初中数学 1.认识三角形一

认识三角形（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解三角形内角和定理的证明方法；3. 掌握并会把三角形按边和角分类；4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系；5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段．②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC 来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．要点二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数．②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数．③求一个三角形中各角之间的关系．要点三、三角形的分类1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形.②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.③ 直角三角形：有一个内角是直角的三角形. “直角三角形”用符号“Rt △”表示，把直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边. 两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形. 2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形 要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形，等边三角形也叫做正三角形. 要点四、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系．要点五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从线段名称 三角形的高三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言 过点A 作AD ⊥BC 于点D ． 取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ．标示图形符号语言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC边上的高．3．AD⊥BC于点D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中线．2．AD是△ABC中BC边上的中线．3．BD＝DC＝12BC4．点D是BC边的中点．1．AD是△ABC的角平分线．2．AD平分∠BAC，交BC于点D．3．∠1＝∠2＝12∠BAC．推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝12BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这个点叫做三角形的重心．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．因为AB∥CD（已作），所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB 于点F．因为DF∥AC（已作），所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）．因为DE∥AB（已作）．所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，知∠C＝100°．又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝50°．∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的分类3.若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是三角形．【答案】直角【解析】解：设三角分别为2x，3x，5x，依题意得2x+3x+5x=180°，解得x=18°．故三角36°，54°，90°．故填直角．【总结升华】利用三角形内角和是180°以及已知条件，可以得到其中最大内角的度数，便可判断出此三角形的形状.举一反三：【变式】一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（）三角形．A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断【答案】C类型三、三角形的三边关系4. 三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【思路点拨】三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般取“差”的绝对值． 【答案】D【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A 、B 、C 三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D 选项中，2cm+3cm ＞4cm ．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能构成三角形． 举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.5.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b .举一反三： 【变式】（2015•杭州模拟）已知三角形的两边长分别是4和7，则这个三角形的第三条边的长可能是（ ）A. 12B. 11 C . 8 D. 3 【答案】C ．类型四、三角形中重要线段6. （2015•长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（ ）A. B.C. D.【答案】A；【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．7.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵CD为△ABC的AB边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC -AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1。

第四章三角形1认识三角形（第1课时）一、教材分析本节课是北师大版七年级下册第四章第一节的第一课时，在小学初步认识三角形的基础上，进一步了解三角形的表示方法，认识三角形的各组成要素，理解三边关系，也是今后学习三角形其它性质的基础。

根据具体的教学内容将采取以学生自主探究为主，教师适时引导相结合的方法，让学生在学中乐，乐中学的氛围中完成教学任务。

三角形内角和性质是平面几何最基本的性质之一，能应用三角形内角和定理解决一些简单的问题。

三角形的学习在研究其他几何图形和解决实际问题中有着广泛的应用，因此探索和掌握三角形内角和的性质能帮助学生更好地认识现实世界，并且能运用直角三角形两锐角互余的性质解决简单的问题。

会按角的大小关系对三角形分类，能判断出给定三角形的形状，建立初步的空间观念、培养推理论证能力具有十分重要的作用。

二、学情分析1、学生的知识技能基础：学生在小学已经学习了有关三角形的一些初步知识，对三角形内角和为180度和三角形的分类已有了解，能在生活中抽象出三角形的几何图形，并能大致的说出三角形的简单概念.但不够严密，教师要在教学中指出，并要强调三角形概念的要点.学生在第二章对两直线平行的条件以及平行线的性质进行了探索，使学生具备了利用平行线的结论得出三角形内角和的结论的基本知识和基本技能．2、学生的活动经验基础：在活动经验上，小学四年级学生就是通过拼摆的方式来认识三角形的。

通过前面的学习，学生对拼摆、测量、交流等活动已积累了一定的经验，具备了一定的合作交流能力和合情推理能力。

三、教学目标1.知识与技能结合具体实例，经历从现实生活中抽象出几何模型的过程，进一步认识三角形的概念及其基本要素,掌握三角形的三边关系,并能初步运用三边关系解决简单的实际问题，经历观察﹑操作﹑分析﹑归纳等一系列活动,发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力。

2.过程与方法通过动手实践、自主探索，培养学生自主学习的能力；通过师生互动探究，培养学生合作交流的能力。

认识三角形知识点三角形是初中数学中的基础内容之一，它是由三条边和三个内角组成的图形。

正确地掌握三角形的相关知识，不仅可以帮助我们解决数学题目，还能够增加我们对几何形状的认识。

在本文中，将介绍三角形的类型、性质及相关定理，帮助读者全面了解三角形知识点。

1. 三角形的分类三角形按照边长的关系可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

等边三角形的三条边长度相等，等腰三角形的两条边长度相等，普通三角形的三条边长度都不相等。

2. 三角形的性质三角形的性质包括角的性质和边的性质。

在角的性质方面，三角形的三个内角的和等于180度；任意两个内角的和大于第三个角；任意两个外角的和等于第三个外角。

在边的性质方面，三角形的任意两条边之和大于第三条边。

3. 三角形的常见定理（1）三角形的周长三角形的周长等于三条边的长度之和。

（2）三角形的面积三角形的面积可以用海伦公式或底边高公式来计算。

海伦公式适用于已知三边长度的情况，公式为：面积 = sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中，s表示三边长度的半周长，a、b、c分别表示三边的长度。

底边高公式适用于已知底边和高的情况，公式为：面积 = 1/2 * 底边长度 * 高（3）三角形的角平分线定理三角形的角平分线将相应的角分成两个相等的角。

这条定理可以帮助我们求解一些与角相关的问题。

（4）三角形的中线定理三角形的任意两条中线的长度之和等于第三条边的一半。

这条定理在解决与三角形边相关的问题时非常有用。

4. 实例分析以下以一个实例来帮助读者更好地理解三角形知识点。

已知三角形ABC的边长分别为AB=5cm，AC=7cm，BC=6cm，求三角形ABC的面积和周长。

解：首先，我们可以使用海伦公式来计算三角形ABC的面积。

根据海伦公式，s = (5 + 7 + 6) / 2 = 9，代入公式得到面积：面积 = sqrt[9(9-5)(9-7)(9-6)] ≈ 14.70 平方厘米其次，我们可以直接将三条边相加来计算三角形ABC的周长，周长 = 5 + 7 + 6 = 18厘米。

