河北省衡水中学2023届高三上学期三调数学试题 Word版含解析

2022届高三上学期第三次月考数学题带答案和解析（河北省衡水市安平中学）选择题已知，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】集合P={x|−1的前项和为，三点共线，且，则__________．【答案】1009【解析】因为三点共线，且，所以，即所以故答案为1009.选择题若把函数的图象向右平移个单位后所得图象关于坐标原点对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的图象向右平移个单位后所得函数为图象关于坐标原点对称，则,-所以的最小值为故选A选择题设函数的导函数为，若为偶函数，且在上存在极大值，则的图象可能为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意,若f(x)为偶函数,则其导数f′(x)为奇函数，结合函数图象可以排除B. D，又由函数f(x)在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，结合选项可以排除A，只有C选项符合题意；本题选择C选项.选择题在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是()A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，则，所以，故选C．选择题设是等比数列的前项和，，则的值为（）A. -2或-1B. 1或2C. 2或-1D. 或2【答案】C【解析】，得，，所以，或所以或。

故选C。

解答题设数列的前项和，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和，求得成立的n的最小值.【答案】（1）（2）10【解析】试题分析：（1）借助于将转化为，进而得到数列为等比数列，通过首项和公比求得通项公式；（2）整理数列的通项公式，可知数列为等比数列，求得前n项和，代入不等式可求得n的最小值试题解析：（1）由已知，有，即．从而．又因为成等差数列，即．所以，解得．所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列．故．（2）由（1）得．所以．由，得，即．因为，所以．于是，使成立的n的最小值为10．解答题已知函数.（1）求在上的最大值和最小值；（2）求证：当时，函数的图像在函数图像下方。

河北省衡水中学2023届高三上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合3(1)(4)ln log (1)x x M x y x ⎧⎫--==⎨⎬-⎩⎭∣，{}2R 4N yy =>∣ð，则（）A ．2M N∈⋂B ．{[2,2](4,)}M N aa ∞⋃=∈-⋃+∣C ．{(,2)(2,)}N aa ∞∞=∈-⋃+∣D ．()R {[2,1]}M N aa ⋂=∈-∣ð2．若i 1|1|i -=--z z ，则||z z -=（）A ．1BC ．2D ．123．在△ABC 中，O 为重心，D 为BC 边上近C 点四等分点，DO mAB nAC =+uuu r uu u r uuu r，则m＋n ＝（）A ．13B ．13-C ．53D ．53-4．一个灯罩可看作侧面有布料的圆台，在原形态下测得的布料最短宽度为13，将其压扁变为圆环，测得布料最短宽度为5，则灯罩占空间最小为（）A ．175πB ．325π3C ．100πD ．不存在5．若六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1，则有（）种安排方法A ．335B ．100C ．360D ．3406．已知函数()πsin ,(0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭将其向右平移π3个单位长度后得到()g x ，若()g x 在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个极大值点，则()f x 一定满足的单调递增区间为（）A ．4π2π,5757⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．4π2π,3939⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3π5π,1313⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5π7π,1919⎡⎤⎢⎣⎦7．已知0.99e 0.01100100e ,ln ,ln ln (0.99)9999a b a c c c -⎛⎫===-≠ ⎪⎝⎭，则（）A ． 1.01b a c >>>B ． 1.01b a c >>>C ． 1.01a b c>>>D ． 1.01a b c >>>8．若已知函数()e x af x +=，()lng x x ka =+，()0,a ∞∃∈+，若函数()()()F x f x g x =-存在零点（参考数据ln 20.70≈），则k 的取值范围充分不必要条件为（）A ．()0.7 1.3e ,eB ．)0.71,e⎡⎣C ．)2.23.1e ,e ⎡⎣D ．()1.32.2e ,e 二、多选题9．在正方体1111ABCD A B C D -中，2,,,AB E F G =分别为棱1,,BB AB BC 中点，H 为1CC 近C 三等分点，P 在面11AA D D 上运动，则（）A ．