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小波变换课件ch3多分辨分析与正交小波的构造.ppt

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一看就懂的小波变换ppt

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8
8
[32.5,0, 0.5,0.5,31,-29,27,-25]
Haar小波反变换：
1 1 1 0 1 0 0 0 32.5 64
1
1
1
0 -1
0
0
0
0
2
1 1 -1 0 0 1 0 0 0.5 3
1 1 -1 1 -1 0
0 1
0 -1 00
0 1
0 0
0.5
31
61 60
傅立叶变换： Of M log2 M
小波变换：
Ow M
设有信号f(t):
其傅里叶变
换为F(jΩ):
即：
f (t) 1 F ( j)e jtd
2
பைடு நூலகம் =
1
0. 8
0. 6
0. 4
0. 2
0 -0. 2 -0. 4 -0. 6
Ψ（t）
-0. 8
-1 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
+
1
0. 8
0. 6
二维金字塔分解算法
令I(x,y)表达大小为M N旳原始图像，l(i)表达相对于分析
小波旳低通滤波器系数，i=0,1,2,…,Nl-1， Nl表达滤波器L旳 支撑长度； h(i)表达相对于分析小波旳高通滤波器系数，
i=0,1,2,…,Nh-1， Nh表达滤波器H旳支撑长度，则
IL x,
y
1 Nl
1.2 二维小波变换（二维多尺度分析）
二维小波变换是由一维小波变换扩展而来旳，二维尺度 函数和二维小波函数可由一维尺度函数和小波函数张量 积得到，即：

小波变换入门.ppt

小波变换入门.ppt

f f
(2 j , x, (2 j , x,
y)
y)
2
j
x
y
f f
(x, (x,
y) y)
a a
(x, (x,
y)
y)
2
j
grad
f
(x,
y)
a
(x,
y)
37/103
整个图像的二进小波变换即矢量：
W (1) f (2 j , x, y)
T
W
(
T
2)
f
(2
j,
x,
y)
WT
f
(2
j,
x,
尺度空间的递归嵌套关系： 0 V1 V0 V1 L2 R
小波空间 W是j 和V j 之V间j1 的差，即 时丢V 失j 的信息V j。1 推出：
V0 W0 W1 Wj V j1
V0
Vj，它Wj 捕 V捉j1 由 逼近
V j1
L2 R
V j1
Vj
多分辨率的空间关系图
19/103
两尺度方程
1 ( x, y)
(x) (y)
2 ( x, y)
(x)(y)
3 ( x, y)
(x) (y)
与 (x, y)一起就建立了二维小波变换的基础。
26/103
图像的小波变换实现
1. 正变换 图像小波分解的正变换可以依据二维小波变换按如 下方式扩展，在变换的每一层次，图像都被分解 为4个四分之一大小的图像。
线性
设： xt g t ht
WTx a,b WTg a,b WTh a,b 平移不变性
若 xt WTx a,b，则 xt WTx a,b
伸缩共变性

《小波变换》课件

《小波变换》课件

离散小波变换
定义
离散小波变换是对连续小波变换 的离散化，即将时间和频率轴进 行离散化，使小波变换能够应用 于数字信号处理。
原理
离散小波变换通过将信号进行离 散化，将连续的小波变换转换为 离散的运算，从而能够方便地应 用于数字信号处理系统。
应用
离散小波变换在图像压缩、数字 水印、音频处理等领域有广泛应 用，能够提供较好的压缩效果和 数据隐藏能力。
小波变换的应用拓展
图像处理
研究小波变换在图像压缩、去噪、增强等方面的应用，提高图像 处理的效果和效率。
语音信号处理
将小波变换应用于语音信号的降噪、特征提取等方面，提高语音 识别的准确率。
医学成像
利用小波变换对医学成像数据进行处理，提高医学影像的质量和 诊断准确率。
小波变换的算法优化
快速小波变换算法
《小波变换》ppt课 件 (2)
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 小波变换概述 • 小波变换的基本原理 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换的未来发展与挑战
01
小波变换概述
小波变换的定义
小波变换是一种数学分析方法，它通 过小波基函数的平移和伸缩，将信号 分解成不同频率和时间尺度的分量。
提供较好的特征提取和分类能力。
01
小波变换的算法实 现
常用的小波基函数
Haar小波
Daubechies小波
是最简单的小波，具有快速变换的特性， 但缺乏连续性和平滑性。
具有紧支撑性和良好的数学特性，广泛应 用于信号处理和图像处理。
Morlet小波
具有振荡性，适用于分析非平稳信号。

