运动的描述、匀变速直线运动的研究 第3讲 运动图象 追及相遇问题模拟 新人教版必修一

冠夺市安全阳光实验学校第3节运动图象、追及和相遇问题知识点1 直线运动的x­t图象1．物理意义反映了做直线运动的物体位移随时间变化的规律．2．两种特殊的x­t图象(1)若x­t图象是一条倾斜的直线，说明物体做匀速直线运动．(2)若x­t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态．3．x­t图象中的“点”“线”“斜率”“截距”的意义知识点2 直线运动的v­t图象1．图象的意义反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律．2．两种特殊的v­t图象(1)若v­t图象是与横轴平行的直线，说明物体做匀速直线运动．(2)若v­t图象是一条倾斜的直线，说明物体做匀变速直线运动.3．v­t图象中的“点”“线”“斜率”“截距”“面积”的意义知识点3 追及和相遇问题1．追及问题的两类情况(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度．(2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近．2．相遇问题的两类情况(1)同向运动的两物体追及即相遇．(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇．1．正误判断(1)无论是x­t图象还是v­t图象都只能描述直线运动．(√)(2)x­t图象和v­t图象表示物体运动的轨迹．(×)(3)x­t图象与时间轴围成的面积表示物体运动的路程．(×)(4)两条v­t图象的交点表示两个物体相遇．(×)(5)两条x­t图象的交点表示两个物体相遇．(√)(6)两个物体在追及过程中，物体之间的距离总是逐渐减小．(×)(7)速度较大的汽车刹车一定能够避免与前方速度较小匀速运动的汽车相撞．(×)2.(x­t图象)如图1­3­1所示是一物体的x­t图象，则该物体在6 s内的路程是( ) 【：96622012】图1­3­1A ．0 mB ．2 mC ．4 mD ．12 m【答案】 D3. (v ­t 图象)质点做直线运动的速度－时间图象如图1­3­2所示，该质点( )图1­3­2A ．在第1秒末速度方向发生了改变B ．在第2秒末加速度方向发生了改变C ．在第2秒内发生的位移为零D ．第3秒末和第5秒末的位置相同【答案】 D4．(追及相遇问题)两辆完全相同的汽车，沿水平道路一前一后匀速行驶，速度均为v 0.若前车突然以恒定的加速度a 刹车，在它刚停住时，后车以加速度2a 开始刹车．已知前车在刹车过程中所行驶的路程为x ，若要保证两辆车在上述情况中不发生碰撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为( ) 【：96622013】A ．xB.32x C ．2x D.52x 【答案】 B[核心精讲]1．位移—时间(x ­t )图象(1)位移—时间图象反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律，图象并非物体运动的轨迹．(2)位移—时间图象只能描述物体做直线运动的情况，这是因为位移—时间图象只能表示物体运动的两个方向：t 轴上方代表正方向，t 轴下方代表负方向；如果物体做曲线运动，则画不出位移—时间图象．(3)位移—时间图线上每一点的斜率表示物体该时刻的速度，斜率的大小表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向．2．位置坐标(x ­y )图象表示物体位置的坐标图，图线表示物体实际运动的路线，在坐标图上能表示出物体运动的位移．3．速度—时间(v ­t )图象(1)速度—时间图象反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律，它也只能描述物体做直线运动的情况．(2)速度—时间图线上每一点的斜率表示物体该时刻的加速度．(3)速度—时间图线与t轴所围面积表示这段时间内物体的位移．[题组通关]1.某同学以校门口为原点，向东方向为正方向建立坐标，记录了甲、乙两位同学的位移—时间(x­t)图线，如图1­3­3所示，下列说法中正确的是( )图1­3­3A．在t1时刻，甲的瞬时速度为零，乙的速度不为零B．在t2时刻，甲、乙速度可能相同C．