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第3章 紧支撑小波基的构造3.1紧支撑正交小波的构造3.1.1构造紧支撑正交小波的条件● 用多分辨分析构造小波的基本思想是：由尺度函数ϕ→正交尺度函数φ→滤波器h →滤波器g →小波ψ。
● 通常做法：从滤波器h 出发→正交尺度函数φ→正交小波函数ψ。
● 考虑有限冲激响应滤波器FIR 序列h ＝{0h ，1h ，...，N h }，它在满足什么条件才能使两尺度方程0()(2)Nk t h t k φφ==-存在解2()()t L R φ∈，并且它是2()L R 中的正交尺度函数。
由于ˆ()φω1jj =∞= （3－2） 式(3-2)由频域形式两尺度方程ˆˆˆ()(/2)(/2)φωωφω=递推而得, ˆˆˆ()(/2)(/2)φωωφω=ˆˆˆ(/2)(/4)(/4)h ωωφω=ˆˆˆ(/2)(/4)(/4)hωωφω=…ˆˆˆˆ(/2)(/4)...(/2)(/2)j j h h ωωωφω=ˆˆˆˆ(/2)(/4)...(/2)j j j j h h ωωω=∞==因此，问题可进一步阐述为，离散滤波器系数0h 、1h 、…,N h在满足什么条件下，无穷积1j j =∞收敛于2()L R 中的某个正交尺度函数()t φ的傅里叶变换ˆ()φω。
从正交多分辨分析可知，若φ为正交尺度函数，h 是对应φ的两尺度函数的滤波器，则h 满足以下条件： 1）0,2n k k n kh h δ+=∑ （3－3）2）k kh =∑ （3－4）3）ˆ()φω1jj =∞= （3－5） 可以证明，式（3－3）和式（3－4）仅是是构造正交小波的必要条件，并非充分条件。
一些结论性的条件：1.充分条件11） 0,2n k k n kh h δ+=∑ 2）k kh =∑3） 在[,]22ππ-上，ˆ()h ω0≠ 2.充分条件2（Mallat,1989）1）0,2n k k n kh h δ+=∑ 2）k kh =∑3）2ˆinf ()0hπωω≤> inf 是下确界, 即最大的下界.3. 充分条件3 ( Lawton,1990)1）0,2n k k n kh h δ+=∑ 2）k kh =∑3）矩阵,(2121))(()i j N N A a --⨯=的特征值1是非退化的（不变，或是倍数，但不退化为零），其中*,021,1Ni j k k j i ka h h N i j N =-+=-+≤≤-∑ （3－6）4. 充分条件4 (Daubechies,1988)1）0,2n k k n kh h δ+=∑ 2）k kh =∑3）p 阶消失矩条件01ˆ()(e )2pi i e h F ωωω-⎫+=⎪⎭（3－7）其中，当=ωπ时，0(e )0i F ω≠，且0|(e )|i F ω在=02ωπ范围内的上界值-12p ≤。
基于卷积型正交条件的小波构造方法张小燕;吐尔洪江·阿布都克力木;冯惠;热依木汗·热西提【摘要】文章通过采用卷积型正交条件提出了一种正交小波的构造方法。
通过做这些得到的小波是包含Daubechies小波紧支撑特性的特殊小波。
在一些受限制的条件下，通过改变小波中的自由参数来分析构造几个对称并且近乎紧支撑的小波。
%This paper proposes a new method for constructing orthogonal wavelet by using the orthogonal wave⁃let transform .Such wavelet function contains the Daubechies’ compactly supported wavelets as a special case .In some restrained cases ,several symmetric and almost compactly supported wavelets are constructed analytically by tuning free convolution parameters contained in the wavelet function.【期刊名称】《新疆师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)004【总页数】6页(P47-52)【关键词】紧支撑;卷积参数;线性相位;小波【作者】张小燕;吐尔洪江·阿布都克力木;冯惠;热依木汗·热西提【作者单位】新疆师范大学数学科学学院，新疆乌鲁木齐830054;新疆师范大学数学科学学院，新疆乌鲁木齐830054;新疆师范大学数学科学学院，新疆乌鲁木齐830054;新疆师范大学数学科学学院，新疆乌鲁木齐830054【正文语种】中文【中图分类】O174.21987年Ma11at提出的多分辨率分析是构造小波的一个非常重要的概念【1】。
