2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学高二下学期期中数学试题及答案

湖北省武汉市部分重点中学高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有( )种．A. A 105 B. C 105C. 105D. 5102. 已知(√x +√x 3)n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于( )A. 4B. 5C. 6D. 73. 两位男生和两位女生排成一排照相，则两位女生不相邻的排法种数是( )A. 24B. 12C. 8D. 44. 曲线y =f(x)在x =1处的切线如图所示，则f′(1)−f(1)=( )A. 0B. −1C. 1D. −125. 对于一组具有线性相关关系的样本数据(x i ,y i )(i =1,2，⋯，n)，其样本中心为(x −,y −)，回归方程为y ^=b ^x +a ^，则相应于样本点(x i ,y i )的残差为( )A. y i −y −B. y −−y iC. y i −(b ̂x i+a ̂) D. (b ̂x i +a ̂)−y i 6. 甲乙两位游客慕名来到江城武汉旅游，准备分别从黄鹤楼、东湖、昙华林和欢乐谷4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A ：甲和乙至少一人选择黄鹤楼，事件B ：甲和乙选择的景点不同，则条件概率P(B|A)=( )A. 716B. 78C. 37D. 677. 多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.若选项中有i(其中i =2，3，4)个选项符合题目要求，随机作答该题时(至少选择一个选项)所得的分数为随机变量ξi (其中i =2，3，4)，则有( )A. E(ξ2)+2E(ξ4)<3E(ξ3)B. E(ξ2)+2E(ξ4)>3E(ξ3)C. 2E(ξ2)+E(ξ4)<3E(ξ3)D. 2E(ξ2)+E(ξ4)>3E(ξ3)8.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为2个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i=1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有()A. 22种B. 24种C. 25种D. 27种二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.已知该药物在人体血管中药物浓度c随时间t的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如图所示.则下列结论正确的是()A. 在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同B. 在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同C. 在[t2,t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同D. 在[t1,t2]和[t2,t3]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同10.给出下列说法，其中正确的有()A. 若X是离散型随机变量，则E(2X+3)=2E(X)+3，D(2X+3)=4D(X)+9B. 如果随机变量X服从两点分布，且成功概率为p，则E(X)=pC. 在回归分析中，相关指数R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果要好D. 对于独立性检验，随机变量K2的观测值k值越小，判定“两个分类变量有关系”犯错误的概率越大11.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，“初等函数”是由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个解析式表示，如函数f(x)=x x(x>0)，我们可以作变形：f(x)=x x=e lnx x=e xlnx=e t(其中t=xlnx)，所以f(x)可看作是由函数y=e t和t=xlnx复合而成的，即f(x)=x x(x>0)为初等函数.那么，对于初等函数ℎ(x)=x1x(x>0)，下列说法正确的是()A. 有极小值B. 有最小值C. 有极大值D. 有最大值12.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值可能是()A. 14B. 712C. 512D. 34三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.求曲线y=sinxx在点M(π,0)处的切线方程______．14.(1−2x)5(1+3x)4展开式中按x的升幂排列的第3项为______．15.为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，发现用模型y=ce kx拟合比较合适.令z=lny，得到z=1.3x+a，经计算发现x，z满足如表，则k=______ ，c=______ ．天数x(天)23456z 1.5 4.5 5.5 6.5716.在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则E(X)=______ ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.某制造企业坚持把质量作为建设企业的生命线，现从生产的一种产品中随机抽取500件，测量产品的质量指标值，得到如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，求样本平均数x−和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)由频率分布直方图可以认为，该产品的质量指标值X近似服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x−，σ2近似为样本方差s2，并把质量指标值在212.2及以上的产品称为优等品，试估算该产品为优等品的概率．参考数据：√150≈12.2，若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X<μ+3σ)=0.9974．18.电子邮件是一种用电子手段提供信息交换的通信方式，是互联网应用最广的服务.我们在使用电子邮件时发现一个有趣的现象：中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字的比较少.为了研究邮箱名称里含有数字是否与国籍有关，随机调取40个邮箱名称，其中中国人的20个，外国人的20个，在20个中国人的邮箱名称中有15个含数字，在20个外国人的邮箱名称中有5个含数字．(1)根据以上数据填写2×2列联表；(2)能否有99%的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”？(3)用样本估计总体，将频率视为概率.在中国人邮箱名称里和外国人邮箱名称里各随机调取6个邮箱名称，记“6个中国人邮箱名称里恰有3个含数字”的概率为p1，“6个外国人邮箱名称里恰有3个含数字”的概率为p2，试比较p1与p2的大小．(其中n=a+b+c+d为样本容量)．参考公式和数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.设函数f(x)=ae x+cosx，其中a∈R．(1)若a=1，证明：当x>0时，f(x)>2；(2)若f(x)在区间[0,π]内有两个不同的零点，求a的取值范围．20.在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备).已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为r(0<r<1)，它们之间相互不影响．(1)要使系统的可靠度不低于0.992，求r的最小值；(2)当r=0.9时，求能正常工作的设备数X的分布列；(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元．请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？21.已知函数f(x)=−x2+2lnx与g(x)=x+ax有相同的极值点．(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)若对于∀x1，x2∈[1e ,3]，不等式f(x1)−g(x2)k−1≤1恒成立，求实数k的取值范围．22.某医药开发公司实验室有n(n∈N∗)瓶溶液，其中m(m∈N)瓶中有细菌R，现需要把含有细菌R的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；方案二：混合检验，将n瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R，则n瓶溶液全部不含有细菌R；若检验结果含有细菌R，就要对这n瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为n+1．(1)假设n=5，m=2，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R的概率；(2)现对n瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R的概率均为P(0≤p≤1).若采用方案一．需检验的总次数为ξ；若采用方案二．需检验的总次数为η⋅(i)若ξ与η的期望相等．试求P关于n的函数解析式P=f(n)；(ii)若P=1−e−14，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望．求n的最大值．参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln5≈1.61，ln7=1.95．答案和解析1.【答案】D【解析】解：公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，每位乘客下车的方法有5种，乘客下车的可能方式有510种， 故选：D ．根据题意，分析可得每个乘客有5种下车的方式，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查了分步计数原理，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：展开式中，令x =1可得各项系数的和为(1+3)n =4n 又由二项式系数公式得各项二项式系数的和为2n ， 所以4n 2n=64，从而得2n =64，所以n =6所以选C本题对于二项式系数的和可以通过赋值令x =1来求解，而各项二项式系数之和由二项式系数公式可知为2n ，最后通过比值关系为64即可求出n 的值是6．本题主要考查二项式定理的系数和二项式系数的知识，主要是考查学生对系数与二项式系数概念的掌握和计算方法的情况，属于基础题型，难度系数为0.8．3.【答案】B【解析】解：将女生插入到2位男生所形成的3个空中，故有A 22A 32=12种，故选：B ．将女生插入到2位男生所形成的3个空中，根据分步计数原理可得 本题考查了分步计数原理，以及相邻和不相邻问题，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由切线经过点(0,−1)和(2,0)， 可得切线的斜率为0−(−1)2−0=12，切线的方程为y =12x −1， 可得f(1)=−12，f′(1)=12，则f′(1)−f(1)=12+12=1．故选：C．由切线经过两点(0,−1)和(2,0)，可得切线的方程，进而得到切点和切线的斜率，可得所求值．本题考查切线的斜率和切点的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：因为残差是实际观察值与估计值(拟合值)之间的差，所以样本点(x i,y i)的残差为yi −(b̂x i+â).故选：C．根据残差的定义与计算方法，即可得解．本题考查残差的定义与计算方法，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：甲和乙至少一人选择黄鹤楼对应的基本事件有：4×4−3×3=7个，因为甲和乙选择的景点不同对应的基本事件有：C21×C31=6个，所以P(B|A)=67．故选：D．这是求甲和乙至少一人选择黄鹤楼的前提下，甲和乙选择的景点不同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论．本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．7.【答案】B【解析】解：选择情况共有情况：C41+C42+C43+C44=15．①i=2时，ξ2的取值为0，3，5，∴P(ξ2=5)=C2215=115，P(ξ2=3)=C2115=215，P(ξ2=0)=1−P(ξ2=5)−P(ξ2=3)=1−115−215=45．∴E(ξ2)=5×115+3×215+0×45=1115．②i=3时，ξ3的取值为0，3，5，∴P(ξ3=5)=C3315=115，P(ξ3=3)=C31+C3215=615=25，P(ξ3=0)=1−P(ξ3=5)−P(ξ3=3)=1−115−615=915=35．E(ξ3)=5×115+3×25+0×35=2315．③i=4时，ξ4的取值为3，5，∴P(ξ4=5)=C4415=115，P(ξ4=3)=C41+C42+C4315=1415．E(ξ4)=5×115+3×1415=4715．∴E(ξ2)+2E(ξ4)=1115+2×4715=7，3E(ξ3)=3×2315=235=4.6，∴E(ξ2)+2E(ξ4)>3E(ξ3)，其余经过验证不正确，因此只有B正确．故选：B．选择情况共有情况：C41+C42+C43+C44=15.分类讨论：①i=2时，ξ2的取值为0，3，5，②i=3时，ξ3的取值为0，3，5，③i=4时，ξ4的取值为3，5，利用古典概率计算公式、相互对立事件概率计算公式即可得出概率，进而得出数学期望，即可判断出正确结论．本题考查了古典概率计算公式、相互对立事件概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：根据题意，正方形ABCD的边长为2个单位，则其周长是8，若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，则三次骰子的点数之和是8或16，若三次骰子的点数之和是8，有1、1、6，1、2、5，1、3、4，2、2、4，2、3、3，共5种组合，若三次骰子的点数之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2种组合，其中1、1、6，2、2、4，2、3、3，4、6、6，5、5、6，这5种组合有C31=3种顺序，1、2、5，1、3、4，这2种组合有A33=6种顺序，则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法3×5+2×6=27种，故选：D．根据题意，分析可得若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，则三次骰子的点数之和是8或16，据此列举列分析点数中三个数字为8或16的组合数目，结合排列、组合数公式分析每种组合的顺序数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理，关键分析抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的情况．9.【答案】ACD【解析】选项A ，在t 1时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项A 正确；选项B ，在t 2时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的f′(t 2)不相等， 说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项B 错误； 选项C ，由平均变化率公式知，甲、乙两人在 [t 2,t 3]内，血管中药物浓度的平均变化率均为f(t 3)−f(t 2)t 3−t 2，即选项C 正确；选项D ，在[t 1,t 2]和[t 2,t 3]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为f(t 2)−f(t 1)t 2−t 1和f(t 3)−f(t 2)t 3−t 2显然不相同，即选项D 正确． 