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应用弹塑性力学(徐秉业_刘信声版)课后习题答案(全)

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弹塑性力学习题集_很全有答案_

弹塑性力学习题集_很全有答案_
态。
题 2—13 图
题 2—14 图
2—14* 如题 2—14 图所示的变截面杆，受轴向拉伸载荷 P 作用，试确定杆体两侧外 表面处应力 σ z （横截面上正应力）和在材料力学中常常被忽
略的应力 σ x 、 τ zx 之间的关系。 2—15 如题 2—15 图所示三角形截面水坝，材料的比重 为 γ ，水的比重为 γ 1 ，已求得其应力解为： σ x = ax + by ,
2—42 如题 2—42 图所示的圆截面杆扭转时得到的应变分量为： ε x = ε y = ε z = γ xy = 0,
γ zy = θ x, γ zx = −θ y 。试检查该应变是否满足变形连续性条件，并求位移分量 u、v、w。设
在原点处 u 0 = v 0 = w0 = 0, dz 在 xoz 和 yoz 平面内没有转动，dx 在 xoy 平面内没有转动。
弹塑性力学习题
第二章 应力理论·应变理论
2—1 试用材料力学公式计算：直径为 1cm 的圆杆，在轴向拉力 P = 10KN 的作用下杆 横截面上的正应力 σ 及与横截面夹角 α = 30° 的斜截面上的总应力 Pα 、正应力 σ α 和剪应力
τ α ，并按弹塑性力学应力符号规则说明其不同点。 2—2 试用材料力学公式计算：题 2—2 图所示单元体主应力和主平面方位（应力单位 MPa） ，并表示在图上。说明按弹塑性力学应力符号规则有何不同。
题 2—41 图
题 2—42 图
第三章 弹性变形·塑性变形·本构方程
试证明在弹性变形时，关于一点的应力状态，下式成立。 1 (1) γ 8 = τ 8 ; (2) σ = kε （设ν = 0.5 ） G 3—2* 试以等值拉压应力状态与纯剪切应力状态的关系， 由应变能公式证明 G、 E、 ν之 间的关系为： 1 G= 2(1 + ν ) 1 1 3—3* 证明：如泊松比ν = ，则 G = E ， λ → ∞ ， k → ∞ , e = 0 ，并说明此时上述 2 3 各弹性常数的物理意义。 3—4* 如设材料屈服的原因是形状改变比能（畸形能）达到某一极值时发生，试根据 单向拉伸应力状态和纯剪切应力状态确定屈服极限 σ s 与 τ s 的关系。 3—5 试依据物体单向拉伸侧向不会膨胀，三向受拉体积不会缩小的体积应变规律来 1 证明泊松比ν 的上下限为： 0 < ν < 。 2 2 3—6* 试由物体三向等值压缩的应力状态来推证：K = λ + G 的关系， 并验证是否与 3 E K= 符合。 3(1 − 2v) 3—7 已知钢材弹性常数 E1 = 210Gpa，v1 = 0.3， 橡皮的弹性常数 E 2 =5MPa，v 2 = 0.47， 试比较它们的体积弹性常数（设 K1 为钢材，K2 为橡皮的体积弹性模量） 。 3—8 有一处于二向拉伸应力状态下的微分体（ σ 1 ≠ 0, σ 2 ≠ 0, σ 3 = 0 ） ，其主应变

弹塑性力学习题及答案

弹塑性力学习题及答案

.本教材习题和参考答案及部分习题解答第二章2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。

答案 (1)pi iq qj jkpk δδδδδ=;答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-;解：(3)()ijp klp ki ljik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。

2.2证明：若ijji a a =，则0ijk jk e a =。

（需证明）2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：2[,,]⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅a a a b a cb a b b bc a b c c a c b c c证：因为123111123222123333i i i i i i i i i i i i i ii i i i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以123111123222123333123111123222123333det det()i ii i i i i ii i i i i ii ii i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即得 1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。

