2020届湖北省武汉市部分重点中学高三下学期3月月考数学(理)试卷及答案

武汉市2020届高中毕业生学习质量检测理科数学参考答案及评分细则一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A B C D A B D A C B二、填空题13．131222=−y x 14．[)∞+−，1 15．14.9 16．21− 三、解答题17．（1）由已知条件c b c BA B A −=+−tan tan tan tan 得：c b B A B =+tan tan tan 2， 由正弦定理得C B c b sin sin =，则C B B A B sin sin tan tan tan 2=+， 即B BB A AC B B sin )cos sin cos sin (sin cos sin 2⋅+=⋅，由0sin ≠B ， 整理得：B A B A A C sin cos cos sin cos sin 2⋅+⋅=⋅，……3分即)sin(cos sin 2B A A C +=⋅，……4分即C A C sin cos sin 2=⋅，由0sin ≠C ，故21cos =A ……6分 由（1）知3π=A ，则bc A bc S ABC 43sin 21==Δ， 由余弦定理得：A bc c b a cos 2222−+=，而4=a ，则1622=−+bc c b由bc c b 222≥+得162≤−bc bc ，即16≤bc ，……9分所以34164343sin 21=×≤==Δbc A bc S ABC ， 当c b =时取等号．……12分18．（1）取DC 的中点H ，AB 的中点M ，连接QH ，HL 、BD ，在正方体1111D C B A ABCD −中，Q 为11D C 的中点，则CD QH ⊥，从而⊥QH 面ABCD ，所以QH ⊥……2分在正方形ABCD 中，H 、L 分别为CD 、BC 所以HL BD //，而BD AC ⊥，则AC HL ⊥, ……4又H HL QH =I ，所以⊥AC 面QHL ，所以QL AC ⊥．……6分（2）连接ML 、MP ，由AC QL ⊥，//ML AC 知ML QL ⊥，则四边形PQLM 为矩形，则点A 到平面PQL 的距离即为点A 到平面PML 的距离，设其值为h ，……8分 在四面体AML P −中，281222121a a a BL AM S AML =⋅⋅=⋅=Δ， 222243)2()2(222121a a a a a PM ML S PML =++⋅⋅=⋅⋅=Δ， 由等体积法可知：PML A AML P V V −−=，即h a a a ⋅⋅=⋅⋅2243318131， 解之得a h 63=，故点A 到平面PQL 的距离为a 63． ……12分 19．（1）)0(22>=p px y 的焦点)0,2(p F ，而)32,2(=，所以点)32,22(+p P ， 又点P 在抛物线px y 22=上，所以)22(2)32(2+=p p ，即01242=−+p p ， 而0>p ，故2=p ，则抛物线的方程为x y 42=． ……4分（2）设),(00y x M ，),(11y x N ，),(22y x L ，则1214x y =，2224x y =，直线MN 的斜率为01202101010144y y y y y y x x y y k MN +=−−=−−=， 则MN l ：)4(420010y x y y y y −+=−，即10104y y y y x y ++=①； 同理ML l ：20204y y y y x y ++=②；将)2,3(−A 、)6,3(−B 分别代入①、②两式得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=−++=−202010********y y y y y y y y ，消去0y 得1221=y y ， ……9分 易知直线214y y k NL+=，则直线NL 的方程为)4(421211y x y y y y −+=−， 即2121214y y y y x y y y +++=，故2121124y y x y y y +++=，所以)3(421++=x y y y ， 因此直线NL 恒过定点)0,3(−．……12分20．（1）依题意0.380101=∑=i i x，则38045433938373633313210=+++++++++x ，解得：4610=x ．……3分（2）（Ⅰ）由居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程363ˆ254y x a =+知 254363=b ，即254363101010122101=−−=∑∑==i i i i i x x y x y x b ， 即25436325410340381046128751010=+⋅⋅−+y y ， 解之得：5110=y ．……8分 （Ⅱ）易得38=x ，1.39=y ，代入a x y+=254363ˆ得：a +×=382543631.39， 解得21.15−≈a ，所以21.15254363ˆ−=x y，……10分 当40=x 时，96.4121.1540254363≈−×=y故若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是96.41万元．……12分 21．（1）2cos 2(cos sin )x y e x x x x ′=−−−x x x e x cos 4sin 2−+=，……2分 因为)2,(ππ−−∈x ，所以0>x e ，0sin 2>x x ，0cos 4>−x ，故()0y x ′>， 所以e 2sin 2cos x y x x x =−−在)2,(ππ−−上单调增．……4分（2）可得：22cos 2)1()(xx x x e x f x −−=′，……5分 令x x x e x g x cos 2)1()(2−−=，则)cos 4sin 2()(x x x e x x g x −+=′， 当)2,(ππ−−∈x 时，由（1）知0cos 4sin 2>−+x x x e x ，则0)(<′x g ，故)(x g 在2,(ππ−−递减， 而0)12()2(2<−−=−−πππe g ，0)1(8)(>+−=−−πππe g ， 由零点存在定理知：存在唯一的)2,(0ππ−−∈x 使得0)(0=x g ……7分 即0cos 4sin 20000=−+x x x e x ，当),(0x x π−∈时，0)(>x g ，即0)(>′x f ，)(x f 为增函数； 当2,(0π−∈x x 时，0)(<x g ，即0)(<′x f ，)(x f 为减函数， 又当)0,2(π−∈x 时，0cos 2)1()(2<−−=′x x x e x f x ， 所以)(x f 在)0,2(π−上为减函数，从而()f x 在)0,(0x x ∈上恒为减函数； 因此()f x 有惟一的极大值点0x .……9分由()f x 在0(,2x π−上单调递减，故0()()2f x f π>− 22e 1(2sin()2022e 22f ππππππ−−=−−=−+>− 故0()0f x > 又0000e ()2sin x f x x x =−，当0(,)2x ππ∈−−时，00e 10x x −<<，002sin 2x <−< 故0()2f x <所以00()2f x <<.……12分22．（1）由⎩⎨⎧==θθsin 4cos 5y x ，消去参数θ可得1162522=+y x ……2分 将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入03cos 42=+−θρρ得03422=+−+x y x ．……5分 （2）2C 的圆心为)0,2(M ，则20cos 20cos9)0sin 4()2cos 5(2222+−=−+−=θθθθMP ，……7分 由1cos 1≤≤−θ知，当1cos =θ时，9920209min 2=−+−=MP， 故3min =MP ，……9分 从而2min =PQ ．……10分23．（1）在4=a 时，8342≥−+−x x ， 当3≥x 时，8342≥−+−x x ，解之得5≥x ；当32≤<x 时，8342≥−+−x x ，解之得9≥x ；此时x 无解； 当2≤x 时，8324≥−+−x x ，解之得31−≤x ； 综上[)+∞⎥⎦⎤⎜⎝⎛−∞−∈,531,U x ……5分 （2）①当2≥a 时有21a a ≥−，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤−+−−<<−−≥+−=2,12312,11,123)(a x a x a x a x a x a x x f 在2a x =时，12)2()(min −==a a f x f ，则只需2122a a ≥−，而2≥a ，则φ∈a ； …… 7分②当2<a 时有21a a <−，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−≤−+−<<−−≥+−=1,12321,12,123)(a x a x a x a x a x a x x f 在2a x =时，2112)2()(min a a a f x f −=−==，则只需2212a a ≥−， 即022≤−+a a ，所以12≤≤−a ，而2<a ，故所求a 范围为：12≤≤−a ． 综合以上可知：12≤≤−a ．……10分。

数学（理）一、单选题1．已知集合(){1,2,3,4,5,6,7},{2,4,6,7},{2,6}U U A A B ===∩,则集合B 可以为（ ） A ．{2,5,7} B ．{1,3,4,5} C ．{1,4,5,7} D ．{4,5,6,7} 2．已知复数z 满足2i i z z -=，记i z ω=+，则ω=（ ）．A ．2B 6C 7D 53．已知定点(3,0)B ，点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是（ ) A ．22(1)1x y ++= B ．22(2)4x y -+= C ．22(1)1x y -+=D ．22(2)4x y ++=4．在ABC 中，12BD DC =，则AD =（ ） A ．1344+AB AC B ．21+33AB AC C ．12+33AB AC D ．1233AB AC - 5．在某区2020年5月份的高二期中质量检测中，学生的数学成绩服从正态分布()~98,100X N .且()881080.683P x ≤≤≈,()781180.954P x ≤≤≈，已知参加本次考试的学生有9460人，王小雅同学在这次考试中数学成绩为108分,则她的数学成绩在该区的排名大约是（ ) A ．2800 B ．2180 C ．1500 D ．62306．圆22:2430C x y x y +--+=被直线:10l ax y a +--=截得的弦长的最小值为（ ）A ．1B ．2C 2D 37．()()521x y x y -+-的展开式中32x y 项的系数为（ ）A ．160B ．80C ．80-D ．160- 8．已知函数()f x 的导函数为()f x ',且满足()2()ln f x xf e x '=+，则()f e '等于（)A ．1B ．1e-C ．1-D ．e -二、多选题9．下列各不等式，其中不正确的是（ ) A ．212()a a a R +>∈；B ．12(,0)x x R x x+≥∈≠； C ．2(0)a bab ab +≥≠;D ．2211()1xx R x +>∈+. 10．已知曲线22:1C mxny +=。

高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有@高考资源网 - 1 -数学（理）一、单选题1．已知集合(){1,2,3,4,5,6,7},{2,4,6,7},{2,6}U U A A B ===∩，则集合B 可以为（ ） A ．{2,5,7} B ．{1,3,4,5} C ．{1,4,5,7}D ．{4,5,6,7} 2．已知复数z 满足2i i z z -=，记i z ω=+，则ω=（ ）．A ．2B 6C 7D 53．已知定点(3,0)B ，点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是（ ）A ．22(1)1x y ++=B ．22(2)4x y -+=C ．22(1)1x y -+=D ．22(2)4x y ++= 4．在ABC 中，12BD DC =，则AD =（ ） A ．1344+AB AC B ．21+33AB AC C ．12+33AB AC D ．1233AB AC - 5．在某区2020年5月份的高二期中质量检测中，学生的数学成绩服从正态分布()~98,100X N .且()881080.683P x ≤≤≈，()781180.954P x ≤≤≈，已知参加本次考试的学生有9460人，王小雅同学在这次考试中数学成绩为108分，则她的数学成绩在该区的排名大约是（ ）A ．2800B ．2180C ．1500D ．62306．圆22:2430C x y x y +--+=被直线:10l ax y a +--=截得的弦长的最小值为（ ） A ．1 B ．2C 2D 3 7．()()521x y x y -+-的展开式中32x y 项的系数为（ ）A ．160B ．80C ．80-D ．160-8．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()ln f x xf e x '=+，则()f e '等于（）。

2020届高三下期3月月考数学（理）一、选择题；本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|230A x x x =-->，则C R A =（ ）A. {|1}{|3}<-⋃>x x x xB. {|1}{|3}≤-⋃≥x x x xC. {|13}x x -≤≤D. {|13}x x -<<【答案】C【分析】直接通过解不等式2230x x --≤求出R C A .【详解】解：集合{}{}2|230|13R C A x x x x x =--≤=-≤≤，2.复数(23)i i -对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A3.设向量a ⃗=（x ，-4），b ⃗⃗=（1，-x ）若向量a ⃗与b ⃗⃗同向，则x =（ ） A ．2 B ．-2 C ．2± D ．0 【答案】A4.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为53，则其渐近线方程为（ ）A ．20x y ±=B ． 20x y ±=C ．340x y ±=D ．430x y ±= 【答案】D5. 执行如图所示的程序框图，正确的是（ ）A ．若输入,,a b c 的值依次为1,2,3，则输出的值为5B ．若输入,,a b c 的值依次为1,2,3，则输出的值为7C ．若输入,,a b c 的值依次为2,3,4，则输出的值为8D ．若输入,,a b c 的值依次为2,3,4，则输出的值为10 【答案】C6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．24πB ．30π C.42π D ．60π 【答案】A7.函数131()2xf x x =-的零点所在的区间为（ ） A. 1(0,)4 B. 11(,)43C. 11(,)32D. 1(,1)2【答案】C【分析】先判断出函数的单调性,结合零点存在定理即可判断出零点所在区间. 【详解】函数131()2x f x x =-所以函数在R 上单调递增 因为1113331311111033322f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,1113321211111022222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以函数零点在11,32⎛⎫⎪⎝⎭故选:C 8.设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3=-n n S a n ，则3=a （ ） A.98B.198C.158D.278【答案】B【详解】解：当2n ≥时，[]1133(1)n n n n n a S S a n a n --=-=----，整理得1231n n a a -=+，又11131S a a ==-，得11a 2=，21323112a a ∴=+=+，得254a =，321523114a a ∴=+=+，得3198a =， 故选：B9.