2013年武汉市部分重点中学下学期期中联考高二数学(理科)答案

湖北省部分重点中学期中联考高二数学试题（理）命题学校：新洲一中 命题人：谢 绍 义 审题人：张 金 玲 本试卷共21题，满分150分.考试用时120分钟.★ 祝 考 试 顺 利 ★注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卡指定位置.2.考生将答案都直接涂（答）在答题卡上，答在试卷上无效.3.解答题的答案不得超出指定的边框.一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.正多面体的面不可能是正 边形. A.三B.四C.五D.六2.在12的展开式中的有理项是（ ）A.第1、3、6、9、12项B.第1、7、13项C.第1、6、12项D.第7项3.设有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ） A.若//,//,m n αα则//.m nB.若,,//,//,m n m n ααββ⊂⊂则//.αβC.若,,m αβα⊥⊂则.m β⊥D.若,,,m m αββα⊥⊥⊄则//.m α4.将4个相同的小球投入3个不同的盒中，不同的投放结果有（ ） A.34种B.43种C.15种D.30种5.甲、乙两地分别位于北纬45︒、东经60︒和北纬45︒、西经30︒处，则甲、乙两地在纬线圈上的劣弧长与它们的球面距离之比为（ ）A.4C.3:26.在正方体1111ABCD A B C D -中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与1A B 成30︒角的平面的个数为（ ） A.2个B.4个C.6个D.8个7.A 、B 、C 、D 、E 五人住进编号为1、2、3、4、5的五个房间，每个房间只住1人，且B 不住2号房间，B 、C 两人不住编号相邻房间的住法种数为（ ） A.24B.60C.70D.728.在正三棱锥S ABC -中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱SA =，则此三棱锥外接球的半径是（ ）B.C.3D.9.设{}{},,,1,0,1A a b c B ==-，映射:f A B →满足对A 中任何两个不同元素x,y 都有()()f x f y B +∈，则符合条件的映射:f A B →的个数为（ ）A.6B.7C.10D.1310.如右图，ADP ∆为正三角形，O 为正方形ABCD 的中心，且面PAD ⊥面,ABCD M 为正方形ABCD 内一动点，且满足 MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（ ）A B C D 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.若432412345(1)(1)(1)(1)a x a x a x a x a x -+-+-+-+=,则34a a a ++=2 .12.的正方体骨架内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状），则气球体积的最大值为 .13.如右上图，90BAD ∠=︒的等腰直角三角形ABD 与正三角形CBD 所 在平面成60︒的二面角，则AB 与平面BCD 所成角的正弦值 为 .ABCD APDCB14.如右图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，AC=BC=CC 1=1， P 是BC 1上一动点，则1A PC ∆周长的最小值为 .15.右图表中的每一个数都是一个正整数的倒数，起始行（即第0行）为1，每一个数都等于脚下两个数之和，这样写下去，则第7行从左到右的第二个数是 ，第n 行从左到右的第三个数应为 .三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.已知n 的展开式前三项中的x 的系数成等差数列，求展开式中系数最大的项.17.已知AB 、CD 是夹在两个平行平面,αβ间的异面直线，A 、C α∈，B 、D β∈，AC=6，BD=8，AB=CD=10，AB 、CD 成60︒角，求异面直线AC 和BD 所成的角.PCABA 1C 1B18.以下两问的结果均用数字作答.（1）记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求这6个人排成一排，2位老人相邻且不排在两端，有多少种不同的排法？（2）把6名志愿者全部安排到某地区的A 、B 、C 三个学校支教，每个学校至少安排一名志愿者，有多少种不同的安排方法？19.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D 中，M 、N 、P 、Q 分 别为AD 、CD 、BB 1、C 1D 1的中点. （1）求点P 到平面MNQ 的距离； （2）求直线PN 与平面MPQ 所成角.20.已知等比数列{}n a 的首项为31232mm m C A +-⋅，公比是421()4x x +展开式中的第二项（按x 的降幂排列）.（1）用n 、x 表示通项n a 与前n 项和n S ；（2）若12112(1)n nn n n n n A C S C S C S -=-++-，用n 、x 表示n A .21.如下图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB//CD ，AB ⊥AD ，AD=CD=2AB=2，侧面∆APD 为等边三角形，且点P 在底面ABCD 内的射影在AD 上. （1）若E 为PC 的中点，求证：平面PAC ⊥平面BDE ；（2）若M 为PA 上一动点，当M 在何位置时，PC//平面MDB ？并说明理由； （3）若点G 为∆PBC 的重心，求二面角G —BD —C 的大小.ACBPDACα湖北省部分重点中学期中联考高二数学试题参考答案（理）一、选择题二、填空题11. 1412.43π 13.14. 315.156()()211n n n -+ 三、解答题16.解：由条件知21211222o nnn C C C ⎛⎫⋅=+⋅ ⎪⎝⎭，即2980n n -+= 得8n =或1n = ∵2n ≥ ∴8n = （4分） 又展开式通项为32781218812rrr rrr r T C C x--+=⋅⋅=⋅⋅（6分）设1r T +系数最大，则1881188111221122r r r r r r r r C C C C ++--⎧⋅≥⋅⎪⎪⎨⎪⋅≥⋅⎪⎩解得2 3.r ≤≤ 又*r N ∈ 故2r =或3（10分）∴系数最大的项为311212377T x x ==4和T .（12分）17.解：如图，过点C 作CE//AB 交平面β于E ，连结BE 、DE.∵αβ∴AC ∥BE即四边形ACEB 为平行四边形. ∴∠DCE 或其补角为AB 、CD 所成角.由题意得60DCE ︒∠=或120︒（4分） 又BE//AC.故∠DBE 或其补角为AC 和BD 所成角.（6分）当60DCE ︒∠=时，由于CD=10，CE=AB=10 10DE ∴=又6BE AC == 8BD BED =∴为直角三角形90DBE ︒∠= （9分）当120DCE ︒∠=时.103DE =14BE BD DE +=<，不符合题意. 故异面直线AC 和BD 所成的角为90 ︒. （12分）18.解：（1）先从4名志愿者中任选2人安排在两端，有24A 种排法，再把2名老人及其它人进行安排，故有412432144A A A =种不同的排法.（4分）（2）分三类：①一个学校安排4个，其余各1个.有14236290C C A =种. （6分）②一个学校安排3个，一个学校安排2个，一个学校安排1个.有32136313360C C C A =种 （9分）③三个学校均安排2个.有22264290C C C =种 （11分）由加法原理，共有90+360+90=540种不同的安排方法.（12分）19.解（1）由于N 、Q 分别为CD 、C 1D 1中点，故NQ//CC 1//BB 1//BP ∴平面MNQ ，故点B 到平面MNQ 的距离即点P 到平面NMQ 的距离. （2分）连BD 交MN 于H ，由于MN//AC ， AC ⊥BD ，故BH ⊥MN又NQ ⊥平面ABCD ，BH ⊂面ABCDNQ BH ∴⊥，又MN NQ N ⋂=xyzBH ∴⊥平面MNQ ，BH 的长即为所求（4分）1124DH MN AC ==∴33244BH BD ==（6分）（2）设点N 到平面MPQ 的距离为h ，由N MPQ P MNQ V V --=得324MPQ MNQS h S a ∆∆= 又21222MNQ S a ∆=⨯=（8分）在MPQ ∆中，2226MP AM AB BP =++=，同理6MQ PQ == 223633)428MPQ S a ∆∴== 2223234433h a ∴= （10分）设PN 与平面MPQ 所成角为θ，则322sin 6h PN a θ===PN MPQ ∴2与平面所成角为 （12分）（2）（向量法）以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直面坐标系， 则D （0，0，a ）、(,0,)2a M a 、(0,,)2a N a 、(0,,0)2a Q 、(,,)2aP a a 、(,,)B a a a (,,)22a a MP a =-，(,,)22a a MQ a =--，(,,)22a aPN a =--设平面MPQ 的法向量为(,,)n x y z =，则00220022xz y n MP x z x y y z n MQ z ⎧+-=⎪⎧⋅==-⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⋅=⎩⎪⎪⎩-+-=⎪⎩PE 令1z =,得(1,1,1)n =- 设PN 与平面MPQ 所成角为θsin 33a n PN n PNθ-⋅=== ∴直线PN 与平面MPQ 所成角为arcsin320. 解：（1）由32312m m m ≤+⎧⎨≤-⎩，得3m =，911911a C A ∴==，公比13421()4q C x x x =⋅⋅=11*1()n n n a a q x n N --∴==∈（3分）当11,;1,1nn n x x S n x S x -==≠=-时当时1111nn n x S x x x=⎧⎪∴=⎨-≠⎪-⎩（6分）（2）当123411,234(1)n nn n n n n n x A C C C C nC -==-+-++-时01231111111(1)n n n n n n n nC nC nC nC nC -------=-+-++-01231111111[(1)]n n n n n n n n C C C C C -------=-+-++-0=（9分）当122111,[(1)(1)(1)(1)]1n nn n n n n x A C x C x C x x-≠=---++---时=()()12112211(1)(1)1n nn n nn n n n n n C C C C x C x C x x--⎡⎤-++---++-⎣⎦-1223311[1(1)]1(1)(1)1n n nn n n n n n C x C x C x C x x x x x -=-+-++---==-- （12分）综合得()1111n n x A x x -=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩（13分）21. 