在t2时刻，甲、乙两同学相遇D．在t3时刻，乙的速度为零，加速度不为零C 因为x­t图线的斜率等于物体的速度，所以在t1时刻，甲的瞬时速度不为零，乙的速度为零，选项A错误；在t2时刻，甲、乙速度方向不相同，所以速度不可能相同，选项B错误；在t2时刻，甲、乙两同学位移相同，所以两同学相遇，选项C正确；在t3时刻，乙的位移为零、速度不为零，加速度无法判断，选项D错误．2．如图1­3­4所示是某质点做直线运动的v­t图象，由图象可知这个质点的运动情况是( )图1­3­4A．前5 s质点静止B．5～15 s内质点做匀加速运动，加速度为1 m/s2C．15～20 s内质点做匀减速运动，加速度为－3.2 m/s2D．15 s末质点离出发点最远，20 s末质点回到出发点C 由图象可知，质点前5 s做的是匀速运动，选项A错误；5～15 s内做匀加速运动，加速度为0.8 m/s2，选项B错误；15～20 s内做匀减速运动，其加速度为－3.2 m/s2，选项C正确；质点在20 s末离出发点最远，质点做的是方向不变的直线运动，选项D错误．3．(2014·全国卷Ⅱ)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v­t图象如图1­3­5所示．在这段时间内( )图1­3­5A．汽车甲的平均速度比乙大B．汽车乙的平均速度等于v1＋v22C．甲、乙两汽车的位移相同D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大A 根据v­t图象下方的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，选项C错误；根据v＝xt得，汽车甲的平均速度v甲大于汽车乙的平均速度v乙，选项A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x即汽车乙的平均速度小于v1＋v22，选项B错误；根据v­t图象的斜率反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误．[名师微博]1．两点提醒：(1)x­t图象和v­t图象都只能描述直线运动．(2)x­t图象和v­t图象都不表示物体运动的轨迹，但y­x图象描述物体运动的轨迹．2．两个结论：(1)x­t图象的斜率大小表示物体速度大小，正负表示速度方向，v­t图象的斜率大小表示物体的加速度大小，正、负表示加速度的方向．(2)两x­t图线的交点表示两物体此时刻相遇，而两v­t图线的交点表示两物体此时刻速度相同．[核心精讲]1．追及相遇问题中的一个条件和两个关系(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到．2．追及相遇问题常见的三种情况假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，则：(1)A追上B时，必有x A－x B＝x0，且v A≥v B.(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有x A－x B＝x0，v A＝v B.(3)若使两物体保证不相撞，则要求当v A＝v B时，x A－x B＜x0，且之后v A≤v B.3．解答追及相遇问题的三种常用方法(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的图景．(2)数学极值法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于时间t的一元二次方程，用根的判别式进行讨论．若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ＜0，无解，说明追不上或不能相遇．(3)图象法：将两个物体运动的速度一时间关系在同一图象中画出，然后利用图象分析求解相关问题．[师生共研]甲、乙两车同时同地同向出发，在同一水平公路上做直线运动，甲的初速度v甲＝16 m/s，加速度大小a甲＝2 m/s2，做匀减速直线运动，乙以初速度v乙＝4 m/s，加速度大小a乙＝1 m/s2，做匀加速直线运动，求：(1)两车再次相遇前二者间的最大距离；(2)两车再次相遇所需的时间． 【合作探讨】(1)两车间距最大时应满足什么条件？提示：甲、乙两车速度相等．(2)两车相遇时应满足什么条件？提示：甲、乙两车的位移相等．