质数和合数(1)11

五年级下册数学教案第二单元《质数和合数》人教版《质数和合数》教案教学目标1、知识与技能：使学生理解并掌握质数、合数的概念，并能进行正确的判断以及掌握奇数和偶数的和的运算规律。

2、过程与方法：采用探究式学习法，通过操作、观察自主学习——提出猜想——合作、交流经验——分类、比较——抽象——归纳总结——巩固提高学习过程，培养学生动手操作、观察和概括能力，培养学生积极探究的意识。

3、情感态度价值观：在体验与探究的活动中，让学生体验数学活动充满着探索与创新，感受数学文化的魅力，培养学生勇于探索的科学精神。

教学重点理解质数和合数的意义；奇数和偶数的和的运算规律。

教学难点判断一个数是质数还是合数的方法,明确自然数按因数的个数可分为三类。

教学准备多媒体课件等。

教学过程一、引入1、什么叫奇数和偶数？1-20的奇数和偶数有哪些？2、自然数分成奇数和偶数，按什么标准来分？今天这节课，我们就一起来学习这种分类方法。

3、导引目标，激发兴趣师：当你看到屏幕上出示的二十个数（1—20），会想到哪些最近学过的知识？生：在预习中我想到了1、3、5、7、9、11、13、15、17、19是奇数。

生：在预习中我想到了2、4、6、8、、10、12、14、16、18、20是偶数。

生：在预习中我想到了2、4、6、8、10、12、14、16、18、20是2的倍数。

生：在预习中我想到了5、10、15、20是5的倍数。

生：在预习中我想到了3、6、9、12、15、18是3的倍数。

生：在预习中我想到了10既是2倍数也是5 的倍数。

生……师：同学们对这些数能从不同角度来观察、分析，真的很棒！今天我们继续来研究这些可爱的数字，相信你们一定会有新的发现和收获。

2、师：自然数还有一种新的分类方法，就是按的因数个数来分。

那么什么因数呢？（生回答，再出示ppt）4、请写出1-20的所有因数。

师：这些因数之间，有什么规律呢？师：（板书课题：质数和合数）这就是我们今天要学生的知识，质数和合数。

第11课时质数和合数教学目标：1、理解质数和合数的概念，并能判断一个数是质数还是合数，会把自然数按约数的个数进行分类。

2、培养学生自主探索、独立思考、合作交流的能力。

3、培养学生敢于探索科学之谜的精神，充分展示数学自身的魅力。

教学重点：1、理解掌握质数、合数的概念。

2、初步学会准确判断一个数是质数还是合数。

教学难点：区分奇数、质数、偶数、合数教学方法：情境演示与指导学习相结合学法：自主探究与合作学习相结合教学准备：教学过程：一、探究发现，总结概念：1、师：(出示三个同样的小正方形)每个正方形的边长为1，用这样的三个正方形拼成一个长方形，你能拼出几个不同的长方形?学生独立思考，然后全班交流。

2、师：这样的四个小正方形能拼出几个不同的长方形?学生各自独立思考，想像后举手回答。

3、师：同学们再想一下，如果有12个这样的小正方形，你能拼出几个不同的长方形?师：我看到许多同学不用画就已经知道了。

（指名说一说）4、师：同学们，如果给出的正方形的个数越多，那拼出的不同的长方形的个数——，你觉得会怎么样?学生几乎是异口同声地说：会越多。

师：确定吗？（引导学生展开讨论。

）5、师：同学们，用小正方形拼长方形，有时只能拼出一种，有时拼出的长方形不止一种。

你觉得当小正方形的个数是什么数的时候，只能拼一种? 什么情况下拼得的长方形不止一种?并举例说明。

先让学生小组讨论，然后全班交流，师根据学生的回答板书。

师：同学们，像上面这些数(板书的3、13、7、5、11等数)，在数学上我们把它们叫做质数，下面的这些数(4、6、8、9、10、12、14、15等数)我们把它们叫做合数。