已知函数22()1log log (4)=+--f x x x ，则（ ） A. ()y f x =的图像关于直线2x =对称 B. ()y f x =的图像关于点(2,1)对称 C. ()f x 在(0,4)单调递减 D. ()f x 在(0,4)上不单调【答案】B【详解】解：040x x >⎧⎨->⎩，得函数定义域为(0,4)，222(1)1log log (41)1l 13og f =+--=-，222(3)1log log (43)1l 33og f =+--=+，所以(1)(3)f f ≠，排除A ；(1)(3)f f <，排除C ；2log x 在定义域内单调递增，2log (4)x -在定义域内单调递减，故22()1log log (4)=+--f x x x 在定义域内单调递增，故排除D ； 现在证明B 的正确性：方法一、2222()(4)1log log (4)1log (4)log 2f x f x x x x x +-=+--++--=，所以()y f x =的图像关于点(2,1)对称，故选：B . 方法二、10.下列说法正确的个数为（ ）①“p q ∨为真”是“p q ∧为真”的充分不必要条件；②若数据123,,,,n x x x x ⋯的平均数为1，则1232,22,,2,n x x x x ⋯的平均数为2； ③在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“6sin cos x x +≥”发生的概率为12④已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.84P X ≤=，则(0)0.16P X ≤=.A. 4B. 3C. 2D. 1【详解】对于①,由复合命题“p q ∨为真”,可知p 为真,或q 为真;若“p q ∧为真”,则p 为真,且q 为真.所以“p q ∨为真”是“p q ∧为真”的必要不充分条件,所以①错误； 对于②,若数据1231nx x x x n+++⋯+=的平均数为1,由平均数公式可知()123123222222n n x x x x x x x x n n+++⋯++⋯+=+=+的平均数为2,所以②正确;对于③,在区间[]0,π上.若6sin cos 2sin 42x x x π⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭,解得5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 则在区间[]0,π上随机取一个数x ,则事件“6sin cos 2x x +≥”发生的概率为5112123p πππ-==,所以③错误; 对于④,随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ,则2μ=.,由正态分布曲线规律可知,(0)(4)10.840.16P X P X ≤=≥=-=,所以④正确. 综上可知,正确的为②④ 故选:C11.已知水平地面上有一篮球，球的中心为O '，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心O 为原点，设椭圆的方程为22142x y +=，篮球与地面的接触点为H ，则||OH 的长为（ ）A.62B. 2C. 32D.103 【答案】B【分析】在平行光线照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向(4)0.84P X ≤=地面做垂线，垂足是H ，得到一个直角三角形，可得要求的结果． 【详解】：在照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，由图()1101809022AB O BA A AB B BA ''''︒︒∠+∠=∠+∠=⨯=,，由是中点 故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴，过球心向地面做垂线，垂足是H ， 在构成的直角三角形中，222OH O H O O ''=+，OH∴==，故选：B ．12.若直线l 与函数()xf x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则直线的斜率k =（ ） A. 2或e B. 1或eC. 0或1D. e【答案】B【分析】设出直线l 与两个函数的切点,求得两个函数的导函数,并根据导数的意义求得切线的斜率.由点在曲线上的性质,可得方程组.化简后求得其中一个切点的坐标,即可求得切线的斜率.【详解】设直线l 与函数()xf x e =的图象相切于点()11,A x y ,直线l 与函数()ln 2g x x =+的图象相切于点()22,B x y ,直线l 的斜率为k .则1122l 2,n x y e y x ==+因为'()xf x e =,()1'g x x =,则121x x k e ==, 所以11122212122ln 211x x y e y x e x y y x x x ⎧=⎪=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪-⎪⎩,则()12212ln 21x e x x x x -+=- 由121x e x =,可得21ln x x =-,代入上式可得()22222ln 2l 1n 1x x x x x -+=--,化简可得2222ln ln 10x x x x ---= 即()()221ln 10x x -+=,解得21,x =或21x e =. 代入21k x =,可得1k =或k e = 故选:B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上.13. 若,x y 满足约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ．【答案】814. 二项式61()x x-的展开式中4x 项的系数为__________． 【答案】6-； 【解析】90AO B '︒∴∠=O l【分析】根据二项展开式的通项,代入即可求得4x 项的系数.【详解】根据二项定理展开式的通项1C r n r rr n T a b -+=则二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开通项为()66216611rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以当1r =时,4x 的系数为()11616C -=-,故答案为:6-15. 已知递增等差数列{}n a 中，122a a =-，则3a 的 最小值为__________ 【答案】4【详解】因为122a a =-由等差数列通项公式,设公差为d ,可得()112a a d +=-,变形可得112d a a =--因为数列{}n a 为递增数列,所以1120d a a =-->,即10a < 而由等差数列通项公式可知312a a d=+()11111242a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由10a ->,140a >-结合基本不等式可得()()311114424a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-≥-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当12a =-时取得等号所以3a 的最小值为416.在边长为1的正方形ABCD 中，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则λμ+的最大值为________. 【答案】3【详解】解：根据题意，如图，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立坐标系： 则(0,0),(1,0)A B ，C(1,1),D(0,1), 则BD 的方程为x ＋y ＝1， 点C 为圆心且与BD 相切的圆C ，其半径222r d ===， 则圆C 的方程为221(1)(1)2x y -+-=；因P 在圆C 上，所以设P 的坐标为221cos ,1sin θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭， 则22(1,0),(0,1),1cos ,1sin AB AD AP θθ⎛⎫===++ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，由AP AB AD λμ=+uu u r uu u r uuu r，得221cos ,1sin (1,0)(0,1)θθλμ⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭，则有221cos ,1sin 22λθμθ=+=+； 22(cos sin )2sin 34πλμθθθ⎛⎫+=++=++≤ ⎪⎝⎭，即λμ+的最大值为3；故答案为：3． 【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及平面向量的基本定理，注意建立坐标系，分析P 的坐标与,λμ的关系，是中档题．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共60分.17. ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos -=a c bA B. （1）求A ；（2）若1a =，求ΔABC 面积的最大值. 【详解】解：（1）由2cos cos -=a c bA B可得：cos 2cos cos =-a B c A b A ， 由正弦定理可得：sin cos 2cos sin cos sin =-A B A C A B ,∴sin()2cos sin sin 2cos sin +=⇒=A B A C C A C ，∵sin 0C ≠，∴1cos 2A =，∵(0,)A π∈， ∴3A π=；（6分）（2）由（1）知3A π=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即221b c bc =+-（8分）∵222b c bc +≥，所以1bc ≤（当且仅当1b c ==时取等号） ∴13sin 2=≤V ABC S bc A ，所以ABC V 面积的最大值为3.（12分） 18.如图，几何体ABCDFE 中，ABC ∆，DFE ∆均为边长为2的正三角形，且平面//ABC 平面DFE ，四边形BCED 为正方形.（1）若平面BCED ⊥平面ABC ，求证:平面//ADE 平面BCF ；（2）若二面角D BC A --为150︒，求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：取BC 的中点O ,ED 的中点G ,连接,,,AO OF FG AG .如下图所示: 因为AO BC ⊥,且平面BCED ⊥平面ABC , 所以AO ⊥平面BCED ,同理FG ⊥平面BCED , 所以//AO FG ,（2分） 又因为3AO FG ==, 所以四边形AOFG 为平行四边形,所以//AG OF //AG 平面BCF ,又//DE BC ,DE ⊄ 平面BCF ,又因为AG 和 DE 交于点G 所以平面//ADE 平面BCF .（6分）（2）连结GO ,则GO BC ⊥,又AO BC ⊥,所以GOA ∠为二面角D BC A --的平面角,所以150GOA ∠=︒ 建立如图所示的空间直角坐标系,则(23,0,0),(0,1,1),(0,1,1),(3,1,0)A D E B - 所以(23,1,1),(0,2,0)AD ED =-=u u u ru u u r设平面ADE 的一个法向量是(,,)n x y z =r,则00n AD n ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u uv r u u uv r ,即2300x y z y ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩, 令3,6x z =∴=,即(3,0,6)n =r,(8分)又因为(3,0,1)BD =-u u u r,所以39sin ,||||239BD n BD n n BD ⋅〈〉===⋅u u u r ru u u r r u u u r r, 即所求的角的正弦值为39.（12分） 19.从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，将用电量的数据绘制成频率分布直方图如下图所示.（1）求频率分布直方图中x 的值并估计这50户用户的平均用电量；（2）若将用电量在区间[50,150)内的用户记为A 类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间[250,350)内的用户记为B 类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，并将打分数据绘制成茎叶图如下图所示：,①从B 类用户中任意抽取3户，求恰好有2户打分超过85分的概率；②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”？附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.解：（1）1(0.0060.00360.002450x =-++20.0012)0.0044⨯+=， 按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3， 所以估计平均用电量为675912515175112256275332550⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯186=度.（4分）（2）①B 类用户共9人，打分超过85分的有6人，所以从B 类用户中任意抽取3户，恰好有2户打分超过85分的概率为2163391528C C C =.（8分） ②因为2K 的观测值224(6963)1212915k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 1.6 3.841=<，（11分）所以没有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”.（12分） 20.已知动圆过定点(0,2)A ，且在x 轴上截得的弦长为4. （1）求动圆圆心M轨迹方程C ；（2）设不与x 轴垂直的直线l 与轨迹C 交手不同两点()11,P x y ，()22,Q x y .若12112+=x x ， 求证：直线l 过定点.【详解】解：（1）设动圆圆心为(,)M x y ，则222(2)4+--=x y y ，化简得24x y =；（4分）（2）易知直线l 的斜率存在，设:l y kx b =+，则（5分）由24x y y kx b⎧=⎨=+⎩，得2440x kx b --=，由韦达定理有：124x x k +=，124x x b =-.（7分） 从而12121122+=⇒+=x x x x x x ，即48=-k b ，则12=-b k （10分） 则直线11:22⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭l y kx k k x ，故直线过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭.（12分）21.已知函数()f x 满足:①定义域为R ；②2()2()9xxf x f x e e +-=+-. （1）求()f x 的解析式；（2）若12,[1,1]x x ∀∈-；均有−x 12+(a-2)x 1+6≥(1−x 2)f (x 2)成立，求a 的取值范围；（3）设2(),(0)()21,(0)f x xg x x x x >⎧=⎨--+≤⎩，试求方程[()]10g g x -=的解. 【详解】（1）2()2()9xx f x f x e e+-=+-Q ,…① 所以2()2()9xx f x f x ee ---+=+-即1()2()29xxf x f x e e -+=+-…② 由①②联立解得:()3xf x e =-.（3分）（2）设2()(2)6x x a x ϕ=-+-+, ()()()1333xx xF x x e e xe x =--=+--,依题意知:当11x -≤≤时,min max ()()x F x ϕ≥()()33x x x x F x e e xe xe '+=-+=-+Q的又()(1)0xF x x e ''=-+<Q 在(1,1)-上恒成立,所以()F x '在[1,1]-上单调递减()(1)30min F x F e ∴'='=->，()F x ∴在[1,1]-上单调递增,max ()(1)0F x F ∴==，所以min ()0x ϕ≥(1)70(1)30a a ϕϕ-=-≥⎧∴⎨=+≥⎩,解得:37a -≤≤ ，实数a 的取值范围为[3,7]-.