正交小波基的构造和性质

正交小波的多分辨分析的研究
正交小波是一种特殊的小波函数，其具有正交性质，能够用于信号的多分辨分析。

多分辨分析是一种信号处理方法，可以将信号进行不同尺度的分解和重构，从而获取信号的更多细节信息。

正交小波的多分辨分析研究，主要包括正交小波的构造和性质、多尺度分解与重构方法、正交小波的应用等方面。

正交小波的构造是正交小波多分辨分析研究的重要内容。

正交小波是通过特定的算法和公式来构造的，常见的正交小波有Haar小波、Daubechies小波、Coiflet小波等。

这些正交小波具有不同的性质和应用场景，可以根据具体需求选择合适的正交小波进行多分辨分析。

多尺度分解与重构方法是正交小波多分辨分析的核心内容。

多尺度分解是将信号分解成不同尺度的子信号，通过正交小波的低通滤波器和高通滤波器对信号进行滤波，得到低频子信号和高频子信号。

多尺度重构则是将这些子信号进行逆变换，得到重构的信号。

多尺度分解与重构方法可以通过迭代的方式，实现对信号的多层分解和重构，从而获得不同尺度的信号细节。

正交小波的应用广泛，包括信号压缩、图像处理、音频处理等领域。

正交小波多分辨分析可以提取信号的局部特征，减小信号的冗余，从而实现信号的压缩和存储。

在图像处理中，正交小波可以提取图像的边缘、纹理等特征，实现图像的去噪、增强等操作。

在音频处理中，正交小波可以提取音频的频谱特征，实现音乐合成、音频识别等应用。

正交小波的多分辨分析是一种强大的信号处理方法，具有广泛的应用前景。

随着研究的深入和发展，正交小波的构造和性质、多尺度分解与重构方法、正交小波的应用等方面将会得到更好的理论支持和实际应用。

研究生课程考试答题纸研究生学院第一题 正交小波基的构造和性质一、 由尺度函数构造正交小波基1．由正交尺度函数{}Z k k t ∈-)(φ构造正交小波基，构造步骤如下： （1）选择)(t φ或)(ωΦ使{}Z k k t ∈-)(φ为一组正交基。

（2）求)(n h ：>-=<)(),()(k t t n h φφ (1-1)或)()2()(ωωωΦΦ=H (1-2)（3）由)(n h 求)(n g ：1)1()(+-⋅-=n n h n g (1-3)或)(πωωω=-e G j (1-4)（4）由)(n g ，)(t φ构造正交小波基函数)(t ψ：∑-=nn n t g t )()(,1φψ (1-5)或)2()2()(ωωωΦ⋅=ψG (1-6)例1 ．Haar 小波的构造 选择尺度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤=其他,010,1)(t t φ显然{}Z k k t ∈-)(φ为一正交归一基，则⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎰其他,01,0,21)2()(2n n t x dt h n φφ 由式（1-3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⋅-=+-其他,01,210,21)1()(1n n h n g n n可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-<≤==-=--其他,0121,1210,1)(21)(21)(1,10,1t t t t t φφψ 例2．由尺度函数为Riesz 基时构造正交小波基函数要找到一个多分辨率分析的尺度函数)(t φ，使它的整数平移构成一个正交系列，有时候不太方便。

但要找到一个函数，使它的整数位移构成一个Riesz 基{}Z k k t ∈-)(φ来构造一个多分辨率框架，从而构造一组正交小波基。

首先给出Riesz 基的定义：设函数{}Z k k t ∈-)(φ张成的空间为0V 的Riesz 基的充分必要条件为存在两常数∞<>B A ,0，使得对于所有)()(2Z L C Z k k ∈∈都有222)(∑∑∑≤-≤kk kk kk C B k t C C A φ (1-7)可以证明式（1-7）等价于∞<≤+Φ≤<--∑B l A l121)2()2()2(0ππωπ因此我们可以定义一个)()(2#R L t ∈φ，使得)(])2([)(212#ωπωωΦ⋅+Φ=Φ-∑ll显然，)(#ωΦ满足1)2(2#=+Φ∑ll πω即)(#k t -φ是正交基。