小波分析整理 第三章 小波变换ppt课件

小波分析整理 第三章 小波变换ppt课件
这样，a 和b 联合越来确定了对x(t) 分析的 中心位置及分析的时间宽度。
.
a b
.
小波函数的范数不变性： a(t)b 0 2 R a(t)b 2 d tR (t)2 dt(t)0 2
此式表明： ( t ) 经过平移与伸缩以后，其模量没有 改变。
在不同的尺度a 时，ψa b (t) 终能和母函数ψ(t) 有着相同的能量 。
当a<1时， ( t ) 被拉宽且振幅被压低， ab (t) 含有表现低 频分量的特征；当a>1时， ( t ) 被压窄且振幅被拉
高， ab (t )含有表现高频分量的特征。
(2t)
(2t 3)
a2
0
1 1.5
3
6
t
a 1 a1
2
(t)
0
1
(1 t) 2
0
1
(t 3)
3
6
t
( 1 t 3) 2
R
可以反映局部频率特性，但是窗函数一经设定，没有 自适应能力，不能满足低频部分需要时窗宽、频窗窄， 高频部分需要时窗窄、频窗宽的要求。
为此，定义窗函数的一般形式为：
w ~ab(t)a1/2(a tb) （ 其 他 形 式 w ~ a b(t)a 1 /2 (t ab )
它是经过平移和放缩的结果。
.
小波函数的频域特性： ^a(b)a1/2eib/a^(a) 此式表明， ( t ) 经过平移和伸缩以后得到的新
函数 a b (t )的频域特性随参数a的变化而变化。
.
2、小波变化的回复公式推导
任何一种变换应该是可逆的。为推导小波变换的
回复公式，先得推出与Fourier变换中类似的乘积
公式。
在Fourier变换中，有公式：2 1 R F [f(t)]F _[g(t)]dRf(t)_ g(t)dt

小波分析课件第四章多分辨分析和正交小波变换

小波分析课件第四章多分辨分析和正交小波变换

其他领域
正交小波变换还广泛应用于金 融、医学、地球物理等领域的 数据分析和处理。
03
多分辨分析与正交小波变换的关系
多分辨分析与正交小波变换的联系
两者都是小波分析中的重要概念，共同构成了小波 分析的基础。
多分辨分析为正交小波变换提供了理论框架，正交 小波变换是多分辨分析的具体实现。
正交小波变换可以看作是多分辨分析的一种特例， 其中尺度函数和小波函数都是正交的。
正交小波变换的应用场景
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ01
02
03
04
信号处理
正交小波变换在信号处理中主 要用于信号去噪、压缩和特征 提取等。
图像处理
正交小波变换在图像处理中主 要用于图像压缩、去噪、增强 和特征提取等。
数据压缩
正交小波变换可用于数据压缩 领域，特别是对于非平稳信号 和图像数据的压缩，具有较好 的压缩效果和重建精度。
多分辨分析与正交小波变换的区别
02
01
03
多分辨分析主要关注的是函数在不同尺度上的表示， 而正交小波变换更注重在不同尺度上的细节信息。
正交小波变换具有更好的灵活性和适应性，可以针对 特定问题设计特定的小波函数和尺度函数。
正交小波变换在信号处理、图像处理等领域的应用更 为广泛，而多分辨分析更多用于理论分析。
正交小波变换的算法与实现
算法
正交小波变换的算法主要包括一维离散正交小波变换和二维离散正交小波变换。一维离散正交小波变换的算法包 括Mallat算法和CWT算法等，而二维离散正交小波变换的算法主要基于图像分块处理。
实现
正交小波变换的实现通常需要使用数字信号处理库或图像处理库，如Python的PyWavelets库或OpenCV库等。