研究生课程考试答题纸研究生学院第一题 正交小波基的构造和性质一、 由尺度函数构造正交小波基1．由正交尺度函数{}Z k k t ∈-)(φ构造正交小波基，构造步骤如下： （1）选择)(t φ或)(ωΦ使{}Z k k t ∈-)(φ为一组正交基。
（2）求)(n h ：>-=<)(),()(k t t n h φφ (1-1)或)()2()(ωωωΦΦ=H (1-2)（3）由)(n h 求)(n g ：1)1()(+-⋅-=n n h n g (1-3)或)(πωωω=-e G j (1-4)（4）由)(n g ，)(t φ构造正交小波基函数)(t ψ：∑-=nn n t g t )()(,1φψ (1-5)或)2()2()(ωωωΦ⋅=ψG (1-6)例1 ．Haar 小波的构造 选择尺度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤=其他,010,1)(t t φ显然{}Z k k t ∈-)(φ为一正交归一基，则⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎰其他,01,0,21)2()(2n n t x dt h n φφ 由式（1-3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⋅-=+-其他,01,210,21)1()(1n n h n g n n可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-<≤==-=--其他,0121,1210,1)(21)(21)(1,10,1t t t t t φφψ 例2．由尺度函数为Riesz 基时构造正交小波基函数要找到一个多分辨率分析的尺度函数)(t φ，使它的整数平移构成一个正交系列，有时候不太方便。
但要找到一个函数，使它的整数位移构成一个Riesz 基{}Z k k t ∈-)(φ来构造一个多分辨率框架，从而构造一组正交小波基。
首先给出Riesz 基的定义：设函数{}Z k k t ∈-)(φ张成的空间为0V 的Riesz 基的充分必要条件为存在两常数∞<>B A ,0，使得对于所有)()(2Z L C Z k k ∈∈都有222)(∑∑∑≤-≤kk kk kk C B k t C C A φ (1-7)可以证明式（1-7）等价于∞<≤+Φ≤<--∑B l A l121)2()2()2(0ππωπ因此我们可以定义一个)()(2#R L t ∈φ，使得)(])2([)(212#ωπωωΦ⋅+Φ=Φ-∑ll显然，)(#ωΦ满足1)2(2#=+Φ∑ll πω即)(#k t -φ是正交基。
1第5讲 正交小波构造5.1 正交小波概述5.2 由)(0n h 递推求解)(t φ的方法。
5.3 消失矩、规则性及支撑范围 5.4 Daubechies 正交小波构造5.5 接近于对称的正交小波及Coiflet 小波我们在上一讲中集中讨论了离散小波变换中的多分辨率分析，证明了在空间0V 中存在正交归一基}),({Z k k t ∈-φ，由)(t φ作尺度伸缩及位移所产生的},),({,Z k j t k j ∈φ是j V 中的正交归一基。
)(t φ是尺度函数，在有的文献中又称其为“父小波”。
同时，我们假定j V 的正交补空间j W 中也存在正交归一基},),({,Z k j t k j ∈ψ，它即是小波基，)(t ψ为小波函数，又称“母小波”。
本章，我们集中讨论如何构造出一个正交小波)(t ψ。
所谓“正交小波”，指的是由)(t ψ生成的}),({Z k k t ∈-ψ，或j W 空间中的正交归一基},),({,Z k j t k j ∈ψ。
Daubechies 在正交小波的构造中作出了突出的贡献。
本章所讨论的正交小波的构造方法即是以她的理论为基础的。
25.1 正交小波概述现在举两个大家熟知的例子来说明什么是正交小波及对正交小波的要求, 一是Haar 小波，二是Shannon 小波。