解法一：（1）证：设点O 为点P 在面ABCD 内的射影，则PO ⊥面ABCD ，PO ⊥AD.又APD ∆为正三角形..O AD OC ∴为中点,连 由于ABCD 为直角梯形，且AD=CD=2，AB=1.CDO DAB ∴∆≅∆ ,OC BD PO ABCD ∴⊥⊥又面 ,2,PC BD PD CD E PC ∴⊥==又为中点 ,DE BDE PC PAC ∴⊥⊂平面又平面DE PC ∴⊥ 又BD DE D ⋂=∴PC ⊥平面BDE . 又PC ⊂平面PAC.PAC BDE ∴⊥平面平面 （4分）（2）解：设,//.AC BD N N MN PC PA M ⋂=过作交于,//MN MDB PC MDB ⊂∴又平面平面此时，由于1~,2AN AB ABN CDN NC CD ∆∆==且又MN//PC ， 12AM AN MP NC ∴==故当点M 在线段PA 上，且使MP=2AM 时，有PC//平面BDE.（9分）（3）若点G 为PBC ∆的重心，由于BE 为PBC ∆的中线，故G BE ∈，取OC 中点F ，连EF ，则//EF POEF ∴⊥平面BCD ，设BD OC H ⋂=由（1）知,,,FH BD EH EH BD ⊥⊥连则EHF ∴∠为二面角G-BD-C 的平面角,又EF=PO =12在2,,Rt CDO OD OH OC OH ∆=⋅∴=中,12FH OC OH =-=tan EF EHF FH ∴∠=故二面角G BD C --的大小为 （14分） 解法二：（1）证：取AD 中点O ，连OP 、OC 、连BDPAD ABCD PAD PO ABCD ⊥∆∆∴⊥面面 为正面BCD ∆为直面梯形，AB//CD ，,22AB AD AB CD AB ⊥=== CDO DAB OCD BDA ∴∆≅∆∴∠=∠ OC DB ∴⊥,记垂足为F .则DF BF===25ODOFOC==以OC、OP为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P、(,,0)55B、(55D-、(0,22E、(D(BD∴=-(BE=(0,PC=330 022PC BD PC BE⋅=⋅=-=PC BD PC BE∴⊥⊥，即PC BDE⊥面又PC PAC PAC BDE⊂∴⊥面面面（2）同解法一.（3）设平面GDB的法向量为1(,,1)n x y G PBC=∆为的重心G∴255335(,,) (GBGD=---=-0 0n GB nGD⋅=⋅=由得：1553(0,xx ynyx y⎧=⎧--=⎪⎪⎪⇒∴=⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩又平面BDC法向量为2(0,0,1)n=设二面角G BD Cθ--的大小为则1212cos48n nn nθ⋅===⋅.6--arccos 4G BD C 二面角大小为.。

湖北省部分重点中学2012-2013学年度下学期高一期中考试 数学参考答案（理工类） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 题号12345678910答案ACBDCABCDC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．12．13．14． 15． 16（本小题满分12分） 解：（1）∵，∴，∴ ………5分 （2）∵，∴是方程的两个根， 且，∴由韦达定理得∴ ………8分 ∴不等式 其解集为． ………12分 17（本小题满分12分） 解：在中，设， 则， 即 ， 整理得： , 解之： ，（舍去），………………6分 由正弦定理，得： , ∴． ………12分 18（本小题满分12分） 解：（1）由可得为等比数列．设数列的公差为，数列的公比为，由题意得， 解之得：，从而．………5分 （2） ① ①×得： ② ①-②得： ………11分 ………12分 19（本小题满分12分） 解：（1）代入正弦定理得：， 即：，又， ．又． ………6分 （2）：得：． 又，． ………12分 方案2：由余弦定理得： ∴，从而 ． ………12分 （选②③，这样的三角形不存在） 20（本小题满分13分） 解：（1）设铁栅长米，侧墙宽米， 则由题意得：，………………… 3分 ① （以上两处的“”号写成“”号不扣分） 由于 ②， 由①②可得，， 所以的最大允许值………………… 8分面积达到最大而实际投入又不超过预算有：且，从而． 即正面铁栅应设计为长………………… 12分 解：（）因为， 所以，， 解得 ，． ………………………… 3分 （）当时，由， 得， 将，两式相减，得, 化简，得，其中． …………………5分 因为，所以，其中． …………………… 6分 因为 为常数， 所以数列为等比数列． …………………… 8分 （）由（）得， ……………………… 9分 所以 ， 又因为，所以不等式化简为，………1分 当时，不等式 由题意知，不等式的解集为， 因为函数在上单调递， 所以只要求 且即可， 解得； …………………… 1分 当时，不等式， 由题意，要求不等式的解集为， 因为， 所以如果时不等式成立，那么时不等式也成立， 这与题意不符，舍去． ，． ………………………… 14分。

湖北省部分重点中学2013届高三第二次联考数学理科答案 一、DBC B A B BDCD二、 11．－89 12．30613．720 14．230x y -+= 15． 7（3分） 21n -（2分） 三、16．∵数列{a n }为等差数列，∴a 1+a 3=2a 2=0,代入得：f(x+1)+f(x-1)=0,解得x=1或3． ∴a 1,a 2,a 3依次为-2，0，2或2,0,-2．∴a n =2n-4或a n =-2n+4．又{log 3b n }为等差数列，且{log 3b n }的前10项和为45，∴{b n }为等比数列且log 3b 5+log 3b 6=9，即b 5b 6=39．而b 5=81，∴b 6=35，公比q=3，故b n =b 5·3n-5=3n-1．综上：a n =2n-4或a n =-2n+4 , b n =3n-1．(2)由（1）结合条件知a n =2n-4, 当n=1时，|a 1+b 1|=1．当n>=2时，|a n +b n |=a n +b n ，此时，S n =(a 1+b 1)+(a 2+b 2)+…+（a n +b n )-2(a 1+b 1)=n 2-3n+312n -+2=n 2-3n+332n +． 综上：221(1)3333323(2)2n n n n S n n n n n =⎧+⎪==-+⎨+-+≥⎪⎩(n ∈N *)． 17． (1)f (x )= 32 sinωx - 12 cosωx +m +12 =sin(ωx -π6 )+m +12∵点(π12 ，1)是f (x )图象的对称中心，且与其相邻的一条对称轴为x =π3 ，∴f (x )的周期T=(π3 - π12 )×4=π，∴ω=2. 将点(π12 ,1)坐标代入f (x )的解析式得m =12 ，∴f (x )=sin(2x -π6 )+1.将f (x ) =sin(2x -π6)+1的图象横坐标缩短为原来的一半，得到图象的函数解析式为y =sin(4x - π6 )+1)；再将其图象纵坐标扩大到原来的2倍得到图象的函数解析式为g (x )=2sin(4x - π6 )+1. （2）由余弦定理，2222224131cos ()2444b c a a c a a c A bc ac c a +-+-===+≥⨯， 当且仅当3a c c a=时取等号，即c =时等号成立. 因为A 为三角形的内角，所以π06A <≤. ∴πππ2666A -<-≤，所以π12sin(2)16A -<-≤，所以π02sin(2)126A <-+≤ 故()2A g 的取值范围为(0,2]. 18．解法一：(1)连结OC ，因为OA ＝OC ，D 是AC 的中点，所以AC ⊥OD .又PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，所以AC ⊥PO .因为OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD ，而AC ⊂平面P AC ，所以平面POD ⊥平面P AC .(2)假设存在这样的C 点，设OAC α∠=．在平面POD 中，过O 作OH ⊥PD 于H ， 由(1)知，平面POD ⊥平面P AC ，所以OH ⊥平面P AC .又P A ⊂面P AC ，所以P A ⊥OH ．在平面P AO 中，过O 作OG ⊥P A 于G ，连结HG ，则有P A ⊥平面OGH ．从而P A ⊥HG ，故∠OGH 为二面角B －P A －C 的平面角．在Rt △ODA 中，OD ＝OA ·sin α＝sin α.在Rt △POD 中，OH ＝PO ·OD PO 2＋OD 2＝2×sin α2＋sin 2α． 在Rt △POA 中，OG ＝PO ·OA PO 2＋OA 2＝2×12＋1＝63. 在Rt △OHG 中，sin ∠OGH ＝OH OG ＝ 所以cos ∠OGH ＝1－sin 2∠OGH ＝105， 解得21sin 2α=，即sin 2α=，∴045α=，即C 为AB的中点． 故当C 为AB 的中点时，二面角B －P A －C 的余弦值为105. 解法二：(1)同解法一 (1) ． (2)如图所示，以O 为坐标原点，OB ， OP 所在直线分别为x 轴， z 轴，过 O 与AB 垂直的直线为y 轴，建立空间直角坐标系．则O (0,0,0)，A (－1,0,0)，B (1,0,0)，C (cos α, sin α,0)，P (0,0，2)，D .设m ＝(x ，y ，z )是平面PAC 的一个法向量，则由m ·AC →＝0，m ·AP →＝0，得 (cos 1)sin 00x y x αα++=⎧⎪⎨-=⎪⎩即tan 2x y z α⎧=-⎪⎪⎨⎪⎪⎩取sin 2x α=-，得m ＝sin ,cos ,222ααα⎛⎫-⎪⎝⎭． 因为y 轴⊥平面P AB ，所以平面P AB 的一个法向量为n ＝(0,1,0)． 设向量n 2和n 3的夹角为θ，则cos θ＝n ·m |n |·|m |＝cosα又二面角B －P A －Ccosα＝105， 解得tan 12α=，∴0452α=，即090α=，即C 为AB 的中点．故当C 为AB 的中点时，二面角B －P A －C 的余弦值为10. ∴99011114851009001000160032016320a E a ξ=-⨯+⨯+⨯=-+． ∴该集团公司收益的期望为18562525100028a E ξ-=-， 由题意185625256187528a -≥，解得a ≤9900． 故特等奖奖金最高可设置成9900元．20． (1)连结QN ，则|QN|=|PQ|．当a >1时，则点N 在圆内，此时|QN|+|QM|=|PQ|+|QM|=|PM|=2a ，且2a >|MN|,故Q 的轨迹为以M,N 为焦点的椭圆，此时曲线C 的方程为222211x y a a +=-． 