（8分） （3）()g x 的图象如图所示：令()T g x =,则()1g T =，1232,0,ln 4T T T ∴=-== 当()2g x =-时有1个解3-,当()0g x =时有2个解：(12)-+、ln3,当()ln 4g x =时有3个解:ln(3ln 4)+、12(1ln 2)-±-.故方程[()]10g g x -=的解分别为：3-,(12)-+、ln3,ln(3ln 4)+、12(1ln 2)-±-（12分）22.在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，[0,)απ∈），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为224([0,])43cos =∈-ρθπθ.点(3,0)P . （1）写出曲线2C 的普通方程和参数方程；（2）曲线1C 交曲线2C 于A ，B 两点，若2||||5⋅=PA PB ，求曲线1C 的普通方程. 【详解】解：（1）()22222222443cos 43443cos =⇒-⇒+-=-x y x ρρρθθ所以，曲线2C 的普通方程为：2214x y +=（2分）曲线2C 的参数方程为：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（5分）（2）由题知点P 在曲线上，将1C 的参数方程3cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩代入曲线2C 的普通方程为：2214x y +=得：1C()223sin 1cos 10++-=t αα所以0∆>，设12,t t是方程的两根，1212221,3sin 13sin 1t t t t ααα∴+=-=-++ 12212||||3sin 15PA PB t t α⋅===+，sin 24⇒=⇒=παα或34π（9分） 所以曲线1C的普通方程为：y x ==-+y x 10分）【点睛】本题考察极坐标方程和普通方程的互化，普通方程和参数方程的互化，考查了直线参数方程的应用，是基础题．23.已知1()=+f x x x（1）求不等式1()3||+<f x x 的解集； （2）()f x 的最小值为M ，12+=a b M ，(),a b R +∈，求22()()+f a f b 的最小值. 【答案】（1）{|2l x x -<<-或12}x <<；（2）252 【解析】【分析】（1）将12()3||3||||f x x x x +<⇒+<，求出||x 的范围，进而可得x 的范围； （2）首先求出()f x 的最小值，即可得+a b 的值，利用柯西不等式和基本不等式求22()()+f a f b 的最小值.【详解】解：（1）∵1112()33||3||||||+<⇒++<⇒+<f x x x x x x x ， (||1)(||2)01||2||-⋅-<⇒<<x x x x ， 不等式1()3||+<f x x 的解集为：{|2l 12}x x x -<<-<<或；（5分） （2）11()||2||=+=+≥=f x x x x x ， 所以，1a b +=，.()2222222211111()()112⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦f a f b a b a b a b a b 21112⎛⎫≥+++ ⎪⎝⎭a b a b 222111125112222⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪=+≥+= ⎪ ⎪⎝⎭+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ab a b .（10分）。

2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数(12)(1)()z i ai a R =++∈，若z R ∈，则实数(a = )A ．12B ．12- C ．2 D ．2-2．已知集合{|12}M x x =-<<，{|(3)0}N x x x =+…，则(M N =I ) A ．[3-，2)B ．(3,2)-C ．(1-，0]D ．(1,0)-3．同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为( )A ．19B ．16C ．118D ．5124．在正项等比数列{}n a 中，5115a a -=，426a a -=，则3(a = )A ．2B ．4C ．12D ．85．执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为( )A ．53B ．85C ．138D ．21136．已知等边ABC ∆内接于圆22:1x y Γ+=，且P 是圆Γ上一点，则()PA PB PC +u u u r u u u r u u u r g 的最大值是( ) A 2B ．1C 3D ．27．已知函数22()sin sin ()3f x x x π=++，则()f x 的最小值为( )A ．12B ．14C 3D 28．已知数列{}n a 满足11a =，211(1)4n n n n a a a a +++-=，且1(*)n n a a n N +>∈，则数列{}n a 的通项公式(n a = ) A ．2n B ．2n C ．2n + D ．32n - 9．已知0.40.8a =，0.80.4b =，8log 4c =，则( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<10．青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为()A ．25B ．35C ．15D ．21511．已知点P 在椭圆2222:1(0)x ya b a bΓ+=>>上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =u u u r u u u r，直线AD 与椭圆Γ的另一个交点为B ，若PA PB ⊥，则椭圆Γ的离心率(e = )A ．12B ．2C D 12．已知关于x 的不等式31xe x alnx x--…对于任意(,)x l ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，1]e -B ．(-∞，3]-C ．(-∞，2]-D ．(-∞，22]e -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知以20x y ±=为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为 ．14．若函数cos ()sin x af x x+=在(0,)2π上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．15．根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45︒方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30/km h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过 小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01)．16．在三棱锥S ABC -中，底面ABC ∆是边长为3的等边三角形，SA =，SB =此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S AB C --的余弦值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4a =，tan tan tan tan A B c bA B c--=+． （1）求A 的余弦值； （2）求ABC ∆面积的最大值．18．（12分）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，L 分别为棱11A D ，11C D ，BC 的中点．（1）求证：AC QL ⊥；（2）求点A 到平面PQL 的距离．19．（12分）已知抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足(2FP =u u u r，23) （1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点(3,2)A -的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点(3,6)B -和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．20．（12分）有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的第n 年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年收入/亿元()x32.031.033.036.037.038.039.043.045.010x商品销售额/万元()y25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.010y且已知1380.0i i x ==∑（1）求第10年的年收入10x ；（2）若该城市居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程363ˆˆ254yx a=+ ()I 求第10年的销售额10y ；（Ⅱ）若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01) 附加：（1）在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆni i i nii x yn xy b xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =- （2）1022110254.0ii x x =-=∑，9112875.0i i i x y ==∑，91340.0i i y ==∑．21．（12分）（1）证明函数2sin 2cos x y e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增； （2）证明函数()2sin x ef x x x=-在(,0)π-上有且仅有一个极大值点0x ，且00()2f x <<．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos (4sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线22:4cos 30C ρρθ-+=． （1）求曲线1C 的一般方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线1C 上，点Q 曲线2C 上，求||PQ 的最小值． [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．已知函数()|2|||f x x a x a l =-+-+． （1）当4a =时，求解不等式()8f x …；（2）已知关于x 的不等式2()2a f x …在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．《高中数学教研微信系列群》“助力2020高考”特别奉献备考（纯WORD ）资料—（6）2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数(12)(1)()z i ai a R =++∈，若z R ∈，则实数(a = )A ．12B ．12- C ．2 D ．2-【思路分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解． 【解析】：(12)(1)(12)(2)z i ai a a i R =++=-++∈Q ， 20a ∴+=，即2a =-．故选：D ．【总结与归纳】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 2．已知集合{|12}M x x =-<<，{|(3)0}N x x x =+„，则(M N =I ) A ．[3-，2)B ．(3,2)-C ．(1-，0]D ．(1,0)-【思路分析】化简集合N ，再求交集即可． 【解析】：{|(3)0}[3N x x x =+=-„，0]， 集合{|12}M x x =-<<， 则(1M N =-I ，0]， 故选：C ．【总结与归纳】考查集合的运算，同时考查了不等式的解法，基础题．3．同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为( )A ．19B ．16C ．118D ．512【思路分析】基本事件总数6636n =⨯=，向上的点数之和小于5包含的基本事件有6个，由此能求出向上的点数之和小于5的概率． 【解析】：同时抛掷两个质地均匀的骰子， 基本事件总数6636n =⨯=，向上的点数之和小于5包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个，∴向上的点数之和小于5的概率为61366p ==．故选：B ．【总结与归纳】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．在正项等比数列{}n a 中，5115a a -=，426a a -=，则3(a = )A ．2B ．4C ．12D ．8【思路分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解析】：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，5115a a -=Q ，426a a -=，41(1)15a q ∴-=，31()6a q q -=， 解得：2q =，11a =． 则34a =． 故选：B ．【总结与归纳】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为( )A ．53B ．85C ．138D ．2113【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解析】：0i =，1s =，第一次执行循环体后，1i =，2s =，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，2i =，32s =，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，3i =，53s =，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，4i =，85s =，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，5i =，138s =，满足退出循环的条件；故输出S 值为138，故选：C ．【总结与归纳】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 6．已知等边ABC ∆内接于圆22:1x y Γ+=，且P 是圆Γ上一点，则()PA PB PC +u u u r u u u r u u u rg 的最大值是( )A 2B ．1C 3D ．2【思路分析】设BC 的中点为E ，连接AE ，PE ；并设PO u u u r 与OE u u u r的夹角为θ；结合条件得O 在AE 上且21OA OE ==；且()1cos PA PB PC θ+=-u u u r u u u r u u u rg 即可求出结论 【解析】：设BC 的中点为E ，连接AE ，PE ；并设PO u u u r 与OE u u u r的夹角为θ如图：因为等边ABC ∆内接于圆22:1x y Γ+=， 所以O 在AE 上且21OA OE ==；∴2222211()22()()2[()]2[()2]2[11cos 2()]1cos 22PA PB PC PA PE PO OA PO OE PO PO OA OE OA OE PO PO OE OE θθ+==++=+++=+--=-⨯⨯-⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g g g ；∴当cos 1θ=-即点P 在AE 的延长线与圆的交点时；()PA PB PC +u u u r u u u r u u u rg 取最大值，此时最大值为1(1)2--=；故选：D ．