2016-2017学年江苏省南通市如皋市高一(上)期末数学试卷

江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁UA= ．2．（5分）已知函数y=2sin（ω+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω= ．3．（5分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是．4．（5分）设函数f（）=，则f[f（﹣）]的值为．5．（5分）在△ABC中，向量=（1，cosB），=（sinB，1），且⊥，则角B的大小为．6．（5分）（log23+log227）×（log44+log4）的值为．7．（5分）将函数f（）=sin（2+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y=g （）的图象，若y=g（）是偶函数，则φ= ．8．（5分）已知函数f（）=m2﹣2+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为．9．（5分）已知sin（α﹣）=，则sin（2α+）的值为．10．（5分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，则的值为．11．（5分）在平面直角坐标系Oy中，点P（1，4）是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ（0＜θ＜π）角后到达角π的终边，则tanθ= ．12．（5分）已知函数f（）=，若关于的方程f（）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（）=cos（∈[0，2π]）与函数g（）=tan的图象交于M，N两点，则|+|= ．14．（5分）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是．（）二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知集合A={|f（）=lg（﹣1）+}，集合B={y|y=2+a，≤0}．（1）若a=，求A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．16．（14分）已知函数f（）=Asin（ω﹣）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求函数f（）的解析式；（2）若f（α+）=，f（β+）=，且α，β∈（0，），求α+β的值．17．（14分）若||=1，||=m，|+|=2．（1）若|+2|=3，求实数m的值；（2）若+与﹣的夹角为，求实数m的值．18．（16分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N （异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：m），PN⊥MN．（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．19．（16分）已知函数f（）=m（sin+cos）﹣4sincos，∈[0，]，m∈R．（1）设t=sin+cos，∈[0，]，将f（）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；（2）若关于的不等式f（）≥0对所有的∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于的方程f（）﹣2m+4=0在[0，]上有实数根，求实数m的取值范围．20．（16分）（1）已知函数f（）=2+（＞0），证明函数f（）在（0，）上单调递减，并写出函数f（）的单调递增区间；（2）记函数g（）=a||+2a（a＞1）①若a=4，解关于的方程g（）=3；②若∈[﹣1，+∞），求函数g（）的值域．江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁A= {2} ．U【解答】解：全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁A={2}．U故答案为：{2}．2．（5分）已知函数y=2sin（ω+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω= 3 ．【解答】解：由题意可得：最小正周期T==，解得：ω=3．故答案为：3．3．（5分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是（﹣∞，0）．【解答】解：设幂函数的解析式为y=α，其函数图象过点（2，4），则4=2α，解得α=2，所以y=2，所以函数y的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．4．（5分）设函数f（）=，则f[f（﹣）]的值为 4 ．【解答】解：∵f（）=，∴f（﹣）=2=2=2，f[f（﹣）]=f（2）=22=4．故答案为：4．5．（5分）在△ABC中，向量=（1，cosB），=（sinB，1），且⊥，则角B的大小为．【解答】解：∵⊥，∴•=sinB+cosB=0⇒tanB=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：．6．（5分）（log23+log227）×（log44+log4）的值为0 ．【解答】解：原式=log281×log41=0，故答案为：07．（5分）将函数f（）=sin（2+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（）的图象，若y=g（）是偶函数，则φ= ．【解答】解：图象向左平移得到f（+）=2sin（2++φ），∴g（）=2sin（2++φ），∵g（）为偶函数，因此+φ=π+，又0＜φ＜π，故φ=．故答案为：．8．（5分）已知函数f（）=m2﹣2+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为 1 ．【解答】解：f（）=m2﹣2+m的值域为[0，+∞），∴，解得m=1故答案为：19．（5分）已知sin（α﹣）=，则sin（2α+）的值为．【解答】解：∵sin（α﹣）=，∴sin（2α+）=cos[﹣（2α+）]=cos（2α）=cos[2（α﹣）]=1﹣2sin2（α﹣）=1﹣2×（）2=．故答案为：．10．（5分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，则的值为 3 ．【解答】解：∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=，∴sinαcosβ=，cosαsinβ=，则===3，故答案为：3．11．（5分）在平面直角坐标系Oy中，点P（1，4）是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ（0＜θ＜π）角后到达角π的终边，则tanθ= ．【解答】解：由题意可得，α+θ=，tanα=4，∴tan（α+θ）=﹣1，即=﹣1，即=﹣1，求得tanθ=，故答案为：．12．（5分）已知函数f（）=，若关于的方程f（）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是0＜a＜1或1＜a＜2 ．【解答】解：由题意，关于的方程f（）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则f（）=a2﹣2a有三个不同的交点，∵f（）=，∴﹣1＜a2﹣2a＜0，∴0＜a＜1或1＜a＜2，故答案为0＜a＜1或1＜a＜2．13．（5分）已知函数f（）=cos（∈[0，2π]）与函数g（）=tan的图象交于M，N两点，则|+|= π．【解答】解：由题意，M，N关于点（，0）对称，∴|+|=2×=π，故答案为π．14．（5分）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是[﹣，] ．（）【解答】解：设=，，∴，；则•=+=，当λ=0时，f（λ）=最大为，当时，f（λ）=最小为﹣；则•的取值范围是[﹣，]，故答案为：[﹣，]，二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知集合A={|f（）=lg（﹣1）+}，集合B={y|y=2+a，≤0}．（1）若a=，求A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（）=lg（﹣1）+可得，﹣1＞0且2﹣≥0，解得1＜≤2，故A={|1＜≤2}；…（2分）若a=，则y=2+，当≤0时，0＜2≤1，＜2+≤，故B={y|＜y≤}；…（5分）所以A∪B={|1＜≤}．…（7分）（2）当≤0时，0＜2≤1，a＜2+a≤a+1，故B={y|a＜y≤a+1}，…（9分）因为A∩B=∅，A={|1＜≤2}，所以a≥2或a+1≤1，…（12分）即a≥2或a≤0，所以实数a的取值范围为a≥2或a≤0．…（14分）16．（14分）已知函数f（）=Asin（ω﹣）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求函数f（）的解析式；（2）若f（α+）=，f（β+）=，且α，β∈（0，），求α+β的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）据函数y=f（）的解析式及其图象可知A=2，…（2分）且T=﹣（﹣）=π，其中T为函数y=f（）的最小正周期，故T=2π，…（4分）所以=2π，解得ω=1，所以f（）=2sin（﹣）．…（6分）（2）由f（α+）=，可知2sin（﹣）=，即sinα=，因为α∈（0，），所以cos==．…（8分）由f（β+）=，可知2sin（﹣）=，即sin（+）=，故cosβ=，因为β∈（0，），所以sin=，…（10分）于是cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．…（12分）因为α，β∈（0，），所以α+β∈（0，π），所以α+β=．…（14分）17．（14分）若||=1，||=m，|+|=2．（1）若|+2|=3，求实数m的值；（2）若+与﹣的夹角为，求实数m的值．【解答】解：（1）因为|+|=2，所以|+|2=4．即以2+2+2•=4．，…（2分）又||=1，||=m，所以．…（3分）由|+2|=3，所以所以|+2|2=9．即以2+42+4•=9，所以1+4×+4m2=9，解得m=±1，…（6分）又||≥0，所以m=1．…（7分）（2）因为，||=1，||=m，所以|﹣|2=2+2﹣2•=1﹣2×+m2=2m2﹣2，|﹣|=．…（9分）又因为+与﹣的夹角为，所以（+）•（﹣）=以2﹣2=|+|×|﹣|cos即，所以1﹣m2=2×，解得m=±，…（13分）又||≥0，所以m=．…（14分）18．（16分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N （异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：m），PN⊥MN．（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．【解答】解：（1）过点P作PD⊥AC，垂足为D，连结PA．在Rt△MAN中，sinθ==，故NA=2sinθ，在Rt△PND中，∠PND=θ，sinθ==，cosθ==，故PD=sinθ，ND=cosθ．在Rt△PDA中，PA===，所以l（θ）=，函数l（θ）的定义域为（0，）．（2）由（1）可知，l（θ）=，即l（θ）=====，又θ∈（0，），故2θ﹣∈（﹣，），所以当2θ﹣=，即θ=时，sin（2θ﹣）取最大值1，==1+．l（θ）ma答：当θ=时，l（θ）有最大值，最大值为1+．19．（16分）已知函数f（）=m（sin+cos）﹣4sincos，∈[0，]，m∈R．（1）设t=sin+cos，∈[0，]，将f（）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；（2）若关于的不等式f（）≥0对所有的∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于的方程f（）﹣2m+4=0在[0，]上有实数根，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）因为t=sin+cos=，∈[0，]，所以t∈[1，]，sincos=．…（2分）所以g（t）=mt﹣4•=﹣2t2+mt+2．…（5分）（2）因为关于的不等式f（）≥0对所有的∈[0，]恒成立，据（1）可知g（t）=﹣2t2+mt+2≥0对所有的t∈[1，]恒成立，…（6分）所以，得m≥．所以实数m的取值范围是[，+∞）．…（10分）（3）因为关于的方程f（）﹣2m+4=0在[0，]上有实数解，据（1）可知关于t的方程﹣2t2+mt+2﹣2m+4=0在t∈[1，]上有实数解，即关于t的方程2t2﹣mt+2m﹣6=0在t∈[1，]上有实数解，…（11分）所以△=m2﹣16（m﹣3）≥0，即m≤4或m≥12．令h（t）=2t2﹣mt+2m﹣6，开口向上，对称轴t=，①当m≥12时，对称轴t≥3，函数h（t）在t∈[1，]上单调递减，故，解得m不存在．…（13分）②当m≤4时，对称轴t≤1，函数h（t）在t∈[1，]上单调递增，故，解得2+≤m≤4．…（15分）综上所述，实数m的取值范围是[2+，4]．…（16分）20．（16分）（1）已知函数f（）=2+（＞0），证明函数f（）在（0，）上单调递减，并写出函数f（）的单调递增区间；（2）记函数g（）=a||+2a（a＞1）①若a=4，解关于的方程g（）=3；②若∈[﹣1，+∞），求函数g（）的值域．【解答】（1）证明：设1，2是区间（0，）上的任意两个实数，且1＜2，则f（1）﹣f（2）=2（1﹣2）+（﹣）=，因为0＜1＜2＜，所以1﹣2＜0，0＜12＜，故212﹣1＜0，所以f（1）﹣f（2）＞0，即f（1）＞f（2），所以函数f（）在（0，）上单调递减，函数f（）的单调递增区间为（，+∞）．（2）解：①当a=4时，4||+2•4=3，（ⅰ）当≥0时，4+2•4=3，即4=1，所以=0；（ⅱ）当＜0时，4﹣+2•4=3，即2•（4）2﹣3•4+1=0，解得：4=1或4=，所以=﹣或0；综上所述，方程g（）=3的解为=0或=﹣；②（ⅰ）当≥0时，g（）=3a，其中a＞1，=g（0）=3，所以g（）在[0，+∞）上单调递增，g（）min所以g（）在[0，+∞）上的值域为[3，+∞）；（ⅱ）当∈[﹣1，0）时，g（）=a﹣+2a，其中a＞1，令t=a，则t∈[，1），g（）=2t+=f（t），（ⅰ）若1＜a≤，则≥，据（1）可知，f（t）=2t+在[，1）上单调递增，所以f（）≤f（t）＜f（1），且f（）=a+，f（1）=3，此时，g（）在[﹣1，0）上的值域为[a+，3）；（ⅱ）若a＞，则＜，据（1）可知，f（t）=2t+在[，）上单调递减，在（，1）上单调递增，=f（）=2，又f（）=a+，f（1）=3，所以f（t）min当f（）≥f（1）时，g（）在[﹣1，0）上的值域为[2，a+]，当f（）＜f（1）时，g（）在[﹣1，0）上的值域为[2，3）；综上所述，当1＜a≤时，函数g（）在[﹣1，+∞）上的值域为[a+，+∞；当a＞时，函数g（）在[﹣1，+∞）上的值域为[2，+∞）．。

2016-2017学年江苏省南通市如皋市高三（上）第一次调研数学试卷（理科）（1）一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是．2．设集合P={1，2，3，4}，Q={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，则P∩Q=．3．若复数z=（a∈R，i为虚数单位）的实部与虚部相等，则z的模等于．4．若实数x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为．5．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是．6．设向量=（2，1），=（1，2），若（2+）∥（+k），则实数k的值为．7．将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位，所得图象的解析式为．8．观察下列等式：12=132=2+3+452=3+4+5+6+772=4+5+6+7+8+9+1092=5+6+7+8+9+10+11+12+13…n2=100+101+102+…+m则n+m=．9．设曲线f（x）=﹣e x+1与y轴相交于点P，则f（x）图象在点P处的切线方程为．10．若sinα=3sin（α﹣2β），则tan（α﹣β）+2tanβ=．11．已知函数f（x）的导函数为f′（x）=ax（x+2）（x﹣a）（a＜0），若函数f（x）在x=﹣2处取到极小值，则实数a的取值范围是．12．若点G为△ABC的重心，且AG⊥BG，AB=2，则•的值为．13．已知x，y，z∈（0，+∞）且x2+y2+z2=1，则3xy+yz的最大值为．14．对任意的x∈（0，+∞），不等式（x﹣a+ln）（﹣2x2+ax+10）≤0恒成立，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，满分90分，将答案填在答题纸上）15．（14分）已知函数f（x）=λcos2（ωx+）﹣3（λ＞0，ω＞0）的最大值为2，最小正周期为．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．16．（14分）如图所示，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴正半轴（含坐标原点）滑动，其中AD=4，AB=2．（1）若∠DAO=，求|+|；（2）求•的最大值．17．（14分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinB+sinC=（其中R为△ABC的外接圆的半径）且△ABC的面积S=a2﹣（b﹣c）2．（1）求tanA的值；（2）求△ABC的面积S的最大值．18．（16分）如城某观光区的平面示意图如图所示，其中矩形ABCD的长AB=2千米，宽AD=1千米，半圆的圆心P为AB中点，为了便于游客观光休闲，在观光区铺设一条由圆弧、线段EF、FC组成的观光道路，其中线段EF经过圆心P，且点F在线段CD上（不含线段端点C，D），已知道路AE，FC的造价为2a（a＞0）元每千米，道路EF造价为7a元每千米，设∠APE=θ，观光道路的总造价为y．（1）试求y与θ的函数关系式：y=f（θ）；（2）当θ为何值时，观光道路的总造价y最小．19．（16分）已知函数f（x）=bx﹣+2alnx．（x∈R）．（1）若a=1时，函数f（x）在其定义域上不是单调函数，求实数b的取值范围；（2）若b=1时，且当x1，x2∈（0，+∞）时，不等式[﹣]（x1﹣x2）＞0恒成立，求a的取值范围．20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax2（a＞0）．（1）讨论函数f（x）零点的个数；（2）若函数f（x）有极大值为，且存在实数m，n，m＜n使得f（m）=f（n），证明：m+n＞4a．三、附加题（共4小题，满分0分）21．已知函数f（x）=e3x﹣6﹣3x，求函数y=f（x）的极值．22．用数学归纳法证明等式：12﹣22+32+…+（2n﹣1）2﹣（2n）2=﹣n（2n+1）（n∈N*）．23．设函数f（x）=ax+xe b﹣x（其中a，b为常数），函数y=f（x）在点（2，2e+2）处的切线的斜率为e﹣1．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）的单调区间．24．已知数列{a n}满足a1=3，且a n+1+1=a n2﹣na n﹣n（n∈N*）．（1）计算a2，a3，a4的值，由此猜想数列{a n}的通项公式（不必证明）；（2）求证：当n≥2时，a n n≥4n n．2016-2017学年江苏省南通市如皋市高三（上）第一次调研数学试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2013•泗县模拟）命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是∀x∈R，x2﹣x≤0．【考点】命题的否定．【专题】阅读型．【分析】命题P的否定就是把存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定即可．【解答】解：含存在性量词的否定就是将“∃”改成“∀”，将x2﹣x＞0改成x2﹣x≤0故答案为∀x∈R，x2﹣x≤0【点评】本题主要考查了命题的否定，是命题中的简单题，属于基础题．2．（2016秋•如皋市月考）设集合P={1，2，3，4}，Q={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，则P∩Q={1，2} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】由P与Q，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵P={1，2，3，4}，Q={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，∴P∩Q={1，2}，故答案为：{1，2}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（2016•江苏模拟）若复数z=（a∈R，i为虚数单位）的实部与虚部相等，则z的模等于．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数．【分析】解化简复数，结合复数实部和虚部的关系建立方程即可得到结论．【解答】解：z====﹣i，∵复数的实部与虚部相等，∴=﹣，即a=﹣1，则z=+i，则|z|==，故答案为：．【点评】本题主要考查复数的模长的计算，根据复数的四则运算进行化简是解决本题的关键，比较基础．4．（2014秋•常州期末）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为1．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（0，1），此时z=0×2+1=1，故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．5．