1.Haar 小波我们在4..1节中已给出Haar 小波的定义及其波形， Haar 小波的尺度函数)(t φ。
重写其定义，即⎪⎩⎪⎨⎧-=011)(t ψ 其它12/12/10<≤<≤t t (5.1.1)⎩⎨⎧=01)(t φ 其它10<≤t (5.1.2)显然, )(t ψ的整数位移互相之间没有重叠，所以)()(),(''k k k t k t -=--δψψ，即它们是正交的。
同理，)()(),(',,'k k t t k j k j -=δψψ。
很容易推出)(t ψ和)(t φ的傅里叶变换是4/4/sin )(22/ωωωωj je-=ψ2/2/sin )(2/ωωωωj e-=Φ注意式中ω实际上应为Ω。
- 352 -第12章 双正交小波及小波包我们在上一章给出了正交小波的构造方法。
正交小波有许多好的性质，如)()(),(',,'k k t t k j k j -=δφφ，)()(),(',,'k k t t k j k j -=δψψ，0)(),(',,=t t k j k j ψφ ，此外，尺度函数和小波函数都是紧支撑的，有着高的消失矩等等。
Daubechies 给出的正交小波的构造方法可以方便的构造出所需要的小波(如DBN ，SymN ，CoifN)。
但是，正交小波也有不足之处，即)(t φ和)(t ψ都不是对称的，尽管SymN 和CoifN 接近于对称，但毕竟不是真正的对称，因此，这在实际的信号处理中将不可避免地带来相位失真。
)(t φ和)(t ψ的不对称性来自所使用的共轭正交滤波器组)(0z H 和)(1z H 的不对称性。
我们已在7.8节讨论了具有线性相位的双正交滤波器组的基本概念，给出了可准确重建的双正交滤波器组的设计方法。
本章，我们把这些内容引入到小波分析，给出适合小波变换的双正交滤波器组准确重建的条件，给出双正交条件下的多分辨率分析及双正交小波的构造方法，最后简要讨论小波包的基本概念12.1 双正交滤波器组现在，我们结合小波变换的需要来研究双正交滤波器组的内在关系及实现准确重建的条件。
所谓“小波变换的需要”是指在用)(0z H 对)(0z a 分解时需要将)(0z H 和)(1z H 的系数作时间上的翻转，即用的是)(10-z H 及)(11-z H ，或)()(00n h n h -=,)()(11n h n h -=，见(10.6.1)式及图10.6.2。
将图10.6.2的正变换和图10.6.3的反变换结合起来，我们可得到如图12.1.1所示的一级分解和重建的类似于两通道滤波器组的信号流图。
注意，图中用于重建的滤波器不再是图10.6.3中的)(0z H 和)(1z H ，而是)(ˆ0z H 和)(ˆ1z H ，它们分别是)(0z H 和)(1z H 的对偶滤波器。
1第5讲 正交小波构造5.1 正交小波概述5.2 由)(0n h 递推求解)(t φ的方法。
5.3 消失矩、规则性及支撑范围 5.4 Daubechies 正交小波构造5.5 接近于对称的正交小波及Coiflet 小波我们在上一讲中集中讨论了离散小波变换中的多分辨率分析，证明了在空间0V 中存在正交归一基}),({Z k k t ∈-φ，由)(t φ作尺度伸缩及位移所产生的},),({,Z k j t k j ∈φ是j V 中的正交归一基。
)(t φ是尺度函数，在有的文献中又称其为“父小波”。
同时，我们假定j V 的正交补空间j W 中也存在正交归一基},),({,Z k j t k j ∈ψ，它即是小波基，)(t ψ为小波函数，又称“母小波”。
本章，我们集中讨论如何构造出一个正交小波)(t ψ。
所谓“正交小波”，指的是由)(t ψ生成的}),({Z k k t ∈-ψ，或j W 空间中的正交归一基},),({,Z k j t k j ∈ψ。
Daubechies 在正交小波的构造中作出了突出的贡献。
本章所讨论的正交小波的构造方法即是以她的理论为基础的。
25.1 正交小波概述现在举两个大家熟知的例子来说明什么是正交小波及对正交小波的要求, 一是Haar 小波，二是Shannon 小波。
1.Haar 小波我们在4..1节中已给出Haar 小波的定义及其波形， Haar 小波的尺度函数)(t φ。
重写其定义，即⎪⎩⎪⎨⎧-=011)(t ψ 其它12/12/10<≤<≤t t (5.1.1)⎩⎨⎧=01)(t φ 其它10<≤t (5.1.2)显然, )(t ψ的整数位移互相之间没有重叠，所以)()(),(''k k k t k t -=--δψψ，即它们是正交的。
