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七年级奥数：质数和合数阅读与思考一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫做质数(也叫素数)如果能被l 和本身以外的自然数整除，就叫做合数，自然数1既不是质数也不是合数，叫做单位数，于是自然数可以分为三类：质数、合数和单位数．关于质数、合数有下列重要性质：1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4；2．在所有质数中，只有2这个偶数，其余均为奇数；3．算术基本定理：任意一个大于l 的整数N 能唯一地分解成k 个质因数的乘积(不考虑质因数之问的顺序关系)：，这里为不同的质数，为自然数． 定理说明，如果不计质因数的次序，只有一种方法可以把一个合数分解成质因数的连乘积． 例题与求解例1 已知三个质数a 、b 、c 满足以a +b +c +abc =99那么的值等于_____________.解题思路 运用质数性质，结合奇偶性分析，推出a 、b 、c 的值．例2 若p 为质数，仍为质数，则为( ) (湖北省黄冈市竞赛题)(A )质数 (B )可为质数也可为合数(c )合数 (D )既不是质数也不是合数解题思路 从简单情形人手，实验、归纳与猜想．例3 求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数． (上海市竞赛题) 解题思路 由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，这样的质数是否唯一?需按剩余类加以深入讨论．例4 在l ，0交替出现且以l 打头和结尾的所有整数(如101，10101，1010101……)中有多少质数?并请证明你的论断． (北京市竞赛题)解题思路 101是质数，对于，n ≥2，这串数形如的这串数中还有没有质数?关键是对A 进行拆分变形，运用质数合数定义判断．,2121akk a a P P P N =k P P 21P 、k a a a 21、a c c b b a -+-+-53+p 75+p位12011010101+=n A例5 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…40,41这41个自然数，问：(1)能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数?(2)能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数? 若能办到，请举一例；若不能办到，请浣明理由． (北京市竞赛题) 解题思路 要使相邻两数的和都是质数，显然它们只能都是奇数，运用奇偶数性质分析．能力训练A 级1．若a 、b 、c 、d 为整数，，则2在1，2，3，…n 这n 个自然数中，已知共有p 个质数，q 个合数，k 是个奇数，m 个偶数,则．3．设a ，b 为自然数，满足1176a =，则a 的最小值为_______．(“希望杯”邀请赛试题)4．已知p 是质数，并且也是质数，则的值为_______.(北京市竞赛题) 5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是( )．(A )4 (B )8 (C )12 (D )06．所有形如的六位数，(a 、b 、c 分别是0～9这10个数之一，可以相同且a ≠0)的最大公约数是( )．(A )1001 (B )101 (C )13 (D )117．当整数n >1时，形如+4的数是( )．(A )质数 (B )合数 (C )合数且为偶数 (D )完全平方数8．设x 是正数，<x >表示不超过x 的质数的个数，如(5．1)=3，即不超过5．1的质数有2，3，5共3个，那么<<19>+<93>+(4)×(1)×<8>>的值是( )．(A )12 (B )11 (C )10 (D )9 9、是否存在两个质数，它们的和等于数?若存在，请举一例；若不存在，说明理由． 10．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数． (上海市竞赛题)11．