初中数学认识三角形与图形的全等综合题目-4页文档资料

三角形全等测试题及答案一、选择题1. 两个三角形全等的条件是（）A. 有两条边和它们的夹角对应相等B. 三条边对应相等C. 有两条边和其中一条边的对角对应相等D. 有两条边和其中一条边的邻角对应相等答案：B2. 如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形（）A. 一定全等B. 可能相似C. 一定相似D. 无法确定答案：B二、填空题3. 已知三角形ABC与三角形DEF全等，且∠A=∠D，AB=DE，那么AC=______。

答案：EF4. 如果两个三角形的两边和夹角对应相等，那么这两个三角形是______。

答案：全等三、判断题5. 如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形一定全等。

（）答案：错误6. 如果两个三角形的两边和夹角对应相等，那么这两个三角形一定相似。

（）答案：正确四、解答题7. 如图所示，已知三角形ABC与三角形DEF全等，且AB=5cm，BC=7cm，∠A=∠D=90°，求DE的长度。

答案：DE=7cm8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB=3cm，BC=4cm，DE=6cm，求AC的长度。

答案：AC=8cm五、证明题9. 已知三角形ABC与三角形DEF全等，且∠A=∠D，AB=DE，证明：AC=EF。

证明：由于三角形ABC与三角形DEF全等，根据全等三角形的性质，对应边相等，所以AC=EF。

10. 已知∠A=∠D，AB=DE，AC=DF，求证：三角形ABC≌三角形DEF。

证明：根据SAS（边角边）判定方法，已知∠A=∠D，AB=DE，AC=DF，所以三角形ABC≌三角形DEF。

中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带参考答案一、选择题1．下列选项中表示两个全等的图形的是（）A．形状相同的两个图形B．周长相等的两个图形C．面积相等的两个图形D．能够完全重合的两个图形2．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE＝AD，则不一定能使△ABE≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．∠B＝∠CC．∠AEB＝∠ADC D．CD＝BE3．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD=∠DAB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4．如图△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE=65°，则∠CAF的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．65°5．如图EF=CF，BF=DF则下列结论不一定正确的是（）A．△BEF≌△DCF B．△ABC≌△ADEC．DC=AC D．AB=AD6．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE、CD相交于点O．∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对8．如图，AD 是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为12，DE =2，AB = 7，则 AC 的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题9．如图，∠ACD＝∠BCE，BC＝EC，要使△ABC≌△DEC，则可以添加的一个条件是．10．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=2，则△ABD的面积为．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，若BD＝4cm，CE＝3cm则DE= cm．12．如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起做成卡钳，已知AC的长度是6cm，则工件内槽的宽BD是cm．13．如图，△ABC为等腰直角三角形AC=BC，若A(−3，0)，C(0，2)，则点B的坐标为.三、解答题14．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°（1）求证：△ADE≌△CDE．（2）求∠BDC度数．15．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A ＝25°，∠D ＝15°，求∠ACB 的度数.16．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE.（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数.17．如图，在ABC 中90C ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，点F 在BC 上，连接DF ，且AD DF =． (1)求证：CF AE =；(2)若3AE =，BF=4，求AB 的长．18．如图，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AE ＝AC ，AF ⊥CB ，垂足为F ．(1)求证：△ABC ≌△ADE ；(2)求∠FAE 的度数；(3)求证：CD ＝2BF+DE ．1．D2．D3．D4．A5．C6．B7．C8．C9．AC ＝DC （答案不唯一）10．811．712．613．(2，-1)14．（1）证明：∵DE 是线段AC 的垂直平分线 ∴DA=DC ，AE=CE在△ADE 与△CDE 中：DA=DCAE=CEDE=DE∴△ADE ≌△CDE （SSS ）；（2）解：∵△ADE ≌△CDE ．∴∠DCA=∠A=50°∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°15．（1）证明：∵∠BCE ＝∠DCA∴∠BCE +∠ACE ＝∠DCA +∠ECA即∠BCA ＝∠DCE .在△BCA 和△DCE 中{∠BCA =∠DCE AC =EC ∠A =∠E∴△BCA ≌△DCE （ASA ）（2）解：∵△BCA ≌△DCE∴∠B ＝∠D ＝15°.∵∠A ＝25°∴∠ACB ＝180°−∠A −∠B ＝140°.16．（1）证明：∵∠BAC ＝∠DAE∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC∴∠1＝∠EAC在△ABD 和△ACE 中{AB =AC ∠1=∠EAC AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）解：∵△ABD ≌△ACE∴∠ABD ＝∠2＝30°∵∠1＝25°∴∠3＝∠1+∠ABD ＝25°+30°＝55°.17．（1）证明：（1）∵90C ∠=︒∴DC BC ⊥又∵BD 是ABC ∠的平分线DE AB ⊥∴DE DC = 90AED ∠=︒在Rt AED △和Rt FCD △中∵AD DFDE DC =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt AED FCD HL ≌△△∴CF AE =．（2）解：由（1）可得3CF AE ==∴437BC BF CF =+=+=∵DE AB ⊥∴90DEB ∠=︒∴DEB C ∠=∠∵BD 是ABC ∠的平分线∴ABD CBD ∠=∠在BED 和BCD △中∵DEB C EBD CBD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BED BCD AAS ≌△△ ∴7BE BC ==∴7310AB BE AE =+=+=∴AB 的长为10．18．（1）证明：∵90BAD CAE ∠=∠=︒∴90BAC CAD ∠+∠=︒ 90CAD DAE ∠+∠=︒ ∴BAC DAE ∠=∠在△BAC 和△DAE 中∵AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BAC DAE SAS ≌△△；（2）解：∵90CAE ∠=︒，AC=AE∴45E ∠=︒由（1）知BAC DAE ≌△△∴45BCA E ∠=∠=︒∵AF BC ⊥∴90CFA ∠=︒∴45CAF ∠=︒∴4590135FAE FAC CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）证明：延长BF 到G ，使得FG FB = ∵AF BG ⊥∴90AFG AFB ∠=∠=︒在△AFB 和△AFG 中∴BF GF AFB AFG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AFB AFG SAS ≌△△∴AB AG = ABF G ∠=∠∵BAC DAE ≌△△∴AB AD = CBA EDA ∠=∠ CB=ED ∴AG AD = ABF CDA ∠=∠∴CGA CDA ∠=∠∵45GCA DCA ∠=∠=︒∴在△CGA 和△CDA 中GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CGA CDA AAS ≌△△∴CG CD =∵22CG CB BF FG CB BF DE BF =++=+=+ ∴2CD BF DE =+．。

中考复习之三角形全等一、选择题：1.图是一个风筝设计图，其主体部分（四边形ABCD ABCD）关于）关于BD 所在的直线对称，所在的直线对称，AC AC 与BD 相交于点O ，且AB≠AD，则下列判断不正确．．．的是【的是【 】】 A ．△ABD≌△CBD ．△ABD≌△CBD B B B．△ABC≌△ADC ．△ABC≌△ADC ．△ABC≌△ADC C C C．△AOB≌△COB ．△AOB≌△COB ．△AOB≌△COB D D D．△AOD≌△COD ．△AOD≌△COD ．△AOD≌△COD2.如图，已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，下列能使△ABD≌△ACD 的条件是【的条件是【 】】A. AB=ACB. ∠BAC=90°C. BD=AC A. AB=AC B. ∠BAC=90° C. BD=ACD. ∠B=45°D. ∠B=45°D. ∠B=45°3.如图，已知点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，在同一条直线上，AB=DE AB=DE AB=DE，，BC=EF BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是【是【 】】 A A．∠BCA=∠F ．∠BCA=∠F ．∠BCA=∠F B B B．∠B=∠E ．∠B=∠E ．∠B=∠EC ．BC∥EF ．BC∥EFD ．∠A=∠EDF ．∠A=∠EDF4.如图，AB∥CD，如图，AB∥CD，E E ，F 分别为AC AC，，BD 的中点，若AB=5AB=5，，CD=3CD=3，则，则EF 的长是【的长是【 】】A ．4B ．3C ．2D ．15.已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是【等的是【 】】 (A) (A)两条边长分别为两条边长分别为4，5，它们的夹角为β (B) (B)两个角是两个角是β，它们的夹边为4(C) (C)三条边长分别是三条边长分别是4，5，5 (D)5 (D)两条边长是两条边长是5，一个角是β6.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M 、N 的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是【的线段是【 】】 A A．．PO B ．PQ C PQ C．．MO D ．MQ7.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC AC，，BD 相交于点O ，且AC≠BD，则图中全等三角形有【AC≠BD，则图中全等三角形有【 】】A.4对B. 6对.C.8对D.10对二、填空题：1.在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，中，∠ACB=90°，BC=2cm BC=2cm BC=2cm，CD⊥AB，在，CD⊥AB，在AC 上取一点E ，使EC=BC EC=BC，过点，过点E 作EF⊥AC 交CD 的延长线于点F ，若EF=5cm EF=5cm，则，则AE= cm AE= cm．．2.如图所示，如图所示，AB=DB AB=DB AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件 ，， 使使ΔABC≌ΔDBE DBE．． ( (只需添只需添加一个即可加一个即可) )3.如图所示，已知点A 、D 、B 、F 在一条直线上，在一条直线上，AC=EF AC=EF AC=EF，，AD=FB AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是这个条件可以是 ．．（只需填一个即可）（只需填一个即可）4.如图，点D ，E 分别在线段AB AB，，AC 上，上，BE BE BE，，CD 相交于点O ，AE=AD AE=AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是件是 （只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）（只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）．5.如图．点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC AB=AC，，AD=AE AD=AE．．请写出图中的全等三角形请写出图中的全等三角形 ( ( (写出一对即可写出一对即可写出一对即可))．6.如图，己知AC=BD AC=BD，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是 ( ( (填一个即可填一个即可填一个即可) )三、解答题：1.已知：如图，AB AE =，1=2ÐÐ，=B E ÐÐ，求证：BC ED =2.如图，已知AB=DC AB=DC，，DB=AC（1）求证：∠ABD=∠DCA，注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．）求证：∠ABD=∠DCA，注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．（2）在（）在（11）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？3.如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，上，AB=AC AB=AC AB=AC，∠B=∠C．求证：，∠B=∠C．求证：，∠B=∠C．求证：BE=CD BE=CD BE=CD．．4.如图，AB∥CD，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB AB，，AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F为圆心，大于12EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP AP，交，交CD 于点M 。

2024年中考数学《全等三角形》专题练习附带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________知识重点1、全等三角形的概念：（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（2）把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