小波分析课件第四章多分辨分析和正交小波变换

小波分析课件第四章多分辨分析和正交小波变换
小波分析课件第四章 多 分辨分析和正交小波变换
• 多分辨分析概述 • 正交小波变换原理 • 多分辨分析与正交小波变换的关系 • 正交小波变换的实现方法 • 正交小波变换的实例分析
01
多分辨分析概述
定义与特点
定义
多分辨分析是从小尺度到大尺度逼近 研究对象的一种分析方法，它能够同 时揭示研究对象在不同尺度上的特征 。
多分辨分析在信号处理中能够提 供更加准确和全面的信息，有助 于更好地理解和分析信号。
多分辨分析的历史与发展
1 2 3
历史回顾
多分辨分析的思想起源于20世纪80年代，随着 小波理论的不断发展，多分辨分析逐渐成为研究 热点。
当前研究
目前，多分辨分析在理论和应用方面都取得了重 要进展，广泛应用于图像处理、信号处理、数值 计算等领域。
模式识别
正交小波变换可以用于特征提取和 模式分类等任务。
03
02
图像处理
正交小波变换可以用于图像的压缩、 去噪、增强等处理。
数值分析
正交小波变换可以用于求解偏微分 方程、积分方程等数学问题。
04
03
多分辨分析与正交小波变换的关系
多分辨分析与正交小波变换的联系
两者都基于多尺度分析思想
多分辨分析和小波变换都是从不同尺度上分析信号，能够捕捉到 信号在不同尺度上的特征。
优点
连续小波变换能够更好地适应信号的突变和非线性特性， 能够更准确地描述信号的局部特征。
缺点
连续小波变换的计算复杂度较高，需要更多的计算资源和 时间，同时对于非连续信号的处理也存在一定的困难。
基于滤波器的小波变换
01 02
定义
基于滤波器的小波变换是一种通过设计特定的滤波器来实现小波变换的 方法，通过滤波器对信号进行卷积操作，可以得到不同尺度上的小波系 数。

小波分析简述(第五章)PPT课件


六、多分辨率分析（Multi-resolution Analysis ，MRA），又称为多尺度分析
若我们把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺 度由大到小变化时，就相当于将照相机镜头由 远及近地接近目标。在大尺度空间里，对应远 镜头下观察到的目标，只能看到目标大致的概 貌。在小尺度空间里，对应近镜头下观察目标， 可观测到目标的细微部分。因此，随着尺度由 大到小的变化，在各尺度上可以由粗及精地观 察目标，这就是多尺度（即多分辨率）的思想。
小波变换（Wavelet Transform）
1
整体概况
概况一
点击此处输入 相关文本内容
01
概况二
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02
概况三
点击此处输入 相关文本内容
03
2
主要内容
一、小波的发展历史 二、小波定义 三、连续小波变换 四、小波变换的特点 五、离散小波变换 六、多分辨率分析 七、Mallat算法 八、小波的应用 九、小波的进展
傅立叶分析是把一个信号分解成各种不同频率的正弦波， 因此正弦波是傅立叶变换的基函数。同样，小波分析是 把一个信号分解成由原始小波经过移位和缩放后的一系 列小波，因此小波是小波变换的基函数，即小波可用作 表示一些函数的基函数。
8
• 小波变换的反演公式
xtc1 0 a d2a W xa T ,a,td
26
小波基函数和滤波系数(db 2--正交，不对称 )
db小波
“近似”基函 数
“细节”基 函数
“正变换” 低频 和
高频 “滤波系数 “ ”反变换” 低频 和
• 小波基必须满足的条件—允许条件
ˆ2
c d
ˆ00
tdt0
9
四、小波变换的特点