1.1 认识三角形一、背景介绍及教学资料三角形是几何图形中的基本图形，是构造较为复杂图形的基础。

学生在学习了图形的初步认识后安排了本教材的内容，是符合七年级学生认知规律的，也为进一步研究其它几何图形奠定基础。

教材安排了让学生观察铁塔的构造以及让学生动手做三角形等情景，使学生体验到学习和研究三角形是生产和生活的需要，了解到复杂的图形是由简单的图形构造而成的，激发学生学习数学的兴趣。

有关教学资料可查阅初中数学网。

（/464717/index.asp）二、教学设计第1课时教学内容分析：三角形是学生熟悉的图形，本节以学生观察房子的屋架等所包含的三角形出发，让学生体会用字母表示三角形的意义，认识三角形的基本要素（边、角和顶点）及其表示法，进一步展开对三角形性质的讨论。

学生在交流中感受到用字母表示三角形的必要性，教师还应鼓励学生用自己的语言概括出三角形的特点。

关于“三角形两边之和大于第三边”的结论的获得，教材安排了一个情景，通过学生的思考后提出问题，并引导学生动手测量，最后用“两点之间线段最短”的结论进一步说明，这样就将直观操作与简单推理结合在一起。

对于“三角形任意两边之差小于第三边”的性质，只需通过简单的变式得到结论即可。

教学目标：1、结合具体实例，进一步认识三角形的概念及基本要素。

2、理解三角形三边关系的性质，并会初步应用它们来解决问题。

3、通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念和推理能力。

教学重点与难点：教学重点：三角形的有关概念及三角形三边关系的性质。

教学难点：三角形三边关系的性质。

教学准备：刻度尺图钉若干细线硬纸板教学过程：示一组图形，如：铁塔、桥梁、房顶三角架等。

对于三角形，你们已经了解了哪些方面的知识？的位置（仍组判断吗？第，如果不能，请说明理由。

、四组线段的长厘米，第三边与其通过一些实际中存在的三角形图案的演示，让学生认识到，我们所研究的问题来源于生活实际之中。

通过“做一做”，利用细绳绕三个图钉一周及改变图钉的位置，让学生在实验中进行思考，在自主学习的过程中体会学习的乐趣。

第四章三角形1认识三角形（第1课时）一、教材分析本节课是在小学初步认识三角形的基础上，又具体介绍了三角形的有关概念和三角形三个内角的和是180°的关系。

它既是上学期所学线段和角的延续，又是后继学习全等三角形和四边形的基础，在知识体系上具有承上启下的作用.这部分内容主要帮助学生初步形成三角形的概念，体验和理解三角形内角和定理的内容.直角三角形的性质是三角形内角和定理的内容。

直角三角形的性质是三角形内角和定理的延伸，是以后学习“解直角三角形”必备的基础；直角三角形判定是平面几何中证明垂直问题的一个常用工具;直角三角形两锐角互余和两锐角互余的三角形是直角三角形这两个定理的探究形式体现了由几何实验到几何论证的研究过程.二、学情分析学生的知识技能基础：学生在小学已经学习了有关三角形的一些初步知识，能在生活中抽象出三角形的几何图形，并能给出三角形的简单概念及一些相关概念.但不够严密，教师要在教学中指出，并要相对严密地给出概念.学生在第二章对两直线平行的条件以及平行线的特征进行了探索，使学生具备了利用平行线的结论得出三角形内角和的结论的基本知识和基本技能．对特殊的直角三角形的两个锐角关系，利用三角形的内角和定理进行了验证和运用，让学生体会到我们熟悉的直角三角形的性质和判定，最后通过习题巩固三角形内角和知识，培养学生思维的广阔性.学生的活动经验基础：学生在以前的几何学习过程中,已对图形的概念、线段及角的表示法、线段的测量等有了一定的认识,为认识三角形概念、表示法的学习奠定了基础.在小学学习三角形的内角和的结论时是通过撕、拼的方法得到的，具备了直观操作的经验，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．三、教学目标分析让学生掌握三角形的概念，能指出三角形的顶点、边、角等基本元素，能用适当的符号表示三角形以及这些基本元素；经历探索、验证“三角形内角和等于180°”的活动过程，获得一定的推理活动经验；能应用三角形内角和定理解决一些简单的问题；能运用直角三角形两锐角互余的性质解决简单的问题；会按角的大小关系对三角形分类，能判断出给定三角形的形状．基于此，本节课的教学目标是：(1)知识与技能：通过观察、操作、想象、推理“三角形内角和等于180°”的活动过程,发展空间观念,推理能力和有条理地表达能力．(2)过程与方法：让学生在数学活动中通过相互间的合作与交流，培养学生的相互协作意识及数学表达能力．(3)情感与态度：在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心，体验解决问题方法的多样性．