3、三角形全等的判定：(1)边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。

(2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。

(3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。

(4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。

(5)斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

一、选择题1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（）A．B．C．D．2．如图，△ABC≌△EDC，AC=3cm，DC=5cm，则BE=（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．30°C．35°D．25°4．小亮设计了如下测量一池塘两端AB的距离的方案：先取一个可直接到达点A，B的点O，连接AO，BO，延长AO至点P，延长BO至点Q，使得OP=AO，OQ=BO再测出PQ的长度，即可知道A，B之间的距离．他设计方案的理由是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS5．如图，点F，E在AC上AD=CB，∠D=∠B添加一个条件，不一定能证明△ADE≌△CBF的是（）A．AD∥BC B．DE∥FB C．DE=BF D．AE=CF6．如图所示∠E=∠D，CD⊥AC于点C，BE⊥AB于点B，AE交BC于点F，且BE=CD，则下列结论不一定正确的是（）A．AB=AC B．BF=EF C．AE=AD D．∠BAE=∠CAD 7．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=5 F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（）A．4 B．5 C．5.5 D．68．如图，AD是△BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=32，DE=4，AB=9，则AC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题9．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF 相等，那么判定△ABC与△DEF全等的依据是．10．若△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点∠A=50°，∠B=60°则∠F=. 11．如图，△ABC的面积为25cm2，BP平分∠ABC，过点A作AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为；12．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知BC=8，DE=2则△BCE 的面积等于．13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=7cm，CE=5cm，则DE= cm．三、解答题14．如图，点B，C，E，F在同一直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF．求证：AB∥DF．15．如图，在Rt△ABC中∠B=90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE=AB.求证：△CED≅△ABC.16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，AE平分∠DAB．求证：CD+AB＝AD．17．已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：（1）OD=OE；（2）OB=OC．18．如图，在△ABC中AC>AB，射线AD平分∠BAC，交BC于点E，点F在边AB的延长线上AF=AC，连接EF．（1）求证：△AEC≌△AEF．（2）若∠AEB=50°，求∠BEF的度数．19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB．（1）求∠AOE得度数；（2）求证：AC=AE+CD．参考答案1．A2．B3．C4．A5．D6．B7．A8．C9．HL10．70°11．12.5cm212．813．1214．解：∵ BE＝CF∴BE−CE=CF−CE∴BC=FE∵ AB＝DF，AC＝DE∴△ABC≌△DFE(SSS)∴∠B＝∠F∴AB∥DF．15．证明：∵DE⊥AC，∠DEC=90°又∵∠B=90°∴∠DEC=∠B=90°∵CD∥AB，∴∠A=∠DCE在△CED和△ABC中{∠DCE=∠A CE=AB∠DEC=∠B∴△CED≅△ABC(ASA).16．证明：如图，过点E作EF⊥AD于F∵∠B＝90°，AE平分∠DAB∴BE＝EF在Rt△EFA和Rt△EBA中{EF=EBAE=AE∴Rt△EFA和≌Rt△EBA（HL）．∴AF＝AB∵E是BC的中点∴BE＝CE＝EF在Rt△EFD和Rt△ECD中{EF=ECDE=DE∴Rt△EFD和≌Rt△ECD（HL）．∴DF＝CD∴CD+AB＝DF+AF＝AD∴CD+AB＝AD．17．（1）证明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC ∴OD=OE（2）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC∴∠BDO=∠CEO=90°在△BDO和△CEO中{∠BDO=∠CEO DO=CO∠BOD=∠COE∴△BDO≌△CEO（ASA）∴OB=OC18．（1）证明：射线AD平分∠BAC∴∠CAE=∠FAE 在△AEC和△AEF中{AC=AF∠CAE=∠FAE AE=AE∴△AEC≌△AEF(SAS)；（2）解：∵△AEC≌△AEF(SAS)∴∠AEC=∠AEF∵∠AEB=50°∴∠AEC=180°−∠AEB=180°−50°=130°∴∠AEF=∠AEC=130°∴∠BEF=∠AEF−∠AEB=80°∴∠BEF为80°．19.18．（1）解：∵∠BAC=90°，∠ABC=60°∴∠ACB=30°∵AD平分∠BAC，CE平分∠BAC∴∠CAD=12∠BAC=45°，∠ACE=12∠ACB=15°∵∠AOE是△AOC的外角∴∠AOE=∠CAD+∠ACE=60°；（2）证明：在AC上截取CF=CD，连接OF∵CE平分∠ACB∴∠DCO=∠FCO在△DCO和△FCO中{CD=CF∠DCO=∠FCOOC=OC∴△DCO≌△FCO(SAS)∴∠COD=∠COF∵∠AOE=60°∴∠COD=∠COF=60°∴∠AOF=180°−∠AOE−∠COF==60°∴∠AOE=∠AOF∵AD平分∠BAC∴∠EAO=∠FAO在△EAO和△FAO中{∠EAO=∠FAO AO=AO∠AOE=∠AOF∴△EAO≌△FAO(ASA)∴AE=AF∵AC=AF+CF∴AC=AE+CD．。

七年级下册数学三角形全等证明综合题北师版一、单选题(共9道，每道11分)1.如图，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，试说明DF=CE，小明是这样做的，老师扣他了3分，大家帮他找一下，他到底那个地方扣分了？证明：∵AE=BF∴AE -EF= BF-EF，即AF=EB①又∵AD∥BC∴∠C=∠D②在△ADF和△BCE中③ ∴△ADF≌△BEC（SAS）④ ∴DF=CE 上面过程中出错的序号有（）A.①②③④B.②③④C.①②③D.③④答案：B试题难度：三颗星知识点：证明题的书写步骤及定理应用考察2.已知如下左图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，图中全等的三角形有（）对A.1B.2C.3D.4答案：C试题难度：三颗星知识点：全等三角形的个数3.如图，已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．判断线段AP和AQ的关系，并证明．小红在做这道题目的时候部分分析思路如下：猜测AP和AQ的数量关系应该是相等的，证明线段AP=AQ，将这两条线段放到两个三角形中，即证明__≌__，题中已知BP=AC，CQ=AB，采取的判定方法是__，此时需要找的第三组条件=__.①△APD≌△QAE ②△APB≌△QAC ③SAS ④SSS ⑤AP=AQ⑥∠ABP=∠QCA ⑦∠PAB=∠AQC ⑧∠BPA=∠CAQA.①③⑧B.②③⑦C.②③⑥D.②④⑤答案：C试题难度：三颗星知识点：三角形全等解题思路4.已知，如图∠ACE=90°，AC=CE，B为AE上一点，ED⊥CB于D，AF⊥CB交CB的延长线于F．求证：DF=CF－AF.小强在做这道题目的时候部分分析思路如下：从图中知道DF=CF－CD，只需证明AF=CD，即证明△ACF≌△CED,题中已知AC=CE，ED⊥CB，AF⊥CB，采取的判定方法是AAS，此时需要找的第三组条件__=__.因为ED⊥CB，所以__+__=90°，而∠ACE=90°，即__+__=90°，根据等量代换即可得到第三组条件.①∠CAF=∠CED ②∠ACF=∠CED ③∠DBE+∠BED=90°④∠DCE+∠DEC=90° ⑤∠ACF+∠CAF=90° ⑥∠ACF+∠FCE=90°A.①③⑤B.①③⑥C.②④⑤D.②④⑥答案：D试题难度：三颗星知识点：三角形全等解题思路5.如图，在中，,AB=12，则中线AD的取值范围是（）A.7＜AD＜17B.C.5＜AD＜12D.答案：B试题难度：三颗星知识点：倍长中线法6.如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点.则下列式子正确的是（）A.AB-AC＜PB-PCB.AB-AC≧PB-PCC.AB-AC=PB-PCD.AB-AC＞PB-PC答案：D试题难度：三颗星知识点：截长补短法7.已知△ABC，∠BAD=∠CAD，AB=2AC，AD=BD，下列式子中正确的是（）A.AB=2ADB.AD=CDC.AD⊥BDD.DC⊥AC答案：D解题思路：利用翻折的思想来进行解决，在AB上截取AE=AC，在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AB=2AC，∴AE=BE，又∵AD=BD，∴DE⊥AB，再证明△ADE≌ADC，∴∠ACD=∠AED=90°，即DC⊥AC．试题难度：三颗星知识点：折叠与全等8.如图，已知△ABC，BD=EC≠DE，则对于AB+AC与AD+AE的大小关系正确的是（）A.AB+AC=AD+AEB.AB+AC≧AD+AEC.AB+AC＞AD+AED.AB+AC≦AD+AE答案：C解题思路：利用平移的思想来进行解题，可以将△AEC平移至BD处，使EC与BD重合，假设为△BDF，DF与AB交于点G，则可先证△BDF≌△ECA，则在△BGF和△DGA中，BG+FG ＞BF，DG+AG＞AD，即AB+AC＞AD+AE．解：过点B和D作BF∥AE，DF∥AC，BF与DF交于点F，DF 与AB交于点G，则△BDF≌△ECA（ASA），∴BF=AE，DF=AC，在△BGF和△DGA中，BG+FG ＞BF，DG+AG＞AD，二式相加可得BG+FG+ DG+AG＞BF+ AD 即AB+AC＞AD+AE．试题难度：三颗星知识点：平移与全等9.如图，EF分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AH⊥EF，H为垂足，则下列说法中正确的是（）A.直接证明△ABE和△AHE全等可以证明AH=ABB.EF=BE+DFC.AE=AFD.∠AEB=∠AFE答案：B解题思路：利用旋转的思想来进行解题，延长EB使得BH=DF，易证△ABH≌△ADF（SAS）可得∠EAH=∠EAF=45°，进而求证△AEH≌△AEF可得EF=BE+DF解：延长EB到点H，使得BH=DF，连接AH，可得△ABH≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，∠EAH=∠EAF=45°∴△AEG≌△AEF（SAS）∴EF=EH=BE+DF试题难度：三颗星知识点：旋转与全等。

1. 七年级数学中考专项练习——三角形全等（含答案解析）下列说法中，正确的有（ ）①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若△ABC ≌△DEF ，则∠A =∠D ，AB =EF ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 如图，△ABC ≌△BAD ，A 和B ，C 和D 分别是对应顶点，若AB =6cm ,AC =4cm ,BC =5cm ,则AD 的长为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．以上都不对3. 下列正确的有（ ）①三角形的三条角平分线的交点在三角形内；②三角形三条中线的交点在三角形内；③三角形的三条高线的交点在三角形内；④三角形的三边垂直平分线的交点在三角形外．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4. 如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点D ，若∠BDC =120°，则∠A 的度数为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°5. 如图，BE 、CE 分别为△ABC 的内、外角平分线，BF 、CF 分别为△EBC 的内、外角平分线，若∠A =44°，则∠BFC = 度．6. (2022年省实验期中)小明在学习中遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．猜想∠B、∠ACB、∠E的数量关系．⑴小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试从具体的情况开始探索，若∠B=35°，∠ACB=85°，则∠E= ．⑵小明继续探究，设∠B=α，∠ACB=β(β＞α)，当点P在线段AD上运动时，求∠E的大小．(用含α、β的代数式表示)说法错误；全等三角形能够完全重合，所以全等三角形的周长相等，面积相等，故③说法正确； 若△ABC ≌△DEF ，∠A 的对应角为∠D ，所以∠A =∠D ，AB 的对应边为DE ，所以AB =DE ，故④说法错误；说法正确的有③，共1个．故选：A ．2. 解：∵△ABC ≌△BAD ，A 和B ，C 和D 1.解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，即形状和大小相同的两个图形是全等形，故①②分别是对应顶点∴AD =BC =5cm .故选：B ．3. 解：①三角形的三条角平分线的交点在三角形内，故正确；②三角形三条中线的交点在三角形内，故正确；③锐角三角形的三条高线的交点在三角形内，故错误；④锐角三角形的三边垂直平分线的交点在三角形内，故错误；综上，正确的个数有2个，故选：B ．4.5.6. 解：（1）∵∠B=35°，∠ACB=85°，∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=30°，∴∠PDE=∠B+∠BAD=65°，∵PE⊥AD，∴∠E=90°-∠PDE=25°；故答案为：25；。

