河北省衡水中学2016届高三下学期同步月考数学试卷(文科) Word版含解析

衡水中学2016届高三下学期第一次调考数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．已知集合A={}42<<x x ,B=}0)3(1<--x x x ）（｛，则B A =A ．（1,3）B ．（1,4）C ．（2,3）D ．（2,4）2．若复数z 满足i iz =-1，其中i 为虚数单位，则z= A ．1-i B ． 1+i C ．-1-i D ． -1+i3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是A ．82cmB ．122cmC ．3322cmD ．3402cm 4．设a ，b 是实数，则“a+b>0”是“ab>0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．设α、β是两个不同的平面，m l ,是两条不同的直线，，且βα⊂⊂m l ,A ．若β⊥l ，则 α⊥βB ．若α⊥β，则m l ⊥C ．若β//l ，则α//βD ．若α//β，则l ∥m6．若135sin -=α，且α为第四象限角，则αtan 的值等于 A ．512 B ．-512 C ． 125 D ． -125 7．设)2,1(=a ，)1,1(=b ，b k a c +=，若c b ⊥，则实数k 等于A ．-23B ． -35C ． 35D ．23 8．在等差数列{}n a 中，())(231310753a a a a a ++++=48，则等差数列{}n a 的前13项的和为A ．24B ． 39C ．52D ．1049．已知前n 项和为n S 的正项数列{}n a 满足)lg (lg 21lg 21+++=n n n a a a ，且43=a ，32=S ，则 A ．12+=n n a S B ．12+=n n a S C ．12-=n n a S D ．12-=n n a S10．设函数())1ln()1ln(x x x f --+= ，则()x f 是 A ．奇函数，且在（0，1）是增函数 B ．奇函数，且在（0，1）是减函数C ．偶函数，且在（0，1）是增函数D ．偶函数，且在（0，1）是减函数11．函数()x f =d cx bx ax +++23的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．a>0,b<0,c>0,d>0B ．a>0,b<0,c<0,d>0C ．a<0,b<0,c>0,d>0D ．a>0,b>0,c>0,d<012．设抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，直线l 过点M(2,0)且与C 交于A,B 两点，|BF|=23，若|AM|=λ|BM|，则λ=A ．23 B ．2 C ．4 D ．6 第II 卷（非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}|20,|A x x B x x a =-<=<，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．[)2,-+∞ C ．(],2-∞ D ．[)2,+∞ 【答案】D考点：集合的运算.2.如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB，则12z z +=（ ）A ．2B ．3C ． ．【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，122,z i z i =--=，所以1222z z +=-=，故选A. 考点：复数的表示与复数的模.3.已知平面直角坐标系内的两个向量，()()1,2,,32a b m m ==-，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c a b λμ=+（,λμ为实数），则m 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．(),-∞+∞D ．(),2-∞()2,⋃+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c a b λμ=+（,λμ为实数），则,a b一定不共线，所以1232m m ≠-，解得2m ≠，所以m 的取值范围是(),2-∞()2,⋃+∞，故选D.考点：向量的坐标运算. 4.如图所示的是计算111124620++++ 的值的一个框图，其中菱形判断框内填入的条件是（ ）A ．8i >B ．9i >C ．10i >D ．11i >【答案】C考点：循环结构的程序框图的计算.5.将函数()cos f x x x -的图像向左平移m 个单位（0m >），若所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ） A ．23π B ．3π C ．8π D ．56π【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，函数()cos sin()6f x x x x π=-=-，将函数()sin()6f x x π=-的图象向左平移m 个单位（0m >），得()sin()6f x x m π=+-，若使得()sin()6f x x m π=+-为偶数，则2,623m k m k k Z πππππ-=+⇒=+∈,当1k =时，23m π=，故选A.考点：三角函数的图象变换与三角函数的性质. 6.已知等比数列{}n a 中，3462,16a a a ==，则101268a a a a --的值为（ ）A ． 2B ． 4C ． 8D ．16 【答案】B考点：等比数列的通项公式的应用.7.某书法社团有男生30名，女生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生和3名女生①该抽样一定不是系统抽样；②该抽样可能是随机抽样；③该抽样不可能是分层抽样；④男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率，其中说法正确的为（ ） A ．①②③ B ．②③ C ． ③④ D ．①④ 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，从男生30名，女生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生和3名女生，该抽样应该是简单的随机抽样，其中男生被抽到的概率为135P =，女生被抽到的概率为225P =，所以只有②③是正确的，故选B. 考点：抽样的应用.8.已知点Q 在椭圆22:11610x y C +=，点P 满足()112OP OF OQ =+ （其中O 为坐标原点，1F 为椭圆C 的左焦点），则点P 的轨迹为（ ）A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆 【答案】D 【解析】试题分析：因为点P 满足()112OP OF OQ =+（其中O 为坐标原点，所以点P 是1QF 的中点，设(,)P a b ，由于1F 为椭圆22:11610x y C +=的左焦点，则1(F ，故)2b Q ，由点Q 在椭圆22:11610x y C +=上，则点P 的轨迹方程为2140b C +=，故选D. 考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质.9.已知一个几何体的三视图的如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3272π-B ．3182π- C ．273π- D ．183π- 【答案】B考点：几何体的三视图及体积的计算.10.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，,1,AC BC AC BC PA ⊥===外接球的表面积为（ ）A ．5π BC ．20πD ．4π 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，所以BC ⊥平面,PAC PB 是三棱锥P ABC -的外接圆的直径，因为Rt PBA ∆中，AB PA =PB =接球的半径为R =，所外接球的表面积为245S R ππ==，故选A.考点：球的组合体及球的表面积公式.【方法点晴】本题主要考查了特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了直线与平面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式，同时考查了推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据题意，证得BC ⊥平面,PAC PB 是三棱锥P ABC -的外接圆的直径，利用勾股定理几何体题中数据算得球的直径，得到球的半径，即可求解球的表面积. 11.若函数[])111sin 20,y x x π=∈，函数223y x =+，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ）A．12 B ．()21872π+ C ．()21812π+ D．()21572π-【答案】B考点：利用导数研究曲线在某点处的切线；利用导数求闭区间上函数的最值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线、利用导数求闭区间上函数的最值，体现了导数的综合应用，其中利用平移切线法求直线和正弦函数距离的最小值是解决本题的关键，同时着重考查了转化与化归思想和数形结合思想的应用，本题的解答中根据平移切线法，求出和直线3y x =+平行的切线或切点，利用点到直线的距离公式即可求解结论.12.已知,x y R ∈，且4300x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则存在R θ∈，使得()4cos sin 0x y θθ-+=的概率为 （ ） A ．4π B ．8π C ．24π- D ．18π-【答案】考点：简单的线性规划的应用.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划的应用，属于中档试题，着重考查了转化与化归的思想和数形结合思想的应用，本题的解答中作出不等式组表示的平面区域，利用辅助角公式将条件进行化简，转化为()2242x y -+≥，对应的图象是以(4,0)为圆心，半径r =的圆的外部，求出对应饿平面区域的面积即可求得结论.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知()22:12,:210,0p x q x x a a -≤-+-≥>，若p ⌝是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 .【答案】(]0,2考点：充分不必要条件的应用．14.已知函数()f x =[)0,+∞，则实数m 的取值范围是 . 【答案】[][)0,19,⋃+∞ 【解析】试题分析：由题意得，函数()f x =[)0,+∞，则当0m =时，函数()f x =[)0,+∞，显然成立；当0m >时，则2(3)40m m ∆=--≥，解得01m <≤或9m ≥，综上可知实数m 的取值范围是[][)0,19,⋃+∞. 考点：函数的值域及二次函数的性质.15.若点P 是以12,F F 为焦点的双曲线22221x y a b-=上一点，满足12PF PF ⊥，则122PF PF =，则次双曲线的离心率为 .考点：双曲线的定义及简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的定义及其简单的几何性质、离心率的求解，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力，解答的关键是抓住要求离心率的定义，利用题设条件建立,,a b c 的关系式，即可求解ca的值，得到双曲线的离心率，本题的解答中根据双曲线的定义和题设条件，可得12,PF PF ，在直角三角形中，利用勾股定理得到,,a b c 的关系式. 16.已知函数()()2cos 10,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=++>><< ⎪⎝⎭的最大值为3，()f x 的图像与y 轴的交点坐标为()0,2，其相邻两条对称轴间的距离为2，则 ()()()()1232016f f f f +++= .【答案】4032 【解析】 试题分析：因为()()21cos(22)cos 112wx f x A x A ϕωϕ++=++=⋅+cos(22)122A Awx ϕ=+++的最大值为3，所以1322A A++=，所以2A =，根据函数相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即24w π=，所以4w π=，故函数的解析式为()cos()2sin 2222f x x x πππ=++=-+，所以()()()()1232016f f f f +++[sin sin(2)sin(3)sin(2015)sin(2016)]2201604032403222222πππππ-+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=+= .考点：二倍角公式；三角函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查了二倍角公式、三角函数sin()y A wx ϕ=+的图象与性质，着重考查分析问题、解答问题的能力和运算能力，属于中档试题，本题的解答中，由函数的最值求出A 的值，在根据相邻两条对称轴间的距离，求出函数的周期，确定w 的值，根据特殊点的坐标求解ϕ的值，确定函数的解析式，再利用三角函数的周期性求解相应式子的值. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项()113,3n n n a a S n N ++≠=+∈． （1）求证：{}3nn S -是等比数列；（2）若{}n a 为递增数列，求1a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）()9,-+∞.考点：等比数列的定义及等比数列的性质的应用.18．（本小题满分12分）去年年底，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估.将各连锁店的评估分数按[)[)[)[)60,70,70,80,80,90,90,100分成四组，其频率分布直方图如下图所示，集团公司依据评估得分，将这些连锁店划分为,,,A B C D 四个等级，等级评定标准如 下表所示.（1）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；（2）从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A 等级的概率.【答案】（1）75，75.4；（2）35.家A 等级的概率为35. 考点：频率直方图、众数与平均数的计算；古典概型及其概率的计算.19.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C ，侧面11ACC A 与侧面11CBBC 都是菱形，11160,2ACC CC B AC ∠=∠=︒=.（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB =11A BB C C -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）2.故1111123A BBC C BB C C V S OA -=⨯=菱形.考点：直线与平面垂直的判定与证明；几何体的体积的计算.20. （本小题满分12分）设抛物线21:4C y x =的准线与x 轴交于点1F ，焦点2F ；椭圆2C 以1F 和2F 为焦点，离心率12e =.设P 是1C 与2C 的一个交点. （1）椭圆2C 的方程； （2）直线l 过2C 的右焦点2F ，交1C 于12,A A 两点，且12A A 等于12PFF ∆的周长，求l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（2）)1y x =-或)1y x =-.考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线综合应用.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线综合应用，解题是要认真审题，注意椭圆的弦长公式的合理运用，着重考查了推理与运算能力和分类讨论思想的应用，本题的解答中，利用12PF F ∆的周长为6，得出弦长，可设l 的方程为(1)y k x =-与1C 的方程联立，由此利用弦长公式，即可求解直线的方程.21.（本小题满分12分）已知函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3.（1）求实数a 的值；（2）若()2f x kx ≤对任意0x >成立，求实数k 的取值范围；（3）当()1,n m m n N +>>∈m n>.【答案】（1）1a =；（2）[)1,+∞；3m n>. 【解析】 试题分析：（1）求出()f x 的导数，由切线的斜率为3，解方程，即可得到a ；（2）()2f x kx ≤对任意0x >成立，得1ln x k x +≥对任意0x >成立，令()1ln x g x x+=，则问题转化为求()g x 的最大值，运用导数，求出导数，求得单调区间，得到最大值，令k 不小于最大值即可；（3）令()ln 1x x h x x =-，求出导数，判断其单调性，即得()h x 是(1,)+∞上的增函数，由1n m >>，则()()h n h m >，化简整理，即可得证.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的综合应用和不等式的证明.【方法点晴】本题主要考查了导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查不等式的恒成立问题转化为求解函数的最值，同时考查了与函数有关的不等式的证明，运用构造函数，求得导数的单调性，再由单调性证明，试题有一定的难度属于难题，着重考查了转化与化归的思想方法和构造思想的应用，对于此类问题平时要注意总结和积累.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆O 是ABC ∆的外接圆，,AB BC AD =是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径.（1）求证：AC BC AD AE ⋅=⋅；（2）过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ，若4,6AF CF ==，求AC 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）103.考点：圆的性质及与圆相关的比例线段.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，O 为极点，点2,,24A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求经过点,,O A B 的圆C 的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x 的正半轴建立平面直角坐标系，圆D 的参数方程为1cos 1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ 是参数，a 为半径），若圆C 与圆D 相切，求半径a 的值.【答案】（1）4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）a =a =考点：参数方程与普通方程的互化；简单曲线的极坐标方程.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()(),4f x x g x x m ==--+.（1）解关于x 的不等式()20g f x m +->⎡⎤⎣⎦；（2）若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()()6,22,6--⋃；（2）(),4-∞.考点：函数的恒成立；函数的值；绝对值不等式的求解.。

