第12章 双正交小波及小波包

352 / 49第12章 双正交小波及小波包我们在上一章给出了正交小波的构造方法。

正交小波有许多好的性质，如)()(),(',,'k k t t k j k j -=δφφ，)()(),(',,'k k t t k j k j -=δψψ，0)(),(',,=t t k j k j ψφ ，此外，尺度函数和小波函数都是紧支撑的，有着高的消失矩等等。

Daubechies 给出的正交小波的构造方法可以方便的构造出所需要的小波(如DBN ，SymN ，CoifN)。

但是，正交小波也有不足之处，即)(t φ和)(t ψ都不是对称的，尽管SymN 和CoifN 接近于对称，但毕竟不是真正的对称，因此，这在实际的信号处理中将不可避免地带来相位失真。

)(t φ和)(t ψ的不对称性来自所使用的共轭正交滤波器组)(0z H 和)(1z H 的不对称性。

我们已在7.8节讨论了具有线性相位的双正交滤波器组的基本概念，给出了可准确重建的双正交滤波器组的设计方法。

本章，我们把这些内容引入到小波分析，给出适合小波变换的双正交滤波器组准确重建的条件，给出双正交条件下的多分辨率分析及双正交小波的构造方法，最后简要讨论小波包的基本概念12.1 双正交滤波器组现在，我们结合小波变换的需要来研究双正交滤波器组的内在关系及实现准确重建的条件。

所谓“小波变换的需要”是指在用)(0z H 对)(0z a 分解时需要将)(0z H 和)(1z H 的系数作时间上的翻转，即用的是)(10-z H 及)(11-z H ，或)()(00n h n h -=,)()(11n h n h -=，见(10.6.1)式及图10.6.2。

将图10.6.2的正变换和图10.6.3的反变换结合起来，我们可得到如图12.1.1所示的一级分解和重建的类似于两通道滤波器组的信号流图。

注意，图中用于重建的滤波器不再是图10.6.3中的)(0z H 和)(1z H ，而是)(ˆ0z H 和)(ˆ1z H ，它们分别是)(0z H 和)(1z H 的对偶滤波器。

有关“对偶”的概念见1.6节，在下面的讨论中将涉及对偶滤波器的作用。

现在我们来分析该图中各信号之间的关系及实现PR 的条件。

由第七章关于两通道滤波器组的理论，我们有353 / 49图12.1.1 双正交滤波器组)2()()(001n h n a n a *=)2(),()2()(0000n k h k a n k h k a k-=-=∑ (12.1.1a))2()()(101n h n a n d *=)2(),()2()(101n k h k a n k h k a k-=-=∑ (12.1.1b))(ˆ)()(ˆ)()(ˆ1'10'10n h n d n h n a n a *+*=∑∑-+-=lll n h l d l n h l a )2(ˆ)()2(ˆ)(1101(12.1.2)将(12.1.1)式代入(12.1.2)式，有)2(ˆ)2(),()(ˆ0000l n h l k h k a n a l--=∑)2(ˆ)2(),(11l n hl k h k a l--+∑(12.1.3)(12.1.1)式是用一组向量{}Z k n n k h n k h ∈--,),2(),2(10对)(0n a 作分析，(12.1.3)式是用一组对偶向量{}Z l n l n h l n h ∈--,),2(ˆ),2(ˆ10对)(0n a 作综合。

(12.1.3)式还可表为 )354 / 49)()2(ˆ),2()(ˆ0000k a l n h l k h n a l∑--=)()2(ˆ),2(011k a l n hl k h l∑--+(12.1.4)显然，如果)()2(ˆ),2(00k n l n h l k h -=--δ(12.1.5a))()2(ˆ),2(11k n l n h l k h -=--δ(12.1.5b)则)(2)(ˆ00n a n a= 从而实现了准确重建。

(12.1.5)式的含意是，在图12.1.1中，同一条支路上的两个滤波器)(ˆ),(00n h n h 或)(ˆ),(11n h n h 的偶序号位移之间是正交的。

但是该式没有涉及上下支路两个滤波器之间的关系。

我们更关心的是这些滤波器系数的移位可否构成小波分析中的基函数。

下面的两个定理清楚地回答了该问题。

定理12.1 对图12.1.1所示的两通道滤波器组，对任意的输入信号)(0n a ，其准确重建的充要条件是：0)(ˆ)()(ˆ)(1*10*0=+++ωπωωπωH H H H (12.1.6a) 及2)(ˆ)()(ˆ)(1*10*0=+ωωωωH H H H(12.1.6b)证明：仿照(7.1.5)式的导出，有[])()(ˆ)()(ˆ)(21)(ˆ01110100z A z H z H z H z H z A --+=[])()(ˆ)()(ˆ)(210111010z A z H z H z H z H --+-+--(12.1.7)355 / 49式中)(0z A 、)(ˆ0z A 分别是)(0n a 和)(ˆ0n a 的z 变换，)(0z A -是混迭分量。