第一部分 全等100题1．如图1.1所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ． （1）如图（a ）所示，连接EC ，求证：△EBC 为正三角形．（2）如图（a ）所示，点M 是线段CD 上一点（与点C 、D 不重合），以为BM 一边，在BM 的下方作∠BMG ＝60°，MG 交DE 的延长线于点G ，求证：AD ＝DM ＋DG ．（3）如图（c ）所示， 点M 是线段AD 上的一点（与点A 、D 不重合），以BM 为一边，在BM 的下方作∠BMG ＝60°，MG 交DE 的延长线于点G ，求证：探究DM 、DG 和AD 之间的数量关系，并说明理由．图1.1【答案】证：（1）∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，如图2.1所示，图2.1∴∠ABC ＝60°，BC ＝12AB ． ∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝∠DBA ＝∠A ＝30°， ∴DA ＝DB ．∵DE ⊥AB 于点E ， ∴AE ＝BE ＝12AB ，∴BC ＝BE ，∴△EBC 为正三角形．（2）结论：AD ＝DG ＋DM ．延长ED 至点W ，使得DW ＝DM ，连接MW ，如图2.2所示，图2.2∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ．∠ADE ＝∠BDE ＝60°，AD ＝BD ．（c ）（b ）（a ）AAAB BBABAB又DM ＝DW ，∴△WMD 是等边三角形 ∴MW ＝DM ．∵∠WMG ＝∠WMD ＋∠DMG ＝60°＋∠DMG ， ∠DMB ＝∠BMG ＋∠DMG ＝90°＋∠DMG ， ∴∠WMG ＝∠DMB ．∵60,,,W MDB MW DM WMG DMB ∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩︒ ∴△WGM ≌△DBM （ASA ）．∴BD ＝WG ＝DG ＋DW ＝DG ＋DM ． ∴AD ＝DG ＋DM ． （3））结论：DG ＝AD ＋DM ．延长BD 至点H ，使得DH ＝DM ，连接HM ，如图2.3所示，图2.3∠CDB ＝∠HDM ＝60°， ∴△MDH 是等边三角形．∴MH ＝MD ，∠MHB ＝∠MDG ＝60°， ∵∠HMB ＝∠HMD ＋∠BMD ＝60°＋∠BMD ， ∠DMG ＝∠BMG ＋∠BMD ＝90°＋∠BMD ， ∴∠HMB ＝∠DMG ．∵,,,MHB MDG MH MD HMB DMG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MHB ≌△MDG （ASA ）．∴HB ＝DG ． ∵HB ＝HD ＋DB ＝MD ＋AD ． ∴DG ＝MD ＋AD ．【思路点拨】此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知作出正确辅助线是解题的关键．2．如图1.2所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于点D ，点E 为线段AD 上一点，点F 为线段BD 上一点，满足CE ＝BF ，且BE 平分∠ABD ． 求证：∠EBC ＝∠BEF ＝45°．AB图1.2【答案】证：设∠ABE ＝∠DBE ＝α，∠DBC ＝β，如图2.4所示， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝2α＋β，∠A ＝90°－2α， ∴2（2α＋β）＋（90°－2α）＝180°， ∴α＋β＝45°， ∴∠EBC ＝45°．图2.4 图2.5 作EG ∥BC 交AB 于点G ，如图2.5所示， ∴∠GEB ＝∠EBC ，又四边形GBCE 为等腰梯形， ∴BG ＝CE ＝BF ，∵,,,BG BF GBE FBE BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△GBE ≌△FBE （SAS ）， ∴∠GEB ＝∠FEB ， ∴∠EBC ＝∠BEF ＝45°．【思路点拨】本题是角平分线模型．先通过导角可得∠EBC ＝45°，接下来利用角平分线模型证明△GBE ≌△FBE ，再由平行线条件可得∠EBC ＝∠BEF ＝45°．3．如图1.3所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，M 为对角线AC 上异于A 、C 的一点，以AM 为边，作等边△AMN ，线段MN 与AD 交于点G ，连接NC 、DM ，Q 为线段NC 的中点，连接DQ 、MQ ．求证：（1）DM ＝2DQ ；（2）DQ ⊥MQ ．BB图1.3【答案】证：（1）延长CD 至点P ，使得DP ＝DC ，连接PA 、PN ，如图2.6所示， ∵∠PDA ＝60°，DP ＝DC ＝AD ， ∴△PDA 为等边三角形， ∴PA ＝DA ，∠PAD ＝90°， ∴∠PAN ＋∠NAD ＝90°，∠DAM ＋∠NAD ＝90°， ∴∠PAN ＝∠DAM ．∵,,,PA DA PAN DAM AN AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PAN ≌△DAM （SAS ）， ∴PN ＝DM ，∠APN ＝∠ADM ． ∵PD ＝DC ，NQ ＝CQ ， ∴DQ 为△CPN 的中位线． ∴DQ ＝12PN ＝12DM ，DQ ∥PN ， ∴DM ＝2DQ ．图2.6 图2.7 图2.8（2）∵DQ ∥PN ， ∴∠NPD ＝∠QDC ． ∵∠APN ＋∠NPD ＝90°，∠APN ＝∠ADM ，如图2.7所示， ∴∠ADM ＋∠QDC ＝90°， ∴∠MDQ ＝120°－60°＝60°．取DM 的中点E ，连接EQ ，如图2.8所示， ∵DM ＝2DQ ， ∴DQ ＝DE ＝EM ，∴△DEQ 为等边三角形， ∴∠DEQ ＝60°， ∴EQ ＝EM ，∴∠EMQ ＝12∠DEQ ＝30°， ∴DQ ⊥MQ ．NNCA【思路点拨】第一问，证明线段两倍关系时，构造中位线是常规套路，点Q 为CN 的中点，倍长CD 至点P ，可使DQ 为中位线，即PN ＝2DQ ，现只需证PN ＝DM 即可.第二问，DM ＝2DQ 成立，通过平行线和全等结论转移角度关系，可知∠MDQ ＝60°，那么可构造等边三角形证明∠EMQ ＝30°．4．如图1.4所示，凸四边形ABCD 中，AB ＞AD ，AC 平分∠BAD ，过点C 作DE ⊥AB 于点E ，并且AE ＝12（AB ＋AD ）. 求证：∠ABC 与∠ADC 互补．图1.4【答案】证：过点C 作AD 的垂线交AD 的延长线于点F ，如图2.9所示，图2.9∵AC 平分∠BAD ， ∴∠FAC ＝∠EAC ．∵,,,FAC EAC AFC AEC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFC ≌△AEC （AAS ） ∴FC ＝EC ，AF ＝AE ．∵AB ＝BE ＋AE ，AF ＝AD ＋DF ，∴AB ＋AD ＝BE ＋AE ＋AF －DF ＝（BE －DF ）＋2AE ，∴AE ＝12[（AB ＋AD ）－（BE －DF ）]∵AE ＝12（AB ＋AD ），∴DF ＝BE ．∵,,,DF BE CFD CEB CF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFD ≌△CEB （SAS ）， ∴∠CDF ＝∠ABC ．BB∵∠CDF ＋∠ADC ＝180°， ∠ABC ＋∠ADC ＝180°．【思路点拨】本题是角平分线模型与对角互补模型的合体.对于全等而言，一条角平分线就会提供两个必要条件，只要再找出一个等角关系，即可证明全等． 对角互补模型是常考题型，通常通过构造补角寻求等角关系，这是一般性规律.5．如图1.5所示，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点E 是AC 上一点，连接BE ，点D 是线段BE 延长线上一点，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，连接CD 、CF . 当AF ＝DF 时，求证：DC ＝BC ．图1.5 图2.10 图2.11证：作CG ⊥CF 交BD 于点G ，如图2.10所示， ∵∠FAE ＋∠AEF ＝90°，∠GBC ＋∠BEC ＝90°，∠AEF ＝∠BEC ， ∴∠FAC ＝∠GBC ． ∵∠ACF ＋∠ECG ＝90°，∠BCG ＋∠ECG ＝90°， ∴∠ACF ＝∠BCG ．∵,,,FAC GBC ACF BCG AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FAC ≌△GBC （AAS ）， ∴FC ＝GC ，∴△FCG 为等腰直角三角形， ∴∠GFC ＝45°， ∴∠AFC ＝135°， ∴∠DFC ＝360°－90°－135°＝135°， ∴∠AFC ＝∠DFC ，∵,,,AF DF AFC DFC CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFC ≌△DFC （SAS ），如图2.11所示， ∴AC ＝DC ＝BC ．【思路点拨】本题通过构造共角互余模型解决问题，通过构造共角互余来达到证明△FCG 为等腰直角三角形的目的，为证明△AFC ≌△DFC 创造必要条件．6．如图1.6所示，在等腰Rt △ABC 中，AD 为斜边上的中线，以D 为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于点E 、F ，连接EF 与AD 相交于点G ．求证：∠AED ＝∠AGF ．GF EDCBA证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，AD 是斜边上的高，如图所示 ∴AD ＝CD ，∠DAE ＝∠DCF ＝45°∵∠ADE ＋∠ADF ＝∠CDF ＋∠ADF ＝90° ∴∠ADE ＝∠CDF ∵DAE DCF AD CD ADE CDF ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠＝∠＝∠ ∴△ADE ≌△CDF (ASA ) ∴DE ＝DF∴△EDF 为等腰直角三角形 ∴∠DEF ＝45°∵∠AGF ＝∠AEG ＋∠BAD ＝∠AEG ＋45° ∠AED ＝∠AEG ＋∠DEF ＝∠AEG ＋45° ∴∠AED ＝∠AGF思路点拨根据图形特征，本题是典型的共角互余模型．同时，逆向推导结论对于解题常常起到推进的作用，以本题为例： ∵∠AED ＝∠AEG ＋∠DEF ∠AGF ＝∠AEG ＋∠BAD∴∠AED ＝∠AGF ⇒∠DEF ＝∠BAD ＝45°⇒DE ＝DF 那么，接下来只需证明△ADE ≌△CDF ，命题即可得证．7．如图1.7所示，AD 是△ABC 的中线，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE ⊥DF ，求证：BE ＋CF ＞EF ．FEDCBA解：延长ED 至点G ，使得ED ＝DG ，连接CG 、FG ，如图2.13所示．∵ED GD EDF GDF FD FD ⎧⎪⎨⎪⎩＝，∠＝∠，＝， ∴△EFD ≌△GFD (SAS ) ∴EF ＝GFBD CD ⎪⎩＝，∴△EDB ≌△GDC (SAS ) ∴BE ＝GC∴BE ＋CF ＝GC ＋CF ＞GF ＝EFGABCDEF思路点拨由于三条线段比较分散，不利于比较大小，因此采用几何变换的手段将三条线段规整到一个三角形中，就便于比较大小了，本题采用的是中心旋转对称的几何变换．8．如图1.8所示，已知正方形ABCD ，点E 为边AB 上异于点A 、B 的一动点，EF ∥AC ，交BC 于点F ，点G 为DA 延长线上一定点，满足AG ＝AD ，GE 的延长线与DF 交于点H ，连接BH ．探究：∠EHB 是否为定值？如果是定值，请说明理由，并求出该定值；如果不是定值，请说明理由．GHFEDCBA解：结论：∠EHB ＝45°为定值． 证：∵EF ∥AC ，如图2。