正交小波的多分辨分析的研究一、正交小波的基础概念正交小波是一类具有正交性质的小波函数，它可以用来对信号进行分解和重构。

正交小波具有一些重要的性质，比如尺度不变性和平移不变性，这使得它在信号处理中具有广泛的应用价值。

二、正交小波的多分辨分析在多分辨分析中，我们希望能够通过分解信号，得到不同尺度的频率成分，从而更好地理解信号的频率特性。

正交小波可以帮助我们实现这一目标，通过将信号分解成不同频率的成分，从而得到信号的多尺度表示。

正交小波的多分辨分析方法可以分为两种：连续多尺度分析和离散多尺度分析。

在连续多尺度分析中，我们使用正交小波将信号进行连续分解，从而得到信号的各种尺度的频率成分。

而在离散多尺度分析中，我们使用正交小波将信号进行离散分解，通常采用小波变换来实现。

正交小波的多分辨分析理论包括小波变换、尺度函数和小波基函数等重要内容。

小波变换是正交小波多分辨分析的核心，它可以将信号分解成不同尺度的频率成分。

尺度函数是用来描述不同尺度下的小波基函数的性质，它可以帮助我们理解不同尺度下的信号特征。

而小波基函数则是正交小波分解和重构的基础，它可以帮助我们实现信号的多尺度表示。

正交小波的多分辨分析在信号处理、图像处理、数据压缩等领域都有重要的应用。

在信号处理中，正交小波可以用来分析和处理非平稳信号，从而得到信号的时频特性。

在图像处理中，正交小波可以用来进行图像的多尺度分析和特征提取，从而实现图像的压缩和识别。

在数据压缩中，正交小波可以用来对数据进行分解和压缩，从而实现数据的有效存储和传输。

结论：正交小波的多分辨分析是一种重要的信号处理方法，它可以帮助我们实现信号的多尺度表示和分析。

通过对正交小波的多分辨分析的研究，我们可以更好地理解信号的频率特性和时域特性，从而实现对信号的更好处理和分析。

希望通过本文的介绍，可以对正交小波的多分辨分析有一个更全面的了解，从而推动该领域的进一步发展和应用。

小波基的选择依据【转】小波基的选择依据影响图像压缩效果的因素主要有：（1）小波基的数学特征，主要包括小波基的紧支性、对称性、正交性、正则性、消失矩等。

（2）图像本身的特点。

小波基的数学特性（1）紧支性如果尺度函数和小波函数是紧支撑的，则对应的H,G滤波器是有限冲击响应（FIR）滤波器，信号在分解和重构快速算法中的运算量是有限的。

该特征也决定了小波的时-频局部化特征，紧支宽度越窄，小波的局部化特性越好，紧支撑小波避免了滤波过程中的截断误差，因此应用精度很好。

但是一个函数不可能在时域和频域都是紧支的，最多有一个是紧支的，另一个是急衰的，一般希望小波基能够在时域上具有紧支性。

（2）对称性对称滤波器组在图像重建中更为有利，这有两点原因：1.人类视觉系统对边缘附近的对称的量化误差较非对称的误差更为不敏感；2.紧支撑小波的线性相位特性与小波的对称性是等价的。

对图像进行小波变换时，需要对图像的边界数据进行周期延拓，对于线性相位的小波基，通过周期延拓，重建信号在边界处不会产生较大失真，而对于非线性相位的小波基，边界数据失真则比较明显，会导致巨大的感官误差。

（3）正交性和双正交性正交小波对应一个正交镜像滤波器组，即低通滤波器和高通滤波器正交。

Daubechies已证明，除Harr小波外，一切具有紧支集的规范正交小波基及与之相关的尺度函数都不可能以实轴上的任何点为对称轴或反对称轴。

也就是说，除Harr小波基外，其他的小波函数无法同时满足紧支性、正交性和对称性。

但是Harr小波基的局部化性能很差，很少用于实际应用。

为了获得线性相位（对称性），需要放松对正交性的限制，分解和合成过程使用不同的滤波器，从而获得更大的设计自由度，克服上述缺点。

与单正交小波不同，双正交小波基有两个尺度函数和两个小波函数构成。

双正交小波降低了对正交性的要求，保留了正交小波的一部分正交性，使小波获得了线性相位和较短支集的特性。

（4）正则性正则性是对函数光滑程度的一种描述，也是函数频域能量集中度的一种度量。

尺度函数与正交小波基的构造作者：朱梅樊中奎来源：《电脑知识与技术》2015年第29期摘要：该文首先介绍了小波变换的起源和应用领域，首先介绍了尺度函数、小波函数、尺度空间、小波空间，并在之基础上对正交小波基进行实验分析，给出了二维正交小波基的构造方法，并应用Haar小波进行图像进行分析和压缩，实验结果表明压缩效果较好。

关键词：小波变换；信号分析；图像压缩中图分类号：TP3 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）29-0209-031 概述小波是上世纪80年代中期出现的一门现代技术，由法国工程师J.Morlet在1974年首先提出的，该技术的发展经历了：短时窗口傅立叶变换、Gabor变换、时频分析、小波变换等阶段的发展[1]。