那究竟什么样的数叫质数，什么样的数叫合数呢?学生独立思考后，在小组内进行交流，然后再全班交流。

引导学生总结质数和合数的概念，结合学生回答，教师板书：6、让学生举例说说哪些数是质数，哪些数是合数，并说出理由。

7、师：那你们认为“1”是什么数？让学生独立思考，后展开讨论。

三、质数和合数【知识点1】质数和合数的相关定义一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。

1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。

如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数（两个因数）、合数（大于两个因数）和1（1个因数）。

100百以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

共25个。

除1以外所有的质数都是奇数。

除1以外任意两个质数的和都是偶数最小的质数是2，最小的合数是4质数×质数=合数合数×合数=合数质数×合数=合数练习：（1）像2、3、5、7这样的数都是（），像10、6、30、15这样的数都是（）。

（2）20以内的质数有（），合数有（）。

（3）自然数（）除外，按因数的个数可以分为（）、（）和（）。

（4）在16、23、169、31、27、54、102、111、97、121这些数中，（）是质数，（）是合数。

（5）用A表示一个大于1的自然数，A2必定是（）。

A+A必定是（）。

（6）一个四位数，个位上的数是最小的质数，十位上是最小的自然数，百位上是最大的一位数，最高位上是最小的合数，这个数是（）。

（7）两个连续的质数是（）和（）；两个连续的合数是（）和（）（8）两个质数的和是12，积是35，这两个质数是（）A. 3和8B. 2和9C. 5和7（9）判断并改正：一个自然数不是质数就是合数。

（）所有偶数都是合数。

（）一个合数的因数的个数比一个质数的因数的个数多。

（）所有质数都是奇数。

（）两个不同质数的和一定是偶数。

（）三个连续自然数中，至少有一个合数。

（）大于2的两个质数的积是合数。

（）7的倍数都是合数。

（）20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171。

（） 2是偶数也是合数。

质数和合数知识点总结一、质数的概念和性质1. 质数的概念：质数是指大于1的整数，除了1和本身外没有其他正因数的数。

换句话说，如果一个数只能被1和它自己整除，那么它就是质数。

例如，2、3、5、7、11等都是质数。

2. 质数的性质：任何一个大于1的整数，都可以被分解为若干个质数的乘积。

这就是所谓的唯一分解定理，也就是每个数都可以被唯一地分解为若干个质数的乘积，并且这个分解式是唯一的。

例如，24=2×2×2×3，其中2和3都是质数，24的质因数分解式就是2×2×2×3。

3. 质数的数量：质数是无限的，也就是说，质数的数量是无穷尽的。

这是由欧几里得在古希腊时期首次证明的，并且一直被数学家们延伸和证明。

4. 质数的应用：质数在数论中有着非常重要的地位，它们是数论中的基础，也是其他数学分支如代数、几何、解析等的基础。

在密码学、数据传输以及计算机科学中，质数也有着非常重要的应用。

二、合数的概念和性质1. 合数的概念：合数是指大于1的整数，除了1和本身外还有其他正因数的数。

换句话说，如果一个数可以被除了1和它自己以外的其他正整数整除，那么它就是合数。

例如，4、6、8、9等都是合数。

2. 合数的性质：合数可以被分解为若干个质数的乘积，而且这个分解式是唯一的。

这也是唯一分解定理的一个重要内容。

例如，24=2×2×2×3，其中2和3都是质数，24的质因数分解式就是2×2×2×3。

3. 合数的数量：合数是无穷的，也就是说，合数的数量是无穷尽的。

这是由欧几里得在古希腊时期首次证明的，并且一直被数学家们延伸和证明。

4. 合数的应用：合数在数论中同样有着重要的地位，它们是数论中的基础，也是其他数学分支如代数、几何、解析等的基础。

在密码学、数据传输以及计算机科学中，合数也有着非常重要的应用。

三、质数和合数的判断方法1. 判断质数：要判断一个数是不是质数，可以很简单地进行试除法。

一、 质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、质因数与分解质因数1．质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.2． 唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯ 其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.3. 部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.4. 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q(均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.重点：分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。