（2015•南关区校级三模）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是4．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】由对数的运算性质，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，结合题意可得，x+3y=1；再利用1的代换结合基本不等式求解即可．【解答】解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，则x+3y=1，进而由基本不等式的性质可得，=（x+3y）（）=2+≥2+2=4，当且仅当x=3y时取等号，故答案为：4．【点评】本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换．6．（2016秋•如皋市月考）设向量=（2，1），=（1，2），若（2+）∥（+k），则实数k的值为．【考点】平行向量与共线向量．【专题】方程思想；转化思想；平面向量及应用．【分析】利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出．【解答】解：2+=（5，4），+k=，∵（2+）∥（+k），∴4（1+k）﹣5×（+2k）=0，解得k=．故答案为：．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（2016秋•如皋市月考）将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位，所得图象的解析式为y=﹣cos2x．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数图象平移原则，变换求解即可．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位，所得图象的解析式为f（x）=sin（2（x﹣）﹣）=sin（2x﹣）=﹣cos2x．故答案为：y=﹣cos2x．【点评】本题考查三角函数的图象的平移变换，是基础题．8．（2016秋•如皋市月考）观察下列等式：12=132=2+3+452=3+4+5+6+772=4+5+6+7+8+9+1092=5+6+7+8+9+10+11+12+13…n2=100+101+102+…+m则n+m=497．【考点】归纳推理．【专题】计算题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】观察不难发现，所列数列的和等于首尾两个数的和的一半的平方，然后计算即可得解．【解答】解：∵①12=1；②2+3+4=32=（）2，③3+4+5+6+7=52=（）2，④4+5+6+7+8+9+10=72=（）2，∴n2=100+101+102+…+m=（）2，m=299，∴n=198，∴n+m=497．故答案为：497．【点评】本题是对数字变化规律的考查，仔细观察，发现底数与首尾两个数的关系是解题的关键．9．（2016秋•如皋市月考）设曲线f（x）=﹣e x+1与y轴相交于点P，则f（x）图象在点P处的切线方程为y=﹣ex﹣e．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用．【分析】由题意求得P点坐标，求导，求得f（x）在点P处的切线斜率k=f′（0）=﹣e，根据点斜式方程即可求得切线方程．【解答】解：令x=0，解得：y=﹣e，∴P点坐标为：（0，﹣e）f（x）=﹣e x+1，f′（x）=﹣（x+1）e x+1，∴f（x）在点P处的切线斜率为：k=f′（0）=﹣e，∴f（x）在点P处的切线方程为：y﹣（﹣e）=（﹣e）x，整理得：y=﹣ex﹣e，故答案为：y=﹣ex﹣e．【点评】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查导数的运算，直线的点斜式方程，考查计算能力，属于中档题．10．（2016秋•如皋市月考）若sinα=3sin（α﹣2β），则tan（α﹣β）+2tanβ=4tanβ．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值．【分析】由已知可得sin[（α﹣β）+β]=3sin[（α﹣β）﹣β]，利用两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可得tan（α﹣β）=2tanβ，由此化简所求即可得解．【解答】解：∵sinα=3sin（α﹣2β），∴sin[（α﹣β）+β]=3sin[（α﹣β）﹣β]，∴sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=3sin（α﹣β）cosβ﹣3cos（α﹣β）sinβ，∴﹣2cos（α﹣β）sinβ=sin（α﹣β）cosβ，∴tan（α﹣β）=2tanβ，∴tan（α﹣β）+2tanβ=2tanβ+2tanβ=4tanβ．故答案为：4tanβ．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．11．（2016秋•如皋市月考）已知函数f（x）的导函数为f′（x）=ax（x+2）（x﹣a）（a＜0），若函数f（x）在x=﹣2处取到极小值，则实数a的取值范围是a＜﹣2．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用．【分析】通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，判断函数是否有极小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：由f′（x）=ax（x+2）（x﹣a）=0（a＜0），解得x=﹣2或x=a，若a=﹣2，则f′（x）=﹣2x（x+2）2≤0，此时函数f（x）在x=﹣2处不取到极小值，故a≠﹣2．若a＜﹣2，由f′（x）＞0得x＜a或﹣2＜x＜0，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得a＜x＜﹣2或x＞0，此时函数单调递减，即函数在x=﹣2处取到极小值，满足条件．若﹣2＜a＜0，由f′（x）＞0得x＜﹣2或a＜x＜0，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得﹣2＜x＜a或x＞0此时函数单调递减，即函数在x=﹣2处取到极大值，不满足条件，综上：a＜﹣2，故答案为：a＜﹣2．【点评】本题主要考查导数和极值的关系，利用导数确定函数的单调性是解决本题的关键．12．（2016秋•如皋市月考）若点G为△ABC的重心，且AG⊥BG，AB=2，则•的值为8．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】根据题意，连接CG，并延长交AB的中点D，从而可得出GD=1，进而得出CD=3，DA=1，而，这样进行数量积的运算即可求出的值．【解答】解：如图，连接CG，延长交AB的中点于D；又AG⊥BG；∴GD=；∴CD=3，且DA=1；∴==9﹣1=8．故答案为：8．【点评】考查三角形重心的概念，直角三角形的斜边中线等于斜边一半，以及三角形重心的性质，向量加法的几何意义，向量数量积的运算．13．（2016秋•如皋市月考）已知x，y，z∈（0，+∞）且x2+y2+z2=1，则3xy+yz的最大值为．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用．【专题】选作题；转化思想；综合法；不等式．【分析】由于1=x2+y2+z2=（x2+y2）+（y2+z2），利用基本不等式，即可求出3xy+yz的最大值．【解答】解：由于1=x2+y2+z2=（x2+y2）+（y2+z2）≥6xy+2yz=（3xy+yz）∴3xy+yz≤，∴3xy+yz的最大值为，故答案为．【点评】本题考查求3xy+yz的最大值，考查基本不等式的运用，正确运用基本不等式是关键．14．（2016秋•如皋市月考）对任意的x∈（0，+∞），不等式（x﹣a+ln）（﹣2x2+ax+10）≤0恒成立，则实数a的取值范围是a=．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】分类讨论；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】首先将条件转化为对任意的x∈（0，+∞），不等式[（x+lnx）﹣（a+lna）]（﹣2x2+ax+10）≤0恒成立，构造函数f（x）=x+lnx，g（x）=﹣2x2+ax+10，由于f（x）在（0，+∞）上单调递增，故0＜x＜a时，（x+lnx）﹣（a+lna）＜0，则﹣2x2+ax+10≥0；x＞a时，（x+lnx）﹣（a+lna）＞0恒成立，则﹣2x2+ax+10≤0．再根据二次函数图象及性质，即可求出a的范围．【解答】解：∵对任意的x∈（0，+∞），不等式（x﹣a+ln）（﹣2x2+ax+10）≤0恒成立，∴对任意的x∈（0，+∞），不等式[（x+lnx）﹣（a+lna）]（﹣2x2+ax+10）≤0恒成立，记f（x）=x+lnx，g（x）=﹣2x2+ax+10，则f（x）在（0，+∞）上单调递增①当0＜x＜a时，f（x）＜f（a），即（x+lnx）﹣（a+lna）＜0恒成立，则﹣2x2+ax+10≥0 ∴，得0＜a≤；②当x=a时，不等式显然恒成立；③当x＞a时，f（x）＞f（a），即（x+lnx）﹣（a+lna）＞0恒成立，则﹣2x2+ax+10≤0，∵g（x）=﹣2（x﹣）2++10在（a，+∞）上单调递减，∴x＞a时，g（x）＜g（a）=10﹣a2≤0，得a≤．综上可得，a=．【点评】本题考查了恒成立问题，转化思想和分类讨论是解决问题的关键，综合性较强．二、解答题（本大题共6小题，满分90分，将答案填在答题纸上）15．（14分）（2016秋•如皋市月考）已知函数f（x）=λcos2（ωx+）﹣3（λ＞0，ω＞0）的最大值为2，最小正周期为．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用二倍角的余弦函数公式化简可得f（x）=cos（2ωx+）+﹣3，利用最大值为2，可得+﹣3=2，解得λ，利用周期公式可求ω，即可得解函数y=f（x）的解析式；（2）由x的范围，可求范围，利用余弦函数的性质可得函数f（x）的值域．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵f（x）=λcos2（ωx+）﹣3（λ＞0，ω＞0）=λ﹣3=cos（2ωx+）+﹣3，…（2分）又∵函数f（x）的最大值为2，可得：+﹣3=2，解得：λ=5，最小正周期为=，解得：ω=，∴f（x）=cos（3x+）﹣…（6分）（2）∵，∴，…（9分）∴，…（13分）∴，所以f（x）的值域是．…（14分）【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，余弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．16．（14分）（2016秋•如皋市月考）如图所示，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴正半轴（含坐标原点）滑动，其中AD=4，AB=2．（1）若∠DAO=，求|+|；（2）求•的最大值．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；数形结合；向量法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】（1）时，容易求出点C，D的坐标，从而求出向量的坐标，进而求出其长度（2）可设∠DAO=θ，并过点B作BM⊥AO，过点C作CN⊥OD，垂足分别为M，N，可以求出点B，C的坐标，进行向量数量积的坐标运算求出，根据二倍角的正余弦公式，两角差的正弦公式化简得到，根据θ的范围即可求出该数量积的最大值．【解答】解：（1）若，则可得：；∴；（2）如图，过点B作BM⊥AO，垂足为M，过点C作CN⊥OD，垂足为N，设∠DAO=θ，则∠CDN=θ，∠ABM=θ；z∴z∴点B（4cosθ+2sinθ，2sinθ），C（2sinθ，4sinθ+2cosθ）；则+8sin2θ+4sinθcosθ=12sinθcosθ+12sin2θ=6sin2θ+6（1﹣cos2θ）=；∵；∴；∴时，取最大值．【点评】考查平面上点的坐标的求法，根据点的坐标得出向量坐标，向量坐标的加法和数量积运算，根据向量坐标能求向量长度，以及二倍角的正余弦公式，两角差的正弦公式，熟悉正弦函数的最值．17．（14分）（2016秋•如皋市月考）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinB+sinC=（其中R为△ABC的外接圆的半径）且△ABC的面积S=a2﹣（b﹣c）2．（1）求tanA的值；（2）求△ABC的面积S的最大值．【考点】正弦定理．【专题】方程思想；转化思想；解三角形；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用三角形面积计算公式、余弦定理、倍角公式可得：tan．（2）利用正弦定理、三角形面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）由S=a2﹣（b﹣c）2得bcsinA=2bc﹣2bccosA，∴，∴．（2）由，利用正弦定理可得：b+c=2．由得，∴，当且仅当b=c=1时，取“=”号．于是，△ABC的面积S最大值为．【点评】本题考查了三角形面积计算公式、余弦定理、倍角公式、正弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（16分）（2016秋•如皋市月考）如城某观光区的平面示意图如图所示，其中矩形ABCD 的长AB=2千米，宽AD=1千米，半圆的圆心P为AB中点，为了便于游客观光休闲，在观光区铺设一条由圆弧、线段EF、FC组成的观光道路，其中线段EF经过圆心P，且点F在线段CD上（不含线段端点C，D），已知道路AE，FC的造价为2a（a＞0）元每千米，道路EF 造价为7a元每千米，设∠APE=θ，观光道路的总造价为y．（1）试求y与θ的函数关系式：y=f（θ）；（2）当θ为何值时，观光道路的总造价y最小．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可知，过点F作FO⊥AB，垂足为O，则∠FPB=θ，求出EF，FC，即可求y与θ的函数关系式：y=f（θ）；（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出当θ为何值时，观光道路的总造价y最小．【解答】解：（1）由题意可知，过点F作FO⊥AB，垂足为O，则∠FPB=θ，所以，． (2) (4)=（） (6)（2） (8)即2cos2θ+7cosθ﹣4=0，或cosθ=﹣4（舍） (10)所以时，y最小，即当时，观光道路的总造价最小． (14)【点评】本题考查三角函数知识，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键．19．（16分）（2016秋•如皋市月考）已知函数f（x）=bx﹣+2alnx．（x∈R）．（1）若a=1时，函数f（x）在其定义域上不是单调函数，求实数b的取值范围；（2）若b=1时，且当x1，x2∈（0，+∞）时，不等式[﹣]（x1﹣x2）＞0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论b的范围，判断函数的单调性，从而确定b的范围即可；（2）令h（x）=xf（x）=x2﹣1+2axlnx，求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而确定a的范围即可．【解答】解：（1）a=1时，，①b≥0，f'（x）＞0，f（x）在定义域单调递增，不符合题意；②b＜0，△=4﹣4b2＞0，﹣1＜b＜0，所以﹣1＜b＜0；（2）b=1时，，∵∀时，不等式恒成立，∴∀时，不等式恒成立令h（x）=xf（x）=x2﹣1+2axlnx，∴∀时，（h（x1）﹣h（x2））（x1﹣x2）＞0恒成立，∴h（x）在（0，+∞）单调递增，∴∀，h'（x）=2x+2alnx+2a≥0恒成立令，①当2a=0时，m'（x）=2＞0，m（x）=2x＞0恒成立；②当2a＞0时，在（0，+∞）上单调递增，，所以a＞0不符合；∴m（x）min=m（﹣a）=2aln（﹣a）≥0，﹣1≤a＜0；综上：﹣1≤a≤0．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．20．（16分）（2016秋•如皋市月考）设函数f（x）=lnx﹣ax2（a＞0）．（1）讨论函数f（x）零点的个数；（2）若函数f（x）有极大值为，且存在实数m，n，m＜n使得f（m）=f（n），证明：m+n＞4a．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出函数的零点的个数即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最大值，从而求出a的值，构造函数g（x）=f（x）﹣f（2﹣x），0＜x≤1，根据函数的单调性得到f（m）＜f（2﹣m），又f（m）=f（n），得到f（n）＜f（2﹣m），从而证出结论即可．【解答】解：（1） (1)①当a=0，f（x）=lnx在（0，+∞）上有一个零点； (2)②当a＜0，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（1）=﹣a＞0，f（e a）=a﹣ae2a=a（1﹣e2a）＜0，ⅰ当时，f （x）在（0，+∞）上有没有零点；ⅱ当时，f（x）在（0，+∞）上有一个零点；ⅲ当时，f（x）在（0，+∞）上有两个零点； (6)综上：当时，f（x）在（0，+∞）上有没有零点；当时，f（x）在（0，+∞）上有一个零点；当时，f（x）在（0，+∞）上有两个零点． (7)（2）①由第一问可知． (9)②法一：令，∵m＜1＜n，∴F（m）=f（m）﹣f（2﹣m）＜0，即f（m）＜f（2﹣m），又∵f（m）=f（n），∴f（n）＜f（2﹣m），又因为f（x）在（1，+∞）上单调递减，所以m＞2﹣n，即m+n＞2得证． (16)法二.，∵，∴，由题意可知0＜m＜1＜n，令，要证m+n＞2，只要证只要证，只要证．令=，所以h（t）在（1，+∞）上单调递增，h（t）min=h（1）=0，所以h（t）＞0，得证．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，不等式的证明，是一道综合题．三、附加题（共4小题，满分0分）21．（2016秋•如皋市月考）已知函数f（x）=e3x﹣6﹣3x，求函数y=f（x）的极值．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．3x﹣63x﹣6…（6）f（x）极小值=f（2）=﹣5，所以f（x）在2处取得极小值﹣5，无极大值． (10)【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．22．（2016秋•如皋市月考）用数学归纳法证明等式：12﹣22+32+…+（2n﹣1）2﹣（2n）2=﹣n （2n+1）（n∈N*）．【考点】数学归纳法．【专题】证明题；转化思想；归纳法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】用数学归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立；（2）假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．【解答】证明：n=1时，1﹣22=﹣3，左边等于右边；假设n=k时，有12﹣22+32﹣…+（2k﹣1）2﹣（2k）2=﹣k（2k+1）成立，则n=k+1时，12﹣22+32﹣…+（2k+1）2﹣（2k+2）2=﹣k（2k+1）+（2k+1）2﹣（2k+2）2=﹣（k+1）（2k+3）=﹣（k+1）[2（k+1）+1]得证所以12﹣22+32﹣…+（2n﹣1）2﹣（2n）2=﹣n（2n+1）（n∈N*）成立．【点评】本题考查数学归纳法，用好归纳假设是关键，考查逻辑推理与证明的能力，属于中档题．23．（2016秋•如皋市月考）设函数f（x）=ax+xe b﹣x（其中a，b为常数），函数y=f（x）在点（2，2e+2）处的切线的斜率为e﹣1．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a，b的不等式组，解出即可；（2）求出函数的导数，根据函数的单调性得到f′（x）＞0，f（x）递增．【解答】解：（1）f'（x）=a+e b﹣x﹣xe b﹣x，f'（2）=a﹣e b﹣2=e﹣1，①，且f（2）=2a+2e b﹣2=2e+2②，由①②得a=e，b=2，所以f（x）=ex+xe2﹣x．（2）f'（x）=e+e2﹣x﹣xe2﹣x，令f''（x）=﹣e2﹣x﹣e2﹣x+xe2﹣x=e2﹣x（x﹣2）=0，解得：x=2，∴f'（x）最小值=e﹣1＞0，即f'（x）＞0恒成立，所以f（x）的单调增区间为R．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．24．（2016秋•如皋市月考）已知数列{a n}满足a1=3，且a n+1+1=a n2﹣na n﹣n（n∈N*）．（1）计算a2，a3，a4的值，由此猜想数列{a n}的通项公式（不必证明）；（2）求证：当n≥2时，a n n≥4n n．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由a n+1=a n2﹣na n﹣n（n∈N*），且a1=3，分别令n=1，2，3，4即可求解，进而可猜想；（2）由（1）可得a n=n+2，从而有ann=（n+2）n，利用二项式定理展开后即可证明．【解答】解：（1）n=1时，a2=4；n=2时，a3=5；n=3时，a4=6；n=4时，a5=7；猜想：a n=n+2 (3)（2）法一：要证成立只要证（n+2）n≥4n n（n≥2）只要证（x+2）x≥4x x（x≥2）只要证xln（x+2）≥ln4+xlnx（x≥2）即证xln（x+2）﹣ln4﹣xlnx≥0（x≥2），f（x）=xln（x+2）﹣ln4﹣xlnx（x≥2） (6)令，则，所以在（1，2]上单调递增，所以y＞0，即f'（x）＞0，所以f（x）在（2，+∞）单调递增，所以f（x）≥f（2）=0得证． (10)法二：令=，∵n≥2，∴y≥4，即，即得证． (10)【点评】本题主要考查了数列的递推公式在求解数列的通项综的应用及归纳法的应用，解答（2）的关键是二项展开式的应用．。