弹塑性力学课后答案

弹塑性力学课后答案

εij第二章 应力理论和应变理论2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。

解：在右图示单元体上建立xoy 坐标，则知σx = -10 σy = -4 τxy = -2 （以上应力符号均按材力的规定） 代入材力有关公式得：3030cos 2sin 22210410413cos 602sin 6073222226.768 6.77()104sin 2cos 2sin 602cos 60223132 3.598 3.60()22x yx yxy x y xy MPa MPa σσσσσατασστατα+-=+----+=++=--⨯+⨯=----+=⋅+=⋅-=-⨯-⨯=--代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +23030()cos 2sin 22210410413cos 602sin 6073222226.768 6.77()104sin 2cos 2sin 602cos 60222132 3.598 3.60()22x yx yxyx y xy MPa MPa s ss ss a tas s t a t a +-=++---+=++=--??=----+=-?=-?=??由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。

2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。

材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。

试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。

解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得：c 截面的内力：N z =γ·A ·z ；c 截面上的应力：z z N A z z A Aγσγ⋅⋅===⋅； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为：δy题图1-3τxyx 30°10n24xO10yTτ30°δ30°zz zEEσγε==；则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：()22zzzzz z z z y zz l d l d d zd EEEγγγε=⎰⋅∆=⎰⋅=⎰=⎰=；显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：()2222ll A l lW ll d l EEAEAγγ⋅⋅⋅⋅⋅=⎰∆===　；（W=γAl ）2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦应力单位为kg ／cm 2 。

弹塑性力学第七章答案

弹塑性力学第七章答案

第七章 习题答案7.3 设123S S S 、、为应力偏量，试证明用应力偏量表示Mises 屈服条件时，其形式为：s σ= 证明：Mises 屈服条件为()()()22221223312s σσσσσσσ-+-+-=()()()()()()2221223312221231223312222123123231222S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S =-+-+-=++---⎡⎤=++-++⎢⎥⎣⎦左式()1232222123032s S S S S S S σ++=∴=++= 左式故有s σ= 7.4 试用应力张量不变量1J 和2J 表示Mises 屈服条件。

解：1123J σσσ=++ ()2122331J σσσσσσ=-++Mises 屈服条件：()()()22221223312s σσσσσσσ-+-+-=()()()()22212312233121221223312212223232s J J σσσσσσσσσσσσσσσσσσσ=++---⎡⎤=++-++⎣⎦=+=左式 故有 22123s J J σ+= 7.5 试用Lode 应力参数σμ表达Mises 屈服条件。

解：由定义：8max ττ======即()()1313312σσσσ=-- Mises 屈服条件为()()()22221223312s σσσσσσσ-+-+-=将上式代入，得：()13sσσσ-= 即：13s σσσ-=7.6 物体中某点的应力状态为21000002000/00300MN m -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，该物体在单向拉伸 时2190/s MN m σ=，试用Mises 和Tresca 屈服条件分别判断该点是处于弹性状态还是塑性状态，如主应力方向均作相反的改变（即同值异号），则对被研究点所处状态的判断有无变化?解：（1）Mises 屈服条件判断()()()()()22242122331242610/7.2210/sMN m MN mσσσσσσσ-+-+-=⨯=⨯故该点处于弹性状态 （2）Tresca 屈服条件判断213200/MN m σσ-=故该点处于塑性状态如果各应力均作为变号，则以上各式不变，所作判断没有变化。