当a <1时，则点N 在圆外，此时||QN|-|QM||=||PQ|-|QM||=|PM|=2a ，且2a <|MN|,故Q 的轨迹为以M,N 为焦点的双曲线，此时曲线C 的方程为222211x y a a -=- ． (2)由（1）知，此时曲线C 为椭圆，其方程为222211x y a a +=-．设直线l 的方程为：x=my+1(m≠0)，A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则E(x 2,-y 2). 联立得222214x y a b x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去x 得方程： [(a 2-1)m 2+ a 2]y 2+2m(a 2-1)y -a 2(a 2-1)=0 (*)则y 1+y 2=-2m(a 2-1)(a 2-1)m 2+ a 2 ,y 1y 2=a 2(a 2-1)(a 2-1)m 2+ a 2① 设直线AE 与x 轴交于D(n,0)，则k AE =k AD .即121121y y y x x x n+=--, 将x 1=my 1+1,x 2=my 2+1代入并整理得： 2my 1y 2+(1-n)(y 1+y 2)=0 ②把①代入②整理得：222(1)[]0m a n a --=，∴当n=a 2时，恒成立，即直线AE 恒过定点（a 2，0）．.由于点G 为曲线C 上的动点，故当点G 与椭圆的短轴顶点重合时，DGN ∆的面积取最大值，其最大值为3221(1)2a -． 21．（Ⅰ）由()(1)ln(1)f x x x x =-++，有()ln(1)f x x '=-+，当10x -<<时，()0f x '>时，()f x 单调递增；当0x >时，()0f x '<时，()f x 单调递减；所以()f x 的单调递增区间为(1,0]-，单调递减区间为[0,)+∞. （Ⅱ）设ln(1)()(0)x g x x x+=>，则22ln(1)(1)ln(1)1()(1)x x x x x x g x x x x -+-+++¢==+. 由（Ⅰ）知，(1)ln(1)x x x -++在(0,)+?单调递减，∴(1)ln(1)0x x x -++<，即()g x 是减函数，而0n m >>，所以()()g n g m <，得ln(1)ln(1)n m n m ++<， 得ln(1)ln(1)m n n m +<+，故()()11m n n m +<+.（Ⅲ）由1231n x x x x ++++=，及柯西不等式可知，1231111(1)1111n n x x x x ⎛⎫++++- ⎪----⎝⎭[]1231231111(1)(1)(1)(1)1111n n x x x xx x x x ⎛⎫=++++-+-+-++- ⎪----⎝⎭2211n x ≥+=-所以21231111111111111n n n n x x x x n n ++++≥=++>+------， 所以111231111(1)1111nn n n x x x x ⎛⎫++++>+ ⎪----⎝⎭ 又22013n <<，由（Ⅱ）可知()()2013112013n n +>+，即()()112013112013n n +>+，.所以()11120141231111120141111n n n n x x x x ⎛⎫++++>+> ⎪----⎝⎭. 故112013123111120141111n n x x x x ⎛⎫++++> ⎪----⎝⎭.。

湖北省部分重点中学2013-2014学年度下学期高二期中考试 数 学 试 卷（理 科） 的焦点坐标是( ) A. B. C. D. 2．下面几种推理中是演绎推理的序号为A．半径为圆的面积，单位圆的面积；．由猜想：．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质由平面直角坐标系中圆的方程为，推测空间直角坐标系中球的方程为 ．的共轭复数记为,已知,则等于( ) A. B. C. D. 4．用数学归纳法证明（）时，从“到”左边需增乘的代数式为（ ）A． B． C． D．若在R上可导,,则 B. C. D. 6．设，若函数，，有大于零的极值点，则（ ） A、 B、 C、 D、 7. 已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为，P到直线的距离为，则的最小值为( ) A．B． C． D． 8．下列不等式对任意的恒成立的是（ ） A． B． C． D． 9．椭圆的一个焦点为，若椭圆上存在一个点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 10．定义在上的单调递减函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分 11．双曲线+=1的离心率，则的值为 12．观察下列等式 …… 照此规律，第个等式为 13．由曲线与直线所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是____________;的焦点作直线交抛物线于两点，线段的中点的纵坐标为2，则线段长为 ． 15．已知函数的图象经过四个象限，则实数的取值 范围是 三．解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）已知命题：，命题：（）． 若“”是“”的必要而不充分条件，求实数的取值范围． 17．（本小题满分12分）函数 （1）时，求最小值；在是单调减函数，求取值范围． 18．（本小题满分12分）已知四棱锥，底面为矩形，侧棱，其，为侧棱上的两个三等分点，如图所示.（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值； （Ⅲ）求二面角的余弦值. 已知圆的方程为，定直线的方程为．动圆与圆外切，且与直线相切． （）求动圆圆心的轨迹的方程； （）与轨迹, 过点作的垂线恰好经过点，并交轨迹的点，的方程及的长。

2013年下学期期终考试试卷高二数学参考答案（理科）、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.DCAD CAAD、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.9. 50 10. x R, x 2x 2p 0 11 . -112. 313.[ 2,1] 14. 1_ 15 . 252 , 2、16.（本题满分 12分)解:⑴由f （x ） x 3x 2 ,得f (x)3x 41（2分）设 P 0(x 0 , y 0)2由 3xo 1 4得X 。

1 (X °1舍去），从而 y 04•••切点P o 的坐标为 (1, 4) (4 分)⑵Q g(x) f (x) x 2ax 1 (6分)对任意的x R , g(x) > f （x ）恒成立2x ax 1 >0恒成立2a 4 p 0 (11 分)实数a 的取值范围是（2,2） （12分） 17.（本题满分12分）设底面长为x m ,宽为y m ，水池的总造价为z 元.（1分）依题意可得z 240000720（ x y ） （6 分）3由容积为4800m ，可得 3xy 4800 即xy 1600z 240000 720（ x y ） 240000 720 2 xy即 z 297600（10 分）当且仅当x y 40时，等号成立.（11分）⑵由(1 )可得S n 2n n ( 7 分)4所以，将水池的地面设计成边长为 40m 的止方形时总造价最低，最低总造价是18.（本题满分12分）解：(1 )由 a 2 a 3 45, a a 5 18d)(a 1 2d) 45 （4分） 解得得C2a 1 4d 18297600 元.(12 分)a 1 1八 (5分)d 4a n 4n 3 (6 分)S n2n(n因｛b n ｝为等差数列存在常数A,B 使得b n An B易得存在如下两个常数 c ，使得数列｛b n ｝也为等差数列:1c -, b n 2n ，数列｛b n ｝是公差为2,首项为2的等差数列；（10分） 2c 0时，b n 2n 1，数列｛b n ｝是公差为2,首项为1的等差数列.（12分）设点F 的坐标为（X,y,z ），则PF （x, y,z UUU ULLL因为 PF kPB 所以(x,y,z 2) (2k,2k, 2k)，即 x 2k, y 2k, z 2 2k UUU UULT因为 PB?DF 0 所以(2,2,2)?(2k,2k,22k) 4k 4k 4 4k 012 2 4一所以k -，点F 的坐标为(一，一，—)又点E 的坐标为(0,1,1 )3 3 3 3由b 1,b 2,b 3成等差数列得26 2 c 6 1 c15 3 c 6 152 c3 c解得再验证当c 0和c1时，｛b n ｝为等差数列.19.（本题满分13分）解：如图建立空间直角坐标系，点D 为坐标原点. (1分)（1 ）证明：连接AC,AC 与ED 于点G,连EG. 依题意得A （2,0,0 ）,P （0, 因底面是正方形，所以点G 的坐标为UUT UULTPA （2,0, 2）, EG 0,2 ),E ( 0,1,(1,1,0 )，且(1,0, 1)ULUT 所以PAULUT2EG ，即 PA//EG而EG 因此，PA//平面EBD . （4分） 平面EBD ，且PA 平面EBD(2 )依题意得B (2,2,0 ),uuu PB(2,2, 2), uurDE (0,1,1)UUU UULT PB?DE 022所以 PBDEDE由已知EF PB ，且EFI 所以PB 平面EFD （7分）（2 ）已知EF PB ，由（2 ）可知PBUUUDF , 故 EFD 是二面角C PBD 的平面角.（9分）2)UUU 2 1 1 所以FE (,,)3 3 3uuu uuur因为cos EFD FVFPr|FE ||FD |2 1 1 2 2 4（3,3，3_'（ 一，3，3）亞2恵33由f （X ）＞0,解得 .2 p x p .2 . 函数f （x ）的单调递增区间是（、三，三）.（3分.） （2）若函数f （x ）在R 上单调递增，则 f （x ） [ x 3 （a 2）x a]e x 0对x R 都成立，因e x f 03而 a 4f 0,故函数函数f （x ）在R 上不可能单调递增.（5分） 若函数f （x ）在R 上单调递减，则 f （x ） [ x 2 （a 2）x a]e x0对x R 都成立，因e x f 022x （a 2）x a 0对x R 都成立. a 4 0，这是不可能.即函数f （x ）在R 上不可能单调递减.（7分）所以 EFD 60 ,即二面角CPB D 的大小60 . （13分）20.（本题满分 13分） 、a 2 b 2（1 ）由已知得 .a 2b a所以椭圆 C ,的方程为 .一4 52C 1：— 1 25（2分）解得a 5,b 3 （3分）2才1，双曲线C 2的渐近线方程为 3x 5y 0和 3x 5y 0 . （5 分）（2 ）设点P 的坐标为（x 0, y 0）, 因点M 是线段AP 的中点, 所以点M （丄）（6分） 由点P 、 2 生25 （X 。