【规范解答】 解法一 用物理分析法求解(1)甲、乙两车同时同地同向出发，甲的初速度大于乙的初速度，但甲做匀减速运动，乙做匀加速运动，则二者相距最远时速度相等，即v 甲t ＝v 乙tv 甲t ＝v 甲－a 甲t 1；v 乙t ＝v 乙＋a 乙t 1， 得：t 1＝v 甲－v 乙a 甲＋a 乙＝4 s相距最远Δx ＝x 甲－x 乙＝⎝ ⎛⎭⎪⎫v 甲t 1－12a 甲t 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 乙t 1＋12a 乙t 21＝(v 甲－v 乙)t 1－12(a 甲＋a 乙)t 21＝24 m.(2)再次相遇的特征是：二者的位移相等，即 v 甲t 2－12a 甲t 22＝v 乙t 2＋12a 乙t 22，代入数值化简得 12t 2－32t 22＝0解得：t 2＝8 s ，t ′2＝0(即出发时刻，舍去)．解法二 用数学极值法求解(1)两车间的距离Δx ＝x 甲－x 乙＝⎝ ⎛⎭⎪⎫v 甲t －12a 甲t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 乙t ＋12a 乙t 2＝(v 甲－v 乙)t －12(a 甲＋a 乙)t 2＝12t －32t 2＝－32[(t －4)2－16]显然，t ＝4 s 时两者距离最大，有Δx m ＝24 m. (2)当Δx ＝12t －32t 2＝0时再次相遇，解得：t 2＝8 s ，t ′2＝0(舍去)． 【答案】 (1)24 m (2)8 s求解追及问题的两点技巧1．紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式．2．审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，它们往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．[题组通关]4．甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做匀变速直线运动，t ＝0时刻同时经过公路旁的同一路标，下表是每隔1 s 记录的两车的速率．关于两车的运动，下列说法正确的是( ) 【：96622015】B ．在0～4 s 内，乙车的平均速度较大C ．在0～4 s 内，甲车相对乙车行驶了56 mD ．在乙车追上甲车之前，t ＝5 s 时两车相距最远D 由于两车做匀变速直线运动，据表求得a 甲＝－2 m/s 2，a 乙＝1 m/s 2，选项A 错误；利用匀变速直线运动的平均速度等于速度的平均值，求得0～4 s内两车的平均速度分别为v 甲＝18＋102 m/s ＝14 m/s ，v 乙＝3＋72 m/s ＝5 m/s ，选项B 错误；在0～4 s 内两车的位移分别为x 甲＝14×4 m＝56 m ，x 乙＝5×4 m ＝20 m ，所以甲车相对乙车的位移为x ＝56 m －20 m ＝36 m ，选项C 错误；在乙车追上甲车之前，当两车的速度相同时，两车相距最远，即v 甲＝v 乙，由表中数据得t ＝5 s ，选项D 正确．5．(2017·太原模拟)甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L 1＝11 m 处，乙车速度v 乙＝60 m/s ，甲车速度v 甲＝50 m/s ，此时乙车离终点线尚有L 2＝600 m ，如图1­3­6所示．若甲车加速运动，加速度a ＝2 m/s 2，乙车速度不变，不计车长．求：图1­3­6(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？ (2)到达终点时甲车能否超过乙车？【解析】 (1)当甲、乙两车速度相等时，两车间距离最大，即v 甲＋at 1＝v 乙得t 1＝v 乙－v 甲a ＝60－502s ＝5 s甲车位移x 甲＝v 甲t 1＋12at 21＝275 m乙车位移x 乙＝v 乙t 1＝60×5 m＝300 m此时两车间距离Δx ＝x 乙＋L 1－x 甲＝36 m. (2)甲车追上乙车时，位移关系x 甲′＝x 乙′＋L 1得v 甲t 2＋12at 22＝v 乙t 2＋L 1代入数值并整理得t 22－10t 2－11＝0解得t 2＝－1 s(舍去)或t 2＝11 s 此时乙车位移x 乙′＝v 乙t 2＝660 m因x 乙′＞L 2，故乙车已冲过终点线，即到达终点时甲车不能追上乙车． 【答案】 (1)5 s 36 m (2)不能。