94第四章多分辨率分析与正交小波变换PPT课件


1 (t k)
22
1k (t),1k'(t)
1 ( t k) 1 ( t k')dt
22
22
1 2
(2t
k)( t
2
k' )dt,当t'
19
20
➢ 我们把空间做逐级二分解产生一组逐级包 含的子空间：
,V 0 V 1 W 1 ,V 1 V 2 W 2 , ,V j V j 1 W j 1 ,
21
22
23
各空间内的结构做进一步分析：
➢ （ 整1数）移设位V集0中合有低(t 通k平)k滑Z是函V数0中φ（的t正）交，归它一的
V -3V -2V -1V 0
8
比喻
➢ 类似于人的视觉系统。例如：人在观察某 一目标时，不妨设他所处的分辨率为j（或 2j），观察目标所获得的信息是Vj，当他走 近目标，即分辨率增加到j-1（或2j-1），他 观察目标所获得的信息为Vj-1，应该比分辨 率j下获得的信息更加丰富，即 Vj Vj1 ，分 辨率越高，距离越近；反之，则相反。
9
➢ 在分辨率分析中，Vj称为逼近空间，我们把 平方可积的函数f(t)∈L2(R)看成是某一逐级 逼近的极限情况。每次逼近都是用一低通 平滑函数φ（t）对f(t)做平滑的结果，在逐 级平滑时平滑函数φ（t）也做逐级逼近，这 就是多分辨率，即用不同分辨率来逐级逼 近待分析函数f(t)。
10
见word
➢ 基本思想：将L2（R）用它的子空间Vj，Wj 表示，其中Vj，Wj分别称为尺度空间和小波 空间。
5
补充：直和
➢ 设E是线性空间，L1，L2，…，Ln是E的子空 间，如果任一元素x∈E可以惟一表示成 x=x1+x2+…+xn,其中xk ∈ Lk(k=1,2,…,n),则称 E是L1，L2，…，Ln的直和，记为：

小波变换与多分辨率分析课件


有效地去除信号中的噪声。
02
小波变换在信号压缩中的应用
小波变换可以将信号分解为近似分量和细节分量，通过去除细节分量，
可以实现信号的压缩。
03
小波变换在信号恢复中的应用
小波变换可以捕捉到信号中的突变部分，通过逆变换，可以恢复出原始
信号。
多分辨率分析在图像处理中的实验演示
多分辨率分析在图像去噪中的应用
领域也有广泛的应用。
算法复杂度
小波变换的算法复杂度相对 较低，容易实现，而多分辨 率分析的算法复杂度较高， 实现相对困难。
小波变换与多分辨率分析的未来展望
01
应用领域拓展
02
算法优化
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
03
结合其他技术
小波变换和多分辨率分析在信号处理、 图像处理、数据压缩等领域已经得到 广泛应用，未来随着技术的不断发展， 它们的应用领域将会更加广泛。
小波变换的应用
小波变换在图像处理中有着广泛的应用，例如图像压缩、去噪、
01
重建等。
02
小波变换在音频处理中也得到了广泛应用，例如音频压缩、去
噪、特征提取等。
小波变换还被广泛应用于信号处理、数字水印、雷达信号处理
03
等领域。
02
多分辨率分析基
多分辨率分析的定 义
定义概述
多分辨率分析是信号处理中的一种重要技术，它通过在不同尺度上分析信号，能够同时获得信号的时间和频率信息。
定义背景
随着信号处理技术的发展，人们逐渐认识到仅通过傅里叶分析无法完全揭示信号的时频特性，因此需要一种更全面的 分析方法。
定义目的 多分辨率分析旨在提供一种框架，将信号分解成不同尺度的成分，以便更精细地描述信号的时频特性。