故选：ACD ．理解瞬时变化率和平均变化率的概念，结合导数的几何意义可知，瞬时变化率是在此点处切线的斜率， 平均变化率是f(t+△t)−f(t)△t再结合图象，逐一判断项即可．本题考查函数的实际应用，判断的关键是理解两个概念：瞬时变化率和平均变化率，考查逻辑推理能力，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】解：若X 是离散型随机变量，则E(2X +3)=2E(X)+3，D(2X +3)=4D(X)，所以A 不正确；随机变量X 服从两点分布，且成功概率为p ，则E(X)=p ，满足两点分布的期望公式的求法，所以B 正确；在回归分析中，相关指数R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合的效果要好，所以C 正确；对于独立性检验，随机变量K 2的观测值k 值越小， 则“两变量有关系”的把握程度越小，则判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故D 正确． 故选：BCD ．利用期望与方差公式判断A ；两点分布的期望公式判断B ；回归分析的性质判断C ；独立检验的性质判断D ．本题考查命题的真假的判断，考查离散型随机变量的期望与方差公式，相关系数的判断，独立检验思想的应用，是中档题．11.【答案】CD【解析】解：根据题意可知ℎ(x)=x 1x =e lnx 1x =e 1x lnx ， ∴ℎ′(x)=e1xlnx ⋅(1x lnx)′=e1xlnx ⋅(−lnx x 2+1x 2)=e 1xlnxx 2(1−lnx)，令ℎ′(x)=0得：x =e ，∴当0<x <e 时，ℎ′(x)>0，此时函数ℎ(x)单调递增；当x >e 时，ℎ′(x)<0，此时函数ℎ(x)单调递减，所以ℎ(x)有极大值ℎ(e)=e 1e ，无极小值， 故选：CD ．根据题意可知ℎ(x)=x 1x=e lnx 1x=e1xlnx ，再求出导函数ℎ′(x)，利用导函数的正负即可判断出结果．本题主要考查了利用导数研究函数的极值和最值，是中档题．12.【答案】AC【解析】解：由已知条件可得P(X =1)=p ，P(X =2)=(1−p)p ， P(X =3)=(1−p)2p +(1−p)3=(1−p)2， 则E(X)=P(X =1)+2P(X =2)+3P(X =3) =p +2(1−p)p +3(1−p)2=p 2−3p +3>1.75， 解得p >52或p <12，又由p ∈(0,1)，可得p ∈(0,12)， 结合选项可知p 的可能取值是14，512． 故选：AC ．由已知条件可得P(X =1)=p ，P(X =2)=(1−p)p ，P(X =3)=(1−p)2p +(1−p)3=(1−p)2，由此求数学期望，列出不等式，从而能求出结果．本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】y =−xπ+1【解析】解：求导得：y′=xcosx−sinxx 2，∴切线方程的斜率k =y′x=π=−1π，则切线方程为y =−1π(x −π)，即y =−1πx +1． 故答案为：y =−x π+1根据曲线的解析式求出导函数，把M 的横坐标代入导函数中求出的导函数值为切线方程的斜率，然后由切点坐标和求出的斜率写出切线方程即可．此题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，要去学生掌握求导法则，及切点横坐标对应的导函数值为切线方程的斜率．14.【答案】−26x 2【解析】解：易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，故所求的项为x 2项． 整个式子中x 2项可由(1−2x)5，(1+3x)4的展开式的常数项与二次项、一次项与一次项相乘得到：故所求为：C 50×C 42(3x)2+C 51(−2x)×C 41(3x)+C 52(−2x)2×C 40=−26x 2．故答案为：−26x 2．易知，展开式中有常数项、一次项，二次项，……，故按x 的升幂排列，第三项为含x 2项，结合展开式的通项可求解．本题考查二项式展开式通项，以及利用通项法研究特定项的问题．属于基础题．15.【答案】1.3 e −0.2【解析】解：由表知，x −=15×(2+3+4+5+6)=4，z −=15×(1.5+4.5+5.5+6.5+7)=5，由z =1.3x +a 恒过点(x −,z −)，知5=1.3×4+a ，解得a =−0.2， ∴z =1.3x −0.2，即lny =1.3x −0.2， ∴y =e 1.3x−0.2=e −0.2⋅e 1.3x ， ∴k =1.3，c =e −0.2． 故答案为：1.3，e −0.2．先由表中数据求出x −，z −，再根据回归直线方程恒过样本中心点，求出a 的值，然后结合指数和对数运算法则，即可得解．本题考查回归方程的求法，理解回归直线方程恒过样本中心点是解题的关键，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．16.【答案】85【解析】解：随机变量X的所有可能为0，1，2，3，4，P(X=0)=C64C104=114，P(X=1)=C41C63C104=821，P(X=2)=C42C62C104=37，P(X=3)=C43C61C104=435，P(X=4)=C44C104=1210，故E(X)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85，故答案为：85．求出X的可能值，求出概率，然后求解期望即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基础题．17.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知：x−=170×0.02+180×0.09+190×0.22+ 200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200．样本方差为s2=(170−200)2×0.02+(180−200)2×0.09+(190−200)2×0.22+ (200−200)2×0.33+(210−200)2×0.24+(220−200)2×0.08+(230−200)2×0.02=150．(2)由已知得μ=200，σ=12.2，所以P(X>212.2)=P(X≥μ+σ)=12[1−P(μ−σ<X<μ+σ)]=12(1−0.6826)=0.1587．故该产品为优等品的概率为0.1587．【解析】(1)套公式，可直接计算出均值x−和方差s2；(2)根据分布曲线的性质，利用P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X<μ+ 2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X<μ+3σ)=0.9974，可求出结果．本题考查频率分布直方图的应用，正态分布条件下的概率计算问题．属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意，2×2列联表如下：(2)由表中的数据可得，K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=40×(15×15−5×5)220×20×20×20=10>6.635，对照临界值表可知，能有99%的把握认为“邮箱名称里含有数字与国籍有关”； (3)用样本估计总体，将频率视为概率，根据列联表中的数据可知，中国人邮箱名称里含有数字的概率为1520=34，外国人邮箱名称里含有数字的概率为520=14，设“6个中国人邮箱名称里恰有3个含数字”的人数为随机变量X ， “6个外国人邮箱名称里恰有3个含数字”的人数为随机变量Y ， 由题意可知，X ～B(6,34),Y ～B(6,14)，所以p 1=C 63⋅(34)3⋅(1−34)3=C 63⋅(34)3⋅(14)3， p 2=C 63⋅(14)3⋅(1−14)3=C 63⋅(14)3⋅(34)3，故p 1=p 2．【解析】(1)根据题意，填写列联表即可；(2)由表中的数据计算K 2，对照临界值表即可得到答案； (3)利用随机变量的分布进行分析求解，即可得到答案．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，考查了随机变量的分布，考查了逻辑推理能力与数据分析能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明；f′(x)=e x −sinx ，由x >0，得e x >1，sinx ∈[−1,1]，则f′(x)=e x −sinx >0，即f(x)在(0,+∞)上为增函数． 故f(x)>f(0)=2，即f(x)>2． (2)由f(x)=ae x +cosx =0，得a =−cosx e x，设函数ℎ(x)=−cosx e x，x ∈[0,π]，则ℎ′(x)=sinx+cosxe x，令ℎ′(x)=0，得x=3π4，随着x变化，ℎ′(x)与ℎ(x)的变化情况如下表所示：所以ℎ(x)在(0,3π4)上单调递增，在(3π4,π)上单调递减．又因为ℎ(0)=−1，ℎ(π)=e−π，ℎ(3π4)=√22e−3π4，所以当a∈[e−π,√22e−3π4)时，方程a=−cosxe x在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间[0,3π4)与(3π4,π]上各有一个解．即所求实数a的取值范围为[e−π,√22e−3π4).【解析】(1)f′(x)=e x−sinx，判断函数的单调性，推出结果．(2)由f(x)=ae x+cosx=0，得a=−cosxe x，构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，求解函数的极值，然后求解a的取值范围．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的奇偶性的应用，是中档题．20.【答案】解：(1)要使系统的可靠度不低于0.992，则P(X≥1)=1−P(X<1)=1−P(X=0)=1−(1−r)3≥0.992，解得r≥0.8，故r的最小值为0.8．(2)X正常工作的设备数，由题意可知，X～B(3,r)，P(X=0)=C30×0.90×(1−0.9)3=0.001，P(X=1)=C31×0.91×(1−0.9)2=0.027，P(X=2)=C32×0.92×(1−0.9)1=0.243，P(X=3)=C33×0.93×(1−0.9)0=0.729，从而X的分布列为(3)设方案1、方案2的总损失分别为X1，X2，采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到0.9，由(2)可知计算机网络断掉的概率为0.001，不断掉的概率为0.999， 因为E(X 1)=80000+0.001×500000=80500元．采用方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，由(1)可知计算机网络断掉的概率为0.008，E(X 2)=50000+0.008×500000=54000元， 因此，从期望损失最小的角度，决策部分应选择方案2．【解析】(1)由对立事件概率公式及相互独立事件同时发生的概率公式可得关于r 的不等式，解之即可求解；(2)由题意可知，X ～B(3,r)，从而可求得X 的分布列；(3)方案1、方案2的总损失分别为X 1，X 2，根据题意结合(1)(2)分别计算E(X 1)，E(X 2)，从而可得结论．本题主要考查离散型随机变量及其分布列、数学期望，考查对立事件的概率公式，相互独立事件同时发生的概率公式，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=−2x +2x =−2(x+1)(x−1)x(x >0)，由{f′(x)>0x >0得0<x <1； 由{f′(x)<0x >0得x >1． ∴f(x)在(0,1)上为增函数，在(1,+∞)上为减函数，∴x =1是函数f(x)的极大值点． ∵g(x)=x +ax ，∴g′(x)=1−ax 2， 又∵函数f(x)与g(x)=x +ax 有相同极值点，∴x =1是函数g(x)的极值点，∴g′(1)=1−a =0，解得a =1． 经检验，当a =1时，函数g(x)取到极小值，符合题意． (Ⅱ)令ℎ(x)=f(x)−g(x)=−x 2+2lnx −x −1x ，x ∈[1e ,3]． 则ℎ′(x)=−2x +2x −1+1x 2=−(x+1)(2x+1)(x−1)x 2，令ℎ′(x)=0，解得x =1．当x ∈[1e ,1)时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增；当x ∈(1,3]时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减．∴当x =1时，函数ℎ(x)取得极大值ℎ(1)=−3.ℎ(3)=−373+2ln3，ℎ(1e )=−e −2−1+e e ，可知：ℎ(3)<ℎ(1e )．①当k−1>0时，对于∀x1，x2∈[1e ,3]，不等式f(x1)−g(x2)k−1≤1恒成立，等价于k−1≥[f(x1)−g(x2)]max，∵f(x1)−g(x2)≤f(1)−g(1)=−3，∴k≥−3+1=−2，又k>1，∴k>1．②当k−1<0时，对于∀x1，x2∈[1e ,3]，不等式f(x1)−g(x2)k−1≤1恒成立，等价于k−1≤[f(x1)−g(x2)]min，∵f(x1)−g(x2)≥f(3)−g(3)=−373+2ln3，∴k≤−343+2ln3，又∵k≤1，∴k≤−343+2ln3．综上可知：实数k的取值范围是(−∞,−343+ln3]∪(1,+∞)．【解析】(I)利用导数得出函数f(x)的极值点x0，再令g′(x0)=0即可得出a的值，再进行验证即可；(II)通过对k−1分正负讨论，把要证明的不等式变形等价转化，再利用导数研究其极值与最值即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、证明不等式，考查了分类讨论的思想方法，考查了计算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)记“恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R”事件为A，“第三次含有细菌R且前2次中有一次含有细菌R”为事件B，“前3次均不含有细菌R”为事件B，且A=B∪C，且B，C互斥，∴P(A)=P(B)+P(C)=A21A21A31A53+A33A53=310．(2)(i)E(ξ)=n，η的可能取值为1，n+1，P(η=1)=(1−p)n，P(η=n+1)=1−(1−p)n，∴E(η)=(1−p)n+(n+1)[(1−p)n]=n+1−n(1−p)n，由E(ξ)=E(η)，得n=n+1−n(1−p)n，∴P=1−(1n)1n，n∈N∗．(ii)P=1−e−14，∴E(η)=n+1−n⋅e−14，∴(n+1)−n⋅e−14<n，∴lnn−n4>0，设f(x)=lnx−x4，x>0，f′(x)=1x −14=4−x4x，当x∈(0,4)时，f′(x)>0，f(x)在(0,4)上单调递增，当x∈(4,+∞)时，f′(x)<0，f(x)在(4,+∞)上单调递减，又f(8)=ln8−2>0，f(9)=ln9−94<0，∴n的最大值为8．【解析】(1)记“恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R”事件为A，“第三次含有细菌R且前2次中有一次含有细菌R”为事件B，“前3次均不含有细菌R”为事件B，且A=B∪C，且B，C互斥，利用互斥事件概率计算公式能求出结果．(2)(i)E(ξ)=n，η的可能取值为1，n+1，P(η=1)=(1−p)n，P(η=n+1)=1−(1−p)n，E(η)=(1−p)n+(n+1)[(1−p)n]=n+1−n(1−p)n，由E(ξ)=E(η)，能求出结果．(ii)P=1−e−14，从而E(η)=n+1−n⋅e−14，进而(n+1)−n⋅e−14<n，lnn−n4>0，设f(x)=lnx−x4，x>0，f′(x)=1x−14=4−x4x，利用导数性质能求出n的最大值．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。