【总结与归纳】本题考查向量的数量积的应用以及三角形法则，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．7．已知函数22()sin sin ()3f x x x π=++，则()f x 的最小值为( )A ．12B ．14C 3D 2【思路分析】直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果． 【解析】：函数222222135331()sin sin ()sin (sin )sin cos 2sin(2)1324426f x x x x x x x x x x ππ=++=+=+=-+，当sin(2)16x π-=-时，函数11()122min f x =-=．故选：A ．【总结与归纳】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．已知数列{}n a 满足11a =，211(1)4n n n n a a a a +++-=，且1(*)n n a a n N +>∈，则数列{}n a 的通项公式(n a = ) A ．2nB ．2nC ．2n +D ．32n -【思路分析】依题意可得数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，从而可求得答案． 【解析】：11a =Q ，211(1)4n n n n a a a a +++-=，且1(*)n n a a n N +>∈， 111n n n n a a a a ++∴+-=g∴11n n a a +=11a ，∴数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴1(1)1n a n n =+-⨯=，2n a n ∴=．故选：B ．1是关键，考查等差数列的判定与其通项公式的应用，考查观察能力与运算能力，属于中档题． 9．已知0.40.8a =，0.80.4b =，8log 4c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【思路分析】根据题意，将a 、b 、c 变形为根式，进而结合根式的性质分析可得答案．【解析】：根据题意，20.4540.8()5a ===，40.8520.4()5b ====，842log 483lg c lg =====又由16321662524325<<， 故有b c a <<； 故选：D ．【总结与归纳】本题考查对数、指数的大小比较，注意对数、指数的运算性质，属于基础题． 10．青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为() A ．25B ．35C ．15D ．215【思路分析】基本事件总数113221354353132222()150C C C C C C n A A A =+=g ，恰好有2名大学生分配去甲学校包含的基本事件个安徽2212531220m C C C A ==，由此能求出恰好有2名大学生分配去甲学校的概率．【解析】：现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，基本事件总数113221354353132222()150C C C C C C n A A A =+=g ， 恰好有2名大学生分配去甲学校包含的基本事件个安徽2212531220m C C C A ==， ∴恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为20215015m P n ===．故选：D ．【总结与归纳】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．已知点P 在椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =u u u r u u u r，直线AD 与椭圆Γ的另一个交点为B ，若PA PB ⊥，则椭圆Γ的离心率(e = )A ．12B ．2C D【思路分析】设P 的坐标，由题意可得A ，Q ，的坐标，再由向量的关系求出D 的坐标，求出AD ，PA 的斜率，B 在直线AD 上，设B 坐标，P ，B 在椭圆上，将P ，B 的坐标代入椭圆的方程，两式相减所以可得22PB ABb k k a=-g ，进而求出PB 的斜率，再由PA PB ⊥可得a ，b 的关系，进而求出离心率．【解析】：设0(P x ，0)y 由题意可得0(A x -，0)y -，0(Q x ，0)y -，由34PD PQ =u u u r u u u r可得0(D x ，0)2y -，所以00PA y k x =，00000024AD y y y k x x x -+==+设(,)B x y ， 则2200022000PB ABy y y y y y k k x x x x x x -+-==-+-g g ， 因为P ，B 在椭圆上，所以222222002211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得22202220y y b x x a -=--， 所以可得22PB AB b k k a=-g所以22202220411BP AB AD x b b b k a k a k a y =-=-=-g g g ，因为PA PB ⊥，则1AP PBk k =-g ，即2002004()1y x b x a y -=-g g ，整理可得：224a b =，所以离心率222213114c c b e a a a ===-=-=，故选：C ．【总结与归纳】考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合，属于中难题12．已知关于x 的不等式31xe x alnx x--…对于任意(,)x l ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，1]e -B ．(-∞，3]-C ．(-∞，2]-D ．(-∞，22]e -【思路分析】分离参数，构造函数，对33x x lnx x e e --=变形以及1x e x -…，即可求得a 的取值范围．【解析】：由题意可知，分离参数31x x e x a lnx ---„，令31()x x e x f x lnx ---=，由题意可知，()min a f x „，由31()x lnx e xf x lnx---=，又1x e x -…，所以313()3x lnx e x x lnx x f x lnx lnx-----==-…，所以3a -„，故选：B ．【总结与归纳】本题考查利用导数的综合应用，考查分离参数方法的应用，考查1x e x -…恒等式的应用，在选择及填空题可以直接应用，在解答题中，需要构造函数证明，然后再利用，考查转化思想，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知以20x y ±=为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为221123x y -= ． 【思路分析】由渐近线的方程设双曲线的方程，再由过的定点的坐标求出参数，化简为双曲线的标准形式．【解析】：由渐近线的方程以20x y ±=可以设双曲线的方程为：224x y λ-=，又过(4,1)，所以1614λ-=，可得3λ=，所以双曲线的方程为：221123x y -=；故答案为：221123x y -=．【总结与归纳】考查双曲线的性质，属于基础题．14．若函数cos ()sin x af x x+=在(0,)2π上单调递减，则实数a 的取值范围为 1a -… ．【思路分析】求导，参数分离，根据右边函数的单调性求最值，得出结论． 【解析】：22(cos )cos ()0sin x x a xf x sin x--+'=„，即22sin cos cos 1cos 0x x a x a x ---=--„，cos 1a x -…，(0,)2x π∈，1cos a x -…，由于1cos y x =-在(0,)2x π∈递减，最大值为(0)1y =-， 所以1a -…，故答案为：1a -…．【总结与归纳】考查导数法判断函数的单调性，参数分离解不等式，中档题．15．根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45︒方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30/km h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过 9.14 小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01)．【思路分析】设风暴中心最初在A 处，经th 后到达B 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为C ．若在点B 处受到热带风暴的影响，则450OB =，求出t ，即可得出结论．【解析】：设风暴中心最初在A 处，经th 后到达B 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为C ．若在点B 处受到热带风暴的影响，则450OB =， 即22450OC BC +=，即22(600cos45)(600sin4530)450t ︒+︒-=； 式两边平方并化简、整理得22021750t t -+= 1025t ∴=-或1025+10259.14-≈，1025(1025)15210+--==9.14时后码头将受到热带风暴的影响，影响时间为10h ． 故答案为：9.14．【总结与归纳】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生解决实际问题的能力． 16．在三棱锥S ABC -中，底面ABC ∆是边长为3的等边三角形，3SA =，23SB =此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S AB C --的余弦值为 12- ．【思路分析】由题意得222SA AB SB +=，得到SA AB ⊥，取AB 中点为D ，SB 中点为M ，得到CDM ∠为S AB C --的二面角的平面角，根据题意，求出求的半径得到OB ，利用几何法求出120MDC ∠=︒，得出结论．【解析】：由题意得222SA AB SB +=，得到SA AB ⊥，取AB 中点为D ，SB 中点为M ，得到CDM ∠为S AB C --的二面角的平面角， 设三角形ABC 的外心为O '，则32333CO '=gg 3DO '=， 球心为过M 的平面ABS 的垂线与过O '的平面ABC 的垂线的交点，三棱锥外接球的表面积为2214OB ππ=，2214OB =，3MB 32OM =，由132MD SA =，所以tan 3ODM ∠=60ODM ∠=︒， 同理60ODO '∠=︒，得到120MDC ∠=︒，由1cos 2MDC ∠=-，故答案为：12-【总结与归纳】本题考查了几何体的外接球，二面角的平面角，中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4a =，tan tan tan tan A B c bA B c--=+． （1）求A 的余弦值； （2）求ABC ∆面积的最大值．【思路分析】（1）结合同角基本关系及和差角公式进行化简可求cos A ，（2）结合余弦定理及基本不等式可求bc 的范围，然后结合三角形的面积公式即可求解．【解析】：（1）Q tan tan tan tan A B c bA B c--=+． 所以sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos cos A BC B A B A B C A B--=+， 即sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin A B B A C B A B B A C--=+， 所以sin cos sin cos sin()sin sin sin A B B A A B B C C-+-=， 所以sin cos sin cos sin cos sin cos sin A B B A A B B A B -=+-，所以1cos 2A =，（2）由（1）可知60A =︒，由余弦定理可得，2211622b c bc +-=所以22162b c bc bc +=+…， 故16bc „，当且仅当4b c ==时取等号，此时ABC ∆面积取得最大值1sin 60432bc ︒=．【总结与归纳】本题主要考查了同角基本关系及正弦定理和余弦定理在三角化简求值中的应用，还考查了三角形的面积公式及基本不等式在求解最值中的应用．18．（12分）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，L 分别为棱11A D ，11C D ，BC 的中点．（1）求证：AC QL ⊥；（2）求点A 到平面PQL 的距离．【思路分析】（1）利用勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形中位线定理即可得出．（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设平面PQL 的法向量为：(n x =r，y ，)z ，则0n PQ n PL ==u u u r u u u r r r g g ，可得：n r，利用点A 到平面PQL 的距离||||n AL d n =u u u r rg r 即可得出．【解答】（1）证明：2222222112()()2222PQ QL a a a a PL +=⨯+⨯+==Q ，PQ QL ∴⊥． 11////AC AC PQ Q ，AC QL ∴⊥．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，(0D ，0，0)，(A a ，0，0)， 1(2P a ，0，)a ，1(2L a ，a ，0)，(0Q ，12a ，)a ， 1(2PQ a =-u u u r ，12a ，0)，(0PL =u u u r ，a ，)a -，1(2AL a =-u u u r ，a ，0)，设平面PQL 的法向量为：(n x =r ，y ，)z ，则0n PQ n PL ==u u u r u u u r r r g g ，可得：11022ax ay -+=，0ay az -=，可得：(1n =r，1，1)，∴点A 到平面PQL 的距离1||32||3an AL d a n ===u u u r r g r ．【总结与归纳】本题考查了空间线线平行、垂直的判定与性质定理、空间距离计算公式、数量积运算性质、法向量的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）已知抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足(2FP =u u u r，23)（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点(3,2)A -的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点(3,6)B -和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．【思路分析】（1）由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，再由(2FP =u u u r，求出P 的坐标，P 又在抛物线上，代入抛物线的方程可得p 的值，即可求出抛物线的方程；（2）设M ，N ，L 的坐标求出直线NM 的斜率，进而由题意求出直线MN 的方程，同理可得直线ML 的方程，将A ，B 的坐标分别代入两个方程N ，L 的坐标关系，求出NL 的斜率，进而求出直线NL 的方程，可得恒过定点．【解析】：（1）由抛物线的方程可得焦点(2p F ，0)，满足(2FP =u u u r，的P 的坐标为(22p+，，P 在抛物线上，所以22(2)2pp =+，即24120p p +-=，0p >，解得2p =，所以抛物线的方程为：24y x =；（2）设0(M x ，0)y ，1(N x ，1)y ，2(L x ，2)y ，则2114y x =，2224y x =， 直线MN 的斜率10102210101044MN y y y y k y y x x y y --===--+， 则直线MN 的方程为：200104()4y y y x y y -=-+，即01014x y y y y y +=+①， 同理可得直线ML 的方程整理可得02024x y y y y y +=+②，将(3,2)A -，(3,6)B -分别代入①，②的方程可得01010202122126y y y y y y y y +⎧-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩，消0y 可得1212y y =，易知直线124NL k y y =+，则直线NL 的方程为：211124()4y y y x y y -=-+， 即1212124y y y x y y y y =+++，故1212412y x y y y y =+++， 所以124(3)y x y y =++，因此直线NL 恒过定点(3,0)-．