007-小波分析(第二讲)-多分辨率分析与正交小波变换


ψ m,n构成 一个框架
ψ m,n构成 一个正交基
non-orthogonal orthogonal DWT DWT 冗余 无冗余
北京科技大学 机械工程学院
18/ 73
Haar小波
1, 0 t 1/2 (t) - 1, 1/2 t 1 0 , others
小波进行重构的基本条件
北京科技大学 机械工程学院
6/ 73
信号的重构---如何进行离散小波逆变换？

连续小波变换的逆变换
x(t ) 1 C


0
da 1 t WT (a, ) ( )d a 2 R a a

( w)
w
2
R
dw
只要满足“可容许条件”，即可进行逆变换

dense
j
V

j
{0}
f Vn f V0
f (2 n t ) V0
f (t n) V0 , 对所有n Z
正交基存在性 ψV0 使得{ψ(tn):nZ}是V0的 正交基。
可放宽为Reisz基，因为由Reisz 基可构造出一组正交基来
北京科技大学 机械工程学院 27/ 73

1986年秋，Mallat和Meyer提出了MRA框架

统一了在此之前的小波构造 提供了构造新的小波基方便的工具
北京科技大学 机械工程学院
22/ 73
小结

连续小波离散小波的关键问题：


离散的方式 尺度因子、平移因子 离散后构成框架、Reisz基或正交基 信号的重构 母小波的构造
14/ 71
小波分析中的框架

小波框架 小波母函数，经过平移和伸缩后构成一系列小波函 数，实际中都要将平移和伸缩因子离散化。
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Vj
Wj-1
Vj-1
小波空间是两个相邻尺度空间的差，也就是说空间Wj包含了函数f投影 到尺度空间Vj与Vj-1间的细节差别，因此小波空间有时又称为细节空间。
3.1.3 L2 (R) 基于正交尺度函数和小波 函数的分解
为了生成一个MRA，在小波函数已经确定的情 况下，需要构造与之对应的尺度函数。反之， 如果已知尺度函数， 则需要构造与之对应的 小波函数
Riesz条件的频域表达（定理3.2)
如果函数 g(x) 满足Riesz条件
2
A {ck} 2 ck g(x k) B {ck} 2
k
那么
g ( )
满足下列不等式，
A gˆ( 2 k) 2 B
k
反之亦然。
定理3.3
(x) 的平移族 {(x k),k Z} 构成空间 V0 的 正交规范基的必充条件是
第三章 多分辨分析与 正交小波的构造
3.1 多分辨率分析
3.1.1 L2 (R) 的小波空间分解
如果有一个正交小波，它的二进尺度伸缩平移 函数族
jk (x) 2 j 2 (2 j x - k)
将构成中的正交规范基。
L2 (R) closL2{ jk (x); j, k Z 2}
进而任何函数 f (x) L2 (R) 可以展开为二重求和的
f (t k1) f (t k2 )dt (k1 k2 )
R
L2 (R) 的小波空间分解理论上是完美的，
实践中是行不通的
※小波级数的双重无限和难以实现f (x) d jk jk (x)
j k
无穷级数表达式是否有可能用有限求和范围作 近似处理？
※ k 表征平移位置，只须在有限范围内取值
※ j 对应信号的某一频率范围，在正整数域中 取值的上界总是有限的，在负整数域中取值至 -∞ 是不可避免的
小波级数:
f (x)
d jk jk (x)
j k
d jk
f , jk
进而有
f (x)
d jk jk g j (x)
jk
j
g j ( x) d j,k j,k ( x)
k
g j (x) 是信号 f (x) 中含有的以第j级小波的平移
函数族为基的展开式, 可简称为 f (x) 的第 j 级
MRA中特殊情况：
正交尺度函数