四、教学设计分析本节课设计了八个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：概念讲解；第三环节：合作学习；第四环节：猜角游戏；第五环节：巩固练习；第六环节：课堂小结；第七环节：达标检测；第八环节：布置作业．第一环节情境引入活动内容：设计找相同游戏，让学生在生活中的图片中找出有关三角形.活动目的：使学生能从生活中抽象出几何图形 ,感受到我们生活在几何图形的世界之中. 培养学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质,在课堂上用源于生活实际的图片展开教学，从而更大地激发学生学习数学的兴趣.实际教学效果：学生能很好的找出生活中的三角形的实例,如斜拉桥、塔吊、自行车的大梁、房屋等，这些充分体现了学生走进生活、感受数学的高涨热情.第二环节概念讲解活动内容：参照教材提供的屋顶框架图,提出问题(1)你能从中找出四个不同的三角形吗？(自己添加字母)(2)这些三角形有什么共同的特点？活动目的: 通过上题的分析引导学生归纳三角形的概念、基本要素（边、角、顶点），体会用符号表示三角形的必要性，培养学生观察分析能力及归纳总结的能力，设计添加字母，是为了考查学生对于点的表示方法的掌握.实际教学效果：学生对三角形的概念已牢固掌握并能熟练应用,能在图中找出三角形的个数.第三环节 合作学习活动内容：以4人合作小组为单位，充分利用课前准备的任意三角形纸片，探索验证三角形内角和为180°的方法．然后各小组选派代表展示设计的方案并陈述理由．活动目的：学生在探究过程中，教师到各小组巡回指导，参与他们的讨论，鼓励他们提出疑问，但是并不急于评判他们的答案，而是有针对性的启发和指导，引导学生在操作中自觉思考：能否利用平行线的有关事实说明理由，让学生们主动思考，团结协作的释疑． 在这一环节中一方面充分利用学生已有的知识和经验，另一方面使学生通过多角度思考、分析、说理、操作加深学生对三角形内角和为180°的理解，从而突出和解决了本节课的重点，同时在教学中注重在直观操作的基础上进行简单的推理，使学生学会用一定的方式有条理地表达推理过程，为今后的几何证明打下基础．实际教学效果：通过小组讨论、展台演示等手段，激发了学生学习的兴趣，创设师生间民主、互动的学习氛围，为每一个学生创设了平等参与学习的机会．通过合作交流，使学生在横向交流中各尽所能，取长补短，各有所获，在交往互动中共同发展．附学生设计验证方法： 斜梁 斜梁横梁第四环节猜角游戏活动内容：1、教师借助下图提出问题：（1）下面的图（1）、图（2）、图（3）中的三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由．（2）将图（3）的结果与图（1）、图（2）的结果进行比较，可以将三角形如何按角分类？2、进一步学习上述游戏活动中得出的直角三角形的相关知识——直角三角形的符号、斜边、直角边，并提出问题：直角三角形有许多性质，你能发现它的两个锐角之间有什么关系吗？从而引导学生发现直角三角形两个锐角互余．活动目的：通过第1个活动，使学生从游戏中归纳出根据三角形内角的大小只能把三角形分成三类．然后让学生任意说出三角形的两个内角的度数，请其他同学说出是什么三角形．通过对三角形分类的学习,使学生了解数学分类的基本思想．当只露出一个内角为锐角时，引导学生发现三种情况都是可以的，即两个锐角，一个锐角一个直角，一个钝角一个锐角，从而使学生初步体会反证法的思想，为后面进一步研究反证法奠定基础．第2个活动是学生在理解三角形内角和为180°之后的延伸——直角三角形的符号、斜边、直角边以及直角三角形两个锐角互余，培养学生良好的学习习惯，提高学生灵活运用所学知识的能力．实际教学效果：通过在游戏中对问题的解决，使学生有成就感，树立了学好数学的信心．学生通过游戏活动，发现三角形三个角之间的关系与三角形的具体形状无本质关系，特殊三角形的特殊性质与其形状有关——直角三角形两个锐角互余．第五环节巩固练习活动内容：在这个环节设计了想一想、随堂练习想一想1、观察下图中的三角形，你能够按角将它们的形状分类吗？随堂练习2.一个三角形两个内角的度数分别如下,这个三角形是什么三角形？(1)30度和60度(2)40度和70度(3)50度和20度活动目的：关于练习的安排是考查学生对于三角形分类及内角和定理的．实际教学效果：学生够积极参与，顺利解决这两题．第六环节课堂小结活动内容：引导学生进行小结活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获与感想，包括三角形的内角和为180°，直角三角形的表示法及有关概念，直角三角形两锐角互余，三角形按角分类．实际教学效果：学生通过自己的思考、归纳、总结本节课所学的知识要点，并敢于提出问题，说出自己的困惑，使学生带着问题走进课堂，又带着思索走出课堂，不仅激发了学生的学习兴趣，而且使数学学习延伸到课外．第七环节达标检测活动内容：设计六道难易程度不一样的题目。

