基于流水线结构的cordic算法的实现摘要系统在处理数据的时候，一个指令周期含有多个时钟脉冲，每个脉冲周期由不同的部件完成不同的操作。
非流水线结构是指一个指令周期完成以后再接受下一条处理数据的指令；而流水线结构，每个时钟脉冲都接受下一条处理数据的指令，只是不同的部件做不同的事情，就象生产线流水操作一样，并不是等一个或一批产品做完，再接受下一批生产命令，而是每个工序完成以后，立即接受下一批生产任务。
这样提高了系统处理数据的速度。
随着超大规模集成电路(Very Large Scale Integrated circuits , VLSI)技术的飞速发展,经常需要用硬件快速和精确地进行三角函数值的计算,而坐标旋转算法(Coordinate Rotational Digital Computer, CORDIC)能够将多种难以用硬件电路直接实现的复杂的三角函数运算分解为统一的加减、移位操作,极大地降低了硬件设计的复杂性。
在现代信号处理中,经常会遇到三角函数、超越函数和坐标转化等问题。
传统的实现方法有查找表多项式展开等方法，但是这些方法在精度、速度、简单性和效率方面往往不能兼顾。
CORDIC 算法则可以很好地兼顾这几方面的要求。
CORDIC算法只使用移位和加减运算，硬件实现简单。
使用流水线结构，每级CORDIC使用独立的单元，这样使运算速度非常快。
当流水线填满之后，每个时钟周期就会得到一个结果。
从CORDIC算法的基本原理出发，讨论其工作过程以及旋转角的覆盖范围，在此基础上，给出具有流水线结构的FPGA实现方法以及增益因子的大小与流水线级数的确定关系，给出了verilog实现算法，在Quartus6.0调试与仿真，验证采用FPGA实现的CORDIC算法的有效性。
关键词： CORDIC 算法 旋转 迭代 verilog 语言 流水线一、 CORDIC 算法原理CORDIC ，即坐标旋转算法（Coordinate Rotations Digital Computr ），是由Voider J 等人于1959 年在设计美国航空导航控制系统的过程中提出来的算法。
其基本思想是通过一系列固定的、与运算基数相关的角度不断偏摆以逼近所需的旋转角度。
由于这些固定的角度与计算基数有关，运算只有移位和加减。
这在FPGA 实现上就有了很大的优势，可以大大的节约硬件资源。
CORDIC 算法包括圆周系统、线性系统、双曲系统，利用三种系统可以实现多种超越函数，再利用函数之间的关系就可以实现更广泛的函数运算。
该算法可以把某个坐标在直角坐标系(x, y)和极坐标系(,)R θ之间进行坐标变换。
1971 年Walter J 提出了统一CORDIC 算法，引入参数m 将CORDIC 算法实现的三种迭代模式圆周、线性和双曲线变换都包括了进来。
统一于一个表达式下，形成目前所用到的CORDIC 算法最基本的数学基础。
如图1-1，初始角为向量1V 旋转角度θ后得到新的向量2V ，根据简单的几何关系有：211211cos sin (1) cos sin (2)x x y y y x θθθθ=-⎧⎨=+⎩经过整理式（1）和式（2），可以得到：211211cos (tan ) (3)cos (tan ) (4)x x y y y x θθθθ=-⎧⎨=+⎩ 从上述分析可知，假设向量经过i 次旋转，每次旋转的角度记作i θ,每一次旋转的角度方向记作i d (−1或+1) ,这样经过n 次旋转后，总共转过的角度为1n i ii d ϕθ==∑我们可将cos θ去除，就得到了伪旋转公式如下：*2*21111tan tan x y y x x y θθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ 即旋转所得到的（y,x)较真实的值变大-1cos θ倍，但是这样可以简化cordic 过程。
正是通过每次旋转的角度的累积来接近所需要旋转的角度，这样就需要一个因子来判断下一步的旋转向什么方向，即应该加上还是应该减去新旋转的角度。
所以，上述旋转方程应该添加一个旋转因子，即：-1-1-22i i i i i i i i i ix x d y y y d x ++⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 在这里，引入一个角度累加器，来判别旋转因子1-i i i i z z d θ+=下面写出经过推广的CORDIC 算法：1/21/21/21/21/211()(0)1tan()cos() (5)()(0)tan()1()(0) n i i i i i i ni i i x n x m d m m y n y m d m z n z d θθθθ==⎛⎫-⎡⎤⎡⎤= ⎪⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎝⎭=+∏∑ (6)其中m =1对应图（1）的圆周旋转运算，而m = −1或0分别对应双曲旋转运算和线性旋转运算，i d 表示旋转的方向，i d =-1表示顺时针旋转，i d =1表示逆时针旋转。