2016-2017学年江苏省南通市如皋中学高三（上）第一次月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置1．已知集合A=｛1，cosθ}，B={,1}，若A=B,则锐角θ=．2．已知幂函数y=f(x)的图象过点（，）,则f（4）的值为．3．若函数是偶函数，则实数a的值为．4．若函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，则实数m的值为．5．函数y=的定义域为A，值域为B，则A∩B=．6．已知x，y满足且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是．7．已知点P在直线y=2x+1上，点Q在曲线y=x+lnx上,则P、Q两点间距离的最小值为．8．若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ｜＜）的图象关于坐标原点中心对称，且在y轴右侧的第一个极值点为x=,则函数f（x）的最小正周期为．9．函数f（x）的定义域为R,f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f （x）＞e x+1的解集为．10．已知tan（α+β）=1，tan（α﹣β）=2，则的值为．11．在锐角三角形ABC中，若tanA,tanB，tanC依次成等差数列，则tanAtanC的值为．12．已知函数交于M、N两点，则｜MN｜的最大值是．13．已知函数f(x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x），其中a，b∈R,若关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2，则a的取值范围是．14．若实数x,y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，则当x+2y取得最大值时,的值为．二、解答题:本大题共6小题，共计90分。

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α∈（0，)，β∈（，π）,cosβ=﹣，sin（α+β）=．(1）求tan的值；(2）求sinα的值．16．在△ABC中，三个内角A，B,C的对边分别为a,b，c,已知==．（1）求C；（2)如图，设半径为R的圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧上，∠PAB=θ，求四边形APCB面积S（θ)的解析式及最大值．17．如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图,其中支架OA，OB,OC两两成120°，OC=1，AB=OB+OC,且OA＞OB，现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k(k为正常数)：在△AOC区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为4k，设OA=x，OB=y．（1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求N﹣M的最大值及相应的x的值．18．对于定义域为D的函数y=f（x）,若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b］⊆D，使f（x）在［a，b]上的值域为［a，b］；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．（1)求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b］；(2)判断函数是否为闭函数?并说明理由;（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x)的定义域和值域；（2)设F（x）=•[f2（x）﹣2］+f（x）（a为实数),求F(x）在a＜0时的最大值g（a）;(3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1］恒成立，求实数m的取值范围．20．过点P(﹣1，0）作曲线f（x)=e x的切线l．（1）求切线l的方程；（2）若直线l与曲线y=（a∈R）交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），求证:x1+x2＜﹣4．附加题：（共4小题，满分0分)21．已知矩阵A=，B=满足AX=B，求矩阵X．22．在平面直角坐标系xOy中,设点P（x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q(y﹣2，y），求．23．已知常数a＞0，函数f(x）=ln(1+ax）﹣．讨论f（x）在区间(0，+∞)上的单调性．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，且PA=AB=BC=AD=1,PA⊥平面ABCD．（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）棱PD上是否存在一点E满足∠AEC=90°？若存在，求AE的长；若不存在,说明理由．2016—2017学年江苏省南通市如皋中学高三（上)第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置1．已知集合A={1，cosθ},B={,1},若A=B，则锐角θ=．【考点】集合的相等．【分析】根据集合相等的条件,建立方程关系即可得到结论．【解答】解：若A=B，则cosθ=，∵θ是锐角，∴θ=,故答案为：2．已知幂函数y=f（x)的图象过点（,），则f（4）的值为2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设幂函数y=f(x）=xα，根据f（x)的图象过点（，），求得α的值，可得函数f（x）的解析式,从而求得f（4）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，∵f（x）的图象过点（，），∴=，∴α=，∴f（x)=∴f（4)==2,故答案为：2．3．若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f（﹣)=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（)，即﹣=a，∴a=﹣．故答案为:﹣．4．若函数f（x）=(e为自然对数的底数）是奇函数,则实数m的值为1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由函数的奇偶性易得f（﹣1）=﹣f（1），解m的方程可得．【解答】解:∵函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f(1），∴=﹣，∴m=1．故答案为：1．5．函数y=的定义域为A，值域为B，则A∩B=［0，2] ．【考点】函数的值域；交集及其运算；函数的定义域及其求法．【分析】分别求出函数的定义域,和值域,然后利用集合的基本运算求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则﹣x2﹣2x+8≥0，即x2+2x﹣8≤0,解得﹣4≤x≤2，即函数的定义域A=［﹣4，2]．y==，∵﹣4≤x≤2,∴0≤，即0≤x≤3，即函数的值域B=［0，3］，∴A∩B=［﹣4,2]∩[0，3]=[0，2]．故答案为:［0，2]．6．已知x,y满足且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是．【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义得到最大值和最小值的最优解，得到关于a 方程解之．【解答】解：由已知得到可行域如图:当直线y=﹣2x+z经过C（a,a）时z最小，经过A时z最大，由得到A（1，1）所以4×3a=2×1+1,解得a=；故答案为:．7．已知点P在直线y=2x+1上，点Q在曲线y=x+lnx上,则P、Q两点间距离的最小值为．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】设直线y=2x+t与曲线y=x+lnx相切于点Q(a，b）．利用=1+=2，解得切点为Q（1,1）．利用点到直线的距离公式可得Q到直线y=2x+1的距离d，即为所求．【解答】解：设直线y=2x+t与曲线y=x+lnx相切于点Q（a，b)．则=1+=2，解得a=1，∴b=1，∴切点为Q（1,1）．Q到直线y=2x+1的距离d==．∴P、Q两点间距离的最小值为．故答案为:．8．若函数f(x）=Asin（ωx+φ)（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的图象关于坐标原点中心对称,且在y轴右侧的第一个极值点为x=,则函数f（x）的最小正周期为．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的图象的特征,正弦函数的奇偶性、最值、周期性，求得函数f （x)的最小正周期．【解答】解：函数f(x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象关于坐标原点中心对称，可得φ=0，∵f（x)在y轴右侧的第一个极值点为x=，∴ω•=，∴ω=，∴函数f(x）=Asin（x），则函数f（x）的最小正周期为=,故答案为:．9．函数f（x)的定义域为R，f（0）=2,对任意x∈R,f(x）+f′（x)＞1，则不等式e x•f(x）＞e x+1的解集为｛x｜x＞0} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】设h（x）=e x f(x）﹣e x﹣1,则不等式e x f（x）＞e x+1的解集就是h(x）＞0 的解集．由此利用导数性质能求出不等式e x•f(x）＞e x+1的解集．【解答】解：设h（x）=e x f（x）﹣e x﹣1，则不等式e x f（x）＞e x+1的解集就是h（x）＞0 的解集．h（0）=1×2﹣1﹣1=0，h′（x）=e x[f（x）+f′（x)］﹣e x,∵[f（x）+f′（x）］＞1，∴对于任意x∈R，e x［f（x）+f′（x)］＞e x，∴h'（x）=e x［f（x)+f'(x）]﹣e x＞0即h（x）在实数域内单调递增．∵h（0）=0,∴当x＜0 时，h（x）＜0；当x＞0 时，h（x)＞0．∴不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为:｛x|x＞0｝．故答案为:｛x|x＞0｝．10．已知tan（α+β）=1，tan（α﹣β）=2,则的值为1．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用已知条件求出αβ的正切函数值，然后求解的值．【解答】解：tan(α+β）=1，tan（α﹣β）=2，==，分式同除以cos(α+β)cos(α﹣β）),==1．故答案为：1．11．在锐角三角形ABC中，若tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则tanAtanC的值为3．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用等差数列列出关系式，利用三角形的内角和以及两角和的正切函数,化简求解即可．【解答】解：由题意知：A≠，B≠，C≠，且A+B+C=π，tanA，tanB，tanC依次成等差数列，∴2tanB=tanA+tanC，∴tan(A+B)=tan(π﹣C）=﹣tanC，又∵tan（A+B)=，∴tanA+tanB=tan(A+B）(1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC，即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，∴tanAtanC=3．故答案为：3．12．已知函数交于M、N两点，则｜MN|的最大值是．【考点】两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用;正弦函数的定义域和值域．【分析】由已知中直线x=m分别交函数y=sinx、的图象于M、N两点,表示M、N的距离，根据辅助角公式化为一个正弦型函数的形式，根据正弦型函数的值域,即可得到结果．【解答】解：∵=cosx∵直线x=m分别交函数y=sinx、的图象于M、N两点，则|MN｜=｜sinx﹣cosx|∴|f(x）﹣g（x)｜=｜sinx﹣cosx｜=|sin（x﹣）｜∵x∈R∴|f（x）﹣g(x）｜∈［0，］故M、N的距离的最大值为故答案为：13．已知函数f(x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x），其中a，b∈R,若关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2,则a的取值范围是a≤﹣2或a＞﹣．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】化简不等式可得2x﹣1+a≥b（2﹣x+a)，从而令F（x）=2x﹣1+a﹣b(2﹣x+a）=﹣+a﹣ab，分类讨论以确定F（x）≥0的解集为[2，+∞），结合函数的单调性及方程与不等式的关系求解即可．【解答】解:f（x)=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x)=b（21﹣x﹣1+a）=b（2﹣x+a），∵f（x）≥g（x），∴2x﹣1+a≥b(2﹣x+a）,令F（x）=2x﹣1+a﹣b(2﹣x+a）=+a﹣﹣ab=﹣+a﹣ab，①若b＜0，则（﹣+a﹣ab）=+∞，与关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2相矛盾，故不成立;②若b=0,则F(x）=﹣+a﹣ab在R上是增函数；即F（x）=+a≥0的解集为[2，+∞)，故a=﹣2;③若b＞0，则F（x）=﹣+a﹣ab在R上是增函数；即F（x）=﹣+a﹣ab≥0的解集为[2，+∞）,故2+a=b（+a），故b=＞0，故a＜﹣2或a＞﹣；综上所述，a≤﹣2或a＞﹣．14．若实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，则当x+2y取得最大值时，的值为2．【考点】不等式的基本性质．【分析】实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，变形为：(x+2y）2+（2xy﹣2）2=8，令x+2y=sinθ,2xy﹣2=2cosθ，θ∈[0，2π)．则当x+2y取得最大值时，θ=,即可得出．【解答】解:∵实数x,y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，变形为:（x+2y）2+(2xy﹣2）2=8，令x+2y=sinθ,2xy﹣2=2cosθ,θ∈［0，2π）．则当x+2y取得最大值时，θ=,则x+2y=2,2xy﹣2=0，解得x=，y=．=2．故答案为：2．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α∈（0，）,β∈（，π），cosβ=﹣,sin（α+β）=．（1）求tan的值；（2）求sinα的值．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】（1）使用二倍角公式用tan表示出cosβ，求出的范围，解方程得出；（2)根据α，β的范围求出sinβ，cos（α+β）,利用差角的正弦函数公式计算．【解答】解:(1）∵,且，∴，解得，∵，∴,∴，∴．（2）∵，，∴，又，故，∴，∴sinα=sin［（α+β)﹣β］=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=．16．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b，c,已知==．（1）求C；（2)如图，设半径为R的圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧上，∠PAB=θ,求四边形APCB面积S（θ)的解析式及最大值．【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由已知结合正弦定理可得sin2A=sin2B，再由角的范围可得A+B=，从而求得C；（2）把三角形ABC的三边用R表示,再由S(θ）=S△ABC +S△APC，代入三角形面积公式化简,然后由θ∈（)求得四边形APCB面积S（θ）的最大值．【解答】解：(1）由=，得=,∴sin2A=sin2B，∵2A,2B∈（0，2π）,∴2A=2B，或2A+2B=π，即A=B或A+B=，∵,∴A=B舍去,从而C=；(2）由条件得：c=2R，a=R，b=R,∠BAC=，∠CAP=θ﹣,θ∈（），S(θ）=S△ABC +S△APC=====，θ∈（）,∵∈（），∴当时,．17．如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC=1，AB=OB+OC,且OA＞OB，现设计师在支架OB上装点普通珠宝,普通珠宝的价值为M，且M 与OB长成正比，比例系数为k（k为正常数)：在△AOC区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比,比例系数为4k,设OA=x，OB=y．（1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2)求N﹣M的最大值及相应的x的值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【分析】(1）根据条件结合余弦定理建立函数关系即可求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;（2）求出N﹣M的表达式，利用换元法结合基本不等式的性质即可求出N﹣M的最大值及相应的x的值．【解答】解：（1）∵OA=x，OB=y，AB=y+1，由余弦定理得x2+y2﹣2xycos120°=（y+1)2，解得y=，由x＞0，y＞0，得1＜x＜2，∵x＞y,∴x＞，得1＜x＜，∴OA的取值范围是(1，）．=3kx,（2）M=kOB=ky,N=4k•S△AOC则N﹣M=k（3x﹣y）=k（3x﹣），设2﹣x=t,则t∈(，1），则N﹣M=k［3（2﹣t）﹣]=k[10﹣（4t+）]≤k（10﹣2）=（10﹣4）k，当且仅当4t=，即t=，x=2﹣时，N﹣M的最大值是）=（10﹣4）k．18．对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减;②存在区间［a，b］⊆D,使f(x）在［a，b]上的值域为[a，b];那么把y=f（x）(x∈D）叫闭函数．（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间［a，b]；(2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；(3）若是闭函数，求实数k的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1)根据单调性依据闭区间的定义等价转化为方程,直接求解．（2）判断其在(0,+∞)是否有单调性，再据闭函数的定义判断；（3）根据闭函数的定义一定存在区间[a,b］，由定义直接转化求解即可．【解答】解：（1）由题意，y=﹣x3在[a，b］上递减,则解得所以，所求的区间为[﹣1，1]；（2）取x1=1，x2=10，则，即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．取,,即f（x)不是（0，+∞）上的增函数所以,函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数；（3）若是闭函数，则存在区间［a，b],在区间［a，b］上,函数f(x)的值域为［a，b]，即，∴a，b为方程的两个实数根，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0（x≥﹣2，x≥k）有两个不等的实根当k≤﹣2时,有，解得，当k＞﹣2时，有，无解，综上所述，．19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f(x)的定义域和值域;（2）设F（x）=•[f2（x)﹣2]+f（x)(a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g(a）；（3）对（2）中g（a)，若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1］恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题;函数的定义域及其求法；函数的值域．【分析】(1)由1+x≥0且1﹣x≥0可求得定义域，先求［f（x）］2的值域，再求f（x）的值域；(2）F（x）=a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴t=﹣与t的范围[，2］的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；(3)先由（2）求出函数g（x）的最小值，﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．【解答】解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f(x）]2=2+2∈［2，4］，由f（x）≥0,得f（x）∈[，2］,所以函数值域为［,2］；（2）因为F（x)==a++,令t=f（x）=+，则=﹣1，∴F（x）=m（t）=a（﹣1）+t=,t∈[，2]，由题意知g（a)即为函数m（t）=，t∈[，2]的最大值．注意到直线t=﹣是抛物线m（t)=的对称轴．因为a＜0时，函数y=m(t），t∈[，2］的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t=﹣∈（0，］，即a≤﹣，则g（a）=m（)=；②若t=﹣∈(，2］，即﹣＜a≤﹣，则g（a)=m（﹣）=﹣a﹣;③若t=﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0,则g(a）=m（2)=a+2，综上有g(a）=,（3）易得,由﹣≤g(a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）=恒成立, ⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈［﹣1,1]，h（t)≥0成立,只需,解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2．