在黑板上写出下面的数2，3，4，…1994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙?说明理由． (五城市联赛题)1997))((2222=++d c b a ______2222=+++d c b a ._________)()(=-+-k p m q 3b 36+p 4811-p abcabc 4n1201111个B 级1．若质数m ，n 满足5m +7n =129，则m +n 的值为______．2．已知P 、q 均为质数，并且存在两个正整数m ，n 使得p =m +n ,q =m ×n ,则的值为___________.3．自然数a 、b 、c 、d 、e 都大于1，其乘积，则其和a +b +c +d +e 的最大值为______，最小值为_____。
举例说明奇数偶数质数合数之间的关系奇数、偶数、质数、合数之间的关系在数学的数字领域，我们经常会碰到奇数、偶数、质数和合数这四个概念。
它们之间有着紧密的关系和独特的特性。
为了更深入地理解它们之间的关系，我们可以通过举例来进行探讨。
1. 奇数与偶数首先，我们来看奇数和偶数。
这两个概念是基于整数除以2的余数来定义的。
•奇数：整数除以2余1。
例如：1、3、5、7、9等。
•偶数：整数除以2余0。
例如：0、2、4、6、8等。
从这里可以看出，奇数和偶数是互斥的，一个整数要么是奇数，要么是偶数。
2. 质数与合数接下来，我们再看质数和合数，这两个概念是基于整数的因子来定义的。
•质数：大于1的整数，只有1和它本身两个因子。
例如：2、3、5、7、11等。
•合数：大于1的整数，并且除了1和它本身外，还有其他因子。
例如：4、6、8、9、10等。
注意，1既不是质数也不是合数。
3. 之间的关系(1) 奇数与偶数的关系：奇数和偶数是相互独立的，一个数可以是奇数也可以是偶数，但不能同时是两者。
而且，奇数加奇数等于偶数，偶数加偶数也等于偶数。
(2) 质数与合数的关系：质数和合数是互斥的，一个大于1的整数要么是质数要么是合数。
质数是只有两个正因数的自然数（1和自己），而合数则有多于两个的正因数。
(3) 奇偶与质合的关系：所有的质数（除了2）都是奇数。
但并非所有的奇数都是质数。
例如，9是奇数，但不是质数，因为它可以被3整除。
而所有的偶数（除了2）都不是质数，因为它们至少可以被2整除。
通过上述分析，我们可以看出，奇数、偶数、质数和合数之间有着复杂而微妙的关系。
它们在数学中各有其独特的地位和性质，并在各种数学问题和应用中发挥着重要作用。
结论：总的来说，奇数、偶数、质数和合数是数学中的基础概念，它们之间的关系不仅体现了数学的美妙和深邃，也为数学的各种分支和应用提供了坚实的基础。
通过举例探讨这些关系，我们可以更深入地理解这些概念，并更好地应用它们解决实际问题。
所有的质数加上1后,就变成了合数解析本文将探讨一个有趣的数学现象：所有的质数加上1后，就变成了合数。
首先，我们来看一下质数和合数的定义。
质数是指只有1和本身两个因数的自然数，例如2、3、5、7等。
而合数则是指除了1和本身外还有其他因数的自然数，例如4、6、8、9等。
现在，让我们来看一下所有的质数加上1后会发生什么。
例如，2+1=3，3是一个合数；3+1=4，4也是一个合数；5+1=6，6又是一个合数；7+1=8，8还是一个合数。
不难发现，所有的质数加上1后都变成了合数。
那么，为什么所有的质数加上1后都变成了合数呢？这其实涉及到一个数学定理：费马小定理。
费马小定理是指对于任意质数p和整数a，a的p次方减去a一定是p的倍数，即a^p≡a(mod p)。
根据费马小定理，我们可以得出以下结论：对于任意质数p，p+1可以被p整除。
因为p是质数，所以p和p+1互质，即它们没有共同的因数，除了1。
根据费马小定理，p+1的p次方减去p+1一定是p 的倍数，即(p+1)^p-(p+1)能够被p整除。
又因为(p+1)^p可以写成（p^p+1）+C(p^p,1)×p+...+C(p^p,p-1)×p^(p-1)+1，其中C(p^p,k)表示p^p中取k个数的组合数，这些项都能够被p整除，所以
(p+1)^p-(p+1)能够被p整除。
因此，p+1一定是p的倍数，也就是说，p+1是合数。
综上所述，所有的质数加上1后都变成了合数，是因为对于任意
质数p，p+1一定是p的倍数，也就是说，p+1是合数。
这个现象在数学上被称为“整除性定理”。