湖北省武汉市部分重点高中2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题含答案B.g(x)x 1x1C.h(x)x2 1D.k(x)x 210.已知函数f(x)x33x22x，g(x)ax2bx c，若f(x)g(x)2，则aA.1B.1C.2D. 211.已知函数f(x)x22x1，g(x)x1，则f(g(x))A.x22x2B.x22x3C.x23x2D.x23x 312.已知函数f(x)x2x2，g(x)x1，则f(g(x))A.x22x3B.x22x3C.x22x3D.x22x 3武汉市部分重点中学2020-2021学年度上学期期中联考高一数学试卷1.函数 $f(x)=\frac{3x^2}{1-x}-\frac{2}{3x+1}$ 的定义域是A。

$(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$B。

$(-\infty,-1)\cup(-1,1)$C。

$[-1,1]$D。

$(-\infty,-\frac{1}{3})\cup(\frac{1}{3},\infty)$2.集合 $A=\{xy=2(2-x)\}$，$B=\{yy=2x,x>1\}$，则$A\cap B$=A。

$[0,2]$B。

$(1,2]$C。

$[1,2]$D。

$(1,+\infty)$3.已知命题 $p:\forall x>0,\ (x+1)e^x>1$，则命题 $p$ 的否定为A。

$\exists x\leq 0,\ (x+1)e^x\leq 1$B。

$\exists x>0,\ (x+1)e^x\leq 1$C。

$\exists x>0,\ (x+1)e^x\leq 1$D。

$\exists x\leq 0,\ (x+1)e^x\leq 1$4.设 $a=0.6^{0.6}$，$b=0.6^{1.2}$，$c=1.2^{0.6}$，则$a$，$b$，$c$ 的大小关系是A。