1.3匀变速直线运动图像和追及相遇问题一、v －t 图像1．图像的意义：v －t 图像反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律，它只能描述物体做直线运动的情况．2．图像的斜率：v －t 图线(或切线)的斜率表示物体的加速度．斜率的绝对值表示加速度的大小，斜率为正表示加速度沿规定的正方向，但物体不一定做加速运动；斜率为负，则加速度沿负方向，物体不一定做减速运动． 3．v －t 图线与t 轴所围“面积”表示这段时间内物体的位移．t 轴上方的“面积”表示位移沿正方向，t 轴下方的“面积”表示位移沿负方向，如果上方与下方的“面积”大小相等，说明物体恰好回到出发点．用函数法解决非常规图像问题 二、三类图像 (1)a －t 图像由Δv ＝a Δt 可知图像中图线与横轴所围面积表示速度变化量，如图甲所示． (2)xt－t 图像 由x ＝v 0t ＋12at 2可得x t ＝v 0＋12at ，截距b 为初速度v 0，图像的斜率k 为12a ，如图乙所示．(3)v 2－x 图像由v 2－v 02＝2ax 可知v 2＝v 02＋2ax ，截距b 为v 02，图像斜率k 为2a ，如图丙所示．三、追及相遇问题1．追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置． 2.追及相遇问题的基本物理模型：以甲车追乙车为例．(1)无论v 甲增大、减小或不变，只要v 甲<v 乙，甲、乙的距离不断增大．(2)若v甲＝v乙，甲、乙的距离保持不变．(3)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲、乙的距离不断减小．3．分析思路可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系．通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口．4．常用分析方法(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图．能否追上的判断方法(临界条件法)物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当v B＝v A时，若x B>x A＋x0，则能追上；若x B＝x A＋x0，则恰好追上；若x B<x A＋x0，则不能追上．(2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系，Δx＝0时，表示两者相遇．①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇；③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇．当t＝－b2a时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值．(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．位移－时间图像的交点表示相遇，分析速度－时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系．区分x－t图像和v－t图像1．无论x－t图像、v－t图像是直线还是曲线，所描述的运动都是直线运动，图像的形状反映了x与t、v与t的函数关系，而不是物体运动的轨迹．2．x－t图像中两图线的交点表示两物体相遇，v－t图像中两图线的交点表示该时刻两物体的速度相等，并非相遇．3．位置坐标x－y图像则能描述曲线运动，图线交点表示物体均经过该位置，但不一定相遇，因为不知道时间关系．例题1.如图为一质点做直线运动的v－t图像，下列说法正确的是()A ．BC 段表示质点通过的位移大小为34 mB ．在18～22 s 时间内，质点的位移为24 mC ．整个过程中，BC 段的加速度最大D ．整个过程中，E 点所对应的时刻离出发点最远 【答案】A 【解析】BC 段，质点的位移为x ＝5＋122×4 m ＝34 m ，选项A 正确；在18～22 s 时间内，质点的位移为x ＝12×22 m ＋(－12×22) m ＝0 m ，选项B 错误；由题图看出，CE 段图线斜率的绝对值最大，则CE 段对应过程的加速度最大，选项C 错误；由题图看出，在0～20 s 时间内，速度均为正值，质点沿正方向运动，在20～22 s 时间内速度为负值，质点沿负方向运动，所以整个过程中，D 点对应时刻离出发点最远，选项D 错误．(多选)雨雪天气时路面湿滑，汽车在紧急刹车时的刹车距离会明显增加．如图所示为驾驶员驾驶同一辆汽车在两种路面紧急刹车时的v －t 图像，驾驶员的反应时间为1 s ．下列说法正确的是( )A ．从t ＝0到停下，汽车在湿滑路面的平均速度大于在干燥路面的平均速度B ．从t ＝1 s 到停下，汽车在湿滑路面的平均速度大于在干燥路面的平均速度C ．从t ＝0到停下，汽车在湿滑路面的行驶距离比在干燥路面的行驶距离多15 mD ．从t ＝1 s 到停下，汽车在湿滑路面的加速度是在干燥路面的加速度的0.75倍 【答案】CD【解析】从t ＝0到停下，汽车在湿滑路面的位移为x 1＝30×1 m ＋4×302m ＝90 m平均速度为v 1＝905 m/s ＝18 m/s 汽车在干燥路面的位移为x 2＝30×1 m ＋3×302 m ＝75 m平均速度为v 2＝754m/s ＝18.75 m/s ，x 1－x 2＝15 m ，故A 错误，C 正确；从t ＝1 s 到停下，汽车在湿滑路面的平均速度v 1′＝302m/s ＝15 m/s ，汽车在干燥路面的平均速度 v 2′＝302m/s ＝15 m/s ，故B 错误； 从t ＝1 s 到停下，汽车在湿滑路面的加速度大小a 1＝304m/s 2＝7.5 m/s 2，汽车在干燥路面的加速度大小a 2＝303 m/s 2＝10 m/s 2，则从t ＝1 s 到停下，汽车在湿滑路面的加速度是在干燥路面的加速度的0.75倍，故D 正确．在平直的公路上有甲、乙两辆汽车,它们运动的位置-时间图像如图所示。