1BC ∥平面1D FGB ．若(,R)GP GF GH μϕμϕ=+∈uu u r uu u r uuu r，则C 点到平面PBH 的距离与P 点位置有关C ．1BD EG⊥D ．若(,R)GP GF GH μϕμϕ=+∈uu u r uu u r uuu r ，则P 10．若数列{}n a 有2142n n n a a a ++=-，n S 为{}2n a +前n 项积，{}n b 有112n n n n b b b b ++-=，则（）A ．(){}log log 2b a n a ⎡⎤+⎣⎦为等差数列（,0a b >）B ．可能()()21112n n n S a -=-+C ．1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列D ．{}n b 第n 项可能与n 无关11．已知抛物线C ：22x py =，过点P （0，p ）直线{,}l C A B ⋂=，AB 中点为1Q ，过A ，B 两点作抛物线的切线121221,,,l l l l Q l y ⋂=⋂轴＝N ，抛物线准线与2Q P 交于M ，下列说法正确的是（）A ．21Q Q x ⊥轴B ．O 为PN 中点C ．22AQ BQ ⊥D ．M 为2PQ 近2Q 四等分点12．已知奇函数()f x ，x ∈R ，且()()πf x f x =-，当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()cos sin 0f x x f x x '+>，当π2x →时，()2cos f x x →，下列说法正确的是（）A ．()f x 是周期为2π的函数B ．()cos f x x 是最小正周期为2π的函数C ．()cos f x x关于π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称D ．直线y kx =与()cos f x x若有3个交点，则4444,,3553k ππππ⎛⎤⎡⎫∈--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭三、填空题13．6212x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭中常数项是_________．（写出数字）14．若⊙C ：()()221x a y b -+-=，⊙D ：()()22684x y -+-=，M ，N 分别为⊙C ，⊙D上一动点，MN 最小值为4，则34a b +取值范围为_________．15．已知双曲线22221x y a b-=，1F ，2F 分别为双曲线左右焦点，2F 作斜率为a b -的直线交by x a=于点A ，连接1AF 交双曲线于点B ，若21AB AF BF ==，则双曲线的离心率_________．16．已知函数()ln cos f x x kx x =+-，1212(0,,,)x x x x ∀∈∞≠+，使得()()12123f x f x x x ->-，k 的取值范围为_________．四、解答题17．已知O 为△ABC 外心，S 为△ABC 面积，r 为⊙O 半径，且满足()2222342cos cos 23CB AO r A B a S⋅+---=uu r uuu r (1)求∠A 大小；(2)若D 为BC 上近C 三等分点（即13CD BC =），且AD =S 最大值．18．张老师在2022年市统测后统计了1班和3班的数学成绩如下图所示22()()()()()n ad bc K a b b d c d a c -=++++，n a b c d =+++，()20P K k ≥0.0500.0250.0100.0050.0010k 3.8415.0246.6357.87910.828(1)根据卡方独立进行检验，说明是否有99.9%的把握数学成绩与班级有关；(2)现在根据分层抽样原理，从1班和3班中抽取10人，再让数学评价优秀的同学辅导一位数学评价一般的同学，每个人必有一人辅异，求在抽到甲辅导乙的情况下丙辅导丁的概率．(3)以频率估计概率，若从全年级中随机抽取3人，求至少抽到一人数学成绩为优秀的概率．(4)以频率估计概率，若从三班中随机抽取8人，求抽到x 人数学成绩为优秀的分布列（列出通式即可）及期望()E x ，并说明x 取何值时概率最大．19．在△ABC 中，π3BAC ∠=，A 、B 、C 、D 四点共球，R （已知）为球半径，O 为球心，O '为ABC 外接圆圆心，r （未知）为⊙O '半径．(1)求()max A BCD V -和此时O 到面ABC 距离h ；(2)在()max A BCD V -的条件下，面OAB （可以无限延伸）上是否存在一点K ，使得KC ⊥平面OAB ？若存在，求出K 点距OO '距离1d 和K 到面ABC 距离2d ，若不存在请给出理由．20．在高中的数学课上，张老师教会了我们用如下方法求解数列的前n 项和：形如()1212nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的数列，我们可以错位相减的方法对其进行求和；形如()()122121nn nn b +=++的数列，我们可以使用裂项相消的方法对其进行求和．