同理，)()(),(',,'k k t t k j k j -=δψψ。
很容易推出)(t ψ和)(t φ的傅里叶变换是4/4/sin )(22/ωωωωj je-=ψ2/2/sin )(2/ωωωωj e-=Φ注意式中ω实际上应为Ω。
由于Haar 小波在时域是有限支撑的，因此它在时域有着极好3的定位功能。
但是，由于时域的不连续引起频域的无限扩展，因此，它在频域的定位功能极差，或者说频域的分辨率极差。
上一章指出，Haar 小波对应的二尺度差分方程中的滤波器是：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21,21)(0n h ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=21,21)(1n h(5.1.5)它们是最简单的两系数滤波器。
2.Shannon 小波令t tt ππφsin )(=(5.1.6)则⎩⎨⎧=Φ01)(ω 其它πω≤ (5.1.7)由于 ⎰ΦΦ=--ωωωπφφd k t k t k k )()(21)(),(',0*,0')(21')('k k d e k k j -==⎰---δωπππω (5.1.8)所以{}Z k k t ∈-),(φ构成0V 中的正交归一基。
)(t φ称为Shannon 小波的尺度函数。
由于0,0)(V t k ∈φ，100-=⊕V W V ，由二尺度性质，1)2(V k t ∈-φ，因此⎩⎨⎧=Φ-01)(,1ωk其它πω2≤ (5.1.9)这样，对0)(W t ∈ψ，有⎩⎨⎧=ψ01)(ω其它πωπ2≤< (5.1.4.)4于是可求出)2/3cos()2/2/sin ()(t t t t πππψ= (5.1.11)读者可很容易验证)()(),(''k k k t k t -=--δψψ(5.1.12)也即}),({Z k k t ∈-ψ构成0W 中的正交归一基。
其实，从频域可以看到，)(,ωk j ψ和)(,ωk j Φ各自及相互之间的整数移位都没有重叠，因此它们是正交的，如图5.1.1所示。
5图5.1.1 Shannon 小波及其尺度函数度频域波形显然，Shannon 小波在频域是紧支撑的，因此，它在频域有着极好的定位功能。
但频域的不连续引起时域的无限扩展，也即时域为Sinc 函数。
这样，Shannon 小波在时域不是紧支撑的，有着极差的定位功能。
Haar 小波和Shannon 小波是正交小波中两个极端的例子。
自然，我们欲构造的正交小波应介于两者之间。
以前给出了能作为小波的函数)(t ψ的基本要求，即：)(t ψ应是带通的；由于⎰=0)(dtt ψ，因此它应是振荡的；)(Ωψ应满足容许条件；)(Ωψ还应满足稳定性条件；此外，)(t ψ、)(Ωψ最好都是紧支撑的。
由二尺度差分方程，)(ωΦ、)(ωψ均和)(0ωH 、)(1ωH 有着内在的联系。
重写(4..4.14)式和(4..4.15)式，有∏∏∞=∞=-==Φ110'0)2(2)2/()(j j jj H H ωωω(5.1.13))2()2/(2)2/(2)2/()(2'0'1201ωωωωωjj j j H H H H -∞=∞=∏∏==ψ (5.1.14)6这两个式子明确指出，正交小波及其尺度函数可由共扼正交滤波器组作无限次的递推来产生。
这一方面给我们指出了构造正交小波的途径，另一方面也指出，在(5.1.13)和(5.1.14)式的递推过程中还存在着一个收敛的问题，这就要求对小波函数还要提出更多的要求，如5.3节要讨论的消失矩和规则性等问题。
为说明这些问题，我们在下一节首先讨论如何由(5.1.13)和(5.1.14)式递推求解)(ωΦ和)(ωψ的问题，并说明其中可能存在的问题。
5.2 由)(0n h 递推求解)(t φ的方法。
(4..4.4)式给出了由)(),(10n h n h 递推求解)(t φ和)(t ψ的方法。
即(5.2.1b)此即二尺度差分方程，对应的频域关系由(5.1.13)和(5.1.14)式给出。
假定)(t φ和)(t ψ事先是未知的，当然(5.2.1)式无法利用，这时可用(5.1.13)式或(5.1.14)式递推求解)(t φ和)(t ψ。