高二理科数学答案 一、选择题：1—5：D B D C C 6—10：B C A C D 二、填空题11、必要不充分条件 12、827 13、x 2＋y 2＋26x ＋25＝0 14、31≤<e 15、②③ 三、解答题：16、解：由“p 且q ”是真命题，则p 为真命题，q 也为真命题．若p 为真命题，a ≤x 2恒成立， ∵x ∈[1,2]，∴a ≤1.若q 为真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根， Δ＝4a 2－4(2－a )≥0， 即a ≥1或a ≤－2，综上所述，实数a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1.17、解：(1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1.消去y 并整理，得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0. 其中Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)＞0恒成立． 故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. 若OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k2k 2＋4＋1＝0，化简得－4k 2＋1＝0，所以k ＝±12.18、解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55，可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0. 19、解：(1)如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵AP ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝22，四边形ABCD 是矩形，∴A ，B ，C ，D ，P 的坐标为A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,22，0)，D (0,22，0)，P (0,0,2)． 又E ，F 分别是AD ，PC 的中点， ∴E (0，2，0)，F (1，2，1)． ∴PC →＝(2,22，－2)，BF →＝(－1，2，1)，EF →＝(1,0,1)． ∴PC →·BF →＝－2＋4－2＝0，PC →·EF →＝2＋0－2＝0. ∴PC →⊥BF →，PC →⊥EF →.∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF .又BF ∩EF ＝F ， ∴PC ⊥平面BEF .(2)由(1)知平面BEF 的一个法向量n 1＝PC →＝(2,22，－2)，平面BAP 的一个法向量n 2＝AD →＝(0,22，0)，∴n 1·n 2＝8.设平面BEF 与平面BAP 的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝84×22＝22，∴θ＝45°.∴平面BEF 与平面BAP 的夹角为45°.20、解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ＞0)，由题意，t ＞0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.由题意Δ＞0，所以3k 2＋1＞t 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由韦达定理得x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋1，所以y 1＋y 2＝2t3k 2＋1.由于E 为线段AB 的中点， 因此x E ＝－3kt 3k 2＋1，y E ＝t3k 2＋1，此时k OE ＝y E x E ＝－13k.所以OE 所在直线方程为y ＝－13kx .又由题设知D (－3，m )，令x ＝－3，得m ＝1k，即mk ＝1，所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，所以由Δ＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2＋k 2取最小值2.(2)由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13kx ，将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得G ⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，13k 2＋1. 又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1k ，由距离公式及t ＞0得|OG |2＝⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12＝9k 2＋13k 2＋1， |OD |＝－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＝9k 2＋1k ，|OE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1，由|OG |2＝|OD |·|OE |，得t ＝k ， 因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 所以直线l 恒过定点(－1,0)． 21、解：(1)以C 为坐标原点，CB 、CD 、CP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意得：P (0,0,2)，A (23，4,0)，B (23，0,0)，C (0,0,0)，D (0,1,0)，∴PA →＝(23，4，－2)， PD →＝(0,1，－2)， PB →＝(23，0，－2)． 又PM →＝λPB →，若CM ∥平面PAD ，则CM →与PA →、PD →共面，即存在实数对m 、l ，使CM →＝mPA →＋lPD →， ∴(23m,4m ＋l ，－2m －2l )＝(23λ，0，－2λ＋2)，即⎩⎨⎧23m ＝23λ，4m ＋l ＝0，－2m －2l ＝－2λ＋2，解得λ＝14.(2)设平面PAD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PA →＝0，n ·PD →＝0，可得⎩⎨⎧23x ＋4y －2z ＝0，y －2z ＝0，从而⎩⎨⎧x ＝－3z ，y ＝2z .令z ＝1，则有n ＝(－3，2,1)． ∵CM →＝(23λ，0，－2λ＋2)，n ·CM →＝－8λ＋2，|n |＝22，|CM →|＝24λ2－2λ＋1，∴cos 〈n ，CM →〉＝n·CM→|n |·|CM →|＝－4λ＋122·4λ2－2λ＋1. 设向量n 、CM →分别所在直线所成锐角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，CM →〉|＝|4λ－1|22·4λ2－2λ＋1. 又|4λ－1|22·4λ2－2λ＋1＝122·λ－24λ2－2λ＋1＝24·4－34⎝⎛⎭⎪⎫λ－142＋34.∵λ∈[0,1]，∴当λ＝1时，sin θ最大，从而θ最大，此时sin θ＝64.。

湖北省部分重点中学2013-2014学年度上学期高二期中考试数 学 试 卷(理）命题人：市49中 唐和海 审题人: 洪高 高珺一、选择题1、通过随机抽样用样本估计总体，下列说法正确的是( ).A ．样本的结果就是总体的结果B ．样本容量越大，可能估计就越精确C ．样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态D ．数据的方差越大，说明数据越稳定2、下图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入( ）（A ）1000NP =（B ） 41000N P =（C) 1000M P =（D ） 41000M P =3、已知x 、y 取值如下表:从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关,且ˆ0.95y x a =+，则a =（ ）A ．1。

30B ．1.45C ．1。

65D ．1.804、函数[]2()2155f x x x x =+-∈-，，，在定义域内任取一点0x ,使0()0f x ≤的概率是( ). Ａ．320Ｂ．23Ｃ．310Ｄ．455、对学生进行某种体育测试，甲通过测试的概率为1P ，乙通过测试的概率为2P ,则甲、乙至少1人通过测试的概率为（ ）A ．21P P + B ．21P PC ．21P P 1- D ．)P 1)(P 1(121---6、一个袋中装有2个红球和2个白球,现从袋中取出1球,然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是（ ）A ．41B ．31C ．21D ．527、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图）为（ )8、设m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，n //α,则m n ⊥； ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m //α,n //α，则m n //; ④若αγ⊥,βγ⊥，则//αβ。