李华同学在思考错位相减和裂项相消后的本质后对其进行如下思考：错位相减：设11(1)n n a a q q -=≠，()()1212111,n nn n n S a a a a q q qS a q q q -=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+()()()()11111(1)111n n n n n n q S a q q q a q q q a q --⎡⎤-=+⋅⋅⋅+--⋅⋅⋅-=+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+=-⎣⎦111n n q S a q -=-综上：当中间项可以相消时，可将求解n S 的问题用错位相减化简裂项相消：设1111111(1)11n n n k k k n n n n n n n ++=-==-⇒-=-⇒=+++1n n n b k k 或1n k n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为公比为1的等比数列；①当1n k n =时，111n b n n =-+②当1n k n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为公比为1的等比数列时，()11111,1n n k k b n n n =++=-+；故可为简便计算省去②的讨论，111n n nS k k n +=-=+综上：可将求解n S 的问题用裂项相消转化为求解n k 的问题你看了他的思考后虽觉得这是“废话文学”，但是你立刻脑子里灵光一闪，回到座位上开始写下了这三个问题：(1)用错位相减的方法“温故”张老师课堂上举的例子，求解数列{n a }前n 项和n S ；(2)用裂项相消的方法“知新”张老师课堂上举的例子，求解数列{n a }前n 项和n S ；(3)融会贯通，求证：()21232nn c n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭前n 项和n T 满18n n S T +<．请基于李华同学的思考做出解答，并写出裂项具体过程．21．在平面直角坐标系中，12,F F 分别为(1,0)-，(1,0)，⊙()222:116x y F -+=，E 为⊙2F 上一点，C 为线段2EF 上一点，⊙C 过1F 和E ．(1)求C 点轨迹方程，并判断轨迹形状；(2)过12,F F 两直线12,l l 交C 分别于A 、B 和M 、N ，P ，Q 分别为AB 和MN 中点，求P 、Q 轨迹方程，并判断轨迹形状；(3)在（2）的条件下，若PQ //x 轴，12l l D ⋂=，求D 点轨迹方程，并判断轨迹形状．22．已知函数()11e ln-=-+kx f x x kx x.(1)求证：()0f x ≥；(2)若()0,x ∀∈+∞，都()211e ≥+f x ，求k 满足的取值范围．参考答案：1．B【分析】先求出集合,M N ，然后再逐个分析判断即可.【详解】由33(1)(4)0log (1)log (1)0x x x x --⎧>⎪-⎨⎪-≠⎩，得3(1)(4)log (1)011x x x x --->⎧⎨-≠⎩，解得>4x 或12x <<，所以{4M x x =>或}12x <<，因为{}2R 4N yy =>∣ð，所以{}{}2422N y y y y =≤=-≤≤，对于A ，因为(1,2)M N = ，所以2M N ∉⋂，所以A 错误，对于B ，因为{4M x x =>或}12x <<，{}22N y y =-≤≤，所以[2,2](4,)M N =-+∞ ，所以B 正确，对于C ，因为{}22N y y =-≤≤，所以C 错误，对于D ，因为{4M x x =>或}12x <<，所以R (,1][2,4]M =-∞ ð，因为{}22N y y =-≤≤，所以(){}R [2,1]2M N ⋂=-ðU ，所以D 错误，故选：B 2．A【分析】设i z a b =+，利用复数相等求出a b ，，即可求解.【详解】设i z a b =+，（,R,i a b ∈为虚数单位）.因为i 1|1|i -=--z z ,所以()1i=1a b +--，所以11a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以111i,1i 22z z =+=-，所以||i 1z z -==故选：A 3．B【分析】连接AO 延长交BC 于E 点，则E 点为BC 的中点，连接AD OD 、，利用向量平面基本定理表示DO可得答案.【详解】连接AO 延长交BC 于E 点，则E 点为BC 的中点，连接AD OD 、，所以()23213432=++=-+⨯+=+DB BA AE CB AB AB A DO DA CAO uuu r uu u r uuu r uu u r uu r uu u r uu r uu u r uu u r uuu r ()()3115431212=--++=-AB AC AB AB AC AB AC uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r ，所以15,1212==-m n ，15112123+=-=-m n .故选：B.4．D【分析】设圆台的上、下底面圆的半径分别为,r R ，母线长为l ，高为h ，由题意可知5R r -=，13l =，则12h =，利用圆台的体积公式求出体积表达式，利用二次函数的性质即可得到答案．【详解】设圆台的上、下底面圆的半径分别为,r R ，母线长为l ，高为h由题意可知5R r -=，13l =，则12h ==则圆台的体积为()()()()2222211ππ124π315255353V h R r Rr r r r r r r ⎡=++=⨯⨯+⎤++=⎣⎦+++2512π25π2r ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当0r >时，V 单调递增，故V 不存在最小值．