质数和合数定义质数和合数是数学中的基本概念，也是数学研究中的重要对象。

本文将介绍质数和合数的定义及其性质，以及它们在数学和实际生活中的应用。

一、质数的定义质数是指只能被1和它本身整除的正整数。

例如，2、3、5、7、11、13等数都是质数，而4、6、8、9、10等数都不是质数，因为它们可以被除了1和它本身以外的数整除。

二、合数的定义合数是指除了1和它本身以外还可以被其他正整数整除的数。

例如，4、6、8、9、10等数都是合数，因为它们可以被除了1和它本身以外的数整除，而2、3、5、7、11、13等数都不是合数，因为它们只能被1和它本身整除。

三、质数和合数的性质1. 质数和合数的性质不同。

质数只能被1和它本身整除，而合数可以被其他正整数整除。

2. 质数和合数的个数是无限的。

这一点可以通过反证法证明。

假设存在有限个质数p1、p2、p3、……、pn，那么我们可以构造一个大于pn的正整数N，使得N的所有因数都是p1、p2、p3、……、pn中的至少一个。

那么N不是质数，因为它可以被p1、p2、p3、……、pn中的至少一个数整除。

又因为N大于pn，所以N不属于p1、p2、p3、……、pn中的任何一个数，因此N不是合数。

这与假设矛盾，因此假设不成立，质数和合数的个数是无限的。

3. 质数和合数有一定的规律性。

质数的个数比合数的个数少，随着数的增大，质数的间隔也越来越大，而合数的间隔则越来越小。

四、质数和合数的应用1. 质数和合数在密码学中有重要应用。

RSA加密算法就是利用质数的乘积难以分解的特性来保证信息的安全。

2. 质数和合数在数论中有重要应用。

例如，费马大定理就是对质数和合数性质的研究而得出的。

3. 在实际生活中，质数和合数也有着广泛的应用。

例如，质数在计算机领域中用于生成随机数，合数在质因数分解中用于加密和解密。

总之，质数和合数是数学中的基本概念，它们的研究对于数学和实际生活都具有重要意义。

我们需要深入学习和研究质数和合数的性质和应用，在实际生活中充分利用它们的优势，为人类的发展进步做出更加积极的贡献。

整数的性质及应用（三） 质数和合数一、质数和合数的有关性质和定理1.1不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数。

2.若质数p|ab, 则必有p|a 或p|b 。

3.若正整数a, b 的积是质数p, 则必有a=p 或b=p 。

4.定理1.设a 是一个大于1的正整数，则a 的大于1的最小正因数p 一定是质数。

5.定理2.若p 是质数，则对任一整数a, 或者p|a, 或者（p, a ）=16.定理3.质数有无穷多个。

7. 形如4n-1(n 为正整数)的质数有无穷多个。

8.算术基本定理：任意一个大于1的整数N 能分解成K 个质因数的乘积，若不考虑质因数之间的顺序，则这种分解是唯一的，可以写成标准分解形式:二、例题：1.已知三个不同的质数a ,b,c 满足2000=+a c ab b , 求a+b+c 的值。

2.若n 是大于2的正整数，求证：12-n 与12+n 中至多有一个是质数。

3.用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为xcm 规格的地砖，恰用n 块；若选用边长为ycm 规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知x 、y 、n 都是正整数，且（x, y ）=1. 试问这块地有多少平方米？4.设a,b,c,d 都是自然数，且2222d c b a +=+，证明d c b a +++一定是合数。

5.若n 为自然数，n+3与n+7都是质数，求n 除以3所得的余数。

6.设自然数21n n >，且有792221=-n n ，试求1n 与2n 的值。

7.n 是不小于40的偶数，试证明：n 总可以表示成两个奇合数的和。

8.若a,b,c 是1998的三个不同的质因数，且c b a <<，则a c b )(+的值是多少？9.四个质数的倒数之和是19951454，则这四个质数之和是多少？ 10.有四个数，一个是最小的奇质数，一个是偶质数，一个是小于30的最大质数，另一个是大于70的最小质数，求它们的和。