20．过点P(﹣1,0）作曲线f（x)=e x的切线l．（1）求切线l的方程；（2）若直线l与曲线y=（a∈R)交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1+x2＜﹣4．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】(1）求导数，设切点，可得方程组，即可求切线l的方程；（2)设f（x）=(x+1）e x，则f(x1)=f（x2）．f'（x）=（x+2）e x,可得函数f(x）的单调性；设g （x）=f(x）﹣f(﹣4﹣x）,切点其单调性，即可证明结论．【解答】（1）解:y'=e x，设切点（x0，y0)，则，解得x0=0，因此y’|x=0=1，l的方程是y=x+1．…（2）证明：依题意有，所以…设f(x）=（x+1）e x，则f（x1）=f（x2）．f'（x）=（x+2)e x，当x＜﹣2时，f’（x)＜0，当x＞﹣2时，f’（x）＞0；所以f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递减，在(﹣2,+∞）单调递增．因为x1≠x2，不妨设x1＜﹣2，x2＞﹣2．设g（x）=f(x)﹣f（﹣4﹣x)，则g'（x)=f'（x）+f'（﹣4﹣x)=（x+2）e x（1﹣e﹣2（2+x））,当x＞﹣2时，g'（x）＞0,g（x）在在（﹣2，+∞)单调递增，所以g（x)＞g（﹣2)=0，所以当x＞﹣2时，f（x）＞f（﹣4﹣x）．…因为x2＞﹣2，所以f（x2）＞f（﹣4﹣x2），从而f（x1）＞f(﹣4﹣x2），因为﹣4﹣x2＜﹣2，f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递减，所以x1＜﹣4﹣x2,即x1+x2＜﹣4．…附加题：（共4小题，满分0分）21．已知矩阵A=，B=满足AX=B,求矩阵X．【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义．【分析】由AX=B,得=，求解即可．【解答】解：设x=，由=得解得此时x=22．在平面直角坐标系xOy中,设点P（x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y ﹣2,y)，求．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由题意得到，从而求出x，y，再由逆矩阵公式求出矩阵M的逆矩阵，由此能求出．【解答】解：∵点P(x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q(y﹣2，y），∴依题意，=，即解得由逆矩阵公式知，矩阵M=的逆矩阵，∴==．23．已知常数a＞0，函数f(x)=ln（1+ax)﹣．讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用导数判断函数的单调性,注意对a分类讨论．【解答】解：∵f(x）=ln(1+ax）﹣，∴f′（x）=﹣=，∵(1+ax）（x+2）2＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当0＜a≤1时，由f′(x）=0得x=±，则函数f（x)在（0,)单调递减，在（,+∞)单调递增．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，且PA=AB=BC=AD=1，PA⊥平面ABCD．(1）求PB与平面PCD所成角的正弦值;（2)棱PD上是否存在一点E满足∠AEC=90°？若存在,求AE的长；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出，平面PCD的法向量，即可求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）假设存在E符合条件,设，则由∠AEC=90°得，，列出方程，判定方程在［0，1]上是否有解即可得出结论．【解答】解:（1)依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，0，1）,B（1，0，0），C（1,1，0）,D（0,2，0），从而,，，设平面PCD的法向量为=（a，b,c），即,不妨取c=2，则b=1，a=1，所以平面PCD的一个法向量为=（1，1，2）,此时cos＜，＞==﹣,所以PB与平面PCD所成角的正弦值为；（2）设，则E（0，2λ,1﹣λ)，则,，由∠AEC=90°得，，化简得，5λ2﹣4λ+1=0，该方程无解,所以，棱PD上不存在一点E满足∠AEC=90°．2017年1月5日。

江苏省如皋市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.已知全集U={1,2，3，4}，集合A={1,4}，B={2,4}，则A∩(∁U B)=()A. {2}B. {4}C. {1}D. {1,2，4}【答案】C【解析】解：∵全集U={1,2，3，4}，B={2,4}，∴∁U B={1,3}，∵A={1,4}，∴A∩(∁U B)={1,4}∩{1,3}={1}．故选：C．先求出∁U B，再求出A∩(∁U B)本题考查集合的基本的混合运算，属于简单题．2.若幂函数f(x)的图象经过点(3,√3)，则f(4)=()A. 16B. −2C. ±2D. 2【答案】D【解析】解：设幂函数y=f(x)=x a，x∈R，函数图象过点(3,√3)，，则3a=√3，a=12∴幂函数f(x)=x12，∴f(4)=412=2．故选：D．根据幂函数的定义利用待定系数法求出f(x)的解析式，再计算f(4)的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．3.函数f(x)=lg(x+1)+√3−x的定义域为()A. (−∞,3]B. (−1,3]C. [0,3]D. (−1,3)【答案】B【解析】解：由题意得：x+1>0，解得：−1<x≤3，{3−x≥0故函数的定义域是(−1,3]，第1页，共13页故选：B．根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质以及二次根式的性质，是一道基础题．4.已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为π4，则这条弧所在的扇形面积为()cm2．A. πB. 4πC. 2πD. √2π【答案】C【解析】解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为π4，∴半径r=ππ4=4，∴这条弧所在的扇形面积为S=12×π×4=2πcm2．故选：C．根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可．本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，要求熟练掌握相应的公式，比较基础．5.已知向量a⃗=(4,2)，b⃗ =(3,−1)，则向量a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π4B. 3π4C. π4或3π4D. π3【答案】A【解析】解：根据题意得，a⃗⋅b⃗ =12−2=10∴cos<a⃗，b⃗ >=√16+4×√9+1=√22∴向量a⃗与b⃗ 的夹角为π4．故选：A．运用向量的夹角公式可解决此问题．本题考查向量的夹角公式的应用．6.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象，则其解析式是()第3页，共13页A. f(x)=3sin(x +π3) B. f(x)=3sin(2x +π3) C. f(x)=3sin(2x −π3)D. f(x)=3sin(2x +π6)【答案】B【解析】解：由图象知A =3，函数的周期T =5π6−(−π6)=π，即2πω=π，即ω=2， 则f(x)=3sin(2x +φ)，由五点对应法得2×(−π6)+φ=0， 即φ=π3，则f(x)=3sin(2x +π3)， 故选：B ．根据图象求出周期和振幅，利用五点对应法求出φ的值即可得到结论．本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件确定A ，ω和φ的值是解决本题的关键．7. 若tanθ=2，则2sin 2θ−3sinθcosθ=( )A. 10B. ±25C. 2D. 25【答案】D【解析】解：∵sin 2θ+cos 2θ=1，∴2sin 2θ−3sinθcosθ =2sin 2θ−3sinθcosθsin 2θ+cos 2θ =2tan 2θ−3tanθ1+tan 2θ =2×22−3×21+22=25， 故选：D ．题目已知条件是正切值，而要求的三角函数式是包含正弦和余弦的，因此要弦化切，给要求的式子加上一个为1的分母，把1变为正弦和余弦的平方和，这样式子就变为分子和分母同次的因式，分子和分母同除以余弦的平方，得到结果．已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值.在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的.有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种．8. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=2，则|2a ⃗ +b ⃗ |=( )A. 2√7B. 2C. 2√3D. 2√5【答案】C【解析】解：∵|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=2；∴(a ⃗ +b ⃗ )2=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=4+2a ⃗ ⋅b ⃗ +4=4；∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−2；∴(2a ⃗ +b ⃗ )2=4a ⃗ 2+4a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=16−8+4=12；∴|2a ⃗ +b ⃗ |=2√3． 故选：C ．根据条件，对|a ⃗ +b ⃗ |=2两边平方即可求出a ⃗ ⋅b ⃗ =−2，从而可求出(2a ⃗ +b ⃗ )2的值，进而得出|2a ⃗ +b ⃗ |的值． 考查向量数量积的运算，求向量长度的方法．9. 已知函数f(x)={sin π2x,−4≤x ≤02x +1,x >0，则y =f[f(x)]−3的零点为( )A. 0和3B. 2C. −3D. −1 【答案】C【解析】解：设t =f(x)， 解方程f(t)−3=0得： {−4≤t ≤0sin π2t −3=0或{2t +1−3=0t>0，解得：t =1，即f(x)=1， 即{−4≤x ≤0sin π2x =1或{2x +1−1=0x>0，解得：x =−3， 故选：C ．由复合方程的解法及分段函数的有关问题分段讨论有：设t =f(x)，解方程f(t)−3=0得：{−4≤t ≤0sin π2t −3=0或{2t +1−3=0t>0，得：t =1，再分段解方程{−4≤x ≤0sin π2x =1或{2x +1−1=0x>0，得解．本题考查了复合方程的解法及分段函数的有关问题，属中档题．10.在平面直角坐标系xOy中，点A，B在单位圆上，且点A在第一象限，横坐标是35，将点A绕原点O顺时针旋转π3到B点，则点B的横坐标为()A. 4−3√310B. 3+4√310C. 3√3−410D. 3√3+410【答案】B【解析】解：点A，B在单位圆上，且点A在第一象限，设射线OA对应的角为θ，横坐标是cosθ=35，故点A的纵坐标为sinθ=45，将点A绕原点O顺时针旋转π3到B点，则OB射线对应的终边对应的角为θ−π3，则点B的横坐标为cos(θ−π3)=cosθcosπ3+sinθsinπ3=12cosθ+√32sinθ=3+4√310，故选：B．设射线OA对应的角为θ，利用任意角的三角函数的定义求得cosθ、sinθ，再利用两角差的余弦公式求得点B的横坐标为cos(θ−π3)的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．11.已知函数f(x)=e x−e−x，则不等式f(2x2−1)+f(x)≤0的解集为()A. (0,1]B. [−12,1] C. [−1,−√22] D. [−1,12]【答案】D【解析】解：∵f(x)=e x−e−x，∴f(−x)=e−x−e x=−(e x−e−x)=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，∵y=e x是增函数，y=e−x，是减函数，则f(x)=e x−e−x，是增函数，则不等式f(2x2−1)+f(x)≤0得不等式f(2x2−1)≤−f(x)=f(−x)，则2x2−1≤−x，即2x2+x−1≤0，得(x+1)(2x−1)≤0，得−1≤x≤12，即不等式的解集为[−1,12]，故选：D．根据条件判断函数f(x)的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．第5页，共13页12. 已知定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)={x +1,x <0x 2+2ax,x>0，若f(x)+f(−x)=0在定义域上有两个不同的解，则a 的取值范围为( )A. (−∞,−12)B. (32,+∞) C. (−∞,−12)∪(32,+∞)D. (−12,32)【答案】A【解析】解：已知定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)={x +1,x <0x 2+2ax,x>0， 若f(x)+f(−x)=0在定义域上有两个不同的解，等价于直线y =x +1关于原点对称的直线y =x −1与函数f(x)=x 2+2ax(x >0)的图象有两个交点，联立{y =x 2+2ax y=x−1，消y 得：x 2+(2a −1)x +1=0， 由题意有：此方程有两不等正实数根， 即{−(2a −1)>0(2a−1)2−4>0， 解得：a <−12， 故选：A ．由函数的性质及函数的零点与方程的根的关系可得：f(x)+f(−x)=0在定义域上有两个不同的解，等价于直线y =x +1关于原点对称的直线y =x −1与函数f(x)=x 2+2ax(x >0)的图象有两个交点，联立{y =x 2+2ax y=x−1，消y 得：x 2+(2a −1)x +1=0，由题意有：此方程有两不等正实数根，由根与系数的关系可得：{−(2a −1)>0(2a−1)2−4>0，得解，本题考查了函数的性质及函数的零点与方程的根的关系，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 计算：(827) −23−lg √2−lg √5=______．【答案】74【解析】解：(827) −23−lg √2−lg √5=94−12(lg2+lg5)=94−12=74．故答案为：74．直接利用有理指数幂以及对数运算法则化简求解即可． 本题考查对数运算法则以及有理指数幂的计算，考查计算能力．14. 已知sin(α+π6)=13，则sin(2α−π6)=______．【答案】−79【解析】解：sin(2α−π6)=sin[2(a+π6)−π2]=−cos2(a+π6)=−[1−2sin2(a+π6)]=−(1−2×19)=−79，故答案为：−79根据三角函数的诱导公式结合二倍角公式进行化简即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的诱导公式进行化简是解决本题的关键．15.三角形ABC中，已知AC=4，AB=2，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3BP⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =4CQ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =______．【答案】−87【解析】解：∵BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3BP⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =4CQ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ =3(AP⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ )⇒3AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB⃗⃗⃗⃗⃗ ；AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ =4(AQ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ )⇒4AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴12AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=2AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+3AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2+7AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ )∴12×4=2×4+3×16+7AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−87故答案为：−87由BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3BP⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =4CQ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得3AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，4AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后两式相乘可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．16.已知函数f(x)=x+ax，其中a∈R，若关于x的方程f(|2x−1|)=2a+13有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是______．第7页，共13页【答案】[23,+∞)【解析】解：设t =g(x)=|2x −1|， 其图象如图所示，设t 1，t 2为方程t +at =2a +13的两根则f(|2x −1|)=2a +13有三个不同的实数解等价于：t =g(x)的图象与直线t =t 1，t =t 2的交点和为3，由图可知：t 1∈(0,1)，t 2∈[1,+∞)，设ℎ(x)=t 2−(2a +13)t +a ，则此函数有两个零点t 1∈(0,1)，t 2∈[1,+∞)， ①当t 2=1时，解得：a =23，由a =23，解得t 1=23∈(0,1)，满足题意， ②当t 2>1时，由二次方程区间根问题可得： {ℎ(1)<0ℎ(0)>0，解得：a >23， 综合①②得：实数a 的取值范围是a ≥23， 故答案为：[23,+∞)．由方程的根与函数的零点问题设t =g(x)=|2x −1|，设t 1，t 2为方程t +at =2a +13的两根则f(|2x −1|)=2a +13有三个不同的实数解等价于：t =g(x)的图象与直线t =t 1，t =t 2的交点和为3，由数形结合的数学思想方法、二次方程的区间根问题可得：t 1∈(0,1)，t 2∈[1,+∞)，设ℎ(x)=t 2−(2a +13)t +a ，则此函数有两个零点t 1∈(0,1)，t 2∈[1,+∞)，运算可得解本题考查了方程的根与函数的零点问题及数形结合的数学思想方法、二次方程的区间根问题，属难度较大的题型．三、解答题（本大题共6小题，共82.0分）17. 设全集U =R ，集合A ={x|−1<x −m <5}，B ={x|12<2x <4}．(1)当m =1时，求A ∩(∁U B)；(2)若A ∩B =⌀，求实数m 的取值范围．【答案】解：A ={x|m −1<x <m +5}，B ={x|−1<x <2}； (1)m =1时，A ={x|0<x <6}，且∁U B ={x|x ≤−1，或x ≥2}；第9页，共13页∴A ∩(∁U B)={x|2≤x <6}； (2)∵A ∩B =⌀；∴m −1≥2，或m +5≤−1； ∴m ≥3，或m ≤−6；∴实数m 的取值范围为{m|m ≤−6，或m ≥3}．【解析】(1)可求出A ={x|m −1<x <m +5}，B ={x|−1<x <2}，m =1时，求出集合A ，然后进行补集、交集的运算即可；(2)根据A ∩B =⌀即可得出m −1≥2，或m +5≤−1，解出m 的范围即可．考查描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集、补集的运算，交集、空集的定义．18. 已知cosα=45，cos(α+β)=513，α，β均为锐角．(1)求sin2α的值； (2)求sinβ的值．【答案】解：(1)∵cosα=45，α为锐角，∴sinα=√1−cos 2α=√1−(45)2=35，∴sin2α=2sinαcosα=2×35×45=2425．(2)∵α，β均为锐角，cos(α+β)=513，∴α+β∈(0,π)， ∴sin(α+β)=√1−cos 2(α+β)=√1−(513)2=1213， ∴sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=1213×45−513×35=3365．【解析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．