故选：D ．5．C【分析】把6位老师按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人数分为三组；每种分组再分同学1安排的几位老师辅导解答.【详解】把6位老师按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人数分为三组；①把6为老师平均分为3组的不同的安排方法数有22264233C C C 15A ⋅⋅=在把这三组老师安排给三位不同学生辅导的不同安排方案数为：33A 6=，根据分步计数原理可得共有不同安排方案为：2223642333C C C A 15690A ⋅⋅=⨯=如果把甲老师安排去辅导同学1的方法数为：2212425222C C 1C A 30A ⋅⋅⋅=所以把6位老师平均安排给三位学生辅导且甲老师不安排去辅导同学1的方法数为903060-=②把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导的方法数为：若1同学只安排了一位辅导老师则11425542C C C A 50⋅=若1同学安排了四位辅导老师则4252C A 10=所以把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为60③把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导的方法数为；若1同学只安排了一位辅导老师则12325532C C C A 100⋅=若1同学只安排了两位辅导老师则21325432C C C A 80⋅=若1同学只安排了三位辅导老师则31225322C C C A 60⋅=所以把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为6080100240++=综上把6位老师安排给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为2406060360++=故选：C 6．A【分析】根据平移变换得函数()ππsin ,(0)36g x x ωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，由()g x 在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个极大值点，结合正弦函数图象可得131922ω≤<，再求π6x ω+的范围，结合正弦函数的单调性，由此可判断答案.【详解】解：有题意可得()πππsin ,(0)336g x f x x ωω⎛⎫⎛⎫=-=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由π,π3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得πππ2ππ,36636x ωωω⎛⎫⎡⎤-+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由于()g x 在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个极大值点，所以9π2ππ13π2362ω≤+<，解得131922ω≤<，当4π2π,5757x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π42[,]6576576x ππππωωω+∈-++而42[,[,)57657622ππππππωω-++⊂-，故A 正确，当4π2π,3939x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π42[,]6396396x ππππωωω+∈-++而426351[,][,)3963967878ππππππωω-++⊂-，故B 不正确，当3π5π,1313x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π35[,]6136136x ππππωωω+∈++，而355298[,[,136136378ππππππωω++⊂，故C 不正确，当5π7π,1919x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π57[,]6196196x ππππωωω+∈++，而5721411[,][,)1961961143ππππππωω++⊂，故D 不正确，故选：A.7．D【分析】变形a ，b ，构造函数e ()ln xf x x x x=-+比较a ，b 的大小，构造函数()ln g x x x=-比较,e b 的大小，利用极值点偏移的方法判断1.01,c 的大小作答.