$a<b<c$B。

湖北省武汉市重点中学5G 联合体2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（答案在最后）命题学校：考试时间：2024年11月8日试卷满分：150分祝考试顺利注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线πtan4y =的倾斜角为（）A.0B.π4 C.π2D.π【答案】A 【解析】【分析】由题及倾斜角定义可得答案.【详解】πtan 4y =斜率为0，则倾斜角为0.故选：A2.已知空间向量()()1,3,5,2,,a b x y =-= ，且a∥b ，则x y +=（）A.10B.6C.4D.4-【答案】C 【解析】【分析】运用空间向量平行的坐标结论计算.【详解】因为a∥b ，所以352xy-==1,即6,10x y =-=，则4x y +=.故选：C.3.已知直线21:10l a x y ++=与直线2:370l x ay -+=，则“3a =”是“12l l ⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由垂直关系求出a 的值，再结合充分、必要条件的概念即可得答案.【详解】若12l l ⊥，则230a a -=，解得0a =或3a =，所以“3a =”是“12l l ⊥”的充分不必要条件．故选：A .4.已知向量()0,0,2a = ，()1,1,1b =- ，向量a b + 在向量a上的投影向量为（）．A.()0,0,3 B.()0,0,6C.()3,3,9- D.()3,3,9--【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算及投影向量的公式计算即可.【详解】由题意可知()1,13a b +=-，，()6,2a b a a +⋅== ，所以向量a b + 在向量a上的投影向量为()()()60,0,20,0,322a b a a a a +⋅⋅=⨯=⋅ .故选：A5.如图，在直三棱柱11ABC AB C -中，2AC =，3BC =，14CC =，90ACB ∠=︒，则1BC 与1AC 所成的角的余弦值为（）A.3210B.8210C.30525D.8525【答案】D 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用111111cos ,CA CA CA BC BC BC ⋅=⋅计算出1BC 与1AC 所成的角的余弦值.【详解】以C 为坐标原点，1,,CA CB CC 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()110,0,0,2,0,4,0,3,0,0,0,4C A B C ，则()()110,3,4,2,0,4B A C C =-= ，则1BC 与1AC 所成的角的余弦值为()()1111110,3,542,0,416cos ,916415610825CA CA B C C A C BC B ⋅-⋅====+⨯+⋅.故选：D6.已知椭圆22:416C x y +=的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上的任意一点，则错误的是（）A.C的离心率为2B.128PF PF +=C.1PF的最大值为4+ D.使12F PF ∠为直角的点P 有2个【答案】D 【解析】【分析】AB 选项，由题可得a ，b ，c ，后由离心率计算式，椭圆定义可判断选项正误；C 选项，由椭圆方程结合两点间距离公式可判断选项正误；D 选项，即判断以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆是否有两个交点.【详解】2222:4161164x y C x y +=⇔+=，则42，，a b c ===.AB 选项，32c e a ==，故A 正确；1228PF PF a +==，故B 正确；C选项，由题可知，()1F -，设s ，则1PF ===+，由题可得[]4,4x ∈-，则14PF ≤=+，故C 错误；D 选项，因12F PF ∠为直角，则P 在以原点为圆心，半焦距为半径的圆上，则2212x y +=，与22:416C x y +=联立，可得2232343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.则满足条件的点P为,,,,33333333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，共4个，故D 错误.故选：D7.已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为21s ，平均数为1x ；去掉的两个数据的方差为22s ，平均数为2x ；原样本数据的方差为2s ，平均数为x ，若12x x =，则下列选项错误．．的是（）A.1x x =B.剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变C.22221109s s s =+D.剩下18个数据的22%分位数大于原样本数据的22%分位数【答案】D 【解析】【分析】设20个样本数据从小到大排列分别为12320,,,,x x x x ，再根据中位数、平均数、第22百分位数与方差的定义与公式推导即可.【详解】设20个样本数据从小到大排列分别为12320,,,,x x x x ，则剩下的18个样本数据为2319,,,x x x ，对于A ，依题意，()12319118x x x x =+++ ，21201()2x x x =+，()1220120x x x x =+++ ，由12x x =，得()()1231912011182x x x x x x =+++=+ ，即231911201182x x x x x x x +++=+= ，于是1231920120x x x x x x +++++= ，因此()12319201120x x x x x x +++++= ，即1x x =，A 正确；对于B ，原样本数据的中位数为10112x x +，剩下的18个样本数据的中位数为10112x x +，B 正确；对于C ，因为12x x x ==，则22222123191()18s x x x x =+++- ，22221201()2s x x x =+-，()222221220120s x x x x =+++- ，于是2222231911818x x x s x +++=+ ，222120222x x s x +=+，因此()222222221212191181822201010s s x s x x s s =+++-=+，即22221109s s s =+，C 正确；对于D ，因为1822% 3.96⨯=，则剩下18个数据的22%分位数为5x ，又2022% 4.4⨯=，则原样本数据的22%分位数为5x ，D 错误.故选：D8.已知P 为棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内切球表面一动点，且AP xAB =+1y AD z AA + ，则x y z ++的取值范围是（）A.32⎡-⎢⎣B.3333,22⎡+⎢⎣⎦C. D.3,2⎡+⎢⎣【答案】B 【解析】【分析】如图建立坐标系，可将x y z ++转化为AP 在1AC uuu r倍，结合图形可得答案【详解】如图以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为x ，y ，z 轴建系，则()()()11,0,00,0,10,1,0B A D ，，，()()()11,0,00,0,10,1,0AB AA AD ===，，则(,,)=AP x y z ，又()11,1,1C ，()11,1,1AC =则1111cos ,cos ,x y z AP AC AP AC AP AC AP AC ++=⋅=⋅=.1cos ,AP AP AC 表示AP 在1AC uuu r方向上的投影向量的长度.如图当P 在G 或F 时，即当A ，O ，P 共线时，1cos ,AP AP AC取最值.因111,,222O ⎛⎫⎪⎝⎭，内切球半径为12.则111cos ,22AO AP AP AC AO -≤≤+ ,则11cos ,22AP θ⎤-∈⎥⎣⎦，则33,22x y z ⎡+++∈⎢⎣⎦.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知事件A ，B 满足()0.5P A =，()0.2P B =，则（）A.若B A ⊆，则()0.5P AB =B.若A 与B 互斥，则()0.7P A B +=C.若P (AB )=0.1，则A 与B 相互独立D.若A 与B 相互独立，则()0.9P AB =【答案】BC 【解析】【分析】根据给定条件，结合概率的性质、互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析判断即可.【详解】对于A ，由B A ⊆，得()()0.2P AB P B ==，A 错误；对于B ，由A 与B 互斥，得()0.50.20.7P A B +=+=，B 正确；对于C ，由()0.10.50.2P AB ==⨯，得()()()P AB P A P B =，则A 与B 相互独立，C 正确；对于D ，由A 与B 相互独立，得,A B 相互独立，则()()()0.50.80.4P AB P A P B ==⨯=，D 错误.故选：BC10.（多选）如图，在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段1DD 的中点，点F 为线段1BB 的中点，则（）A.点1A 到直线1B E 的距离为53 B.直线1FC 到直线AE 的距离为305C.点1A 到平面1AB E 的距离为13D.直线1FC 到平面1AB E 的距离为13【答案】ABD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出直线1B E 的单位方向向量，由点到直线距离的向量公式求解可判断A ；先证明1AE FC ∥，然后由由点到直线距离的向量公式求解可判断B ；求出平面1AB E 的法向量，由点到平面的向量公式可判断CD.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()11,0,1A ，()11,1,1B ，10,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,1,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,1,1C ，1,0,0．因为111,1,2B E ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ ，111221,,333B E u B E ⎛⎫==--- ⎪⎝⎭ ，11(0,1,0)A B =．设()1110,1,0a A B == ，所以1123a u ⋅=- ，所以点1A 到直线1B E 22()a a u -⋅45193=-=，故A 正确．因为11,0,2AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，111,0,2FC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，所以1AE FC ∥，所以1AE FC ∥，所以点F 到直线AE 的距离即为直线1FC 到直线AE 的距离．2255,0,55AE u AE ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，10,1,2AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．设210,1,2a AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，所以22510a u ⋅= ，所以直线1FC 到直线AE 255304105⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，故B 正确．设平面1AB E 的一个法向量(,,)n x y z =，又1(0,1,1)AB = ，11,0,2AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，所以10,10.2n AB y z n AE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取2z =，则2y =-，1x =，所以(1,2,2)n =-，所以0122,,333n n n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．又1(0,0,1)A A =，所以点1A 到平面1AB E 的距离为1023A A n ⋅= ，故C 错误．因为1FC AE ∥，1FC ⊂/平面1AB E ，所以1//FC 平面1AB E ，所以1FC 到平面1AB E 的距离即为点F 到平面1AB E 的距离．又平面1AB E 的单位法向量0122,,333n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，110,0,2FB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，所以直线1FC 到平面1AB E 的距离为10FB n ⋅ 13=，故D 正确．故选：ABD11.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线22:22C x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（）A.曲线C 围成的图形有6条对称轴B.曲线C围成的图形的周长是C.若(),T a b 是曲线C 上任意一点，4318a b +-的最小值是11-D.曲线C 上的任意两点间的距离不超过6【答案】BCD 【解析】【分析】分情况去掉绝对值，可得曲线的四段关系式，进而作出曲线的图像，即可判断各选项.【详解】当0x >，0y >时，曲线方程可化为2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=，是以()1,1为圆心，为半径的圆在第一象限的半圆，同理可作出其他象限内的图象，且()0,0在曲线C上，如图所示，A 选项：曲线C 围成的图形有4条对称轴，分别是直线0x =，0y =，y x =，y x =-，A 错误；B 选项：曲线C 围成的图形的周长为4π⨯=，B 正确；C 选项：(),T a b 到直线43180x y +-=的距离为43185a b d +-=，且点()1,1到直线43180x y +-=的距离为115，由圆的性质，曲线C 上任意一点到直线43180x y +-=的距离最小值为115，即115d ≥所以4318a b +-的最小值是11-，C 正确；D选项：综上，易知曲线上任意两点间的距离最大值为6<，D 正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.同时抛掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为4的概率为______；【答案】112【解析】【分析】按古典概型概率公式求解.【详解】同时抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件共有6636⨯=个；设两枚骰子点数之和为4为事件A ，则事件A 包含：()1,3，()2,2，()3,1共3个基本事件，所以()313612P A ==.故答案为：11213.过点()3,1P -且与圆C ：222660x y x y +--+=相切的直线方程为________【答案】3x =或3450x y +-=【解析】【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线方程.【详解】圆C ：222660x y x y +--+=即()()22134x y -+-=，圆心为()1,3C，半径2r =，当切线的斜率不存在时，直线3x =恰好与圆C 相切；当切线的斜率存在时，设切线为()13y k x +=-，即310kx y k ---=，则2d ==，解得34k =-，所求切线方程为3450x y +-=，综上可得过点()3,1P -与圆C 相切的直线方程为3x =或3450x y +-=.故答案为：3x =或3450x y +-=14.已知四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形ABCD ，过棱PC 的中点M 和点A 作一平面，分别交棱PB 和PD 于点E 和F .①设,,PB a PC b PD c === ，则PA =uu r ______.（用向量,,a b c表示）②记四棱锥P ABCD -的体积为V ，四棱锥P AEMF -的体积为1V ，则1V V 的取值范围是______.【答案】①.a c b +- ②.13,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】①根据向量加法的平行四边形法则可得PA PC PB PD +=+ ，从而得解；②设,PE PF x y PB PD==,利用空间向量基本定理中的推论四点共面得到113x y +=,设1V =,利用体积分割转化将1V V 表示为()14x y +然后利用得到的关系将此式转化为关于x 的函数，适当整理，利用对勾函数的单调性即可求得其取值范围.【详解】根据题意，底面是平行四边形ABCD ，所以，即得PA a c b =+- ，如图所示，设11,,2PE PF x y PA PM PE PF PB PD x y==+=+ ，112PA PM PE PF x y∴=-++ ，又A ，M ，E ，F 四点共面，,,PM PE PF 不共面，111121,3x y x y∴-++=∴+=，设1V =，则112C PAB PMF EMA PMF EMA A PMF M AEP A PCD M PAB A PCD PCD PAB PCD PAB V V S S S S V V V V V V V S S S S ------==+=+=+⨯1124PF PM PE PD PC PB ⨯=⨯+⨯⨯11112()144443393x y x y x x ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪=+=+=-++ ⎪⎛⎫ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由1131y x =-≥，求得11121,2633x x ≤≤∴≤-≤，当1133x -=时，1V V 取得最小值为13，此时23x y ==，当1136x -=，或1233x -=时，即当11,2x y ==或1,12x y ==时1V V 取得最大值为38，故答案为：13,.38a c b ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦，，【点睛】关键点点睛：设,PE PF x y PB PD==,利用空间向量基本定理中的推论四点共面得到113x y +=,设1V =,利用体积分割转化将1V V 表示为()14x y +然后利用得到的关系将此式转化为关于x 的函数，适当整理，利用对勾函数的单调性即可求得其取值范围.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.6．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．用Y 表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么（1）在树状图中填写样本点，并写出样本空间；（2）求李明第二次答题通过面试的概率；（3）求李明最终通过面试的概率．【答案】（1）树状图见解析，样本空间为{,,,}Y NY NNY NNN Ω=（2）0.24（3）0.936【解析】【分析】（1）根据题意，列出树状图，并写出样本空间即可；（2）由第二次通过面试，即第一次没有通过，第二次通过，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解；（3）先求出未通过面试的概率，结合对立事件的概率求法，即可求解.【小问1详解】解：根据题意，可得树状图及样本点，如图所示，其样本空间为{,,,}Y NY NNY NNN Ω=.【小问2详解】解：由题意知，()0.6,()1()0.4P Y P N P Y ==-=，所以第二次答题通过面试的概率()()()0.40.60.24P NY P N P Y ==⨯=.【小问3详解】解：由题意，李明未通过的概率为()0.40.40.40.064P NNN =⨯⨯=，所以李明通过面试的概率为1()10.0640.936P P NNN =-=-=.16.为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），使居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)[)0,1,1,2,,8,9 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中0.4a b =.（1）求直方图中a ，b 的值；（2）由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.【答案】（1）0.15a =，0.06b =（2）4.07吨（3）5.8【解析】【分析】（1）结合图中数据，由直方图中所有长方形的面积之和为1列出等式，即可求出答案；（2）由频率分布直方图中平均数的求法，直接计算即可；（3）结合图中数据易知标准x 在[5,6)中，由此即可求出x 的估计值.【小问1详解】由频率分布直方图可得0.04+0.08+0.200.260.040.021a a b ++++++=，又0.4a b =，则0.15a =，0.06b =.【小问2详解】该市居民用水的平均数估计为：0.50.04 1.50.08 2.50.15 3.50.20 4.50.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5.50.15 6.50.067.50.048.50.02 4.07+⨯+⨯+⨯+⨯=（吨）.【小问3详解】因[0,5)的频率为0.040.080.150.200.260.730.85++++=<，[0,6)的频率为0.730.150.880.85+=>，故x 的估计值为()0.850.73565 5.80.15-+⨯-=（吨）．所以有85%的居民每月的用水量不超过标准5.8（吨）．17.已知ABC V 中，(1,1),(3,1),(4,0)A B C ---；（1）求边AB 的中线所在直线的方程；（2）求经过A ，B ，C 三点的圆1O 的标准方程；（3）已知圆222:4420O x y x y +---=与（2）中圆1O 相交于,A B ，求直线AB 的方程，并求A .【答案】（1）0y =（2）22(1)(4)25x y +++=（3）21x y +-=.【解析】【分析】（1）先求出AB 的中点坐标，进而求出中线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解；（2）根据两点坐标表示求出AB 的斜率，进而可得直线AB 、BC 的中垂线方程，联立方程组，解之可得1(1,4)O --，结合圆的标准方程即可求解；（3）根据两圆的方程相减可得:210AB x y +-=，利用点线距公式和几何法求弦长计算即可求解.【小问1详解】AB 中点为00(1,0),014CD D k -==+，所以其中线CD 方程为0y =.【小问2详解】1(1)1132AB k --==---，直线AB 的中垂线方程为2(1)y x =-，同理直线BC 的中垂线方程为15322y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，2(1)15322y x y x =-⎧⎪⎨⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得14x y =-⎧⎨=-⎩，即11(1,4)5O O C --⇒==，所以所求圆标准方程为22(1)(4)25x y +++=.【小问3详解】由题意，圆1O 与2O 的方程相减，得:210AB x y +-=，1O 直线AB==，所以||AB ==18.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，,D E 分别是,AC AB 上的点，满足DE BC ∥且DE 经过ABC V 的重心，将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A C CD ⊥，M 是1A D 的中点，如图所示.（1）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（2）求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（3）在线段1AC 上是否存在点N ，使平面CBM 与平面BMN 成角余弦值为34？若存在，求出CN 的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）π4（3【解析】【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系；（2）以CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CA 为z 轴，建立空间直角坐标系.用向量法求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（3）假设存在点N ，使平面CBM 与平面BMN 成角余弦值为34，设1CN CA λ= ，分别求解两平面的法向量，用λ表示余弦值解方程可得.【小问1详解】因为在Rt ABC △中，90C ∠=︒，DE BC ∥，且BC CD ⊥，所以DE CD ⊥，DE AD ⊥，则折叠后，1DE A D ⊥，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以DE ⊥平面1A CD ，1A C ⊂平面1ACD ，所以1DE A C ⊥，又已知1A C CD ⊥，CD DE D = 且都在面BCDE 内，所以1A C ⊥平面BCDE ；【小问2详解】由（1），以CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CA 为z 轴，建立空间直角坐标系-C xyz.因为2AD CD =，故223DE BC ==，由几何关系可知，2CD =，14A D =，1AC =，故()0,0,0C ，()2,0,0D ，()2,2,0E ，()0,3,0B，(10,0,A，(M，(CM =，(10,3,A B =-，(12,2,A E =- ，设平面1A BE 的法向量为(),,n x y z =r ，则1100n A B n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30220y x y ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，不妨令2y =，则z =，1x =，(n = .设CM 与平面1A BE 所成角的大小为θ，则有sin cos ,2CM n CM n CM nθ⋅=== ，设θ为CM 与平面1A BE 所成角，故π4θ=，即CM 与平面1A BE 所成角的大小为π4；【小问3详解】假设在线段1AC 上存在点N ，使平面CBM 与平面BMN成角余弦值为4.在空间直角坐标系中，(1,BM =-，CM =，1(0,0,CA = ，设1CN CA λ=，则(0,0,)CN =，(0,3,0)(0,0,)(0,3,)BN BC CN =+=-+=- ，设平面BMN 的法向量为()2222,,n x y z = ，则有2200n BM n BN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222223030x y y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令2z =22y λ=，263x λ=-，所以(263,2n λλ=-，设平面CBM 的法向量为()3333,,n x y z = ，则有3300n BM n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即33333300x y x ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，不妨令3z =，则33x =-，30=y，所以(3n =- ，若平面CBM 与平面BMN 成角余弦值为34.则满足232323cos ,n n n n n n ⋅== ，化简得22310λλ-+=，解得1λ=或12，即1CN CA = 或112CN CA = ，故在线段1AC 上存在这样的点N ，使平面CBM 与平面BMN 成角余弦值为34.此时CN或19.有一个半径为4的圆形纸片，设纸片上一定点F 到纸片圆心E的距离为一点M 与点F 重合，以点F ，E 所在的直线为x 轴，线段EF 中点为原点O ，建立平面直角坐标系．（1）记折痕与ME 的交点P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程．（2）若直线():0l y kx m m =+>与曲线C 交于A ，B 两点．（ⅰ）当k 为何值时，22OA OB +为常数d ，并求出d 的值．（ⅱ）以A ，B 为切点，作曲线C 的两条切线，设其交点为Q ，当2OQ d =时，证明：QA QB ⊥【答案】（1）2214x y +=（2）（ⅰ）12k =±，5；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义判断轨迹，即可求出方程．（2）（ⅰ）联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系表示出22OA OB +，写出关于k 的表达式分析可得．（ⅱ）分情况讨论，当切线斜率存在时，根据切线与椭圆只有一个切点，利用0∆=以及根与系数的关系，得到QA ，QB 的斜率关系，即可证得．【小问1详解】由题意可知，4PF PE PM PE ME EF +=+==>=，所以P 点轨迹是以F ，E 为焦点，4为长轴长的椭圆，即c =，2a =，所以1b ==，所以曲线C 的方程，即椭圆方程为2214x y +=．【小问2详解】（ⅰ）由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消元得，()222418440k x kmx m +++-=，由()()222264164110k m k m ∆=-+->，得22410k m -+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -=+，所以22222212121144x x OA OB x x +=+-++-()2212324x x =++()212123224x x x x ⎡⎤=++-⎣⎦()222222246246241k m m k k -++=++()()()22222641641241m k k k -++=++，当22OA OB +为常数d 时，即与2m 无关，令2410k -=，得12k =±，此时225OA OB +=恒成立，即当12k =±时，225OA OB d +==．（ii ）证明：设()00,Q x y ，则22005x y +=当两切线中有一条切线斜率不存在时，即与x 轴垂直时，切线方程为2x =±，即02x =±，得01y =±，所以另一条切线方程为1y =±，即与x 轴平行，显然，两切线垂直，即QA QB ⊥．当斜率存在时，2m ≠，设切线方程为()000y k x x y =-+，由()0002214y k x x y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()()()22200000000148440k x k y k x x y k x ++-+--=，由()()()20000220000Δ4144408k y k x k y k x ⎡⎤=-⨯+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦-，化简得()2220000004210x k x y k y --+-=．设两条切线的斜率分别为1k ，2k ，因为2040x -≠，所以220012220014144y x k k x x --===---，所以两条切线相互垂直，即QA QB ⊥．综上，QA QB ⊥．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、21x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.。

