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《2.3.2双曲线方程及性质的应用(2)》教学课件

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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
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知识点二 双曲线顶点
思索
(1)双曲线顶点就是双曲线与坐标轴交点，你认为对吗？为何？
答案
不对，双曲线顶点是双曲线与其对称轴交点，只有在标准形式 下，坐标轴才是双曲线对称轴，此时双曲线与坐标轴交点是双 曲线顶点.
8/66
思索
(2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线顶点和焦点能在虚轴上吗？
答案
是，只有两个顶点.双曲线顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在 实轴上.
第二章 §2.3 双曲线
2.3.2 双曲线简单几何性质
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学习目标
1.了解双曲线简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚 轴长等). 2.了解离心率定义、取值范围和渐近线方程. 3.掌握标准方程中a，b，c，e 间关系. 4.能用双曲线简单几何性质处理一些简单问题.
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内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
跟踪训练 4 若双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则双
曲线的离心率 e 为 答案 解析
A. 2
B.2
C. 3
D. 5
依据等轴双曲线性质，得e＝ .2
37/66
类型四 直线与双曲线位置关系 命题角度1 直线与双曲线位置关系判定与交点问题 例5 已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4. (1)若直线与双曲线没有公共点，求k取值范围； 解答
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跟踪训练 3 与双曲线x92－1y62 ＝1 有共同渐近线，且过点(－3，2 3)的双
y42－x92＝1 曲线的共轭双曲线的方程为_____4____. 答案 解析
设所求双曲线的方程为x92－1y62 ＝λ(λ≠0).
将点(－3，2 3)的坐标代入，得 λ＝14， 所以双曲线的方程为x92－1y62 ＝14，即x92－y42＝1.

高中数学 2-3-2-2 双曲线几何性质的应用课件 新人教A版选修2-1

高中数学 2-3-2-2 双曲线几何性质的应用课件 新人教A版选修2-1

A．4
B．3
C．2
D．1
解析：过P与渐近线平行的直线与双曲线只有一个 公共点，另外x＝1与双曲线只有一个公共点，∴l的条 数是3.
答案：B
3．直线 3x－y＋ 3＝0 被双曲线 x2－y2＝1 截 得的弦 AB 的长为________．
解析：应用弦长公式． 答案：2
4．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点 为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________．
(1)当 b2－a2k2＝0，即 k＝±ba时，直线 l 与双曲线 的渐近线平行，直线与双曲线 C 相交于一点．
(2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±ba时， Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与 双曲线相交；
Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线 与双曲线相切；
解析：顺次连接虚轴的一个端点、一个焦点和原点，
可构成一个直角三角形．
由条件知，这个三角形的两条直角边分别是 b，c(b
是虚半轴长，c 是半焦距)，且有一个内角是 30°，即得 tan30°
＝b或 c
tan30°＝bc，所以
b＝
3c 或 c＝
3b.所以 a2＝－2c2(舍
去)或 a2＝23c2.
所以 e＝ca＝ 26.
迁移体验2 已知双曲线3x2－y2＝3，过P(2,1)点作 一直线交双曲线于A、B两点．若P为AB的中点，
Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双 曲线相离．
思考感悟 直线和双曲线只有一个公共点，直线一定和双 曲线相切吗？ 提示：不一定．当直线与双曲线的渐近线平行 时，直线与双曲线相交，只有一个交点．

2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.3.2双曲线方程及性质的应用(2)》课件

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2 y2 x 1 ， 由 消去y并整理得x2+4x-6=0, 2 y x 2
因为Δ>0,所以直线与双曲线有两个交点，
设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1·x2=-6，
故|DE|=
x1 x 2 y1 y 2
2 2
2