2015-2016学年河北省衡水市高三（下）大联考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 集合U ={x ∈Z|x(x −7)<0}，A ={1, 4, 5}，B ={2, 3, 5}，则A ∩(∁U B}=( ) A {1, 5} B {1, 4, 6} C {1, 4} D {1, 4, 5}2. 平面向量a →与b →的夹角为30∘，a →=(1, 0)，|b →|=√3，则|a →−b →|=( ) A 2√3 B 1 C √5 D √223. 欧位在1748年给出的著名公式e iθ＝cosθ+isinθ（欧拉公式）是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e ＝2.71828…，根据欧拉公式e iθ＝cosθ−isinθ．任何一个复数z ＝r(cosθ+isinθ)都呆以表示成z ＝re iz 的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z 1＝2e i π3，z 2＝e i π2，则复数z =z 1z 2在复平面内对应的点在（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 4. 下列四个结论：①若“p ∧q 是真命题”，则“￢p 可能是真命题”；②命题“∃x 0∈R ，x 02−x −1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2−x −1≥0”； ③“φ=π2”是“y ＝sin(2x +φ)为偶函数”的充要条件；④当a <0时，幂函数y ＝x a 在区间(0, +∞)上单调递减． 其中正确结论的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个5. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)短轴的两个端点为A 、B ，点C 为椭圆上异于A 、B 的一点，直线AC 与直线BC 的斜率之积为−14，则椭圆的离心率为（ ）A √32B √3C 12D √346. 已知奇函数F(x)={(12)x −43，(x >0),f(x),(x <0), 则F （f(log 213)）=( )A −56B 56C (12)133 D (12)13−437. 某国际物流有限公司所属危险品仓库发生特大爆炸，某地区选出600名消防官兵参与灾区救援，设其编号为001，002，⋯，600，为打通生命通道，先采用系统抽样方法抽出50名先遣部队，且随机抽得的一个号码为003，这600名官兵来源于不同的县市，从001到300来自A 市，从301到495来自B 市，从496到600来自C 市，则三个市被抽中的人数依次为( )A 26，16，8B 25，17，8C 25，16，9D 24，17，98. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A 223B 8C 203D 1639. 已知函数f(x)={πcosx,x <0f(x −π),x ≥0 ，则函数g(x)＝sin[2x −f(2π3)]的一个单调递增区间为（ ）A [0, π2] B [π2, π] C [π4, 3π4] D [3π4, 5π4]10. 已知x ，y 满足约束条件{x −y ≥0x +y ≤2y ≥0，若z =ax +y 的最大值为a +1，则a 的取值范围为（ ）A (−1, 1)B [−1, 1]C [−1, 1)D (−1, 1]11. 某程序流程图如图所示，依次输入函数f(x)=sin(x −π6)，f(x)=12sin(2x +π6)，f(x)=tanx ，f(x)=cos(2x −π6)，执行该程序，输出的数值p =( )A 14 B 12 C √32 D √3412. 已知函数f(x)＝lnx 与g(x)＝a −x(1e ≤x ≤e)的图象上恰好存在唯一一个关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A [1, e −1]B {1}∪(1e +1, e −1] C [1, 1e +1] D (1e +1, e −1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共90分） 13. 空气污染指数划分为0−50（优），51−100（良），101−150（轻度污染），151−200（中度污染），201−300（重度污染）和大于300（严重污染）六档，对应在于空气质量的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．如图表1、2统计了北京市2016年元旦前后两周(2015−12−24至2016−01−06)实时空气污染指数和2015年6月3日11个监测点数据，两图表空气污染指数中位数之差的绝对值为________．14. 已知cos(α−π3)=13，则sin(2α−π6)=________．15. 已知抛物线x2=8y与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线交于点A，若点A到抛物线的准线的距离为4，则双曲线的离心率为________．16. 若S n为数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S n=12a n a n+1，a n≠0，若数列{12S n}的前n项和T n=20162017，则n的值为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝ccosB+3asin(A+B)．（1）若ba=√3，求角C；（2）在（1）的条件下，若△ABC的面积为√3，求c的值．18. 由矩形ABCD与梯形AFEB构成平面多边形（如图1），O为AB中点，且AB // EF，AB＝2EF，现将平面多边形沿AB折起，使矩形ABCD与梯形AFEB所在平面所成二面角为直二面角（如图2）．（1）若点P为CF的中点，求证：OP // 平面DAF；（2）过点C，B，F的平面将多面体EFADCB分割成两部分，求两部分体积的比值．19. 2016年1月6日北京时间上午11时30分，朝鲜中央电视台宣布“成功进行了氢弹试验”，再次震动了世界．朝鲜声明氢弹试验对周边生态环境未产生任何负面影响，未提及试验地点．中国外交部发表措辞严厉的声明对朝鲜核试验“坚决反对”，朝鲜“氢弹试验”事件引起了我国公民热议，其中丹东市（丹东市和朝鲜隔江）某QQ聊天群有300名网友，新疆乌鲁木齐某微信群由200名微信好友．为了了解不同地区我国公民对“氢弹试验”事件的关注度，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名好友，先分别统计了他们在某时段发表的信息条数，再将两地网友留言信息条数分成5组：[40, 50)，[50, 60)，[60, 70)，[70, 80)，[80, 90)，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求丹东市网友的平均留言条数（保留整数）；（2）为了进一步开展调查，从样本中留言条数不足50条的网友中随机抽取2人，求至少抽到一名乌鲁木齐市网友的概率；（3）规定：“留言条数”不少于70条为“强烈关注”．①请根据已知条件完成下列2×2的列联表；强烈关注非常强烈关注合计②判断是否有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关？附：临界值表及参考公式K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d121，F2距离的比为一个正数m．（1）求点P的轨迹方程C，并说明轨迹是什么图形；（2）若m=√22，过点A(1, 2)作倾斜角互补的两条直线，分别交曲线C于P，Q两点，求直线PQ的斜率．21. 设函数f(x)＝lnx，g(x)＝x−1x．（1）求函数φ(x)=54f(x)−12g(x)的极值；（2）若x≥1时，恒有f(x)≤λg(x)成立，求λ的最小值．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题纸上所选题目对应的题号涂黑.如果多做的，那么按所做得第一题记分.[选修4-1；几何证明选讲]22. 选修4−1：《几何证明选讲》已知：如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，直线l 为⊙O 的切线，切点为B ，直线AD // l ，交BC于D 、交⊙O 于E ，F 为AC 上一点，且∠EDC =∠FDC ．求证： （1）AB 2=BD ⋅BC ；（2）点A 、B 、D 、F 共圆．[选修4-4：坐标系与参数方程]23. 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位，已知圆C 的参数方程为{x =2cosθy =2sinθ（θ为参数），直线l 的极坐标方程为ρ=4sinθ+cosθ，点P 在l 上．（1）过P 向圆C 引切线，切点为F ，求|PF|的最小值；（2）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在OP 上，且满足|OP|2＝|OQ|⋅|OR|，求Q 点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24. 设函数f(x)＝|x −1|，g(x)＝2|x −a|，a ∈R ． （1）若a ＝2，求不等式f(x)−g(x)≤x −3的解集； （2）若对∀m >1，∃x 0∈R ，f(x)+g(x)≤m 2+m+4m−1成立，求a 的取值范围．2015-2016学年河北省衡水市高三（下）大联考数学试卷（文科）答案1. C2. B3. D4. B5. A6. A7. B8. A9. A10. B11. D12. B13. 8214. −7915. √5216. 201617. ∵ a＝ccosB+3asin(A+B)，∴ 由正弦定理可得：sinA＝sinCcosB+3sinAsinC，可得：sin(B+C)＝sinCcosB+3sinAsinC，∴ sinBcosC+cosBsinC＝sinCcosB+3sinAsinC，∴ sinBcosC＝3sinAsinC，∴ sinB3sinA=tanC，又∵ ba=√3，∴ tanC=sinB3sinA =b3a=√33，∵ 0<C<π，∴ C=π6⋯∵ S△ABC=12absinC=√3，由（1）可知ba =√3，C=π6，∴ √3a24=√3，∴ a＝2，b=√3a=2√3，由余弦定理得：c2＝a2+b2−2abcosC＝4+12−2×2×2√3×√32=4，∴ c＝218. 取DF的中点N，连结AN，OP，NP，∵ P是CF的中点，∴ PN=∥12CD，又AO=∥CD，∴ PN=∥AO，∴ 四边形AOPN是平行四边形，∴ OP // AN，又OP⊄平面DAF，AN⊂平面DAF，∴ OP // 平面DAF．过点F作FG⊥AB于G，∵ 平面ABCD⊥平面AFEB，平面ABCD∩平面AFEB＝AB，FG⊂平面AFEB，BC⊂平面ABCD ，∴ FG ⊥平面ABCD ．BC ⊥平面AFEB ， ∴ V F−ABCD =13S ABCD ⋅FG =13AB ×BC ×FG ．V C−BEF =13S △BEF ⋅BC =13×12×EF ×FG ×BC =16×12AB ×BC ×FG =112AB ×BC ×FG ．∴ VF−ABCD V C−BEF=4．19. 45×0.01×10+55×0.025×10+65×0.04×10+75×0.02×10+85×0.005×10＝63.5≈64．∴ 丹东市网友的平均留言条数是64条．留言条数不足50条的网友中，丹东市网友有0.01×10×100×300300+200=6人，乌鲁木齐网友有0.005×300300+200=2人，从中随机抽取2人共有C 82=28种可能结果，其中至少有一名乌鲁木齐网友的结果共有C 21C61+C 22=12+1＝13种情况，∴ 至少抽到1名乌鲁木齐网友的概率为P =1328．①列联表如下：②K 2的观测值k =100×(15×25−15×45)260×40×30×70≈1.79，∵ 1.79<2.706，∴ 没有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关． 20. 设P(x, y)，由题意得|PF 1||PF 2|=m ，(m >0)，即|PF 1|＝m|PF 2|，∴ √(x −1)2+y 2=m√(x +1)2+y 2， ∴ (m 2−1)(x 2+y 2)+2(m 2+1)x +m 2−1＝0， 当m ＝1时，点P 的轨迹方程为x ＝0，表示y 轴．当m ≠1时，点M 的轨迹方程为x 2+y 2+2(m 2+1m 2−1)x +1=0， 即(x +m 2+1m 2−1)2+y 2=4m 2(m 2−1)2，表示圆心为(−m 2+1m 2−1, 0)，半径为2m|m 2−1|的圆．当m =√22时，由（1）得曲线C ：(x −3)2+y 2＝8，设直线AP:y −2＝k(x −1)，P(x 1, y 1)，则直线AQ:y −2＝−k(x −1)，Q(x 2, y 2)， 联立{y =kx +2−k (x −3)2+y 2=8 ，得(1+k 2)x 2+(−2k 2+4k −6)x +k 2−4k +5＝0， ∴ x 1⋅1=k 2−4k+51+k 2，即x 1=k 2−4k+51+k 2，此时y 1＝kx 1+2−k ， 同理，x 2=k 2+4k+51+k 2，y 2＝−kx 2+2+k ，∴ k PQ =y 2−y1x 2−x 1=(−kx 2+2+k)−(kx 1+2−k)x 2−x 1=−k(x 1+x 2)+2kx 2−x 1，将x 1，x 2代入得k PQ =−k[(x 1+x 2)−2]x 2−x 1=−k[(k 2−4k+51+k 2+k 2+4k+51+k 2)−2]k 2+4k+51+k 2−k 2−4k+51+k 2=−1，∴ 直线PQ 的斜率为−1．21. φ(x)=54f(x)−12g(x)=54lnx −12x +12x，(x >0)，∴ φ′(x)=−(2x−1)(x−2)4x 2，令φ′(x)>0，解得：12<x <2，令φ′(x)<0，解得：0<x <12或x >2， ∴ φ(x)在(0, 12)递减，在(12, 2)递增，在(2, +∞)递减，∴ x =12时，函数有极小值是：34−54ln2， x ＝2时，函数有极大值是：54ln2−34； 若x ≥1时，恒有f(x)≤λg(x)成立， ⇔lnx −λ(x −1x )≤0在[1, +∞)恒成立， 设ℎ(x)＝lnx −λ(x −1x )，ℎ′(x)=−λx 2+x−λx 2，∵ ℎ(1)＝0，∴ ℎ(x)在[1, +∞)递减符合题意，∴ λ>0，设m(x)＝−λx 2+x −λ，∴ {12λ≤1m(1)≤0，解得：λ≥1222. 证明：（1）∵ 直线l 为⊙O 的切线，∴ ∠1=∠ACB ．∵ AD // l，∴ ∠1=∠DAB．∴ ∠ACB=∠DAB，又∵ ∠ABC=∠DBA，∴ △ABC∽△DAB．∴ ABDB =BCAB．∴ AB2=BD⋅BC．（2）由（1）可知∠BAC=∠ADB．∵ ∠EDC=∠FDC，∠EDC=∠ADB，∴ ∠BAC=∠FDC．∴ ∠BAC+∠FDB=∠FDC+∠FDB=180∘．∴ 点A、B、D、F共圆．23. 圆C的参数方程为{x=2cosθy=2sinθ（θ为参数），可得圆C的直角坐标方程为x2+y2＝4，直线l的极坐标方程为ρ=4sinθ+cosθ，即有ρsinθ+ρcosθ＝4，即直线l的直角坐标方程为x+y−4＝0．由|PO|2＝|PF|2+|OF|2，由P到圆心O(0, 0)的距离d最小时，|PF|取得最小值．由点到直线的距离公式可得d min=√2=2√2，可得|PF|最小值为√(2√2)2−22=2；设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1, θ)，(ρ, θ)，(ρ2, θ)，由ρ1=4sinθ+cosθ，ρ2＝2，又|OP|2＝|OQ|⋅|OR|，可得ρ12＝ρρ2，即有ρ=ρ12ρ2=16(sinθ+cosθ)2×12=8sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=81+sin2θ．即Q点轨迹的极坐标方程为ρ=81+sin2θ．24. 若a＝2，f(x)−g(x)＝|x−1|−2|x−2|={x−3,x≤13x−5,1<x<2−x+3,x≥2，①当x≤1时，若f(x)−g(x)≤x−3，则x−3≤x−3，故x≤1，②当1<x<2时，若f(x)−g(x)≤x−3，则3x−5≤x−3，即x≤1，这与1<x<2矛盾，③当x≥2时，若f(x)−g(x)≤x−3，则−x+3≤x−3，即x≥3，故x≥3，综上，不等式f(x)−g(x)≤x−3的解集是{x|x≤1或x≥3}；∵ m2+m+4m−1=m−1+6m−1+3≥2√6+3，(m>1)，当且仅当m−1=6m−1即m=√6+1时“＝”成立，原命题等价于∃x∈R，f(x)+g(x)≤2√6+3成立，即[f(x)+g(x)]min≤2√6+3，设ℎ(x)＝f(x)+g(x)＝|x−1|+2|x−a|，①当a<1时，ℎ(x)＝f(x)+g(x)＝|x−1|+2|x−a|={−3x+2a+1,x≤ax−2a+1,a<x<13x−2a−1,x≥1．ℎ(x)min＝ℎ(a)＝|a−1|＝1−a，由1−a≤2√6+3，解得：a≥−2−2√6，∴ −2−2√6≤a<1；②当a＝1时，ℎ(x)＝3|x−1|，ℎ(x)min＝0≤2√6+3显然成立，③当a>1时，ℎ(x)＝f(x)+g(x)＝|x−1|+2|x−a|={−3x+2a+1,x≤1−x+2a−1,1<x<a3x−2a−1,x≥a，ℎ(x)min＝ℎ(a)＝|a−1|＝a−1，由a−1≤2√6+3，解得：a≤2√6+4，∴ 1<a≤2√6+4，综上，a的范围是[−2−2√6, 4+2√6]．。

2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）七调数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M={x|y=ln（x2﹣3x﹣4）}，N={y|y=2x﹣1}，则M∩N等于（）A．{x|x＞4}B．{x|x＞0}C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＞4或x＜﹣1}2．复数的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．2i D．﹣2i3．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1C．φ=D．B=44．平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心到O平面α的距离为（）A．B．C．1 D．25．已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．6．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．4+4πB．4+3πC．3+4πD．3+3π7．抛掷两枚质地的骰子，得到的点数分别为a，b，那么直线bx+ay=1的斜率的概率是（）A．B．C．D．8．已知函数y=f（x）的图象关于直线x=3对称，f（﹣1）=320且，则的值为（）A．240 B．260 C．320 D．﹣3209．3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，也就是在圆内割正多边形，求的近似值，刘徽容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失唉，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限近圆的面积，利用“割圆术”刘徽得到圆周率精确到小数点后两位的计算值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n值为（参考数据：sin15°=0.259）（）A．6 B．12 C．24 D．4810．已知函数f（x）=，若关于x的方程f[f（x）]=0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（0，1）D．（0，1）∪（1，+∞）11．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，渐近线分别为l1、l2，点P在第一象限内且在l1上，若PA⊥l2，PB∥l2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．12．已知函数g（x）=x3+2x﹣m+（m＞0）是[1，+∞）上的增函数．当实数m取最大值时，若存在点Q，使得过点Q的直线与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点Q的坐标为（）A．（0，﹣3）B．（2，﹣3）C．（0，0）D．（0，3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．已知向量，则=．14．若变量x，y满足，则点P（x，y）表示的区域的面积为．15．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2﹣b2=c，且sin Acos B=2cosAsinB，则c=．16．某公司在进行人才招聘时，由甲乙丙丁戊5人入围，从学历看，这5人中2人为硕士，3人为博士：从年龄看，这5人中有3人小于30岁，2人大于30岁，已知甲丙属于相同的年龄段，而丁戊属于不同的年龄段，乙戊的学位相同，丙丁的学位不同，最后，只有一位年龄大于30岁的硕士应聘成功，据此，可以推出应聘成功者是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知正项等比数列{b n}（n∈N+）中，公比q＞1，b3+b5=40，b3b5=256，a n=log2b n+2．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若c n=，求数列{c n}的前n项和S n．18．某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．19．如图，菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，点H是线段EF的中点．（1）求证：FD∥平面AHC；（2）求多面体ABCDEF的体积．20．已知a为常数，函数f（x）=x2+ax﹣lnx，g（x）=e x（其中e是自然数对数的底数）．（1）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点P（x0，y0）为，求x0的值；（2）令，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．21．已知椭圆C1： +=1的离心率为e=且与双曲线C2：﹣=1有共同焦点．（1）求椭圆C1的方程；（2）在椭圆C1落在第一象限的图象上任取一点作C1的切线l，求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值；（3）设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足⊥，∥，连结AC交DE于点P，求证：PD=PE．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4坐标系与参数方程]22．已知曲线C的参数方程为（θ为参数）在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′．（1）求曲线C′的普通方程．（2）若点A在曲线C′上，点B（3，0）．当点A在曲线C′上运动时，求AB中点P的运动轨迹方程．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）七调数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M={x|y=ln（x2﹣3x﹣4）}，N={y|y=2x﹣1}，则M∩N等于（）A．{x|x＞4}B．{x|x＞0}C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＞4或x＜﹣1}【考点】交集及其运算．【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中x2﹣3x﹣4＞0，即M={x|x＞4或x＜﹣1}，N={y|y=2x﹣1}={y|y＞0}，则M∩N={x|x＞4}，故选：A．2．复数的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．2i D．﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：=，则复数的共轭复数是：﹣2i．