一、单选题1．已知复数，是虚数单位，则（ ） ()12i 13i z +=-+i z =A ． B ． C ． D ．1i -+1i --1i +1i -【答案】D【分析】利用复数除法运算求得复数的值，然后利用共轭复数的概念求得结果. z 【详解】由，得， ()12i 13i z +=-+()()()()13i 12i 13i 1i 12i 12i 12i z -+--+===+++-所以. 1i z =-故选：D2．甲，乙，丙三人报考志愿，有，，三所高校可供选择，每人限报一所，则恰有两人报考A B C 同一所大学的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．1323791627【答案】B【分析】根据题意，利用乘法计数原理计算总的方法数，从反面计算恰有2人报考同一所院校的方法种数，根据概率公式，计算即可求解.【详解】由题意，每人报考一所学校，不同的选法总数是（种）3327=如果每一所学校都有人报考，不同的选法总数是（种）,336A =所有人都报同一所学校的方法有3种，∴恰有2人报考同一所院校的方法种数为， 276318--=概率为. 182273=故选：B.3．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.若，则圆柱12O O O 122O O =的表面积为（ ）12O OA ．B ．C ．6D ．4π5πππ【答案】C【分析】根据相切情况，先求得圆柱底面半径，再用圆柱表面积公式，即可求得结果. 【详解】因为该球与圆柱的上下底面，母线均相切，不妨设圆柱底面半径为， r 故，解得，1222r O O ==1r =故该圆柱的表面积为.21222246r rO O πππππ+=+=故选：C.【点睛】本题考查球体与圆柱体相切时的几何性质，涉及圆柱表面积的求解，属综合基础题. 4．已知和是平面内两个单位向量，且，若向量满足，则的最大a b,3a b π= c ()()0a c b c -⋅-= c r 值是（ ）A B C D1【答案】B【分析】首先设，，，画出图形，根据已知条件得到在以为直径的圆OA a = OB b = OC c =C AB 上，再结合图形求解即可. 【详解】如图所示：设，，，OA a = OB b = OC c =则，，CA a c =- CB b c =- 因为，所以，即.()()0a c b c -⋅-= 0CA CB ⋅= CA CB ⊥ 所以在以为直径的圆上.C AB 设的中点为，因为和是平面内两个单位向量，且，AB D a b,3a b π=所以，1AB =OD =所以. max12cOD =+=故选：B5．锐角是单位圆的内接三角形，角的对边分别为，且ABC A ,,A B C ,,a b c ，则等于（ ） 22224cos 2cos a b c a A ac B +-=-aA ．2B ．CD ．1【答案】C【分析】利用余弦定理得到，再利用正弦定理结合两角和与差的三角函数cos 2cos cos =-b C a A c B 得到，结合外接圆半径即可求解3A π=【详解】由，22224cos 2cos +-=-a b c a A ac B 得，2222cos cos 2+-⋅=-a b c b a A c B ab 由余弦定理，可得，cos 2cos cos =-b C a A c B 又由正弦定理，可得， sin cos 2sin cos sin cos =-B C A A C B 所以， sin cos sin cos sin()sin 2sin cos +=+==B C C B B C A A A得，又，所以，所以1cos 2A =π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3A =sin A =又，所以 22sin sin sin ====a b cr A B Ca =故选：C6．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD PA BC =E CD 中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）F PC BF PEA ．BC ．D 【答案】B【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，表示出，，然后求A BF PE出的值，即可得出答案. cos ,BF PE u u u r u u r 【详解】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设， A 2AB =则，，，，， ()0,0,0A ()2,0,0B ()002P ,,()2,2,0C ()0,2,0D 则，，()1,2,0E ()1,1,1F 所以，， ()1,1,1BF =-()1,2,2PE =- 所以cos ,BF PE BF PE BF PE ⋅===u u u r u u ru u ur u u r u u u r u u r 所以，异面直线与BF PE 故选：B.7．已知过双曲线的右焦点，且与双曲线的渐近线平行的直线交双曲线()222210,0x y a b a b -=>>F l 于点，交双曲线的另一条渐近线于点（，在同一象限内），满足，则该双曲线A B A B 3FB FA =的离心率为（） A ．BC D ．243【答案】B【分析】将直线的方程分别与双曲线方程及渐近线方程联立，求出的纵坐标，再利用已知条l ,A B 件求解．【详解】双曲线的渐近线方程为，如图，不妨设在第一象限， by x a=±,A B直线的方程为，与联立，得；l ()b y x c a =--22221x y a b-=32A b y ac =直线与联立，得．l b y x a =2B bcy a =由，得，即， ||3||FB FA =3B A y y =3322bc b aac=⨯得，即，则，223c b =2232c a =e =故选：B ．8．对任意的，，不等式恒成立，则正实数的取值范围是x ()0,y ∈+∞33e e 44ln x y x y x a +---++≥a （ ）A ．B ．C ．D ．(e 0,2⎛⎤⎝⎦[)e,+∞[)2e,+∞【答案】A【分析】利用指数的运算性质以及基本不等式，把双变量问题变成单变量，再利用导数来研究函数的单调性和最值.【详解】设，则问题转化为不等式可化为恒成立， 33e e 4()x y x y f x +--+++=4ln ()x a f x ≤又（当且仅当时取等号）， 33e e ()(4e e )42y x y x f x ---=++≥+0y =所以，即有在时恒成立，34ln 42ex x a -≤+3e 22ln x a x-+≤,()0x ∈+∞令，则，令，3e 2()x h x x -+=32e (1)2()x x h x x -'--=32e (1)2()0x x h x x -'--==即，令，则，3e (1)2x x --=3()e (1)x x x ϕ-=-3()e x x x ϕ-='因为，，所以，所以在单调递增， ,()0x ∈+∞3e 0x ->30()e x x x ϕ-='>()ϕx (0,)+∞又，即的根为3，(3)2ϕ=3()e (1)2x x x ϕ-=-=所以当时，单调递增，当时，单调递减，3x >3e 2()x h x x -+=03x <<3e 2()x h x x -+=所以当时，取得最小值，所以，解得3x =3e 2()x h x x -+=(3)1h =2ln 1a ≤a ≤又，所以0a >0a <≤故选：A ．【点睛】关键点睛：解答时要充分利用题设中的有效信息，先将两个变量化为一个变量，再灵活运用导数这一重要工具，通过两次求导使得函数的变化情况较为明确，最后借助不等式恒成立，从而求得参数的取值范围，使得问题简捷、巧妙获解．二、多选题9．已知直线与圆交于，两点，且（其中为坐标原y x b =+224x y +=A B OA OB OA OB +=-O 点），则实数的值可以是（ ） bA ．B ．C ．2D ．-2-【答案】BC【分析】由已知可推得，设，，则.联立直线与圆的方OA OB ⊥()11,A x y ()22,B x y 12120x x y y +=程，得出坐标之间的关系，即可得出答案.【详解】由可得，，OA OB OA OB +=- ()()22OA OBOA OB +=- 所以，222222OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+ 所以，所以.0OA OB ⋅=OA OB ⊥ 设，，则.()11,A x y ()22,B x y 12120x x y y +=联立直线与圆的方程可得，， 224y x bx y =+⎧⎨+=⎩222240x bx b ++-=由，可得.()()()2222424480b b b ∆=-⨯⨯-=-->b -<<且，则， 1221242x x b b x x +=-⎧⎪⎨-=⎪⎩()()()212121212y y x b x b x x b x x b =++=+++所以，()222121242402b x x y y b b b b -+=⨯+-+=-=解得. 2b =±故选:BC.10．创新，是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭源泉.为支持“中小企业”创新发展，国家决定对部分创新型企业的税收进行适当减免，现在全国调查了100家中小企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（ ）A ．年收入在万元的中小企业约有14家 [)500,600B ．样本的中位数大于400万元C ．估计当地中小型企业年收入的平均数为376万元D ．年收入的样本数据的80%分位数为480万元 【答案】AC【分析】根据频率分步直方图可计算，进而可结合选项逐一求解中位数，百分位数以及0.0014x =平均数即可求解.【详解】由频率分步直方图可知： ()0.0010.0020.002620.000410010.0014x x ++⨯++⨯=⇒=对于A, 年收入在万元的中小企业约有家，故A 正确， [)500,6000.001410010014⨯⨯=对于B ，设样本中的中位数为，则a ()()49000.0010.0021003000.00260.540013a a +⨯+-⨯=⇒=<，故B 错误，对于C ，当地中小型企业年收入的平均数为，万元，()1500.0012500.0023500.00264500.00265500.00146500.0004100376⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=故C 正确，对于D ， 设年收入的样本数据的80%分位数为，则m 万元，故D 错误， ()()12000.0010.0020.00261004000.00260.8400492.313m m ++⨯+-⨯=⇒=+≈故选：AC11．如图，点M 是棱长为2的正方体中的线段上的一个动点，则下列结论正1111ABCD A B C D -1A D 确的是（ ）A ．存在点M ，使平面 //CM 11A BCB ．不存在点M 满足1CM AD ⊥C ．存在点M ，使异面直线与所成的角是60° 1C M ABD ．二面角1B C D M --【答案】AD【解析】选项A. 当为中点时可得可判断；选项B. 当点M 与点重合时可得M 1A D 1//CM A N D 可判断；选项C. 连接,由，如图2，所以为异面直线与1CM AD ⊥11,MC MD 11//AB C D 11MC D ∠1C M 所成的角，可求出其最大角可判断；选项D. 二面角即二面角，由AB 1B C D M --11B C D A --，的中点，连接,则11BD BC DC ===1111A D A C DC ===1DC H 1A H ，所以角为二面角的平面角，可求解判断. 111,BH DC A H DC ⊥⊥1A HB ∠11B C D A --【详解】选项A. 当为中点时，连接交于点，连接,如图1 M 1A D 11,BC B C N MN 所以且，则为平行四边形，所以 1//A M NC 1A M NC =1A MCN 1//CM A N 又平面，平面，所以平面，故A 正确. 1A N ⊂11A BC CM ⊄11A BC //CM 11A BC 选项B. 当点M 与点重合时，由平面, D CD ⊥11ADD A 又平面,所以，故B 不正确.1AD ⊂11ADD A 1CM AD ⊥选项C. 连接,由，如图2，所以为异面直线与所成的角. 11,MC MD 11//AB C D 11MC D ∠1C M AB 在直角中，11MC D A 111111tan 2MD MD MC D C D ∠==在正方形, 所以，即，故C 不正确. 11ADD A 2M ≤11tan 1MC D ∠≤1145MC D ∠≤︒选项D. 