2 x (2)①双曲线C1： y 2 1，左顶点 A( 2 ，， 0) 渐近线方程： 1 2 2 y 2x.
过点A与渐近线 y 2x 平行的直线方程为
2 ), 即 y 2x 1. 2 2 x ， y 2x ， 4 解方程组 得 y 1， y 2x 1 2 所求三角形的面积为 S 1 OA y 2 . 2 8 y 2(x
3 3 3
共点，经验证②④表示的直线与双曲线有交点 . 答案：②④
2 3 c2 4 (2)①由 e 可得 2 ，所以a2=3b2,故双曲线方程可化为 3 a 3 2 2 x y 2=1. 将点 代入双曲线 C 的方程，可解得 b 1 ， P( 6 ， 1) 3b 2 b 2 2 x 所以双曲线C的方程为 y 2 1. 3
6 3m2 6 由根与系数的关系得 x1 x 2 m, x1x 2 5 10
①
又|AB|= x1 x 2 2 y1 y 2 2 =
1 4 x1 x 2
2
4.
所以5［(x1+x2)2-4x1x2］=16 将①式代入②，解得 m 210 .
y1 y 2 标为 ( x1 x 2 ， ). 2 2
2.|AB|=
x1 x 2

高中数学《2.3.2双曲线的简单几何性质》公开课优秀课件(经典、完美、值得收藏)

高中数学《2.3.2双曲线的简单几何性质》公开课优秀课件(经典、完美、值得收藏)

A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
y a x b
例2 对于方程 x2 y2 1 和 x2 y2 （ 0 且 1),
4
4
所表示的双曲线有如下结论：
（1）有相同的顶点 （2）有相同的焦点
（3）有相同的离心率 （4）有相同的渐近线
其中正确的是 A. （1）（4）
B. （2）（4）
y2 52 a2
1,然后由 5 a
5 4
求得a 4,b2 25 16 9,可得 x2 y2 1. 16 9
注：与 x2 a2
y2 b2
1共焦点的椭圆系方程是
x2 m2
y2 m2 c2
1,
双曲线系方程是
x2 m2
c2
y2 m2
1
(4). 求与椭圆 x2 y2 1 有共同焦点，渐近线方程为
1a
0,b
0
顶点分别是什么？
其范围、对称性、
y
|y|≥a，x∈R
F2
关于x轴、y轴、原点对称.
o
x 顶点（0，±a）
F1
4.双曲线的渐近线 ▲规定：直线 y
b a
x叫做双曲线
x2 a2
y2 b2
=1的渐近线。
▲思考：①双曲线
y2 a2
x2 b2
1的渐近线方程是什么y？
a
x
b
②两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？
16 8
x 3y 0 的双曲线方程。
解： 椭圆的焦点在x轴上，且坐标为
F1(2 2，0)，F（2 2 2，0）
⑵解:设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)

双曲线方程及性质的应用 课件

双曲线方程及性质的应用 课件

则4－k2≠0，Δ＝4k2＋20(4－k2)>0， 所以16k2<80，即|k|< 5，k≠±2， 且x1＋x2＝4－2kk2，x1x2＝－4－5 k2， 所以x＝12(x1＋x2)＝4－k k2， y＝12(y1＋y2)＝k2(x1＋x2)＋1＝4－4 k2. 由xy＝＝44－－4kkk22，消去k，得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1)．
因为a＝ 2，c＝2 2，所以b2＝c2－a2＝6， 即所求轨迹方程为x22－y62＝1(x＞ 2)．
归纳升华 1．求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方 法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几 何关系，得到双曲线的定义，从而得出对应的方程． 2．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲 线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双 曲线的一支还是两支．
点，可以用交轨法求解，也可以用点差法求解．
[规范解答] 法一 由题知直线的斜率存在，设被 点B(1，1)平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代 入双曲线方程x2－y22＝1，(2分)
得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，(4分) 所以Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)＞0， 解得k＜32，且k≠± 2，(6分) x1＋x2＝2k（k2k－－21）.(8分)
a 近线平行，直线与双曲线 C 相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时， Δ＝(2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)， Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与 双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与 双曲线相切； Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双 曲线相离．