【总结与归纳】考查排污池的性质及直线与抛物线的综合应用，属于中难题．20．（12分）有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的且已知1380.0i i x ==∑（1）求第10年的年收入10x ；（2）若该城市居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程363ˆˆ254yx a=+ ()I 求第10年的销售额10y ；（Ⅱ）若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01) 附加：（1）在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆni i i nii x yn xy b xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =- （2）1022110254.0ii x x =-=∑，9112875.0i i i x y ==∑，91340.0i i y ==∑．【思路分析】（1）根据101380.0i i x ==∑即可求得10x ；（2）()I 先求出1034038,10y x y +==，再将其代入363ˆˆ254y x a =+和1221ˆni i i nii x yn xyb xnx==-=-∑∑，可以解得1051y =；（Ⅱ）由前所述，可表示出线性回归方程为363ˆ15.207254yx =-，再将40x =代入即可得解． 【解析】：（1）因为101380.0i i x ==∑，所以10323133363738394345380x +++++++++=，所以1046x =； （2）()I 由题意可知，101380381010ii xx ====∑，10102530343739414244483401010y y y ++++++++++==， 因为363ˆˆ254y x a =+且1221ˆni i i ni i x y n xy b x nx ==-=-∑∑，所以10103401287546103836310254254y y ++-⨯⨯=，解得1051y =，所以第10年的销售额1051y =；（Ⅱ）因为1051y =，所以3405139.110y +==，因为ˆˆa y bx =-，所以363ˆ39.13812.507254a =-⨯=-， 所以线性回归方程为363ˆ15.207254y x =-，由题可知，40x =，将其代入线性回归方程有363ˆ4015.20741.96254y=⨯-≈． 故估计这种商品的销售额是41.96万元．【总结与归纳】本题考查线性回归方程的运用，考查学生的运算能力，属于基础题． 21．（12分）（1）证明函数2sin 2cos x y e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增；（2）证明函数()2sin x ef x x x=-在(,0)π-上有且仅有一个极大值点0x ，且00()2f x <<．【思路分析】（1）对函数求导，判断即可； （2）求导，构造函数()g x ，根据零点存在性定理，存在唯一零点0(,)2x ππ∈--，根据题意，判断零点0x 对应值0()f x 的取值范围，得出结论．【解析】：（1）求导，2cos 2(cos sin )2sin 4cos x x y e x x x x e x x x '=---=+-，(,)2x ππ∈--，因为0x e >，2sin 0x x >，4cos 0x ->，故0y '>， 函数y 在定义区间递增；（2）由22(1)2cos ()x e x x xf x x --'=，令2()(1)2cos x g x e x x x =--，()(2sin 4cos )x g x x e x x x '=+-当(,)2x ππ∈--，由（1）得()0g x '<，()g x 递减，由2()(1)022g e πππ--=--<，()8(1)0g e πππ--=-+>，根据零点存在性定理，存在唯一零点0(,)2x ππ∈--，0()0g x =，当0(,)x x π∈-时，()0g x >，()f x 递增；当0(x x ∈，)2π-时，()0g x <，()f x 递减，当(2x π∈-，0)时，2(1)()2cos 0x e x f x x x -'=-<，所以()f x 递减，故()f x 在0(x ，0)为减函数，所以()f x 有唯一的极大值点0x ，由()f x 在0(x ，)2π-递减，得2021()()220222e f x f e πππππ->-=+=-+>-g ， 又000()2sin x o e f x x x =-，当0(,)2x ππ∈--时，0(1,0)o x e x ∈-，002sin 2x <-<， 故0()2f x <， 综上，命题成立．【总结与归纳】考查导数法判断函数的单调性，函数与零点存在性定理的结合，极值点问题，中档题．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos (4sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线22:4cos 30C ρρθ-+=． （1）求曲线1C 的一般方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线1C 上，点Q 曲线2C 上，求||PQ 的最小值．【思路分析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换的应用求出结果． （2）利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．【解析】：（1）曲线1C 的参数方程为5cos (4sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为：2212516x y +=． 曲线22:4cos 30C ρρθ-+=．转换为直角坐标方程为22430x y x +-+=，整理得22(2)1x y -+=．（2）设点(5cos ,4sin )P θθ在曲线1C 上，圆心(2,0)O ，所以：||PO = 当cos 1θ=时，||3min PO =， 所以||PQ 的最小值312-=．【总结与归纳】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，一元二次函数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．已知函数()|2|||f x x a x a l =-+-+． （1）当4a =时，求解不等式()8f x …；（2）已知关于x 的不等式2()2a f x …在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．【思路分析】（1）把4a =代入后结合绝对值不等式的求法即可求解；（2）由已知不等式的恒成立可转化为2()2min a f x …，结合函数的单调性求出函数的最小值即可求解．【解析】：（1）当4a =时，()|24||3|f x x x =-+-，()i 当3x …时，原不等式可化为378x -…，解可得5x …， 此时不等式的解集[5，)+∞；()ii 当23x <<时，原不等式可化为2438x x -+-…，解可得59x … 此时不等式的解集∅；()iii 当2x „时，原不等式可化为378x -+…，解可得13x -„， 此时不等式的解集(∞，1]3-，综上可得，不等式的解集[5，)(+∞∞⋃，1]3-，（2）()i 当112a a -=即2a =时，2()3|1|22a f x x =-=…显然不成立，()ii 当112a a ->即2a >时，1321,21()1,12321,1x a x a f x x a x a x a x a ⎧-+-⎪⎪⎪=-<<-⎨⎪-+-⎪⎪⎩„…，结合函数的单调性可知，当12x a =时，函数取得最小值11()122f a a =-，若2()2a f x …在R 上恒成立，则211122a a -…，此时a 不存在，()iii 当112a a -<即2a <时，321,11()1,121321,2x a x a f x x a x a x a x a ⎧⎪-+--⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪-+⎪⎩„…若2()2a f x …在R 上恒成立，则211122a a -…，解可得21a -剟，此时a 的范围[2-，1]，综上可得，a 的范围围[2-，1]．【总结与归纳】本题主要考查了含有参数的绝对值不等式的求解及不等式恒成立求解参数范围问题，体现了分类讨论思想的应用．。

2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷一、选择题（共12题）1．已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，则实数a＝（）A．B．﹣C．2D．﹣22．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，则M∩N＝（）A．[﹣3，2）B．（﹣3，2）C．（﹣1，0]D．（﹣1，0）3．同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（）A．B．C．D．4．在正项等比数列{a n}中，a5﹣a1＝15，a4﹣a2＝6，则a3＝（）A．2B．4C．D．85．执行如图所示的程序框图，输出的s的值为（）A．B．C．D．6．已知等边△ABC内接于圆Γ：x2+y2＝1，且P是圆Γ上一点，则•（+）的最大值是（）A．B．1C．D．27．已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x+），则f（x）的最小值为（）A．B．C．D．8．已知数列{a n}满足a1＝1，（a n+a n+1﹣1）2＝4a n a n+1，且a n+1＞a n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n＝（）A．2n B．n2C．n+2D．3n﹣29．已知a＝0.80.4，b＝0.40.8，c＝log84，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a10．青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为（）A．B．C．D．11．已知点P在椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）上，点P在第一象限，点P关于原点O 的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设，直线AD与椭圆Γ的另一个交点为B，若P A⊥PB，则椭圆Γ的离心率e＝（）A．B．C．D．12．已知关于x的不等式﹣x﹣alnx≥1对于任意x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1﹣e]B．（﹣∞，﹣3]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，2﹣e2]二．填空题（共4小题）13．已知以x±2y＝0为渐近线的双曲线经过点（4，1），则该双曲线的标准方程为＝1．14．若函数f（x）＝在（0，）上单调递减，则实数a的取值范围为a≥﹣1．15．根据气象部门预报，在距离某个码头A南偏东45°方向的600km处的热带风暴中心B 正以30km/h的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km以内的地区都将受到影响，从现在起经过9.14小时后该码头A将受到热带风暴的影响（精确到0.01）．16．在三棱锥S﹣ABC中，底面△ABC是边长为3的等边三角形，SA＝，SB＝2，若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S﹣AB﹣C的余弦值为﹣．三．解答题（共70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝4，．（1）求A的余弦值；（2）求△ABC面积的最大值．18．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q，L分别为棱A1D1，C1D1，BC 的中点．（1）求证：AC⊥QL；（2）求点A到平面PQL的距离．19．已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足＝（2，2）（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点A（3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M，N两点，经过定点B（3，﹣6）和M的直线与抛物线Γ交于另一点L，问直线NL是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．20．有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据：第n年1234567891032.031.033.036.037.038.039.043.045.0x10年收入/亿元（x）25.030.034.037.039.041.042.044.048.0y10商品销售额/万元（y）且已知＝380.0（1）求第10年的年收入x10；（2）若该城市居民收入x与该种商品的销售额y之间满足线性回归方程＝（I）求第10年的销售额y10；（Ⅱ）若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01）附加：（1）在线性回归方程＝x+中，＝，（2）﹣10＝254.0，＝12875.0，＝340.0．21．（1）证明函数y＝e x﹣2sin x﹣2x cos x在区间上单调递增；（2）证明函数在（﹣π，0）上有且仅有一个极大值点x0，且0＜f（x0）＜2．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．（1）求曲线C1的一般方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若点P在曲线C1上，点Q曲线C2上，求|PQ|的最小值．23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣a+1|．（1）当a＝4时，求解不等式f（x）≥8；（2）已知关于x的不等式f（x）≥在R上恒成立，求参数a的取值范围．。