故选：D．3．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1C．φ=D．B=4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选C．4．平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心到O平面α的距离为（）A．B．C．1 D．2【考点】球的体积和表面积．【分析】先求截面圆的半径，然后求出球心到截面的距离．【解答】解：∵截面圆的面积为π，∴截面圆的半径是1，∵球O半径为2，∴球心到截面的距离为．故选：A5．已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为，故选D6．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．4+4πB．4+3πC．3+4πD．3+3π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是上半部分是直径为1的球，下半部分是底面半径为1，高为2的圆柱体的一半，由此能求出该几何体的表面积．【解答】解：由三视图知该几何体是上半部分是直径为1的球，其表面积为S1==π，下半部分是底面半径为1，高为2的圆柱体的一半，其表面积为S2==4+3π，∴该几何体的表面积S=S1+S2=4+4π．故选：A．7．抛掷两枚质地的骰子，得到的点数分别为a，b，那么直线bx+ay=1的斜率的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n=6×6=36，由直线bx+ay=1的斜率，得到，利用列举法求出满足题意的（a，b）可能的取值，由此能求出直线bx+ay=1的斜率的概率．【解答】解：抛掷两枚质地的骰子，得到的点数分别为a，b，基本事件总数n=6×6=36，∵直线bx+ay=1的斜率，∴，满足题意的（a，b）可能的取值有：（3，1），（4，1），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），共6种，∴直线bx+ay=1的斜率的概率p==．故选：B．8．已知函数y=f（x）的图象关于直线x=3对称，f（﹣1）=320且，则的值为（）A．240 B．260 C．320 D．﹣320【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】把cosx﹣sinx提取，利用两角和的余弦函数公式的逆运算化为一个角的余弦函数，即可求得cos（x+）的值，然后利用诱导公式求出sin2x的值，进而求得等于f（7），根据f（x）的图象关于直线x=3对称，得到f（3+x）=f（3﹣x），即可推出f（7）=f（﹣1）可求出值．【解答】解：∵，∴cos（x+）=，得cos（x+）=，又∵sin2x=﹣cos（+2x）=1﹣2cos2（x+）=∴=f（7）由题意y=f（x）关于直线x=3对称∴f（3+x）=y=f（3﹣x）即f（7）=f（3+4）=f（3﹣4）=f（﹣1）=320，故选C．9．3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，也就是在圆内割正多边形，求的近似值，刘徽容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失唉，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限近圆的面积，利用“割圆术”刘徽得到圆周率精确到小数点后两位的计算值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n值为（参考数据：sin15°=0.259）（）A．6 B．12 C．24 D．48【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第1次执行循环体后，S=3cos30°=＜3.14，不满足退出循环的条件，则n=6，第2次执行循环体后，S=6cos60°==3＜3.14，不满足退出循环的条件，则n=12，第3次执行循环体后，S=12sin15°≈3.106＜3.14，不满足退出循环的条件，则n=24，第4次执行循环体后，S=24sin7.5°≈3.144＞3.14，满足退出循环的条件，故输出的n值为24，故选：C．10．已知函数f（x）=，若关于x的方程f[f（x）]=0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（0，1）D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用换元法设f（x）=t，则方程等价为f（t）=0，根据指数函数和对数函数图象和性质求出t=1，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：令f（x）=t，则方程f[f（x）]=0等价为f（t）=0，由选项知a≠0，当a＞0时，当x≤0，f（x）=a•2x＞0，当x＞0时，由f（x）=log2x=0得x=1，即t=1，作出f（x）的图象如图：若a＜0，则t=1与y=f（x）只有一个交点，恒满足条件，若a＞0，要使t=1与y=f（x）只有一个交点，则只需要当x≤0，t=1与f（x）=a•2x，没有交点，即此时f（x）=a•2x＜1，即f（0）＜1，即a•20＜1，解得0＜a＜1，综上0＜a＜1或a＜0，即实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1），故选：B．11．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，渐近线分别为l1、l2，点P在第一象限内且在l1上，若PA⊥l2，PB∥l2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的顶点和渐近线方程，设P（m，m），再由两直线垂直和平行的条件，得到m，a，b的关系式，消去m，可得a，b的关系，再由离心率公式计算即可得到．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A（﹣a，0）、B（a，0），渐近线分别为l1：y=x，l2：y=﹣x．设P（m，m），若PA⊥l2，PB∥l2，则=﹣1①，且=﹣，②由②可得m=，代入①可得b2=3a2，即有c2﹣a2=3a2，即c=2a，则有e==2．故选B．12．已知函数g（x）=x3+2x﹣m+（m＞0）是[1，+∞）上的增函数．当实数m取最大值时，若存在点Q，使得过点Q的直线与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点Q的坐标为（）A．（0，﹣3）B．（2，﹣3）C．（0，0）D．（0，3）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；定积分．【分析】求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性，求出m的最大值，结合过点Q的直线与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，判断函数的对称性进行求解即可．【解答】解：由g（x）=x3+2x﹣m+，得g′（x）=x2+2﹣．∵g（x）是[1，+∞）上的增函数，∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即x2+2﹣≥0在[1，+∞）上恒成立．设x2=t，∵x∈[1，+∞），∴t∈[1，+∞），即不等式t+2﹣≥0在[1，+∞）上恒成立．设y=t+2﹣，t∈[1，+∞），∵y′=1+＞0，∴函数y=t+2﹣在[1，+∞）上单调递增，因此y min=3﹣m．∵y min≥0，∴3﹣m≥0，即m≤3．又m＞0，故0＜m≤3．m的最大值为3．故得g（x）=x3+2x﹣3+，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．将函数g（x）的图象向上平移3个长度单位，所得图象相应的函数解析式为φ（x）=x3+2x+，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．由于φ（﹣x）=﹣φ（x），∴φ（x）为奇函数，故φ（x）的图象关于坐标原点成中心对称．由此即得函数g（x）的图象关于点Q（0，﹣3）成中心对称．这表明存在点Q（0，﹣3），使得过点Q的直线若能与函数g（x）的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．已知向量，则=2．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用向量的坐标运算性质、数量积运算性质即可得出．【解答】解：﹣2=（﹣1，3），∴=﹣1+3=2．故答案为：2．14．若变量x，y满足，则点P（x，y）表示的区域的面积为4．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，求出点的坐标，然后求解区域的面积即可．【解答】解：变量x，y满足表示的可行域如图：则点P（x，y）表示的区域的面积为：．故答案为：4．15．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2﹣b2=c，且sinAcos B=2cosAsinB，则c=3．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理、余弦定理，化简sinAcosB=2cosAsinB，结合a2﹣b2=c，即可求c．【解答】解：由sinAcosB=2cosAsinB得•=2••，所以a2+c2﹣b2=2（b2+c2﹣a2），即a2﹣b2=，又a2﹣b2=c，解得c=3．故答案为：3．16．某公司在进行人才招聘时，由甲乙丙丁戊5人入围，从学历看，这5人中2人为硕士，3人为博士：从年龄看，这5人中有3人小于30岁，2人大于30岁，已知甲丙属于相同的年龄段，而丁戊属于不同的年龄段，乙戊的学位相同，丙丁的学位不同，最后，只有一位年龄大于30岁的硕士应聘成功，据此，可以推出应聘成功者是丁．【考点】进行简单的合情推理．【分析】通过推理判断出年龄以及学历情况，然后推出结果．【解答】解：由题意可得，2人为硕士，3人为博士；有3人小于30岁，2人大于30岁；又甲丙属于相同的年龄段，而丁戊属于不同的年龄段，可推得甲丙小于30岁，故甲丙不能应聘成功；又乙戊的学位相同，丙丁的学位不同，以及2人为硕士，3人为博士，可得乙戊为博士，故乙戊也不能应聘成功．所以只有丁能应聘成功．故答案为：丁．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知正项等比数列{b n}（n∈N+）中，公比q＞1，b3+b5=40，b3b5=256，a n=log2b n+2．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若c n=，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【分析】（1）通过b3+b5=40，b3b5=256解得q=2，进而可得结论；（2）通过对c n=分离分母，并项相加即可．【解答】（1）证明：由题可知设数列首项b1＞0，∵b3+b5=40，b3b5=256，∴，解得q=2或q=（舍），又∵b3+b5=40，即=40，∴b1===2，∴b n=2×2（n﹣1）=2n，∴a n=log2b n+2=n+2，∴数列{a n}是以3为首项、1为公差的等差数列；（2）解：∵c n==﹣，∴S n=﹣+﹣…+﹣=﹣=．18．某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；收集数据的方法．【分析】（1）通过频率分布表得推出m+n=0.45．利用等级系数为5的恰有2件，求出n，然后求出m．（2）根据条件列出满足条件所有的基本事件总数，“从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，等级系数相等”的事件数，求解即可．【解答】解：（1）由频率分布表得0.05+m+0.15+0.35+n=1，即m+n=0.45．…由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得．…所以m=0.45﹣0.1=0.35．…（2）：由（1）得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，记作y1，y2．从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）共计10种．…记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”．则A包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4个．…故所求概率为．…19．如图，菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，点H是线段EF的中点．（1）求证：FD∥平面AHC；（2）求多面体ABCDEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由∠BAD=∠CDA=90°，可得AB∥CD，再由四边形ABEF为菱形，可得AB ∥EF ，得到EF ∥CD ．结合H 是EF 的中点，AB=2CD ，得CD=FH ，可得四边形CDFH 为平行四边形，从而得到DF ∥CH ．再由线面平行的判定可得FD ∥平面AHC ；（2）由平面ABEF ⊥平面ABCD ，DA ⊥AB ，可得DA ⊥平面ABEF ，结合已知可得四棱锥C ﹣ABEF 的高DA=2，三棱锥F ﹣ADC 的高AH=．然后由V ABCDEF =V C ﹣ABEF +V F ﹣ADC 求得多面体ABCDEF 的体积． 【解答】（1）证明：∵∠BAD=∠CDA=90°，∴AB ∥CD ， ∵四边形ABEF 为菱形，∴AB ∥EF ，则EF ∥CD ． ∵H 是EF 的中点，AB=2CD ，∴CD=FH ， ∴四边形CDFH 为平行四边形，则DF ∥CH ． ∵DF ⊄平面AHC ，HC ⊂平面AHC ， ∴FD ∥平面AHC ；（2）解：∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，DA ⊥AB ， ∴DA ⊥平面ABEF ，∵DC ∥AB ，∴四棱锥C ﹣ABEF 的高DA=2， ∵∠ABE=60°，四边形ABEF 为边长是4的菱形，∴可求三棱锥F ﹣ADC 的高AH=2．∴V ABCDEF =V C ﹣ABEF +V F ﹣ADC ==．20．已知a 为常数，函数f （x ）=x 2+ax ﹣lnx ，g （x ）=e x （其中e 是自然数对数的底数）．（1）过坐标原点O 作曲线y=f （x ）的切线，设切点P （x 0，y 0）为，求x 0的值；（2）令，若函数F （x ）在区间（0，1]上是单调函数，求a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）先对函数求导，f′（x ）=2x +a ﹣，可得切线的斜率k=2x 0+a ﹣==，即x02+lnx0﹣1=0，由x0=1是方程的解，且y=x2+lnx ﹣1在（0，+∞）上是增函数，可证（2）由F（x）==，求出函数F（x）的导数，通过研究2﹣a 的正负可判断h（x）的单调性，进而可得函数F（x）的单调性，可求a的范围．【解答】解：（1）f′（x）=2x+a﹣（x＞0），过切点P（x0，y0）的切线的斜率k=2x0+a﹣==，整理得x02+lnx0﹣1=0，显然，x0=1是这个方程的解，又因为y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，所以方程x2+lnx﹣1=0有唯一实数解．故x0=1；（2）F（x）==，F′（x）=，设h（x）=﹣x2+（2﹣a）x+a﹣+lnx，则h′（x）=﹣2x+++2﹣a，易知h'（x）在（0，1]上是减函数，从而h'（x）≥h'（1）=2﹣a；①当2﹣a≥0，即a≤2时，h'（x）≥0，h（x）在区间（0，1）上是增函数．∵h（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即F'（x）≤0在（0，1]上恒成立．∴F（x）在区间（0，1]上是减函数．所以，a≤2满足题意；②当2﹣a＜0，即a＞2时，设函数h'（x）的唯一零点为x0，则h（x）在（0，x0）上递增，在（x0，1）上递减；又∵h（1）=0，∴h（x0）＞0．又∵h（e﹣a）=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣e a+lne﹣a＜0，∴h（x）在（0，1）内有唯一一个零点x'，当x∈（0，x'）时，h（x）＜0，当x∈（x'，1）时，h（x）＞0．从而F（x）在（0，x'）递减，在（x'，1）递增，与在区间（0，1]上是单调函数矛盾．∴a＞2不合题意．综合①②得，a≤2．21．已知椭圆C1： +=1的离心率为e=且与双曲线C2：﹣=1有共同焦点．（1）求椭圆C1的方程；（2）在椭圆C1落在第一象限的图象上任取一点作C1的切线l，求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值；（3）设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足⊥，∥，连结AC交DE于点P，求证：PD=PE．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率e=，得到a2=4b2，再结合椭圆与双曲线有共同的交点及隐含条件解得a2，4b2，则椭圆的方程可求；（2）由题意设出切线方程y=kx+m（k＜0），和椭圆方程联立后由方程仅有一个实根得到方程的判别式等于0，即得到k与m的关系，求出直线在x轴和y轴上的截距，代入三角形的面积公式后化为含有k的代数式，然后利用基本不等式求最值；（3）求出A，B的坐标，设出D，E，C的坐标，结合条件⊥，∥可得D，E，C的坐标的关系，把AC，DE的方程都用D点的坐标表示，求解交点P的坐标，由坐标可得P为DE的中点．【解答】（1）解：由e=，可得：，即，∴，a2=4b2①又∵c2=2b2+1，即a2﹣b2=2b2+1 ②联立①②解得：a2=4，b2=1，∴椭圆C1的方程为：；（2）解：∵l与椭圆C1相切于第一象限内的一点，∴直线l的斜率必存在且为负，设直线l的方程为：y=kx+m（k＜0），联立，消去y整理可得：③根据题意可得方程③只有一实根，∴△=，整理可得：m2=4k2+1 ④∵直线l与两坐标轴的交点分别为且k＜0，∴l与坐标轴围成的三角形的面积⑤④代入⑤可得：（当且仅当k=﹣时取等号）；（3）证明：由（1）得A（﹣2，0），B（2，0），设D（x0，y0），∴E（x0，0），∵，∴可设C（2，y1），∴，由可得：（x0+2）y1=2y0，即，∴直线AC的方程为：，整理得：，点P在DE上，令x=x0代入直线AC的方程可得：，即点P的坐标为，∴P 为DE 的中点∴PD=DE ．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4坐标系与参数方程]22．已知曲线C 的参数方程为（θ为参数）在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换得到曲线C′．（1）求曲线C′的普通方程．（2）若点A 在曲线C′上，点B （3，0）．当点A 在曲线C′上运动时，求AB 中点P 的运动轨迹方程．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用坐标转移，代入参数方程，消去参数即可求曲线C′的普通方程；（2）设P （x ，y ），A （x 0，y 0），点A 在曲线C′上，点B （3，0），点A 在曲线C′上，列出方程组，即可求AB 中点P 的轨迹方程．【解答】解：（1）将代入，得C'的参数方程为 ∴曲线C'的普通方程为x 2+y 2=1． …（2）设P （x ，y ），A （x 0，y 0），又B （3，0），且AB 中点为P∴有：又点A 在曲线C'上，∴代入C'的普通方程得（2x ﹣3）2+（2y ）2=1∴动点P 的轨迹方程为（x ﹣）2+y 2=． …[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）不等式f（x）≤3就是|x﹣a|≤3，求出它的解集，与{x|﹣1≤x≤5}相同，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，根据f（x）+f（x+5）的最小值≥m，可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3，解得a﹣3≤x≤a+3．又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，所以解得a=2．（2）当a=2时，f（x）=|x﹣2|．设g（x）=f（x）+f（x+5），于是所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．综上可得，g（x）的最小值为5．从而，若f（x）+f（x+5）≥m即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（﹣∞，5]．2017年5月16日。