2020_2021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质素养课件新人教A版选

2020_2021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质素养课件新人教A版选

【错因分析】虽然已知双曲线的渐近线方程，但是不能确 定双曲线的焦点就一定在 x 轴上，而应讨论焦点在 x 轴和 y 轴 上，对两种情况求解．
【正解】(1)当双曲线焦点在 x 轴上时，ba＝34，
所以 e＝
1＋ba22＝45；
(2)当双曲线焦点在 y 轴上时，ba＝43，
所以 e＝ac＝
1＋ba22＝
(2)当焦点在 x 轴上时，由ba＝32且 a＝3， ∴b＝92. ∴所求双曲线方程为x92－48y12＝1. 当焦点在 y 轴上时，由ba＝23且 a＝3，∴b＝2. ∴所求双曲线方程为y92－x42＝1.
(3)设与双曲线x22－y2＝1 有公共渐近线的双曲线方程为x22 －y2＝k(k≠0)，将点(2，－2)代入得 k＝222－(－2)2＝－2，∴双 曲线的标准方程为y22－x42＝1.
与弦长、中点有关的问题，常联立直线与曲线的方程，利 用根与系数的关系求解．在解题时，要注意灵活转化．
3．直线 l 在双曲线x32－y22＝1 上截得的弦长为 4，其斜率为 2，求直线 l 在 y 轴上的截距 m.
【解析】直线 l 的方程为 y＝2x＋m， y＝2x＋m，
由x32－y22＝1， 得 10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.设直线 l 与 双曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由根与系数的关系，得 x1＋x2＝－56m，
A．x2－y2＝8
B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8
D．y2－x2＝4
【答案】A
【解析】在直线 3x－4y＋12＝0 中，令 y＝0，得 x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)．∴c＝4，a2＝b2＝12c2
＝12×16＝8.故选 A．

高中数学人教A版选修2-1第二章2.3.2双曲线的简单几何性质课件


（的1）各支的 双向渐 曲外近 线延线ax22为 伸y时by22 ， b1与(xa 直a02线, b
b
2
0)
y
b a
x
a
逐渐接近，我们把这两条直线
（2）等轴双曲线x2 y2 m
叫做双(m曲线0的)的渐渐近近线线 。 为
y
b B2
A1
o
y x
双曲线与渐近线无限接近，但永不相交。 B1
（3）利用渐近线可以较准确的 画出双曲线的草图
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y
Y的范 围呢？
-a a
F1 O
F2 x
2、对称性
视察双曲线你能看出它具有怎样的 对称性吗？
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
(-x,y)
y （x,y）)
关于x轴、y轴和原点都是对称.
x轴、y轴是双曲线的对称轴，
(-x,-y)
原点是对称中心,又叫做双曲线的中心.
o
x
(x,-y)
3、顶点
视察双曲线你能发现哪些点比较特殊？
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
y
顶点是 A1(a, 0)、A2(a, 0)
b B2
A1 -a o a A2
x
-b B1
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。
4、渐近线
可以看出，双曲线 x2 y2 1
y
1.范围： y≥a或y≤-a
A2
2.对称性： 关于坐标轴和原点对称
3.顶点： A1(0，-a),A2(0,a)
A1A2为实轴，B1B2为虚轴
4.渐近线方程： y a x

2.3.2双曲线的几何性质2

F1
B2
O
A1
B1
A2
F2
x
线围成一个矩形 图2.2 7 .
图2 . 2 7 b 直线的方程是 y x. a 2 2 x y 双曲线 2 2 1的各支向处延伸时 , 与这两 a b 条直线逐渐接近, 我们把这两条直线叫做
双曲线的渐近线 .
也就是说, 双曲线与它的 渐近线无限接近 但永远不相交 , .
作业:P41 习题 7、10
§ . 3. 2 双曲线的几何性质(2) 2
学习目标:
了解双曲线的渐近线和离心率
自学指导:
1.双曲线的渐近线是什么样的线?有几条? 2.如何画双曲线的草图? 3.双曲线的离心率与椭圆的有什么不同? 它 主要描述双曲线的什么特征? 自学检测：P41 练习 3
4 渐近线
信息技术应用
y
如图 , 经过 A1 , A2 作y轴的平 行线 x a, 经过 B1 , B2 作 x 轴的平行线 y b,四条直 矩形的两条对角线 所在的
x a x a b b 或 y x y x a a b b y x y x a a
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
y a y a b b 或 y x y x a a b b y x y x a a
y x 例1:求双曲线 2 2 1的离心率和 . 3 渐近线方程 4
2
2
例题2 :已知双曲线的中心在原 , 焦点在y轴上, 点 4 焦距为 , 离心率为 , 求双曲线的方程 16 . 3
双曲线的两个标准方程的几何性质与特征比较 焦点的位置 标准方程 范围