认识三角形-重难点题型【浙教版】【题型1 三角形的分类】【例1】（2020秋•无棣县期末）三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【分析】根据三角形的分类可直接得到答案．【解答】解：三角形根据边分类{不等边三角形等腰三角形{两边相等的三角形三边相等的三角形(等边三角形)，∴图中小椭圆圈里的A表示等边三角形．故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．【变式1-1】（2020秋•交城县期中）给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（）个．A．1B．2C．3D．0【分析】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断．【解答】解：（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确；（2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误；（3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确．综上所述，正确的结论2个．故选：B．【点评】本题考查了三角形．注意：等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．【变式1-2】（2020春•淮阳区期末）下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】根据三角形的分类判断即可．【解答】解：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形，原命题是真命题；（2）一个钝角三角形不一定不是等腰三角形，原命题是假命题；（3）一个等腰三角形不一定不是锐角三角形，原命题是假命题；（4）一个直角三角形不一定不是等腰三角形，原命题是假命题；故选：A．【点评】此题考查三角形问题，关键是根据三角形的分类的概念解答．【变式1-3】（2020春•长春期末）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（）A．都是锐角三角形B．都是直角三角形C．都是钝角三角形D．是一个锐角三角形和一个钝角三角形【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形．【解答】解：如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．如图，锐角三角形沿虚线剪开即可得到一个锐角三角形和一个钝角三角形．因为剪开的边上的两个角是邻补角，不可能都是锐角，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．综上所述，将一个三角形剪成两三角形，这两个三角形不可能都是锐角三角形．故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．【题型2 三角形的计数问题】【例2】（2020秋•恩施市期中）图中锐角三角形的个数有（）个．A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】先找出以A 为顶点的锐角三角形的个数，再找出以E 为顶点的锐角三角形的个数，然后将两种锐角三角形相加即可．【解答】解：①以A 为顶点的锐角三角形△ABC 、△ADC 共2个；②以E 为顶点的锐角三角形：△EDC ，共1个；所以图中锐角三角形的个数有2+1＝3（个）；故选：B ．【点评】本题考查了三角形．数三角形的个数，可以按照数线段条数的方法，如果一条线段上有n 个点，那么就有n(n−1)2条线段，也可以与线段外的一点组成n(n−1)2个三角形．【变式2-1】（2020秋•齐河县期末）如图，共有 个三角形．【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数．【解答】解：图中有：△OAB ，△OAC ，△OAD ，△OBC ，△OCD ，△OBD ，共6个． 故答案为：6．【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义，数三角形时，要不重不漏．【变式2-2】（2020春•江都区期中）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，那么图中以AD 为高的三角形共有 个．【分析】由于AD ⊥BC 于D ，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB 上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．【解答】解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．故答案为：6【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．【变式2-3】（2020秋•潮阳区期末）如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形个．【分析】根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：后边的总比前边多4，即第n 个图形中，三角形的个数是1+4（n﹣1）＝4n﹣3．所以当n＝6时，原式＝21．注意规律：后面的图形比前面的多4个．【解答】解：第n个图形中，三角形的个数是1+4（n﹣1）＝4n﹣3．所以当n＝6时，原式＝21，故答案为：21．【点评】注意正确发现规律，根据规律进行计算．长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【题型3 三角形三边关系的应用】【例3】（2021春•青浦区期中）如果一个三角形的两边长为2和5，那么这个三角形的周长可能是（）A．10B．13C．14D．15【分析】根据三角形三边关系定理求出第三边的范围，得到三角形的周长的范围，判断即可．【解答】解：∵三角形的两边长为2和5，∴第三边x的长度范围是5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7，∴这个三角形的周长a范围是2+5+3＜a＜5+2+7，即10＜a＜14，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．【变式3-1】（2020秋•仓山区期末）某木材市场上木棒规格与对应价格如下表：规格1m2m3m4m5m6m价格（元/根）101520253035小明的爷爷要做一个三角形木架养鱼用，现有两根长度分别为3m和5m的木棒，还需要到该木材市场购买一根木棒．则小明的爷爷至少带的钱数应为（）A．10B．15C．20D．25【分析】根据三角形的三边关系可得5﹣2＜x＜5+2，再解出不等式可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度，然后根据木棒价格可直接选出答案．【解答】解：设第三根木棒的长度为xm，根据三角形的三边关系可得：5﹣2＜x＜5+2，解得2＜x＜8，x＝3，4，5，6，7，共5种选择，根据木棒的价格可得选3m最省钱，所以小明的爷爷至少带的钱数应为20元，故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．【变式3-2】（2021春•九龙坡区校级月考）设a，b，c是△ABC的三边的长，化简√(a−b−c)2−|a﹣b+c|−√(c+a+b)2的结果是．【分析】可根据三角形的性质：两边之和大于第三边．依此对原式进行去根号和去绝对值．【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三边的长，∴a＜b+c，a+c＞b，∴a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0，c+a+b＞0，∴原式＝b+c﹣a﹣a+b﹣c﹣a﹣b﹣c＝﹣3a+b﹣c，故答案为：﹣3a+b﹣c．【点评】本题考查了二次根式的化简和三角形的三边关系定理，关键是根据三角形的性质：两边之和大于第三边去根号和去绝对值解答．【变式3-3】（2021春•西城区校级期中）长度为20厘米的木棍，截成三段，每段长度为整数厘米，请写出一种可以构成三角形的截法，此时三段长度分别为，能构成三角形的截法共有种．（只考虑三段木棍的长度）【分析】已知三角形的周长，分别假设三角形的最长边，从而利用三角形三边关系进行验证即可求得不同的截法．【解答】解：∵木棍的长度为20厘米，即三角形的周长为20厘米，∴①当三角形的最长边为9厘米时，有4种截法，分别是：9厘米，9厘米，2厘米；9厘米，8厘米，3厘米；9厘米，7厘米，4厘米；9厘米，6厘米，5厘米；②当三角形的最长边为8厘米时，有3种截法，分别是：8厘米，8厘米，4厘米；8厘米，7厘米，5厘米；8厘米，6厘米，6厘米；③当三角形的最长边为7厘米时，有1种截法，是：7厘米，7厘米，6厘米；∴能构成三角形的截法共有4+3+1＝8种．故答案为：9厘米，9厘米，2厘米（答案不唯一）；8．【点评】此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力，注意不能构成三角形的情况一定要排除．【题型4 三角形三边关系的证明】【例4】（2020秋•安庆期中）已知：如图，点D是△ABC内一点．求证：（1）BD+CD＜AB+AC；（2）AD+BD+CD＜AB+BC+AC．【分析】（1）根据三角形的三边关系以及不等式的性质即可解决问题；（2）根据三角形的三边关系以及不等式的性质即可解决问题．