2015-2016年河北衡水中学同步原创月考卷高三期末理数第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}i A ,1-=,i 为虚数单位,则下列选项正确的是( ) A.A i ∈1 B.A ii∈+-11 C.A i ∈5 D.A i ∈- 2.设全集R U =,集合{}12)2(<=-x x x A ,{})1ln(x y x B -==,则图中阴影部分表示的集合为( ) A.{}1≥x x B.{}1≤x x C.{}10≤<x x D.{}21<≤x x3.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=+)2()1(1log )2(2)(231x x x e x f x ,则=)]2([f f ( )A.22eB.22e C.e 2 D.2 4.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同),用回归直线∧∧∧+=a x b y 近似的刻画其相关关系,根据图形,以下结论最有可能成立的是( ) A.线性相关关系较强,∧b 的值为25.1 B.线性相关关系较强,∧b 的值为83.0 C.线性相关关系较强,∧b 的值为87.0- D.线性相关关系太弱,无研究价值5.下列结论中,正确的是④命题023,:0200≥+-∈∃x x R x p 的否定是023,:2<+-∈∀⌝x x R x p .A.①②B.①④C.①②④D.①③④6.已知三棱锥ABC O -的顶点C B A ,,都在半径为2的球面上,O 是球心,120=∠AOB ,当AOC ∆与BOC ∆的面积之和最大时,三棱锥ABC O -的体积为( )A.23 B.332 C.32 D.317.阅读如图所示的程序框图,输出s 的值为( ) A.0 B.23 C.3 D.23-8.中心为原点O 的椭圆焦点在x 轴上,A 为该椭圆右顶点,P 为椭圆上一点,90=∠OPA ,则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.)1,21[B.)1,22[C.)36,21[D.)22,0( 9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A.5 B.4 C.2 D.110.如图,在ABC ∆中,N 为线段AC 上靠近A 点的四等分点,若m 92)92(++=,则实数m 的值为( ) A.91 B.31C.1D.311.设数列{}n a 满足6,1421=+=a a a ,且对任意*∈N n ,函数x a x a x a a a x f n n n n n sin cos )()(2121-+---⋅++-=满足0)2(='πf ,若n a n n a c 21+=,则数列{}n c 的前n 项和n S 等于( )A.n n n 2122-+B.122124--++n n n C.n n n 21222-++ D.n n n 21242-++ 12.已知定义在R 上的函数)(x f y =对任意x 都满足)()2(x f x f =+,当11<≤-x 时,x x f 2sin )(π=,若函数)1,0(log )()(≠>-=a a x x f x g a 且至少有6个零点,则实数a 的取值范围是( ) A.),5(]51,0(+∞ B.),5[)51,0(+∞C.)7,5(]51,71(D.)7,5[]51,71(第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.二项式8)3(-xa 的展开式的系数和为256,则a 的值为______. 14.设等差数列{}n a 满足)(0,11*∈>=N n a a n ,其前n 项和为n S ,若数列{}nS 也为等差数列,则21nn aS +的最大值是_____.15.已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-03050y y x y x ,若不等式222)()(y x y x m +≤+恒成立,则实数m 的最大值是_____.16.设函数x x e x f 1)(22+=,x exe x g 2)(=,对),0(,21+∞∈∀x x ,不等式1)()(21+≤k xf k xg 恒成立,则正数k 的取值范围是_______.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)ABC ∆中,内角C B A 、、的对边分别是c b a 、、,已知c b a 、、成等比数列,且43cos =B . (1)求BA tan 1tan 1+的值; (2)设23=⋅BC BA ,求c a +的值.18.(本小题满分12分)同时抛掷两枚骰子,将得到的点数分别记为b a ,. (1)求7=+b a 的概率;(2)求点),(b a 在函数xy 2=的图象上的概率;(3)将4,,b a 的值分别作为三条线段的长,将这两枚骰子抛掷三次,ξ表示这三次抛掷中能围成等腰三角形的次数,求ξ的分布列和数学期望. 19.(本小题满分12分)已知ABC ∆是边长为3的等边三角形,点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且满足21==EA CE DB AD . 将ADE ∆沿DE 折起到DE A 1∆的位置,并使得平面⊥DE A 1平面BCDE . (1)求证：EC D A ⊥1;(2)设P 为线段BC 上的一点,试求直线1PA 与平面BD A 1所成角的正切的最大值.20.(本小题满分12分)已知F 是抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点,点),1(t P 在抛物线C 上,且23=PF . (1)求t p ,的值;(2)设O 为坐标原点,抛物线C 上是否存在点A A (与O 点不重合),使得过点O 作线段OA 的垂线与抛物线C 交于点B ,直线AB 分别交x 轴、y 轴于点D 、E ,且满足ODE OAB S S ∆∆=23(OAB S ∆表示OAB ∆的面积,ODE S ∆表示ODE ∆的面积)？若存在,求点A 的坐标;若不存在,说明理由. 21.(本小题满分12分) 已知函数)0(ln )1(2)13(21)(2>+++-=a x a a x a x x f . (1)若函数)(x f 在1=x 处的切线与直线023=+-y x 平行,求a 的值; (2)求函数)(x f 的单调区间;(3)在(1)的条件下,若对k k x f e x 6)(],,1[2+≥∈∀恒成立,求实数k 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图,四边形ABCD 内接于圆O ,BD 是圆O 的直径,CD AE ⊥于点E ,. (1)证明：AE 是圆O 的切线;(2)如果32=AB ,3=AE ,求线段CD 的长.23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中,O 为坐标原点,曲线ααααα(,cos sin 3,sin cos 3:⎩⎨⎧-=+=y x C 为参数),在以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同单位长度的极坐标系中,直线1)6sin(:=+πθρl .(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;(2)曲线C 上恰好存在三个不同的点到直线l 的距离相等,分别求这三个点的极坐标. 24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数k x x x f +-+-=23)(. (1)若3)(≥x f 恒成立,求实数k 的取值范围; (2)当1=k 时,解不等式x x f 3)(<.月考卷一、选择题1.C 【解析】A i i i i ∉-==21,A i ∉-=+=+)i -1)(i 1(i -1i 1i -12）（,A i i 5∈=,故选C.2.D 【解析】∵12)2(<-x x ,∴0)2(<-x x ,∴20<<x ,∴{}{}2012)2(<<=<=-x x x A x x .又∵{}{}1)1ln(<=-==x x x y x B ,∴图中阴影部分表示的集合为{}21<≤x x.5.C 【解析】由原命题和逆否命题的关系知①正确;由c a b a ⋅=⋅,可得c b =或向量a 与c b -垂直,所以②正确;③中命题p 是假命题,所以q p ∧是假命题,所以③错误;特称命题的否定是全称命题,所以④正确.6.B 【解析】∵)sin (sin 212BOC AOC r S S BOC AOC ∠+∠=+∆∆,∴当 90=∠=∠BOC AOC 时,BOC AOC S S ∆∆+取得最大值,此时OC OB OC OA ⊥⊥,,∴⊥OC 平面AOB , ∴332sin 2131=∠⨯⨯⨯⨯⨯==-∆AOB OB OA OC V V OAB C ABC . 7.A 【解析】由题意得,3sin sin 32sin3sinππππn s +⋅⋅⋅+++=,周期6=T ,故035sin 34sin sin 32sin 3sin 5432152015=++++=++++==πππππa a a a a s s .8.B 【解析】设椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x ,),(y x P ,则),(y x OP =,),(y a x AP -=.又由于90=∠OPA ,所以0=⋅AP OP ,即可得222)2()2(ay a x =+-.所以点P 在以OA 为直径的圆上,即椭圆于该圆有异于点A 的公共点.⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-1)2()2(2222222b y a x a y a x ,消去y ,得0)(223222=-+-b a x a x a b , 220)2(0)(4022222226≠⇒>-⇒>-+⇒>∆e c a b a a b a . 由于过点A ,所以有一个根为a ,另一个根为x ,由韦达定理可得23223ca ab a a x =--=+.又因为a x <<0,解得122<<e . 9.A 【解析】如下图所示,该几何体的直观图为四棱柱1111D C B A ABCD -截取三棱锥E B A A 11-和三棱锥E D C D 11-.由已知底面A B C D 为直角梯形,,,,2,2,AD CD AD AB AD CD a AB ⊥⊥===⊥1AA 底面A B C D ,E AA ,21=为11D A 的中点,所以该几何体的体积52)2121(312)1121(31222)21(=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯+=V . 10.A 【解析】因为N 为线段AC 上靠近A 点的四等分点,所以41=,设λ=,则 4)1()1()(λλλλλλ+-=+-=-+=+=+=又因为m m 9292)92(+=++=,所以有⎪⎩⎪⎨⎧=-=mλλ1924,即91,98==m λ.`11.C 【解析】x a x a x a a a x f n n n n n cos sin )(2121-+----+-=',由0)2(='πf ,得122++=+n n n a a a ,故数列{}n a 为等差数列,由6,1421=+=a a a ,得n a n =,所以nn n c 21+=, 所以n n n n n n n S 2122211)211(212)1(2-++=--++=.12.A 【解析】当1>a 时,作函数)(x f 与函数x y a log =的图象如下：结合图象可知,⎩⎨⎧<<-15log 15log a a ,故5>a ;当10<<a 时,作函数)(x f 与函数x y a log =的图象如下：结合图象可知,⎩⎨⎧-≥-≥-15log 15log a a ,故510≤<a .二、填空题13.1或5 【解析】令1=x ,则有256)3(8=-a ,即23±=-a ,得1=a 或5. 14.121 【解析】设数列{}n a 的公差为d ,依题意3122S S S +=,即d a a d a 3322111++=+,化简可得221==a d ,∴121)12211(41]12221)12(21[)1210()12()10(2222221≤-+=-+-=-+=-+=+n n n n n n n a S nn . 15.1325【解析】由题意知可行域如图：∵222)()(y x y x m +≤+在可行域内恒成立,即x y xy x y x yy x xy y x y x m ++=+⋅+=++=++≤121)(12121)(222222,∴只需求x y xy z ++=121的最大值即可,设x y k =,由图象知)3,2(A ,则OA 的斜率23=k ,BC 的斜率1=k ,由图像可知231≤≤k ,∵k k z 1+=在231≤≤k 时为增函数,∴当23=k 时,z 取得最大值,此时6133223=+=z ,1325131216132121=+=+=+z ,∴1325≤m ,∴m 的最大值为1325.16.),1[+∞ 【解析】∵当0>x 时,e xx e x x e x x e x f 21211)(2222=⋅≥+=+=,当且仅当ex 1=时等号成立,∴),0(2+∞∈x 时,函数)(2x f 有最小值e 2. ∵x e x e x g 2)(=,∴xx x x e x e e xe e e x g )1()()(222-⋅=-⋅='.当1<x 时,0)(>'x g ,则函数)(x g 在区间),1[+∞上单调递减,∴1=x 时,函数)(x g 有最大值,e g =)1(,则对),0(,21+∞∈∀x x ,e x g e x f =>=max 1min 2)(2)(. ∵1)()(21+≤k x f k x g 恒成立,且0>k ,∴12+≤k e k e ,解得1≥k . ∴正数k 的取值范围是),1[+∞. 三、解答题17.解：(1)因为c b a 、、成等比数列,所以ac b =2,由余弦定理可知)1(2122cos 22222-+=-+=-+=caa c ac ac c a acbc a B , 又43cos =B ,所以47sin =B . 且43)1(21=-+c a a c ,解得212或=a c . 于是7782778sin sin sin sin sin cos sin cos tan 1tan 1或===+=+B a c B A C B B A A B A . (2)因为23=⋅,所以23cos =B ca ,所以2=ca . 又2=a c或21,所以⎩⎨⎧==2,1c a 或⎩⎨⎧==1,2c a 于是3=+a c .18.解：(1)所有的基本事件共有3666=⨯个,其中满足7=+b a 的基本事件),(b a 有)3,4(),4,3(),5,2(),2,5(),6,1(),1,6(共6个,故61366)7(===+b a P . (2)记“点),(b a 在函数xy 2=的图象上”为事件B ,包含)4,2(),2,1(两个基本事件, 所以181362)(==B P .故点),(b a 在函数x y 2=的图象上的概率为181. (3)记“以4,,b a 为边能围成等腰三角形”为事件C ,共包括14个基本事件. 所以1873614)(==C P . ξ的可能取值为3,2,1,0,58321331)1811()0(303===C P ξ,1944847187)1811()1(213=⨯==C P ξ, 1944539)187(1811)2(213=⨯⨯==C P ξ,5832343)187()3(333===C P ξ, 所以ξ的分布列为：658323194421944158320)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 或6183)(=⨯=ξE . 19.解：(1)因为等边△ABC 的边长为3,且21==EA CE DB AD ,所以2,1==AE AD , 在△ADE 中, 60=∠DAE ,由余弦定理,得360cos 21221222=⨯⨯⨯-+=DE .因为222AE DE AD =+,所以DE AD ⊥. 折叠后有DE D A ⊥1,因为平面⊥DE A 1平面BCDE ,又平面 DE A 1平面DE BCDE =,⊂D A 1平面DE A 1,DE D A ⊥1,所以⊥D A 1平面BCDE ,又⊂EC 平面BCDE ,故EC D A ⊥1.(2)由(1)可知DE BD ⊥,⊥D A 1平面BCDE ,如图,以D 为坐标原点,以射线1,,DA DE DB 分别为x 轴,y 轴,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系xyz D -,作BD PH ⊥于点H ,连接H A 1、P A 1,设)320(2≤≤=a a PB ,则a DH a PH a BH -===2,3,,所以)1,3,2(1a a --=,因为D BD D A BD ED D A ED =⊥⊥ 11,,,所以⊥ED 平面BD A 1,所以平面BD A 1的一个法向量为)0,3,0(=.设直线PA 与平面BD A 1所成的角为α,所以5443sin 2+-==αααα,①若0=α,则0sin =α.②若0≠α,则αααααα54435443sin 2+-=+-=, 令445),32(12+-=≥=t t y t t α. 因为函数324452≥+-=t t t y 在时单调递增,所以932438945min =+-⨯=y ,即3227)(sin max 2=α, 所以527)(sin 1)(sin )(tan max 2max 2max 2=-=ααα.故所求的最大值为5153.(此时点P 与C 重合) 20.解：(1)由抛物线的定义,得2321=+=p PF ,∴1=p ,∴x y 22=. 将点),1(t P 代入C ：x y 22=,得22=t ,∴2±=t .(2)由题意知直线OA 的斜率存在且不为0,根据抛物线的对称性,现考虑点A 在第一象限,如图所示,设直线OA 的方程为)0(>=k kx y ,OB OA ⊥,则直线OB 的方程为x ky 1-=. 由⎩⎨⎧==kxy x y 22,得x x k 222=,∴0=x (舍去)或22k x =,点)2,2(2k k A , 由⎪⎩⎪⎨⎧-==x k y x y 122,得x k x 222=,∴0=x (舍去)或22k x =,点)2,2(2k k B -, ∵当1=k 时,B A x x =,y AB ⊥轴,不符合题意,∴直线AB 的方程为)2(22222222k x k kk k k y --+=+,即)2(1222k x k k k y --=+,∴)12,0(2k k E --. ∵B A OAB y OD y OD S ⋅+⋅=∆2121,ODE OAB E ODE S S y OD S ∆∆∆=⋅=23,21, ∴E B A B A y y y y y 23=-=+,即2122322kk k k --⋅=+,∴2212或=k ,∴)22,4(A 或)2,1(A . 又由抛物线的对称性,得点A 的坐标为)22,4(或)2,1(.21.解：(1)xa a a x x f )1(2)13()(+++-='. ∵函数)(x f 在1=x 处的切线与直线023=+-y x 平行,∴3)1(2)13(1)1(=+++-='a a a f , 即0322=--a a ,解得23=a 或1-=a (舍去),∴23=a . (2)函数)(x f 的定义域为),0(+∞,xa x a x x a a x a x x a a a x x f )]1()[2()1(2)13()1(2)13()(2+--=+++-=+++-=', ①当10<<a 时,12+<a a ,∴当a x 20<<或1+>a x 时,0)(>'x f ;当12+<<a x a 时,0)(<'x f , ∴函数)(x f 在区间)2,0(a 和),1(+∞+a 上单调递增,在区间)1,2(+a a 上单调递减.②当1=a 时,12+=a a ,0)(≥'x f ,∴函数)(x f 在区间),0(+∞上单调递增.③当1>a 时,12+>a a ,∴当10+<<a x 或a x 2>时,0)(>'x f ;当a x a 21<<+时,0)(<'x f , ∴函数)(x f 在区间)1,0(+a 和),2(+∞a 上单调递增,在区间)2,1(a a +上单调递减.(3)当23=a 时,x x x x f ln 2152112)(2+-=, 由(2)知函数)(x f 在区间)25,0(上单调递增,在区间)3,25(上单调递减,∴函数)(x f 在区间],1[e 上的最小值只能在)1(f 或)(e f 中取得. ∵2152112)(,5)1(2+-=-=e e e f f ,∴22511)1()(2+-=-e e f e f .设2511)(2+-=x x x g ,则)(x g 在区间)211,(-∞上单调递减,且2113<<e , ∴01)3()(>=>g e g ,∴0)1()(>-f e f , ∴)(x f 在区间],1[e 上的最小值是5)1(-=f .若要满足对k k x f e x 6)(],,1[2+≥∈∀恒成立,只需k k x f 6)(2min +≥恒成立,即需k k 652+≥-恒成立,即0562≤++k k ,解得15-≤≤-k ,∴实数k 的取值范围是]1,5[--.22.解：(1)连接OA ,如图,在ADE ∆中,CD AE ⊥于点E ,∴ 90=∠+∠ADE DAE .∵DA 平分BDE ∠,∴BDA ADE ∠=∠.∵OD OA =,∴OAD BDA ∠=∠,∵ADE OAD ∠=∠,∴ 90=∠+∠OAD DAE ,即AE 是圆O 的切线.(2)在ADE ∆和BDA ∆中,∵BD 是圆O 的直径,∴ 30=∠BAD ,由(1)得ABD DAE ∠=∠,又∵AED BAD ∠=∠,∴AED BAD ∆∆~, ∴21323===AB AE BD AD .∴ 60=∠=∠=∠BDC ADE BDA , ∵32=AB ,∴2,4==AD BD ,进一步求得2=CD .23.解：(1)由题意得⎩⎨⎧-+=++=,sin cos 32cos sin 3,sin cos 32sin cos 3222222ααααααααy x ∴曲线C 的普通方程为422=+y x . ∵直线1cos 21sin 23)6sin(:=+=+θρθρπθρl , ∴直线l 的直角坐标方程为023=-+y x .(2)∵圆心)0,0(C ,半径为2=r ,圆心C 到直线l 的距离1=d ,∴这三个点分别在平行于直线l 的两条直线21,l l 上,设1l 与圆C 相交于点F E ,,2l 与圆C 相交于点G ,如图所示,∴直线21,l l 与直线l 的距离均为112=-=-d r ,∴03:1=+y x l ,043:2=-+y x l . 由⎩⎨⎧=+=+,03,422y x y x 得⎩⎨⎧-==13y x 或⎩⎨⎧-=-=13y x ,即)1,3(),1,3(--F E . 由⎩⎨⎧=-+=+,043,422y x y x 得⎩⎨⎧==31y x ,即)3,1(G .∴G F E ,,这三个点的极坐标分别为)3,2(),65,2(),611,2(πππ. 24.解：(1)由题意得323≥+-+-k x x 对任意R x ∈恒成立, 即k x x -≥-+-3)23(min ,又12323=+--≥-+-x x x x , 所以k x x -≥=-+-31)23(min ,解得2≥k .所以实数k 的取值范围为),2[+∞.(2)当1=k 时,不等式可化为x x x x f 3123)(<+-+-=,当2≤x 时,变形为65>x ,解得56>x ,此时不等式的解集为256≤<x ; 当32<<x 时,变形为23>x ,解得32>x ,此时不等式的解集为32<<x ; 当3≥x 时,不等式解得4->x ,此时不等式的解集为3≥x ,综上,不等式的解集为),56(+∞.。