湖北省武汉市2020届高三下学期3月质量检测数学试题（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z ＝（1+2i ）（1+ai ）（a ∈R ），若z ∈R ，则实数a ＝（ ） A.12B. 12-C. 2D. ﹣2『答案』D『解析』因为z ＝（1+2i ）（1+a i ）=()()122a a i -++， 又因为z ∈R ， 所以20a +=， 解得a ＝-2. 故选：D2.已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，N ＝{x |x （x +3）≤0}，则M ∩N ＝（ ） A. 『﹣3，2） B. （﹣3，2）C. （﹣1，0』D. （﹣1，0）『答案』C『解析』因为N ＝{x |x （x +3）≤0}={x |-3≤x ≤0}， 又因为M ＝{x |﹣1＜x ＜2}， 所以M ∩N ＝{x |﹣1＜x ≤0}. 故选：C3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（ ） A.16B.518C.19D.512『答案』A『解析』共有66=36⨯种情况，满足条件的有()()()()()()1,11,21,32,1,2,2,3,1，，，6种情况， 故61366p ==. 故选：A .4.在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ）A. 2B. 4C.12D. 8『答案』B『解析』4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得112a q =⎧⎨=⎩或11612a q =-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）.故2314a a q ==.故选：B .5.执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为（ ）A.53B.85C.138D.2113『答案』C『解析』第一次循环，2,1s i ==，第二次循环，3,22s i ==， 第三次循环，5,33s i ==，第四次循环，8,45s i ==，第四次循环，13,58s i ==， 此时不满足4i ≤，输出138s =. 故选：C6.已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（ ）A.B. 1C.D. 2『答案』D『解析』如图所示建立直角坐标系，则1,0A，12⎛- ⎝⎭B，1,2C ⎛- ⎝⎭，设()cos ,sin P θθ，则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-，即()1,0P -时等号成立. 故选：D .7.已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A.12B.14C.D.2『答案』A『解析』已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小值为12. 故选：A8.已知数列{a n }满足a 1=1，(a n +a n+1-1)2=4a n a n +1，且a n +1>a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n =（ ） A. 2n B. n 2 C. n +2 D. 3n -2『答案』B『解析』()21114n n n n a a a a +++-=，故11n n a a ++-=，即21=，1=，11a =，故为首项是1，公差为1的等差数列.n =，2n a n =. 故选：B .9.已知a =0.80.4，b =0. 40. 8，c = log 84，则（ ） A. a<b<c B. a<c<b C. c<a<b D. b<c<a『答案』D『解析』5254582320.80.64,0.40.0256,log 4,0.13173243a b c c =======≈，故555b c a <<.即b c a <<. 故选：D .10.青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为（ ） A.25B.35C.15D.215『答案』A『解析』所有情况共有2133535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种.满足条件的共有22253260C C A =种，故6021505p ==. 故选：A .11.已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若P A ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ） A.12B.C.D.『答案』C『解析』设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =，则11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，2121221212PBy y x x b k x x a y y -+==-⋅-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故2e =.故选：C .12.已知关于x 的不等式3xe x-x - alnx ≥1对于任意x ∈(l ，+∞)恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. （-∞，1-e 』 B. （-∞，-3』C. （-∞，-2』D. （-∞，2-e 2』 『答案』B『解析』根据题意：33ln 3ln 31111ln ln ln ln xx x x x x e x x e x e e x e x x a x x x x-----------≤===.设()1xf x e x =--，则()'1xf x e =-，则函数在(),0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增，故()()min 00f x f ==，故1x e x ≥+.根据1xe x ≥+，3ln 13ln 113ln ln x x e x x x x x x----+--≥=-，故3a ≤-.故选：B .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知以x ±2y =0为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为________.『答案』221123y x -=『解析』双曲线渐近线为20x y ±=，则设双曲线方程为：224x y λ-=，代入点(4,1)，则12λ=.故双曲线方程为：221123y x -=.故答案为：221123y x -=.14.若函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，则实数a 取值范围为___．『答案』a ≥﹣1． 『解析』因为函数f （x ）cosx asinx +=在（0，2π）上单调递减，所以()21cos 0sin a x f x x --'=≤在（0，2π）上恒成立 ， 即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立 ， 因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()cos 0,1x ∈， 所以1(,1]cos x-∈-∞-， 所以1a ≥-.的故答案为：1a ≥-15.根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45°方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30km /h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过___小时后该码头A 将受到热带风暴的影响（精确到0.01）． 『答案』9.14h.『解析』建立如图所示直角坐标系：设风暴中心最初在B 处，经th 后到达C 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为D ． 若在点C 处受到热带风暴的影响，则OC ＝450，=450，=450；两边平方并化简、整理得t 2﹣t +175＝0∴t 5=或5，14159.≈所以9.14时后码头将受到热带风暴的影响．16.在三棱锥S- ABC 中，底面△ABC 是边长为3的等边三角形，SA SB 三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S-AB-C 的余弦值为____． 『答案』12-『解析』球的表面积为2421R ππ=，故2R =，222SA SB AB +=，故2SAB π∠=.SAB ∆的外接圆圆心为SB 中点2O ，2r =ABC ∆的外接圆圆心为三角形中心1O，1r ==设球心为O ，则2OO ⊥平面SAB ，1OO ⊥平面ABC ，1CO 与AB 交于点D ， 易知D 为AB 中点，连接DO ，2DO ，易知CD AB ⊥，2O D AB ⊥， 故2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角.故132OO ==，232OO ==，113DO CD ==2122DO SA ==.1tan ODO ∠=13ODO π∠=，2tan ODO ∠=23ODO π∠=.故1223O DO π∠=，121cos 2O DO ∠=-. 故答案为：12-.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 - 21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =4，tan tan tan tan A B c bA B c--=+.（1）求A 的余弦值； （2）求△ABC 面积的最大值． 解：（1）tan tan tan tan A B c bA B c --=+，则sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin A B A B C B A B A B C--=+，即()()sin sin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，sin 0B ≠，故1cos 2A =. （2）2222cos a b c bc A =+-，故22162b c bc bc bc +-=≥-，故16bc ≤. 当4b c ==时等号成立.1cos2A =，故sin A =，1sin 2S bc A =≤△ABC 面积的最大值为18.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，L 分别为棱A 1D 1，C 1D 1，BC 的中点．（1）求证：AC ⊥QL ；（2）求点A 到平面PQL 的距离．（1）证明：如图所示：作QM CD ⊥于M ，易知M 为CD 中点，L 为BC 中点，故AC ML ⊥.QM CD ⊥，故QM ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，故QM AC ⊥. QMML M =，故AC ⊥平面QML ，QL ⊂平面QML ，故AC QL ⊥.（2）解：取AB 中点N ，连接,PN LN ，易知//PQ LN ，AC QL ⊥，故PQLN 为矩形. 故A 到平面PQL 的距离等于A 到平面PNL 的距离. 故31113322224P ANLa a a V Sh a -==⨯⋅⋅⋅=.2112224PNLS NL NP a a ∆=⋅=⋅=，P ANLA PNL V V --=，即321324a d ⋅=，故d a =.19.已知抛物线Γ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足FP =（2，（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知经过点A （3，﹣2）的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点B （3，﹣6）和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．解：（1）由抛物线的方程可得焦点F （2p，0），满足FP =（2，P 的坐标为（22p+，），P 在抛物线上， 所以（）2＝2p （22p +），即p 2+4p ﹣12＝0，p ＞0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ；（2）设M （x 0，y 0），N （x 1，y 1），L （x 2，y 2），则y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，直线MN 的斜率k MN10102210101044y y y y y y x x y y --===--+， 则直线MN 的方程为：y ﹣y 0104y y =+（x 204y -），即y 01014x y y y y +=+①，同理可得直线ML 的方程整理可得y 02024x y y y y +=+②，将A （3，﹣2），B （3，﹣6）分别代入①，②的方程可得01010202122126y y y y y y y y +⎧-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩，消y 0可得y 1y 2＝12，易知直线k NL 124y y =+，则直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+（x 214y -），即y 124y y =+x 1212y y y y ++，故y 124y y =+x 1212y y ++，所以y 124y y =+（x +3），因此直线NL 恒过定点（﹣3，0）．20.有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据：且已知101i i x =∑= 380.0（1）求第10年的年收入x 10；（2）收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程y 363254x =+ˆa . （i ）10年的销售额y 10；（ii ）居民收入达到40.0亿元，估计这种商品销售额是多少？（精确到0.01）附加：（1）回归方程ˆˆˆybx a =+中，11221ˆni i ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-. （2）1022110254.0ii xx =-=∑，9112875.0i i i x y ==∑，921340.0i i y ==∑解：（1）10101323133363738394345380ii xx ==+++++++++=∑，故1046x =.（2）1011022110363ˆ25410i ii ii x y x ybxx ==-⋅==-∑∑，即10103401287546103836310254254y y ++-⋅⋅=， 解得1051y =，故38x =，2530343739+41+42+44+485139.110y +++++==.将点()38,39.1代入回归方程363254y x a =+得到：15.21a ≈-. 故36315.21254y x =-，当40x =时，41.96y =. 21.（1）证明函数2sin 2cos x y e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增；（2）证明函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<解：（1）对函数求导，得，'2cos 2cos 2sin 4cos 2sin ,x xy e x x x x e x x x =--+=-+因为任意的x ∈R ,有0x e >，且在区间(,)2ππ--上，1sin 0,1cos 0,x x -<<-<<所以(,),2sin 0,4cos 0,2x x x x ππ-->->∀∈即'4cos 2sin 0xy e x x x =-+>，即函数2sin 2cos xy e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增.（2）对函数求导，得()()2212cos 'x x e x x f x x --=， 令()()212cos xg x ex x x =--，则()()'2sin 4cos x g x x e x x x =+-当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，由（1）知，4cos 2sin 0xe x x x -+>，则()'0g x <故()g x 在,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减 而()()2210,12022g e g e πππππππ--⎛⎫⎛⎫-=--<-=-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由零点存在定理知：存在唯一的0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00g x =， 即()()02000012cos x g x ex x x =--当()0,x x π∈-时，()00g x >，即()'0f x >，()f x 为增函数； 当0,2x x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()00g x <，即()'0f x <，()f x 为减函数. 