弹塑性力学习题集

弹塑性力学习题集

弹塑性力学习题集(有图)(共37页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--弹塑性力学习题集殷绥域李同林编中国地质大学·力学教研室二○○三年九月目录弹塑性力学习题........................................................................（1）第二章应力理论.应变理论......................................................（1）第三章弹性变形.塑性变形.本构方程.......................................（6）第四章弹塑性力学基础理论的建立及基本解法 (8)第五章平面问题的直角坐标解答 (9)第六章平面问题的极坐标解答................................................（11）第七章柱体的扭转...............................................................（13）第八章弹性力学问题一般解.空间轴对称问题...........................（14）第九章* 加载曲面.材料稳定性假设.塑性势能理论.....................（15）第十章弹性力学变分法及近似解法..........................................（16）第十一章* 塑性力学极限分析定理与塑性分析 (18)第十二章* 平面应变问题的滑移线场理论解 (19)附录一张量概念及其基本运算.下标记号法.求和约定...............（21）习题参考答案及解题提示 (22)前言弹塑性力学是一门理论性较强的技术基础课程，它与许多工程技术问题都有着十分密切地联系。

弹塑性力学课程作业 参考答案

弹塑性力学课程作业 参考答案

弹塑性力学课程作业1 参考答案一．问答题1. 答：请参见教材第一章。

2. 答：弹塑性力学的研究对象比材料力学的研究对象更为广泛，是几何尺寸和形态都不受任何 限制的物体。

导致这一结果的主要原因是两者研究问题的基本方法的不同。

3. 答：弹塑性力学与材料力学、结构力学是否同属固体力学的范畴，它们各自求解的主要问题都是变形问题，求解主要问题的基本思路也是相同的。

这一基本思路的主线是：（1）静 力平衡的受力分析；（2）几何变形协调条件的分析；（3）受力与变形间的物理关系分析； 4. 答：“假设固体材料是连续介质”是固体力学的一条最基本假设，提出这一基本假设得意义是为利用数学中的单值连续函数描述力学量（应力、应变和位移）提供理论依据。

5. 答：请参见本章教材。

6. 答：略（参见本章教材）7. 答：因为物体内一点某微截面上的正应力分量 σ 和剪应力分量τ 同材料的强度分析 问题直接相关，该点微截面上的全应力则不然。

8. 答：参照坐标系围绕一点截取单元体表明一点的应力状态，对单元体的几何形状并不做 特定的限制。

根据单元体所受力系的平衡的原理研究一点的应力状态。

研究它的目的是： 首先是了解一点的应力状态任意斜截面上的应力，进一步了解该点的主应力、主方向、 最大（最小）剪应力及其作用截面的方位，最终目的是为了分析解决材料的强度问题。

9．答：略（请参见教材和本章重难点剖析。

） 10. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。

）11. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。

） 这样分解的力学意义是更有利于研究材料的塑性变形行为。

12. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。

）纳唯叶 (Navier) 平衡微分方程的力学意义是：只有满足该方程的应力解和体力才是客观上可能存在的。

13. 答：弹塑性力学关于应力分量和体力分量、面力分量的符号规则是不一样的。

它们的区别请参见教材。

14、答：弹塑性力学的应力解在物体内部应满足平衡微分方程和相容方程（关于相容方程详见第3、5、6章），在物体的边界上应满足应力边界条件。

塑性力学_习题答案1

第一章
1-2 已知物体内一点的 I1 ij 60 Pa ， S x 50 Pa ， S y 10 Pa ， xy 35 Pa ，
yz 0 ， zx 27 Pa ，求该点的应力张量 ij 。
解：
m

x
y z 3
1 I1 ij 20 Pa 3
③
将①②代入③可得：
i

1 2 2 2 ( S xx S yy ) 2 ( S yy S zz ) 2 ( S zz S xx ) 2 6( S xy ) S yz S zx 2
④
1 2 2 2 2 2 2 2( S xx ) 2( S xx S yy S yy S zz S zz S xx ) 6( S xy ) S yy S zz S yz S zx 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( S xx ) ( S xx ) ( S xx S yy S zz ) 2 6( S xy ) S yy S zz S yy S zz S yz S zx 2
代入应力强度公式：
p
T
T
p
i