2.3.2双曲线的简单几何性质(直线与双曲线的位置关系2)

y 2x m - 12 m) 2 4 *10 (3m 2 6) 0 （ 6m x1 x2 5 3( m 2 2) x1 * x2 10
2
①
6m 2 3(m2 2) AB (1 k ) ( x1 x2 ) - 4 x1 x2 （ 2 ） 1 （ ) 4 6 10 5
B
F2 x
变式:
双曲线中的弦长问题
x2 y2 1 截得的弦长 直线l：y=2x+m被双曲线 3 2 为 ,求m。
A 解：设两交点为： ( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 2 2 由 2 x 3 y 6 得 10 x 2 12mx 3(m2 2) 0
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行 或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程, Δ>0 Δ=0 Δ<0 直线与双曲线相交（两个交点） 直线与双曲线相切 直线与双曲线相离
3
x2 y2 1 的右焦点F2,倾斜角为 例6：如图所示，过双曲线 3 6
30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接 用两点间距离公式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设 而不求,运用韦达定理来处理.
法一:设直线AB的方程为
y 3 ( x 3) 3
y
F1
O
B A
F2 x
9 2 3 ( 3, 2 3),( , ) 与双曲线方程联立得A、B的坐标为 5 5
1
1.图象法 :
根据交点个数判定
Y
相交:两个交点 相切:一个交点 相离:0个交点 相交:一个交点

2.3.2双曲线的简单几何性质(二))

12
方程(2)的焦距___;虚轴长__;渐近线方程是
4x y 3 ________________
x2 y2 根据上述双曲线渐近线方程, 你能发现形如 2 2 1 a b 的双曲线渐近线方程是什么?有什么规律?
x y 0 a b
x2 y2 形如 2 2 l 的双曲线渐近线方程是 a b
双曲线的简单几何性质(二)
复习与回顾
方程 图形
o x
x2 y2 2 1(a , b 0) 2 a b
y
x2 y2 2 2 1(a , b 0) b a
y o x
顶点
对称 范围 焦点 离心率 渐近线
(±a , 0 ) ( 0, ±a ) x 轴、y 轴、原点 （ 原点是双曲线的中心 ） |x|≥a |y|≥a (±c , 0 )
( x c )2 y 2 a2 x c
a a2 解:∵点 M ( x, y) 到定直线 : x 的距离 d x , c c
MF ( x c ) y ,
2 2
MF c ∴ , a 2 b2 ,方程②化为
x2 y2 1② 方程①两边平方化简整理得 2 2 2 c a a 2 2
8 3 ，则该双曲线的方程为（ D ） 3 x2 y2 y2 x2 1 (C) x 2 1 (D) y 2 1 (A) y 2 1 (B) x 2 2 4 2 4
a2 直线 : x 是对应于焦点 F (c,0) 的一条准线, c
2
作业:课本 P B 组第 4 题
62
x2 y2 1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲线 1.过双曲线 9 16 4
192 交于 A、B 两点，则|AB|= . 7
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【解题探究】1.题(1)满足条件|PF2|-|PF1|=2a(2a<|F1F2|)的
点P的轨迹是什么?
2.题(2)直线l1与双曲线C有两个公共点应满足什么条件? 【探究提示】1.满足条件|PF2|-|PF1|=2a的点P的轨迹为双曲 线的左支. 2.由直线l1与双曲线C的方程组成的方程组应有两组解.
线对应的序号是___________.
2 2 x y (2)(2014·天津高二检测)已知双曲线C: 2 1 (a>0,b>0) 2 a b 的离心率为 2 3 ，且过点 P 6， 1. 3