【详解】依题意，0.99e 0.99a =，e 0.01ln 0.99e 10.99ln 0.99b =--=-+-，令e ()ln x f x x x x =-+，22e (1)1(e )(1)()1x x x x x f x x x x ---'=-+=，当01x <<时，e 10x x >>>，即()0f x '<，函数()f x 在(0,1)上单调递减，(0.99)(1)e 1f f >=-，即0.99e 0.99ln 0.99e 10.99-+>-，因此a b >，令()ln g x x x =-，1()1g x x'=-，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，函数()g x 在(0,1)上单调递减，(0.99)(1)1g g >=，而e 1(0.99)e>1.01b g =-+>，函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，显然11(e)e 1,()1e eg g =-=+，则方程1(),(1,1]e g x k k =∈+有两个不等实根12,x x ，1201x x <<<，有12()()g x g x k ==，ln ln 0.99ln 0.99ln (0.99)()a c c c c g g c =-⇔-=-⇔=，而0.99c ≠，则有1c >，令()()(2)h x g x g x =--，01x <<，2112(1)()()(2)1102(2)x h x g x g x x x x x -'''=+-=-+-=-<--，即函数()h x 在(0,1)上单调递减，当(0,1)x ∈时，()(1)0h x h >=，即()(2)g x g x >-，因此11()(2)g x g x >-，即有211()()(2)g x g x g x =>-，而211,21x x >->，()g x 在(1,)+∞上单调递增，于是得212x x >-，即122x x +>，取10.99x =，2x c =，于是得20.99 1.01c >-=，又()(0.99))1()(e eg g c g g <<=，()g x 在(1,)+∞上单调递增，从而1.01e c <<，所以 1.01a b c >>>，D 正确.故选：D【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.8．C【分析】因为求的是充分不必要条件，而非充要条件，所以采用特殊值法，只要满足()()11f g ≤，则有()()()F x f x g x =-存在零点，求出1e ak a+≥时k 的取值范围，即为一个充分条件，再由选项依次判断即可.【详解】 当0a =时，()e x af x +=的图象恒在()lng x x ka =+上方，∴若满足()()11f g ≤，即1eln1aka +≤+，1e ak a+≥，则()f x 与()g x 的图象必有交点，即()()()F x f x g x =-存在零点.令()1e x h x x+=()0x >，()()12e 1x x h x x +-'=，有当01x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1x >时，()0h x '>，()h x 单调递增.()()21e h x h ∴≥=.即当2e k ≥时，一定存在()10,a =∈+∞，满足()()11f g ≤，即()()()F x f x g x =-存在零点，因此)2e ,k ⎡∈+∞⎣是满足题意k 的取值范围的一个充分条件.由选项可得，只有)2.2 3.1e ,e ⎡⎣是)2e ,⎡+∞⎣的子集，所以)2.2 3.1e ,e ⎡⎣是k 的取值范围的一个充分不必要条件.故选：C .9．BCD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量逐一解答即可.【详解】解：根据题意建立如图所示的坐标系：因为正方体的边长为2，所以1(0,0,0)A ，(0,0,1)A ，1(2,0,0)B ，1(2,2,0)C ，1(0,2,0)D ，(2,0,2)B ，(2,2,2)C ，(0,2,2)D ，(2,0,1)E ，(1,0,2)F ，(2,1,2)G ，4(2,2,3H ，对于A ，因为1(0,2,2)BC =-u u u u r ，1(1,2,2)FD =--u u u u r ，(1,1,0)FG =u u u r，设平面1D FG 的法向量为(,,)n x y z = ，则有2200x y z x y -+-=⎧⎨+=⎩，则有23y zy x⎧=⎪⎨⎪=-⎩，取(2,2,3)n =-r，因为120n BC ⋅=-≠r u u u u r，所以1n BC ⊥ru u u u r不成立，所以1BC ∥平面1D FG 不成立，故错误；对于B ，设00(0,,)P y z ，则00(2,1,2)G y z P =---uu u r ，(1,1,0)GF =--uu u r ，2(0,1,)3GH =-uuu r ，又因为(,R)GP GF GH μϕμϕ=+∈uu u r uu u r uuu r，所以0021223y z μμϕϕ⎧⎪-=-⎪-=-+⎨⎪⎪-=-⎩，所以有002433z y =-+，所以P 点轨迹为如图所示的线段1MD ，在平面11BCC B 内作出与1MD 平行的直线1NC ，易知1MD 与1NC 的距离等于平面11ADD A 与平面11BCC B 的距离为2，因为1NC 与BH 不平行，所以1MD 与BH 不平行，所以点P 到BH 的距离不是定值，所以PBH S 不是定值，又因为P BCH C BPH V V --=,即1121223233PBH S h ⨯⨯⨯⨯=⋅V ，(h 为C 点到平面PBH 的距离)，所以43PHBh S =V 不是定值，所以C 点到平面PBH 的距离与P 点位置有关，故正确；对于C ，因为1(2,2,2)BD =--uuu r ，(0,1,1)EG =uu u r，1220BD EG ⋅=-=uuu u r uu r ，所以1BD EG ⊥uuu r uuu r，即有1BD EG ⊥，故正确；对于D ，由B 可知P 点轨迹为002433z y =-+，令00y =，则043z =；令02z =，则02y =，所以P 3=，故正确.