衡水中学2016届高三下数学一调试题（文科有答案）2015～2106学年度下学期高三年级一调考试文数试卷命题人：吴树勋本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题共60分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=,B=，则=A.（1,3）B.（1,4）C.（2,3）D.（2,4）2.若复数z满足，其中i为虚数单位，则zA.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是A.8B.12C.D.4.设a，b是实数，则“a+b0”是“ab0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．设l，m是不同的直线，、是不同的平面，且A.若，则B.若，则C.若，则//D.若//，则6.若，且为第四象限角，则的值等于A.B.-C.D.-7.设，，，若，则实数k的值等于A.-B.-C.D.8.在等差数列中，=48，则等差数列的前13项和为A.24B.39C.52D.1049.已知前n项和的正项数列满足，且，，则A.B.C.D.10.设函数，则是A.奇函数，且在（0，1）是增函数B.奇函数，且在（0，1）是减函数C.偶函数，且在（0，1）是增函数D.偶函数，且在（0，1）是减函数11.函数=的图像如图所示，则下列结论成立的是A.a0,b0,c0,d0B.a0,b0,c0,d0C.a0,b0,c0,d0D.a0,b0,c0,d012.设抛物线C：的焦点为F，直线l过点M(2,0)且与C 交于A,B两点，|BF|=，若|AM|=|BM|，则=A.B.2C.4D.6第II卷（非选择题共90分）注意事项：第II卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置。

二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

2015-2016 年河北衡水中学同步原创月考卷高三期末理数第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 ,每题 5 分,共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的 .1.已知会合A1,i ，i 为虚数单位，则以下选项正确的选项是（）A．1A B．1i A C．i5A D．i A i1i2.设全集U R，会合 A x 2x( x 2 ) 1 ， B x y ln(1x) ，则图中暗影部分表示的集合为（）A．x x1B．x x1C．x 0x 1D．x1x23.设函数f ( x)2e x 1( x2)1，则 f [ f (2)]（）log 3( x21)( x 2)A．22B．2e2C．2e D．2 e4.为研究语文成绩和英语成绩之间能否拥有线性有关关系，统计两科成绩获得如图所示的散点图（两坐标轴单位长度同样），用回归直线y b x a 近似的刻画其相关关系，依据图形，以下结论最有可能建立的是（）A．线性有关关系较强， b 的值为 1.25B．线性有关关系较强， b 的值为 0.83第 1页 /共 17页D．线性有关关系太弱，无研究价值5.以下结论中，正确的选项是④命题 p : x0 R, x023x0 2 0 的否认是 p : x R, x23x 2 0 .A．①②B．①④C．①②④D．①③④6.已知三棱锥O ABC 的极点A, B, C都在半径为 2 的球面上，O 是球心，AOB120 ，当 AOC 与 BOC 的面积之和最大时，三棱锥O ABC 的体积为（）A．3B．2 3C．2D．1 23337.阅读以下图的程序框图，输出s 的值为（）A．0B．3C．3D．3 228.中心为原点O的椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右极点，P为椭圆上一点，OPA90，则该椭圆的离心率 e 的取值范围是（）A．[1,1)B．[2,1)C．[1,6)D．(0,2)222329.某几何体的三视图以下图，则该几何体的体积为（）A．5B．4C．2D．110.如图，在22ABC 中，N 为线段 AC 上凑近 A 点的四均分点，若AP (m ) AB BC ，99则实数 m 的值为（）A．1B．1C．1D．3 9311.设数列a n知足 a11, a2a4 6 ，且对随意 n N，函数f ( x) ( a n a n 1a n 2 ) x an 1cos x a n 2 sin x 知足 f ()0 ，若 c n a n1a，则数列 c n的2 2 n前 n 项和 S n等于（）A．C．n2n1B．n2n41 22n22n 1 n2n 2 1D．n2n41 22n22n12.已知定义在R上的函数y f ( x) 对随意 x 都知足 f (x 2) f ( x) ，当 1 x 1 时，f ( x) sin x ，若函数 g( x) f ( x) log a x ( a 0, 且a 1) 起码有 6 个零点，则实数 a 的取2值范围是（ ）A ．C ．1 (5, )1 (0, ]B ．(0, ) [5, )55( 1 , 1] (5,7)D ． (1 , 1] [5,7)7 57 5第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）二项式 a 3) 8 的睁开式的系数和为 256 ，则 a 的值为 ______.13.x14.设等差数列 a n 知足 a 1 1, a n 0(n N ) ，其前 n 项和为 S n ，若数列 S n 也为等差数列，则S n2 1的最大值是 _____.a nx y 015.已知实数 x, y 知足条件 x y50 ，若不等式 m(x 2y 2 ) ( xy)2 恒建立，则实数y3 0m 的最大值是 _____.16.设函数 f (x)e 2 x 2 1g (x)e 2 x x 1 , x 2 (0,)g( x 1 ) f ( x 2 )恒建立，x， e x，对，不等式kk 1则正数 k 的取值范围是 _______.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17.（本小题满分 12 分）ABC 中，内角 A 、B 、C 的对边分别是 a 、b 、c ，已知 a 、b 、c 成等比数列，且 cos B 3 .11的值；4（1）求tan A tan B（2）设 BA BC3，求 a c 的值 .218.（本小题满分 12 分）同时投掷两枚骰子，将获得的点数分别记为a, b .（1）求a b 7的概率；（2）求点( a, b)在函数y 2x的图象上的概率；（3）将a, b,4的值分别作为三条线段的长，将这两枚骰子投掷三次，表示这三次投掷中能围成等腰三角形的次数，求的散布列和数学希望 .19.（本小题满分 12 分）已知ABC 是边长为 3 的等边三角形，点 D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上的点，且知足AD CE1.DB EA2将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的地点，并使得平面A1DE平面BCDE.（1）求证：A1D EC ；（2）设P为线段BC上的一点，试求直线PA1与平面 A1 BD 所成角的正切的最大值.20.（本小题满分 12 分）已知 F 是抛物线C : y2 2 px( p 0) 的焦点，点 P(1, t) 在抛物线C上，且 PF 3 .2（1）求p, t的值；（2）设O为坐标原点，抛物线C上能否存在点A( A与O点不重合），使得过点O作线段 OA 的垂线与抛物线 C 交于点 B ，直线 AB 分别交x轴、 y 轴于点 D 、 E ，且满足SOAB 3S ODE（ S OAB表示OAB的面积， S ODE表示ODE的面积）？若存在，求2点 A 的坐标；若不存在，说明原因.21.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x)1 x2 (3a 1) x 2a(a 1) ln x(a 0) .2（1）若函数 f (x) 在 x1 处的切线与直线 3x y2 0 平行，求 a 的值；（2）求函数 f (x) 的单一区间；（3）在（ 1）的条件下，若对 x[1, e], f (x)k 2 6k 恒建立，务实数 k 的取值范围 .请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分 .22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，四边形 ABCD 内接于圆 O ， BD 是圆 O 的直径， AE CD 于点 E ，.（1）证明： AE 是圆 O 的切线；（2）假如 AB2 3 ， AE 3，求线段 CD 的长 .23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系 xOy 中， O 为坐标原点，曲线 C :x3 cos sin ,( 为参y3 sincos ,数)，在以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，取同样单位长度的极坐标系中，直线 l : sin() 1.6（ 1）求曲线 C 的一般方程和直线 l 的直角坐标方程；（ 2）曲线 C 上恰巧存在三个不一样的点到直线 l 的距离相等，分别求这三个点的极坐标 .24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f (x) x 3 x 2 k .（1）若f ( x) 3恒建立，务实数k的取值范围；（2）当k 1时，解不等式 f ( x) 3x .月考卷一、选择题1 i1.C【分析】i i22.D【分析】∵ 2x( x 2 )i A ，1 - i2（1- i）1 i(1i )(1- i )1，∴x(x2)0，∴0i A ，i5i A ，应选C.x 2 ，∴ A x 2x( x 2) 1 x 0 x 2 .又∵ B x y ln(1 x)x x 1 ，∴图中暗影部分表示的会合为x 1 x 2 .5.C 【分析】由原命题和逆否命题的关系知①正确；由a ba c ，可得bc 或向量 a 与 b c 垂直，因此②正确；③中命题 p 是假命题，因此 pq 是假命题，所以③错误；特称命题的否认是全称命题，因此④正确 .6.B【分析】∵ S AOC S BOC 1 r 2(sin AOC sin BOC ) ，∴当 AOCBOC902时， S AOC S BOC 获得最大值，此时 OA OC,OBOC ，∴ OC 平面 AOB ，∴VABCV C OAB 1 OC1OAOBsin AOB2 3.3237.A 【分析】由题意得， s sin23sin3 s2015s 5 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5sinsin233 8.B 【分析】设椭圆方程为x 2y 222 1(aabsinsinn，周期 T 6 ，故3 sin45 0 .sinsin3 3bP( x, y)，则 OP (x, y) ，AP ( x a, y) .0) ，又因为 OPA 90 ，因此 OP AP 0 ，即可得 ( x a ) 2y 2 ( a )2 .22因此点 P 在以 OA 为直径的圆上，即椭圆于该圆有异于点A 的公共点 .( x a ) 2y 2( a )222，消去 y ，得 (b 22)x 23x 220 ，x 2 y 2aa a b1a 2b 2a 6 4(b 2 a 2 ) a 2b 2(a 2 2c 2 )2e2 .2因为过点 A ，因此有一个根为 a ，另一个根为 x ，由韦达定理可得 x aa 3 a 32 a 2c 2.b 又因为 0x a ，解得2 1.e29.A 【分析】以以下图所示， 该几何体的直观图为四棱柱截取三棱锥 A A 1B 1E 和三棱锥 D C 1D 1E .由已知底面 ABCD 为直角梯形， AB a, CD2, AD 2, ABAD, CDAD , AA 1 底面ABCD ， AA 1 2, E 为 A 1D 1 的中点，因此该几何体的体积V(12)22 1(111)2 1(112)25.23 23 210.A 【分析】因为 N 为线段 AC 上凑近 A 点的四均分点，因此AN1AC ，设4BPBN ，则AP ABBPABBNAB( ANAB)(1 ) ABAN (1) AB4 AC又 因 为AP (m2) AB2BC m AB 2 AC ，因此有2，即 8, m 1 .4999 9 1m9 9`11.C【分析】 f ( x)a n a n1a n 2 x a n 1 sin x a n 2 cos x ,由 f () 0 ，得2a nan 22a n 1 ，故数列 a n 为等差数列，由 a 11, a 2 a 46 ，得 a nn ，因此 c n n 1n ，211因此 S n (1 n)n2 (12n )n 2 n 2 1 .21 12 2n212.A 【分析】当 a 1时，作函数 f ( x) 与函数 y log a x 的图象以下：联合图象可知， log a 51，故 a 5 ；当 0 a 1时，作函数 f ( x) 与函数 y log a x 的图象以下：联合图象可知，二、填空题log a 5 1，故 0 a 1.log a 51513.1 或 5 【分析】令 x 1 ，则有 (a 3)8 256 ，即 a 3 2，得 a 1或5.14.121【分析】设数列 a n 的公差为 d ，依题意 2S 2S 1S 3 ，即2 2a 1 da 13a 1 3d ，S n 1 (n 10)2n 101( 2n1) 21 121化简可得22，∴ 222 22121 .da 1a n 2(2n 1) 2 (2n 1 )[2n 1] 4 (1 2n 1 )15.25【分析】由题意知可行域如图：13∵m( x 2 y 2 ) ( x y) 2 在可行域内恒建立，即( x y) 22xy2 y22x21y ，∴只要求 z 1mx 2 y 21 x 2y 21( y 11 y 的最大值即可，1 )y xyxxxx设 ky，由图象知 A(2,3) ，则 OA 的斜率 k3，BC 的斜率 k 1 ，由图像可知 1k 3 ，x22 ∵ z k1在 1 k3时为增函数，∴当 k3时， z 获得最大值，此时 z32 13 ，k22236121 2 1 1225，∴ m25，∴ m 的最大值为25.z13 13 1313 13616.[1,)【分析】∵当 x 0 时， f (x)e 2 x 2 1 e 2 x 12 e 2 x 12e ，xxx当且仅当 x 1 时等号建立，∴ x 2(0,) 时，函数 f ( x 2 ) 有最小值 2e .e∵ g( x)e 2 x，∴ g ( x)e 2 (e xxe x ) e 2 (1 x).e xe 2 xxe当 x 1时， g (x) 0 ，则函数 g(x) 在区间 [1, ) 上单一递减，∴ x 1 时，函数 g ( x) 有最大值， g(1) e ，则对 x 1 , x 2 (0, ) ， f ( x 2 )min 2e g( x 1 )max e .∵ g ( x 1) f ( x 2 ) 恒建立，且 k 0 ，∴ e2e ，解得 k 1 .kk1kk 1∴正数 k 的取值范围是 [1, ) .三、解答题17.解：（1）因为 a 、 b 、 c 成等比数列，因此 b 2 ac ，由余弦定理可知 cos Ba 2 c 2b 2a 2c 2 ac1 ( c a 1) ，2ac 2ac2 ac又 cos B3，因此 sin B7.44且 1c a 1)3，解得c或 1.a c 4a22于是1 1 cos Acos Bsin Cc 8 7或287 .tan A tan B sin Asin Bsin Asin Ba sin B77（2）因为 BA BC3，因此 ca cos B3，因此 ca 2 .22又c2 或 1，因此a1, 或 a2,于是 c a 3.a2c 2c 118.解：（1）全部的基本领件共有 6 6 36 个，此中知足 a b7 的基本领件 ( a, b) 有(6,1), (1,6), (5,2), (2,5), (3,4), (4,3) 共 6 个，故 P(ab7) 61 .366（2）记“点 (a, b) 在函数 y 2x 的图象上”为事件 B ，包含 (1,2), (2,4) 两个基本领件，因此 P( B)2 1 .第11页/共17页故点 (a,b) 在函数 y2x的图象上的概率为1.18（3）记“以 a,b,4 为边能围成等腰三角形”为事件C ，共包含 14个基本领件 .147因此 P(C).的可能取值为0,1,2,3 ，P(0) C 30 (11)31331 ， P( 1)C 31 (11)27 847 ，18583218 18 1944P(2)C 31 11(7)2539 ， P(3) C 33(7)3343 ，1818194418 5832因此 的散布列为：123P1331 847 5393435832194419445832E() 01331 1 847 2539 3 343 7或E( )37 7 .5832 19441944 5832618619.解：（1）因为等边△ ABC 的边长为 3，且ADCE 1，因此 AD 1, AE2 ，DBEA2在△ ADE 中， DAE 60，由余弦定理，得 DE 2 12 22 2 1 2cos60 3.因为 AD 2DE 2AE 2 ，因此 AD DE .折叠后有 A 1 D DE ，因为平面 A 1DE 平面 BCDE ，又平面 A 1DE 平面 BCDE DE ， A 1D 平面 1 ， 1DE ，因此 1 平面 BCDE ，又 EC 平面 BCDE ，故 1 EC .A DE A DA DA D（2）由（ 1）可知 BD DE ， A 1D 平面 BCDE ，如图，以 D 为坐标原点，以射线 DB , DE , DA 1 分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正半轴，建 立空间直角坐标系 Dxyz ，作 PHBD 于点 H ，连结 A 1H 、 A 1P ，设PB2a(0 2a 3)，则BH a, PH3a, DH 2 a，因此( 2, 3 ,1)，PA 1a a第12页/共17页因为 ED A1D, ED BD , A1D BD D ，因此 ED平面 A1BD ，因此平面 A1BD 的一个法向量为DE(0,3,0).设直线 PA 与平面A1BD所成的角为，因此sin PA1DE3，2PA1DE445①若0 ，则 sin0 .②若0 ，则 sin33，4245454令1t (t2), y5t 24t 4 .32时单一递加，因此 y min 54832 ，即因为函数 y5t 24t4在 t427 ，3939(sin 2)max32因此(tan 2)max(sin 2)max27.故所求的最大值为315.（此时点P与C重合）1 (sin2)max5520.解：（1）由抛物线的定义，得PF 1p 3，∴ p1，∴ y22x.22将点 P(1, t) 代入C： y22x ，得 t 2 2 ，∴ t 2 .（2）由题意知直线OA的斜率存在且不为0，依据抛物线的对称性，现考虑点A在第一象限，以下图，设直线 OA 的方程为y kx (k 0)， OA OB ，则直线 OB 的方程为y 1 x . k由 y22x，得k 2 x 22x ，∴x 0（舍去）或 x22，点 A(22,2)，y kx k k ky 22x2由，得x2x ，∴ x0 （舍去）或 x2k 2 ，点 B( 2k 2 , 2k) ，y1 xk 2k∵当 k 1 时， x A x B ， AB y 轴，不切合题意，22kk2 (x2k2 ) .∴直线 AB 的方程为 y2kk( x 2k 2) ，即 y 2k 2k 2) ，∴ E (0,2 2k 21 k1 kk 2∵SOAB1OD y A1OD y B ， SODE1ODy E, SOAB3S ODE ，2222∴ y Ay B y Ay B3y E，即22k32k2，∴ k21或 2 ，∴ A(4,2 2) 或 A(1,2 ) .2k2 1k2又由抛物线的对称性，得点 A 的坐标为 (4,2 2) 或 (1, 2) .21.解：（1） f (x) x (3a1) 2a(a 1).x∵函数 f ( x) 在 x 1 处的切线与直线 3x y 2 0 平行，∴ f (1)1 (3a 1)2a(a1) 3 ，即 2a 2 a 3 0 ，解得 a3 或 a 1 （舍去），∴ a 3 .22（2）函数 f ( x) 的定义域为 (0,) ，f (x)x (3a 1)2a(a 1)x 2(3a 1) x 2a(a 1)( x 2a)[ x (a 1)] ，xxx①当 0a 1时，2aa 1，∴当 0 x 2a 或 x a 1时， f ( x) 0 ；当 2axa 1时，f (x)0 ，∴函数 f ( x) 在区间 (0,2a) 和 (a 1,)上单一递加，在区间 ( 2a, a 1) 上单一递减 .②当 a 1 时， 2a a 1 ， f (x) 0 ，∴函数 f ( x) 在区间 (0,) 上单一递加 .③当 a 1 时， 2a a 1 ，∴当 0 xa 1或 x 2a 时， f ( x) 0 ；当 a 1x 2a 时，f (x)0 ，∴函数 f ( x) 在区间 (0, a 1) 和 (2a,) 上单一递加，在区间 ( a 1,2a) 上单一递减 .（3）当 a3时， f ( x)x 2 11x 15 ln x ，222 2由（ 2）知函数 f ( x) 在区间 (0, 5) 上单一递加，在区间 ( 5,3) 上单一递减，22∴函数 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值只好在 f (1) 或 f (e) 中获得 .∵ f (1)5, f (e)e 211e 15，∴ f (e)f (1) e 211e 25 .2 222设 g( x) x 2 11x 25 ，则 g(x) 在区间 (,11) 上单一递减，且 e 3 11 ，22 ∴ g(e)g(3)1 0 ，∴ f (e)f (1) 0 ，∴ f ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值是 f (1) 5 .若要知足对 x [1, e], f (x)k 2 6k 恒建立，只要 f (x)mink 2 6k 恒建立，即需 5k 2 6k 恒建立，即 k 2 6k5 0 ，解得 5 k1，∴实数 k 的取值范围是 [ 5, 1] .22.解：（1）连结 OA ，如图，在 ADE 中， AE CD 于点 E ，∴ DAEADE 90 .∵ DA 均分 BDE ，∴ ADEBDA .∵ OA OD ，∴ BDAOAD ，∵ OAD ADE ，∴ DAEOAD90 ，即 AE 是圆 O 的切线 .（2）在 ADE 和 BDA 中，∵ BD 是圆 O 的直径，∴ BAD 30 ，由（ 1）得 DAE ABD ，又∵BADAED ，∴ BAD ~AED ，∴ ADAE 31.∴ BDA ADEBDC 60 ，BDAB2 3 2∵AB 2 3，∴BD4, AD 2 ，进一步求得CD 2.23.解：（1）由题意得x23cos2sin 22 3 cos sin, y 2 3 sin2cos22 3 cos sin,∴曲线 C 的一般方程为x2y2 4 .3sin 1cos1，∵直线 l : sin()262∴直线 l 的直角坐标方程为x3y20.（2）∵圆心C(0,0)，半径为 r 2 ，圆心 C 到直线 l 的距离 d1，∴这三个点分别在平行于直线l 的两条直线l1,l2上，设l1与圆 C 订交于点E, F，l2与圆 C 订交于点 G ，以下图，∴直线l1 ,l 2与直线l的距离均为r d211，∴l1: x 3y0 ， l 2 : x3y 4 0 .由 x2y 24, 得x 3 或 x 3，即 E(3, 1),F(3,1) .x 3 y0,y1y1由x2y24,得x 1，即 G(1, 3).x 3 y40,y3∴ E, F, G 这三个点的极坐标分别为 ( 2, 11), (2,5), (2,) .66324.解：（1）由题意得x 3 x2k 3 对随意 x R恒建立，即 ( x3x 2 ) min 3k ，又 x3x2x3x21，因此 ( x3x 2 )min1 3 k ，解得 k2.因此实数 k的取值范围为 [2,) .（2）当k 1 时，不等式可化为 f ( x)x3x213x ，当 x 2 时，变形为 5x 6 ，解得 x6，此时不等式的解集为6x 2；55当 2 x 3 时，变形为 3x 2 ，解得 x2，此时不等式的解集为 2 x 3 ；3当 x 3 时，不等式解得 x 4 ，此时不等式的解集为 x3 ，综上，不等式的解集为 (6, ) .5。

