变形与弹性变形的主要区别在于塑性变形是______的。

答案：不可逆3. 在塑性力学中，理想塑性材料是指在达到屈服点后，材料的应力______保持不变。

答案：不再增加4. Tresca 屈服准则认为，当材料的______达到一定值时，材料开始屈服。

答案：最大剪应力5. 塑性力学中，材料的硬化指数 n 越大，表示材料的______能力越强。

答案：塑性变形三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述塑性力学中，塑性变形与弹性变形的主要区别。

应用弹塑性力学习题解答目录第二章习题答案 (2)第三章习题答案 (6)第四章习题答案 (9)第五章习题答案 (26)第六章习题答案 (37)第七章习题答案 (49)第八章习题答案 (54)第九章习题答案 (57)第十章习题答案 (59)第十一章习题答案 (62)第二章习题答案2.6设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。

解该平面的法线方向的方向余弦为而应力矢量的三个分量满足关系而法向分量满足关系最后结果为2.7利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。

解求出后，可求出及，再利用关系可求得。

最终的结果为2.8已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。

如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。

解求主方向的应力特征方程为式中：是三个应力不变量，并有公式代入已知量得为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系代入数据得，，2.9已知应力分量中，求三个主应力。

解在时容易求得三个应力不变量为，，特征方程变为求出三个根，如记，则三个主应力为记2.10已知应力分量，是材料的屈服极限，求及主应力。

解先求平均应力，再求应力偏张量，，，，，。

由此求得然后求得，，解出然后按大小次序排列得到，，2.11已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。

解特征方程为记，则其解为，，。

对应于的方向余弦，，应满足下列关系（a）（b）（c）由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得，由此求得对，，代入得对，，代入得对，，代入得2.12当时，证明成立。

解由，移项之得证得第三章习题答案3.5取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。

解：由，可得，由，得3.6物体内部的位移场由坐标的函数给出，为，，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。

解：首先求出点的位移梯度张量将它分解成对称张量和反对称张量之和转动矢量的分量为，，该点处微单元体的转动角度为3.7电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。

第二章 应力理论和应变理论2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。

己求得应力解为：σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。

解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0；OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0则：cos sin 0cos sin 0x xy yxy σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………（a ）将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求该点的最大主应力及其主方向。

解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：(()()31.233331210102217.0831******* 6.082810 4.9172410x yPa σσσ⎡++⎢=±=⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯则显然：3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=⨯=⨯=σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）()22612sin 22612102cos 2xyx ytg τθθσσθ--⨯-++====+=--+显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376°题图1-3则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）2—19.己知应力分量为：σx =σy =σz =τxy =0，τzy =a ，τzx =b ，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。

2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。

己求得应力解为： σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。

解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件： OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0得：b=-γ1；a =0；OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0 则：cos sin 0cos sin 0x xy yxy σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………（a ）将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求该点的最大主应力及其主方向。

解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得： 则显然：3312317.08310 4.917100PaPa σσσ=⨯=⨯=σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376° 则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇） 5-2：给出axy ϕ=；（1）：捡查ϕ是否可作为应力函数。

（2）：如以ϕ为应力函数，求出应力分量的表达式。

（3）：指出在图示矩形板边界上对应着什么样的边界力。

（坐标如图所示） 解：将axy ϕ=代入40ϕ∇=式得：220ϕ∇∇= 满足。

第二章 应力理论和应变理论2— 15.如 所示三角形截面水 材料的比重 γ，水的比重 γ 1。

己求得 力解 ：σ x = ax+by ， σy =cx+dy- γy ， τxy =-dx-ay ；根据直 及斜 上的 界条件，确定常数 a 、b 、c 、 d 。

解：首先列出OA 、 OB 两 的 力 界条件：OA ：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x= γ1 y ； T y =0σx =-γ1y ； τxy =0代入： σx =ax+by ； τxy =-dx-ay 并 注 意 此 ： x =0得 ： b=- γ1； a=0；OB ： l 1=cos β ； l 2=-sin β， T x =T y =0：x cosxy sin0 yx cosy sin⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ a ）将己知条件： σ x=1xy=-dxyγ y-γ y ； τ； σ =cx+dy-代入（ a ）式得：1 y cos dx sin0L L L L L L L L L bdx coscxdyy sin L L L L L L L L L化 （ b ）式得： d = γ12β；ctgT4n2τ 30° δ 30°30°化 （ c ）式得： c =γctg β -2γ 13y10x10Ox12 6τxy103 Pa2— 17.己知一点 的 力 量6 10 00 0δ y求 点的最大主 力及其主方向。

x题1-3 图解：由 意知 点 于平面 力状 ，且知：σx =12×O103σ y =10× 103 τ xy =6× 103，且 点的主 力可由下式求得：β212 101221.2xyxy21023n 22xy22610βγ 1y113710311 6.0828 10317.083 10 3 Paγ34.91724 10BA然：y117.083 10 3Pa2 4.917 10 3Pa30σ 1 与 x 正向的 角 ： （按材力公式 算）c2 xy2 6 12 sin 2tg 2121026xycos2然 2θ 第Ⅰ象限角： 2θ=arctg （ +6） =+80.5376 °则：θ=+40.2688 B 40° 16＇或（-139° 44＇）2— 19.己知应力分量为：σx=σy=σz=τxy=0，τzy=a，τzx=b，试计算出主应力σ1、σ2、σ3 并求出σ2 的主方向。