为了表示方便，对式（5）中的1/2tan()i m θ做强制约束，使其等于2i -，这样带来的好处是1/2tan()i m θ就转换成了硬件中的移位运算。
---() (7)-() arctan(2) 12 0 (8)arctan (-2) -1i i i i i i i sign z d sign y m m h m θ⎧=⎨⎩⎧=⎪==⎨⎪=⎩旋转模式向量模式 式（6）和式（5）等价于以下的迭代公式：-1-11-22 (9)-i i i i i i i i i i i i i i x x d y y y d x z z d θ+++⎧=⎪=+⎨⎪=⎩使结果0n z →的旋转称为旋转模式，使0n y →的旋转称为向量模式，旋转过程会带来系数的变换，为了校正，引入校正系数K 。
-1-2-1/20-2-1/21(12)110 (10)-1(1-2)n i i n i i m K m m ==⎧+⎪=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎪⎩∏∏ 经过计算，当n 趋近于无穷大时， 1.6467K ≈，1/0.6073K ≈，最终可以通过乘以1/K 来矫正旋转得到的数据。
根据推导，式（9）的n 次迭代可以得到如下结果（m=1，旋转模式）00000000cos -sin cos sin (11)0n n n x x z y z y y z x z z =⎧⎪=+⎨⎪→⎩给定初始条件00,0x K y ==，迭代结果为00cos sin 0n n nx z y z z =⎧⎪=⎨⎪→⎩所以，将所需产生的角度值作为0z 输入，迭代结果输出n x 和n y 就是需要的三角函数值。
采用的迭代方程组为式（9）。
二、 设计分析与实验过程因为角度测定范围要覆盖~ππ-，确定数据格式为 ***.****,****，****，*共计16位，最高位是符号位，而后是两个整数位，低13位为小数位。
按照上面提及的迭代序列：0,1,2，…n-1，所覆盖的角度只有99.9~99.9-+ ，而一般都要求覆盖~ππ-，所以我们采用增加迭代的方法来扩大角度覆盖范围，即增加两个i = 0的迭代，则移位序列为0,0,0,1,2,…n-1。
系统采用流水线结构，总计有18（16+两个0）级流水单元，示意图如图2所示。
图2中的加法单元实际可以完成加减运算，移位器所执行的移位操作则与移位序列对应，角度序列i θ选用如下序列，需存储的角度值（弧度）为下表（1）表1：计算正余弦时的初始弧度值图2：按照图2的结构，用VHDL 描述流水线结构，各流水单元功能简单描述如下表2：各流水单元功能描述在圆周系统中，旋转模式下判决因子：=()di sign zi ，因此，我们输入0x 和0z ，通过迭代，使0z 趋近于0，就可以计算0cos()z 和0()sin z 。
当要计算的角度为30度时，每次旋转的值如下：三、硬件实现使用的主要工具是quartus ii和modelSim SE6.5，其中验证的时候还使用了matlab程序加以验证。
我们的仿真结果如下：其中定标方式采用如下：角度值：8Q ， 三角函数值：14Q 计算正余弦值，输入的角度依次是20°30°40°50°60°70°,得到的结果如下：由上述结果可以看出，cordic 算法的精度很高，完全能够满足工程需要。
流水线结构的cordic 速度快，当流水线填满后，每次时钟周期都能够输出一个结果。
只使用移位和加减运算，方便硬件电路的实现。
利用不同的旋转模式和不同的坐标系统以及各种函数之间的关系，coridc 还可以完成更多的超越函数运算，我们完成了三角函数、乘除法、双曲函数、指数、对数的运算。
四、 实验心得与体会大学期间，学习和实践都很重要，实践是为了将我们的理论知识运用到现实生活中。
只有学以致用，才能到达我们学习的目的。
只有不断地付诸实践，才可能会有回报。
在这次科研训练中，我们加强了自己的思考能力和动手能力，对所学的知识有了更深刻的认识。
大学里的学习专业性很强，所以我们要开阔自己的视野，在实践中锻炼自我，发现自己各方面的不足，只有这样才能够提高自己的思考问题的能力和解决问题的能力。
此次科研训练，我们尽力使其完善，也得到了各方面的帮助，但由于经验及专业方面的知识不是很充足，所以也会存在一些不可避免的问题。
我们经常说“学以致用”，很多人感慨在大学里学到的很多知识在工作的时候无法应用。
但是从这次科研训练的过程和结果来看，实践的过程是运用理论知识的最佳时机。
在此要非常感谢在科研训练中给我们提供了很大指导和帮助的老师，我们正是有了你们的细心教导，才能顺利完成了任务。
五、参考文献[1] 杨宏, 李国辉, 刘立新. 基于FPGA的CORDIC算法的实现[J]. 西安邮电学院学报, 2008年1月, 13(1).[2] 李滔, 韩月秋. 基于流水线CORDIC算法的三角函数发生器[J]. 系统工程与电子技术, 2000, 22(4).。
![基于并行流水线设计的CORDIC加速器[发明专利]](https://img.taocdn.com/s1/m/f7bf7ea7be1e650e53ea99a0.png)