全等三角形证明题专项练习60题（有答案）1．已知如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=20°，∠BAE=105°，求∠BAC的度数．∠BAC=_________．2．已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：△ABD≌△CDB．3．如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于F．若∠1=∠2=∠3，AC=AE，请说明△ABC≌△ADE 的道理．4．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于H，且AD=BD．试说明下列结论成立的理由．（1）∠DBH=∠DAC；（2）△BDH≌△ADC．5．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF，则AB=AC，并说明理由．6．如图，AE是∠BAC的平分线，AB=AC，D是AE反向延长线的一点，则△ABD与△ACD全等吗？为什么？7．如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AF=BD，AE=BC，且AE∥BC．求证：△AEF≌△BCD．8．如图，已知AB=AC，AD=AE，BE与CD相交于O，△ABE与△ACD全等吗？说明你的理由．9．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E在AD上，找出图中全等的三角形，并说明它们为什么是全等的．10．如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC．11．已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，应增加什么条件？并根据你所12．如图，已知AB=AC，BD=CE，请说明△ABE≌△ACD．13．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到△A1B1C，连接BB1．设CB1交AB于D，A1B1分别交AB，AC于E，F，在图中不再添加其他任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明．（△ABC与△A1B1C1全等除外）14．如图，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF．求证：△ABC≌△DEF．15．如图，AB=AC，AD=AE，AB，DC相交于点M，AC，BE相交于点N，∠DAB=∠EAC．求证：△ADM≌△AEN．16．将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），B、C、E三点在同一条直线上，连接DC．求证：△ABE≌△ACD．17．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．请在图中找出所有全等的三角形，用符号“≌”表示，并选择一对加以证明．18．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD．（1）求证：△ABD≌△EBC．（2）你可以从中得出哪些结论？请写出两个．19．等边△ABC边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F．（1）若AD=2，求AF的长；（2）求当AD取何值时，DE=EF．20．巳知：如图，AB=AC，D、E分别是AB、AC上的点，AD=AE，BE与CD相交于G．（Ⅰ）问图中有多少对全等三角形？并将它们写出来．（Ⅱ）请你选出一对三角形，说明它们全等的理由（根椐所选三角形说理难易不同给分，即难的说对给分高，易的说对给分低）21．已知：如图，AB=DC，AC=BD，AC、BD相交于点E，过E点作EF∥BC，交CD于F，（1）根据给出的条件，可以直接证明哪两个三角形全等？并加以证明．（2）EF平分∠DEC吗？为什么？22．如图，己知∠1=∠2，∠ABC=∠DCB，那么△ABC与△DCB全等吗？为什么？23．如图，B，F，E，D在一条直线上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE．试证明：（1）△DFC≌△BEA；（2）△AFE≌△CEF．24．如图，AC=AE，∠BAF=∠BGD=∠EAC，图中是否存在与△ABE全等的三角形？并证明．25．如图，D是△ABC的边BC的中点，CE∥AB，E在AD的延长线上．试证明：△ABD≌△ECD．26．如图，已知AB=CD，∠B=∠C，AC和BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．（1）求证：△AOB≌△DOC；（2）求∠AEO的度数．27．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC．（1）求证：△ABF≌△DEC；（2）请你找出图中还有的其他几对全等三角形．（只要直接写出结果，不要证明）28．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．（1）求证：△ABD≌△GCA；（2）请你确定△ADG的形状，并证明你的结论．29．如图，点D、F、E分别在△ABC的三边上，∠1=∠2=∠3，DE=DF，请你说明△ADE≌△CFD的理由．30．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BE⊥AC于点E，点F在线段BE上，∠1=∠2，点D在线段EC上，给出31．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，AB=BC，BD=BE，EA=DC，求证：△BEA≌△BDC．32．阅读并填空：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．请说明△ADC≌△CEB的理由．解：∵BE⊥CE于点E（已知），∴∠E=90°_________，同理∠ADC=90°，∴∠E=∠ADC（等量代换）．在△ADC中，∵∠1+∠2+∠ADC=180°_________，∴∠1+∠2=90°_________．∵∠ACB=90°（已知），∴∠3+∠2=90°，∴_________．在△ADC和△CEB中，.∴△ADC≌△CEB （A．A．S）33．已知：如图所示，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．（1）写出图中你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．34．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE．试说明下列结论正确的理由：（1）∠C=∠E；（2）△ABC≌△ADE．35．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是斜边AB上的一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F．求证：△ACE≌△CBF．36．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE∥CA交AB于E，点P是线段AC上的一动点，连接PE．探究：当动点P运动到AC边上什么位置时，△APE≌△EDB？请你画出图形并证明△APE≌△EDB．37．已知：如图，AD∥BC，AD=BC，E为BC上一点，且AE=AB．求证：（1）∠DAE=∠B；（2）△ABC≌△EAD．38．如图，D为AB边上一点，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，CA=CB，CD=CE，图中有全等三角形吗？指出来并说明理由．39．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求证：△ABD≌△ACE．40．如图，已知D是△ABC的边BC的中点，过D作两条互相垂直的射线，分别交AB于E，交AC于F，求证：BE+CF＞EF．41．如图所示，在△MNP中，H是高MQ与NE的交点，且QN=QM，猜想PM与HN有什么关系？试说明理由．42．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG．（1）求证：BG=CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．43．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长．44．如图，小明在完成数学作业时，遇到了这样一个问题，AB=CD，BC=AD，请说明：∠A=∠C的道理，小明动手测量了一下，发现∠A确实与∠C相等，但他不能说明其中的道理，你能帮助他说明这个道理吗？试试看．45．如图，AD是△ABC的中线，CE⊥AD于E，BF⊥AD，交AD的延长线于F．求证：CE=BF．46．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，F在DC的延长线上，AM=CF，FM交DA的延长线上于E．交BC于N，试说明：AE=CN．47．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB 交BC于E，求证：CT=BE．48．如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．∠B与∠D相等吗？请你说明理由．49．D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=EF，AE=CE，求证：AB∥CF．50．如图，M是△ABC的边BC上一点，BE∥CF，且BE=CF，求证：AM是△ABC的中线．51．如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，D为AB上一点，AF⊥CD交于CD的延长线于点F，BE⊥CD于点E，求证：EF=CF﹣AF．52．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若MN是经过点A的直线，BD⊥MN于D，EC⊥MN于E．（1）求证：BD=AE；（2）若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点O，其他条件都不变，BD与AE边相等吗？为什么？（3）BD、CE与DE有何关系？53．已知：如图，△ABC中，AB=AC，BD和CE为△ABC的高，BD和CE相交于点O．求证：OB=OC．54．在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，点F在AC边上，DE与CF平行且相等．试说明AE=DF的理由．55．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，连接DE，已知DE=2cm，BD=3cm，求线段BC的长．56．如图：已知∠B=∠C，AD=AE，则AB=AC，请说明理由．57．如图△ABC中，点D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=CD，AD=DE=BE．（1）求证△BCE≌△DCE；（2）求∠EDC的度数．58．已知：∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E．求证：BD=2CE．59．如图，已知：AB=CD，AD=BC，过BD上一点O的直线分别交DA、BC的延长线于E、F．（1）求证：∠E=∠F；（2）OE与OF相等吗？若相等请证明，若不相等，需添加什么条件就能证得它们相等？请写出并证明你的想法．60．如下图，AD是∠BAC的平分线，DE垂直AB于点E，DF垂直AC于点F，且BD=DC．求证：BE=CF．全等三角形证明题专项练习60题参考答案：1．∵△ABC≌△ADE 且∠B≠∠E，∴∠C=∠E，∠B=∠D；∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣30°﹣20°=130°．2．∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABD=∠CDB、∠ADB=∠CBD．又BD=DB，∴△ABD≌△CDB（ASA）．3．△ADF与△AEF中，∵∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，∴∠E=∠C．∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE．∵AC=AE，∴△ABC≌△ADE．4．（1）∵∠BHD=∠AHE，∠BDH=∠AEH=90°∴∠DBH+∠BHD=∠HAE+∠AHE=90°∴∠DBH=∠HAE∵∠HAE=∠DAC∴∠DBH=∠DAC；（2）∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC在△BDH与△ADC中，∴△BDH≌△ADC．5．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△DBE与△DCF是直角三角形，∵BD=CD，DE=DF，∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），∴∠B=∠C，∴AB=AC．6．∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE；∴180°﹣∠BAE=180°﹣∠CAE，即∠DAB=∠DAC；又∵AB=AC，AD=AD，∴在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS）7．∵AE∥BC，∴∠B=∠C．∵AF=BD，AE=BC，∴△AEF≌△BCD（SAS）．8．△ABE与△ACD全等．理由：∵AB=AC，∠A=∠A（公共角），AE=AD，∴△ABE≌△ACD．9．图中的全等三角形有：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE．理由：∵D是BC的中点，∴BD=DC，AB=AC，AD=AD∴△ABD≌△ACD（SSS）；∵AE=AE，∠BAE=∠CAE，AB=AC，∴△ABE≌△ACE（SAS）；∵BE=CE，BD=DC，DE=DE，∴△BDE≌△CDE（SSS）．10．：∵∠1=∠2，∴∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS）11. 增加AB=DF．在△ABC和△FDE 中，∴△ABC≌△FDE（SSS）．12．∵AB=AC，BD=CE，∴AD=AE．又∵∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD（SAS）．13．△CBD≌△CA1F证明如下：∵AC=BC，∴∠A=∠ABC．