武汉市部分重点中学２０２２ ２０２３学年度下学期期末联考高二数学试卷命题学校:武汉十一中㊀㊀命题教师:王若伊㊀夏世锋审题教师:雷兵㊀夏晓阳考试时间:２０２３年６月２７日下午１４:００ １６:００㊀㊀㊀㊀㊀试卷满分:１５０分一㊁选择题:本题共８小题,每小题５分,共４０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．１．样本数据x １,x ２, ,x n 的平均数 x ＝４,方差S ２＝１,则样本数据２x １＋１,２x ２＋１, ,２x n ＋１的平均数㊁方差分别为(㊀㊀)A．４,１B ．９,２C ．９,４D．２,１２．某同学参加篮球测试,老师规定每个同学罚篮１０次,每罚进一球记５分,不进记－１分,已知该同学的罚球命中率为６０％,并且各次罚球互不影响,则该同学得分的数学期望为(㊀㊀)A．３０B ．２６C ．２０D．３６３．从１,２,３,４,５中随机选取三个不同的数,若这三个数之积为偶数,则它们之和大于８的概率为(㊀㊀)A．５９B ．２３C ．４９D．１３４．在正常环境下,甲㊁乙两个品种的茶青每５００克的红茶产量(单位:克)分别为X ,Y ,且X ~N μ１,σ２１(),Y ~N μ２,σ２２(),其密度曲线如图所示,则以下结论错误的是(㊀㊀)A．Y 的数据较X 更集中㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀B ．P X ɤc ()＜P Y ɤc ()C ．甲种茶青每５００克的红茶产量超过μ２的概率大于１２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀D．P (X ＞c )＋P Y ɤc ()＝１５．若f x ()＝a l n x ＋b x ２＋x 在x ＝１和x ＝２处有极值,则函数f x ()的单调递增区间是(㊀㊀)A．－¥,１()B ．２,＋¥()C ．１,２()D．１,１æèçùûúú６．已知双曲线C:x２a２－y２b２＝１(a＞０,b＞０)的左㊁右焦点分别为F１,F２,点P为第一象限内一点,且点P在双曲线C的一条渐近线上,P F１ʅP F２,且P F１＝３P F２,则双曲线C的离心率为(㊀㊀)A．５２B．５２C．１０２D．５４７．一堆苹果中大果与小果的比例为９ʒ１,现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为５％,把小果筛选为大果的概率为２％．经过一轮筛选后,现在从这台分选机筛选出来的 大果 里面随机抽取一个,则这个 大果 是真的大果的概率为(㊀㊀) A．８５７１０００B．８５５８５７C．１７１２００D．９１０８．已知正三棱锥的高为h,且１ɤhɤ３,其各个顶点在同一球面上,且该球的表面积为１６π,则该三棱锥体积的最大值为(㊀㊀)A．６４㊀３２７B．６４㊀３９C．１６㊀３２７D．１６㊀３９二㊁选择题:本题共４小题,每小题５分,共２０分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得５分,部分选对的得２分,有选错的得０分．９．以下说法正确的是(㊀㊀)A．在残差的散点图中,残差分布的水平带状区域的宽度越窄,其模型的拟合效果越好B．若A㊁B两组数据的样本相关系数分别为r A＝０．９７,r B＝－０．９９,则A组数据比B组数据的相关性较强C．决定系数R２越小,模型的拟合效果越差D．有１０件产品,其中３件次品,抽２件产品进行检验,恰好抽到一件次品的概率是７１５１０．爆竹声声辞旧岁,银花朵朵贺新春．除夕夜里小光用３D投影为家人进行虚拟现实表演,表演分为 燃爆竹㊁放烟花㊁辞旧岁㊁迎新春 ４个环节．小光按照以上４个环节的先后顺序进行表演,每个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响,若每个环节表演成功的概率均为３４,则(㊀㊀)A．事件 成功表演燃爆竹环节 与事件 成功表演辞旧岁环节 互斥B． 放烟花 ㊁ 迎新春 环节均表演成功的概率为９１６C．表演成功的环节个数的期望为３D．在表演成功的环节恰为３个的条件下 迎新春 环节表演成功的概率为３１１．已知抛物线C:y２＝４x的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于P x１,y１(),Q x２,y２()两点,点P在l上的射影为P１,则(㊀㊀)A．若x１＋x２＝５,则P Q＝７㊀㊀㊀㊀㊀B．以P Q为直径的圆与准线l相交C．设M０,１(),则P M＋P P１ȡ２D．过点M０,１()与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有３条１２．如图,矩形A B C D中,A B＝４,B C＝２,E为边A B的中点,沿D E将ΔA D E折起,点A折至A１处(A１∉平面A B C D),若M为线段A１C的中点,二面角A１－D E－C大小为α,直线A１E与平面D E B C所成角为β,则在ΔA D E折起过程中,下列说法正确的是(㊀㊀)A．存在某个位置,使得B MʅA１DB．әA１E C面积的最大值为２２C．三棱锥A１－E D C体积最大是４㊀２３D．当α为锐角时,存在某个位置,使得s i nα＝２s i nβ三㊁填空题:本题共４小题,每小题５分,共２０分．１３．某校高三年级进行了一次高考模拟测试,这次测试的数学成绩X~N９０,δ２(),且()＝０．１,规定这次测试的数学成绩高于１２０分为优秀．若该校有１２００名高三学生参P X＜６０加测试,则数学成绩为优秀的人数是．１４．某手机商城统计了最近５个月手机的实际销量,如下表所示:时间x１２３４５销售量y(千只)０．５０．８１．０１．２１．５若y与x线性相关,且线性回归方程为yɡ＝０．２４x＋aɡ,则aɡ＝．{,若直线y＝k x＋１与曲线y＝f(x)有且只有一个公共点,则１５．已知函数f x()＝e x,(x＞０)－x,xɤ０()实数k的取值范围是．１６．近年来,我国外卖业发展迅猛,外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线．某外卖小哥每天来往于４个外卖店(外卖店的编号分别为１,２,３,４),约定:每天他首先从１号外卖店取单,叫做第１次取单,之后,他等可能的前往其余３个外卖店中的任何一个店取单叫做第２次取单,依此类推．假设从第２次取单开始,他每次都是从上次取单的店之外的３个外卖店取单,设事件A k＝{第k次取单恰好是从１号店取单},P A k()是事件A k发生的概率,显然P A１()＝,P A２()＝０,则P A３()＝,P A１０()＝(第二空精确到)．四㊁解答题:共７０分．解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤．１７．已知正项等比数列a n {}的前n 项和为S n ,且a １＝１,２a １＋a ２＝a ３,数列b n {}满足２b n＝４a n S n ＋１()．(１)求数列b n {}的通项公式;(２)记T n 为数列１b n b n ＋１{}的前n 项和,正数m ɤT n 恒成立,求m 的取值范围．１８．国内某企业,研发了一款环保产品,为保证成本,每件产品售价不低于４３元,经调研,产品售价x (单位:元/件)与月销售量y (单位:万件)的情况如下表所示:售价x (元/件)５２５０４８４５４４４３月销售量y (万件)５６７８１０１２(１)求相关系数r (结果保留两位小数);(２)建立y 关于x 的经验回归方程,并估计当售价为５５元/件时,该产品的月销售量约为多少件参考公式:对于一组数据x i ,yi ()i ＝１,２,３, ,n (),相关系数r ＝ðni ＝１x i － x ()y i － y()ðni ＝１x i －x ()２ðni ＝１y i － y()２,其回归直线y ɡ＝b ɡx ＋a ɡ的斜率和截距的最小二乘估计分别为:b ɡ＝ðni ＝１x i － x ()y i － y()ðni ＝１x i －x ()２,a ɡ＝ y－b ɡx ．(３４ʈ５．８３)１９．某车企随机调查了今年某月份购买本车企生产的２０n (n ɪN ＋)台新能源汽车车主,统计得到以下２ˑ２列联表,经过计算可得x ２ʈ５．５５６．喜欢不喜欢总计男性１０n １２n女性３n总计１５n(１)完成表格并求出n 值,并判断有多大的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关;(２)采用比例分配的分层抽样法从调查的不喜欢和喜欢新能源汽车的车主中随机抽取１２人,再从抽取的１２人中抽取４人,设被抽取的４人中属于不喜欢新能源汽车的人数为X ,求X 的分布列及数学期望．附:χ２＝n (a d －b c )２(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ),其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．P (x ２ȡk )０．１５０．１００．０５０．０２５０．０１００．００５０．００１k２．０７２２．７０６３．８４１５．０２４６．６３５７．８７９１０．８２８２０．已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b２＝１a ＞b ,０＜b ＜２()的左㊁右焦点分别为F １,F ２,点M 在椭圆上,M F ２ʅF １F ２,若ΔM F １F ２的周长为６,面积为３２．(１)求椭圆C 的标准方程;(２)过点F ２的直线l 交椭圆于A ,B 两点,交y 轴于P 点,设P A ң＝λ１A F ２ң,P B ң＝λ２BF ２ң,试判断λ１＋λ２是否为定值请说明理由．２１．王老师打算在所教授的两个班级中举行数学知识竞赛,分为个人晋级赛和团体对决赛．个人晋级赛规则:每人只有一次挑战机会,电脑随机给出５道题,答对３道或３道以上即可晋级．团体对决赛规则:以班级为单位,每班参赛人数不少于２０人,且参赛人数为偶数,参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛:方式一:将班级选派的２n 个人平均分成n 组,每组２人,电脑随机分配给同组两个人一道相同试题,两人同时独立答题,若这两人中至少有一人回答正确,则该小组闯关成功．若这n 个小组都闯关成功,则该班级挑战成功．方式二:将班级选派的２n 个人平均分成２组,每组n 人,电脑随机分配给同组n 个人一道相同试题,各人同时独立答题,若这n 个人都回答正确,则该小组闯关成功．若这２个小组至少有一个小组闯关成功则该班级挑战成功．(１)甲同学参加个人晋级赛,他答对前三题的概率均为１２,答对后两题的概率均为１３,求甲同学能晋级的概率;(２)在团体对决赛中,假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数p ０＜p ＜１(),为使本班团队挑战成功的可能性更大,应选择哪种参赛方式?说明你的理由．２２．已知函数f x ()＝x c o s x ,g x ()＝a s i n x ．(１)若a ＝１,证明:当x ɪ０,π２æèçöø÷时x ＞g x ()＞f x ();(２)当x ɪ－π２,０æèçöø÷ɣ０,π２æèçöø÷时,f x ()g x ()＜s i n x x ,求a 的取值范围．。

2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★． 【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心， 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤， 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ， 则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=， 所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=， 同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>； 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<； 所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭， 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-． 于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+， 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。