二面角即二面角 1B C DM --11B C D A --由，11BD BC DC ===1111A D A C DC ===取的中点，连接,如图3，则 1DC H 1A H 111,BH DC A H DC ⊥⊥所以角为二面角的平面角 1A HB ∠11B C D A --所以在中，1BH A H ==1A BH A 1A B =所以 2211116681cos 2263HB A H A B A HB HB A H +-+-∠===⨯⨯⨯所以D 正确.1sinA HB ∠===故选：AD【点睛】关键点睛：本题考查线面平行的判断和线面角以及二面角的求解，解答本题的关键是作出相应的角，由，所以为异面直线与所成的角，在直角中，11//AB C D 11MC D ∠1C M AB 11MC D A ，属于中档题. 111111tan 2MD MD MC D C D ∠==12．螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示．如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点ABCD ABCD ,,,E F G H ，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，作第3个正方形EFGH EFGH ,,,M N P Q ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形边长为，后续MNPQ ABCD 1a 各正方形边长依次为；如图（2）阴影部分，直角三角形面积为，后续各直23,,,,n a a a AEH 1b角三角形面积依次为，下列说法正确的是（ ）23,,,,n b b bA ．第个正方形面积为.3MNPQ 10B ．.14n n a -=⨯C ．使得不等式成立的的最大值为. 12n b >n 3D ．数列的前项和对任意恒成立. {}n b n 4n S <*N n ∈【答案】BCD【分析】根据图形的变化规律，结合已知条件，求得以及，再对每个选项进行逐一分析，即n a n b 可判断和选择.【详解】根据题意，，且， 2214n n n a b a +-=231324432n n n n a a b a ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故，即，又，故可得， 222138n n n a a a +-=22158n n a a +=0n a >1n n a+=由题可知，故数列是首项为的等比数列， 14a ={}n a 4则，，即第三个正方形的面积为， 14n n a -=⨯42325164a =⨯=254故A 错误，B 正确；对C ：因为，， 11233535163232828n n n n b a --⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭158n n b b +=故数列是首项为，公比为的等比数列，其为单调减数列，{}n b 3258，又，故不等式成立的的最大值为，正确； 37511282b =>4375110242b =<12n b >n 3C 对：因为，对任意恒成立，正确. D 3512854445818nn n S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⨯< ⎪⎝⎭-*N n ∈D 故选：.BCD三、填空题13．为庆祝中国共产党成立100周年，某志愿者协会开展“党史下乡”宣讲活动，准备派遣8名志愿者去三个乡村开展宣讲，每名志愿者只去一个乡村，每个乡村至少安排2个志愿者，则不同的安排方法共有______种.（用数字作答） 【答案】2940【分析】先将8名志愿者分成（3,3,2）一组和（2,2,4）一组，再分配到三个乡村即可求出结果. 【详解】依题意，①先将8名志愿者分成（3,3,2）一组，再分配到三个乡村，则有种安排方法. 3323852322C C C A 1680A ⋅=②先将8名志愿者分成（2,2,4）一组，再分配到三个乡村，则有种安排方法. 2243864322C C C A 1260A ⋅=所以共有：种方法. 168012602940+=故答案为：.2940四、双空题14．等差数列中，，公差，则使前项和取得最大值的正整数的值是{}n a 59a a =0d <n n S n ______，使前项和的正整数的最大值是______. n 0n S >n 【答案】6或712【分析】根据已知可推得，且，.然后可知当时，有，即可590a a >>590a a +=70a =17n ≤≤0n a ≥得出或时，取得最大值；然后求出，即可得出. 6n =7n =n S 137130S a ==12130S a =->【详解】因为，，所以，所以， 59a a =0d <59a a >590a a >>所以，所以，所以， 59a a =-590a a +=70a =所以，当时，有；当时，， 17n ≤≤0n a ≥8n ≥0n a <所以，使前项和取得最大值的正整数的值是6或7. n n S n 又，且，()113137131302a a S a +===1312130S S a =+=所以，所以使前项和的正整数的最大值是12.12130S a =->n 0n S >n故答案为：6或7；12.五、填空题15．若对任意的、，且，，则的最小值是1x ()2,x m ∈+∞12x x <122121ln ln 2x x x x x x -<-m _______________________．【答案】1e【分析】分析出函数在上为减函数，利用导数求出函数的单调递减区()ln 2x f x x+=(),m +∞()f x 间，即可求得实数的最小值.m 【详解】对任意的、，且，，易知，1x ()2,x m ∈+∞12x x <122121ln ln 2x x x x x x -<-0m ≥则，所以，，即， 122121ln ln 22x x x x x x -<-()()1221ln 2ln 2x x x x +<+1212ln 2ln 2x x x x ++>令，则函数在上为减函数， ()ln 2x f x x+=()f x (),m +∞因为，由，可得，()2ln 1x f x x +'=-()0f x '<1x e >所以函数的单调递减区间为，()f x 1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以，，所以，，因此，实数的最小值为.()1,,m e ⎛⎫+∞⊆+∞ ⎪⎝⎭1m e ≥m 1e 故答案为：.1e16．球的内接正四面体中，、分别为、上的点，过作平面，使得O A BCD -P Q AC AD PQ αAB 、与平行，且、到的距离分别为2，3，则球被平面所截得的圆面的面积是CD αAB CD αO α______. 【答案】37π2【分析】先将正四面体放到一个正方体中，结合面面平行证明上下底面和平面平行，将距离都转α移到线段上，得正方体的棱长，再利用球心到截面的距离求截面圆的半径，最后计算面积即21O O 可.【详解】将正四面体放到一个正方体中，如图所示，球O 是正四面体的外接球，A BCD -A BCD -也是正方体的外接球.依题意，设平面交BC 于R ，α因为平面，平面与平面交于，平面，所以， //AB αABC αRP AB ⊂ABC //AB RP 又平面，平面与平面交于，平面，所以，//CD αACD αPQ PQ ⊂ACD //CD PQ如图，连接，与AB 交于上底面中心，易知，所以，11C D 2O 11//C D CD 11//C D PQ 平面，平面，故平面，又平面，，平面PQ ⊂α11C D ⊄α11//C D α//AB α112C D AB O = 11C D ⊂，平面，11AC BD AB ⊂11AC BD 故上底面平面，同理可证下底面也平行平面.11//AC BD αα连接上下底面中心，交平面于S ，因为AB 、CD 到的距离分别为2，3， 21O O αα则，则正方形棱长为，正方体的体对角线， 212,3O S SO ==21235O O =+=即球的直径为， 2R =R =球О被平面所截得的圆的半径为r ，α则截面圆圆心为S ，到球心的距离， 2251222d SO O O O S ==-=-=故 r ===故面积.2237πππ2S r ==⨯=故答案为：. 37π2六、解答题17．将5个不同的球放入编号为1，2，3，4，5的5个不同的盒中，试问. (1)一共有多少种不同的放法？ (2)恰有1个空盒的放法有多少种？ 【答案】(1)3125 (2)1200【分析】（1）把小球全部放入盒子，1号小球可放入任意一个盒子内，有种放法，余下的2,3,4,5号小球也各有5种放法，根据分步计数原理得到结果；（2）恰有一个空盒，则这5个盒子中只有4个盒子内有小球，且小球数只能是1,1,1,2.先将5个球分为4组，从5个盒子中选出4个，然后进行全排列即可求解.【详解】（1）将5个不同的球放入编号为1，2，3，4，5的5个不同的盒中， 每个球有5种放法，则5个球有种不同的放法；55555553125⨯⨯⨯⨯==（2）①将5个球分为4组，有种分组方法，25C 10=②恰有1个空盒，则有且仅有2个球进了同一个盒子，在5个盒子中任选4个，放入四组球，有种情况，则共计种不同的放法．4454C A 120=101201200⨯=18．在二项式中，有.()()150,0,0,0m nax bx a b m n +>>≠≠20m n +=(1)求二项式的展开式的常数项；()15m n ax bx +(2)若它的展开式中，常数项是其各项系数最大的项，求的取值范围. ab【答案】(1)5105615C T a b =(2) 51135a b ≤≤【分析】（1）求出通项，由以及，()1515115C m r nr rr r r T a b x -+-+=(15)0m r nr -+=20,0,0m n m n +=≠≠即可求出答案；（2）由只有常数项为最大项且，可得，解不等式即可. 0,0a b >>51054114151551056961515C C C C a b a b a b a b ⎧≥⎨≥⎩ ①②【详解】（1）设为常数项，()15151511515C ()()C m r nr r m r n r rr r r Tax bx a b x -+--+=⋅=则有，即，所以，常数项为第项，(15)0m r nr -+=(15)20m r mr --==5r 6且.5105615C T a b =（2）因为展开式中，常数项是其各项系数最大的项， 所以第6项是系数最大的项，所以有 51054114151551056961515C C C C a b a b a b a b ⎧≥⎨≥⎩ ①②由①得，所以，1514131211151413125432432b a ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≥⨯⨯⨯⨯⨯115a b ≤由②得，所以，1514131211151413121110543265432a b ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯53a b ≥所以.51135a b ≤≤19．设数列满足，，且对任意，函数{}n a 12a =3516a a +=N n *∈满足.