∵△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到△A1B1C1，∴∠A1=∠A，A1C=AC，∠ACA1=∠BCB1=α．∴∠A1=∠ABC（1分），A1C=BC．∴△CBD≌△CA1F（ASA）14．∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B=∠DEF，∠F=∠ACB．∵BE=CF，∴BE+CE=CF+EC．∴BC=EF．∴△ABC≌△DEF （ASA）．15．∵AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠EAC，∴∠DAC=∠AEB，∴△ACD≌△ABE，∴∠D=∠E，又AD=AE，∠DAB=∠EAC，∴△ADM≌△AEN16．∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90，即∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，∴∠BAE=∠CAD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD17．答：△BDE≌△FEC，△BCE≌△FDC，△ABE≌△ACF；证明：（以△BDE≌△FEC为例）∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形，∴∠EDC=∠DEC=60°，∴∠BDE=∠FEC=120°，∵CD=CE，∴BC﹣CD=AC﹣CE，∴BD=AE，又∵EF=AE，∴BD=FE，在△BDE与△FEC中，∵，∴△BDE≌△FEC（SAS）．18．（1）证明如下：∵∠ABD=∠1+∠EBC，∠CBE=∠2+∠EBC，∠1=∠2．∴∠ABD=∠CBE．在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（AAS）；（2）从中还可得到AB=BC，∠BAD=∠BEC19．（1）∵AB=8，AD=2∴BD=AB﹣AD=6在Rt△BDE中∠BDE=90°﹣∠B=30°∴BE=BD=3∴CE=BC﹣BE=5在Rt△CFE中∠CEF=90°﹣∠C=30°∴CF=CE=∴AF=AC﹣FC=；（2）在△BDE和△EFC中，∴△BDE≌△CFE（AAS）∴BE=CF∴BE=CF=EC∴BE=BC=∴BD=2BE=∴AD=AB﹣BD=∴AD=时，DE=EF20．（1）图中全等的三角形有四对，分别为：①△DBG≌△EGC，②△ADG≌△AEG，③△ABG≌△ACG，④△ABE≌△ACD；（4分）（Ⅱ）∵AB=AC，AD=AE，∠A是公共角，∴△ABE≌△ACD（SAS）④；∵AB=AC，AD=AE，∴AB﹣AD=AC﹣AE，即BD=CE；由④得∠B=∠C，又∵∠DGB=∠EGC（对顶角相等），BD=CE（已证），∴△DBG≌△EGC（AAS）①；由①得BG=CG，由④得∠B=∠C，又∵AB=AC，∴△ABG≌△ACG（SAS）③；由①得BG=CG，且AD=AE，AG为公共边，∴△ADG≌△AEG（SSS）②；21．（1）△ABC≌△DCB．证明：∵AB=CD，AC=BD，BC=CB，∴△ABC≌△DCB．（SSS）（2）EF平分∠DEC．理由：∵EF∥BC，∴∠DEF=∠EBC，∠FEC=∠ECB；由（1）知：∠EBC=∠ECB；∴∠DEF=∠FEC；∴FE平分∠DEC22．△ABC≌△DCB．理由如下：∵∠ABC=∠DCB，∠1=∠2，∴∠DBC=∠ACB．∵BC=CB，∴△ABC≌△DCB23．（1）∵BF=DE，∴BF+EF=DE+EF．即BE=DF．在△DFC和△BEA中，∵，∴△DFC≌△BEA（SAS）．（2）∵△DFC≌△BEA，∴CF=AE，∠CFD=∠AEB．∵在△AFE与△CEF中，∵，∴△AFE≌△CEF（SAS）24．△ABF与△DFG中，∠BAF=∠BGD，∠BFA=∠DFG，∴∠B=∠D，∵∠BAF=∠EAC，∴∠BAE=∠DAC，∵AC=AE，∠BAE=∠DAC，∠B=∠D，∴△BAE≌△DAC．答案：有．△BAE≌△DAC25．∵CE∥AB，∴∠ABD=∠ECD．在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（ASA）26．（1）证明：在△AOB和△COD中∵∴△AOB≌△COD（AAS）（2）解：∵△AOB≌△COD，∴AO=DO∵E是AD的中点∴OE⊥AD∴∠AEO=90°27．1）证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D．∵AB=DE，AF=DC，∴△ABF≌△DEC．（2）解：全等三角形有：△ABC和△DEF；△CBF和△FEC28．证明：（1）∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，∴∠AFC=∠AEB=90°（垂直定义），∴∠ACG=∠DBA（同角的余角相等），又∵BD=CA，AB=GC，∴△ABD≌△GCA；（2）连接DG，则△ADG是等腰三角形．证明如下：∵△ABD≌△GCA，∴AG=AD，∴△ADG是等腰三角形．29．解：∵∠4+∠6=180°﹣∠3，∠5+∠6=180°﹣∠2，∠3=∠2，∴∠4+∠6=∠5+∠6，∴∠4=∠5，∵在△ADE和△CFD中，，∴△ADE≌△CFD（AAS）．30．①DF∥BC．证明：∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠C+∠CBE=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ABF+∠CBE=90°，∴∠C=∠ABF，∵DF∥BC，∴∠C=∠ADF，∴∠ABF=∠ADF，在△AFD和△AFB中∴△AFD≌△AFB（AAS）．31．在△BEA和△BDC中：，故△BEA≌△BDC（SSS）．32．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．请说明△ADC≌△CEB的理由．解：∵BE⊥CE于点E（已知），∴∠E=90°（垂直的意义），同理∠ADC=90°，∴∠E=∠ADC（等量代换）．在△ADC中，∵∠1+∠2+∠ADC=180°（三角形的内角和等于180°），∴∠1+∠2=90°（等式的性质）．∵∠ACB=90°（已知），∴∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3（同角的余角相等）．在△ADC和△CEB中，.∴△ADC≌△CEB （A．A．S）33．（1）△ABF≌△DEC，△ABC≌△DEF，△BCF≌△EFC；（2分）（2）△ABF≌△DEC，证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，（3分）在△ABF和△DEC中，（4分）∴△ABF≌△DEC．（5分）34．（1）△ADF与△AEF中，∵∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，∴∠C=∠E；（2）∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE．∵AC=AE，又∠C=∠E，∴△ABC≌△ADE．35．∵AE⊥CD，∴∠AEC=90°，∴∠ACE+∠CAE=90°，（直角三角形两个锐角互余）∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠CAE=∠BCF，（等角的余角相等）∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴∠AEC=∠BFC=90°，在△ACE与△CBF中，∠CAE=∠BCF，∠AEC=∠BFC，AC=BC，36．当动点P运动到AC边上中点位置时，△APE≌△EDB，∵DE∥CA，∴△BED∽△BAC，∴=，∵D是BC的中点，∴=，∴=，∴E是AB中点，∴DE=AC，BE=AE，∵DE∥AC，∴∠A=∠BED，要使△APE≌△EDB，还缺少一个条件DE=AP，又有DE=AC，∴P必须是AC中点．37．（1）∵AE=AB，∴∠B=∠AEB，又∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE，∴∠DAE=∠B；（2）∵∠DAE=∠B，AD=BC，AE=AB，∴△ABC≌△EAD．38．△ACE≌△BCD．∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ACE=∠BCD（都是∠ACD的余角），在△ACE和△BCD中，∵，∴△ACE≌△BCD．39．∵∠BAC=∠DAE，即∠BAD=∠EAC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE．40．证明：延长FD到M使MD=DF，连接BM，EM．∵D为BC中点，∴BD=DC．∵∠FDC=∠BDM，∴△BDM≌△CDF．∴BM=FC．∵ED⊥DF，∴EM=EF．∵BE+BM＞EM，∴BE+FC＞EF．41．PM=HN．理由：∵在△MNP中，H是高MQ与NE的交点，∴∠MEH=∠NQH=90°，∠MQP=∠NQH=90°∵∠MHE=∠NHQ（对顶角相等），∴∠EMH=∠QNH（等角的余角相等）在△MPQ和△NHQ中，，∴△MPQ≌△NHQ（ASA），∴MP=NH．42．（1）∵BG∥AC，∴∠DBG=∠DCF．∵D为BC的中点，∴BD=CD又∵∠BDG=∠CDF，在△BGD与△CFD中，∵∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG=CF．（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD=FD，BG=CF．又∵DE⊥FG，∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．43．∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D∴∠E=∠ADC=90°∵∠BCE+∠ACE=∠DAC+∠ACE=90°∴∠BCE=∠DAC∵AC=BC∴△ACD≌△CBE∴CE=AD，BE=CD=2.5﹣1.7=0.8（cm）44．∵AB=CD，BC=AD，又∵BD=DB，在△ABD和△CDB中，∴△ABD≌△CDB，∴∠A=∠C．45．∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD=CD．∵CE⊥AD于E，BF⊥AD，∴∠BFD=∠CED．在△BFD和△CED中，∴△BFD≌△CED（AAS）．∴CE=BF46．∵AD∥BC，∴∠E=∠ENB，∵∠ENB=∠CNF，∴∠E=∠CNF，∵AB∥CD，∴∠A=∠B，∵∠C=∠B，∴∠EAB=∠DCB，∵AM=CF，∴AE=CN．47．证明：过T作TF⊥AB于F，∵AT平分∠BAC，∠ACB=90°，∴CT=TF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠ACB=90°，CM⊥AB，∴∠ADM+∠DAM=90°，∠A TC+∠CA T=90°，∵AT平分∠BAC，∴∠DAM=∠CA T，∴∠ADM=∠ATC，∴∠CDT=∠CTD，∴CD=CT，又∵CT=TF（已证），∴CD=TF，∵CM⊥AB，DE∥AB，∴∠CDE=90°，∠B=∠DEC，在△CDE和△TFB中，，∴△CDE≌△TFB（AAS），∴CE=TB，∴CE﹣TE=TB﹣TE，即CT=BE．48．∵∠BAE=∠DAC∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE即∠BAC=∠DAE又∵AB=AD，AC=AE，∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）49．∵DE=EF，AE=CE，∠AED=∠FEC，∴△AED≌△FEC．∴∠ADE=∠CFE．∴AD∥FC．∵D是AB上一点，∴AB∥CF50．∵BE∥CF，∴∠CMF=∠BME，∠FCM=∠EBM．∴△CFM≌△BEM．∴CM=BM．即AM是△ABC的中线51．∵AC⊥BC，BE⊥CD，∴∠ACF+∠FCB=∠FCB+∠CBE=90°．∴∠FCA=∠EBC．∵∠BEC=∠CFA=90°，AC=BC，∴△BEC≌△CFA．∴CE=AF．∴EF=CF﹣CE=CF﹣AF52．解：（1）证明：由题意可知，BD⊥MN与D，EC⊥MN与E，∠BAC=90°，则△ABD与△CEA是直角三角形，∠DAB=∠ECA，在△ABD与△CEA中，∵，∴△ABD≌△CEA，∴BD=AE；（2）若将MN绕点A旋转，与BC相交于点O，则BD，CE与MN垂直，∴△ABD与△CEA仍是直角三角形，两个三角形仍全等，∴BD与AE边仍相等；（3）∵△ABD≌△CEA，∴BD=AE，AD=EC，∴DE=BD+EC或DE=CE﹣BD或DE=BD﹣CE．53．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD、CE分别为△ABC的高，∴∠BEC=∠BDC=90°，∴在△BEC和△CDB中，∴△BEC≌△CDB，∴∠1=∠2，∴OB=OC解：连接CD，∵∠ACB=90°，D是AB边的中点∴CD=AD，∠DAC=∠DCF∵DE与CF平行且相等∴∠EDA=∠DAC∴∠EDA=∠DCF在△AED和△CFD中CD=AD，∠EDA=∠DCF，DE=CF∴△AED≌△CFD∴AE=DF．55．∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD在△ADE和△ADC中∵∴△ADE≌△ADC（SAS）∴DE=DC∴BC=BD+DC=BD+DE=2+3=5（cm）56．在△AEB与△ADC中，．∴△AEB≌△ADC（AAS）．∴AB=AC（全等三角形，对应边相等）57．（1）证明：在△BCE和△DCE中∴△BCE≌△DCE（SSS）．（2）解：∵AD=DE，∴∠A=∠AED；∴∠EDC=∠A+∠AED=2∠A，设∠A=x，根据题意得，5x=180°，解得x=36°∴∠EDC=2∠A=72°证明：延长CE、BA交于点F．∵CE⊥BD于E，∠BAC=90°，∴∠ABD=∠ACF．又AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴△ABD≌△ACF，∴BD=CF．∵BD平分∠ABC，∴∠CBE=∠FBE．有BE=BE，∴△BCE≌△BFE，∴CE=EF，∴CE=BD，∴BD=2CE．59．（1）证明：在△ABD和△CDB中∵AB=CD，AD=BC，BD=DB，∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠ADB=∠DBC，∴DE∥BF．∴∠E=∠F．（2）答：当O是BD中点时，OE=OF．证明如下：∵O是BD中点，∴OB=OD．又∵∠ADB=∠DBC，∠E=∠F，∴△ODE≌△OBF（AAS）．∴OE=OF．（当AE=CF时也可证得60．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°．∵AD平分∠EAC，∴DE=DF．在Rt△DBE和Rt△DCF中，∴Rt△DBE≌Rt△CDF（HL）．∴BE=CF．。