又当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()2212cos '0xx e x x f x x --=<所以()f x 在()0,0x 上恒为减函数， 因此()f x 有唯一的极大值点0x 由()f x 在0,2x π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减， 故()20212sin 202222e f x f eππππππ-⎛⎫⎛⎫>-=--=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 即()00f x >又()00002sin ,x e f x x x =-当0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时， 00010,02sin 2x e x x -<<<-<故()02f x <综上，函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分．『选修4-4:坐标系与参数方程』22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为54x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0． （1）求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线C 1上，点Q 曲线C 2上，求|PQ |的最小值． 解：（1）曲线C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数），两式平方相加整理得2212516x y +=． 将cos ,sin x y ρθρθ==代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0． 得x 2+y 2﹣4x +3＝0， 整理得（x ﹣2）2+y 2＝1．（2）设点P （5cosθ，4sinθ）在曲线C 1上，圆心O （2，0）， 所以：PO ===， 当cosθ＝1时，|PO |min ＝3， 所以|PQ |的最小值3﹣1＝2． 『选修4-5:不等式选讲』23.已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|． （1）当a ＝4时，求解不等式f （x ）≥8；（2）已知关于x 的不等式f （x ）22a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．解：（1）当a ＝4时，f （x ）＝|2x ﹣4|+|x ﹣3|，（i ）当x ≥3时，原不等式可化为3x ﹣7≥8，解可得x ≥5， 此时不等式的解集『5，+∞）；（ii ）当2＜x ＜3时，原不等式可化为2x ﹣4+3﹣x ≥8，解可得x ≥9 此时不等式的解集∅；（iii）当x≤2时，原不等式可化为﹣3x+7≥8，解可得x13≤-，此时不等式的解集（∞，13 -』，综上可得，不等式的解集『5，+∞）∪（∞，13 -』，（2）（i）当a﹣112a=即a＝2时，f（x）＝3|x﹣1|22a≥=2显然不恒成立，（ii）当a﹣112a＞即a＞2时，()1321211123211x a x af x x a x ax a x a⎧-+-≤⎪⎪⎪=--⎨⎪-+≥-⎪⎪⎩，，＜＜，，结合函数的单调性可知，当x12a=时，函数取得最小值f（12a）112a=-，若f（x）22a≥在R上恒成立，则211122a a-≥，此时a不存在，（iii）当a﹣112a＜即a＜2时，f（x）3211111213212x a x ax a x ax a x a⎧⎪-+-≤-⎪⎪=-+-⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，，＜＜，若f（x）22a≥在R上恒成立，则121122a a-≥，解得﹣2≤a≤1，此时a的范围『﹣2，1』，综上可得，a的范围围『﹣2，1』．。

2020年湖北省武汉市理工大学附属中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知直线，若曲线上存在两点P、Q关于直线对称，则的值为A．B．C．D．参考答案：D2. 若，则直线与轴、轴围成的三角形的面积小于的概率是A. B. C. D.参考答案：C略3. 复数 (i是虚数单位)的虚部为A．－1B．0 C．1 D．2参考答案：C4. 平面向量，共线的充要条件是（）A. ，方向相同B. ，两向量中至少有一个为零向量C. ，D. 存在不全为零的实数，，参考答案：D5.如图，三棱锥中，若三棱锥的四个顶点在同一球面上，则这个球的表面积为A. B. C.D.参考答案：答案：A6. 已知△ABC，，，N是边BC上的点，且，为△ABC的外心，的值为（）A. 8B. 10C. 18D. 9参考答案：D【分析】先由得到，取，中点分别为，求出，，进而可求出结果.【详解】因，所以，因此；取，中点分别为，则，；因此，所以.故选D【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，熟记数量积运算法则以及数量积的几何意义，即可求解，属于常考题型.7. 设曲线y=e ax﹣ln（x+1）在点（0，1）处的切线方程为2x﹣y+1=0，则a=（）A． 0 B． 1 C． 2 D．3参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再根据曲线y=e ax﹣ln（x+1）在点（0，1）处的切线方程为2x﹣y+1=0，建立等式关系，解之即可．解答：解：∵y=e ax﹣ln（x+1），∴y′=ae ax﹣∴x=0时，切线的斜率为a﹣1∵曲线y=e ax﹣ln（x+1）在点（0，1）处的切线方程为2x﹣y+1=0，∴a﹣1=2，即a=3．故选：D．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．8. 已知函数，数列满足，且是单调递增数列，则实数的取值范围是参考答案：C略9. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，∵e==2，∴===，故选A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率公式和渐近线方程的运用，同时考查点到直线的距离公式，属于基础题．10. 若函数的图像向左平移（）个单位后所得的函数为偶函数，则的最小值为（）A．B． C. D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设满足约束条件，则的取值范围为 .参考答案：略12. 如右图，在直角梯形ABCD中，AB//DC,AD⊥AB , AD=DC=2,AB=3,点是梯形内或边界上的一个动点，点N是DC边的中点，则的最大值是________参考答案：613. 若关于的方程的两实根，满足，则实数的取值范围是。

2020届高三数学下学期3月月考试题（含解析）考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；.4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，，则A. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}【答案】D【解析】【分析】先求，再求．【详解】因为，所以.故选D．【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．2.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.3.设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是（）A. －15B. －9C. 1D. 9【答案】A【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z＝2x＋y，当直线经过B（－6，－3）时，取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B（－6，－3）处取得最小值zmin＝－12－3＝－15.故选：A【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.4.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．考点：三视图与表面积．5.已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】详解】当“直线a和直线b相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；当“平面α和平面β相交”，则“直线a和直线b可以没有公共点”，即必要性不成立.故选A.6.函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．7.已知为实数，随机变量，的分布列如下：若，随机变量满足，其中随机变量，相互独立，则取值范围的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由及，可知，；又因为，可求出；由题意知，从而可求出取值范围.【详解】解：由知，，即，又，所以；因为，所以，解得.又，且，相互独立，，所以.故选:B.【点睛】本题考查了数学期望，考查了分布列的性质，考查了推理能力和计算能力.本题的关键是由条件求出的取值范围.8.抛物线（）的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于点M，N（点N在轴上方），点E为轴上F右侧的一点，若，，则（）A. 1B. 2C. 3D. 9【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理先找到的高，然后将面积用表示，再利用三角形相似找到与的关系即可解决.【详解】设准线与x轴的交点为T，直线l与准线交于R，，则，，过M，N分别作准线的垂线，垂足分别为，如图，由抛物线定义知，，，因为∥，所以，即，解得，同理，即，解得，又，所以，，过M作的垂线，垂足为G，则，所以，解得，故.故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义及其性质，涉及到抛物线焦半径问题，通常在处理抛物线焦半径的问题时，一般都要想到利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化成点到准线的距离，这是常考点，本题属于中档题.9.已知函数，若函数有9个零点，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用转化与化归思想将有9个零点的问题转化成与有9个不同交点问题，再分别画出两个函数的图象，利用数形结合求解.【详解】由题意，函数有9个零点，可转化为与有9个不同交点.因当有，所以在上是周期函数，又当时，有，，所以在上的图象如图所示要使与有9个不同交点，则只需夹在与之间即可，所以，解得或.故选：A【点睛】本题考查由函数的零点个数求参数的取值范围，处理这类题目要注意，通常转化为函数与函数交点的问题来处理，利用数形结合求解，本题是一道中档题.10.已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知得到，设，利用导数得到数列的单调性即可判断B、C，再利用，通过简单运算即可判断A、D.【详解】由知，，故为非负数列，又，即，所以，设，则，易知在单调递减，且，又，所以，，从而，所以为递减数列，且，故B、C错误；又，故当时，有，所以，故D错误；又，而，故A正确.故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究数列的性质，涉及到数列的单调性、数列和的估计，要求学生有较好的思维，本题有一定的难度及高度，是一道难题.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.若复数（i为虚数单位），则___，复数z对应的点在坐标平面的第____象限.【答案】 (1). (2). 一【解析】【分析】用四则运算将z化为，利用复数模及几何意义即可解决.【详解】由已知，，，复数z所对应的点为，在第一象限.故答案为：（1）；（2）一【点睛】本题考查复数的四则运算，涉及复数的模、复数的几何意义，是一道基础题.12.在二项式的展开式中，常数项是____，所有二项式系数之和是______.【答案】 (1). 240 (2). 64【解析】【分析】由展开式的通项，令即可找到常数项，利用即可算出二项式系数之和.【详解】由题，展开式的通项公式为，令，得，所以常数项为；所有二项式系数之和为.故答案为：（1）240 ；（2） 64【点睛】本题考查二项展开式中的常数项及二项式系数和的问题，做这类问题，一定要把展开式的通项公式计算准确，本题是一道基础题.13.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若的面积是，，则___；___.【答案】 (1). 3 (2).【解析】【分析】利用，，算出a，再利用余弦定理即可算出c；由，结合此时是等腰三角形算出即可解决.详解】由已知，，得，所以，解得，由余弦定理得；.故答案为：（1）3 ；（2）【点睛】本题考查利用正余弦定理解与三角形面积有关的问题，考查学生基本计算能力，是一道基础题.14.某公司有9个连在一起的停车位，现有5辆不同型号的轿车需停放，若停放后恰有3个空车位连在一起，则不同的停放方法有____种.【答案】3600【解析】【分析】先将5辆不同型号的轿车停放好，再用插空法将空车插入5辆不同型号的轿车产生的空位中即可.【详解】分两步：第一步，先将5辆不同型号的轿车停放好有种不同停法，第二步，再将3个空车位打包和剩下的1个空车位插入5辆车产生的6个空位中有种不同的插法，根据分步乘法原理得不同的停放方法种.故答案为：3600.【点睛】本题考查计数原理中的排列问题，求解排列问题主要有以下方法：1.直接法，2.优先法，3.捆绑法，4.插空法，5.先整体后局部，6.定序问题除法处理，7.间接法等，做题时要灵活处理和运用，是一道中档题.15.已知为单位向量，平面向量，满足，的取值范围是____.【答案】【解析】【分析】建系，不妨设，，，则，再利用柯西不等式将所求转化为，利用换元法求出最大值，最小值显然为共线方向时取得.【详解】不妨设，，，由已知，得，，，令，则，又显然当，向量反向时，最小，即，，此时，综上，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查向量数量积取值范围的问题，解决中涉及到了柯西不等式，考查学生通过变形利用不等式求解最大值，本题是一道难题.16.已知，且满足，则最小值是_____.【答案】【解析】【分析】将变形为，令，，得到，，再利用基本不等式即可.【详解】由已知，，所以，令，，则，，所以，当且仅当时，等号成立.故答案为：.【点睛】本题考查基本不等式求双变量函数的最值，做此类题要有较好的观察能力和变形能力，是一道中档题.17.在长方体中，，，E是底面的中心，又（），则当____时，长方体过点，E，F的截面面积的最小值为____.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】首先确定点，E，F的截面是平行四边形，再转化为面积的2倍，而的面积的高利用线面垂直的性质定理可得.【详解】如图所示，延长EF交CD于M，由已知，有，设，，在中，由余弦定理得，即，作垂直于于G，T为AB中点，则与相似，且，所以，即，所以，故过点，E，F的截面面积，当，即时，.故答案为：（1）；（2）.【点睛】本题考查立体几何中截面面积最值的问题，本题解决的关键是：首先要确定点，E，F的截面是什么，其次是怎么设立未知数来解决.本题是一道中档题.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.设函数，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)，.【解析】【详解】试题分析：（1）本小题中的函数是常考的一种形式，先用降幂公式把化为一次形式，但角变为，再运用辅助角公式化为形式，又由对称中心到最近的对称轴距离为，可知此函数的周期为，从而利用周期公式易求出；（2）本小题在前小题的函数的基础上进行完成，因此用换元法只需令，利用求出u的范围，结合正弦函数图像即可找到函数的最值.试题解析：（1）．因为图象的一个对称中心到最近的对称轴距离为，又，所以，因此.（2）由（1）知．当时，所以，因此．故在区间上的最大值和最小值分别为．考点：降幂公式，辅助角公式，周期公式，换元法，正弦函数图像，化归思想.19.