2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）高一（下）期末数学试卷一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知直线（2a+1）x+ay﹣2＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（）A．﹣B．1C．﹣或﹣1D．﹣12．（5分）下列命题中正确的个数为（）①如果＝λ（λ∈R），那么与方向相同；②若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线；③△ABC中，若B＞90°，则•＜0；④四边形ABCD是平行四边形，则必有＝．A．0个B．1个C．2个D．3个3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边是a，b，c，若＝，b2﹣a2＝ac，则cos C等于（）A．B．C．D．4．（5分）圆心都在直线L：x+y＝0上的两圆相交于两点M（m，3），N（﹣3，n），则m+n ＝（）A．﹣1B．1C．0D．25．（5分）某工厂生产某产品2019年每月生产量基本保持稳定，2020年由于防疫需要2、3、4、5月份停产，6月份恢复生产时月产量仅为去年同期的一半，随着疫情缓解月产量逐步提高．该工厂如果想8月份产量恢复到去年同期水平，那么该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点？（）A．25B．35C．42D．506．（5分）已知直线l：mx﹣y﹣m+＝0与圆C：（x﹣2）2+y2＝4．直线l与圆C下列关系中不可能的是（）A．相交B．相切C．过圆心D．相离7．（5分）已知两个非零向量，的夹角为，且|﹣|＝2，则•的取值范围是（）A．（﹣，0）B．[﹣2，0）C．[﹣，0）D．[﹣1，0）8．（5分）已知x＞1，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值为（）A．9B．10C．11D．7+29．（5分）下列说法正确有（）①若|a|＞b，则a2＞b2；②a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d；③若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd；④若a＞b＞0，c＜0，则＞．A．①④B．②④C．③④D．④10．（5分）已知{a n}为等比数列，a1a3a5＝27，a2a4a6＝，以T n表示{a n}的前n项积，则使得T n达到最大值的n是（）A．4B．5C．6D．711．（5分）若直线ax+by﹣2＝0（a，b＞1）始终把圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0的周长分为1：2．则+的最大值为（）A．4﹣2B．2﹣C．﹣1D．12．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a2＝b2+c2，则tan A的取值范围是（）A．[，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．[2，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）直线l：x﹣y sin+1＝0的斜率为．14．（5分）已知向量＝（﹣1+2t，2），＝（2，﹣4+4t），＝（1，λ）（其中t，λ∈R）．若⊥（2+），则λ＝．15．（5分）设等差数列{a n}满足：a4+a6＝4，a82﹣a22＝48．数列{na n}的前n项和记为S n，则S6的值为．16．（5分）锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos＝b sin A，则B＝，若a≥c＝2，则a的取值范围是．三、解答题（解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）已知直线l过点P（﹣1，2）．（1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；（2）设直线l的斜率k＞0，直线l与两坐标轴交点分别为A、B，求△AOB面积最小值．18．（10分）如图，在正△ABC中，AB＝2，P，E分别是BC、CA边上一点，并且＝3，设＝t，AP与BE相交于F．（1）试用，表示；（2）求•的取值范围．19．（12分）设等比数列{a n+b n}的公比为3，等差数列{a n﹣b n}的公差为2，且a1＝b1＝1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{n（a n﹣n）}的前n项和S n．20．（12分）圆x2+y2＝4，点P为直线l：x+y﹣4＝0上一动点，过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．（1）若点P的坐标为（6，﹣2），求直线P A、PB的方程；（2）求证：直线AB恒过定点Q，并求出该定点Q的坐标．21．（12分）设函数f（x）＝ax2+4x+b．（1）当a＞0且a+b＝4时，解关于x的不等式f（x）≥0；（2）已知a＞b，若f（x）的值域为[0，+∞），求的最小值．22．（12分）如图，有一矩形空地ABCD，AB＝2BC＝40米，现计划种植甲、乙两种蔬菜，已知单位面积种植甲蔬菜的经济价值是种植乙蔬菜经济价值的3倍，但种植甲蔬菜需要有辅助光照．AB边中点O处处恰有一可旋转光源满足甲蔬菜生长的需要，该光源照射范围是∠EOF＝60°，其中E、F分别在边BC，CD上．（1）若∠BOE＝30°，求四边形OECF的面积；（2）求该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积．2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知直线（2a+1）x+ay﹣2＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（）A．﹣B．1C．﹣或﹣1D．﹣1【分析】根据直线的截距相等，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：显然直线不过（0，0），截距不是0，故直线可化为：+＝1，若直线（2a+1）x+ay﹣2＝0在两坐标轴上的截距相等，则＝，解得：a＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查了直线的截距式方程，考查对应思想，是一道常规题．2．（5分）下列命题中正确的个数为（）①如果＝λ（λ∈R），那么与方向相同；②若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线；③△ABC中，若B＞90°，则•＜0；④四边形ABCD是平行四边形，则必有＝．A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据向量的相等以向量的平行和向量的共线即可判断．【解答】解：对于①，＝λ（λ∈R），那么与方向相同或相反，故①错误，对于②，非零向量与共线，则A，B，C，D四点共线或AB与CD平行，故②错误，对于③，△ABC中，若B＞90°，则•＜0，故③正确，对于④，四边形ABCD是平行四边形，则必有＝，故④正确．故选：C．【点评】本题考查向量的相等，向量的平行，关键是掌握共线的条件，属于基础题．3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边是a，b，c，若＝，b2﹣a2＝ac，则cos C等于（）A．B．C．D．【分析】解：由已知利用正弦定理可得c＝a，结合已知b2﹣a2＝ac，可求得b＝2a，进而根据余弦定理可求cos C的值．【解答】解：∵＝，∴由正弦定理可得：＝，即c＝a，又∵b2﹣a2＝ac，∴b2﹣a2＝3a2，可得b＝2a，∴cos C＝＝＝，故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4．（5分）圆心都在直线L：x+y＝0上的两圆相交于两点M（m，3），N（﹣3，n），则m+n ＝（）A．﹣1B．1C．0D．2【分析】由两圆的公共弦垂直于两圆圆心的连线，再由两直线斜率的关系列式可得m+n 的值．【解答】解：∵两圆相交于两点M（m，3），N（﹣3，n），且两圆的圆心都在直线x+y ＝0上，∴MN垂直直线x+y＝0，则MN的斜率k＝，得m+n＝0．故选：C．【点评】本题主要考查圆与圆相交的性质，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．5．（5分）某工厂生产某产品2019年每月生产量基本保持稳定，2020年由于防疫需要2、3、4、5月份停产，6月份恢复生产时月产量仅为去年同期的一半，随着疫情缓解月产量逐步提高．该工厂如果想8月份产量恢复到去年同期水平，那么该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点？（）A．25B．35C．42D．50【分析】设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x，8月份产量去年同期水平为a，则a（1+x）2＝a．由此能求出该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点．【解答】解：设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x，8月份产量去年同期水平为a，则a（1+x）2＝a．解得x＝≈0.414≈42%．∴该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达42个百分点．故选：C．【点评】本题考查百分点的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）已知直线l：mx﹣y﹣m+＝0与圆C：（x﹣2）2+y2＝4．直线l与圆C下列关系中不可能的是（）A．相交B．相切C．过圆心D．相离【分析】由直线系方程可得直线过圆上的定点，由此可得直线l与圆C不可能相离．【解答】解：由直线l：mx﹣y﹣m+＝0，得m（x﹣1）﹣y+＝0，由，得，可得直线l过定点A（1，）．圆C：（x﹣2）2+y2＝4的圆心C（2，0），半径r＝2．∵|CA|＝，∴A在圆C上，∴直线l与圆C不可能相离，故选：D．【点评】本题考查直线与圆位置关系，训练了直线系方程的应用，是基础题．7．（5分）已知两个非零向量，的夹角为，且|﹣|＝2，则•的取值范围是（）A．（﹣，0）B．[﹣2，0）C．[﹣，0）D．[﹣1，0）【分析】对|﹣|＝2两边平方后，结合•＝||•||cos进行化简可得+||•||+＝4；由基本不等式的性质知，+≥2||•||，于是推出0＜||•||，再结合平面向量数量积即可得解．【解答】解：∵|﹣|＝2，∴﹣2•+＝4，∴﹣2||•||cos+＝4，即+||•||+＝4，由基本不等式的性质可知，+≥2||•||，∴0＜||•||，∴•＝||•||cos＝||•||∈[，0）．故选：C．【点评】本题主要考查平面向量数量积运算，还涉及利用基本不等式的性质求最值，对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8．（5分）已知x＞1，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值为（）A．9B．10C．11D．7+2【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0，又y＞0，且+＝1，∴x+2y＝（x﹣1）+2y+1＝[（x﹣1）+2y]（+）+1＝6++≥6+2＝10，当且仅当＝，即x＝4，y＝3时等号成立，故x+2y的最小值为10．故选：B．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．9．（5分）下列说法正确有（）①若|a|＞b，则a2＞b2；②a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d；③若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd；④若a＞b＞0，c＜0，则＞．A．①④B．②④C．③④D．④【分析】对于①②，可根据条件取特殊值判断；对于③④，可直接利用不等式的基本性质判断．【解答】解：①由|a|＞b，取a＝0，b＝﹣2，则a2＞b2不成立，故①错误；②由a＞b，c＞d，取a＝c＝0，b＝d＝﹣1，则a﹣c＞b﹣d不成立，故②错误；③∵a＜b＜0，c＜d＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，﹣c＞﹣d＞0，∴ac＞bd，故③正确；④由a＞b＞0，得，∵c＜0，∴，故④正确．故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．10．（5分）已知{a n}为等比数列，a1a3a5＝27，a2a4a6＝，以T n表示{a n}的前n项积，则使得T n达到最大值的n是（）A．4B．5C．6D．7【分析】先求出首项和公比，得出{a n}是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，从而得出结论．【解答】解：∵{a n}为等比数列，a1a3a5＝27＝，a2a4a6＝＝，∴a3＝3，a4＝，∴q＝＝，a1＝12，a5＝a4•q＝＜1．故{a n}是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，以T n表示{a n}的前n项积，则使得T n达到最大值的n是4，故选：A．【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．11．（5分）若直线ax+by﹣2＝0（a，b＞1）始终把圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0的周长分为1：2．则+的最大值为（）A．4﹣2B．2﹣C．﹣1D．【分析】由圆的方程得圆心和半径，根据圆的周长被分为1：2，可推出圆心到直线的距离为1，即，化简整理后，再结合基本不等式的性质可得ab的最小值，再求出+的最大值．【解答】解：把圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0化成标准形式为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，其中圆心为（1，1），半径为2．设直线与圆交于A、B两点，圆心为C，因为直线把圆的周长分为1：2，所以∠ACB＝×360°＝120°，所以圆心C（1，1）到直线ax+by﹣2＝0的距离为1，即，因为a，b＞1，所以ab﹣2（a+b）+2＝0，由基本不等式的性质可知，ab+2＝2（a+b）≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，此时有ab≥，所以+＝＝＝+≤+＝2﹣．所以+的最大值为2﹣．故选：B．【点评】本题主要考查直线与圆的综合问题，除圆的标准方程、点到直线的距离公式等基础知识外，还涉及利用基本不等式的性质求最值，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a2＝b2+c2，则tan A的取值范围是（）A．[，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．[2，+∞）【分析】由三角形的余弦定理、正弦定理和两角和的正弦公式、同角的商数关系，化简可得tan A＝3tan B，再由两角和的正切公式，以及锐角三角形的定义，可得tan A＞0，tan C ＞0，解不等式可得所求范围．【解答】解：由a2＝b2+c2，又a2＝b2+c2﹣2bc cos A，则b2+c2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得c＝4b cos A，由正弦定理可得：sin C＝4sin B cos A，可得sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A＝4sin B cos A，化为3sin B cos A＝sin A cos B，在锐角△ABC中，cos A≠0，cos B≠0，则tan A＝3tan B，又tan C＝﹣tan（A+B）＝﹣＝﹣，由tan A＞0，tan C＞0，可得1﹣tan2A＜0，解得tan A＞，故选：B．【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及两角和的三角函数公式，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）直线l：x﹣y sin+1＝0的斜率为．【分析】求出sin，把直线方程变形，再由直线的一般方程求斜率公式得答案．【解答】解：由直线l：x﹣y sin+1＝0，得x﹣，即2x﹣．则该直线的斜率k＝．故答案为：．【点评】本题考查三角函数值的求法，考查由直线方程求直线的斜率，是基础题．14．（5分）已知向量＝（﹣1+2t，2），＝（2，﹣4+4t），＝（1，λ）（其中t，λ∈R）．若⊥（2+），则λ＝﹣1．【分析】根据条件求出，然后由，得到，再求出λ的值．【解答】解：，，且，∴，∴λ＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．15．（5分）设等差数列{a n}满足：a4+a6＝4，a82﹣a22＝48．数列{na n}的前n项和记为S n，则S6的值为14．【分析】等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，可得a n，na n，计算可得所求和．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，由a4+a6＝4，a82﹣a22＝48，可得2a1+8d＝4，6d•（2a1+8d）＝48，解得a1＝﹣6，d＝2，可得a n＝﹣6+2（n﹣1）＝2n﹣8，na n＝2（n2﹣4n），则S6＝2[（12+22+32+42+52+62）﹣4（1+2+3+4+5+6）]＝2×（1+4+9+16+25+36﹣4×21）＝14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的通项公式和数列的求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16．（5分）锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos＝b sin A，则B＝，若a≥c＝2，则a的取值范围是（1，4）．【分析】①由正弦定理＝，可推出sin A cos＝sin B sin A，再结合二倍角公式和B的取值范围即可得解；②由正弦定理＝，知a＝，再根据三角形的内角和与正弦的两角和公式可将其化简为；然后由A、C∈（0，），可求得C∈（，），即tan C ＞，将其代入化简后的式子即可得解．【解答】解：①由正弦定理知，＝，∵a cos＝b sin A，∴sin A cos＝sin B sin A，∵sin A≠0，∴cos＝sin B＝2sin cos，∵锐角△ABC，∴B∈（0，），∈（0，），∴cos≠0，sin＝，∴B＝．②由正弦定理知，＝，∴a＝＝＝＝，∵锐角△ABC，∴A、C∈（0，），∵A+C＝π﹣B＝，∴A＝﹣C∈（0，），即C∈（，），∴C∈（，），tan C＞，∴a＝∈（1，4）．故答案为：；（1，4）．【点评】本题考查解三角形和三角函数的综合运用，涉及正弦定理、二倍角公式、正弦的两角和公式以及正切函数的图象与性质，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．三、解答题（解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）已知直线l过点P（﹣1，2）．（1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；（2）设直线l的斜率k＞0，直线l与两坐标轴交点分别为A、B，求△AOB面积最小值．【分析】（1）由题意利用点斜式设出直线的方程，求出斜率k的值，可得结论．（2）先求出直线在坐标轴上的截距，再由题意利用基本不等式求得△AOB面积最小值．【解答】解：（1）直线l过点P（﹣1，2），若直线l在两坐标轴上截距和为零，设直线l的方程为y﹣2＝k（x+1），即kx﹣y+2+k＝0．则它在两坐标轴上截距分别为﹣1﹣和k+2，由题意，﹣1﹣+k+2＝0，∴k＝﹣2 或k＝1，直线l的方程为2x+y＝0 或x﹣y+3＝0．（2）设直线l的斜率k＞0，则直线l：kx﹣y+2﹣k＝0与两坐标轴交点分别为A（﹣1，0）、B（0，k+2），求△AOB面积为S＝|﹣1|•|k+2|＝＝+2+≥2+2＝4，当且仅当k＝2时，等号成立，故△AOB面积最小值为4．【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，直线在坐标轴上的截距，基本不等式的应用，属于中档题．18．（10分）如图，在正△ABC中，AB＝2，P，E分别是BC、CA边上一点，并且＝3，设＝t，AP与BE相交于F．（1）试用，表示；（2）求•的取值范围．【分析】（1）由＝t，可推出＝+t，而＝﹣，代入化简整理即可得解；（2）由＝3，知＝﹣，再结合平面向量的数量积可推出•＝[（1﹣t）+t]•（﹣）＝（4t﹣5），而t∈[0，1]，从而求得•的取值范围．【解答】解：（1）∵＝t，∴＝+＝+t＝+t（﹣）＝（1﹣t）+t．（2）∵＝3，∴＝＝﹣，∴•＝[（1﹣t）+t]•（﹣）＝（t﹣1）+（）•+t＝4（t﹣1）+（）×2×2cos60°+t×4＝（4t﹣5）．∵P是BC边上一点，∴t∈[0，1]，∴•＝（4t﹣5）∈[，]．【点评】本题考查平面向量的线性和数量积运算，熟练掌握平面向量的加法、减法、数乘和数量积的运算法则是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19．（12分）设等比数列{a n+b n}的公比为3，等差数列{a n﹣b n}的公差为2，且a1＝b1＝1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{n（a n﹣n）}的前n项和S n．【分析】（1）运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得a n；（2）求得n（a n﹣n）＝n（3n﹣1﹣1），分别运用数列的分组求和、错位相减法求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】解：（1）由等比数列{a n+b n}的公比为3，等差数列{a n﹣b n}的公差为2，且a1＝b1＝1，可得a n+b n＝（a1+b1）•3n﹣1＝2•3n﹣1，a n﹣b n＝（a1﹣b1）+2（n﹣1）＝2n﹣2，则a n＝n﹣1+3n﹣1，n∈N*；（2）n（a n﹣n）＝n（3n﹣1﹣1），S n＝（1•30+2•31+3•32+…+n•3n﹣1）﹣（1+2+…+n），设T n＝1•30+2•31+3•32+…+n•3n﹣1，3T n＝1•3+2•32+3•33+…+n•3n，上面两式相减可得﹣2T n＝1+31+3•32+…+3n﹣1﹣n•3n＝﹣n•3n，化为T n＝+•3n，则S n＝+•3n﹣n（n+1）．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和、错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．20．（12分）圆x2+y2＝4，点P为直线l：x+y﹣4＝0上一动点，过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．（1）若点P的坐标为（6，﹣2），求直线P A、PB的方程；（2）求证：直线AB恒过定点Q，并求出该定点Q的坐标．【分析】（1）由题意，切线的斜率存在，设切线方程为y+2＝k（x﹣6），由圆心到直线的距离等于半径列式求得k，则切线方程可求；（2）根据题意，设P（4﹣m，m），可得AB是圆O与以PO为直径的两圆的公共弦，求出以PO为直径的圆的方程，与圆O的方程联立，消去二次项可得直线AB的方程，再由直线系方程可得定点Q的坐标．【解答】解：（1）由题意，切线的斜率存在，设切线方程为y+2＝k（x﹣6），即kx﹣y﹣6k﹣2＝0．由，解得k＝﹣或k＝0．∴所求切线方程分别为y＝﹣2和3x+4y﹣10＝0；证明：（2）根据题意，点P为直线x+y﹣4＝0上一动点，设P（4﹣m，m），∵P A，PB是圆O的切线，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴AB是圆O与以PO为直径的两圆的公共弦，可得以PO为直径的圆的方程为[x﹣（2﹣）]2+（y﹣）2＝（2﹣）2+（）2，即x2﹣（4﹣m）x+y2﹣my＝0，①又圆O的方程为：x2+y2＝4，②，①﹣②，得（4﹣m）x+my﹣4＝0，即m（y﹣x）+4x﹣4＝0，则该直线必过点Q（1，1）．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，考查运算求解能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）＝ax2+4x+b．（1）当a＞0且a+b＝4时，解关于x的不等式f（x）≥0；（2）已知a＞b，若f（x）的值域为[0，+∞），求的最小值．【分析】（1）把a＞0且a+b＝4，代入不等式，利用配方法可求得不等式的解；（2）化简变形，再利用基本不等式，即可求得最小值．【解答】解：（1）由a＞0且a+b＝4，代入不等式f（x）≥0，得ax2+4x+4﹣a≥0，化简，得（x+1）（ax﹣a+4）≥0，∴x≤﹣1或x≥1﹣，当a＞2时，1﹣＞﹣1；∴不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥1﹣}；当0＜a＜2时，1﹣＜﹣1，∴不等式的解集为{x|x≤1﹣或x≥﹣1}；当a＝2时，1﹣＝﹣1，∴不等式的解集为R．（2）由f（x）的值域为[0，+∞），可得a＞0，△＝0，∴16﹣4ab＝0，可得ab＝4．＝＝（a﹣b）+≥2＝4．当且仅当a﹣b＝时，的最小值为4．【点评】本题考查二次函数不等式的解法，利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属于中档题．22．（12分）如图，有一矩形空地ABCD，AB＝2BC＝40米，现计划种植甲、乙两种蔬菜，已知单位面积种植甲蔬菜的经济价值是种植乙蔬菜经济价值的3倍，但种植甲蔬菜需要有辅助光照．AB边中点O处处恰有一可旋转光源满足甲蔬菜生长的需要，该光源照射范围是∠EOF＝60°，其中E、F分别在边BC，CD上．（1）若∠BOE＝30°，求四边形OECF的面积；（2）求该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积．【分析】（1）四边形OECF的面积S＝S OBCF﹣S△BOE；（2）设∠BOE＝α∈[0°，45°]，过点F作FM⊥AB于点M，利用三角函数的知识可推出种植甲、乙两种蔬菜的面积S甲和S乙；设单位面积种植乙蔬菜的经济价值为m，该空地产生的经济价值为y，可用含α的式子表示出y；令f（α）＝tanα﹣，结合正切的两角差公式和基本不等式的性质可求出f（α）取得最小值时，tanα的值，再将其代入S甲的表达式中即可得解．【解答】解：（1）由∠EOF＝60°，∠BOE＝30°，可知OF⊥OB，O为AB中点，∵AB＝2BC，∴OB＝BC，∴四边形FOBC为正方形．在Rt△BOE中，∠BOE＝30°，OB＝20米，∴BE＝，∴四边形OECF的面积为S OBCF﹣S△BOE＝平方米．（2）设∠BOE＝α∈[0°，45°]，则∠AOF＝120°﹣α，过点F作FM⊥AB于点M，在Rt△OBE中，BE＝OB•tanα＝20tanα；在Rt△OMF中，OM＝＝，∴DF＝OA﹣OM＝20﹣．∴种植乙种蔬菜的面积S乙＝S△BOE+S ADFO＝OB•BE+（OA+DF）•AD＝×20×20tanα+×[20+20﹣]×20＝200[tanα+2﹣]，种植甲种蔬菜的面积S甲＝S矩形ABCD﹣S乙＝800﹣200[tanα+2﹣]＝200[2﹣tanα+]，设单位面积种植乙蔬菜的经济价值为m，该空地产生的经济价值为y，则y＝3m•S甲+m•S乙＝3m×200×[2﹣tanα+]+m×200×[tanα+2﹣]，＝400m×[4﹣（tanα﹣）]．令f（α）＝tanα﹣＝tanα﹣＝，＝＝（tanα+）+﹣≥2﹣＝4﹣，当且仅当tanα+＝2，即tanα＝2﹣时，等号成立．若该空地产生的经济价值y最大，则f（α）应取得最小值，为4﹣，此时tanα＝2﹣，∴S甲＝200[2﹣tanα+]＝200×[2﹣（2﹣）﹣]＝400（﹣1）平方米．故该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积为400（﹣1）平方米．【点评】本题考查函数的实际应用，还涉及三角恒等变换与基本不等式的性质，选择适当的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。