①求双曲线C的方程；
②若直线l1: y kx 2 与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，
求k的取值范围.
(
)
【解析】选A.因为双曲线的一个焦点在直线l上,
易知直线l过双曲线左焦点,
所以0=-2c+10,即c=5,
又因为渐近线平行于直线l:y=2x+10, 故有
b =2, a
结合c2=a2+b2,得a2=5,b2=20,
x 2 y2 所以双曲线的标准方程为 － =1. 5 20
【补偿训练】若直线y=kx+1与双曲线x2-y2=4有两个相异公共
差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x-2交于D，E两点，求线
段DE的长.
【解题探究】1.题(1)如何表示线段AB的中点坐标?
2.题(2)若直线l:y=kx+b(k≠0)与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,
y2),你能把弦|AB|的长表示出来吗？
【探究提示】1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点坐
点，求k的取值范围.
【解析】将y=kx+1代入双曲线方程x2-y2=4,化简得：
(1-k2)x2-2kx-5=0.①
要使直线与双曲线有两个相异的公共点，则①有两个不相等的
1 k 2 0， 实根，应满足 得 5 k 5 且k≠〒1. 2 2 0，
5 故k的取值范围是 ( 5 ， 1) 11 ， (1， ). 2 2
第2课时 双曲线方程及性质的应用
【题型示范】 类型一 直线与双曲线的位置关系
【典例1】
2 2 x y (1)双曲线 1 的左、右焦点分别为F1，F2.给定四条直 9 16
线：①5x-3y=0;②x-y-4=0;③5x-3y-52=0;④4x-3y+15=0.如果 上述直线上存在点P，使|PF2|=|PF1|+6，则满足这样条件的直
3 3 3
共点，经验证②④表示的直线与双曲线有交点 . 答案：②④
2 3 c2 4 (2)①由 e 可得 2 ，所以a2=3b2,故双曲线方程可化为 3 a 3 2 2 x y 2=1. 将点 代入双曲线 C 的方程，可解得 b 1 ， P( 6 ， 1) 3b 2 b 2 2 x 所以双曲线C的方程为 y 2 1. 3
【变式训练】(2014·天津高考)已知双曲线
x 2 y2 =1 2 2 a b
(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的 一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为
x 2 y2 A. － 1 5 20 3x 2 3y 2 C. － 1 25 100 x 2 y2 B. － 1 20 5 3x 2 3y 2 D. － 1 100 25
y1 y 2 标为 ( x1 x 2 ， ). 2 2
2.|AB|=
x1 x 2
2
y1 y 2 1 k 2 x1 x 2 .
x 2 y2 【自主解答】(1)由 1，所以a2=9,b2=16,所以c2=25,c=5, 9 16
由双曲线的定义，双曲线上任意一点P满足||PF2|-|PF1||=6< 10. 当直线上存在点P满足|PF2|-|PF1|=6时，说明直线与双曲线的 左支有公共点. 由已知双曲线的渐近线方程为 y 4 x, 对于①③两直线的斜率均为 5 4 , 故①③均与双曲线左支无公
消去y得：1 3k 2 x 2 6 2kx 9 0.
当1-3k2=0,即 k
当 1 3k 2 0, 6 2k 36 1 3k 2 36 36k 2 ,
2

3 时，直线l1与双曲线C只有一个公共点； 3

由Δ=0，即36-36k2=0,所以k=〒1时，直线l1与双曲线C只有一 个公共点. 所以当 k 3 或k=〒1时，直线l1与双曲线C只有一个公共点.
3
【方法技巧】直线与双曲线位置关系的处理方法 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为一 元二次方程，在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式 . (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的交点. (2)Δ=0时，直线与双曲线只有一个公共点 . (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点. 当二次项系数为0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线 与双曲线有一个公共点.
y kx 2， ②联立直线与双曲线方程 2 2 x 3y 3 0 ⇒ 1 3k 2 x 2 6 2k4 1 3k 9 0, 由题意得 2 1 3k 0, 解得-1<k<1且 k 3 , 3
3 3 3 3 所以k的取值范围为 (1， ) ( ， ) ( ， 1). 3 3 3 3
【延伸探究】题(2)中若直线l1与双曲线C有且只有一个公共点， k的取值范围如何？
y kx 2， 【解析】联立直线与双曲线方程 2 2 x 3y 3 0，
类型二
直线与双曲线相交弦问题
【典例2】
x2 (1)(2014·温州高二检测)直线l与双曲线 y 2 1 的同一支 2
相交于A，B两点，线段AB的中点在直线y=2x上，则直线AB的斜
率为__________.
(2)已知点 A( 3， 0) 和点 B

动点C到A，B两点的距离之 3， 0，