【解答】证明：（1）延长BD交AC于E，在△ABE中，有AB+AE＞BE，在△EDC中，有ED+EC＞CD，∴AB+AE+ED+EC＞BE+CD，∵AE+EC＝AC，BE＝BD+DE，∴AB+AC+ED＞BD+DE+CD，∴AB+AC＞BD+CD；（2）由（1）同理可得：AB+BC＞AD+CD，BC+AC＞BD+AD，AB+AC＞BD+CD，∴2（AB+BC+AC）＞2（AD+BD+CD），∴AB+BC+AC＞AD+BD+CD．【点评】考查了三角形的三边关系，不等式的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．【变式4-1】（2020秋•西林县期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D．试比较DA+DB+DC与12（AB+BC+AC）的大小，写出推理过程．【分析】由三角形的三边关系得：DA+DB＞AB，DB+DC＞BC，DA+DC＞AC，则2（DA+DB+DC）＞AB+BC+AC，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠BAC＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，∴∠ABD＝∠CBD=12∠ABC，∠ACD＝∠BCD=12∠ACB，∴∠CBD+∠BCD=12（∠ABC+∠ACB）=12×110°＝55°，∴∠BDC＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）＝180°﹣55°＝125°；（2）DA+DB+DC＞12（AB+BC+AC），理由如下：在△ABD中，由三角形的三边关系得：DA+DB＞AB①，同理：DB+DC＞BC②，DA+DC＞AC③，①+②+③得：2（DA+DB+DC）＞AB+BC+AC，∴DA+DB+DC＞12（AB+BC+AC）．【点评】本题考查了三角形的三边关系以及角平分线的定义等知识；熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．【变式4-2】（2020秋•朝阳期中）如图，△ABC中，点D在AC上，点P在BD上，求证：AB+AC＞BP+CP．【分析】由三角形的三边关系可得AB+AD＞BD，CD+PD＞PC，即可得结论．【解答】证明：在△ABD中，AB+AD＞BD，在△PDC中，CD+PD＞PC，∴AB+AD+CD+PD＞BD+PC∴AB+AC＞BP+CP．【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练运用三角形的三边关系是本题的关键．【变式4-3】（2020秋•九龙坡区校级月考）已知在△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上．求证：BD﹣BC＜AD﹣AB．【分析】由三角形的三边关系可得BD﹣BC＜AD﹣AC，即可得结论．【解答】证明：∵△BCD中，BD﹣BC＜CD，∴BD﹣BC＜AD﹣AC，且AB＝AC，∴BD﹣BC＜AD﹣AB，【点评】本题考查了三角形三边关系，熟练运用三角形的三边关系可求解．【例5】（2020秋•重庆期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（）①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH是△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．【解答】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故选：B．【点评】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．【变式5-1】（2021春•郫都区校级期中）下列说法：①直线外一点到该直线的垂线段，是这个点到该直线的距离；②同旁内角互补；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④三角形三条高至少有一条在三角形的内部；⑤垂直于同一条直线的两条直线平行；⑥三角形的角平分线是线段．其中说法正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据三角形的高、点到直线的距离定义、平行公理、平行线的判定和性质进行分析即可．【解答】解：①直线外一点到该直线的垂线段的长度，是这个点到该直线的距离；故原命题错误；②两直线平行，同旁内角互补；故原命题错误；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故原命题错误；④三角形三条高至少有一条在三角形的内部；故原命题正确；⑤在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；故原命题错误；⑥三角形的角平分线是线段．故原命题正确；其中说法正确的有2个，故选：A．【点评】此题主要考查了三角形的高、平行线的判定和性质，关键是注意点到直线的距离的定义．【变式5-2】（2021春•沙坪坝区校级月考）下列说法正确的是（）A．三角形的角平分线是射线B．过三角形的顶点，且过对边中点的直线是三角形的一条中线C．锐角三角形的三条高交于一点D．三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部【分析】根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④即可．【解答】解：A．三角形的角平分线是线段，故A不符合题意；B．三角形的中线是线段，故B不符合题意；C．锐角三角形的三条高交于一点说法正确，故C符合题意；D．锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查三角形的角平分线，三角形的中线，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的高、角平分线、中线的概念．【变式5-3】（2020秋•昆明期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（）A．BE是△ABD的中线B．BD是△EBC的角平分线C．∠1＝∠2＝∠3D．BC是△ABE的高【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、∵AE＝DE，∴BE是△ABD的中线，正确；B、∵BD平分∠EBC，∴BD是△EBC的角平分线，正确；C、∵BD是△EBC的角平分线，∴∠EBD＝∠CBD，∵BE是中线，∴∠EBD≠∠ABE，∴∠1＝∠2＝∠3不正确，符合题意；D、∵∠C＝90°，∴BC是△ABE的高，正确．故选：C．【点评】本题考查了三角形的角平分线，高线，中线的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键．【题型6 利用三角形的中线解决周长问题】【例6】（2021春•盐田区校级期中）如图，AD为△ABC的中线，AB＝13cm，AC＝10cm．若△ACD的周长28cm，则△ABD的周长为．【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵AD为△ABC的中线，∴BD＝DC，∵△ACD的周长28cm，∴AC+AD+CD＝28（cm），∵AC＝10cm，∴AD+CD＝28（cm），即AD+BD＝28（cm），∵AB＝13cm，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝41（cm），故答案为：41cm．【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．【变式6-1】（2020秋•安徽期中）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60cm和40cm两部分，则边AC的长为．【分析】先根据AD是BC边上的中线得出BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，再根据AC+CD＝60，AB+BD＝40，即可得出x和y的值．【解答】解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，∵AC＞AB，∴AC+CD＝60，AB+BD＝40，即4x+x＝60，x+y＝40，解得：x＝12，y＝28，即AC＝4x＝48cm，AB＝28cm．故答案为：48cm．【点评】本题考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．【变式6-2】（2020春•双阳区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多2，且AB与AC的和为10．（1）求AB、AC的长．（2）求BC边的取值范围．【分析】（1）根据三角形中线的定义，BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．（2）根据三角形三边关系解答即可．【解答】解：（1）∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝2，即AB﹣AC＝2①，又AB+AC＝10②，①+②得．2AB＝12，解得AB＝6，②﹣①得，2AC＝8，解得AC＝4，∴AB和AC的长分别为：AB＝6，AC＝4；（2）∵AB＝6，AC＝4，∴2＜BC＜10．【点评】本题考查了三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，根据周长的差得出边AB与AC的差等于4是解题的关键．【变式6-3】（2021春•靖江市月考）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上．（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，求线段AE的长．