因此，为消除混迭失真，应有0)(ˆ)()(ˆ)(111010=-+---z H z H z H z H(12.1.8a)为保证系统的准确重建，应有k cz z H z H z H z H ---=+2)(ˆ)()(ˆ)(111010(12.1.8b)式中c 和k 均为常数。

令1=c ，0=k ，(12.1.8)式对应的频率表示是：0)(ˆ)()(ˆ)(1*10*0=+++ωπωωπωH H H H 2)(ˆ)()(ˆ)(1*10*0=+ωωωωH H H H 于是定理得证。

对比图7.1.1的两通道滤波器组，其对应的PR 条件是（见(7.1.5)式）：0)()()()(1100=-+-z G z H z G z H(12.1.9a)2)()()()(1100=+z G z H z G z H(12.1.9b)将(12.1.9)和(12.1.8)式相比较可以看出，在双正交滤波器组的情况下，我们分别用)(ˆ0z H 、)(ˆ1z H 代替了)(0z G 和)(1z G ，并在分析滤波器组中，用)(10-z H 、)(11-z H 分别代替了)(0z H 和)(1z H 。

其实，(12.1.8)式导出的原理和(12.1.9)式是完全一样的。

由(12.1.6a)式，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++**02)(ˆ)(ˆ)()()()(101010ωωπωπωωωH H H H H H(12.1.10)可求出356 / 49⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡**)()()(det 2)(ˆ)(ˆ0110πωπωωωωH H H H H(12.1.11)式中)()()()()(det 0110πωωπωωω+-+=H H H H H(12.1.12)显然，为了保证对偶滤波器)(ˆ0z H 和)(ˆ1z H 是稳定的，)(det ωH 在ππω~-=的范围内应该非零。

为了保证)(ˆ0z H 和)(ˆ1z H 是FIR 的，)(det ωH 应取纯延迟的形式。

仿照(7.2.16)式对)(0z G 和)(1z G 的定义，我们可给出在双正交条件下对偶滤波器和分析滤波器之间的关系：)(ˆ)(0)12(1πωωω+=*+-H e H l j(12.1.13a))()(ˆ0)12(1πωωω+=*+-H e H l j(12.1.13b)或)(ˆ)(10)12(1-+--=z H z z H l(12.1.14a))()(ˆ10)12(1-+--=z H z z H l(12.1.14b)假定0=l ，它们对应的时域关系是)1(ˆ)1()(011n h n h n --=+(12.1.15a))1()1()(ˆ011n h n h n --=+(12.1.15b)357 / 49注意，上述时域、频域关系均是在图12.1.1中的交叉方向上给出的，它正好反映了双正交滤波器组的特点。

将(12.1.13)式代入(12.1.6)式，我们可得到如下的关系：2)(ˆ)()(ˆ)(0000=+++**πωπωωωH H H H(12.1.16a)或2)(ˆ)()(ˆ)(1111=+++**πωπωωωH H H H (12.1.16b)及0)(ˆ)()(ˆ)(1010=+++**πωπωωωH H H H(12.1.17a)或0)(ˆ)()(ˆ)(0101=+++**πωπωωωH H H H(12.1.17b)至此，我们给出了在双正交滤波器组中的若干基本关系，即(1) 去除混迭条件：(12.1.6a)式； (2)PR 条件：(12.1.6b)式；(3) 保证PR 条件和滤波器均为FIR 的情况下，四个滤波器在时域和频域的关系：(12.1.13)式～(12.1.17)式。

回顾在共轭正交滤波器组的情况下，我们经常用到的功率互补关系，即2)()(2020=++πωωH H ，或2)()()()(0000=+++**πωπωωωH H H H(12.1.18)显然，若)()(ˆ00z H z H =，则(12.1.16a)式即变成(12.1.18)式，也即双正交滤波器组变成了正交滤波器组。

有了以上讨论的基础，我们可给出在小波分析中要用到的“基”的概念。

定理12.2[8] 如果图12.1.1中的四个滤波器)(0z H ，)(1z H ，)(ˆ0z H 和)(ˆ1z H 满足准358 / 49确重建条件，且它们的傅里叶变换均是有界的，则Z l l n h l n h ∈--)},2(ˆ),2(ˆ{10 和 Z l l n h l n h ∈--)},2(),2({10 是)(2R L 中的双正交Riesz 基。

证明：为证明0h 、1h 、0ˆh 及1ˆh 的偶序号项移位是双正交的，我们需要证明如下三个关系成立：)()2(),(ˆ00n n k h k h δ=-(12.1.19a))()2(),(ˆ11n n k h k h δ=-(12.1.19b)及0)2(),(ˆ)2(),(ˆ0110=-=-n k h k h n k h k h(12.1.19c)由(12.1.16a)式，有[]1)(ˆ)()(ˆ)(210000=+++**πωπωωωH H HH 该式对应的时域关系是)()2()(ˆ)2(ˆ00n n k h k hn h h k δ=-=*∑∞-∞=(12.1.20)于是(12.1.19a)式得证。