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底，是的中点．（1）证明：直线平面；（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）取的中点，连结，，由题意证得∥，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：，，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角的余弦值为．试题解析：（1）取中点，连结，．因为为的中点，所以,,由得，又所以．四边形为平行四边形，．又，，故（2）由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则则，，，，,则因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以，即（x-1）²+y²-z²=0又M在棱PC上,设由①，②得所以M，从而设是平面ABM的法向量，则所以可取.于是因此二面角M-AB-D的余弦值为点睛:（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等，故有|cos θ|＝|cos<m，n>|=．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20.设是等差数列，是等比数列.已知.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足其中.（i）求数列的通项公式；（ii）求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）【解析】【分析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得的值.【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.依题意得，解得，故，.所以，的通项公式为，的通项公式为. (Ⅱ)(i).所以，数列的通项公式为.(ii).【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.21.已知抛物线：（），圆：（），抛物线上的点到其准线的距离的最小值为.（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）如图，点是抛物线在第一象限内一点，过点P作圆的两条切线分别交抛物线于点A，B（A，B异于点P），问是否存在圆使AB恰为其切线？若存在，求出r的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）的方程为，准线方程为.（2）存在，【解析】【分析】（1）由得到p即可；（2）设，利用点斜式得到PA的的方程为，由到PA的距离为半径可得，同理，同理写出直线AB的方程，利用点到直线AB的距离为半径建立方程即可.【详解】解：（1）由题意得，解得，所以抛物线的方程为，准线方程为.（2）由（1）知，.假设存在圆使得AB恰为其切线，设，，则直线PA的的方程为，即.由点到PA的距离为r，得，化简，得，同理，得.所以，是方程的两个不等实根，故，.易得直线AB的方程为，由点到直线AB的距离为r，得，所以，于是，，化简，得，即.经分析知，，因此.【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，直线与圆、抛物线的位置关系等，考查运算求解能力、数形结合思想. 22.已知函数（）.（1）若曲线在点处的切线方程为，求a的值；（2）若是函数的极值点，且，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）求出切线方程，与对比系数即可；（2），令，通过讨论知，且，从而，再由确定出的范围即可获证.【详解】解：（1）由题意知，的定义域为，，则，又，所以曲线在点处的切线方程为，即，所以，解得（2）由（1）得，，显然.令，，当时，，在上单调递增，无极值，不符合题意；当时，，所以在上单调递增取b满足，则，，所以.又，所以存在，使得，此时.又当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，所以为函数的极小值点，且.令，则，所以在上单调递减，又，，所以，∴；令，则.所以当时，单调递增，所以，所以，所以.【点睛】本题考查已知切线方程求参数值以及利用导数证明不等式，涉及到了不等式放缩，这里要强调一点，在证明不等式时，通常是构造函数，将问题转化为函数的极值或最值来处理，本题是一道有高度的压轴解答题.2020届高三数学下学期3月月考试题（含解析）考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；.4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，，则A. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}【答案】D【解析】【分析】先求，再求．【详解】因为，所以.故选D．【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．2.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.3.设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是（）A. －15B. －9C. 1D. 9【答案】A【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z＝2x＋y，当直线经过B（－6，－3）时，取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B（－6，－3）处取得最小值zmin＝－12－3＝－15.故选：A【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.4.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．考点：三视图与表面积．5.已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】详解】当“直线a和直线b相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；当“平面α和平面β相交”，则“直线a和直线b可以没有公共点”，即必要性不成立.故选A.6.函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．7.已知为实数，随机变量，的分布列如下：若，随机变量满足，其中随机变量，相互独立，则取值范围的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由及，可知，；又因为，可求出；由题意知，从而可求出取值范围.【详解】解：由知，，即，又，所以；因为，所以，解得.又，且，相互独立，，所以.故选:B.【点睛】本题考查了数学期望，考查了分布列的性质，考查了推理能力和计算能力.本题的关键是由条件求出的取值范围.8.抛物线（）的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于点M，N（点N在轴上方），点E为轴上F右侧的一点，若，，则（）A. 1B. 2C. 3D. 9【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理先找到的高，然后将面积用表示，再利用三角形相似找到与的关系即可解决.【详解】设准线与x轴的交点为T，直线l与准线交于R，，则，，过M，N分别作准线的垂线，垂足分别为，如图，由抛物线定义知，，，因为∥，所以，即，解得，同理，即，解得，又，所以，，过M作的垂线，垂足为G，则，所以，解得，故.故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义及其性质，涉及到抛物线焦半径问题，通常在处理抛物线焦半径的问题时，一般都要想到利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化成点到准线的距离，这是常考点，本题属于中档题.9.已知函数，若函数有9个零点，则实数k 的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】利用转化与化归思想将有9个零点的问题转化成与有9个不同交点问题，再分别画出两个函数的图象，利用数形结合求解.【详解】由题意，函数有9个零点，可转化为与有9个不同交点.因当有，所以在上是周期函数，又当时，有，，所以在上的图象如图所示要使与有9个不同交点，则只需夹在与之间即可，所以，解得或.故选：A【点睛】本题考查由函数的零点个数求参数的取值范围，处理这类题目要注意，通常转化为函数与函数交点的问题来处理，利用数形结合求解，本题是一道中档题.10.已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知得到，设，利用导数得到数列的单调性即可判断B、C，再利用，通过简单运算即可判断A、D.【详解】由知，，故为非负数列，又，即，所以，设，则，易知在单调递减，且，又，所以，，从而，所以为递减数列，且，故B、C错误；又，故当时，有，所以，故D错误；又，而，故A正确.故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究数列的性质，涉及到数列的单调性、数列和的估计，要求学生有较好的思维，本题有一定的难度及高度，是一道难题.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.若复数（i为虚数单位），则___，复数z对应的点在坐标平面的第____象限.【答案】 (1). (2). 一【解析】【分析】用四则运算将z化为，利用复数模及几何意义即可解决.【详解】由已知，，，复数z所对应为，在第一象限.故答案为：（1）；（2）一【点睛】本题考查复数的四则运算，涉及复数的模、复数的几何意义，是一道基础题.12.在二项式的展开式中，常数项是____，所有二项式系数之和是______.【答案】 (1). 240 (2). 64【解析】【分析】由展开式的通项，令即可找到常数项，利用即可算出二项式系数之和.【详解】由题，展开式的通项公式为，令，得，所以常数项为；所有二项式系数之和为.故答案为：（1）240 ；（2） 64【点睛】本题考查二项展开式中的常数项及二项式系数和的问题，做这类问题，一定要把展开式的通项公式计算准确，本题是一道基础题.13.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若的面积是，，则___；___.【答案】 (1). 3 (2).【解析】【分析】利用，，算出a，再利用余弦定理即可算出c；由，结合此时是等腰三角形算出即可解决.详解】由已知，，得，所以，解得，由余弦定理；.故答案为：（1）3 ；（2）【点睛】本题考查利用正余弦定理解与三角形面积有关的问题，考查学生基本计算能力，是一道基础题.14.某公司有9个连在一起的停车位，现有5辆不同型号的轿车需停放，若停放后恰有3个空车位连在一起，则不同的停放方法有____种.【答案】3600【解析】【分析】先将5辆不同型号的轿车停放好，再用插空法将空车插入5辆不同型号的轿车产生的空位中即可.【详解】分两步：第一步，先将5辆不同型号的轿车停放好有种不同停法，第二步，再将3个空车位打包和剩下的1个空车位插入5辆车产生的6个空位中有种不同的插法，根据分步乘法原理得不同的停放方法种.故答案为：3600.【点睛】本题考查计数原理中的排列问题，求解排列问题主要有以下方法：1.直接法，2.优先法，3.捆绑法，4.插空法，5.先整体后局部，6.定序问题除法处理，7.间接法等，做题时要灵活处理和运用，是一道中档题.15.已知为单位向量，平面向量，满足，的取值范围是____.【答案】【解析】【分析】建系，不妨设，，，则，再利用柯西不等式将所求转化为，利用换元法求出最大值，最小值显然为共线方向时取得.【详解】不妨设，，，由已知，得，，，令，则，又显然当，向量反向时，最小，即，，此时，综上，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查向量数量积取值范围的问题，解决中涉及到了柯西不等式，考查学生通过变形利用不等式求解最大值，本题是一道难题.16.已知，且满足，则最小值是_____.【答案】【解析】【分析】将变形为，令，，得到，，再利用基本不等式即可.【详解】由已知，，所以，令，，则，，所以，当且仅当时，等号成立.故答案为：.【点睛】本题考查基本不等式求双变量函数的最值，做此类题要有较好的观察能力和变形能力，是一道中档题.17.在长方体中，，，E是底面的中心，又（），则当____时，长方体过点，E，F的截面面积的最小值为____.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】首先确定点，E，F的截面是平行四边形，再转化为面积的2倍，而的面积的高利用线面垂直的性质定理可得.【详解】如图所示，延长EF交CD于M，由已知，有，设，，在中，由余弦定理得，即，作垂直于于G，T为AB中点，则与相似，且，所以，即，所以，故过点，E，F的截面面积，当，即时，.故答案为：（1）；（2）.【点睛】本题考查立体几何中截面面积最值的问题，本题解决的关键是：首先要确定点，E，F的截面是什么，其次是怎么设立未知数来解决.本题是一道中档题.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.设函数，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)，.【解析】【详解】试题分析：（1）本小题中的函数是常考的一种形式，先用降幂公式把化为一次形式，但角变为，再运用辅助角公式化为形式，又由对称中心到最近的对称轴距离为，可知此函数的周期为，从而利用周期公式易求出；（2）本小题在前小题的函数的基础上进行完成，因此用换元法只需令，利用求出u的范围，结合正弦函数图像即可找到函数的最值.试题解析：（1）．因为图象的一个对称中心到最近的对称轴距离为，又，所以，因此.（2）由（1）知．当时，所以，因此．故在区间上的最大值和最小值分别为．考点：降幂公式，辅助角公式，周期公式，换元法，正弦函数图像，化归思想.19.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底，是的中点．（1）证明：直线平面；。

湖北省武汉市2021届高中毕业生三月质量检测数学试卷武汉市教育科学研究院命制 2021.3.2本试题卷共5页，22题，全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数z满足ziz=,则复平面上表示复数z的点位于A.第一或第三象限B.第二或第四象限C.实轴D.虚轴2.“tanθ是“sin2θ=2”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设a=30.5,b=40.4,c=50.3,则A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b4.已知正整数n≥7,若（x-1x)(1-x)n的展开式中不含x的项，则n的值为A.7B.8C.9D.105.从3双同的鞋子中随机任取3只，则这3只鞋子中有两只可以配成一双的概率是A.25B.12C.35D.236.某圆锥母线长为2,则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为A.2B.C.D.17.过抛物线E:y 2=2px(p>0)焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点，过A,B 分别向E 的准线作垂线，垂足分别为C,D,若ΔACF 与ΔBDF 的面积之比为4,则直线AB 的斜率为A.± C.±2 D.±8.设函数f(x)=2sin(ωx+φ)-1(ω>0),若对于任意实数φ,f(x)在区间［3,44ππ］上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是 A. 816,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 164,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 820,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。