【分析】（1）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE，BD＝DC，所以BE＝AE+AC，则可解得AE＝2cm；（2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣2．解得AE＝1cm或2cm．【解答】解：（1）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE，又三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D为BC中点，∴BD＝DC，BE+BD+DE＝AE+AC+DC+DE，即BE＝AE+AC，∵AB＝10cm，AC＝6cm，∴10﹣AE＝AE+6，∴AE＝2cm．（2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣2．解①得AE＝1cm，解②得AE＝3cm．故AE长为1cm或3cm．【点评】本题考查了三角形中线性质，三角形周长的计算，关键是要学会分类讨论的思想思考问题．【题型7 利用三角形的中线解决面积问题】【例7】（2021春•徐州期中）如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3．则△ABC的面积是（）A．9B．10C．11D．12【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．【解答】解：∵F是CE的中点，△AEF的面积为3，∴S△ACE＝2S△AEF＝6cm2，∵E是BD的中点，∴S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△BCE，∴S△ACE＝S△ADE+S△CDE＝S△ABE+S△BCE=12S△ABC，∴△ABC的面积＝12cm2．故选：D．【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．【变式7-1】（2021春•东台市月考）如图，△ABC的面积为280cm2，AE＝ED，BD＝3DC，则图中四边形EDCF的面积等于（）A．50B．55C．60D．65【分析】连接CE，由△ABC面积为280cm2，AE＝ED，BD＝3DC，可求出△ABD，△ADC的面积．根据底一定时，三角形面积与高成正比或高一定时，三角形面积与底成正比，求出△ABE、△BEC，△AEC的面积，从而得到△ABE与△BEC的高之比为3：4，亦即△AEF与△CEF的高之比，进而得到△CEF的面积，最后求出四边形EDCF的面积．【解答】解：连接CE，如图．∵△ABC的面积为280cm2，BD＝3DC，∴S△ADC＝280×14=70cm2，S△ABD=280×34=210cm2．又AE＝DE，∴S△ABE＝S△BDE=12×210=105cm2，∴S△AEC＝S△DEC=12×70=35．∴S△BEC＝S△BDE+S△DEC＝140，∴△ABE与△BEC面积比为105：140＝3：4，∴△ABE与△BEC高之比为3：4，即△AEF与△CEF的高之比为3：4，∴S△CEF=47S△AEC=47×35=20，∴四边形EDCF的面积为S△DEC+S△CEF＝35+20＝55．故选：B．【点评】本题考查三角形的面积计算，关键是弄清楚各部分面积之比．利用底一定时，三角形面积与高成正比的性质进行推理解答．【变式7-2】（2021春•碑林区校级期中）如图，△ABF的面积是2，D是AB边上任意一点，E是CD中点，F是BE中点，△ABC的面积是（）A．4B．6C．8D．16【分析】连接AE，由F为BE中点可得S△ABE＝4，又由E为CD中点可得S△ADE=12S△ADC，S△BDE=12S△BDC，从而S△ABE＝S△ADE+S△BDE=12（S△ADC+S△BDC）=12S△ABC＝4，即可得到答案．【解答】解：连接AE，如图．∵F为BE中点，S△ABF＝2，∴S△ABE＝2S△ABF＝2×2＝4，又E为CD中点，∴S△ADE=12S△ADC，S△BDE=12S△BDC，∴S△ABE＝S△ADE+S△BDE =12S△ADC+12S△BDC=12（S△ADC+S△BDC）=12S△ABC＝4，故S△ABC＝8．故选：C．【点评】本题考查吧三角形的面积计算，熟悉三角形中，同底不等高的三角形面积比为高之比、同高不等底的三角形面积比为底之比是解题关键．【变式7-3】（2021春•常熟市期中）如图，点D ，E 分别是△ABC 边BC ，AC 上一点，BD ＝2CD ，AE ＝CE ，连接AD ，BE 交于点F ，若△ABC 的面积为18，则△BDF 与△AEF 的面积之差S △BDF ﹣S △AEF 等于（ ）A ．3B ．185C ．92D ．6【分析】由△ABC 的面积为18，根据三角形的面积公式和等积代换即可求得．【解答】解：∵S △ABC =12BC •h BC =12AC •h AC ＝18，∴S △ABC =12（BD +CD ）•h BC =12（AE +CE ）•h AC ＝18，∵AE ＝CE =12AC ，S △AEB =12AE •h AC ，S △BCE =12EC •h AC ，∴S △AEB ＝S △CEB =12S △ABC =12×18＝9，即S △AEF +S △ABF ＝9①，同理：∵BD ＝2CD ，BD +CD ＝BC ，∴BD =23BC ，S △ABD =12BD •h BC ，∴S △ABD =23S △ABC =23×18＝12， 即S △BDF +S △ABF ＝12②，①﹣②得：S △BDF ﹣S AEF ＝（S △BDF +S △ABF ）﹣（S △AEF +S △ABF ）＝12﹣9＝3，故选：A ．【点评】本题主要考查三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是等积代换．【题型8 与三线有关的角度计算】【例8】（2020秋•蚌埠期末）如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义和已知得到∠BAD＝∠DAC，利用平行线的性质解答即可．【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC＝40°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝50°，故选：C．【点评】本题考查的是角平分线的定义、三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°、角平分线的定义是解题的关键．【变式8-1】（2021春•碑林区校级期中）如图，AD，AE为△ABC的高线，角平分线，DF ⊥AE于点F．当∠DAC＝21°，∠B＝25°时，∠DAF的度数为（）A．21°B．22°C．25°D．30°【分析】依据AD，AE为△ABC的高线，角平分线，即可得到∠BAD和BAE的度数，再根据角的和差关系，即可得出∠DAF的度数．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，又∵∠B＝25°，∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°，又∵∠CAD＝21°，∴∠BAC＝65°+21°＝86°，又∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=12×86°＝43°，∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAE＝65°﹣43°＝22°，故选：B．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解决问题的关键是掌握三角形高线和角平分线的定义．【变式8-2】（2020秋•兴化市期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，EF ∥BC交BD于点G，若∠BEG＝130°，则∠DGF＝°．【分析】根据角平分线的定义得到∠EBG＝∠CBG，根据平行线的性质得到∠EGB＝∠CBG，等量代换得到∠EBG＝∠EGB，再根据三角形的内角和定理和对顶角的性质于是得到结论．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EGB＝∠CBG，∵BD平分∠ABC，∴∠EBG＝∠CBG，∴∠EBG＝∠EGB，∵∠BEG＝130°，∴∠EGB=180°−130°2=25°，∴∠DGF＝∠EGB＝25°．故答案为：25．【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．【变式8-3】（2020秋•红桥区期末）如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大小．【分析】根据三角形高线可得∠ADC＝90°，利用三角形的内角和定理可求解∠DAC的度数；由三角形的内角和可求解∠B的度数，再根据角平分线的定义可求出∠BAO和∠ABO的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．【解答】解：∵AD是△ABC的高线，∴∠ADC＝90°，∵∠ADC+∠C+∠CAD＝180°，∠C＝70°，∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵∠ABC+∠C+∠CAB＝180°，∠C＝70°，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∵AE，BF分别平分∠BAC，∠ABC，AE，BF相交于点O，∴∠BAO=12∠BAC＝25°，∠ABO=12∠ABC＝30°，∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝180°﹣25°﹣30°＝125°．【点评】本题主要考查角平分线，三角形的内角和定理，灵活运用三角形的内角和定理是解题的关键．。