(2)由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin(α+β)的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinβ的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．19. 已知向量a ⃗ =(√3cosx +sinx,4sinx)，b ⃗ =(√3cosx +sinx,−√3cosx)，设f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ．(1)将f(x)的图象向右平移π3个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到g{x)的图象，求g(x)的单调增区间；(2)若x ∈[0,π3]时，mf(x)+m ≥f(x)+2恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】解：(1)由题意得f(x)=(√3cosx +sinx)2−4√3sinxcosx=3cos 2x +sin 2x −2√3sinxcosx =1+2cos 2x −√3sin2x =1+1+cos2x −√3sin2x=2+2cos(2x +π3)，∴g(x)=2+2cos(x −π3)，由2kπ−π≤x −π3≤2kπ，k ∈Z ， 得2kπ−2π3≤x ≤2kπ+π3，k ∈Z ，即g(x)的增区间为[2kπ−2π3,2kπ+π3]，k ∈Z ．(2)当x ∈[0,π3]时， 可得f(x)+1∈[1,4]，∴mf(x)+m ≥f(x)+2⇔m ≥f(x)+2f(x)+1=1+1f(x)+1， 易得1+1f(x)+1的最大值为2，∴使原不等式恒成立的m 的范围为[2,+∞)， 故实数m 的取值范围为[2,+∞)．【解析】(1)首先利用数量积把f(x)化为三角函数，再利用坐标变换得到g(x)，结合余弦函数单调性可得增区间；(2)利用所给范围确定f(x)+1为正，把所给不等式参变分离，只需求得右边的最大值即可．此题考查了数量积，三角公式，三角函数单调性，不等式恒成立等，难度适中．20. 在三角形ABC 中，AB =2，AC =1，∠ACB =π2，D 是线段BC 上一点，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 为线段AB 上一点．(1)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，设AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x a ⃗ +y b⃗ ，求x −y ； (2)求CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FA⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围； (3)若F 为线段AB 的中点，直线CF 与AD 相交于点M ，求CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．【答案】解：(1)∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ +23a ⃗ ，第11页，共13页∴x =23，y =13，∴x −y =13 (2)设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(0≤λ≤1)因为在三角形ABC 中，4B =2，AC =1，∠ACB =π2，∴∠CAB =30∘，∴CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(−AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )(−λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−4λ2+λ⋅1×2×√32=−4λ2+√3λ=−4(λ−√38)2+316∈[−4+√3,316] (3)∵A ，M ，D 三点共线，∴可设CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)⋅23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵F 为AB 的中点，∴CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又C ，M ，F 三点共线，∴存在t ∈R 使得CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(1−x)CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12t CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12t CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{x =12t23(1−x)=12t ，解得{x =25t =45，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(25CA⃗⃗⃗⃗⃗ +25CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =45CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=45×1×2×(−√32)+25×4=85−4√35【解析】(1)将AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 化成AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 后，与已知比较得x =23，y =13，可得x −y =13； (2)设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(0≤λ≤1)，将CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，FA ⃗⃗⃗⃗⃗ 化成AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 后，再相乘可得； (3)先根据向量共线和三点共线得到CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 相乘可得． 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．21. 如图，某城市拟在矩形区域ABCD 内修建儿童乐园，已知AB =2百米，BC =4百米，点E ，N 分别在AD ，BC 上，梯形DENC 为水上乐园；将梯形EABN 分成三个活动区域，M 在AB 上，且点B ，E 关于MN 对称，现需要修建两道栅栏ME ，MN 将三个活动区域隔开.设∠BNM =θ，两道栅栏的总长度L(θ)=ME +MN ．(1)求L(θ)的函数表达式，并求出函数的定义域； (2)求L(θ)的最小值及此时θ的值．【答案】解：(1)∵点B ，E 关于MN 对称，∴Rt △BMN≌RtEMN ，∴BM =EM ，∠BMN =∠EMN =π2−θ， ∴∠AME =π−2(π2−θ)=2θ，设AM =x ，则BM =EM =2−x ，∴cos2θ=AMEM =x2−x ， ∴x =2cos2θcos2θ+1=2cos 2θ−1cos 2θ=2−1cos 2θ，由sinθ=BM MN =2−xMN可得MN =2−xsinθ=1sinθcos 2θ， ∴ME +MN =1cos 2θ+1sinθcos 2θ=sinθ+1sinθcos 2θ=1sinθ(1−sinθ)．由∠AME =2θ<π2可知0<θ<π4．∴L(θ)=1sinθ(1−sinθ)(0<θ<π4).(2)∵0<θ<π4，∴0<sinθ<√22，∴sinθ(1−sinθ)≤(sinθ+1−sinθ2)2=14，当且仅当sinθ=1−sinθ即sinθ=12时取等号．∴当θ=π6时，L(θ)取得最小值4．【解析】(1)设AM =x ，得出x 与θ的关系，求出EM ，MN ，即可求用θ表示的l 函数表达式；(2)根据基本不等式和θ的范围得出L(θ)的最小值．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角函数模型的运用，属于中档题．22. 若函数f(x)=x|x −m|+m 2，m ∈R ．(1)若函数f(x)为奇函数，求m 的值；(2)若函数f(x)在x ∈[1,2]上是增函数，求实数m 的取值范围； (3)若函数f(x)在x ∈[1,2]上的最小值为7，求实数m 的值． 【答案】解：(1)函数f(x)为奇函数， ∴f(0)=m 2=0，解得m =0； (2)∵f(x)={−x 2+mx +m 2,x <m x 2−mx+m 2,x≥m， ∵函数f(x)在x ∈[1,2]上是增函数，当m ≤0时，f(x)=x 2−mx +m 2的对称轴为x =m2， 由m2≤1，即f(x)在[1,2]递增；当0<m ≤1时，f(x)=x 2−mx +m 2的对称轴为x =m2，由m2≤1，即f(x)在[1,2]递增；当1<m<2时，f(x)在(1,m)递减，(m,2)递增；当m≥2时，f(x)=−x2+mx+m2的对称轴为x=m2，若2≤m<4，可得f(x)在(1,m2)递增；在(m2,2)递减；若m≥4，可得f(x)在(1,2)递增，综上可得，m的范围是(−∞,1]∪[4,+∞)；(3)由(2)可得m≤1时，f(x)在[1,2]递增，可得f(1)=1−m+m2=7，解得m=−2(3舍去)，当1<m<2时，f(x)在(1,m)递减，(m,2)递增，可得f(m)=m2=7，解得m=√7，不符合条件，舍去；当2≤m<4，可得f(x)在(1,m2)递增；在(m2,2)递减，若f(1)=m−1+m2，f(2)=2(m−2)+m2，f(1)−f(2)=3−m，当2≤m≤3，令f(2)=7，解得m=2√3−1，成立；若3<m<4，可令f(1)=7，解得m=−1+√332，不符合条件，舍去；当m≥4，可得f(x)在(1,2)递增，令f(1)=7，即m−1+m2=7，解得m=−1+√332，不符合条件，舍去．综上可得m的值为−2或2√3−1．【解析】(1)由奇函数的性质可得f(0)=0，解方程可得m；(2)讨论m<0，m=0，0<m<1，m=1，1<m<2，2≤m<4，m≥4时，去掉绝对值，结合二次函数的单调性，可得结论；(3)由(2)的结论，由单调性，可得最小值，解方程即可得到所求m的值．本题考查含绝对值函数的单调性和最值求法，注意运用绝对值的意义和分类讨论思想方法，结合二次函数的图象和性质是解题的关键，属于综合题．第13页，共13页。

2019-2020学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集{1U =-，0，1，2，3}，集合{1M =-，0}，{0N =，1，2}，则()(U M N =I ð)A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，3}D ．{0，1}2．（5分）已知向量(1,)a m =r ，(2,1)b =-r ，且()a b b -⊥r r r ，则实数(m = ) A ．3B ．12C ．12-D ．3-3．（5分）函数2()43x f x x x=+-的定义域为( )A ．{|14}x x -<<B ．{|04}x x <<C ．{|4}x x >D ．{|1}x x <-4．（5分）函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位后得到函数()y g x =的图象，则()4g π的值为( ) A ．12-B ．12C ．3-D ．3 5．（5分）函数()||x f x e ln x =g（其中e 是自然对数的底数）的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．6．（5分）已知函数222,0(),0ax x x f x x bx x ⎧->=⎨-+⎩„为奇函数，则()(f a b += )A ．2-B ．1-C ．1D ．27．（5分）已知tan()6πα-=sin (sin()3απα=+ ) A ．52B ．72C． D8．（5分）已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>…的图象关于点(,0)6M π-及直线:3l x π=对称，且()f x 在(,)2ππ不存在最值，则ϕ的值为( )A ．3π-B ．6π-C ．6π D ．3π 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在第小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分． 9．（5分）下列4个结论中，正确的结论是( ) A ．对任意角α，使得cos()cos παα+=B ．存在角α和β，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+C ．存在无穷多个角α和β，使得sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=-D ．对任意角α和β，都有tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-g10．（5分）关于函数()y f x =，()y g x =，下述结论正确的是( ) A ．若()y f x =是奇函数，则(0)0f =B ．若()y f x =是偶函数，则|()|y f x =也为偶函数C ．若()()y f x x R =∈满足f （1）f <（2），则()f x 是区间[1，2]上的增函数D ．若()y f x =，()y g x =均为R 上的增函数，则()()y f x g x =+也是R 上的增函数 11．（5分）在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC 与BD 交于M ，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r，则下列结论正确的是( )A ．12AC a b =+u u u r r rB ．12BC a b =-+u u u r r rC ．1233BM a b =-+u u u u r r rD ．14EF a b =-+u u u r r r12．（5分）设函数()|sin |f x x x =+，则下列结论正确的是( ) A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在(0,)2π上是单调增函数C ．函数()f x 的图象关于直线23x π=对称 D ．函数()f x 的值域是[0，2]三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知tan2α=，则cos2α=．14．（5分）已知函数12()sin221xf x x=-+，则()()1g x f x=+是函数（从“奇”，“偶”，“非奇非偶”及“既是奇函数又是偶”中选择一个填空），不等式2()(410)2f x x f x-+--„的解集为．15．（5分）窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EFGH，且E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，则AG DFu u u r u u u rg的值为．16．（5分）已知函数21,0()2,02xa xf x sin x xπ⎧-⎪=⎨<<⎪⎩„其中0a>，且1a≠，若函数()1y f x=-有3个不同的零点1x，2x，3x，且123x x x++>，则实数a的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合1|02xA xx-⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，集合{|3xB y y==，}x a„．（1）若1a=，求A BU；（2）若()RB A≠∅Ið，求实数a的取值范围．18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P，Q是以AB为直径的上半圆弧上两点（点P在Q的右侧），点O为半圆的圆心，已知2AB=，点43(,)55P，设POQα∠=．（1）若2πα=，求AQ AOu u u r u u u rg的值；（2）若点Q的纵坐标为12，求cosα的值．19．（12分）已知函数2()log (1)1mf x x =+-，其中m 为实数． （1）若1m =，求证：函数()f x 在(1,)+∞上为减函数； （2）若()f x 为奇函数，求实数m 的值．20．（12分）某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角ABC ∆和以BC 为直径的半圆拼接而成，点P 为半圈上一点（异于B ，)C ，点H 在线段BC 上，且满足CH AB ⊥．已知90ACB ∠=︒，1AB dm =，设ABC θ∠=． （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足ABC PCB ∠=∠，且CA CP +达到最大．当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足60PBA ∠=︒，且CH CP +达到最大．当θ为何值时，CH CP +取得最大值，并求该最大值．21．（12分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB =，3AC =，D 是BC 的中点，点E 满足2AE EC =u u u r u u u r，BE 与AD 交于点G ． （1）设AG AD λ=u u u r u u u r，求实数λ的值；（2）设H 是BE 上一点，且HA HB HC HA =u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，求GH BC u u u u r u u u rg 的值．22．（12分）已知函数2()|3|1f x x ax =---，其中0a >． （1）若2a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()23f x x -…对任意的实数(1,0)x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数()f x 有4个不同的零点，求实数a 的取值范围．2019-2020学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集{1U =-，0，1，2，3}，集合{1M =-，0}，{0N =，1，2}，则()(U M N =I ð)A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，3}D ．{0，1}【解答】解：全集{1U =-，0，1，2，3}，集合{1M =-，0}，{0N =，1，2}， 则{1U M =ð，2，3}， 所以(){1U M N =I ð，2}． 故选：A ．2．（5分）已知向量(1,)a m =r ，(2,1)b =-r ，且()a b b -⊥r r r ，则实数(m = ) A ．3B ．12C ．12-D ．3-【解答】解：向量(1,),(2,1)a m b ==-r r， 则(1,1)a b m -=-+rr ，又()a b b -⊥r r r ，则()0a b b -=r rr g ， 即121(1)0m -⨯-⨯+=， 解得3m =-． 故选：D ．3．（5分）函数()x f x =的定义域为( )A ．{|14}x x -<<B ．{|04}x x <<C ．{|4}x x >D ．{|1}x x <-【解答】解：由2310430x x x ⎧->⎨+->⎩，解得04x <<． ∴函数()x f x =的定义域为{|04}x x <<．故选：B ．4．（5分）函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位后得到函数()y g x =的图象，则()4g π的值为( ) A ．12-B ．12C ．3-D ．3 【解答】解：数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位后得到函数()sin(2)3y g x x π==+的图象，所以1()42g π=．故选：B ．5．（5分）函数()||x f x e ln x =g（其中e 是自然对数的底数）的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：函数()f x 为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D ， 当x →+∞，()f x →+∞，排除B ， 故选：A ．6．（5分）已知函数222,0(),0ax x x f x x bx x ⎧->=⎨-+⎩„为奇函数，则()(f a b += )A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：根据题意，函数222,0(),0ax x x f x x bx x ⎧->=⎨-+⎩„为奇函数，其定义域为R ，设0x >，则0x -<，则2()2f x ax x =-，22()()()f x x b x x bx -=--+-=--，则有222()()(2)()(1)(2)0f x f x ax x x bx a ax b x +-=-+--=--+=，分析可得1a =，2b =-， 故2()(1)121f a b f +=-=-+=； 故选：C ．7．（5分）已知tan()6πα-=sin (sin()3απα=+ ) A ．52B ．72C． D【解答】解：Q tan()6πα-=∴tan tantan 61tan tan 6πααπα-==+，解得tan α=，∴sin sin 72sin()sin coscos sin333ααπππααα===++． 故选：B ．8．（5分）已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>„的图象关于点(,0)6M π-及直线:3l x π=对称，且()f x 在(,)2ππ不存在最值，则ϕ的值为( )A ．3π-B ．6π-C ．6π D ．3π 【解答】解：函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>„的图象关于点(,0)6M π-及直线:3l x π=对称，sin()06πωϕ∴-+=，sin()13πωϕ+=±．