1986年著名数学家Y.Meyer构造出第一个光滑的小波基对小波， 1988年S.Mall建立了构造小波基的方法，并提出多分辨率分析的概念[2]。

在此之后小波分析得到了快速的发展，比利时数学家 I. Doubechies 发表的《小波十讲》对小波分析的理论及应用的普及起了重要推动作用[3]。

目前小波分析在数学领域可以快速数值构造、阈值分析；在信号分析领域能够进行信号滤波、去噪等；在影像领域能够进行压缩、识别、分类等；在医学领域中可以提高CT、B超的效率缩短时间；并在机械故障诊断、地震勘探等方面都取得了重要的研究成果，有力的推动科学技术的发展[3]。

2 尺度函数与小波函数2.1 尺度函数与尺度空间定义函数[φ（t）∈L2（R）]为尺度函数（scale function）[4]，若其整数平移系列[φk（t）=φ（t-k）]满足αjm，n，βjm，n，γjm，n]与小波空间[W1j，W2j，W3j]相对应[sjm，n]为尺度空间[Vj]的尺度展开系数。

2）长方块形式的二维正交小波基与二维正交小波变换正交基的尺度在两个方向上是不同的，形象称为的长方形正交小波基。

[f（x，y）]在长方块二维正交小波基下的展开公式为[f（x，y）=j=1∞m=1∞k，ndj，mk，nψj，k（x）∙ψm，n（y）] （3.1）其中[dj，mk，n=f（x，y）ψj，k（x）ψm，n（y）dxdy] （3.2）称之为长方块形式下的二维正交小波变换系数，[j，m]是两个方向上的尺度，位移[k，n]是两个尺度下的。

多贝西小波定义
多贝西小波（Daubechies wavelets）是由比利时数学家Ingrid Daubechies 在1988年提出的一种正交小波基。

它是一种用于信号处理和数据压缩的数学工具，能够将信号在时频域上进行有效的分析和表示。

多贝西小波是一类紧支撑正交小波基，它具有非常好的时域局部化以及频域局部化特性。

多贝西小波的基函数是通过特定的滤波器系数来构造的，这些滤波器系数可以控制小波基函数在时域和频域的特性。

多贝西小波具有一系列重要的性质，如紧支撑性、正交性、可逆性和多分辨率性等。

这些性质使得多贝西小波在信号处理领域中得到了广泛应用，包括图像压缩、图像去噪、图像增强、数据压缩、信号分析等。

多贝西小波的定义是通过一组滤波器系数来实现的，这些滤波器系数决定了多贝西小波的基函数的形状和特性。

根据滤波器系数的不同选择，可以得到不同类型的多贝西小波，如db1、db2、db3等。

每一种多贝西小波都具有特定的频域和时域特性，可以根据具体应用的需求选择合适的多贝西小波。

总而言之，多贝西小波是一种用于信号处理的数学工具，具有良好的时频局部化特性，被广泛应用于图像压缩、信号分析、数据压缩等领域。

小波变换特性分析与选择合适的小波基函数引言小波变换是一种非常重要的信号处理方法，它具有时频局部化的特性，能够在时域和频域上对信号进行分析。

在小波变换中，选择合适的小波基函数是非常关键的，不同的小波基函数对信号的分析效果有着很大的影响。

本文将对小波变换的特性进行分析，并探讨如何选择合适的小波基函数。

一、小波变换的特性分析1.1 时频局部化特性小波变换具有时频局部化的特性，即能够在时域和频域上对信号进行局部分析。

这使得小波变换在处理非平稳信号时具有很大的优势，能够更好地捕捉信号的瞬态特征。

1.2 多分辨率分析小波变换采用了多分辨率分析的思想，即通过不同尺度的小波基函数对信号进行分解。

这使得小波变换能够同时提供信号的低频和高频信息，从而更全面地描述信号的特征。

1.3 压缩性小波变换具有压缩性，即能够用较少的小波系数来表示信号。

这使得小波变换在信号压缩和去噪方面有着广泛的应用。

二、选择合适的小波基函数2.1 正交小波基函数正交小波基函数是一类常用的小波基函数，其具有良好的正交性质，能够保持信号的能量不变。

常见的正交小波基函数有Haar小波、Daubechies小波和Symlet小波等。

选择正交小波基函数时，需要考虑信号的特性和分析的目的，不同的正交小波基函数适用于不同类型的信号。

2.2 非正交小波基函数非正交小波基函数是另一类常用的小波基函数，其具有更好的时频局部化性质，能够更精确地描述信号的瞬态特征。

常见的非正交小波基函数有Morlet小波、Gabor小波和Mexican Hat小波等。

选择非正交小波基函数时，需要考虑信号的瞬态特征和分析的要求，不同的非正交小波基函数适用于不同类型的信号。

2.3 选择合适的小波基函数的方法选择合适的小波基函数需要考虑以下几个方面：（1）信号的特性：不同类型的信号具有不同的特性，如平稳性、非平稳性、周期性等。

选择小波基函数时，需要根据信号的特性来确定适合的小波基函数。

（2）分析的目的：不同的分析目的需要选择不同的小波基函数。