中考数学三角形全等证明题解答题精选30题1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知∠ADC=∠BCD，AD=BC，求证：AO=BO．证明：在△ADC和△BCD中∵，∴△ADC≌△BCD（SAS）．∴∠DAO=∠CBO．在△ADO和△BCO中，∵∴△ADO≌△BCO（AAS）．∴AO=BO．2．某学校花台上有一块形如图所示的三角形ABC地砖，现已破损．管理员要对此地砖测量后再去市场加工一块形状和大小与此完全相同的地砖来换，今只有尺子和量角器，请你帮他设计一个测量方案，使其加工的地砖能符合要求，并说明理由．解：①用量角器量出∠A和∠B的度数，用尺子量出边AB的长度，②根据这三个数据，按照原来的位置关系去加工地砖，∵在△ABC与△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′．故形状和大小完全相同．3．你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA′、BB′有何数量关系，为什么？解：数量关系：AA′=BB′；理由如下：∵O是AB′、A′B的中点，∴OA=OB′，OA′=OB，在△A′OA与△BOB′中，，∴△A′OA≌△BOB′（SAS），∴AA′=BB′．4．如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．（1）证明：∵AD是∠EAF的平分线，∴∠EAD=∠DAF．∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴∠DEA=∠DFA=90°又AD=AD，∴△DEA≌△DFA．∴EA=FA∵ED=FD，∴AD是EF的垂直平分线．即AD⊥EF．（2）解：∵DE∥AC，∴∠DEA=∠FAE=90°．又∠DFA=90°，∴四边形EAFD是矩形．由（1）得EA=FA，∴四边形EAFD是正方形．∵DE=1，∴AD=．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．证明：（1）∵AD∥BC（已知），∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），∵E是CD的中点（已知），∴DE=EC（中点的定义）．∵在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC=AD（全等三角形的性质）．（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB=BF=BC+CF，∵AD=CF（已证），∴AB=BC+AD（等量代换）．6．已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．（1）证明：在△ABE和△CBF中，∵，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∠CAE=30°，∴∠CAB=∠ACB=（180°-90°）=45°，∠EAB=45°-30°=15°．∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB=∠FCB=15°．∵BE=BF，∠EBF=90°，∴∠BFE=∠FEB=45°．∴∠EFC=180°-90°-15°-45°=30°．7．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．当∠A为多少时，点D恰为AB的中点？写出一个你认为适当的角度，并利用此角的大小证明D为AB的中点．解：当∠A=30°时，点D恰为AB的中点．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，∴∠CBA=60°．又△BEC≌△BED，∴∠CBE=∠DBE=30°，且∠EDB=∠C=90°，∴∠EBA=∠A，∴BE=AE，又∠EDB=90°，即ED⊥AB．∴D是AB的中点．8．如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′．（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；（2）求证：△AB′O≌△CDO．解：（1）△ABB′，△AOC和△BB′C；（2）在▱ABCD中，AB=DC，∠ABC=∠D，由轴对称知AB′=AB，∠ABC=∠AB′C，∴AB′=CD，∠AB′O=∠D．在△AB′O和△CDO中，∴△AB′O≌△CDO（AAS）．9．已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．证明：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵AO平分∠BAC，∴OE=OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．∵∠1=∠2，∴OB=OC．∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．∴∠5=∠6．∴∠1+∠5=∠2+∠6．即∠ABC=∠ACB．∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形．10．两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．解：△EMC是等腰直角三角形．理由如下：连接MA．∵∠EAD=30°，∠BAC=60°，∴∠DAB=90°，∵△EDA≌△CAB，∴DA=AB，ED=AC，∴△DAB是等腰直角三角形．又∵M为BD的中点，∴∠MDA=∠MBA=45°，AM⊥BD（三线合一），AM=BD=MD，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∴∠EDM=∠MAC=105°，在△MDE和△CAM中，ED=AC，∠MDE=∠CAM，MD=AM∴△MDE≌△MAC．∴∠DME=∠AMC，ME=MC，又∵∠DMA=90°，∴∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=∠DMA=90°．∴△MEC是等腰直角三角形．11．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．解：（1）猜想：AP=CQ，证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°，∴∠ABP=∠QBC．又AB=BC，BP=BQ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ；（2）由PA：PB：PC=3：4：5，可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，连接PQ，在△PBQ中由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，∴△PBQ为正三角形．∴PQ=4a．于是在△PQC中∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2∴△PQC是直角三角形．12．如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点，（1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；（2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论．解：（1）△DEF是等边三角形．证明如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C，AB=BC=CA，又∵AD=BE=CF，∴DB=EC=FA，∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴DF=DE=EF，即△DEF是等边三角形；（2）AD=BE=CF成立．证明如下：如图，∵△DEF是等边三角形，∴DE=EF=FD，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°，∴∠1+∠2=120°，又∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠2+∠3=120°，∴∠1=∠3，同理∠3=∠4，∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴AD=BE=CF．13．如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB=BC，点E是CD的中点，点F 是AB的中点．（1）求证：EF=AB；（2）过点A作AG∥EF，交BE的延长线于点G，求证：△ABE≌△AGE．证明：（1）连接BE，∵DB=BC，点E是CD的中点，∴BE⊥CD．∵点F是Rt△ABE中斜边上的中点，∴EF=；（2）[方法一]在△ABG中，AF=BF，AG∥EF，∴EF是△ABG的中位线，∴BE=EG．在△ABE和△AGE中，AE=AE，∠AEB=∠AEG=90°，∴△ABE≌△AGE；[方法二]由（1）得，EF=AF，∴∠AEF=∠FAE．∵EF∥AG，∴∠AEF=∠EAG．∴∠EAF=∠EAG．∵AE=AE，∠AEB=∠AEG=90°，∴△ABE≌△AGE．14．已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．（1）证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，∴AD⊥BC，BD=AD．∴∠B=∠DAC=45°又BE=AF，∴△BDE≌△ADF（SAS）．∴ED=FD，∠BDE=∠ADF．∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．∴△DEF为等腰直角三角形．（2）解：△DEF为等腰直角三角形．证明：若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示：连接AD，∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∵∠BAC=90°，D为BC的中点，∴AD=BD，AD⊥BC（三线合一），∴∠DAC=∠ABD=45°．∴∠DAF=∠DBE=135°．又AF=BE，∴△DAF≌△DBE（SAS）．∴FD=ED，∠FDA=∠EDB．∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．∴△DEF仍为等腰直角三角形．15．如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D 为AB边上一点．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）若AD=5，BD=12，求DE的长．（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=DC．∵∠ACE=∠DCE-∠DCA，∠BCD=∠ACB-∠DCA，∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACE=∠BCD．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS）．（2）解：又∠BAC=45°∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，即△EAD是直角三角形∴DE===13．16．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）直线AE与BD互相垂直吗？请证明你的结论．（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACE=∠BCD=90°，在△ACE和△BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）解：直线AE与BD互相垂直，理由为：证明：∵△ACE≌△BCD，∴∠EAC=∠DBC，又∵∠DBC+∠CDB=90°，∴∠EAC+∠CDB=90°，∴∠AFD=90°，∴AF⊥BD，即直线AE与BD互相垂直．17．已知如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：∠ADF=∠CBE．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=CB．∴∠DAF=∠BCE．∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF．∴AF=CE．在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE．∴∠ADF=∠CBE．18．如图，四边形ABCD为平行四边形，AD=2，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点．（1）求证：EF=DF；（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求DE的长．（1）证明：过点E作EG∥CD交AF的延长线于点G，则∠GEF=∠CDF，∠G=∠DCF，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，∴EG∥AB．∵BE∥AC，∴四边形ABEG是平行四边形．∴EG=AB=CD．∴△EGF≌△DCF（ASA）．∴EF=DF．（2）解：∵∠ADC=60°，AC⊥DC，∴∠CAD=30°．∵AD=2，∴CD=1，∴AC=，又∵AC=2CF，∴CF=．在Rt△DCF中DF==，∴DE=2DF=．19．己知：如图，点P为平行四边形ABCD中CD边的延长线上一点，连接BP，交AD，于点E，探究：当PD与CD有什么数量关系时，△ABE≌△DPE．画出图形并证明△ABE≌△DPE．解：当PD=CD时，△ABE≌△DPE．画出图形如图：证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠PDE，又∵PD=CD，∴AB=DP，在△ABE和△DPE中∴△ABE≌△DPE中（AAS）．20．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线．（1）请按如下步骤在图中完成作图（保留作图痕迹）：①分别以A，C为圆心，以大于AC长为半径画弧，弧在AC两侧的交点分别为P，Q．②连接PQ，PQ分别与AB，AC，CD交于点E，O，F；（2）求证：AE=CF．解：（1）作图，（2）证明：根据作图知，PQ是AC的垂直平分线，∴AO=CO，且EF⊥AC．∵四边形ABCD是平行四边形∴∠OAE=∠OCF．∴△OAE≌△OCF（ASA）．∴AE=CF．21．如图，已知平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，延长DE，AB相交于点F．求证：CD=BF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，即DC∥AF．∴∠1=∠F，∠C=∠2．∵E为BC的中点，∴CE=BE．∴△DCE≌△FBE．∴CD=BF．22．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且∠DAF=∠BCE．（1）求证：△DAF≌△BCE；（2）若∠ABC=60°，∠ECB=20°，∠ABC的平分线BN交AF与M，交AD于N，求∠AMN的度数．（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD=BC，∠D=∠B又∠DAF=∠BCE∴△DAF≌△BCE（ASA）．（2）解：四边形QCFM的内角和为360°，∵∠ABC=60°，∠ECB=20°，∴∠BEC=100°，∵△DAF≌△BCE，∴BE=DF，∴AE=CF，AB∥CD，∴四边形AECF为平行四边形，∴∠EAF=∠BEC=100°，∴∠AEC=∠MFC=80°，则∠QMF+∠MFC+∠FCQ+∠CQM=∠AMN+80°+100°+50°=360°∴∠AMN=130°．23．已知：如图在平行四边形ABCD中，过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA的延长线、AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F．（1）观察图形并找出一对全等三角形：△_______≌△_______，请加以证明；（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？解：（1）△DOE≌△BOF；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠EDO=∠FBO，∠E=∠F．又∵OD=OB，∴△DOE≌△BOF（AAS）．①△BOM≌△DON．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠MBO=∠NDO，∠BMO=∠DNO．又∵BO=DO，∴△BOM≌△DON（AAS）．②△ABD≌△CDB．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，AB=CD．又∵BD=DB，∴△ABD≌△CDB（SSS）．（2）绕点O旋转180°后得到或以点O为中心作对称变换得到．24．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．证明：（1）∵AE=CF，∴AE+EF=CF+FE，即AF=CE．又ABCD是平行四边形，∴AD=CB，AD∥BC．∴∠DAF=∠BCE．在△ADF与△CBE中，∴△ADF≌△CBE（SAS）．（2）∵△ADF≌△CBE，∴∠DFA=∠BEC．∴DF∥EB．25．如图，在平行四边形ABCD中，过A、C分别作对角线的垂线，垂足分别为E、F．（1）图中有哪几对三角形全等请指出来；（2）求证：AE=CF．（1）解：3对；△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF，△ABD≌△CDB．（2）证明：∵ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC，∴∠ABD=∠CDB，又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90．在△ABE和△CDF中有∴△ABE≌△CDF．∴AE=CF．26．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．（1）求证：△ABC≌△EAD；（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，求∠AED的度数．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．∴∠DAE=∠AEB．∵AB=AE，∴∠AEB=∠B．∴∠B=∠DAE．∵在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△EAD．（2）解：∵AE平分∠DAB（已知），∴∠DAE=∠BAE；又∵∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB=∠B．∴△ABE为等边三角形．∴∠BAE=60°．∵∠EAC=25°，∴∠BAC=85°．∵△ABC≌△EAD，∴∠AED=∠BAC=85°．27．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．线段DF与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．即DF=_______．（写出一条线段即可）解：AB．证明：因为AE=AD，∠AEB=∠DAF，∠ABE=∠DFA=90°，∴△EAB≌△ADF（AAS），∴DF=AB．28．如图，矩形ABCD中，M是CD的中点．求证：（1）△ADM≌△BCM；（2）∠MAB=∠MBA．证明：（1）∵M是CD的中点，∴DM=CM；∵有矩形ABCD，∴AD=BC∠D=∠C=90°；∴在△ADM和△BCM中，∴△ADM≌△BCM；（SAS）（2）∵△ADM≌△BCM，∴AM=BM，∴∠MAB=∠MBA．29．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求EF的长．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴△ABE≌△DAF．（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∠AGB=30°，∴AD∥BC，∴∠1=∠AGB=30°，∵∠1+∠4=∠DAB=90°，∵∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∴∠AFD=180°-（∠1+∠3）=90°，∴DF⊥AG，∴DF=AD=1，∴AF=，∵△ABE≌△DAF，∴AE=DF=1，∴EF=-1．故所求EF的长为-1．30．如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB=2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN，EC．求证：FN=EC．证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90°，∵AB=2BC，即BC=BN=AB，∴BN=BE，即N为BE的中点，∴EN=NB=BC，∴△FNE≌△EBC，∴FN=EC．。