16k πωϕπ∴-+=，232k ππωϕπ+=+．1k ，2k Z ∈．212()1k k ω∴=-+．()f x Q 在(,)2ππ不存在最值，22()2T πππω∴=>-，可得：02ω<<． 1ω∴=．则16k πϕπ=+，||2πϕ…．6πϕ∴=．故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在第小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分． 9．（5分）下列4个结论中，正确的结论是( ) A ．对任意角α，使得cos()cos παα+=B ．存在角α和β，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+C ．存在无穷多个角α和β，使得sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=-D ．对任意角α和β，都有tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-g【解答】解：对于A 选项，由诱导公式可得，cos()cos παα+=-，即A 错误； 对于B 选项，当0αβ==时，有cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+，即B 正确； 对于C 选项，当2k απ=，22k πβπ=-+，k Z ∈时，符合题意，即C 正确；对于D 选项，当2παβ==时，tan α，tan β均无意义，即D 错误．故选：BC ．10．（5分）关于函数()y f x =，()y g x =，下述结论正确的是( ) A ．若()y f x =是奇函数，则(0)0f =B ．若()y f x =是偶函数，则|()|y f x =也为偶函数C ．若()()y f x x R =∈满足f （1）f <（2），则()f x 是区间[1，2]上的增函数D ．若()y f x =，()y g x =均为R 上的增函数，则()()y f x g x =+也是R 上的增函数 【解答】解：对于A 选项，只有当函数()f x 的定义域包含0 时，若()y f x =是奇函数，则(0)0f =，即A 错误；对于B 选项，当x x =-时，|()||()|y f x f x y =-==，所以|()|y f x =是偶函数，即B 正确； 对于C 选项，f （1）f <（2）不代表对于任意的1x ，2[1x ∈，2]，均有12()()f x f x <，即C 错误；对于D 选项，增函数+增函数=增函数，即D 正确． 故选：BD ．11．（5分）在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC与BD 交于M ，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r，则下列结论正确的是( )A ．12AC a b =+u u u r rrB ．12BC a b =-+u u u r r r C ．1233BM a b =-+u u u u r r rD ．14EF a b =-+u u u r r r【解答】解：由题意可得，12AC AD DC b a =+=+u u u r u u u r u u u r r r，故A 正确；1122BC BA AC a b a b a =+=-++=-u u u r u u u r u u u r r r r r r，故B 正确；2212233333BM BA AM a AC a b a b a =+=-+=-++⨯=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r r r r r r r，故C 错误；111244EF EA AD DF a b a b a =++=-++=-u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r，故D 正确．故选：ABD ．12．（5分）设函数()|sin 3|f x x x =+，则下列结论正确的是( ) A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在(0,)2π上是单调增函数C ．函数()f x 的图象关于直线23x π=对称 D ．函数()f x 的值域是[0，2]【解答】解：()|sin 3cos ||2sin()|3f x x x x π=+=+，对于选项A ，最小正周期为1221ππ⨯=，所以A 正确；对于选项B ，()|2sin()|2663f πππ=+=，()|2sin()|3333f πππ=+显然()()63f f ππ>，即B错误；对于C 选项，令3x k ππ+=，则,3x k k Z ππ=-+∈，当1k =时，有23x π=，即C 正确； 对于D 选项，因为sin()[1,1]3x π+∈-，所以()|2sin()|[03f x x π=+∈，2]，即D 正确．故选：ACD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知tan 2α=，则cos2α= 35- ．【解答】解：tan 2a =Q ，221143cos21145tan a tan αα--∴===-++． 故答案为：35-．14．（5分）已知函数12()sin 221x f x x =-+，则()()1g x f x =+是 奇 函数（从“奇”，“偶”，“非奇非偶”及“既是奇函数又是偶”中选择一个填空），不等式2()(410)2f x x f x -+--„的解集为 ．【解答】解：根据题意，函数12()sin 221x f x x =-+，其定义域为R ，则2()()1sin 1221x x g x f x =+=-++，则222()()1sin()1sin 1221212xx xx x g x f x ---=-+=-+=--+++g ，有222222()()(sin 1)(sin 1)2()022********x xx x x xx x g x g x +-=-++--+=-+=++++g g ，即()g x 为奇函数，不等式2()(410)2f x x f x -+--„，变形可得2()1(410)10f x x f x -++-+„，即2()(410)0g x x g x -+-„，又由2()()1sin 1221x x g x f x =+=-++，()g x 为R 上的增函数，则22222()(410)0()(410)()(104)1043100g x x g x g x x g x g x x g x x x x x x -+-⇒---⇒--⇒--⇒+-剟剟?，解可得：52x -剟，即不等式的解集为[5-，2]； 故答案为：奇，[5-，2]．15．（5分）窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD 是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EFGH ，且E ，F ，G ，H 分别是AF ，BG ，CH ，DE 的中点，则AG DF u u u r u u u rg 的值为 0 ．【解答】解：Q 窗户的轮廓ABCD 是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EFGH ，且E ，F ，G ，H 分别是AF ，BG ，CH ，DE 的中点； 设小正方形EFGH 的边长为2，则1EF GF ==；∴()()21cos021cos1800AG DF AF FG DE EF AF DE AF EF FG DE FG EF AF EF FG DE =++=+++=+=⨯⨯︒+⨯⨯︒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g g g g g g ；故答案为：0．16．（5分）已知函数21,0()2,02x a x f x sin x x π⎧-⎪=⎨<<⎪⎩…其中0a >，且1a ≠，若函数()1y f x =-有3个不同的零点1x ，2x ，3x ，且1230x x x ++>，则实数a 的取值范围是 2(0,)2． 【解答】解：根据题意可判断01a <<，否则不会有3个不同零点，且函数()1y f x =-有3个不同的零点1x ，2x ，3x 等价于函数()f x 与1y =的图象有3个不同的交点，不妨设123x x x <<，作图如下：由图可知，当02x <<时，2sin()12x π=有两个根2x ，3x ，解得213x =，353x =，因为1230x x x ++>，所以123()2x x x >-+=-，而111x a -=，即有1log 22a x =>-，因为01a <<，所以22a -<，即122a -<，解得a <，所以a 的取值范围是，故答案为2． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合1|02x A x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，集合{|3x B y y ==，}x a „．（1）若1a =，求A B U ；（2）若()R B A ≠∅I ð，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）依题意，1|0{|(1)(2)0}{|21}2x A x x x x x x x -⎧⎫=>=-+>=-<<⎨⎬+⎩⎭，当1a =时，{|3x B y y ==，1}{|03}x y y =<剟， 所以{|23}A B x x =-<U „． （2）由（1）知{|21}A x x =-<<，则{|2R A x x =-„ð，或1}(x =-∞…，2][1-U ，)+∞，(0B =，3]a ， 因为()R B A ≠∅I ð，所以31a …，解得0a …； 所以实数a 的取值范围是[0，)+∞．18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P ，Q 是以AB 为直径的上半圆弧上两点（点P 在Q 的右侧），点O 为半圆的圆心，已知2AB =，点43(,)55P ，设POQ α∠=．（1）若2πα=，求AQ AO u u u r u u u r g 的值；（2）若点Q 的纵坐标为12，求cos α的值．【解答】解：（1）设POB β∠=，则3sin 5β=，4cos 5β=． 所以3cos()cos()sin 25Q x παβββ=+=+=-=-，2((1),)(0(1),0)15Q Q Q AQ AO x y x =----=+=u u u r u u u r g g ．（2）由题意可得：13sin()sin 25αββ+=<=，且(0,)αβπ+∈，(0,)2πβ∈， 所以(,)2παβπ+∈，所以56παβ+=，56παβ=-． 所以5553413343cos cos()cos cos sin sin 666525πππαβββ-=-=+=+g g ． 19．（12分）已知函数2()log (1)1mf x x =+-，其中m 为实数．（1）若1m =，求证：函数()f x 在(1,)+∞上为减函数； （2）若()f x 为奇函数，求实数m 的值．【解答】（1）证明：由题意，当1m =时，221()log (1)log ()11xf x x x =+=--． 对于1x ∀，2(1,)x ∈+∞，且12x x <， 121212112222212121221()()log log log ()log 111x x x x x x xf x f x x x x x x x x ---=-==----g 12x x <Q ，12x x ∴->-，121122x x x x x x ∴->-．又1x Q ，2(1,)x ∈+∞，且12x x <， 12221(1)0x x x x x ∴-=->，即1211221x x x x x x ->-，∴1212122log ()0x x x x x x ->-，12()()0f x f x ∴->，即12()()f x f x >，∴函数()f x 在(1,)+∞上为减函数．（2）解：依题意，221()log (1)log ()11m x m f x x x +-=+=--， 若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()0f x f x -+=． 211()()log ()log()11x m x m f x f x x x -+-+-∴-+=+---211log ()()11x m x m x x -+-+-=---g2(1)1log ()()11x m x m x x --+-=+- 2222(1)log ()01x m x --==-， 222(1)1x m x ∴--=-， 2(1)1m ∴-=， 解得0m =或2m =．20．（12分）某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角ABC ∆和以BC 为直径的半圆拼接而成，点P 为半圈上一点（异于B ，)C ，点H 在线段BC 上，且满足CH AB ⊥．已知90ACB ∠=︒，1AB dm =，设ABC θ∠=． （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足ABC PCB ∠=∠，且CA CP +达到最大．当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足60PBA ∠=︒，且CH CP +达到最大．当θ为何值时，CH CP +取得最大值，并求该最大值．【解答】解：设ABC PCB θ∠=∠=，则在直角ABC ∆中，sin AC θ=，cos BC θ=； 在直角PBC ∆中，2cos cos cos cos PC BC θθθθ===g g ，sin sin cos sin cos PB BC θθθθθ===g g ； （1）222sin cos sin 1sin sin sin 1AC CP θθθθθθ+=+=+-=-++，(0,)3πθ∈，所以当1sin 2θ=，即6πθ=，AC CP +的最大值为54； （2）在直角ABC ∆中，由1122ABC S CA CB AB CH ∆==g g ，可得sin cos sin cos 1CH θθθθ==g g ；在直角PBC ∆中，sin()cos (sin cos cos sin )333PC BC πππθθθθ=-=-g g ，所以312sin cos 2cos (cos sin )2CH CP θθθθθ+=+-，(0,)3πθ∈， 所以21333sin 23cos sin cos sin 2cos2sin(2)23CH CP πθθθθθθθ+=+-=++=++， 所以当6πθ=，CH CP +达到最大．21．（12分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB =，3AC =，D 是BC 的中点，点E 满足2AE EC =u u u r u u u r，BE 与AD 交于点G ． （1）设AG AD λ=u u u r u u u r，求实数λ的值；（2）设H 是BE 上一点，且HA HB HC HA =u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，求GH BC u u u u r u u u rg 的值．【解答】解：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xAy ，则(0,0)A ，(0,2)B ，(3,0)C ．（1）由2AE EC =u u u r u u u r，得(2,0)E ，所以(2,2)BE =-u u u r ．由D 是BC 的中点，得3(,1)2D ，所以3(,1)2AD =u u u r ．设(,)G x y ，则(,)AG x y =u u u r ，(,2)BG x y =-u u u r．因为A 、G 、D 三点共线，所以//AG AD u u u r u u u r ，即32x y =，①因为B 、G 、E 三点共线，所以//BG BE u u u r u u u r，即2(2)2y x -=-，②联立①②得解得故点G 的坐标为64(,)55，所以64(,)55AG =u u u r ．所以45AG AD =u u u r u u u r ，所以实数λ的值为45． （2）设(,2)H t t -+，则(,2)HA t t =--+u u u r ，(,)HB t t =-u u u r ，(32)HC t t =--u u u rg． 因为HA HB HC HA =u u u r u u u r u u u r u u u rg g ，所以22()(2)(3)(2)t t t t t t -+-=--+-，解得45t =，所以H 的坐标为46(,)55，所以22(,)55GH =-u u u u r ．又(3,2)BC =-u u u r，所以223(2)255BC GH =-⨯+⨯-=-u u u r u u u u r g ．22．（12分）已知函数2()|3|1f x x ax =---，其中0a >． （1）若2a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()23f x x -„对任意的实数(1,0)x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数()f x 有4个不同的零点，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当2a =时，222324,2()|23|1322,2x x x f x x x x x x ⎧+-<⎪⎪=---=⎨⎪-+⎪⎩…，当32x <时，22()24(1)5f x x x x =+-=+-， 所以()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在3(1,)2-上单调递增．当32x …时，22()22(1)1f x x x x =-+=-+，所以()f x 在3[,)2+∞上单调递增．因为函数()f x 的图象在R 上不间断，所以()f x 的单调减区间是(,1)-∞-，单调增区间是(1,)-+∞． （2）依题意，2|3|123x ax x ----„对任意(1,0)x ∈-恒成立． 因为(1,0)x ∈-，0a >，所以30ax -<， 故不等式可化为23123x ax x +---„，即12a x x-++…，所以问题转化为不等式12a xx-++…对任意(1,0)x∈-恒成立．又12y xx=-++在(1,0)-上单调递减，所以121122y xx=-++<-+=，所以2a…．（3）22234,()|3|132,x ax xaf x x axx ax xa⎧+-<⎪⎪=---=⎨⎪-+⎪⎩…，其中0a>．显然，当3xa<时，2()3f x x ax=+-至多有2个不同的零点，且当3xa…时，2()2f x x ax=-+至多有2个不同的零点，又()f x有4个不同的零点，所以()f x在3(,)a-∞和3[,)a+∞上都各有2个不同的零点，所以()023()0affa⎧-<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩且32()023()0aaaffa⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪⎪⎪⎩…，即222()40423()10322042a aaaaaa aa⎧+--<⎪⎪⎪->⎪⎪⎨⎪>⎪⎪⎪-+<⎪⎩gg，又0a>，解得3a<<，所以实数a的取值范围是3a<<．。

2017～2018学年度高一年级第一学期期末教学质量调研数学试题一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1. 已知集合，则______．【答案】【解析】∵∴，故答案为：2. 函数的定义域为______．【答案】【解析】由题意得：,即∴函数的定义域为故答案为：3. 已知幂函数在是增函数，则实数m的值是______．【答案】1【解析】∵幂函数在是增函数∴，解得：故答案为：14. 已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为______．【答案】【解析】∵扇形的圆心角为，半径为，∴扇形的面积故答案为：5. 设向量，若⊥，则实数的值为______．【答案】【解析】∵，∴，，又⊥∴∴故答案为：6. 定义在上的函数则的值为______．【答案】【解析】∵定义在上的函数∴故答案为：点睛：：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．7. 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位后，所得图象关于原点对称，则的值为______．【答案】【解析】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变得到，再将图象向右平移个单位，得到，即，其图象关于原点对称.∴，，又∴故答案为：8. 若，则的值为______．【答案】0【解析】由，得到∴sin∴2sin+4两边都除以，得：2tan故答案为：09. 已知，，则函数的值域为______．【答案】【解析】，又，∴，∴故答案为：10. 设偶函数的定义域为，函数在上为单调函数，则满足的所有的取值集合为______．【答案】【解析】∵，又函数在上为单调函数∴=∴，或∴∴满足的所有的取值集合为故答案为：11. 在中，，，且在上，则线段的长为______．【答案】1【解析】∵，∴，∴，∵且在上，∴线段为的角平分线，∴，以A为原点，如图建立平面直角坐标系，则，D∴故答案为：1【答案】【解析】令∴即函数的增区间为，又函数在上为单调递增函数∴令得：，即，得到：，又∴实数的取值范围是故答案为：13. 如图，已知△和△有一条边在同一条直线上，，，，在边上有个不同的点，则的值为______．【答案】16【解析】由题意易知：△和△为全等的等腰直角三角形，斜边长为，，故答案为：16点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.本题就是利用几何意义处理的.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.14. 已知函数（且）只有一个零点，则实数的取值范围为______．【答案】或或【解析】∵函数（且）只有一个零点，∴∴当时，方程有唯一根2，适合题意当时，或显然符合题意的零点∴当时，当时，，即综上：实数的取值范围为或或故答案为：或或点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 设集合.（1）当时，求实数的取值范围；（2）当时，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...试题解析：（1），，，即.（2）法一：,或，即法二：当时，或解得或，于是时，即16. 已知向量，函数图象相邻两条对称轴之间的距离为.（1）求的解析式；（2）若且，求的值.【答案】（1）；(2).【解析】试题分析：（1）利用数量积及三角恒等变换知识化简得；（2）由，可得，进而得到，再利用两角和余弦公式即可得到结果.试题解析：（1），，即（2），17. 在中，角的对边分别为,的面积为,已知,,．（1）求的值；（2）判断的形状并求△的面积．【答案】（1）;（2）是等腰三角形，其面积为【解析】试题分析：（1）由结合正弦面积公式及余弦定理得到，进而得到结果；（2）由结合内角和定理可得分两类讨论即可.试题解析：（1），由余弦定理得，（2）即或（ⅰ）当时，由第（1）问知，是等腰三角形，（ⅱ）当时，由第（1）问知，又，矛盾，舍.综上是等腰三角形，其面积为点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18. 某形场地，，米（、足够长）.现修一条水泥路在上，在上），在四边形中种植三种花卉，为了美观起见，决定在上取一点，使且.现将铺成鹅卵石路，设鹅卵石路总长为米.（1）设，将l表示成的函数关系式；（2）求l的最小值.【答案】（1）见解析；（2）20.【解析】试题分析：（1）设，可得：，；（2）利用二次函数求最值即可.试题解析：（1）设米，则即,注：不写函数定义域扣2分（2），当，即时，取得最小值为，的最小值为20. 答：的最小值为20.19. 已知函数（1）若的值域为R，求实数a的取值范围；（2）若，解关于x的不等式.【答案】（1）或.（2）见解析.【解析】试题分析：（1）当时，的值域为, 当时，的值域为,如满足题意则，解之即可；（2）当时，，即恒成立，当时，即,分类讨论解不等式即可.试题解析：（1）当时，的值域为当时，的值域为，的值域为，解得或的取值范围是或.（2）当时，，即恒成立，当时，即（ⅰ）当即时，无解：（ⅱ）当即时，；（ⅲ）当即时①当时，②当时，综上（1）当时，解集为（2）当时，解集为（3）当时，解集为（4）当时，解集为20. 已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且．（1）求的解析式；（2）若时，对一切，使得恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）;（2）综上或【解析】试题分析：（1）利用奇偶性构建方程组，解之即可；（2）恒成立等价于在恒成立（其中），令，讨论二次项系数，利用三个“二次”的关系布列不等式组即可.试题解析：（1）①，，分别是定义在上的奇函数和偶函数，②，由①②可知（2）当时，，令，即，恒成立，在恒成立.令（ⅰ）当时，（舍）；（ⅱ）法一：当时，或或解得.法二：由于，所以或解得.（ⅲ）当时，，解得综上或点睛：研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，然后研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.。