湖北省部分重点中学2025届高三第一次联考高三数学试卷（答案在最后）考试时间：2024年11月11日下午14:00-16:00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合201x A xx -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{}220B x Nx x =∈+-≤∣，则A B = （）A.(]1,1-B.{}0,1,2C.{}0,1 D.{}1,0,1-2.已知i 为虚数单位，若()()1122z i i ++=-+，则z =（）A.1i-+ B.1i-- C.1i+ D.1i-3.已知向量a ，b 满足()3,4a = ，()2,1b =- ，则向量b 在向量a方向上的投影向量为（）A.68,2525⎛⎫⎪⎝⎭ B.(6,8)C.68,55⎛⎫⎪⎝⎭D.(4,2)4.已知角α，β满足tan 2α=，()sin 2cos sin βαβα=-，则tan β=（）A.23B.23-C.43D.43-5.已知函数()26ln 1f x x x ax =++-在区间(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围是（）A.8,⎡--⎣B.(8,--C.7,⎡--⎣D.(8,7)--6.将正奇数按照如图排列，我们将3，7，13，21，31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（）A.55B.77C.91D.1137.已知等腰梯形的上底长为1，腰长为1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，则该几何体表面积的最大值为（）A. B.(2π+ C.(1π+ D.(3π+8.已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()1f x +是奇函数，且()()114f x g x -++=，()()24f x g x +-=，则下列结论正确的是（）A.()f x 为奇函数B.()g x 为奇函数C.()()9136k f k g k =⎡⎤-=⎣⎦∑ D.()()9136k f k g k =⎡⎤+=⎣⎦∑二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正实数x ，y 满足2x y +=，则2291x y x y+++的可能取值为（）A.8B.9C.10D.1110.已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F ，2F .过2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点.12AF F △的内心为1I ，12BF F △的内心为2I ，则下列说法正确的有（）A.双曲线的离心率为2B.直线AB 的斜率的取值范围为(),-∞+∞C.12I I 的取值范围为2,3⎡⎢⎣⎦D.2112tan3tan 22AF F AF F ∠∠=11.在正三棱锥P ABC -中，AB =PA =，三棱锥P ABC -的内切球球心为O ，顶点P 在底面ABC 的射影为Q ，且PQ 中点为M ，则下列说法正确的是（）A.三棱锥P ABC -的体积为3B.二面角M AB P --的余弦值为277C.球O 的表面积为43π D.若在此三棱锥中再放入一个球1O ，使其与三个侧面及内切球O 均相切，则球1O 的半径为39三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点(),4A a 在抛物线24y x =上，F 为抛物线的焦点，直线AF 与准线相交于点B ，则线段FB 的长度为_____.13.已知直线y ax =与曲线()xe f x x=相切，则实数a 的值为_____.14.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为13，不下雨的概率均为23，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 满足()()*21nnn b n N =+-∈，且()1,0nn n ab b R λλλ+=-∈>.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n c 满足2n n c n a =，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求9T .16.（15分）如图，在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin A B B Cc a b++=-.（1）求A ；（2）若3,0BC BD AB AD =⋅=，2AD = ，将ABC △沿AD 折成直二面角B AD C '--，求直线AB '与平面B CD '所成角的正弦值.17.（15分）为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有2台不同的玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的2台玩具车和2个玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换.（1）两人进行一次交换后，求小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率；（2）两人进行两次交换后，记X 为“小明手中玩偶的个数”，求随机变量X 的分布列和数学期望.18.（17分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，其左顶点到点()2,1P 的距离为，不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于不同的A ，B 两点，与直线OP 交于点Q ，且2AB QB =，直线l 与x 轴，y 轴分别交于点M ，N .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当APB △的面积取最大值时，求MON △的面积.19.（17分）2022年7月，在重庆巴蜀中学读高一的瞿霄宇，夺得第63届国际数学奥林匹克（IMO ）满分金牌.同年9月26日，入选2022年阿里巴巴全球数学竞赛获奖名单，同时成为了本届获奖者中年龄最小的选手.次年9月16日，他再接再厉，在2023阿里巴巴全球数学竞赛中获金奖.他的事迹激励着广大数学爱好者勇攀数学高峰，挖掘数学新质生产力.翔宇中学高二学生小刚结合自己“强基计划”的升学规划，自学了高等数学的罗尔中值定理：如果R 上的函数()f x 满足条件：①在闭区间[],a b 上连续；②在开区间(,)a b 可导；③()()f a f b =.则至少存在一个(),c a b ∈，使得()0f c '=.据此定理，请你尝试解决以下问题：（1）证明方程：()43254320ax bx cx dx a b c d +++-+++=在(0,1)内至少有一个实根，其中a ，b ，c ，d R ∈；（2）已知函数()()()2222222xf x emx e m x m R =-----∈在区间(0,1)内有零点，求m 的取值范围.湖北省部分重点中学2025届高三第一次联考数学试卷参考答案及评分标准选择题：1234567891011CAADBCADCDABDACD填空题：12.10313.24e 14.2881解答题：15.（13分）解：（1）因为{}n a 为等比数列，所以2213a a a =，即()()()2755177λλλ-=--，化简得()()210λλ-+=.因为0λ>，得2λ=.因此()()()11122122131n n nn n n n n a b b +++⎡⎤=-=+--+-=--⎣⎦，易知{}n a 为等比数列；（2）由（1）知，()231nn c n=--.22222291293123489135T c c c ⎡⎤=++⋯+=-⨯-+-+-+-=⎣⎦ ，16.（15分）解：（1）sin sin sin sin A B B C c a b ++=-，a b b c c a b++∴=-，化简得222b c a bc +-=-.由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==-，故23A π=；（2）设BD x =，2CD x =，在ACD △中，由sin sin CD AD DAC C ∠=得22sin30sin x C=，解得1sin 2C x=.①在ABD △中，2sin sin 3AD B C BD x π⎛⎫===- ⎪⎝⎭.②由①、②得27sin ,7B x ==BD ∴=CD =，从而AB =.二面角B AD C '--为直二面角，AB AD '⊥，平面AB D ' 平面ACD AD =，AB '⊂平面AB D '，AB ∴'⊥平面ACD建立如图所示的空间直角坐标系，易知()0,0,0A，()D，()C，(B '，(AB ∴='，(B C ='，(B D '=.设平面B CD '的法向量(),,n x y z = ，则有00n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩'，即0x ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩令1y =，解得()4n =.211cos ,11n AB n AB n AB ⋅∴=''='，故直线AB '与平面B CD '所成角的正弦值为21111.17.（15分）解：（1）若两人交换的是玩具车，则概率为111224⨯=，若两人交换的是玩偶，则概率也为111224⨯=，故两人进行一次交换后，小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率为111442+=.（5分）（2）X 可取的值为0、1、2、3、4，一次交换后，小明有1个玩偶和3台玩具车的概率为111224⨯=，有3个玩偶和1台玩具车的概率也为111224⨯=，经过两次交换后()1111044464P X ==⨯⨯=，()1131331117144444422232P X ==⨯⨯+⨯⨯+=()13313311111117244444422222232P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()1131311117344444422232P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()1111444464P X ==⨯⨯=，故随机变量X 的分布列为：X 01234P1647321732732164()1717710123426432323264E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.18.（17分）解：（1）设椭圆C 左顶点为D ，则D 坐标为(,0)a -.由PD==，解得2a =.因为椭圆C 的离心率为2c e a ==，得c =1b =.所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=；（2）设A 坐标为(),A A x y ，B 坐标为(),B B x y ，由于A 和B 为椭圆C 上两点，22221414A AB Bx y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩两式相减，得()222204A B A B x x y y -+-=，整理得222214A B A B y y x x -=--.（*）设Q 坐标为(),Q Q x y ，由2AB QB =得Q 为线段AB 的中点，2A B Q x x x +∴=，2A BQ y y y +=.由Q 在线段OP 所在直线上，且P 坐标为(2,1)，则有12OQ OP k k ==，即12Q A B OQ QA B y y y k x x x +===+.由（*）得222214A B A B A B A B A B A B y y y y y y x x x x x x -+-=⨯=--+-，故12A B AB A B y y k x x -==--.设直线l 方程为1,02y x m m =-+≠，联立直线l 与椭圆C 的方程，得221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，整理得()222210x mx m -+-=.由0>△，得m <<且0m ≠.因为直线l 与椭圆C 相交于A 和B 两点，所以2A B x x m +=，()221A B x x m =-.A B AB x ∴=-=点P 到直线l的距离为52d ==，122APB S AB d ∴==-△m <<且0m ≠.记()()()2222f m m m =--，()()()2421f m m m m =---'.由()0f m '=，及m <<0m ≠得12m =即当12m =时，APB S △取最大值.此时直线l 方程为1122y x=-+，与坐标轴交点为()1M -，10,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭13522MON S OM ON ∴== △.19.（17分）证明：（1）设()()5432F x ax bx cx dx a b c d x =+++-+++，[]0,1x ∈，则()()4325432F x ax bx cx dx a b c d '=+++-+++，()F x ∴在[]0,1上连续，在(0,1)上可导.又()()010F F ==，由罗尔中值定理知：至少存在一个()00,1x ∈，使得()00F x '=成立，()432000054320ax bx cx dx a b c d ∴+++-+++=.故方程()43254320ax bx cx dx a b c d +++-+++=在(0,1)内至少有一个实根.（2）()()2222222xf x emx e m x =----- ，m R ∈在区间(0,1)内有零点，不妨设该零点为1x ，则()10f x =，()10,1x ∈.由于()()224222xf x e mx e m '=----，易知()f x '在[]10,x 和[]1,1x 上连续，且在()10,x 和()1,1x 上可导.又()()()1010f f x f ===，由罗尔中值定理可得，至少存在一个()210,x x ∈，使()20f x '=；至少存在一个()31,1x x ∈，使得()30f x '=.∴方程()()2242220x f x e mx e m '=----=在(0,1)上至少有两个不等实根2x 和3x .设()()()224222xg x f x emx e m ==--'--，()0,1x ∈，则()282x g x e m =-'.()0,1x ∈ ，()2288,8x e e ∴∈.1 当28m ≤，即4m ≤时，()()0820g x g m >=-'≥'，故()g x 在(0,1)上单调递增；方程()0g x =在(0,1)上至多有一个实根，不符合题意，舍去2 当228m e ≥，即24m e ≥时，()()21820g x g e m <=-'≤'，故()g x 在(0,1)上单调递减.方程()0g x =在(0,1)上至多有一个实根，不符合题意，舍去3 当244m e <<时，由()0g x '=得()1ln 0,124mx =∈，10,ln 24m x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时，有()()0,g x g x '<单调递减；1ln ,124m x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有()()0,g x g x '>单调递增.()g x ∴在(0,1)上的最小值()min 1ln 24m g x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.注意到()221422525202g e e e e e e ⎛⎫=+-<-=-<⎪⎝⎭，则有()min 11ln 0242m g x g g ⎛⎫⎛⎫=≤< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 方程()0g x =在(0,1)上至少有两个不等实根，()()2206201220g m e g e m ⎧=+->⎪∴⎨=-+>⎪⎩，解得222622e m e -<<+.结合244m e <<，且22262 2.564e ->⨯->，222222224e e e e +<+=，故m 的取值范围为()2226,22e e -+.。