专题15三角形及全等三角形（25道）一、单选题1．（2023·陕西·统考中考真题）如图，DE 是ABC 的中位线，点F 在DB 上，2DF BF =．连接EF 并延长，与CB 的延长线相交于点M ．若6BC =，则线段CM 的长为（）A ．132B ．7C ．152D ．8【答案】C【分析】根据三角形中中位线定理证得DE BC ∥，求出DE ，进而证得DEF BMF ∽，根据相似三角形的性质求出BM ，即可求出结论．【详解】解：DE 是ABC 的中位线，DE BC ∴∥，116322DE BC ==⨯=，DEF BMF ∴ ∽，∴22DE DF BF BM BF BF===，32BM ∴=，∴152CM BC BM =+=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．2．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，30CAB ∠=︒，32BC =，按以下步骤作图：①分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 长为半径作弧，两弧相交于E ，F 两点；②作直线EF 交AB 于点M ，交AC 于点N ．连接BN ．则AN 的长为（）A ．23+B ．【答案】B 【分析】由作法可得MN 垂直平分和定理求出45CBN ∠=︒，BH 和NH 即可．【详解】解：由作法可得MN ∴NA NB =，∴30∠=∠=︒NBA CAB ，∴∠=∠+∠CNB NBA CAB AB AC =，30CAB ∠=︒∴(11802∠=︒-∠ABC CAB ∴∠=∠-∠CBN ABC NBA 如图，过点C 作CH BN ⊥，∴2222===BH CH BC ∴3tan tan 60==∠CH NH CNH ∴33=+=+NB BH NH∴33==+NA NB ，故选B ．【点睛】本题考查垂直平分线的作法及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解直角三角形等，解题的关键是通过添加辅助线构造直角三角形．3．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图．在ABC 中，90CAD ∠=︒，3AD =，4AC =，BD DE EC ==，点F 是AB 边的中点，则DF =（）A ．54B ．52C ．2D ．1【答案】A【分析】根据勾股定理可先求得CD 的长度，根据直角三角形的斜边上的中线与斜边的数量关系，可求得AE 的长度，根据三角形的中位线定理可求得答案．【详解】∵90CAD ∠=︒，∴CAD 为直角三角形．∴2222345CD AD AC =+=+=．∵点E 为Rt CAD △的斜边CD 的中点，∴1522AE CD ==．∵BD DE =，BF FA =，∴1524DF AE ==．故选：A ．【点睛】本题主要考查勾股定理、直角三角形的性质、三角形的中位线定理，牢记勾股定理、直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）、三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半）是解题的关键．4．（2023·北京·统考中考真题）如图，点A 、B 、C 在同一条线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，AB BC <，90A C ∠=∠=︒，EAB BCD ≌△△，连接DE ，设AB a =，BC b =，DE c =，给出下面三个结论：①a b c +<；②22a b a b +>+；③()2a b c +>；上述结论中，所有正确结论的序号是（A ．①②B ．①③【答案】D 【分析】如图，过D 作DF AE ⊥a b c +<，进而可判断①的正误；由ABE CDB ∠=∠，则90EBD ∠=︒，由AB AE BE +>，可得a b a +>()2222c a b =+，则22c a =⨯+【详解】解：如图，过D 作DF ⊥∴DF AC a b ==+，∵DF DE <，∴a b c +<，①正确，故符合要求；∵EAB BCD ≌△△，∴BE BD =，CD AB a ==，AE =∵90CBD CDB ∠+∠=︒，∴90∠+∠=︒CBD ABE ，EBD ∠=∴BDE △是等腰直角三角形，由勾股定理得，22BE AB AE =+∵AB AE BE +>，∴22a b a b +>+，②正确，故符合要求；由勾股定理得222DE BD BE =+，即()2222c a b =+，∴()2222c a b a b =⨯+<+，③正确，故符合要求；故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．5．（2023·江苏南通·统考中考真题）在△ABC 中（如图），点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则S △ADE ：S △ABC ＝．【答案】1：4/14/0.25【分析】根据题意得出DE 是△ABC 的中位线，根据三角形中位线的性质得出DE BC ，DE =12BC ，证出△ADE ∽△ABC ，相似比为1∶2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到答案．【详解】∵点D 、E 分别为AB 、AC 的中点∴DE 是△ABC 的中位线∴DE BC ，DE =12BC∴△ADE ∽△ABC ，相似比为：DE ∶BC =1∶2∴S △ADE ∶S △ABC =12∶22=1∶4故答案为：1∶4【点睛】本题的解题关键在于利用三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半这一性质，证出三角形相似，以及相似比为1∶2，在利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，解出本题．【答案】35︒/35度【分析】先在ACE △中利用等边对等角求出利用等边对等角得出B BCE ∠=∠【详解】解：∵CE CA =，∠∴1802ACE A AEC ︒-∠∠=∠=∵DE 是BC 的垂直平分线，∴BE CE =，∴B BCE ∠=∠，又AEC B BCE ∠=∠+∠，∴35B ∠=︒．故答案为：35︒．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握等腰三角形的等边对等角是解题的关键．7．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在得△≌△AOB COD ．【答案】OA OC =或OB OD =【分析】根据对顶角相等可得【详解】解：∵在AOB 与△∴添加OA OC =，则AOB ≌或添加OB OD =，则()AAS AOB COD V V ≌；或添加AB CD =，则()AAS AOB COD V V ≌；故答案为：OA OC =（答案不唯一）．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点D 为BC 的中点，过点C 作CE AB ∥交AD 的延长线于点E ，若4AC =，5CE =，则CD 的长为．【答案】32/112/1.5【分析】先根据AAS 证明BDA CDE △≌△，推出5==BA CE ，再利用勾股定理求出BC ，最后根据中点的定义即可求CD 的长．【详解】解： CE AB ∥，∴BAD CED ∠=∠，点D 为BC 的中点，∴BD CD =，又 BDA CDE ∠=∠，∴BDA CDE △≌△()AAS ，∴5==BA CE ，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AC =，∴2222543BC AB AC =-=-=，∴1322CD BC ==．故答案为：32．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等，证明BDA CDE △≌△是解题的∵180BAC B AC ''∠+∠=︒，∴360180180a b +=︒-︒=︒，∵180BAE a +∠=︒，∴BAE β∠=，∴BAC CAE CAE EAC '∠+∠=∠+∠，∴BAC EAC '∠=∠，根据旋转可知，AC AC '=，AB AB '=，∵AB AE =，∴ABC AEC ' ≌，∴BC C E '=，ABC AEC S S '= ，∵AB AB '=，AB AE =，∴AE AB ='，∴AB C AEC S S '''= ，∴ABC AB C S S ''=△△，即ABC 与AB C ''△面积相同，故①正确；∵AE AB ='，B D C D '='，∴AD 是B C E ''△的中位线，∴12AD C E '=，∵BC C E '=，∴2BC AD =，故②正确；当AB AC =时，AB AB AC AC ''===，∴AB B ABB ''∠=∠，AB C AC B ''''∠=∠，AC C ACC ''∠=∠，A ABC CB =∠∠，【答案】AB CD =或AO DO =【分析】根据三角形全等的判定方法处理．【详解】∵AB CD∴A D ∠=∠，B C∠=∠若AB CD =，则AOB DOC △≌△(ASA)；若AO DO =，则AOB DOC △≌△(AAS)；若BO CO =，则AOB DOC △≌△(AAS)；故答案为：AB CD =或AO DO =或BO CO =．【点睛】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定；掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．11．（2023·湖南·统考中考真题）如图，已知50ABC ∠=︒，点D 在BA 上，以点B 为圆心，BD 长为半径画弧，交BC 于点E ，连接DE ，则BDE ∠的度数是度．【答案】65【分析】根据题意可得BD BE =，再根据等腰三角形两个底角相等和三角形内角和为180°进行计算即可解答．【详解】解：根据题意可得：BD BE =，∴BDE BED ∠=∠，∵18050ABC BDE BED ABC ∠+∠+∠=︒∠=︒，，∴65BDE BED ∠=∠=︒．故答案为：65．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．12．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在ABC 中，若,,120,115DE BC FG AC BDE DFG =∠︒∠=︒∥∥，则C ∠=°．【答案】55︒/55度【分析】先由邻补角求得60ADE ∠=︒，65BFG ∠=︒，进而由平行线的性质求得60B ADE ∠∠==︒，65A BFG ∠∠==︒，最后利用三角形的内角和定理即可得解．【详解】解：∵120,115BDE DFG ︒︒∠=∠=，180BDE ADE ∠∠+=︒，180DFG BFG ∠∠+=︒，∴60ADE ∠=︒，65BFG ∠=︒，∵,DE BC FG AC ∥∥，∴60B ADE ∠∠==︒，65A BFG ∠∠==︒，∵180A B C ∠∠∠++=︒，∴180656055C ∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：55︒．【点睛】本题主要考查了邻补角，平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．三、解答题13．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，点D ，E 分别在AB ，AC 上，90ADC AEB ∠=∠=︒，BE ，CD 相交于点O ，OB OC =．求证：12∠=∠．小虎同学的证明过程如下：证明：∵90ADC AEB ∠=∠=︒，∴90DOB B EOC C ∠+∠=∠+∠=︒．∵DOB EOC ∠=∠，∴B C ∠=∠．第一步又OA OA =，OB OC =，∴ABO ACO ≌△△第二步∴12∠=∠第三步(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；(2)请写出正确的证明过程．【答案】(1)二(2)见解析【分析】（1）根据证明过程即可求解．（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．【详解】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，故答案为：二．（2）证明：∵90ADC AEB ∠=∠=︒，90BDC CEB ∴∠=∠=︒，在DOB 和EOC △中，BDO CEO DOB EOC OB OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DOB EOC AAS ∴≅ ，OD OE ∴=，在Rt ADO 和Rt AEO 中，OA OA OD OE=⎧⎨=⎩，()Rt ADO Rt AEO HL ∴≅ ，∴12∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．14．（2023·陕西·统考中考真题）如图．已知锐角ABC ，48B ∠=︒，请用尺规作图法，在ABC 内部求作一点P ．使PB PC =．且24PBC ∠=︒．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】先作ABC ∠的平分线BD ，再作BC 的垂直平分线l ，直线l 交BD 于P 点，则P 点满足条件．【详解】解：如图，点P 即为所求．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．15．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在ABC 中，50B ∠=︒，20C ∠=︒．