故选：BCD 10．BD【分析】结合递推式2142n n n a a a ++=-，取12a =-，求{}n a 的通项公式判断选项A 错误，求n S 判断B ，由递推式112n n n n b b b b ++-=，取10b =，判断C ，求数列{}n b 的通项公式判断D.【详解】因为2142n n n a a a ++=-，所以()1222n n a a +=++，所以当2,N n n *≥∈时，20n a +≥，若12a =-，则2,N n a n *=-∈，()log 2a n a +不存在，A 错误；因为12a =-时，2,N n a n *=-∈，所以20n a +=，所以0n S =，又()()211012nn a -+=-，所以可能()()21112n nn S a -=-+，B 正确；因为112n n n n b b b b ++-=，取10b =，则0,N n b n *=∈，此时1nb 不存在，C 错误；D 正确；故选：BD.11．AD【分析】设直线l 的斜率为k ，不妨设0p >，直线l 的方程为y kx p =+，()()1122,,,A x y B x y ，与抛物线方程联立求出12x x +，12x x ，12y y +，得()21,+Q pk pk p ，令12=-pk x 求出1y ，求出xy p '=，可得直线1l 的方程、直线2l 的方程，由22122⨯=AQ BQ x x k k p可判断C ；联立直线1l 、直线2l 的方程可得()2,-Q pk p 可判断A ；令0x =由()1110-=-x y y x p得()0,P p 可判断B ；由()0,P p 、M 点的纵坐标为2p-、()2,-Q pk p 可判断D.【详解】由题意直线l 的斜率存在，设为k ，不妨设0p >，()()1122,,,A x y B x y ，则直线l 的方程为y kx p =+，与抛物线方程联立22y kx px py=+⎧⎨=⎩，可得22220x pkx p --=，222480∆=+>p k p ，所以122x x pk +=，2122x x p =-，21222+=+y y pk p ，所以()21,+Q pk pk p ，不妨令1222==x pk x p k所以221222=+-=++y pk p ky pk p由22x y p=得x y p '=，所以直线1l 的方程为()111x y y x x p -=-，直线2l 的方程为()222x y y x x p-=-，所以2221222221-⨯===-≠-AQ BQ x x p k k p p ，故C 错误；由()()111222x y y x x p x y y x x p ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得11x pk y kx y =⎧⎨=-⎩，可得((222x pk y k pk pk p k p =⎧⎪⎨=--+-=-⎪⎩，所以()2,-Q pk p ，所以21Q Q x ⊥轴，故A 正确；令0x =所以由()1110-=-x y y x p得212-=-=-+y y k p p(220,-+-N p k p ，而()0,P p，且222200pk p p pk k --+=-+=⇒=，故B 错误；因为()0,P p ，M 点的纵坐标为2p-，()2,-Q pk p ，所以322⎛⎫--= ⎪⎝⎭p p p ，()22---=p p p ，故M 为2PQ 近2Q 四等分点，故D 正确.故选：AD.12．AC【分析】根据奇函数()f x ，x ∈R ，且()()πf x f x =-，可确定函数()f x 的周期，即可判断A ；设()()cos f x g x x=确定函数()g x 的奇偶性与对称性即可判断函数B ，C ；根据()()cos sin 0f x x f x x '+>可判断函数()g x 在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上的单调性，结合对称性与周期性即可得函数()g x 的大致图象，根据直线y kx =与()cos f x x若有3个交点，列不等式即可求k 的取值范围，即可判断D.【详解】解：因为()()πf x f x =-，所以()f x 的图象关于π2x =对称，又因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x =--，则()()()πf x f x f x +=-=-，则()()()2ππf x f x f x +=-+=，故()f x 是周期为2π的函数，故A 正确；设()()cos f x g x x =，其定义域为ππ2π,2π,Z 22k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，则()()()()()()()ππ0cos cos πcos cos f x f x f x f x g x g x xx x x -+-=+=+=--，所以()g x 关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，即()cos f x x关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故C 正确；又()()()()()cos cos f x f x g x g x