河北省衡水中学2016届高三下学期（衡水卷五）文数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知集合(){}(){},|1,,|32A x y y x B x y y x ==+==-，则AB =（ ）A ．25,33⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭B ．25,33⎛⎫⎪⎝⎭ C ．25,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．2525,,,3333⎧⎫⎛⎫⎛⎫--⎨⎬⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭【答案】A考点：集合的运算. 2.已知复数1(12iz i i +=+为虚数单位), 则（ ） A ．z 的实部为15- B ．z 的虚部为15i -C ．35z =D ．z 的共轭复数为3155i +【答案】D 【解析】 试题分析：由()()()()532121211211i i i i i i iz -=-+-+=++=，故z 的共轭复数为3155i +，故选项为D. 考点：复数的概念.3.椭圆()222:106x y C a a +=>则实数a 为（ ）A ．5．5D 【答案】C 【解析】试题分析：由椭圆()222:106x y C a a +=>，（1）当62>a 时，616222=-=a a e ，得556=a ；（2）当62<a 时，616622=-=a e ，得5=a ,故选项为C. 考点：椭圆的性质.4.执行如图所示的程序框图, 则输出的结果是（ ）A ．1B ．43C ．54D ．2 【答案】A 考点：程序框图.【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“Q S ∈”，否则很容易出现错误．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，大多数有两种情形．一种是循环次数比较少时，列举出每一次的运行过程直到达到输出条件即可，另一种是循环次数较多时，寻找它运行的规律即可.5.我市某校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[)[)[)[]20,40,40,60,60,80,80,100，若低于60分的人数为15，则该班的人数为（ ）A ．40B ．50C ．60D ．70 【答案】B 【解析】试题分析：低于60分的人数看前两个条形，易知其概率为其面积即0.3，故该班人数为50人，选项为B.考点：频率分布直方图. 6.已知71sin 24πα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A ．78-B ．78C ．78或78-D 【答案】A 【解析】试题分析：因为41cos 27sin ==⎪⎭⎫⎝⎛+-ααπ,则871cos 22cos 2-=-=αα，故选A.考点：（1）诱导公式；（2）二倍角公式.7.已知函数()()()ln 01xf x a b a a =+>≠且是R 上的奇函数, 则不等式()ln f x a a >的解集是 （ ）A ．(),a +∞B ．(),a -∞C ．当1a >时, 解集是(),a +∞；当01a <<时, 解集是(),a -∞D ．当1a >时,解集是(),a -∞；当01a <<时, 解集是(),a +∞ 【答案】C 【解析】试题分析：因为函数()()()ln 01x f x a b a a =+>≠且是R 上的奇函数，所以()()01ln 0=+=b f ，故0=b ，则()a x a x f xln ln ==，当1>a 时，函数单调递增()()a f a a x f =>ln ，得a x >；当10<<a 时，函数单调递减()()a f a a x f =>ln ，得a x <,故选C. 考点：函数的奇偶性.8. 一个几何体的三视图如图所示, 其中府视图与侧视图均为半径是1的圆, 则这个几何体的体积 是（ ）A ．3πB ．23πC ．πD ．43π【答案】C考点：由三视图求面积，体积.9.已知双曲线 ()2222:10,0x y C a b a b -=>>的虚轴端点到一条渐近线的距离为2b ,则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3 BD ．2 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得双曲线 ()2222:10,0x y C a b a b-=>>的虚轴端点可以取()b ,0，渐近线可以取0=+ay bx ，故222b c ab b a ab ==+，得离心率2=ac，故选项为D. 考点:双曲线的性质. 10.将函数()()sin 206f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍, 纵坐标不变,再将其向左平移6π个长度单位后, 所得的图象关于y 轴对称, 则ω的值可能是（ ） A ．12 B ．32 C ．5D ．2【答案】D考点：（1）三角函数图象变换；（2）三角函数的性质. 11.在等比数列{}n a 中, 若25234535,44a a a a a a =-+++=,则23451111a a a a +++=（ ）A ．1B ．34- C ．53-D ．43-【答案】C 【解析】 试题分析：因为数列{}n a 为等比数列，所以2534234523452534251111a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=+=⋅⋅⋅554334==--，故选C.考点：等比数列的性质.12.定义：若函数()y f x =对定义域内的任意x ，都有()()f m x f m x +=-恒成立，则称函数()y f x =的图象的直线x m =对称，若函数()321f x cx ax bx =+++关于直线12x =对称，且)41a >，则函数()()x g x e f x =+在下列区间内存在零点的是（ ）A ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,2 【答案】C考点：（1）函数图象的对称性；（2）根的存在定理.【方法点晴】本题主要考查三次函数，二次函数图象所具有的性质以及根的存在定理的应用，难度适中，关键在于对上述两个函数图象熟悉的基础上，注意平时知识的积累；由三次项系数含有参数的函数()321f x cx ax bx =+++关于直线12x =对称，得到0=c 且a b -=，得到()12+-+=ax ax e x g x，结合)41a >+，易得()1,21g g ⎪⎭⎫⎝⎛符号相反得解.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知向量(),6a k =与向量()3,4b =-垂直，若()(),,0,65c x y x c =>=且，向量a c +，在向量b 方向上的投影为1，则向量c 的坐标为 ． 【答案】()4,7 【解析】试题分析：因为向量(),6a k =与向量()3,4b =-垂直，所以0243=-k ，得8=k ；则()6,8++=+y x ，又因为向量a c +，在向量b 方向上的投影为1且65=，所以()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=+-+=+01564836522x y x y x ，得⎩⎨⎧==47y x ，故向量c 的坐标为()4,7. 考点：（1）向量的数量积；（2）投影的概念.14.设变量,x y 满足不等式组403301x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩,则z =的取值范围是 ．【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡23427， 【解析】试题分析：变量,x y 满足不等式组403301x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩,故其对应的区域如图所示，其中()3,1A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛34,1B ，⎪⎭⎫⎝⎛4749，C ，故212≤-≤-y x ，得2746-≤--≤-y x ，6427≤--≤y x ，故z =⎥⎦⎤⎢⎣⎡23427，.考点：线性规划.15.某工厂实施煤改电工程防治雾霾, 欲拆除高为AB 的烟囱, 测绘人员取与烟囱底部B 在同一水平面内的两个观测点,C D ,测得75,60,40BCD BDC CD ∠=∠==米, 并在点C 处的正上方E 处观测顶部A 的仰角为30,且1CE =米, 则烟囱高AB = 米． 【答案】1220+ 【解析】试题分析：45180=∠-∠-=∠BDC BCD CBD ，在C B D ∆中，根据正弦定理得s i n s i n C D B D CBC CBD∠=∠=220130tan 1+=⋅+=BC AB（米），故答案为：1220+．考点：解三角形的实际应用.【方法点晴】本题主要考查了正弦定理的应用，考查学生的计算能力，画图识图的能力，只要准确找到图形中的长度和角的关系，是解决此问题的关键，正确求出BC 是关键，属于中档题．理解清楚俯角和仰角的概念，在BCD ∆中由三角形的内角和求出45180=∠-∠-=∠BDC BCD CBD ，再根据正弦定理求得BC 的值，即可求得AB ．16.已知函数()f x 是周期为2的偶函数, 且当[]0,1x ∈时,()2f x x =, 函数()()0g x kx k =>,若不等式()()f x g x ≤的解集是[][][)()0,,,0a b c d d c b a +∞>>>>,则正数k 的取值范围 是 ． 【答案】⎪⎭⎫⎢⎣⎡31,51 【解析】试题分析：因为函数()f x 是周期为2的偶函数, 且当[]0,1x ∈时,()2f x x =,故可得其图象如图所示，使得()()f x g x ≤成立，即曲线在直线的下方，又因为解集分为三段，直线过定点0，故可知直线与曲线相交的临界点为()()1,5,13B A ，,过A 点不行，过B 点可以，故正数k的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡31,51.考点：（1）函数的周期性与奇偶性；（2）数形结合思想.【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性，以及函数的图象，及函数图象交点的问题，转化与化归思想，数形结合思想，综合性较强，难度适中.首先由函数的奇偶性和周期性易得到该函数在整个定义域上的图象，把不等式()()f x g x ≤的解集转化为()x f 的图象在()x g 图象的下方，且()()0g x kx k =>恒过定点O ，由其解集分为三段可得两图象交点的临界点，同时一定要注意临界点的取舍.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()ln 1n S n a =+-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(na nb e e =为自然对数的底数), 定义：1231...nkn k bb b b b ==∏,求1nk k b =∏.【答案】（1）当0a =时，()1ln n n a n N n *+=∈，当0a ≠时，ln 2,11ln ,2n a n a n n n -=⎧⎪=+⎨≥⎪⎩；（2）11nk a k n b e=+=∏. 【解析】试题分析：（1）由递推式求数列的通项公式：⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n S a n n n 时，需注意验证1=n 时是否成立；（2）将第一问中的两种情况分别代入可得结果.试题解析：（1）当1n =时,11ln 2a S a ==- ；当2n ≥且n N*∈时,()()()()11ln 1ln ln 1ln ln 1ln lnn n n n a S S n a n a n a n a n n n-+=-=+---=+--+=+-= ,当0a =时,1ln 2a =,适合此等式, 当0a ≠时,1ln 2ln 2a a =-≠, 不适合此等式,所以当0a =时,()1ln n n a n N n *+=∈ ；当0a ≠时,ln 2,11ln ,2n a n a n n n -=⎧⎪=+⎨≥⎪⎩. （2）当0a =时,1ln112341,...1123nn na nn k k n n b eeb n n n +=++===∴=⨯⨯⨯⨯=+∏. 当0a ≠时,2,11ln ,2na a n n eb e n n n ⎧=⎪⎪==⎨+⎪≥⎪⎩, 所以12341123n k a a k n n b e n e =++=⨯⨯⨯=∏,综上,11n k a k n b e =+=∏. 考点：数列的通项公式.18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，111,A A AB CB A ABB =⊥. （1）求证：1AB ⊥平面1A BC ；（2）若15,3,60AC BC A AB ==∠=，求三棱锥1C AA B -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）34. 【解析】试题分析：（1）先通过AB AA =1,得到四边形11A ABB 为菱形,利用菱形的对角线相互垂直得11AB A B ⊥，在利用线垂直于面，线将垂直于面内所有直线可得11ABB A CB ⊥得到1C B A B ⊥，最后结合线面垂直判定定理即可得到结论；（2）由勾股定理可得：4AB =，由 601=∠AB A 可得三棱锥AB A C 1-的底面AB A 1∆的面积，由（1）知BC 为棱锥的高，由体积公式可得结果.试题解析：（1）在侧面11A ABB 中, 因为1A A AB =,所以四边形11A ABB 为菱形, 所以11AB A B ⊥,因为CB ⊥平面111,A ABB AB ⊂平面11A ABB ,所以1CB AB ⊥,又因为11,A BBC B AB =∴⊥平面1A BC .考点：（1）线面垂直的判定；（2）几何体的体积.【方法点晴】本题主要考查的是证明线面垂直，求三棱锥的体积属于中档题．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线等；在求三棱锥的体积中，关键是准确的找到几何体的高及底面，除了直接法以外，常见的还有等体积法求三棱锥的体积.19.（本小题满分12分）随机抽取某中学高三年级甲, 乙两班各10名同学, 测量出他们的身高(单位：cm ),获得身高数据的茎叶图, 其中甲, 乙两班各有一个数据被污损.（1）若已知甲班同学身高众数有且仅有一个为179,乙班同学身高的中位数为172,求甲, 乙两班污损处的 数据；（2）在(1) 的条件下, 求甲, 乙两班同学身高的平均值；（3）①若已知甲班同学身高的平均值大于乙班同学身高的平均值, 求甲班污损处的数据的值；②在①的条件下, 从乙班这10名同学中随机抽取两名身高高于170cm 的同学, 求身高为181cm 的同学被抽中的概率.【答案】（1）9，4；（2）170.9，171.2；（3）①9；②12. 【解析】试题分析：（1）根据众数和中位数的概念可知甲班污损处是9，乙班污损处是4；（2）直接根据平均数的公式nx x x x x nn +++=21可得结果；（3）①由平均数的概念结合题意可得不等式81701701010x y ++>+，易知甲班污损处只能是9；②利用列举法列出满足题意得所有基本事件，根据古典概型计算公式可得结果.试题解析：（1）因为已知甲班同学身高众数有且仅有一个为179,所以甲班污损处是9 . 因为乙班同学身高的中位数为172,所以乙班污损处是4. （2）由(1)得甲班同学身高的平均值为158162163168168171179179179182170.910+++++++++=,乙班同学身高的平均值为159162165168170174176178179181171.210+++++++++=.(3) ①设甲, 乙班污损处的数据分别为(),09,09,,x y x y x y N ≤≤≤≤∈,则甲班同学身高的平均值为()158162...170 (1821701010)x x++++++=+,乙班同学身高的平均值为()159162...170...17918181701010y y ++++++++=+,由题意,81701701010x y ++>+.解得8x y >+.又09,09,,x y x y N ≤≤≤≤∈,则min 0y =,得8,9x x >∴=,此时0y =. 故甲班污损处的数据的值为9.②设“身高为181cm 的同学被抽中” 为事件A ,从乙班10名同学中抽取两名身高高于170cm 的同学有：{}{}{}{}{}{}176,178,176,179,176,181,178,179,178,181,179,181共6个基本事件, 而事件A 含有{}{}{}176,181,178,181,179,181共3个基本事件, 所以()3162P A ==. 考点：（1）数据的数字特征；（2）古典概型.20.（本小题满分12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过点()2,0P 的直线交抛物线于,A B两点.（1）若11FA FB =-,求直线AB 的方程；（2）求ABF ∆面积的最小值.【答案】（1）20x y --=或20x y +-=；（2）【解析】试题分析：（1）已知直线过定点，可设为点斜式，可分为斜率存在和不存在两种情况经行讨论，当斜率不存在时验证不合题意，当斜率存在时，联立直线与抛物线的方程，结合维达定理得到21x x +和21x x ⋅的值，代入11-=⋅,得到斜率k 的值，故得解；（2）求出特例当斜率不存在时，三角形的面积,在求出当斜率不存在时结合维达定理，表达出ABF S ∆的表达式，求出其最值.试题解析：（1）不妨设点A 在x 轴上方,①当直线AB 的斜率不存在时, 直线方程为2x =,此时将2x =代入抛物线2:4C y x =中,得28y =,解得y =±所以点,A B的坐标分别为((2,,2,-,又焦点F 的坐标为()1,0,则()(1,22,1,FA FB ==-,所以()()1,221,22187FA FB =-=-=-,不满足11FA FB =-,故舍去；②当直线AB 的斜率存在时, 设斜率为k 显然0k ≠,故直线AB 方程为()2y k x =-.设点()()()112212,,,0,0A x y B x y y y ><,联立()224y k x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩,消去y ,得()22224440k x k x k -++=,且232160k∆=+>,则由韦达定理,得(2121212244,4,kx x x x y y k++==∴=-8=-=-,又焦点F 的坐标为()1,0,则()()11221,,1,FA x y FB x y =-=-,所以()()()11221212121,1,1FA FB x y x y x x x x y y =--=-+++()2224444187k k k +=-++-=--.由题意,24711k--=-, 解得1k =±, 所以直线AB 方程为2y x =-或2y x =-+,即20x y --=或20x y +-=.（2）①当直线AB 的斜率不存在时, 由(1)得, 点,A B 的坐标分别为((2,,2,-,所以ABF ∆的面积为()1212111222S PF y y y y =⨯⨯-=-=-=； ②当直线AB 的斜率存在时, 设斜率为k 显然0k ≠,由(1) 得,21212244,4k x x x x k ++==, 所以ABF ∆的面积为12121122S PF y y y y =⨯⨯-=-==248k ==+=>=综上所述,ABF ∆ 面积的最小值为22.考点：（1）抛物线的简单性质；（2）直线与圆锥曲线的综合.【一题多解】为了避免对斜率的讨论，可采用：设直线AB 为2+=my x ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛121,4y y A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222,4y y B ,()0,1F ，由⎩⎨⎧=+=x y my x 422，消x 得0842=--my y ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+>+=∆840321621212y y m y y m ，2212121,1,44y y FA FB y y ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222121216161141811444y y m y y ⎛⎫⎛⎫+=-⋅-+⋅=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得12=m ，即1±=m ，故直线的方程为20x y --=或20x y +-=.21.（本小题满分12分）已知函数()()cos sin 0f x x x x x =->. （1）求函数()f x 在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （2）记n x 为()f x 的从小到大的第()n n N*∈个极值点, 证明：不等式()2222212311117...4n n N x x x x π*++++<∈. 