过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，延长EA 至点D ．使AD AC =．在边AC 上截取AF AB =，连接DF ．求证：DF CB =．【答案】见解析【分析】利用三角形内角和定理得CAB ∠的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．【详解】证明：在ABC 中，50B ∠=︒，20C ∠=︒，180110CAB B C ∴∠=︒-∠-∠=︒．AE BC ⊥ ．90AEC ∴∠=︒．110DAF AEC C ∴∠=∠+∠=︒，DAF CAB ∠∠∴=．在DAF △和CAB △中，AD AC DAF CAB AF AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS DAF CAB ≅ ．DF CB ∴=．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．16．（2023·山东潍坊·统考中考真题）如图，在ABC 中，CD 平分ACB ∠，AE CD ⊥，重足为点E ，过点E 作EF BC ∥、交AC 于点F ，G 为BC 的中点，连接FG ．求证：12FG AB =．【答案】证明见解析【分析】如图，延长AE 交BC 于H ，证明()ASA ACE HCE ≌，则12AE EH AH ==，证明AEF AHC ∽，则AF AE AC AH=，即12AF AC =，解得2AC AF =，即F 是AC 的中点，FG 是ABC 的中位线，进而可得12FG AB =．【详解】证明：如图，延长AE 交BC 于H ，∵CD 平分ACB ∠，AE CD ⊥，∴ACE HCE ∠=∠，90AEC HEC ∠=∠=︒，∵ACE HCE ∠=∠，CE CE =，90AEC HEC ∠=∠=︒，(1)尺规作图：①作线段BC的垂直平分线②在直线MN上截取(2)猜想证明：作图所得的四边形【答案】(1)①见解析；(2)四边形BECD是菱形，见解析【分析】（1）①根据垂直平分线的画法作图；（2）根据菱形的判定定理证明即可．【详解】（1）①如图：直线②如图，即为所求；；（2）四边形BECD 是菱形，理由如下：∵MN 垂直平分BC ，∴,OB OC BD CD ==，∵OD OE =，∴四边形BECD 是平行四边形，又∵BD CD =，∴四边形BECD 是菱形．【点睛】此题考查了基本作图－线段垂直平分线，截取线段，菱形的判定定理，熟练掌握基本作图方法及菱形的判定定理是解题的关键．18．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，CD 是五边形ABCDE 的一边，若AM 垂直平分CD ，垂足为M ，且____________，____________，则____________．给出下列信息：①AM 平分BAE ∠；②AB AE =；③BC DE =．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．【答案】②③，①；证明见详解【分析】根据题意补全图形，连接AC 、AD ，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得出AC AD =，在求证三角形全等得出角相等，求得BAM EAM ∠=∠，进而得出结论AM 平分BAE ∠．【详解】②③，①证明：根据题意补全图形如图所示：AM 垂直平分CD ，CM DM ∴=，AC AD =（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）在ACM △与ADM △中，AM AM AC AD CM DM =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ACM ADM SSS ∴ ≌，CAM DAM ∴∠=∠，在ABC 与AED △中，AB AE AC AD BC ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC AED SSS ∴ ≌，(1)求证：ABE ACD ≌；(2)若6AE =，8CD =，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)4BD =【分析】（1）利用“AAS ”可证明ABE ACD ≌；（2）先利用全等三角形的性质得到6AD AE ==，再利用勾股定理计算出AC ，从而得到AB 的长，然后计算AB AD -即可．【详解】（1）证明：CD AB ⊥ ，BE AC ⊥，90AEB ADC ∴∠=∠=︒，在ABE 和ACD 中，AEB ADC BAE CAD AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABE ACD ∴ ≌；（2）解：ABE ACD ≌，6AD AE ∴==，在Rt ACD 中，22226810AC AD CD =+=+=，10AB AC == ，1064BD AB AD ∴=-=-=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．20．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图．点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，点E ，F 分别在直线AB 的两侧，且AE BF =，A B ∠=∠．ACE BDF ∠=∠．(1)求证：ACE BDF ≌△△；(2)若8AB =，2AC =，求CD 的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）直接利用AAS 证明ACE BDF ≌△△即可；（2）根据全等三角形的性质得到2BD AC ==，则4CD AB AC BD =--=．【详解】（1）证明：在ACE △和BDF V 中，ACE BDF A B AE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ACE BDF △△≌；（2）解：∵ACE BDF ≌△△，2AC =，∴2BD AC ==，又∵8AB =，∴4CD AB AC BD =--=．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．21．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，ABC 中，点D 、E 分别为AB AC 、的中点，延长DE 到点F ，使得EF DE =，连接CF ．求证：(1)CEF AED △≌△；(2)四边形DBCF 是平行四边形．【答案】见解析【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到AE CE =，DE BC ∥，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∵点D 、E 分别为AB AC 、的中点，∴AE CE =，DE BC ∥，∴ADE F ∠=∠，在CEF △与AED △中，ADE F AED CEF AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS CEF AED ≌；（2）证明：由（1）证得CEF AED △≌△，∴A FCE ∠=∠，∴BD CF ∥，∵DF BC ∥，∴四边形DBCF 是平行四边形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．22．（2023·吉林长春·统考中考真题）将两个完全相同的含有30︒角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A ，E ，B ，D 依次在同一直线上，连结AF 、CD ．(1)求证：四边形AFDC 是平行四边形；(2)已知6cm BC =，当四边形AFDC 是菱形时．AD 的长为__________cm ．【答案】(1)见解析(2)18【分析】（1）由题意可知ACB DFE △≌△易得AC DF =，30CAB FDE ∠=∠=︒即AC DF ∥，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明；（2）如图，在Rt ACB △中，由30︒角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得212cm AB BC ==，60ABC ∠=︒；由菱形得对角线平分对角得30CDA FDA ∠=∠=︒，再由三角形外角和易证BCD CDA ∠=∠即可得6cm BC BD ==，最后由AD AB BD =+求解即可．【详解】（1）证明：由题意可知ACB DFE △≌△，AC DF =∴，30CAB FDE ∠=∠=︒，AC DF \∥，∴四边形AFDC 地平行四边形；（2）如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，6cm BC =，212cm AB BC ∴==，60ABC ∠=︒，四边形AFDC 是菱形，AD ∴平分CDF ∠，30CDA FDA ∴∠=∠=︒，ABC CDA BCD ∠=∠+∠ ，603030BCD ABC CDA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，BCD CDA ∴∠=∠，6cm BC BD ∴==，18cm AD AB BD ∴=+=，故答案为：18．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，30︒角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解．23．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB 上分别取点C 和D ，使得OC OD =，连接CD ，以CD 为边作等边三角形CDE ，则OE 就是AOB ∠的平分线．请写出OE 平分AOB ∠的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：CDE 不一定必须是等边三角形，只需CE DE =即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在AOB ∠的边OA ，OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 是AOB ∠的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB 和AC ，汇聚形成了一个岔路口A ，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E ，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口A 的距离和休息椅D 到岔路口A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规．．．．．．．．．．在对应的示意图5中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）SSS ；（2）证明见解析；（3）作图见解析【分析】（1）先证明()SSS OCE ODE ≌，可得AOE BOE ∠=∠，从而可得答案；（2）先证明()SSS OCM OCN ≌，可得AOC BOC ∠=∠，可得OC 是AOB ∠的角平分线；（3）先作BAC ∠的角平分线，再在角平分线上截取AE AD =即可．【详解】解：（1）∵OC OD =，CE DE =，DE DE =，∴()SSS OCE ODE ≌，∴AOE BOE ∠=∠，∴OE 是AOB ∠的角平分线；故答案为：SSS（2）∵OM ON =，CM CN =，OC OC =，∴()SSS OCM OCN ≌，∴AOC BOC ∠=∠，∴OC 是AOB ∠的角平分线；（3）如图，点E 即为所求作的点；．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．24．（2023·吉林·统考中考真题）如图，点C 在线段BD 上，在ABC 和DEC 中，A D AB DE B E ∠=∠=∠=∠，，．求证：AC DC =．【答案】证明见解析【分析】直接利用ASA 证明ABC DEC ≌△△，再根据全等三角形的性质即可证明．【详解】解：在ABC 和DEC 中，A D AB DE B E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASA ABC DEC ≌ ∴AC DC =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．25．（2023·河南·统考中考真题）如图，ABC 中，点D 在边AC 上，且AD AB =．(1)请用无刻度的直尺和圆规作出A ∠的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．(2)若（1）中所作的角平分线与边BC 交于点E ，连接DE ．求证：DE BE =．【答案】见解析【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；（2）证明()SAS BAE DAE △≌△，即可得到结论．【详解】（1）解：如图所示，即为所求，（2）证明：∵AE 平分BAC ∠，∴BAE DAE ∠=∠，∵AB AD =，AE AE =，∴()SAS BAE DAE △≌△，∴DE BE =．【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键．。