1 2 ( z r ) 2 ( r ) 2 ( z ) 2 6( rz r2 2z ) 2 P 2 d 2 12T 2 d 2t
①
P 2 P 2 1 2T ( ) ( ) 6( 2 ) 2 dt d t 2 dt
2
1-4 由 式 （ 1-32b ） 可 知 ， 应 力 偏 量 的 第 二 不 变 量 可 表 示 为 ： 1 2 2 2 2 2 2 I 2 Sij S xx S yy S zz 2 S xy S yz S zx ，试证明下列关系式成立： 2

弹塑性力学课后习题


(1)
( 2)
显然式（1）、式（2）能满足平面应力情况下的拉梅方程式。 2、考虑位移约束和变形连续条件：
(u1) x l 0, (u2 ) x l 0, (u2 ) y h 0, (v2 ) y h 0 (v1) y a (v2 ) y a
由此解得：
a1 b1 c1 a2 b2 c2 0 d 2 0, f 2 e2h, d1 0, f1 e1a e2 (a h)
《平面问题的基本理论》习题课
[练习1] 悬臂梁上部受线形分布载荷， 如图所示。试根据材料力学中 的 x 表达式，再用平衡微分方程导出 y 和 xy的表达式。 解：由材料力学知，过 P 点横截面 上的弯矩为： qx 3 M
z
q
h/2 h/2
o
P
l
x
y
（ 1）
(6l )
Mz y q 12y 2q x3 ( ) 3 x3 y Iz 6l 1 h3 lh x xy 代入平衡微分方程，
y
[练习4] 图所示的几种受力体是否为平面问题？若是，则是 平面应力问题，还是平面应变问题？ h
q
R
O
q h x o z R O x
Q Q
O
z
y
y
R>>h
y
R>>h b)
y
a)
p
R O p x O
p
z L
p
y R<<l y c)
解： 图 a)所示为平面应力问题。图b）所示荷载垂直作用 于板面，故为薄板弯曲问题。图c）所示荷载作用于板 边，荷载及横截面沿z轴无变化，且R<<L，故为平面 应变问题。

弹塑性力学习题集_很全有答案_


题 2—41 图
题 2—42 图
第三章 弹性变形·塑性变形·本构方程
试证明在弹性变形时，关于一点的应力状态，下式成立。 1 (1) γ 8 = τ 8 ; (2) σ = kε （设ν = 0.5 ） G 3—2* 试以等值拉压应力状态与纯剪切应力状态的关系， 由应变能公式证明 G、 E、 ν之 间的关系为： 1 G= 2(1 + ν ) 1 1 3—3* 证明：如泊松比ν = ，则 G = E ， λ → ∞ ， k → ∞ , e = 0 ，并说明此时上述 2 3 各弹性常数的物理意义。 3—4* 如设材料屈服的原因是形状改变比能（畸形能）达到某一极值时发生，试根据 单向拉伸应力状态和纯剪切应力状态确定屈服极限 σ s 与 τ s 的关系。 3—5 试依据物体单向拉伸侧向不会膨胀，三向受拉体积不会缩小的体积应变规律来 1 证明泊松比ν 的上下限为： 0 < ν < 。 2 2 3—6* 试由物体三向等值压缩的应力状态来推证：K = λ + G 的关系， 并验证是否与 3 E K= 符合。 3(1 − 2v) 3—7 已知钢材弹性常数 E1 = 210Gpa，v1 = 0.3， 橡皮的弹性常数 E 2 =5MPa，v 2 = 0.47， 试比较它们的体积弹性常数（设 K1 为钢材，K2 为橡皮的体积弹性模量） 。 3—8 有一处于二向拉伸应力状态下的微分体（ σ 1 ≠ 0, σ 2 ≠ 0, σ 3 = 0 ） ，其主应变
2—39* 若位移分量 u i 和 u i′ 所对应的应变相同，试说明这两组位移有何差别？ 2—40* 试导出平面问题的平面应变状态（ ε x = γ zx = γ zy = 0 ）的应变分量的不变量及
主应变的表达式。 2—41* 已知如题 2—41 图所示的棱柱形杆在自重作用下的应变分量为： γz νγz εz = , εx =εy = − ; γ xy = γ yz = γ zx = 0; E E 试求位移分量，式中 γ 为杆件单位体积重量，E、ν 为材料的弹性常数。