()()1212cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅-⋅π02f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，求数列的前项和.122n n n a b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭{}n b n n S 【答案】(1)2n a n =(2)()2212134n n n ⎛⎫++- ⎪⎝⎭【分析】（1）求出，根据，即可推得，所以是等差数列.然后()f x 'π02f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭122n n n a a a ++=+{}n a 由已知求得，即可得出数列的通项公式； 2d ={}n a （2）由（1）可推得，根据分组求和，分别求出等差数列以及等比数列的前项和，即244n n b n =+n 可求得答案.【详解】（1）因为， 1212()()cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅-⋅所以，1212()sin cos n n n n n f x a a a a x a x ++++'=-+-⋅-⋅所以，12112π202n n n n n n n f a a a a a a a +++++⎛⎫'=-+-=-+ ⎪⎝=⎭所以，， 122n n n a a a ++=+所以是等差数列. {}n a 又，，12a =48a =所以，所以， 4136a a d -==2d =所以.1(1)2(1)22n a a n d n n =+-=+-=（2）因为， 21122224224nn n a n n b a n n ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以 122224424444n n S n =++⨯++++ ()21114122444n n ⎛⎫=⨯++++⨯+++ ⎪⎝⎭11144(1)421214n n n ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦=⨯+⨯-()2212134n n n ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭20．如图，三棱柱中，平面平面，和都是正三角形，111ABC A B C -11A ACC ⊥ABC ABC A 1A AC △D 是的中点．AB（1）求证：平面； 1//BC 1A DC （2）求二面角的余弦值． 11A DC C --【答案】（1）证明见解析；（2）. 1113【解析】（1）首先证明，进一步得出结论.1//DE BC （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小，首先正确求出两个平面的法向量，进一步求出二面角．【详解】（1）如图，连接，交于点，连接，1AC 1AC E DE由于四边形是平行四边形，所以是的中点．11A ACC E 1AC因为是的中点，所以． D AB 1//DE BC 因为平面，平面， DE ⊂1A DC 1BC ⊄1A DC 所以平面．1//BC 1A DC （2）如图，取的中点，连接，，AC O 1AOBO根据和都是正三角形，得，．ABC A 1A AC △1A O AC ⊥BO AC ⊥又平面平面，平面平面，所以平面，于是11A ACC ⊥ABC 11A ACC ⋂ABC AC =1A O ⊥ABC ．1A O BO ⊥以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标O OB OC 1OAx y z 系．设，则，，，．2AC=(1A ()0,1,0C 1,02D ⎫-⎪⎪⎭(10,C 所以，，．3,02CD ⎫=-⎪⎪⎭11,2A D =-152DC ⎛= ⎝ 设平面的法向量为，则，即，令，则1A DC (),,m x y z = 100m CD m A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩302102y y -=-=3x =，，所以．y 1z=()m = 设平面的法向量，则，即，令，则1DCC (),,n a b c = 100n CD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩302502b b -=⎪+=⎪⎩3a=b =，，所以．1c =-()1n =-设二面角的大小为，由图易知为锐角， 11A DC C --θθ则，11cos 13m n m n θ⋅==⋅因此二面角的余弦值为． 11A DC C --1113【点睛】本题是综合性题目，属于课堂学习情境和探索创新情境，具体是数学推理学习情境和数学探究情境，本题考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力．解题关键 （1）证明线面平行的关键是找到线线平行，而线线平行常常借助三角形的中位线定理来证明．（2）利用向量法求二面角的大小，关键是建立合适的空间直角坐标系，然后正确求出两个平面的法向量．21．已知椭圆，上顶点和右顶点分别是，椭圆上有两个动点，且2222:1x y E a b +=()0a b >>,A B ,C D .如图所示，已知，且离心率//CD AB()0,2A e =(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形面积的最大值；并试探究直线与的斜率之积是否为定值若为定值，请ABCD AD BC ?求出该定值；否则，请说明理由. 【答案】(1) 221164x y +=(2)16；是定值， 14【分析】（1）由已知可求得，根据离心率得出，代入，即可求得的2b =c =222a b c =+2a 值，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，联立方程组，根据，求得，利用弦长公CD12y x t =-+0∆>2t -<<，求得与间的距离为//CD AB ABCD d ，令，得到，结合三角函数的性(()22St =-t θ=4cos )8sin cos S θθθθ=+--质，求得时，四边形面积最大值为，进而证得为定值.2t =-ABCD 16AD BC k k【详解】（1）解：因为，可得，又因为又，()0,2A 2b=c e a ==c =又由，所以，所以，222a b c =+22344a a =+216a =所以椭圆的标准方程为. 221164x y +=（2）解：由（1）知，，所以，所以，4a =(4,0)B 12AB k =-设直线的方程为，设，，CD 12y x t =-+(2)t <()11,D x y 22(,)C x y 联立直线与椭圆的方程，整理得，CD 22116412x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩222280x tx t -+-= 由，解得2244(28)0t t ∆=-->t -<<又由，所以，且，，2t <2t -<<122x x t +=21228x xt =-直线方程为，所以 AB 240x y +-=||AB =因为，直线的方程为， //CD ABCD 220x y t +-=所以直线与之间的距离为ABCD d所以四边形的面积，ABCD (()1222St ⎡=-⎣令，，则，t θ=ππ4θ<<4cos )8sin cos S θθθθ=+--令，则，πsin cos 4m θθθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭22442S m m ⎛=+=-⎝(0m <≤故当时，四边形面积最大值为，m 2t =-ABCD 16又因为，，122x x t +=21228x x t =-所以 2212211212*********11442222(2)222(4)4442AD BCt t x t x t x t t x t y y k kx x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---+--++-+-- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭====----，21214122844t x t x --==--故直线与的斜率之积是定值，且定值为． AD BC 14【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到k k 0(),F x y =关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；k ,x y 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.22．已知函数.()()1ln f x ax x x =--()a ∈R (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 3a =()y f x =()()1,1f (2)若函数有两个不同的零点，求的取值范围. ()()()122g x f x x ax =+-a 【答案】(1) 220x y --=(2) (2,)+∞【分析】（1）代入，求出，根据导数的几何意义求得切线的斜率，即可写出3a =()163f x x x '=--直线的方程；（2）由已知可得.根据的取值范围，分类讨论得出的单调性，研()()211ln 2x g ax a x x =---a ()g x 究函数的极值与0的关系，即可得出答案.【详解】（1）当时，，所以，3a =2()33ln f x x x x =--()163f x x x'=--根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线的斜率，又，所()y f x =()()1,1f ()12k f '==(1)0f =以所求切线方程为，即． 2(1)y x =-220x y --=（2）由已知可得，定义域()()()22112ln 22g x f x x ax ax ax x x ax =+-=--+-()211ln 2ax a x x =---为，()0,∞+且. ()()()()()2111111ax a x ax x g x ax a x x x---+-'=---==当时，0a >由，得，所以在上单调递减； ()0g x '<(0,1)x ∈()g x ()0,1由，得，所以在上单调递增.()0g x '>(1,)x ∈+∞()g x ()1,+∞所以，在处取得唯一极小值，也是最小值.()g x 1x =()1112a g =-+要使有两个不同的零点，则必有，即，所以.()g x ()10g <1102a -+<2a >因为，()()2221ln 22ln 20g a a =---=->根据零点存在定理可知，，使得，且在上没有零点. ()11,2x ∃∈()10g x =()g x [)2,+∞因为， ()()212ln 2g x a x x x x =-+-当时，有，所以.