(x k),(x m) km
jk , jm km
Vj空间
V0空间
正交小波函数
jk , ml jm kl
小波函数与尺度函数正交
(x k), (x l) 0
在上述前提下，小波级数可改写为
f (x) AJ (x)
d jk jk (x) aJkJk
我们可以将不同的量化级数构成的空间看成不同的多 分 像辨处空理间的角Vj，度显，然多这分些辨量空化间空的间分是解相可互以嵌理套解的为，图从像图的 分解，假设有一幅256级量化的图像，不妨将它看成 量 间 放化中在空的Wj间图-1空像V间j中有的一图部像分，保则留在Vj VjV-1j空1 间W中j1，可还理有解一为部Vj空分
尺度函数
如果函数(x) 的平移族是空间V0的Riesz基
V0 closL2(R) (x k), k Z
则称 (x) 为一个尺度函数。
目标：下式成立
Vj closL2 (R) jk , k Z ;j Z
(3.1.13)
jk 2j/2(2j x k), j, k Z2
定理3.1: 如果 (x) 是 V0 空间的Riesz基,并且 它和小波函数 (x) 存在如下关系
(x) hl1l 2 hl(2x l) (x) 2 gl(2x l)
l
l
则式(3.1.13)成立
l
二尺度关系
具有潜套性，完备性，稠密性，互补性， 尺度性质的空间序列{ Vj , j Z }称为由尺度 函数 (x) 生成的一个多分辨率分析(MRA)
对于一幅图像，量化级数决定了图像的分辨率，量化 级数越高，图像就越清晰，即图像的分辨率高。对于 任意一幅图像，都可以用不同的量化空间来表示，细 节比较丰富的部分用高分辨率来表示，细节比较单一 的部分可用低分辨率来表示。
22
H ()
1 2
k
hk e jk
G()
1 2
k
gk e jk
ˆ
()
H
(
2
)ˆ(
2
)
H
(
2
)H
(
4
)ˆ(
4
)......
ˆ(0)
k 1
H
(
2k
)
尺度函数完全由二尺度关系中的序列{hk}确定
＝1
从信号处理的角度，h是与(t)对应的低通滤波器， g是与(t) 对应的高通滤波器
{h，g}既可以表示为时域上的离散序列形式 {hk，gk}kZ，也可以表示为频域上的2周期函数 {h()，g()}。两者本质上是一样的。
3.1.2 尺度空间的定义和性质
J 级尺度空间
VJ
W J 1
j j
尺度空间的性质
※潜套性
V1 V0 V1
※完备性 ※稠密性 ※互补性 ※尺度性质
closL2
(V j j
)
L2
(R)
Vj
j
.
Vj1 Vj Wj
逼近性
f (x) Vj f (2x) Vj1, f (x / 2) Vj1
d jk jk (x)
jJ k
k
jJ k
J 1
AJ (x) d jk jk ajk f (x), jk (x) ; d jk f (x), jk (x) j
3.2 正交小波构造的理论基础
二尺度关系的频域表达
()
1 2
k
hk
e
j 2
k
(
2
)
H
(
2
)
(
2
)
ˆ () G( )ˆ( )
ˆ( 2k) 2 1
推论3.1
根据定理3.2和3.3, 可推出如下结论: 如果 g(x) 是尺度空间 V0 的Riesz基，那么由
ˆ()
gˆ ( )
1/ 2
gˆ (
2k
)
2
k
所确定的函数 (x) 的平移族 {(x k),k Z}
是同一尺度空间的正交规范基。
Poisson公式
1.设f (t k)，k Z是一组正交规范的函数集合：
小波分量
第j级小波空间
Wj
clos. L2 {
jk
( x); k
Z}
.
.
.
.
L2(R)
W
j j
... W1
W0
W1 ...
如果 (x) 是正交小波，则
Wj Wk , j k
L2(R)
W
j j
...W1
W0
W1
...
L2(R)
W
j j
...W1
W0
W1
...