x x---===--，所以()g x 为上的奇函数，结合()()π0g x g x +-=可得()()π0g x g x --+-=，即()()πg x g x -=-故()cos f x x是周期为π的函数，故B 错误；当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以()()()2cos sin 0cos f x x f x x g x x '+'=>，故()g x 在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，由于()g x 关于π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，所以()g x 在π,π2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，且当π2x →时，()2cos f x x →，又函数()g x 的周期为π，则可得()g x 大致图象如下：若直线y kx =与()()cos f x g x x =若有3个交点，则03π225π22k k k ⎧⎪>⎪⎪<⎨⎪⎪≥⎪⎩或03π22π22k k k ⎧⎪<⎪⎪-≥⎨⎪⎪-<⎪⎩，解得445π3πk ≤<或44π3πk -<≤-，故4444,,π3π5π3πk ⎛⎤⎡⎫∈--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故D 错误.故选：AC.13．559【分析】将21x x-看作一项，利用展开式的通项，找两项中的常数项即可求解.【详解】261(2)x x-+的展开式的通项公式是26122316661C ()22C (1)C r r r r r s s r sr r T x xx ---+-=-⋅=-，令12230r s --=，则2312r s +=，故32r s =⎧⎨=⎩或60r s =⎧⎨=⎩或04r s =⎧⎨=⎩，所以261(2)x x-+的展开式中常数项为：3322660044636662C (1)C 2C 2C (1)C 4806415559⨯⨯-⨯+⨯+⨯⨯-⨯=++=，故答案为：559.14．[]15,85【分析】先根据MN 的最小值求出7CD =，即()()226849a b -+-=，再使用柯西不等式求出取值范围.【详解】由于MN 最小值为4，圆C 的半径为1，圆D 的半径为2，故两圆圆心距离4127CD =++=，即()()226849a b -+-=，由柯西不等式得：()()()()()2222268343648a b a b ⎡⎤-+-⋅+≥-+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当且仅当6834a b --=，即5168,55a b ==时，等号成立，即()234502549a b +-≤⨯，解得：153485a b ≤+≤.故答案为：[]15,8515【分析】首先求出2AF 的方程，联立两直线方程，即可取出A 点坐标，由21AB AF BF ==，即可得到B 为A 、1F 的中点，得到B 点坐标，再代入双曲线方程，即可求出226c a =，从而求出双曲线的离心率.【详解】解：依题意()2,0F c ，所以2AF ：()ay x c b=--，由()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2AF b =，又21AB AF BF ==，所以B 为A 、1F 的中点，所以2,22a c ab c B c ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以22222122a c b c c ab a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎝⎭⎝-⎭-=，即44224b a c a -=，即()()222222+4b a b a c a -=，所以2224b a a -=，即225b a =，即2225c a a -=，所以226c a =，则离心率ce a==16．[)4,∞+【分析】不妨设12x x <，把1212()()f x f x x x --＞3化为()()11223f x x f x x <--3，构造函数()()3g x f x x =-，利用()g x 的导数()0g x '≥，求出k 的取值范围．【详解】不妨设1212,(0,),x x x x ∀∈+∞<,∵()()12123f x f x x x ->-，即()()1212)3(f x f x x x <--，()()11223f x x f x x <--3,构造函数()()3g x f x x =-，∴()g x 在(0)+∞，是单调递增函数，∴()()13sin 30g x f x k x x ''=-=++-≥,∴()1sin 3,0,k x x x ∞⎛⎫≥-++∈+ ⎪⎝⎭当0x >时，10x >，[]sin 1,1x ∈-，所以1sin 1x x+>-，所以1sin 34x x ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭，所以k 的取值范围为[)4,∞+故答案为：[)4,∞+17．(1)π3【分析】（1）由向量的运算整理可得221122c b CB AO =-⋅uu r uuu r ，结合正弦定理、余弦定理和面积公式运算求解；（2）根据题意结合向量可得1233AD AB AC =+ ，再结合数量积可得221242999c bc b =++，利用基本不等式可得3bc ≤，再结合面积公式即可得结果.