弹塑性力学课后习题答案


（I-4） （I-5）
★ 关于求和标号，即哑标有：
◆ 求和标号可任意变换字母表示。
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 ◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
优先求和。例：
aii2a121a222a323
（I-12）
(ai) i2(a 1 1a22 a3)3 2 （I-13）
aibjk cijk
（I-21）
◆ 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配
律和结合律。例如：
( a i j b i) c j k a i c k j b i c k j； 或 ( a i b k j ) c m a i( b j k c m )
（I-22）
C、张量函数的求导：
◆ 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都
◆ 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需
三个分量来确定。
◆ 若我们以r表示维度，以n表示幂次，则关于三维
空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表 示成：
Mrn （Ⅰ—1）
◆ 现令n为这些物理量的阶次，并统一称这些物
理量为张量。
当n=0时，零阶张量，M=1，标量； 当n=1时，一阶张量，M=3，矢量；
（I-25 ）
4.张量的分解
张量一般是非对称的。若张量 aij的分量满足
aij a ji
（I-27）
则 aij 称为对称张量。 如果 的分aij量满足
aij aji
（I-28）
则称为反对称张量。显然反对称张量中标号重复的
分量(也即主对角元素)为零，即 a11a22。a330
第二章 应力理论
七应变莫尔圆41弹性变形与塑性变形的特点塑性力学的附加假设42常用简化力学模型43弹性本构方程弹性应变能函数44屈服函数主应力空间常用屈服条件47塑性本构方程简介静不定问题的解答1静力平衡分析平衡微分方程2几何变形分析几何方程3物理关系分析物理方程表明固体材料产生弹性变形或塑性变形时应力与应变以及应力率与应变率之间关系的物性方程称为本构方程关系
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pr =σs 2t
2 2 2 (σ x − σ y )2 + (σ y − σ z )2 + (σ z − σ x )2 + 6(τ xy +τ2 yz + τ zx ) = 2σ s
2 2 2 σ x +σ 2 y − σ xσ y + 3τ xy = σ s 2
pr =σs t
Tresca 条件：
σθ = −
b2 p b − a2
2
p σr
ρ 2q σθ = 2 b − ρ2
⎛ b2 ⎞ b2 p ⎜ ⎜1 + r2 ⎟ ⎟ − b2 − ρ 2 ⎝ ⎠
2
⎛ ρ2 ⎞ ⎜ ⎜1 + r2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
a ρ
b
(σ r − σ θ ) r = ρ
σθ
=
2b 2 ( p − q) = σ s b − ρ2 σs
σ x +σ y ⎛σ x −σ y + ⎜ ⎜ 2 2 ⎝ σ x +σ y ⎛σ x −σ y − ⎜ ⎜ 2 2 ⎝
⎞ 2 ⎟ ⎟ + τ xy ≤ σ s ⎠ ⎞ 2 ⎟ ⎟ + τ xy ≤ σ s ⎠
2
(σ
x
−σ y
σ ⎜ ) +⎛ ⎜
2
y
⎝
−σ x ⎞ ⎛σ y −σ x ⎞ 2 2 ⎟ ⎟ ⎟ +⎜ ⎜ ⎟ + 6 τ xy = 2σ s 2 2 ⎝ ⎠ ⎠