【答案】（1）21024x y ππ++-=；（2）证明见解析；【解析】试题分析：（1）求出函数的导数()x x x f sin -='，故可求得切线的斜率为22ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛'=f k ，由点斜式可得切线的方程；（2）求出函数的极值点()n x n n N π*=∈，利用放缩法得()()222211111ππ+-<=n n n x n ，在结合裂项相消法，注意从第二项起开始放缩得证. 试题解析：（1）()'cos sin cos sin f x x x x x x x =--=-,则切线的斜率为'sin 2222f ππππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,又12f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,故函数()f x 在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为()122y x ππ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,即21024x y ππ++-=. （2）由()'sin 0,0f x x x x =-=>,得()n x n n N π*=∈所以当2n ≥且n N*∈时,()()()()2222211111111211n x n n n n n πππ⎛⎫=<=- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭. 所以当2n ≥时,n N *∈ 时,222222123111111...2n x x x x ππ++++<+111111111111...3243531211n n n n n n ⎛⎫-+-+-++-+-+- ⎪----+⎝⎭2222211111111711221224n n πππππ⎛⎫⎛⎫=++--<++= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. 又当1n =时,22211174x ππ=<. 综上,()2222212311117...4n n N x x x x π*++++<∈. 考点：（1）求函数的切线方程；（2）利用放缩法证明不等式.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数求函数的切线方程，利用导数研究函数的极值，放缩法证明不等式成立，属于难题.利用导数求函数()f x 的切线方程的步骤：①求出切点坐标；②对()f x 求导，求出斜率()0x f k '=；③利用点斜式求出切线的方程；在第二问中求出极点代入，22211n x n π= ()()()()22111111211n n n n ππ⎛⎫<=- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，符合放缩法及裂项相消法的形式，注意方法的积累.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图, 已知圆上的四点A 、B 、C 、,D CD AB ,过点D 的圆的切线DE 与BA 的延长线交于E 点.（1）求证：CDA EDB ∠=∠；（2）若5,7BC CD DE ===,求线段BE 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）549. 【解析】试题分析：（1）由两直线平行内错角相等可得ABD BDC ∠=∠．由弦切角定理可得ABD ADE ∠=∠，即可得出证明；（2）由角边角可得三角形全等即EDA BDC ∆≅∆,得到EA BC =,又由切割线定理可得EB EA DE ⋅=2,代入可得结论.考点：（1）弦切角定理；（2）切割线定理.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中, 以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=,直线l 的参数方程为2(12x tt y t =⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数), 直线l 和圆C 交于,A B 两点,P是圆C 上不同 于,A B 的任意一点. （1）求圆心的极坐标；（2）求点P 到直线l 的距离的最大值. 【答案】（1）()1,0；（2）5525+. 【解析】试题分析：（1）将圆C ：2cos ρθ=化为普通方程，得到其圆心()1,0，根据极坐标的定义可得其极坐标为()1,0；（2）把直线l ⎪⎩⎪⎨⎧+==212t y t x 化为普通方程，因为直线与圆相交，根据其意义可得圆上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径.试题解析：（1）由2cos ρθ=,得22cos ρρθ=,得222x y x +=,故圆C 的普通方程为2220x y x +-=,所以圆心坐标为()1,0,圆心的极坐标为()1,0.（2）直线l 的参数方程为2(12x tt y t =⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数) 化为普通方程是210x y -+=,即直线l 的普通方程为210x y -+=,因为圆心()1,0到直线:210l x y -+=的距离5d ==,所以点P 到直线l的距离的最大值1r d +=+=. 考点：（1）极坐标方程化为普通方程；（2）参数方程化为普通方程；（3）点到直线的距离公式.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()()820f x x x m m m=++->. （1）求函数()8f x ≥恒成立；（2）求使得不等式()110f >成立的实数m 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）()()0,14,+∞.试题解析：（1）由0m >,有()()88882222f x x x m x x m m m m m m m =++-≥+--=+=+8≥=当且仅当82m m=，时取等号, 所以()8f x ≥恒成立. （2）()()811210m m f m =+->+,当120m -<,即12m >时,()()8811221m m m f m +--=+=, 由()110f >,得8210m m +>,化简得2540m m -+>,解得1m <或4m >,所以112m <<或4m >,当120m -≥,即102m <≤时,()()88111222f m m m m=++-=+-, 由()110f >,得82210m m +->,此式在102m <≤时恒成立, 综上, 当()110f >时,实数m的取值范围是()()0,14,+∞.考点：(1)绝对值不等式的性质及解法；（2）均值不等式.。

2015-2016年河北衡水中学同步原创月考卷高三期末理数第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}i A ,1-=，i 为虚数单位，则下列选项正确的是（ ） A ．A i ∈1 B ．A ii∈+-11 C ．A i ∈5 D ．A i ∈- 2.设全集R U =，集合{}12)2(<=-x x x A ，{})1ln(x y x B -==，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A ．{}1≥x x B ．{}1≤x x C ．{}10≤<x x D ．{}21<≤x x3.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=+)2()1(1log )2(2)(231x x x e x f x ，则=)]2([f f （ ）A ．22eB ．22e C ．e 2 D ．2 4.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线∧∧∧+=a x b y 近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（ ）A ．线性相关关系较强，∧b 的值为25.1 B ．线性相关关系较强，∧b 的值为83.0 C ．线性相关关系较强，∧b 的值为87.0- D ．线性相关关系太弱，无研究价值5.下列结论中，正确的是④命题023,:0200≥+-∈∃x x R x p 的否定是023,:2<+-∈∀⌝x x R x p .A ．①②B ．①④C ．①②④D ．①③④6.已知三棱锥ABC O -的顶点C B A ,,都在半径为2的球面上，O 是球心，120=∠AOB ，当AOC ∆与BOC ∆的面积之和最大时，三棱锥ABC O -的体积为（ ）A ．23 B ．332 C ．32 D ．31 7.阅读如图所示的程序框图，输出s 的值为（ ） A ．0 B ．23 C ．3 D ．23-8.中心为原点O 的椭圆焦点在x 轴上，A 为该椭圆右顶点，P 为椭圆上一点，90=∠OPA ，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．)1,21[B ．)1,22[C ．)36,21[D ．)22,0( 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．5 B ．4 C ．2 D ．110.如图，在ABC ∆中，N 为线段AC 上靠近A 点的四等分点，若BC AB m AP 92)92(++=，则实数m 的值为（ ） A ．91 B ．31C ．1D ．311.设数列{}n a 满足6,1421=+=a a a ，且对任意*∈N n ，函数x a x a x a a a x f n n n n n sin cos )()(2121-+---⋅++-=满足0)2(='πf ，若na n n a c 21+=，则数列{}n c 的前n 项和n S 等于（ ）A ．n n n 2122-+B ．122124--++n n n C ．n n n 21222-++ D ．n n n 21242-++ 12.已知定义在R 上的函数)(x f y =对任意x 都满足)()2(x f x f =+，当11<≤-x 时，x x f 2sin )(π=，若函数)1,0(log )()(≠>-=a a x x f x g a 且至少有6个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．),5(]51,0(+∞ B ．),5[)51,0(+∞C ．)7,5(]51,71(D ．)7,5[]51,71(第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.二项式8)3(-xa 的展开式的系数和为256，则a 的值为______.14.设等差数列{}n a 满足)(0,11*∈>=N n a a n ，其前n 项和为n S ，若数列{}nS 也为等差数列，则21nn aS +的最大值是_____.15.已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-03050y y x y x ，若不等式222)()(y x y x m +≤+恒成立，则实数m 的最大值是_____.16.设函数x x e x f 1)(22+=，x e x e x g 2)(=，对),0(,21+∞∈∀x x ，不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，则正数k 的取值范围是_______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，已知c b a 、、成等比数列，且43cos =B . （1）求BA tan 1tan 1+的值； （2）设23=⋅BC BA ，求c a +的值.18.（本小题满分12分）同时抛掷两枚骰子，将得到的点数分别记为b a ,. （1）求7=+b a 的概率；（2）求点),(b a 在函数xy 2=的图象上的概率；（3）将4,,b a 的值分别作为三条线段的长，将这两枚骰子抛掷三次，ξ表示这三次抛掷中能围成等腰三角形的次数，求ξ的分布列和数学期望. 19.（本小题满分12分）已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足21==EA CE DB AD . 将ADE ∆沿DE 折起到DE A 1∆的位置，并使得平面⊥DE A 1平面BCDE . （1）求证：EC D A ⊥1；（2）设P 为线段BC 上的一点，试求直线1PA 与平面BD A 1所成角的正切的最大值.20.（本小题满分12分）已知F 是抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点，点),1(t P 在抛物线C 上，且23=PF . （1）求t p ,的值；（2）设O 为坐标原点，抛物线C 上是否存在点A A (与O 点不重合），使得过点O 作线段OA 的垂线与抛物线C 交于点B ，直线AB 分别交x 轴、y 轴于点D 、E ，且满足ODE OAB S S ∆∆=23（OAB S ∆表示OAB ∆的面积，ODE S ∆表示ODE ∆的面积）？若存在，求点A 的坐标；若不存在，说明理由. 21.（本小题满分12分） 已知函数)0(ln )1(2)13(21)(2>+++-=a x a a x a x x f . （1）若函数)(x f 在1=x 处的切线与直线023=+-y x 平行，求a 的值； （2）求函数)(x f 的单调区间；（3）在（1）的条件下，若对k k x f e x 6)(],,1[2+≥∈∀恒成立，求实数k 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 内接于圆O ，BD 是圆O 的直径，CD AE ⊥于点E ，. （1）证明：AE 是圆O 的切线； （2）如果32=AB ，3=AE ，求线段CD 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，曲线ααααα(,cos sin 3,sin cos 3:⎩⎨⎧-=+=y x C 为参数)，在以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，直线1)6sin(:=+πθρl .（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）曲线C 上恰好存在三个不同的点到直线l 的距离相等，分别求这三个点的极坐标. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数k x x x f +-+-=23)(.（1）若3)(≥x f 恒成立，求实数k 的取值范围； （2）当1=k 时，解不等式x x f 3)(<.月考卷一、选择题1.C 【解析】A i iii ∉-==21，A i ∉-=+=+)i -1)(i 1(i -1i 1i -12）（，A i i 5∈=，故选C. 2.D 【解析】∵12)2(<-x x ，∴0)2(<-x x ，∴20<<x ，∴{}{}2012)2(<<=<=-x x x A x x . 又∵{}{}1)1ln(<=-==x x x y x B ，∴图中阴影部分表示的集合为{}21<≤x x .5.C 【解析】由原命题和逆否命题的关系知①正确；由c a b a ⋅=⋅，可得c b =或向量a 与c b -垂直，所以②正确；③中命题p 是假命题，所以q p ∧是假命题，所以③错误；特称命题的否定是全称命题，所以④正确.6.B 【解析】∵)sin (sin 212BOC AOC r S S BOC AOC ∠+∠=+∆∆，∴当 90=∠=∠BOC AOC 时，BOC AOC S S ∆∆+取得最大值，此时OC OB OC OA ⊥⊥,，∴⊥OC 平面AOB ，∴332sin 2131=∠⨯⨯⨯⨯⨯==-∆AOB OB OA OC V V OAB C ABC . 7.A 【解析】由题意得，3sinsin 32sin3sinππππn s +⋅⋅⋅+++=，周期6=T ，故 035sin 34sin sin 32sin 3sin 5432152015=++++=++++==πππππa a a a a s s .8.B 【解析】设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，),(y x P ，则),(y x OP =，),(y a x AP -=.又由于 90=∠OPA ，所以0=⋅AP OP ，即可得222)2()2(a y a x =+-.所以点P 在以OA 为直径的圆上，即椭圆于该圆有异于点A 的公共点.⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-1)2()2(2222222b y a x a y a x ，消去y ，得0)(223222=-+-b a x a x a b ， 220)2(0)(4022222226≠⇒>-⇒>-+⇒>∆e c a b a a b a . 由于过点A ，所以有一个根为a ，另一个根为x ，由韦达定理可得23223ca ab a a x =--=+.又因为a x <<0，解得122<<e . 9.A 【解析】如下图所示，该几何体的直观图为四棱柱1111D C B A ABCD -截取三棱锥E B A A 11-和三棱锥E D C D 11-.由已知底面ABCD 为直角梯形，,,,2,2,AD CD AD AB AD CD a AB ⊥⊥===⊥1AA 底面ABCD ，E AA ,21=为11D A 的中点，所以该几何体的体积52)2121(312)1121(31222)21(=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯+=V . 10.A 【解析】因为N 为线段AC 上靠近A 点的四等分点，所以AC AN 41=，设BN BP λ=，则 ACAB AN AB AB AN AB BN AB BP AB AP 4)1()1()(λλλλλλ+-=+-=-+=+=+=又因为AC AB m BC AB m AP 9292)92(+=++=，所以有⎪⎩⎪⎨⎧=-=mλλ1924，即91,98==m λ.`11.C 【解析】x a x a x a a a x f n n n n n cos sin )(2121-+----+-=',由0)2(='πf ，得122++=+n n n a a a ，故数列{}n a 为等差数列，由6,1421=+=a a a ，得n a n =，所以nn n c 21+=， 所以n n n n n n n S 2122211)211(212)1(2-++=--++=.12.A 【解析】当1>a 时，作函数)(x f 与函数x y a log =的图象如下：结合图象可知，⎩⎨⎧<<-15log 15log a a ，故5>a ；当10<<a时，作函数)(x f 与函数x y a log =的图象如下：结合图象可知，⎩⎨⎧-≥-≥-15log 15log a a ，故510≤<a .二、填空题13.1或5 【解析】令1=x ，则有256)3(8=-a ，即23±=-a ，得1=a 或5. 14.121 【解析】设数列{}n a 的公差为d ，依题意3122S S S +=，即d a a d a 3322111++=+， 化简可得221==a d ，∴121)12211(41]12221)12(21[)1210()12()10(2222221≤-+=-+-=-+=-+=+n n n n n n n a S nn . 15.1325【解析】由题意知可行域如图：∵222)()(y x y x m +≤+在可行域内恒成立，即x y xy x y x yy x xy y x y x m ++=+⋅+=++=++≤121)(12121)(222222，∴只需求x y xy z ++=121的最大值即可，设x y k =，由图象知)3,2(A ，则OA 的斜率23=k ，BC 的斜率1=k ，由图像可知231≤≤k ，∵k k z 1+=在231≤≤k 时为增函数，∴当23=k 时，z 取得最大值，此时6133223=+=z ，1325131216132121=+=+=+z ，∴1325≤m ，∴m 的最大值为1325.16.),1[+∞ 【解析】∵当0>x 时，e xx e x x e x x e x f 21211)(2222=⋅≥+=+=， 当且仅当ex 1=时等号成立，∴),0(2+∞∈x 时，函数)(2x f 有最小值e 2. ∵x e x e x g 2)(=，∴xx x x e x e e xe e e x g )1()()(222-⋅=-⋅='.当1<x 时，0)(>'x g ，则函数)(x g 在区间),1[+∞上单调递减，∴1=x 时，函数)(x g 有最大值，e g =)1(，则对),0(,21+∞∈∀x x ，e x g e x f =>=max 1min 2)(2)(. ∵1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，且0>k ，∴12+≤k ek e ，解得1≥k . ∴正数k 的取值范围是),1[+∞. 三、解答题17.解：（1）因为c b a 、、成等比数列，所以ac b =2，由余弦定理可知)1(2122cos 22222-+=-+=-+=caa c ac ac c a acbc a B ， 又43cos =B ，所以47sin =B .且43)1(21=-+c a a c ，解得212或=a c . 于是7782778sin sin sin sin sin cos sin cos tan 1tan 1或===+=+B a c B A C B B A A B A . （2）因为23=⋅BC BA ，所以23cos =B ca ，所以2=ca . 又2=a c 或21，所以⎩⎨⎧==2,1c a 或⎩⎨⎧==1,2c a 于是3=+a c . 18.解：（1）所有的基本事件共有3666=⨯个，其中满足7=+b a 的基本事件),(b a 有)3,4(),4,3(),5,2(),2,5(),6,1(),1,6(共6个，故61366)7(===+b a P . （2）记“点),(b a 在函数xy 2=的图象上”为事件B ，包含)4,2(),2,1(两个基本事件， 所以181362)(==B P .故点),(b a 在函数xy 2=的图象上的概率为181. （3）记“以4,,b a 为边能围成等腰三角形”为事件C ，共包括14个基本事件. 所以1873614)(==C P . ξ的可能取值为3,2,1,0，58321331)1811()0(303===C P ξ，1944847187)1811()1(213=⨯==C P ξ， 1944539)187(1811)2(213=⨯⨯==C P ξ，5832343)187()3(333===C P ξ， 所以ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P58321331 1944847 1944539583234367583234331944539219448471583213310)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 或671873)(=⨯=ξE .19.