(0,1)x ∈()222110x x x -+=->221x x ->-又，所以，()2220x x x x -=-<2120x x -<-<所以， ()1ln 2g x a x x >-+-所以. 111122221e e ln e e 02a a a a g a ----⎛⎫⎛⎫-+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞因为，所以有，0a >1020<e e 1a -<=根据零点存在定理可知，，使得，且在上没有零点. 122e ,1x -⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()20g x =()g x 120,e a -⎛⎤ ⎥⎝⎦综上所述，在区间以及内各有一个零点，在以及上没有零点，所()g x 12e ,1a -⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2120,e a -⎛⎤ ⎥⎝⎦[)2,+∞以有两个零点，故满足题意；()g x 2a >当时，，. 0a =()ln g x x x =-()111x g x x x-'=-=当时，，所以在上单调递减；01x <<()0g x '<()g x ()0,1当时，，所以在上单调递增.1x >()0g x '>()g x ()1,+∞所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，()g x 1x =()110g =>所以，此时无零点；()()11g x g ≥=()g x 当时，因为恒成立，1a =-()()210x g x x -'=-≤所以在区间内单调递减，()g x (0,)+∞所以至多有一个零点，不符合题意；()g x 当时，有， 10a -<<11a->因为当时，， ()10,1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭ ()()101a a g x x x x⎛⎫ ⎪⎝⎭+-='<所以在区间内单调递减，在区间内单调递减； ()g x ()0,11,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭当时，，所以在区间内单调递增. 11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0g x '>()g x 11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以在处取得唯一极小值，， ()g x 1x =()11102g a =->所以在上无零点. ()g x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为在内单调递减，所以在上至多有一个零点. ()g x 1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()g x 1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以，至多有一个零点，不符合题意；()g x 当时，因为当时，， 1a <-()10,1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭ ()0g x '<所以在区间内单调递减，在区间内单调递减； ()g x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭()g x ()1,+∞当时，，所以在区间内单调递增. 1,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0g x '>()g x 1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以在处取得唯一极小值，， ()g x 1x a =-()()111111ln 1ln 022g a a a a a a a ⎛⎫⎛-=+---=-+⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝>⎭所以在上无零点.()g x ()0,1又在区间内单调递减，所以在区间内至多有一个零点. ()g x ()1,+∞()g x ()1,+∞所以至多有一个零点，不符合题意．()g x 综上所述，的取值范围是． a (2,)+∞。

湖北省部分重点中学2013—2014学年度下学期高二期末考试数学理科试卷参考答案一．选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABBDBBBCBC二．填空题11．(1,10)；12．72 ;13．35； 14．2； 15．5, 230 三．解答题 16．解：（1）由2cos(B －C)-1＝4cosBcosC ，得 2(cosBcosC ＋sinBsinC)-1＝4cosBcosC ， 即2(cosBcosC-sinBsinC)＝-1，亦即2cos(B ＋C)＝-1， ∴21cos =A3,0ππ=∴<<A A(2) a ＝7，A ＝π3， 由面积公式，得12bc sin π3＝332，即bc ＝6.①由余弦定理，得b 2＋c 2－2c b cos π3＝7，c 2＋b 2－bc ＝7.②由②变形得(b ＋c )2-3bc=7, (b ＋c )2＝25，故b ＋c ＝5.17．(1)“从这18名同学中随机选出两名，两人来自于同一个班”记作事件A ，则222246352182()9C C C C P A C +++==． ………………………………（5分） (2)ξ的所有可能取值为0，1，2．∵21421891(0)153C P C ξ===，1141421856(1)153C C P C ξ===，242186(2)153C P C ξ===，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 P91153561536153∴915664()0121531531539E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………………………（12分） 18 (1)解：由()211122,1+=+-=-且a d a d a 得 40==或d d ,又数列{}n a 递增,所以4=d 45∴=-n a n ………………………………（3分） 当n ≥2时, n b =T n -T n-1=b n-1-b n ，211=-n n b b ∴数列{}n b 是首项为1,公比为21的等比数列.∴nn b ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21………………………………（5分）452n nn c -=………………………………（6分） （2）由题意，知311223122222--=+++++L n n n n na a a a a S ．所以231137494522222----=+++++L n n nn n S ， ① 234111374945 222222+---=+++++L n n n n n S ． ② ①-②，得132254)212121(42121+--++++-=n n n n S 11254211)211(41421+-----⨯+-=n n n 123423++-=n n ，所以nn n S 2343+-=． ………………………………………………………12分 19解：（Ⅰ）∵DE ⊥平面ABCD ， ∴DE ⊥AC ，∵ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ， ∴AC ⊥平面BDE ．……………………………………………………………（4分） （Ⅱ）∵DE ⊥平面ABCD ，∴∠EBD 就是BE 与平面ABCD 所成的角，即∠EBD=60°．∴EDDB=3．由AD=3，得DE=36，AF=36． 如图，分别以DA ，DC ，DE 为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系D-xyz ．则A （3，0，0），F （3，0，6），E （0，0，36），B（3，3，0），C （0，3，0），∴→BF=（0，-3，6），→EF=（3，0，-26）， 设平面BEF 的一个法向量为n =（x ，y ，z ），则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·→BF=0，n ·→EF=0。

湖北省部分重点中学2012—2013学年度第二次联考理科数学试卷一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的．1. 已知,,x y R i ∈为虚数单位，且(2)1x i y i --=+，则(1)x yi ++的值为 A ．4 B ．4- C ．44i + D ． 2i 2. 不等式2210ax x -+<的解集非空的一个必要而不充分条件是 A ．1a <B ．1a ≤C ．01a <<D ．0a <3. 现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动.若每个社区至少一名义工，则甲、乙两人被分到不同社区的概率为A ．B ．C ．D ．4. 下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是5. 已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：π=+10121000a a ，2141-=b b ，则=-+87201111tanb b a aA ．1B ．-1C 3D ． 36. 已知xdx N dx x M ⎰⎰=-=2012cos ,1π， 由如右程序框图输出的=S A. 1 B. 2πC.4πD. 1-输出S 结束否开始输入M ，NN S =M S =N M >是7. 已知点1(,)40x x y x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩是不等式组表示的平面区域内的一个动点，且目标函数2z x y =+的最大值为7，最小值为1，则a b ca++的值为A ．2B ．12C ．-2D ．-1 8.设函数)cos (sin )(x x e x f x-=，若π20120≤≤x ，则函数)(x f 的各极大值之和为A. πππe e e --1)1(1006B. πππ220121)1(ee e -- C. πππ210061)1(e e e -- D. πππe e e --1)1(2012 9.已知O 是锐角三角形ABC ∆的外接圆的圆心,且A θ∠=，若cos cos =2sin sin B C AB AC mAO C B+u u u r u u u r u u u r ，则m = A ．sin θ B ．cos θ C ．tan θ D ．不能确定10.设抛物线21=4y x 的焦点为F ，M 为抛物线上异于顶点的一点，且M 在准线上的射影为点/M ，则在/MM F ∆的重心、外心和垂心中，有可能仍在此抛物线上的有 A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。