【全国百强校】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试化学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．苏轼的《格物粗谈》有这样的记载：“红柿摘下未熟，每篮用木瓜三枚放入，得气即发，并无涩味。

”按照现代科技观点，该文中的“气”是指A．脱落酸B．乙烯C．生长素D．甲烷2．下列有机物一氯取代物的数目相等的是①2，3，4-三甲基己烷①①2，3，4-三甲基戊烷①间甲乙苯A．①①B．①①C．①①D．①①3．下列有机物的系统命名，正确的是A．2-甲基-2-氯丙烷B．2-甲基-1-丙醇C．1, 3, 4-三甲苯D．2-甲基-3-丁炔4．下列说法中正确的是A．仅用水不能区分己烷、溴乙烷、乙醇三种液态有机物B．碳原子数小于或等于6的单烯烃，与HBr加成反应的产物只有1种结构，符合条件的单烯烃有3种C．苯、乙烷、乙烯、乙炔分子中碳碳键的键长分别为a、b、c、d，则b c a>>>d D．等质量的烃完全燃烧，耗氧量最多的是甲烷5．己烯雌酚是一种激素类药物，结构简式如图所示，下列有关叙述中正确的是A．该有机物属于芳香烃C．该分子对称性好，所以没有顺反异构D．该有机物分子中，最多可能有18个碳原子共平面6．红色基B(2-氨基-5-硝基苯甲醚)的结构简式如图所示，它主要用于棉纤维织物的染色，也用于制一些有机颜料，则分子式与红色基B相同，且氨基(—NH2)与硝基(—NO2)直接连在苯环上并呈对位关系的同分异构体的数目(包括红色基B)为A．7种B．8种C．9种D．10种7．如图两种化合物的结构或性质描述正确的是（）A．两种化合物均是芳香烃B．两种化合物互为同分异构体，均能与溴水反应C．两种化合物分子中共平面的碳原子数相同D．两种化合物可用红外光谱区分，但不能用核磁共振氢谱区分8．下列实验操作简便、科学、易成功且现象正确的是A．将乙酸和乙醇的混合液注入浓硫酸中制备乙酸乙酯B．将铜丝在酒精灯外焰上加热变黑后再移至内焰，铜丝恢复原来的红色C．在试管中注入2mL苯酚溶液，再滴入几滴FeCl3溶液后，溶液即有紫色沉淀生成D．向苯酚溶液中滴加几滴稀溴水出现白色沉淀9．卤素互化物与卤素单质性质相似。

湖北省部分重点中学2024届高三第二次联考高三数学试卷试卷满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U R =，集合{}02A x x =≤≤，{}1,1,2,4B =-，那么阴影部分表示的集合为（）A ．{}1,4-B ．{}1,2,4C ．{}1,4D ．{}1,2,4-2．已知复数z 满足2323z ii z+=-，则z =（）A ．3B ．C ．7D ．133．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，A ，B 分别为圆柱上、下底面圆的圆心，P 为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为，高为，圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是（）A ．1283πB ．32πC ．961623+D ．(π4．在平面直角坐标系中，()1,1A ，()2,3B ，则向量OA 在向量OB上的投影向量为（）A ．,1313⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1015,1313⎛⎫⎪⎝⎭C ．,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．55,22⎛⎫⎪⎝⎭5．若55sin 1213πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．119169-B ．50169-C ．119169D ．501696．设A ，B 为任意两个事件，且A B ⊆，()0P B >，则下列选项必成立的是（）A ．()()P A P AB >B ．()()P A P A B ≥C ．()()P A P A B<D ．()()P A P A B≤7．已知sin 1xe x ax +≥+对任意,[)0x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(2],-∞B ．[2,)+∞C ．(1],-∞D ．[1,)+∞8．斜率为13的直线l 经过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点1F ，交双曲线两条渐近线于A ，B 两点，2F 为双曲线的右焦点且22AF BF =，则双曲线的离心率为（）A B ．2C ．2D ．3二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。