质数和合数练习题一）填空。
1、最小的自然数是（），最小的质数是（），最小的合数是（），最小的奇数是（）。
最小的偶数是（）。
2、20以内的质数有（），20以内的合数有（），20以内的偶数有（），20以内的奇数有（）。
3、20以内的数中不是偶数的合数有（），不是奇数的质数有（）。
4、在15、36、45、60、135、96、120、180、570、588这十个数中：2的倍数有（）3的倍数有（）5的倍数有（）能同时被2、3整除的数有（），能同时被2、5整除的数有（），能同时被2、3、5整除的数有（）。
5、在1、4、5、9、11、18、49、72、50、7、2这些数中，质数有（），合数有（），奇数有（）。
6、三个连续奇数的和是87，这三个连续的奇数分别是（）、（）、（）。
7、下面是一道有余数的整数除法算式：A÷B=C……R，若B是最小的合数,C是最小的质数,则A 最大是 ( ),最小是( )。
8、下面的数中，哪些是合数，哪些是质数。
1、13、24、29、41、57、63、79、87合数有：质数有：9、写出两个都是质数的连续自然数。
（）（）10、写出两个既是奇数，又是合数的数。
（）（）11、分解质因数。
65 56 94 76 135105 87 937. 两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是多少？（）（）8. 一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这个数是（）。
9. 用10以内的质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小是（），最大是（）。
二）判断题，对的在括号里写“√”，错的写“×”。
1.1既不是质数也不是合数。
（）2.个位上是3的数一定是3的倍数。
（）3.所有的偶数都是合数。
（）4.所有的质数都是奇数。
（）5.两个数相乘的积一定是合数。
（）6.任何一个自然数，不是质数就是合数。
（）7.偶数都是合数，奇数都是质数。
（）8.7的倍数都是合数。
（）9.20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171。
【学习目标】1.理解质数和合数的意义。
2.能判断一个数是质数还是合数，能找出100以内的质数，熟记20以内的质数。
【学习重点】重点：掌握判断质数和合数的方法。
难点：掌握找出100以内的质数的方法。
【学习过程】一、知识链接。
找出1-----20各数的因数。
1的因数有：2的因数有：3的因数有：4的因数有：5的因数有：6的因数有：7的因数有：8的因数有：9的因数有：10的因数有：11的因数有：12的因数有：13的因数有：14的因数有：15的因数有：16的因数有：17的因数有：18的因数有：19的因数有：20的因数有：根据因数的个数，把1----20分成三类：、、。
二、自主学习知识点一：质数和合数的意义（1）在1-----20中只有两个因数的数有哪些？。
像这样一个数，如果只有和两个因数的数叫做质数，又叫做。
比如是质数。
（举例说明）（2）在1-----20中有两个以上因数的数有哪些？。
像这样一个数，如果除了和还有别的因数的数叫做合数。
比如是合数。
（举例说明）（3）质数只有个因数，合数至少有个因数。
既不是质数又不是合数。
反馈练习：最小的质数是，最小的合数是，既是质数又是偶数。
20以内是奇数的合数是和。
知识点二：找100以内的质数1.在课本14页100以内的数表上制作质数表。
（1）把2的倍数全部划掉（2除外）。
（2）把3的倍数全部划掉（3除外）。
（3）把5的倍数全部划掉（5除外）。
（4）把的倍数全部划掉（7除外）。
（5）把1划掉。
2.观察剩下的数，还剩下这些数都是。
选择两个数进行验证。
3.制成100以内质数表，并识记。
三．及时练习：下面各数哪些是质数？哪些数是合数？哪些数是偶数？哪些数是奇数？27 37 41 35 1 2.4 57 69 83 62质数有：合数有：四．全课小结一个数，如果只有和两个因数的数叫做质数(素数)；一个数，如果除了和还有别的因数的数叫做合数。
最小的质数是，最小的合数是，既不是质数又不是合数。