如皋市～度第一学期高一期末调研试题数学一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合{0,1,2,3},{1,3}A B ==，则A B =ð__▲____． 2．函数sin()6y x π=-,[0,]x π∈的值域为__▲____．3．函数()f x =的定义域是__▲_____．4．设向量(4sin ,3),(2,3cos )a b αα==,且b a//,则锐角α为__▲____．5．函数13xy =的值域为__▲____． 6．已知34sin,cos 2525αα==-,则α是第__▲____象限角． 7．已知向量a 和b 满足||1,||3a b ==，|5|a b -=7，则向量a 和b 的夹角为__▲____．8． 已知幂函数()f x 的图象过点(2,4),若函数()=x g ()2f x ax a -++在(,1)-∞-上是减函数,则a 的取值范围__▲____．9．已知点,D E 分别是ABC ∆的边,BC CA 上的点,且11,34BD BC CE CA ==,若记,AB a CA b ==,则用,a b 表示DE 为__▲____．10． 已知函数()2x f x x =+，2()log g x x x =+，3()h x x x =+的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 由小到大的顺序是__▲____．11．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>,若()y f x =的图像与直线2y =-的两个相邻交点的距离等于π,则()f x 在[0,]π上的单调递减区间为__▲____．12． 设()f x 为定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,22()log (1)2f x x ax b =+++,(1)1f =-,则f =__▲____．13．非零向量,a b 满足||||a b b +=,(1)若,a b 共线,则2a b =-;(2) 若,a b 不共线,则以||,|2|,2||a a b b +为边长的三角形是直角三角形;(3)2|||2|b a b >+;(4) 2|||2|b a b <+．其中正确的命题序号是__▲____．14．已知函数2()df x ax bx c=++),,,(R d c b a ∈，其图象如图所示，则:::a b c d =__▲____．二 ．解答题：本大题共6小题,共80分,15．(本小题共14分)已知02πα<<,sin 5α=．（1）求22sin sin 23cos cos2αααα++的值；（2）求5tan()4πα+的值．16．(本小题共14分)如图，在OAB ∆中，已知P 为线段AB 上的一点，且||||nAP PB m=． （1） 试用,OA OB 表示.OP（2） 若||3,||2OA OB ==，且60AOB ∠=，求17（本小题满分15分）已知函数2()sin 2sin 2cos cos()sin()(0)2f x x x πϕπϕϕϕπ=---+<<在6x π=时取得最大值． (1)求ϕ的值；(2)将函数()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若12()13g α=，求sin α的值．18．(本小题满分15分) 已知某块钻石的价值y （单位：万元）与其重量ω（单位：克）的平方成正比，且4克该种钻石的价值为48万元．⑴写出y （单位：万元）关于ω（单位：克）的函数关系式； ⑵若把一块该种钻石切割成甲、乙两块钻石，设100%x ⨯=甲的重量原钻石的重量①当14x =时，求价值损失的百分率； ②当x 为多少时，价值损失的百分率最大? （注：价值损失的百分率100%-=⨯原有价值现有价值原有价值；在切割过程中的重量损耗忽略不计）19． (本小题满分16分) 已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立．（1）函数()1f x x=是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数()2(lg )(1)f x a x M =+∈，求a 的取值范围．本小题满分16分)函数21,,()442,,x x ax ax x a f x x a -⎧-+≥=⎨-<⎩（1） 在x a <时，()1f x <恒成立，求a 的取值范围；（2） 若4a >-，求函数()f x 的最小值．。

2015-2016学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．已知集合A={0，a}，B={3a，1}，若A∩B={1}，则A∪B=．2．sin（﹣300°）=．3．已知幂函数y=kx a的图象过点（2，），则k﹣2a的值是．4．lg+2lg2﹣（）﹣1=．5．要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可将函数y=sin2x的图象向右平移个单位．6．已知角α的终边在直线y=2x上，则tan（α+）的值是．7．已知定义在实数集R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=，则f[f（log32）]的值为．8．已知cos（α+）=，则sin（2α﹣）=．9．在△ABC中，若•=•，|+|=|﹣|，则角B的大小是．10．如图，定义在[﹣1，2]上的函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≤log2（x+1）的解集是．11．已知函数f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）与g（x）=cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象对称轴完全相同，则g（）的值为．12．已知向量=（sinx+cosx，1），=（1，sinxcosx），当x∈[0，]时，•的取值范围为．13．设函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值范围为．14．设函数f（x）=x2﹣2ax+3﹣2a的两个零点x1，x2，且在区间（x1，x2）上恰有两个正整数，则实数a的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知坐标平面内=（2，3），=（2，0），=（3，6），是直线OM上一个动点．（1）当∥时，求的坐标；（2）当•取得最小值时，求向量，夹角的余弦值．16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示：（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（α+）=，且＜α＜π，求的值．17．菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=，点E，F分别在边BC，CD上，且=λ，=（1﹣λ）．（1）求•的值；（2）求•的取值范围．18．如图，某公司有一块边长为1百米的正方形空地ABCD，现要在正方形空地中规划一个三角形区域PAQ种植花草，其中P，Q分别为边BC，CD上的动点，∠PAQ=，其它区域安装健身器材，设∠BAP为θ弧度．（1）求△PAQ面积S关于θ的函数解析式S（θ）；（2）求面积S的最小值．19．设函数f（x）=log4（4x+1）+ax（a∈R）．（1）若f（x）是定义在R上的偶函数，求a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+f（﹣x）≤2log4m对任意的x∈[0，2]恒成立，求正实数m的取值范围．20．定义函数g（x）=，f（x）=x2﹣2x（x﹣a）•g（x﹣a）．（1）若f（2）=0，求实数a的值；（2）解关于实数a的不等式f（1）≤f（0）；（3）函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围．2015-2016学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．已知集合A={0，a}，B={3a，1}，若A∩B={1}，则A∪B={0，1，3}．【考点】并集及其运算；交集及其运算．【专题】集合思想；分析法；集合．【分析】由A∩B={1}，可得1∈A，进而可得a=1，3a=3，求出集合A，B后，根据集合并集运算规则可得答案．【解答】解：集合A={0，a}，B={3a，1}，又∵A∩B={1}，∴a=1，3a=3，故A={0，1}，B={1，3}．∴A∪B={0，1，3}故答案为：{0，1，3}．【点评】本题以集合交集及并集运算为载体考查了集合关系中的参数取值问题，解答是要注意集合元素的互异性，是基础题．2．sin（﹣300°）=．【考点】诱导公式的作用．【分析】由sin（α+2π）=sinα及特殊角三角函数值解之．【解答】解：sin（﹣300°）=sin（360°﹣300°）=sin60°=，故答案为．【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．3．已知幂函数y=kx a的图象过点（2，），则k﹣2a的值是0．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据幂函数的定义先求出k，然后利用点的坐标与函数之间的关系求a即可．【解答】解：∵幂函数y=kx a的图象过点（2，），∴k=1且2a=，∴a=，则k﹣2a=1﹣2×=1﹣1=0，故答案为：0．【点评】本题主要考查幂函数的定义和解析式的求解，比较基础．4．lg+2lg2﹣（）﹣1=﹣1．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用对数的运算法则以及负指数幂的运算化简各项，利用lg2+lg5=1化简求值．【解答】解：原式=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=lg10﹣2=1﹣2=﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查了对数的运算以及负指数幂的运算；用到了lg2+lg5=1．5．要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可将函数y=sin2x的图象向右平移个单位．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据把函数y=sin2x的图象向右平移个单位，可得函数y=sin2（x﹣）的图象，从而得出结论．【解答】解：由于函数y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），故把函数y=sin2x的图象向右平移个单位，可得函数y=sin（2x﹣）的图象，故答案为．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．6．已知角α的终边在直线y=2x上，则tan（α+）的值是﹣3．【考点】任意角的三角函数的定义；两角和与差的正切函数．【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值．【分析】角α的终边在直线y=2x上，可得tanα=2．再利用和差公式即可得出．【解答】解：∵角α的终边在直线y=2x上，∴tanα=2．则tan（α+）===﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查了直线倾斜角与斜率的关系、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知定义在实数集R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=，则f[f（log32）]的值为．【考点】对数的运算性质；函数奇偶性的性质．【专题】计算题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据对数的运算性质，结合函数奇偶性的性质进行转化求解即可．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=，∴f（log32）===﹣1，∵f（x）是奇函数，∴f[f（log32）]=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣=﹣（﹣）=，故答案为：【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数的奇偶性的性质进行转化求解即可．8．已知cos（α+）=，则sin（2α﹣）=．【考点】二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式化简已知可得sin（α﹣）=﹣，由诱导公式及倍角公式化简所求可得sin（2α﹣）=1﹣2sin2（），从而即可计算得解．【解答】解：∵cos（α+）=sin[﹣（α+）]=sin（﹣α）=，可得：sin（α﹣）=﹣，∴sin（2α﹣）=cos[﹣（2α﹣）]=cos[2（）]=1﹣2sin2（）=1﹣2×=．故答案为：．【点评】该题主要考查诱导公式和余弦的二倍角公式，还要求学生能够感受到cos（﹣α）与sin（+α）中的角之间的余角关系，属于中档题．9．在△ABC中，若•=•，|+|=|﹣|，则角B的大小是45°．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用．【分析】由|+|=|﹣|可知=0，建立平面直角坐标系，设出各点坐标，利用数量积相等列出方程得出直角边的关系，得出∠B的大小．【解答】解：∵|+|=|﹣|，∴=0，∴．以AC，AB为坐标轴建立平面直角坐标系，设C（a，0），B（0，b），A（0，0）．则=（0，b），=（a，﹣b），=（﹣a，0）．∵•=•，∴﹣b2=﹣a2，∴a=b，∴△ABC是到腰直角三角形，∴B=45°．故答案为：45°．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系进行坐标运算是解题关键．10．如图，定义在[﹣1，2]上的函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≤log2（x+1）的解集是[1，2]．【考点】函数的图象．【专题】计算题；应用题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集．【解答】解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图满足不等式f（x）≤log2（x+1）的x范围是1≤x≤2；所以不等式f（x）≤log2（x+1）的解集是[1，2]；故答案为：[1，2]．【点评】本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移．11．已知函数f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）与g（x）=cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象对称轴完全相同，则g（）的值为．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】分别求得2个函数的图象的对称轴，根据题意可得ω=2，=﹣，由此求得φ的值，可得g（x）的解析式，从而求得g（）的值．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的对称轴方程为ωx﹣=kπ+，即x=+，k∈z．g（x）=cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的对称轴为2x+φ=kπ，即x=﹣，k∈z．∵函数f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）和g（x）=cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的对称轴完全相同，∴ω=2，再由0＜φ＜π，可得=﹣，∴φ=，∴g（x）=cos（2x+φ）=cos（2x+），g（）=cos=．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角函数的对称轴方程的求法，注意两个函数的对称轴方程相同的应用，找出一个对称轴方程就满足题意，考查计算能力，属于中档题．12．已知向量=（sinx+cosx，1），=（1，sinxcosx），当x∈[0，]时，•的取值范围为[1，]．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【专题】函数思想；换元法；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】•=sinx+cosx+sinxcosx，令sinx+cosx=sin（x+）=t，则sinxcosx=，根据x 的范围求出t的范围，于是•=t+=（t+1）2﹣1，利用二次函数的单调性求出最值．【解答】解：•=sinx+cosx+sinxcosx，令sinx+cosx=sin（x+）=t，则sinxcosx=，∵x∈[0，]，∴x∈[，]，∴t∈[1，]，∴•=sinx+cosx+sinxcosx=t+=（t+1）2﹣1，∴当t=1时，•取得最小值1，当t=时，•取得最大值．故答案为[1，]．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，换元法，二次函数的最值，是中档题．13．设函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值范围为[0，1]．【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的表达式，分别求出每一段上函数的取值范围进行求解即可．【解答】解：当x≥2时，f（x）=x+a2≥2+a2，当x＜2时，f（x）=﹣x2+2x+a+1=﹣（x﹣1）2+a+2≤a+2，∵f（x）=的值域为R，∴2+a2≤a+2，即a2﹣a≤0，解得0≤a≤1，故答案为：[0，1]【点评】本题主要考查分段函数的应用，根据函数值域的关系建立不等式关系是解决本题的关键．14．设函数f（x）=x2﹣2ax+3﹣2a的两个零点x1，x2，且在区间（x1，x2）上恰有两个正整数，则实数a的取值范围为{a|a＜﹣，或a＞}．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；函数零点的判定定理．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由条件根据△=4（a2+2a﹣3）＞0，再根据x2 ﹣x1 =2∈（2，3），求得a的范围．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2ax+3﹣2a的两个零点x1，x2，且在区间（x1，x2）上恰有两个正整数，∴△=4（a2+2a﹣3）＞0，即a＜﹣3 或a＞1．再根据x2 ﹣x1 =2∈（2，3），求得a＜﹣，或a＞，综上可得，a的范围是：{a|a＜﹣，或a＞}．【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，函数零点的定义，属于基础题．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知坐标平面内=（2，3），=（2，0），=（3，6），是直线OM上一个动点．