δ = 2%
2 B1 z = 2C 1 z
Mises : (σ θ − σ z ) 2 + (σ z − σ r ) 2 + (σ θ − σ r ) 2 = 2σ s2 ⇒ p = 5.77 MPa
δ = 1.9%
3-2 解：
σ s = 205 MPa σ 1 = 200 MPa σ 2 = 100 MPa σ 3 = −50 MPa Tresca : σ 1 − σ 3 = 250 MPa > σ s = 205MPa
[
]
处于塑性状态。
dε θp : dε ϕp : dε rp = 1 : 1 : −2 dε θp : dε ϕp =
1 dt dr =− r 2 t
3－6：试确定单向拉伸应力状态、纯剪切应力状态的塑性应变 增量之比（理想刚塑性材料）。
dr r
dε rp =
dt t
解： （1）单向拉伸应力状态： σ 1 = σ s , σ 2 = σ 3 = 0
3-1 解：
σθ = pd = 50 p 2t
σ s = 250 MPa d = 400mm pd = 25 p 4t
t = 4mm
σz =
σr = −p
Tresca : σ θ − σ r = σ s ⇒ 51 p = 250 ⇒ p = 4.9 MPa
∂ 2γ xz = 2C 1 z ∂x∂z
∂ 2ε x =0 ∂z 2 ∂ 2 ε x ∂ 2 ε z ∂ 2γ xz + = ∂x∂z ∂x 2 ∂z 2
dε 1 : dε 2 : dε 3 = 2 : − 1 : − 1
（2）纯剪切应力状态：
σ 1 = τ s , σ 2 = 0, σ 3 = −τ s
r t = 0 r0 t
r 2 t = r02 t 0
σ 0 = 0 , s 1 = τ s , s 2 = 0 , s 3 = −τ s
d ε 1 : d ε 2 : d ε 3 = s1 : s 2 : s 3 = 1 : 0 : − 1
Mises : (σ θ − σ z ) 2 + (σ z − σ r ) 2 + (σ θ − σ r ) 2 = 2σ s2
3 ⎛ pr ⎞ 2 2 ⎜ ⎟ +σ = σs 4⎝ t ⎠
2
σ1 =
σ x +σ y ⎛σ x −σ y + ⎜ ⎜ 2 2 ⎝ σ x +σ y ⎛σ x −σ y − ⎜ ⎜ 2 2 ⎝
⎞ 2 ⎟ ⎟ + τ xy ⎠ ⎞ 2 ⎟ ⎟ + τ xy ⎠
2 2
1 (σ x + σ y ) 2
补充题：薄壁圆筒，内半径为 r0＝200mm，壁厚为 t0 =4mm， 承受内压为 p=10MPa ，材料单向拉伸时： σ = 800ε 0.25 dt 求：壁厚变化量 。 ∆t = t0 − t dε =
2
a
2
q: 弹塑性分界面处的压力。
σr = ρ 2q b2 − ρ 2
⎛ b2 ⎞ b2 p ⎜ ⎜1 − r2 ⎟ ⎟ − b2 − ρ 2 ⎝ ⎠ ⎛ ρ2⎞ ⎜ ⎜1 − r 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
⎛ a ⎞ ⎜ ⎜1 − r2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
⎛ a2 ⎞ ⎜ ⎜1 + r 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ a2 ⎞ b2 p ⎛ ⎜1 + 2 ⎟ σ 1 = σ r ,σ 3 = σ θ = − 2 b − a2 ⎜ r ⎟ ⎝ ⎠ : (σ 1 − σ 3 ) = σ s Tresca Tresca: r=a σs ⎛ a2 ⎞ ⎜1 − 2 ⎟ 弹性极限压力： pe = 2 ⎜ b ⎟ ⎝ ⎠
2
2
( )
⎛σ x −σ y ⎜ ⎜ 2 ⎝
⎞ 1 2 2 ⎟ ⎟ + τ xy = 3 σ s ⎠
2
Tresca 屈服条件：