第3讲运动图象追及相遇问题板块一主干梳理·夯实基础【知识点1】匀变速直线运动的图象Ⅱ1．直线运动的x­t图象(1)意义：反映了直线运动的物体位移随时间变化的规律。

(2)图线上某点切线的斜率的意义①斜率大小：表示物体速度的大小。

②斜率的正负：表示物体速度的方向。

(3)两种特殊的x­t图象①若x­t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态。

(如图中甲所示)②若x­t图象是一条倾斜的直线，说明物体在做匀速直线运动。

(如图中乙所示)2．直线运动的v­t图象(1)意义：反映了直线运动的物体速度随时间变化的规律。

(2)图线上某点切线的斜率的意义①斜率的大小：表示物体加速度的大小。

②斜率的正负：表示物体加速度的方向。

(3)两种特殊的v­t图象①匀速直线运动的v­t图象是与横轴平行的直线。

(如图中甲所示)②匀变速直线运动的v­t图象是一条倾斜的直线。

(如图中乙所示)(4)图线与坐标轴围成的“面积”的意义①图线与坐标轴围成的“面积”表示相应时间内的位移。

②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正方向；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负方向。

3．直线运动的a­t图象(1)意义：反映了直线运动的物体，加速度随时间变化的规律。

(2)匀变速直线运动的a­t图象，只能是与t轴平行的直线。

(3)图线与坐标轴围成“面积”的意义：速度的变化Δv。

【知识点2】追及和相遇问题1．追及问题的两类情况(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。

(2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。

①同向运动相隔一定的初始距离s0的问题：速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速运动)。

a．若两者速度相等时，追者位移仍小于被追者位移与s0之和，则永远追不上，此时两者间有最小距离。

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第3讲运动的图象追及和相遇问题微知识1 直线运动的图象1．直线运动的x－t图象(1）物理意义：反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律.(2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体此时速度的大小，斜率正负表示物体速度的方向.2．直线运动的v－t图象(1）物理意义：反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律。

（2）斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体此时加速度的大小，斜率正负表示物体加速度的方向。

(3)“面积”的意义①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移.②若面积在时间轴的上方，表示位移方向为正方向；若面积在时间轴的下方，表示位移方向为负方向。

微知识2 追及和相遇问题1．追及问题的两类情况（1）若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度.(2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近.2．相遇问题相向运动的物体,当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。

一、思维辨析（判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。

）1．无论是x－t图象还是v－t图象都只能描述直线运动。

第3讲运动图象追及相遇问题板块一主干梳理·夯实基础【知识点1】匀变速直线运动的图象Ⅱ1．直线运动的x­t图象(1)意义：反映了直线运动的物体位移随时间变化的规律。

(2)图线上某点切线的斜率的意义①斜率大小：表示物体速度的大小。

②斜率的正负：表示物体速度的方向。

(3)两种特殊的x­t图象①若x­t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态。

(如图中甲所示)②若x­t图象是一条倾斜的直线，说明物体在做匀速直线运动。

(如图中乙所示)2．直线运动的v­t图象(1)意义：反映了直线运动的物体速度随时间变化的规律。

(2)图线上某点切线的斜率的意义①斜率的大小：表示物体加速度的大小。

②斜率的正负：表示物体加速度的方向。

(3)两种特殊的v­t图象①匀速直线运动的v­t图象是与横轴平行的直线。

(如图中甲所示)②匀变速直线运动的v­t图象是一条倾斜的直线。

(如图中乙所示)(4)图线与坐标轴围成的“面积”的意义①图线与坐标轴围成的“面积”表示相应时间内的位移。

②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正方向；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负方向。

3．直线运动的a­t图象(1)意义：反映了直线运动的物体，加速度随时间变化的规律。

(2)匀变速直线运动的a­t图象，只能是与t轴平行的直线。

(3)图线与坐标轴围成“面积”的意义：速度的变化Δv。

【知识点2】追及和相遇问题1．追及问题的两类情况(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。

(2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。

①同向运动相隔一定的初始距离s0的问题：速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速运动)。

a．若两者速度相等时，追者位移仍小于被追者位移与s0之和，则永远追不上，此时两者间有最小距离。