《认识三角形》知识点解读1三角形是平面内最简单、最基本的几何图形之一，在生活中随处可见。

他不仅是我们学习其他图形的基础，而且是现实生活中有着广泛的应用。

因此探讨三角形中的基本性质可以使我们更好的认识现实世界，为了更好的学好三角形，我们先着眼于三角形的一些基本概念和性质。

知识点1三角形的概念及表示（重点）不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

三角形有三条边，三个内角，三个顶点。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示。

解读：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义。

例1 如图所示，图中的三角形有（）A.6个B.8个C.10个D.12个分析：数三角形个数易遗漏或重复。

要做到不重不漏，就应按照一定的顺序去数。

如图，可按图形的形成过程去数，共有8个三角形，分别是：△ABC，△ADC，△ABD，△BCD，△AOB，△BOC，△COD，△AOD。

答案：选B知识点2 三角形的内角和及其他性质（重点）三角形的内角和等于180°。

直角三角形的两锐角互余。

例2若一个三角形的三个内角不相等，则它的最小角不能大于（）A.45°B.60°C.90°D.120°分析：因为三角形内角和为180°，条件中说三个内角不相等，最小角若大于60°，则内角和超过180°。

答案：应选B知识点3 三角形的分类（难点）按边分类：不等边三角形（三边均不相等）和等腰三角形（至少两边相等）【等边三角形：三条边都相等的三角形。

它是特殊的等腰三角形】按角分类：锐角三角形（三个角均为锐角）、直角三角形（有一个角为直角）、钝角三角形（有一个角为钝角）解读：（1）对三角形进行分类时，要做到不重不漏；（2）由定义知等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形，这两类三角形在三角形分类中不能并列出现。

认识三角形等边等腰和直角三角形三角形是我们学习初中数学时必须掌握的一个基本图形。

根据边长和角度的不同，我们可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和直角三角形三种类型。

本文将分别介绍这三种三角形的特点和性质。

一、等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。

在等边三角形中，三个内角也都相等，每个角都是60度。

我们可以简记等边三角形为△ABC（其中A、B、C为三个顶点）。

等边三角形的特点是稳定、对称，它的边长和角度特性具有以下几点：1. 三边相等：在△ABC中，边AC = AB = BC。

2. 三个内角相等：∠A = ∠B = ∠C = 60度。

3. 高度、中线和角平分线重合：△ABC的高线、中线和角平分线重合于同一条线段AN上（即垂心、重心、外心和内心重合）。

等边三角形在几何学和实际运用中有着广泛的应用，比如构造等边形、平衡木桥梁等。

二、等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。

在等腰三角形中，两个底角也相等，而顶角则不同。

我们可以将等腰三角形简记为△DEF （其中D、E、F为三个顶点）。

等腰三角形的特点如下：1. 两边相等：在△DEF中，边DE = EF。

2. 两个底角相等：∠D = ∠F。

3. 顶角不等：∠E为顶角，与底角不相等。

等腰三角形也有许多重要的性质：1. 等腰三角形的高线为中线和角平分线，都重合于同一条线段。

2. 等腰三角形的底角平分线也是高线、中线和角平分线。

等腰三角形在建筑、制图、机械设计等领域中都有应用，例如金字塔、屋顶的坡度等。

三、直角三角形直角三角形是指有一个角为90度的三角形。

直角三角形是最常见的三角形类型之一，也是勾股定理的基础。

我们可以简记直角三角形为△GHI（其中G、H、I为三个顶点）。

直角三角形的特点如下：1. 一个角为90度：在△GHI中，∠G为直角，即90度。

2. 两边相互垂直：直角三角形的两条直角边相互垂直，即∠HGI =90度。

3. 两个锐角相加等于90度：∠H + ∠I = 90度。

1 认识三角形学习目标1. 认识三角形的概念及其基本要素。

2. 掌握三角形三条边之间的关系。

3. 认识等腰三角形和等边三角形。

知识详解1. 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示。

注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义。

2. 三角形的角与角之间的关系：（1）三角形三个内角的和等于180°；（三角形的内角和定理）。

（2）直角三角形的两个锐角互余。

3.三角形的分类4.通常，我们用符号“Rt△ABC”表示直角三角形ABC。

把直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边。

5.有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形。

两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。

三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。

注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边。

6.三角形的主要线段（1）连结三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这个边上的中线。

简称三角形的中线。

三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。

（2）三角形一个角的角平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点之间的线段叫做三角形中这个角的角平分线。

简称三角形的角平分线。

一个三角形共有三条角平分线，它们都在三角形内部，而且相交于一点。

（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。

认识三角形教案（6篇）作为一名无私奉献的老师，就难以避免地要准备教案，教案是教学活动的依据，有着重要的地位。

那么写教案需要注意哪些问题呢？这里是小编帮大家分享的认识三角形教案（6篇），欢迎借鉴。

角形教学设计教案篇一教学目标通过猜想、验证，了解三角形的内角和是180度。

在学习的过程中进一步激发学生探索数学规律的兴趣，初步感知计算多边形内角和的公式。

教学重难点三角形的内角和课前准备电脑课件、学具卡片教学活动一、计算三角尺三个内角的和。

出示三角尺中的一个，提问：谁来说说三角尺上的三个角分别是多少度？引导学生说出90度、60度、30度。

出示另一个三角尺，引导学生分别说出三个角的度数：90度、45度、45度。

提问：请同学们任选一个三角尺，算出他们三个角一共多少度？学生计算后指名回答。

师：三角尺三个角的和是180度。

二、自主探索，解决问题提问：是不是任一个三角形三个角的和都是180度呢？请同学们在自备本上任画一个三角形，量出它们三个角分别是多少度，再求出它们的和，然后小组内交流。

学生小组活动，教师了解学生情况，个别同学加以辅导。

全班交流：让学生分别说出三个角的度数以及它们的和。

提问：你发现了什么？任何一个三角形三个角的和都是180度。

利用三角形的这一性质，我们可以解决许多问题。

三、试一试要求学生先计算，再用量角器量，较后比较结果是否相同？让学生说说计算的方法。

教师说明：即使结果不完全一样，是因为测量的结果存在误差，我们还是以计算的结果为准。

四、巩固提高完成想想做做的题目。

第1题学生独立计算，交流算法。

要求学生用量角器量出结果，和计算的结果想比较。

第2题指导学生看图，弄清拼成的三角形的三个内角指的是哪三个角。

计算三角形三个角的内角和，帮助学生进一步理解：三角形三个内角的和是180度。

第3题通过操作、计算，使学生认识到：不管三角形的大小怎样变化，它的内角和是不会变化的。

第4、5、6题引导学生运用三角形的。

分类及三角形内角和的有关知识解决有关问题，重点培养学生灵活运用知识解决问题的能力。

第1节三角形要点精讲1．认识三角形三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形。

这三条线段就是三角形的边。

所有内角都是锐角——锐角三角形有一个内角是直角——直角三角形有一个内角是钝角——钝角三角形2．三角形的外角和（1）三角形的内角和等于180°（2）一个外角和它相邻内角和为180°（3）外角性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角（4）三角形的外角和等于360°3．三角形的三边关系三角形的任何两边的和大于第三边典型例题【例1】已知各组线段的长度如下，判断以哪组线段为边能组成三角形：（1）3cm，4cm，8cm；（2） 4cm，5cm，9cm；（3）3cm，4cm，5cm.【答案】只有第（3）组能组成三角形【解析】由三角形三边关系：“任意两边之和必须大于第三边”得，只有第（3）组能组成三角形。