第5讲 质数与合数自然数中，除1和它本身外，没有其他约数的数就是质数，质数又叫做素数．2是最小的质数，也是唯一的一个偶质数．一个数除1和它本身外，还有其他的约数，那么这个数就是合数．1既不是质数，也不是合数，全体整数可分为：1、质数和合数三类．题1 一个三位数，等于它的各位数字之和的12倍，试写出所有这样的三位数。
通过设未知数，建立等式的办法，利用质数与合数的性质作为解题的突破口．解 设这样的三位数为,abc 则.1128),(1210100b a c c b a c b a -=++=++ 因为a ，b ，c 均为整数，且b≤9，所以b=0，c=8a又因为,90,91≤≤≤≤C a所以.8,1==c a 故所求的三位数是108．只要正确利用质数与合数的性质，合理地选择代数式便可使解题思路清晰准确，读一题，练3题，练就解题高手1-1．两个质数的和是40，求这两个质数的乘积最大是多少？1-2．（“希望杯”邀请赛）若a ，b ，c 是1998的三个不同质因数且a<b<c ，则(b+c)4=____．1-3．有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前后两个两位数，将前面的两位数末尾添上一个O ，然后加上前后两个两位数的乘积，恰好等于原来的四位数，又知道原数的个位数字是5，求这个四位数题2 已知p,q 都是质数，以x 为未知数的方程9752=+q Px 的根是1，则410140++q P 的值是多少？根据方程的根为1，可知一个质数与另一个质数的5倍为奇数，所以其中必有一个为偶质数．解 将x-l 代入方程，得因为p ，q 均为质数，故p ，q 中必有一个为2．若q=2，则p=87，不合题意；若p=2，则q=19.将19,2==q P 代人410140++q P 中，得240⨯.2003419101=+⨯+合理运用2这一唯一偶质数的性质，可以迅速解答类似的问题．读一题，练3题，练就解题高手2-1．如果正整数p ，q 都是质数，并且7p+q 与pq+ll 也都是质数，那么p ，q 的值分别为 ． 2-2．若质数m ，n 满足,12975=+n m 则m 十n 的值是多少？2-3．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x xa 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有多少个？题3 求方程7111=+y x 的整数解 充分利用分解质因数的方法求未知数的值，解 设2121,(7,7k k k y k x +=+=是两个整数），则⋅=+++71717121k k 通分，整理，得.7221=k k因为=-⨯-=⨯=⨯==)49()1(774914972),7()7(-⨯- 故方程的整数解为⎩⎨⎧==56,8y x 或⎩⎨⎧==8,56y x ⎩⎨⎧==14,14y x 或⎩⎨⎧-==42,6y x 或⎩⎨⎧=-=.6,42y x 读一题，练1题，决出能力高下3-1.小孩子将玻璃弹珠装进两个盒子，每个大盒子装12颗，每个小盒子装5颗，若弹珠共有99颗，所用盒子的个数大于10，则大盒子与小盒子各有多少个？题4 求方程10047=+y x 的非负整数解准确地表示出通解，再进行分析，可以完整地求出特征解．解 由方程,10047=+y x 可知25,0==y x 是方程的一个特解，因此⎩⎨⎧-==ty t x 725,4（t 为整数）是方程的全解．由⎩⎨⎧≥-≥,0725,04t t 得,7250≤≤t 从而t=0,1,2，3．故方程的非负整数解为⎩⎨⎧==25,0y x 或⎩⎨⎧==18,4y x 或⎩⎨⎧==11,8y x 或⎩⎨⎧==.4,12y x巧妙地利用二元一次方程的解的不定性从通解中求出符合条件的结果，读一题，练3题，冲刺奥数金牌4-1．xy 表示一个十位数字为x ，个位数字为y 的两位数且x ，y 满足条件,522x y x =-求此两位数．4-2．求方程2652=+y x 的全部整数解．4-3．已知a ，b ，c 是三个两两不同的奇质数，方程2)(x c b +0225)1(5=+++x a 有两个相等的实数根．(1)求a 的最小值． (2)当a 取最小值时，解这个方程，题5 小明玩套圈游戏，套中小鸡的9分，套中小猴得5分，套中小狗的2分，小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具至少被套中1次，小明套10次共得61分 。