若令∏-==120)(0)()(J j J jz H z H(5.2.2a)并用它来近似)(ωΦ，那么(5.2.2a)式对应的时域关系是)(**)(*)()()1(0)1(0)0(0)(0n h n h n h n h J J -=(5.2.2b)7式中)()(0)0(0n h n h =,)()1(0n h 是由 )()0(0n h 每两点插入一个点所得到的新序列。
同理，)()2(0n h 是将)()0(0n h 每两点插入3122=-个零所得的新序列。
假定)()(0)0(0n h n h =的长度为N ，则 )()1(0n h 的长度为12-N ，)(*)()1(0)0(0n h n h 的长度为23-N ，)()2(0n h 的长度为13+N ， ,其余可类推。
由此可以看出，(5.2.2)式卷积的结果将使 )()(0n h J 的长度急剧增加。
例如，若令{}1,3,3,182)(0=n h ，则{}{}1,0,3,0,3,0,1*1,3,3,1)82()(2)1(0=n h {}1,3,6,10,12,12,10,6,3,1)82(2={}{}1,0,0,0,3,0,0,0,3,0,0,0,1*1,3,6,10,12,12,10,6,3,1)82()(2)2(0=n h 如此，当J 趋近于无穷时，)()(0ωJ H 逼近)(ωΦ，)()(0n h J “逼近”连续函数)(t φ，但这一“逼近”，需要将接近于无限长的)()(0n h J 压缩回到有限的区间内。
由于)(0n h 的长度为N ，我们假定)(t φ的“长度”也为N ，只不过此处范围1~0-N 代表的是连续时间t 的序号。
也即，)(t φ的时间持续区间是1~0-N ，在这一范围内应包含)()(0n h J 的所有点，压缩比等于)()(0n h J 的长度/N 。
MATLAB 中的wavefun.m 文件可以实现上述的递推算法。
对(5.2.1a)式，若令 ∑∞-∞=+-=n i i n t x n h t x )2()(2)(01(5.2.3)并令⎩⎨⎧=01)(0t x其它10<≤t (5.2.4)8则当∞→i 时，)(t x i 逼近尺度函数)(t φ。
若给定{}1,3,3,182)(0=n h ，则利用(5.2.3)式递推的结果如图5.2.1所示。
由该图可以看出，)(1t x ,)(2t x 都是阶梯状的分段连续曲线，当8=i 时，)(8t x 已是一光滑的连续曲线。
这说明，按给定的)(0n h ，(5.1.13)式求出的)(ωΦ是收敛的。
假定将)(0n h 改为{}1,3,3,142)(0--=n h ，则由(5.2.3)和(5.2.4)式递推的结果示于图5.2.2[4.,21]。
这时的)(8t x 产生了较强的振荡，它不会收敛于一个连续的、平滑的且是低通的尺度函数)(t φ。
总之，二尺度差分方程及其频域关系给出了由滤波器组递推求解正交尺度函数和正交小波的方法。
但是，这种递推并不保证总是收敛的，它涉及到离散情况下的正则性条件等问题。
5.3 消失矩、规则性及支撑范围1．消失矩(Vanishing moments) 令⎰∞∞-=dt t t m k k )(ψ(5.3.1)为小波函数)(t ψ的k 阶矩。
由傅里叶变换的性质，我们很容易得到90)()(=-ψ-=ωωωkk kk d d j m(5.3.2)如果)(ωψ在0=ω处有p 阶重零点，即 )()(0ωωωψ=ψp ,0)(00≠ψ=ωω(5.3.3)则⎰∞∞-==0)(dt t t m k k ψ，1,,1,0-=p k(5.3.4)我们说小波函数)(t ψ具有p 阶消失矩。
显然，若0=k ，这即是容许条件。
假定信号)(t x 为一个1-p 阶的多项式，即∑-==1)(p k k k t t x α(5.3.5)再假定)(t ψ有p 阶消失矩，由(5.3.4)式，显然0)(),(=t t x ψ也即，)(t x 的小波变换恒为零。
若)(t x 可展成一高阶的多项式(如用台劳级数)，如N 阶，p N >。
那么其中阶次小于p 的多项式部分(对应低频)在小波变换中的贡献恒为零，反映在小波变换中的只是阶次大于P 的多项式部分，它们对应高频端，这就有利于突出信号中的高频成分及信号中的突变点。
从这个角度讲，我们希望)(t ψ能具有尽量高的消失矩。
消失矩越高，)(ωψ在0=ω处越平滑地为零，越具有好的带通性质。
由(4..3.17)式)(),()(,t t x k d k j j ψ=10正是信号)(t x 的小波变换，)(k d j 是在尺度j 时的小波系数。