解：（1）因为等边△ABC 的边长为3，且21==EA CE DB AD ，所以2,1==AE AD ，在△ADE 中，60=∠DAE ，由余弦定理，得360cos 21221222=⨯⨯⨯-+=DE . 因为222AE DE AD =+，所以DE AD ⊥.折叠后有DE D A ⊥1，因为平面⊥DE A 1平面BCDE ，又平面 DE A 1平面DE BCDE =，⊂D A 1平面DE A 1，DE D A ⊥1，所以⊥D A 1平面BCDE ，又⊂EC 平面BCDE ，故EC D A ⊥1.（2）由（1）可知DE BD ⊥，⊥D A 1平面BCDE ，如图，以D 为坐标原点，以射线1,,DA DE DB 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系xyz D -，作BD PH ⊥于点H ，连接H A 1、P A 1，设)320(2≤≤=a a PB ，则a DH a PH a BH -===2,3,，所以)1,3,2(1a a PA --=，因为D BD D A BD ED D A ED =⊥⊥ 11,,，所以⊥ED 平面BD A 1，所以平面BD A 1的一个法向量为)0,3,0(=DE .设直线PA 与平面BD A 1所成的角为α，所以5443sin 211+-=⋅=ααααDEPA DE PA ，①若0=α，则0sin =α. ②若0≠α，则αααααα54435443sin 2+-=+-=，令445),32(12+-=≥=t t y t t α. 因为函数324452≥+-=t t t y 在时单调递增，所以932438945min =+-⨯=y ，即3227)(sin max 2=α，所以527)(sin 1)(sin )(tan max 2max 2max 2=-=ααα.故所求的最大值为5153.（此时点P 与C 重合） 20.解：（1）由抛物线的定义，得2321=+=p PF ，∴1=p ，∴x y 22=. 将点),1(t P 代入C ：x y 22=，得22=t ，∴2±=t .（2）由题意知直线OA 的斜率存在且不为0，根据抛物线的对称性，现考虑点A 在第一象限，如图所示，设直线OA 的方程为)0(>=k kx y ，OB OA ⊥，则直线OB 的方程为x ky 1-=. 由⎩⎨⎧==kxy x y 22，得x x k 222=，∴0=x （舍去）或22k x =，点)2,2(2k k A ，由⎪⎩⎪⎨⎧-==x k y xy 122，得x k x 222=，∴0=x （舍去）或22k x =，点)2,2(2k k B -，∵当1=k 时，B A x x =，y AB ⊥轴，不符合题意，∴直线AB 的方程为)2(22222222k x k kkk k y --+=+，即)2(1222k x k k k y --=+，∴)12,0(2k k E --. ∵B A OAB y OD y OD S ⋅+⋅=∆2121，ODE OAB E ODE S S y OD S ∆∆∆=⋅=23,21，∴E B A B A y y y y y 23=-=+，即2122322k k k k --⋅=+，∴2212或=k ，∴)22,4(A 或)2,1(A . 又由抛物线的对称性，得点A 的坐标为)22,4(或)2,1(. 21.解：（1）xa a a x x f )1(2)13()(+++-='. ∵函数)(x f 在1=x 处的切线与直线023=+-y x 平行，∴3)1(2)13(1)1(=+++-='a a a f ， 即0322=--a a ，解得23=a 或1-=a （舍去），∴23=a . （2）函数)(x f 的定义域为),0(+∞，xa x a x x a a x a x x a a a x x f )]1()[2()1(2)13()1(2)13()(2+--=+++-=+++-='，①当10<<a 时，12+<a a ，∴当a x 20<<或1+>a x 时，0)(>'x f ；当12+<<a x a 时，0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在区间)2,0(a 和),1(+∞+a 上单调递增，在区间)1,2(+a a 上单调递减. ②当1=a 时，12+=a a ，0)(≥'x f ， ∴函数)(x f 在区间),0(+∞上单调递增.③当1>a 时，12+>a a ，∴当10+<<a x 或a x 2>时，0)(>'x f ；当a x a 21<<+时，0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在区间)1,0(+a 和),2(+∞a 上单调递增，在区间)2,1(a a +上单调递减.（3）当23=a 时，x x x x f ln 2152112)(2+-=， 由（2）知函数)(x f 在区间)25,0(上单调递增，在区间)3,25(上单调递减， ∴函数)(x f 在区间],1[e 上的最小值只能在)1(f 或)(e f 中取得.∵2152112)(,5)1(2+-=-=e e e f f ，∴22511)1()(2+-=-e e f e f .设2511)(2+-=x x x g ，则)(x g 在区间)211,(-∞上单调递减，且2113<<e ， ∴01)3()(>=>g e g ，∴0)1()(>-f e f ， ∴)(x f 在区间],1[e 上的最小值是5)1(-=f .若要满足对k k x f e x 6)(],,1[2+≥∈∀恒成立，只需k k x f 6)(2min +≥恒成立， 即需k k 652+≥-恒成立，即0562≤++k k ，解得15-≤≤-k ， ∴实数k 的取值范围是]1,5[--. 22.解：（1）连接OA ，如图，在ADE ∆中，CD AE ⊥于点E ，∴90=∠+∠ADE DAE . ∵DA 平分BDE ∠，∴BDA ADE ∠=∠.∵OD OA =，∴OAD BDA ∠=∠，∵ADE OAD ∠=∠，∴90=∠+∠OAD DAE ， 即AE 是圆O 的切线.（2）在ADE ∆和BDA ∆中，∵BD 是圆O 的直径，∴30=∠BAD ， 由（1）得ABD DAE ∠=∠，又∵AED BAD ∠=∠，∴AED BAD ∆∆~， ∴21323===AB AE BD AD .∴ 60=∠=∠=∠BDC ADE BDA ， ∵32=AB ，∴2,4==AD BD ，进一步求得2=CD .23.解：（1）由题意得⎩⎨⎧-+=++=,sin cos 32cos sin 3,sin cos 32sin cos 3222222ααααααααy x ∴曲线C 的普通方程为422=+y x .∵直线1cos 21sin 23)6sin(:=+=+θρθρπθρl ， ∴直线l 的直角坐标方程为023=-+y x .（2）∵圆心)0,0(C ，半径为2=r ，圆心C 到直线l 的距离1=d ，∴这三个点分别在平行于直线l 的两条直线21,l l 上，设1l 与圆C 相交于点F E ,，2l 与圆C 相交于点G ，如图所示，∴直线21,l l 与直线l 的距离均为112=-=-d r ，∴03:1=+y x l ，043:2=-+y x l .由⎩⎨⎧=+=+,03,422y x y x 得⎩⎨⎧-==13y x 或⎩⎨⎧-=-=13y x ，即)1,3(),1,3(--F E . 由⎩⎨⎧=-+=+,043,422y x y x 得⎩⎨⎧==31y x ，即)3,1(G . ∴G F E ,,这三个点的极坐标分别为)3,2(),65,2(),611,2(πππ. 24.解：（1）由题意得323≥+-+-k x x 对任意R x ∈恒成立， 即k x x -≥-+-3)23(min ，又12323=+--≥-+-x x x x ， 所以k x x -≥=-+-31)23(min ，解得2≥k . 所以实数k 的取值范围为),2[+∞.（2）当1=k 时，不等式可化为x x x x f 3123)(<+-+-=，当2≤x 时，变形为65>x ，解得56>x ，此时不等式的解集为256≤<x ； 当32<<x 时，变形为23>x ，解得32>x ，此时不等式的解集为32<<x ；当3≥x 时，不等式解得4->x ，此时不等式的解集为3≥x ， 综上，不等式的解集为),56(+∞.。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z ，“0z z +=”是“z 为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B考点：1、复数的概念；2、充分条件与必要条件． 2.若点55sin,cos 66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在角α的终边上，则sin α的值为（ ） AB ．12C ．12- D．-【答案】D 【解析】试题分析：因为551(sin,cos )(,662ππ=，所以sin α-==故选D ． 考点：任意角的三角函数值．3.某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001,002，…，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（ ）33 21 18 34 29 78 64 56 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 8923 45A ．607B ．328C ．253D ．007 【答案】B 【解析】试题分析：根据题意依次读取数据，得到的样本编号为：253,313,457,860,736,253,007,328, ，其中860,736大于700，舍去；253重复出现，所以第二个253舍去，所以得到的第5个样本编号为328，故选B ． 考点：系统抽样．4.已知,,A B C 点在球O 的球面上，90,2BAC AB AC ∠=== ，球心O 到平面ABC 的距离为1，则球O 的表面积为（ ）A ．12πB ．16πC ．36πD ．20π 【答案】A考点：球的表面积．【思路点睛】由已知中球面上有,,A B C 三点，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，可以求出平面ABC 截球所得截面的直径BC 的长，进而求出截面圆的半径r ，再根据已知中球心到平面ABC 的距离，根据球的半径R 代入球的表面积公式即可得到答案．5.若实数,x y满足()2202011-y x y x y -≥-≤⎨⎪+≤⎪⎩，则y 的最大值为（ ）A ．1B ．45 C【答案】A 【解析】试题分析：作出满足不等式组的平面区域，如图所示，由图知y 的最大值为1，故选A ．考点：简单的线性规划问题． 6.已知函数()21xf x x =+，关于函数()f x 的性质，有以下四个推断： ①()f x 的定义域是(),-∞+∞；②()f x 的值域是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； ③()f x 是奇函数； ④()f x 是区间(0,2)内的增函数. 其中推断正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C考点：1、函数的定义域与值域；2、利用导数研究函数的单调性．【方法点睛】无论用什么方法求函数的值域，都必须首先考虑函数的定义域．具体的方法有：①直接法；②配方法；③分离常数法；④换元法；⑤三角函数有界法；⑥基本不等式法；⑦单调性法；⑧数形结合法；⑨导数法(对于具体函数几乎都可以用导数法去解决)．7.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于,A B两点，若AB 的中点坐标为（1，-1），则E 的方程为（ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y += 【答案】D 【解析】试题分析：易知直线AB 的斜率不为0，则设1122(,),(,)A x y B x y ，l ：3x my =+，则由222231x my x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得22222222()690b m a y mb y b a b +++-=，所以21222262mb y y b m a +=-=-+，12x x +＝12()6262m y y m ++=-+=，所以222,2m a b ==，所以22229c a b b =-==，所以218a =，所以所求椭圆方程为221189x y +=，故选D ． 考点：1、椭圆的方程；2、直线与椭圆的位置关系． 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．43 B ．52 C ．73 D ．53【答案】A考点：1、空间几何体的三视图；2、棱柱与棱锥的体积． 9.执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．32 B ．53 C ．85 D ．127【答案】B 【解析】试题分析：第一次循环，得1,2,3S i A ===；第二次循环，得141,3,633S i A =+===；第三次循环，得413,4,10362S i A =+===；第四次循环，得318,5,152105S i A =+===；第五次循环，得815,655153S i =+==>，此时不满足循环条件，退出循环，输出53S =，故选B ．考点：程序框图．10.已知,A B 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左，右顶点，P 是C 上一点，且直线,AP BP 的斜率之积为2，则C 的离心率为（ ）A 【答案】B考点：1、双曲线的几何性质；2、直线的斜率．11.已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()()22f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),12,-∞-+∞ B ．()1,2- C ．()2,1- D ．()(),21,-∞-+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：因为(0)0f =，则不防设0x >，则0x -<，22()4()()(4)()f x x x x x f x -=---=-+=-，所以函数()f x 为奇函数，又易知当0x >时，函数为增函数，则由奇函数的单调性可知函数()f x 为增函数，所以2(2)()f a f a ->等价于22a a ->，解得21a -<<，故选C ．考点：1、分段函数的奇偶性；2、分段函数的单调性．【方法点睛】与分段函数有关的不等式问题，充分考虑分段函数的单调性，通过分类讨论化为不等式组求解；或画出分段函数的图象，观察在相应区间上函数图象与相应直线相交的交点横坐标的范围，列出函数满足的不等式，从而解出参数范围．12.已知数列{}n a 中，()()12212121,1,2*kk k k k k a a a a a k N -+==+-=+∈，则{}n a 的前60项的和60S =（ ） A ．312154- B ．312124- C ．32294- D ．322124-【答案】C考点：递推数列求和．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量OA AB ⊥ ，3OA =，则OA OB ⋅= .【答案】9 【解析】试题分析：因为OA AB ⊥ ，所以0OA AB =，所以22()||39OA OB OA OA AB OA OA AB =+=+== ．考点：1、向量垂直的充要条件；2、向量的加减运算． 14.若等比数列{}n a 满足2412a a =，则2135a a a = . 【答案】14【解析】试题分析：22135241()4a a a a a ==． 考点：等比数列的性质．15.函数()()sin f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）的部分图象如图所示，则()0f = .【答案】2考点：三角函数的图象．【方法点睛】ω由周期T 确定，即由2T πω=求出．常用的确定T 值的方法有：（1）曲线与x轴的相邻两个交点之间的距离为2T ；（2）最高点和与其相邻的最低点横坐标之间的距离为2T；（3）相邻的两个最低点（最高点）之间的距离为T ；（4）有时还可以从图中读出4T 或34T的长度来确定ω． 16.若函数()()22114f x x x ax b ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的图象关于直线1x =-对称，则()f x 的最大值为 . 【答案】4 【解析】试题分析：因为函数()f x 的图象关于直线1x =-对称，所以(0)(2)f f =-，(1)(3)f f =-，即22221[1(2)][(2)2]411(1)(1)[1(3)][(3)3]44b a b a b a b ⎧=-⨯---+⎪⎪⎨⎪-++=-⨯---+⎪⎩，解得40a b =⎧⎨=⎩，所以221()(1)(4)4f x x x x =-+＝432144x x x x --++，则32()324f x x x x '=--++＝2(1)(24)x x x -++-．令()0f x '=，解得1x =-或1x =-()f x在1x =-处取得极大值，又(1(14f f -=-=，所以 max ()4f x =．考点：1、函数的对称性；2、函数最值与导数的关系．【方法点睛】①利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数在()a b ，内的极值；第二，求函数在端点的函数值()()f a f b ，；第三，比较上述极值与端点函数值的大小，即得函数的最值；②函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存在的点及其端点．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()()cos 2cos b A c a B π=+-.(1)求角B 的大小；(2)若4b =，ABC ∆a c +的值.【答案】(1) 23B π=；(2)a c +=考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式；3、两角和与差的正弦公式．18.(本小题满分12分)某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：(1)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗”与“企业规模”有关？(2)从上述320家支持节能降耗改造的中小型企业中按分层抽样的方法抽出8家，然后从这8家中选出2家，求这2家中恰好中、小型企业各一家的概率. 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】(1)能，理由见解析；(2)7．考点：1、独立性检验的基本思想；2、古典概型．19.(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，1,,PA AD E F ==分别为,PD AC 的中点.（1）求证：//EF 平面PAB ； （2）求点F 到平面ABE 的距离.【答案】(1)见解析；(2)4．考点：1220.(1O 内切于圆O Γ（1（2）当【答案】（12考点：1、椭圆的定义；2、轨迹方程；3、直线与椭圆的位置关系；3、直线的方程．21.(本小题满分12分)已知函数()211ln ,2f x a x a R x x =++∈. (1) 2a =时，讨论函数()f x 的单调性；(2)证明：()()212ln 3x x e x x ---+<. 【答案】(1)在区间（0,1）内单调递减，在区间()1,+∞内单调递增；(2)见解析．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数最值与导数的关系；3、不等式恒成立．【方法点睛】利用导数研究函数的单调性时，先求导，再由()0f x '> (()'0f x <)解出相应的x 的取值范围．当()0f x '>时，() f x 在相应的区间上是增函数；当()'0f x <时，() f x 在相应的区间上是减函数．要特别注意的是，涉及含参数的单调性或单调区间问题，一定要弄清参数对导数()f x '在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论． 请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲如图，⊙1O 和⊙2O 公切线AD 和BC 相交于点,,,D A B C 为切点，直线1DO 交⊙1O 于,E G 两点，直线2DO 交⊙2O 于,F H 两点.(1)求证：DEF ∆∽∆(2)若⊙1O 和⊙2O DE DF 的值. 【答案】（1）见解析；（2考点：1、相似三角形；23、切割线定理．23.(本小题满分10分)已知曲线E ，倾斜角为α的直线l 过点()2,2P .（1）求E 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（2）设12,l l 是过点P 且关于直线2x =对称的两条直线，1l 与E 交于,A B 两点，2l 与E 交于,C D 两点，求证：||:||||:||PA PD PC PB =.【答案】（1）()22cos :40,:2sin x t E x y x l y t αα=+⎧=≠⎨=+⎩(t 为参数)；(2)见解析．考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、参数的几何意义的应用．【警示点睛】将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x y ， (它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等．24.(本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲设函数()121f x x x =--+的最大值为m .(1)求m ；(2)若()222,b,c 0,,a 2a b c m ∈+∞++=，求ab bc +的最大值.【答案】(1)2m =；(2)1．【解析】f x的表达式，分段求得最值，从而求得m的值；(2)试题分析：(1)利用零点分段法得出()利用基本不等式求解．考点：1、零点分段法；2、基本不等式．。