正数与负数的质数与合数正数和负数是数学中常见的概念，在数轴上用箭头的正负方向表示。

质数和合数则是整数的分类，它们之间的关系和特点有许多值得探究的地方。

本文将介绍正数和负数的质数与合数的概念，并分析它们之间的联系与区别。

一、质数的概念质数，又称素数，是指在大于1的自然数中，除了1和其本身外，没有其他因数的数。

换句话说，质数是只能被1和自身整除的数。

例如，2、3、5、7、11等都是质数，它们没有其他因数可以整除。

而4、6、8、9、10等则不是质数，因为它们可以被其他数整除。

二、合数的概念合数是指除了1和本身外，还有其他因数的数。

换言之，合数是能够被除了1和自身之外的数整除的数。

例如，4、6、8、9、10等就是合数。

因为4能被2整除，6能被2和3整除，8能被2和4整除，9能被3整除，10能被2和5整除。

三、正数的质数与合数1. 正数的质数正数中的质数包括2、3、5、7、11等。

正数中的质数总是大于1的，因为1既不是质数也不是合数。

2. 正数的合数正数的合数主要是大于1的数中除了质数之外的数。

例如，4、6、8、9等都是正数的合数。

四、负数的质数与合数1. 负数的质数负数也可以是质数，但它们在负数范围内是独特的。

负数的质数是指绝对值大于1且只能被1和自身整除的负数。

例如，-2、-3、-5、-7、-11等都是负数的质数。

它们没有其他因数可以整除。

2. 负数的合数负数的合数是指能够被除了1和自身之外的数整除的负数。

例如，-4、-6、-8、-9等都是负数的合数。

因为它们能被除了1和自身之外的数整除。

五、正数与负数的质数与合数之间的联系正数和负数在质数和合数的分类上没有明显的差别。

无论是质数还是合数，都可以适用于正数和负数。

六、正数与负数的质数与合数之间的区别正数和负数的质数与合数之间的区别在于它们的符号不同。

质数和合数的判断方法是一样的，无论是正数还是负数。

七、总结正数和负数都可以是质数和合数。

质数是指只能被1和自身整除的数，而合数是指除了1和本身外，还有其他因数的数。

1、质数是除了1和它本身之外，不能被其他数整除的正整数，又称素数。

2、合数：是除了1和它本身还能被其他的正整数整除的正整数。

除2之外的偶数都是合数。

（除0以外）如：4 、6、8、9、10、12、…………
3、偶数（也叫双数）：能被2整除的数。

如：0 、2 、4 、6 、8 、10 …………
4、奇数（也叫单数）：不能被2整除的数。

如：1 、3 、5 、7 、9…………
5、质数和合数的区别在于因数的个数，质数只有2个因数，合数有多于2个因数。

除1,0以外不是质数的正整数就是合数。

"0"“1”既不是质数也不是合数。

质数不可再分解，合数可以进一步分解。

6、100以内的质数有：2、3、5、
7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
最小自然数＝0
最小合数＝4
最小奇数＝1
在正整数中最小偶数＝2。

质数和合数的概念质数与合数的基本概念知识点拨1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数)。

一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

要特别记住:0和1不是质数，也不是合数。

常用的100以内的质数:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个; 除了2其余的质数都是奇数;除了2和5，其余的质数个位数字只能是1、3、7或9考点:(1)值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点(2)除了2和5，其余质数个位数字只能是1、3、7或9 2.判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了;但是这，我们可以先找一个大于且接近p的平方数样的计算量很大，对于不太大的p 2K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的，那么p就为质数。

例如:149很接近144=12x12，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数。

例题精讲例1:下面是主试委员会第六届“华杯赛”写的一首诗:美少年华朋会友，幼长相亲同切磋;杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多;九天九霄志凌云，九七共庆手相握;聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌;请你将56个字第1行左边第一字逐字编为1-56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话。

例2:(2008年南京市青少年“科学小博士”思维训练)炎黄骄子，菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家，华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖。

我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理:对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数(素数)的数组。