【例2】已知：如图所示，P为△ABC内任意一点.求证：（1） AB+AC>PB+PC(2) 12(BC+CA+AB)<PA+PB+PC<BC+CA+AB【答案】（1），延长BP交AC于点D.应用三角形三边关系定理得AB＋AD＞PB＋PD，①PD＋DC＞PC. ②把①，②两式左右各相加，并消去PD，便得 AB＋AC＞PB＋PC.（2）由于PB＋PC＞BC，PC＋PA＞CA，PA＋PB＞AB，三式左右各相加，得 2（PA＋PB＋PC）＞BC＋CA＋AB，即12(BC+CA+AB)<PA+PB+PC又由（1）得PA＋PB＜BC＋CA，PB＋PC＜AB＋CA，PC＋PA＜AB＋BC，三式左右各相加，得 PA＋PB＋PC＜BC＋CA＋AB.【解析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

三角形的认识课件免费三角形的认识三角形是初中数学学科中的一个重要概念，也是几何图形中的基本形状之一。

通过学习三角形的性质和特点，可以帮助我们更好地理解几何形状和空间关系。

本文将介绍三角形的定义、分类和性质，以及三角形在实际生活中的应用。

一、三角形的定义和分类三角形是由三条线段组成的闭合图形，其中每条线段都称为三角形的边。

为了构成一个三角形，任意两条边的和必须大于第三条边。

根据三个边长的关系，三角形可以分为以下几种类别：1. 等边三角形：三边长度相等的三角形。

在等边三角形中，三个内角也都相等，每个角都是60度。

2. 等腰三角形：两边长度相等的三角形。

在等腰三角形中，两个底角相等，顶角则为独立的角。

3. 直角三角形：一个角为直角（90度）的三角形。

直角三角形的两条边相互垂直，并且符合勾股定理。

4. 钝角三角形：不存在一个角为锐角（小于90度）的三角形。

钝角三角形中，最大的角大于90度。

5. 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

锐角三角形的边长之和小于180度。

6. Obtuse Angle Triangle: A triangle with one angle greater than 90 degrees. In an obtuse angle triangle, the biggest angle is greater than 90 degrees.二、三角形的性质除了分类之外，三角形还有一些独特的性质：1. 三角形的内角和为180度：任何一个三角形的三个内角的和都为180度。

2. 外角等于其对应内角的和：三角形的每个外角等于其对应的两个内角的和。

3. 直角三角形的勾股定理：直角三角形中，两条较短边的平方和等于最长边的平方。

4. 等边三角形的等角定理：等边三角形的内角都是60度，外角都是120度。

5. 等腰三角形的等角定理：等腰三角形的底角相等，顶角为独立角。

6. 三边关系：在一个三角形中，任意两边之和必须大于第三边。

七年级上册三角形知识点三角形是初中数学中最基础的概念之一，也是更高级几何知识的基础。

在七年级上册中，我们需要掌握三角形的性质、类型、计算等方面的知识点。

下面，本文将为大家详细介绍七年级上册三角形的知识点。

I. 三角形的定义三角形是一个有三条边和三个角的图形，简单来说就是由三条不在同一直线上的线段相连接所形成的图形。

II. 三角形的性质1. 三角形的内角和是180度。

即三角形任意两个角的角度之和加上第三个角的角度等于180度。

2. 三角形的外角等于它不相邻两个内角的和。

即三角形的一个内角与与其不相邻的另一个内角所组成的外角的角度等于这个三角形的第三个角。

3. 三角形中，两边之和大于第三边。

III. 三角形的类型1. 根据边长分类等边三角形：三条边长度相等的三角形。

等腰三角形：至少有两边长度相等的三角形。

普通三角形：三条边长度各不相等的三角形。

2. 根据角度分类直角三角形：其中一个角为直角（90度）的三角形。

钝角三角形：其中一个角为钝角（大于90度）的三角形。

锐角三角形：三个角都是锐角（小于90度）的三角形。

IV. 三角形的计算1. 三角形面积的计算公式为：S = 1/2 × b × h，其中b为底边的长度，h为高的长度。

2. 根据勾股定理，可以计算直角三角形的斜边长。

勾股定理指的是：直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

V. 三角形的应用三角形并不仅仅只是一个抽象的概念，它在现实生活中应用非常广泛。

比如，测量建筑物的高度、角度、斜边长度等等都需要用到三角形的知识。

此外，在各个领域中，比如物理学、化学、计算机科学等等，三角形也有着广泛的应用。

结语在七年级上册学习三角形的知识，是建立数学基础的必要步骤。

因此，我们需要掌握三角形的基本定义、性质、类型、计算等知识，并在实际应用中学以致用。

相信通过学习，我们会对三角形有一个更加深入的认识。

初中数学认识三角形
一、三角形的魅力
嘿，小伙伴们！今天咱们来聊聊初中数学里超级有趣的三角形。

三角形这玩意儿，可是数学世界里的“常客”，随处可见它的身影。

先来说说三角形的定义，简单来讲，就是由三条线段首尾相连组成的封闭图形。

这三条边围起来的内部空间，就是三角形的地盘啦。

三角形有各种各样的类型，像等边三角形，三条边都一样长，那叫一个整齐；等腰三角形，两条边相等，看起来就很有对称美；还有一般的三角形，边的长度各有不同，充满了变化。

二、三角形的性质
三角形的性质那可多了去了！比如说，三角形的内角和总是 180 度，不管它是啥形状，这个度数都不变，神奇吧？
还有三角形的稳定性，这可是它的一大特点。

咱们生活中好多东西都利用了这一点，像自行车的车架、三角形的屋顶，牢固得很呢！
再说说三角形的边长关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

这可是判断三条线段能不能组成三角形的重要依据哦。

三、三角形的应用
三角形在生活中的应用那可真是无处不在。

建筑师们用三角形来设计坚固的房屋结构，工程师们依靠三角形的原理制造稳定的桥梁。

在数学解题中，三角形也是个“大功臣”。

通过已知条件求三角形的边长、角度，或者证明三角形的全等、相似，都是常考的知识点。

认识三角形是咱们初中数学学习中的重要一环，掌握好了它，能让咱们在数学的海洋里畅游得更畅快！小伙伴们，加油吧！。