τ yz = Βιβλιοθήκη zx = 0σ1 = σ x +σ y ⎛σ x −σ y + ⎜ ⎜ 2 2 ⎝ σ x +σ y ⎛σ x −σ y − ⎜ ⎜ 2 2 ⎝
σz =σ2 =
塑性区：α≤ r ≤ ρ
dσ r σ r − σ θ + =0 dr r
σr－ σθ = σs
σ dσ r = − s r dr
σ r = − σ s ln r + C
交界处：r＝ ρ
e σr = e
e p σr =σr
e
p
b2 ⎞ ρ2⎞ ρ 2q ⎛ b2 p ⎛ ⎜1 − 2 ⎟ ⎟ − b2 − ρ 2 ⎜ ⎜1 − r2 ⎟ ⎟ b2 − ρ 2 ⎜ r ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3-7 解：
σθ =
pr t pr 2t
σz =
pr +σ 2t
σr = −p≈ 0
3-8 解：
（1）平面应力问题 Mises条件：
σ x , σ y , σ z = 0 , τ xy , τ yz = τ zx = 0
Tresca : σ >
σ z −σ r = σ s ⇒ σ + Tresca : σ < pr 2t σθ −σ r = σ s ⇒
⎛σ x −σ y 2 ⎜ ⎜ 2 ⎝ ⎞ 2 ⎟ ⎟ + τ xy ≤ σ s ⎠
2 2
2
1 (σ x + σ y ) 2
τ yz = τ zx = 0
Mises 屈服条件：
2 2 2 (σ x − σ y )2 + (σ y − σ z )2 + (σ z − σ x )2 + 6 (τ xy +τ2 yz + τ zx ) = 2σ s
εz =
x ∂w =− ∂z a
γ zx =
ε x , ε y , ε z , γ xy ⋯⋯ 均为 x、y、z 的一次函数，满足变形协调方程。
2-3 解：
ε x = (A0 + A1 x 2 )z ε z = (B0 + B1 x 2 )z + B2 z 3 γ xz = x (C 0 + C 1 z 2 ) ε y = γ xy = γ yz = 0
⎞ 2 ⎟ ⎟ + τ xy ⎠ ⎞ 2 ⎟ ⎟ + τ xy ⎠
⎛σ x −σ y ⎜ ⎜ 2 ⎝
2
2
εz = 0
σz =
σ3 = 0
⎞ 1 2 2 ⎟ ⎟ + τ xy ≤ 4 σ s ⎠
εz =
1 (σ z − µ (σ x + σ y ) ) E
σ1 =
σ +σ y ⎛σ x −σ y σ2 = x − ⎜ ⎜ 2 2 ⎝ σ1 −σ2 ≤ σs σ1 −σ3 ≤ σs σ2 −σ3 ≤ σ s
3-4 解：
σθ = σ0 = sθ =
pr 2t pr 3t pr 6t
σϕ =
pr 2t
σr = −p≈ 0
处于塑性状态。
Mises : (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 = 95000 MPa
95000 MPa > 2σ s2 = 84050 MPa
2-1 解：
u= εx = z 2 + µ (x 2 − y 2 ) ; 2a µx a µx a v= µxy ; a w=− xz a
弹塑性力学习题解答
中国地质大学工程技术学院 力学教研室
∂u = ∂x ∂v εy = = ∂y
γ xy = γ yz
∂u ∂v =0 + ∂y ∂x ∂v ∂w = + =0 ∂z ∂y ∂w ∂u + =0 ∂x ∂z
⎞ 2 ⎟ ⎟ + τ xy ⎠ ⎞ 2 ⎟ ⎟ + τ xy ⎠
2
2
σ2 =
σ3 = 0
3-8 解：
（1）平面应力问题 Tresca 条件：
（2） 平面应变问题（ µ =0.5）
σ x , σ y , σ z = 0 , τ xy , τ yz = τ zx = 0
σ x +σ y ⎛σ x −σ y + ⎜ ⎜ 2 2 ⎝