（1）当∥时，求的坐标；（2）当•取得最小值时，求向量，夹角的余弦值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；平面向量及应用．【分析】利用平面向量的平行的坐标表示以及数量积公式解答即可．【解答】解：设P（t，2t）．（1），∵∥，∴（3﹣2t）﹣6（2﹣t）=0，∴，∴．（2）=5t2﹣10t+4，当t=1时，取最小值﹣1，此时．【点评】本题考查了平面向量的数量积公式以及向量平行的性质；属于基础题．16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示：（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（α+）=，且＜α＜π，求的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值．【专题】分类讨论；函数思想；数形结合法；三角函数的求值．【分析】（1）由题意和图象可知A值和周期T，进而可的ω，代入点可得φ值，可得解析式；（2）由已知和同角三角函数基本关系可得，化简可得原式=，分别代入计算可得．【解答】解：（1）由题意和图象可知A=2，T=2[﹣（﹣）]=2π，∴ω===1，∴f（x）=2sin（x+φ），∵图象过点，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）∵，∴，∴由同角三角函数基本关系可得，∵=，∴当时，原式=，当时，原式=【点评】本题考查三角函数图象和解析式，涉及三角函数式的化简运算和分类讨论思想，属中档题．17．菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=，点E，F分别在边BC，CD上，且=λ，=（1﹣λ）．（1）求•的值；（2）求•的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用；平面向量及应用．【分析】（1）利用平面向量的三角形法则以及数量积公式展开计算；（2）将•用λ的二次函数解析式表示，然后求最值．【解答】解：（1）…=1+=1+=．…（2）∵，∴，，…∴…=，λ∈[0，1]，…∴．…【点评】本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积公式；属于基础题．18．如图，某公司有一块边长为1百米的正方形空地ABCD，现要在正方形空地中规划一个三角形区域PAQ种植花草，其中P，Q分别为边BC，CD上的动点，∠PAQ=，其它区域安装健身器材，设∠BAP为θ弧度．（1）求△PAQ面积S关于θ的函数解析式S（θ）；（2）求面积S的最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】方法一：（1）通过锐角三角函数的定义及过点P作AQ的垂线且垂足为E可知，进而利用面积公式计算即得结论；（2）利用辅助角公式化简可知，进而利用三角函数的有界性即得结论；方法二：（1）利用θ分别表示出DQ、QC的值，利用利用面积公式化简即得结论；（2）通过对变形可知，进而利用基本不等式计算即得结论．【解答】方法一解：（1）∵∠BAP=θ，正方形边长为1（百米），∴，，…过点P作AQ的垂线，垂足为E，则，…∴=，其中…（少定义域扣2分）．（2）∵，∴，…∴当时，即时，取得最小值为．…答：当时，面积S的最小值为．…方法二解：（1）∵∠BAP=θ，∴，，…∴…=，…（2）∵，∴…当时，即取得最小值，…答：当时，面积S的最小值为．…【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查面积计算、三角函数等相关基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．19．设函数f（x）=log4（4x+1）+ax（a∈R）．（1）若f（x）是定义在R上的偶函数，求a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+f（﹣x）≤2log4m对任意的x∈[0，2]恒成立，求正实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想；换元法；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（x）=f（﹣x）恒成立，运用对数的运算性质，化简进而可得a值；（2）若不等式f（x）+f（﹣x）≤2log4m对任意x∈[0，2]恒成立，化简即有4x+1≤m2x对任意的x∈[0，2]恒成立，令，则t∈[1，4]，可得t2﹣mt+1≤0在[1，4]恒成立，由二次函数的性质，进而可得实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）对任意x∈R恒成立，∴，∴，∴；（2）∵f（x）+f（﹣x）≤2log4m，∴，∴对任意的x∈[0，2]恒成立，即4x+1≤m2x对任意的x∈[0，2]恒成立，令，则t∈[1，4]，∴t2﹣mt+1≤0在[1，4]恒成立，∴，∴．【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，恒成立问题，注意运用定义法和换元法，同时考查指数函数和对数函数的性质及运用，难度中档．20．定义函数g（x）=，f（x）=x2﹣2x（x﹣a）•g（x﹣a）．（1）若f（2）=0，求实数a的值；（2）解关于实数a的不等式f（1）≤f（0）；（3）函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围．【考点】分段函数的应用；函数单调性的性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用分段函数，分类讨论，求出实数a的值；（2）f（1）=1﹣2（1﹣a）g（1﹣a），f（0）=0，分类讨论，解关于实数a的不等式f（1）≤f（0）；（3），利用函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣2x（x﹣a）•g（x﹣a），∴f（2）=4﹣4（2﹣a）g（2﹣a），当a≤2时，f（2）=4﹣4（2﹣a）=0，∴a=1，…当a＞2时，f（2）=4+4（2﹣a）=0，∴a=3．…（2）∵f（x）=x2﹣2x（x﹣a）•g（x﹣a），∴f（1）=1﹣2（1﹣a）g（1﹣a），f（0）=0，当a≤1时，∴f（1）=2a﹣1≤0，∴，…当a＞1时，∴f（1）=﹣2a+3≤0，∴，…∴或．…（3）∵f（x）=x2﹣2x（x﹣a）•g（x﹣a），∴，当a＞0时，，∴2≤a≤3，…当a=0时，不合题意，…当a＜0时，f（x）在[1，2]上单调递减，不合题意，…∴2≤a≤3．…【点评】本题考查分段函数，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

2016-2017学年江苏省南通市启东市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）求值：sin1440°=．2．（5分）计算10lg3+log525=．3．（5分）设向量=（k，2），=（1，﹣1），且∥，则实数k的值为．4．（5分）满足{1}⊊A⊆{1，2，3，4}的集合A的个数为．5．（5分）设函数f（x）=，则f（f（2））=．6．（5分）已知α∈（0，π），sinα+cosα=﹣，则t anα=．7．（5分）若函数f（x）=3x+b的图象不经过第二象限，则b的取值范围为．8．（5分）已知sinθ=，θ∈（0，），则sin（2θ﹣）=．9．（5分）平面向量⊥，||=2，则•=．10．（5分）已知函数y=f（x），x∈R，对于任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f （y），若f（1）=，则f（﹣2016）=．11．（5分）若α∈（，2π），化简+=．12．（5分）函数f（x）=log2（ax2﹣x﹣2a）在区间（﹣∞，﹣1）上是单调减函数，则实数a的取值范围是．13．（5分）若，是单位向量，且•=，若向量满足•=•=2，则||=．14．（5分）已知函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1在区间[a，b]（a，b∈R，且a ＜b）上至少含有10个零点，在所有满足条件的[a，b]中，b﹣a的最小值为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）设函数f（x）=+的定义域是A，集合B={x|m≤x≤m+2}．（1）求定义域A；（2）若A∪B=A，求m的取值范围．16．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，P，Q分别是BC和CD的中点．（1）若AB=2，AD=1，∠BAD=60°，求•及cos∠BAC的余弦值；（2）若=λ+，求λ+μ的值．17．（14分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=log（1﹣x）+x．（1）求f（1）的值；（2）求函数y=f（x）的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；（3）若f（lga）+2＜0，求实数a的取值范围．18．（16分）已知a∈R，函数f（x）=x2﹣2ax+5．（1）若a＞1，且函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（2）若不等式x|f（x）﹣x2|≤1对x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围．19．（16分）如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ种植草坪，两个三角形地块PAB与QAD种植花卉，一个三角形地块CPQ设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC上，点Q在边CD上，记∠PAB=a．（1）当∠PAQ=时，求花卉种植面积S关于a的函数表达式，并求S的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB+DQ=PQ，请探究∠PAQ是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x﹣．（1）求f（x）的最小正周期及其对称轴方程；（2）设函数g（x）=f（+），其中常数ω＞0，|φ|＜．（i）当ω=4，φ=时，函数y=g（x）﹣4λf（x）在[，]上的最大值为，求λ的值；（ii）若函数g（x）的一个单调减区间内有一个零点﹣，且其图象过点A（，1），记函数g（x）的最小正周期为T，试求T取最大值时函数g（x）的解析式．2016-2017学年江苏省南通市启东市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）求值：sin1440°=0．【解答】解：sin1440°=sin（4×360°）=sin0°=0．故答案为：0．2．（5分）计算10lg3+log525=5．【解答】解：原式=3+2=5．故答案为：5．3．（5分）设向量=（k，2），=（1，﹣1），且∥，则实数k的值为﹣2．【解答】解：∵∥，∴﹣k﹣2=0，解得k=﹣2．故答案为：﹣2．4．（5分）满足{1}⊊A⊆{1，2，3，4}的集合A的个数为7．【解答】解：若{1}⊊A⊆{1，2，3，4}，则A={1，2}或{1，3}或{1，4}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，3，4}或{1，2，3，4}显然这样的集合A有7个，故答案为：7．5．（5分）设函数f（x）=，则f（f（2））=3．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（2）=﹣22+2=﹣2，f（f（2））=f（﹣2）=（）﹣2﹣1=3．故答案为：3．6．（5分）已知α∈（0，π），sinα+cosα=﹣，则tanα=﹣．【解答】解：∵α∈（0，π），sinα+cosα=﹣，∴α为钝角，结合sin2α+cos2α=1，可得sinα=，cosα=﹣，则tanα==﹣，故答案为：﹣．7．（5分）若函数f（x）=3x+b的图象不经过第二象限，则b的取值范围为（﹣∞，﹣1] ．【解答】解：由函数y=3x+b的图象不经过第二象限，可得1+b≤0，求得b≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]．8．（5分）已知sinθ=，θ∈（0，），则sin（2θ﹣）=．【解答】解：∵sinθ=，θ∈（0，），∴cosθ=，∴sin（2θ﹣）=====．故答案为：．9．（5分）平面向量⊥，||=2，则•=4．【解答】解：∵⊥，且||=2，∴=0，则．故答案为：4．10．（5分）已知函数y=f（x），x∈R，对于任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f （y），若f（1）=，则f（﹣2016）=﹣1008．【解答】解：∵函数y=f（x），x∈R，对于任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f （y），∴令x=0，y=0 得f（0）=f（0）+f（0）即f（0）=0，令y=﹣x 代入得f（0）=f（x）+f（﹣x）=0 所以原函数是奇函数，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（2）=2f（1），f（3）=f（2）+f（1）=3f（1），∴f（n）=nf（1），∵f（1）=，∴f（﹣2016）=﹣f（2016）=﹣2016×f（1）=﹣2016×=﹣1008．故答案为：﹣1008．11．（5分）若α∈（，2π），化简+=．【解答】解：∵α∈（，2π），∴∈（），∴+==．故答案为：．12．（5分）函数f（x）=log2（ax2﹣x﹣2a）在区间（﹣∞，﹣1）上是单调减函数，则实数a的取值范围是[0，1）．【解答】解：令g（x）=ax2﹣x﹣2a，a=0时，g（x）=﹣x，在（﹣∞，﹣1）递减，故f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，符合题意，a≠0时，则a＞0，g（x）的对称轴x=＞0，故g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，只需g（﹣1）=a+1﹣2a＞0即a＜1即可，综上：0≤a＜1，故答案为：[0，1）．13．（5分）若，是单位向量，且•=，若向量满足•=•=2，则||=．【解答】解：∵，是单位向量，且•=，不妨设=（1，0），=．设=（x，y）．∵•=•=2，∴x=2，y=2，解得y=．∴=（2，）．则||==．故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1在区间[a，b]（a，b∈R，且a ＜b）上至少含有10个零点，在所有满足条件的[a，b]中，b﹣a的最小值为．【解答】解：函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，令f（x）=0，即2sin（2x﹣）﹣1，sin（2x﹣）=，解得：x=或x=，（k∈Z）．故相邻的零点之间的间隔依次为，．y=f（x）在[a，b]上至少含有10个零点，等价于b﹣a的最小值为4×+5×=．故答案为：．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）设函数f（x）=+的定义域是A，集合B={x|m≤x≤m+2}．（1）求定义域A；（2）若A∪B=A，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=+的定义域是A，∴定义域A={x|}={x|1≤x≤4}．（2）∵A={x|1≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+2}，A∪B=A，∴B⊆A，当B=∅时，m＞m+2，无解；当B≠∅时，，解得1≤m≤2．∴m的取值范围是[1，2]．16．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，P，Q分别是BC和CD的中点．（1）若AB=2，AD=1，∠BAD=60°，求•及cos∠BAC的余弦值；（2）若=λ+，求λ+μ的值．【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，∴•=•（+）=2+•=22+2×1×cos60°=5，||2=2=（+）2=2+2•+2=22+2×2×1×cos60°+1=7，∴||=，cos∠BAC===；（2）∵P，Q分别是BC和CD的中点．∴=+，=﹣，∵=λ+，∴+=λ（+）+μ（﹣），∴，解得：，∴λ+μ=17．（14分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=log（1﹣x）+x．（1）求f（1）的值；（2）求函数y=f（x）的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；（3）若f（lga）+2＜0，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（1）=f（﹣1）=﹣2；（2）令x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=（1+x）﹣x=f（x），故x＞0时，f（x）=（1+x）﹣x，故f（x）=；故f（x）在（﹣∞，0]递增，在（0，+∞）递减；（3）若f（lga）+2＜0，即f（lga）＜﹣2，lga＞0时，f（lga）＜f（1），则lga＞1，lga＜0时，f（lga）＜f（﹣1），则lga＜﹣1，故lga＞1或lga＜﹣1，解得：a＞10或0＜a＜．18．（16分）已知a∈R，函数f（x）=x2﹣2ax+5．（1）若a＞1，且函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（2）若不等式x|f（x）﹣x2|≤1对x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）的图象开口向上，对称轴为x=a＞1，∴f（x）在[1，a]上单调递减，∴f（1）=a，即6﹣2a=a，解得a=2．（2）不等式x|f（x）﹣x2|≤1对x∈[，]恒成立，即x|2ax﹣5|≤1对x∈[，]恒成立，故a≥且a≤在x∈[，]恒成立，令g（x）=，x∈[，]，则g′（x）=﹣，令g′（x）＞0，解得：≤x＜，令g′（x）＜0，解得：＜x≤，故g（x）在[，）递增，在（，]递减，故g（x）max=g（）=，令h（x）=，x∈[，]，h′（x）=＜0，故h（x）在x∈[，]递减，h（x）min=h（）=7，综上：≤a≤7．19．（16分）如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ种植草坪，两个三角形地块PAB与QAD种植花卉，一个三角形地块CPQ设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC上，点Q在边CD上，记∠PAB=a．（1）当∠PAQ=时，求花卉种植面积S关于a的函数表达式，并求S的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB+DQ=PQ，请探究∠PAQ是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵边长为1百米的正方形ABCD中，∠PAB=a，∠PAQ=，∴PB=100tanα，DQ=100tan（﹣α﹣）=100tan（﹣α），∴S花卉种植面积=S△ABP+S△ADQ==100×100tanα+100tan（﹣α）==，其中α∈[0，]，∴当sin（2α+）=1时，即θ=时，S取得最小值为5000（2﹣）．…（8分）（2）设∠PAB=α，∠QAD=β，CP=x，CQ=y，则BP=100﹣x，DQ=100﹣y，在△ABP中，tanα=，在△ADQ中，tanβ=，∴tan（α+β）==，∵PB+DQ=PQ，∴100﹣x+100﹣y=，整理可得：x+y=100+，∴tan（α+β）===1，∴α+β=，∴∠PAQ是定值，且∠PAQ=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（16分）已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x﹣．（1）求f（x）的最小正周期及其对称轴方程；（2）设函数g（x）=f（+），其中常数ω＞0，|φ|＜．（i）当ω=4，φ=时，函数y=g（x）﹣4λf（x）在[，]上的最大值为，求λ的值；（ii）若函数g（x）的一个单调减区间内有一个零点﹣，且其图象过点A（，1），记函数g（x）的最小正周期为T，试求T取最大值时函数g（x）的解析式．【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosx+sin2x﹣．化简可得：f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）f（x）的最小正周期T=，由2x﹣=，（k∈Z），可得对称轴方程为：x=，（k∈Z）．（2）由函数g（x）=f（+）=sin（ωx+φ），（i）当ω=4，φ=时，函数y=g（x）﹣4λf（x）=sin（4x+）﹣4λsin（2x﹣）=cos（4x﹣）﹣4λsin（2x﹣）=1﹣2sin2（2x﹣）﹣4λsin（2x﹣）=﹣2[sin（2x﹣）+λ]2+1+2λ2．∵x∈[，]上，则2x﹣∈[0，]．故sin（2x﹣）∈[0，1]．当λ∈[﹣1，0]时，则有1+2λ2=，解得：λ=；当λ∈（0，+∞）时，sin（2x﹣）=0时，y取得最大值，此时﹣2[sin（2x﹣）+λ]2+1+2λ2=1，与题意不符．当λ∈（﹣∞，﹣1）时，sin（2x﹣）=1时，y取得最大值，此时﹣2[1+λ]2+1+2λ2=﹣1﹣4λ=，解得：λ=﹣，不在其范围内，故舍去．故得满足题意的λ的值为．（ii）函数g（x）=sin（ωx+φ），若函数的周期最大为T，单调减区间内有一个零点﹣，且其图象过点A（，1），则有==3π，解得：T=4π，∴ω==．点（，1）在图象上，可得：+φ=2kπ．∵|φ|＜．∴φ=﹣不符合题意．舍去．当==3π，解得：T=．∴ω=．点（，0）在图象上，+φ=﹣π+2kπ．∵|φ|＜．∴φ=，∴g（x）的解析式为：g（x）=sin（x﹣）点（，1）在图象上，验证：sin（）=sin=1符合题意．故得g（x）的解析式为：g（x）=sin（x﹣）．。