【详解】（1）取,AB AC 的中点,M N ，连接,OM ON ，则,OM AB ON AC ⊥⊥，可得：()cos cos NC AC AB AO AC AO AB AO OA A M A B O AB A A O C O OA =-=⋅-⋅=∠-∠⋅⋅uu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uu u r u u r uuu r uuu r222211112222AB AC c b =-=-uu u r uuu r由()2222342cos cos 23CB AO r A B a S ⋅+---=uu r uuu r ，可得()2222223141cos 1cos 11sin 22322r A B a c b bc A +--+--=⨯，则()()2222232sin 2s 1in sin 2122r A r B a c b b c A --=++，即222223sin 21221a b a b A c b c +-=-+，整理得2222sin b A c a bc +⨯-，由余弦定理222cos sin 23b c a A A bc +-==，可得tan A =∵()0,πA ∈，故π3A =.（2）由题意可得：()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，则22221214433999AD AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，可得：221242999c bc b =++，则2218244bc c b bc -=+≥，当且仅当224c b =，即2c b =时等号成立，即3bc ≤，则11sin 322S bc A =≤⨯故S18．(1)有，理由见解析(2)14(3)78(4)分布列见解析，()2E x =，2x =时，概率最大，理由见解析【分析】（1）计算卡方，与10.828比较后得到结论；（2）先根据分层抽样求出1班和3班抽到的学生分布情况，再根据条件概率求出概率；（3）计算出1班和3班的总人数，以及数学评价优秀的学生总人数，求出相应的频率作为全校数学评价优秀的概率，求出随机抽取3人，抽到0人数学评价优秀的概率，再利用对立事件求概率公式计算出答案；（4）由题意得到18,4x B ⎛⎫⎪⎝⎭，从而求出分布列，数学期望，并利用不等式组，求出2x =时，概率最大.【详解】（1）22100(10204030)5010.828406050503K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有99.9%的把握数学成绩与班级有关；（2）1班有40+20=60人，3班有10+30=40人，故抽取10人，从1班抽取人数为601066040⨯=+，从3班抽取的人数为401046040⨯=+，由于1班数学评价优秀和一般人数比为4:2，故抽取的6人中有4人数学评价优秀，2人评价一般，而3班数学评价优秀和一般的人数之比为1:3，故抽取的4人中有1人数学评价优秀，3人评价一般，设抽到甲辅导乙为事件A ，抽到丙辅导丁为事件B ，则()4455A 1A 5P A ==，()3355A 1A 20P AB ==，()()()1112054P AB P B A P A ==÷=；（3）1班和3班总人数为100人，其中两班学生数学评价优秀的总人数为104050+=，故频率为5011002=，以频率估计概率，全年级的数学评价优秀的概率为12，从全年级中随机抽取3人，抽到0人数学评价优秀的概率为30311C 128⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以从全年级中随机抽取3人，至少抽到一人数学成绩为优秀的概率为17188-=.（4）由题意得：3班的数学评价优秀概率为101404=，故18,4x B ⎛⎫⎪⎝⎭ ，所以分布列为8811C 144xxx -⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1,2,,8x = ；数学期望()1824E x =⨯=，2x =时，概率最大，理由如下：令8171881111C 1C14444xxx xx x -+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：54x ≥，令8191881111C 1C14444x xx xx x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：94x ≤，故5944x ≤≤，因为N x ∈，所以2x =.19．(1)()max A BCD V -3，此时13h R =，(2)存在K ，满足KC ⊥平面OAB ，理由见解析；1d =，223d R =.【分析】(1)设线段O O '的延长线与球的交点为1D ，则1A BCD D ABC V V --≤，设OAO θ'∠=，表示1D ABC -的体积，通过换元，利用导数求其最大值.(2)取AB 的中点E ，连接OE ，CE ，过C 作KC OE ⊥，根据线面垂直判定定理证明KC ⊥平面OAB ，再通过解三角形求1d ，2d .【详解】（1）当点D 为线段O O '的延长线与球的交点时，点D 到平面ABC 的距离最大，所以1A BCD D ABC D ABC V V V ---=≤，由球的截面性质可得'⊥O O 平面ABC ，设OAO θ'∠=，π02θ≤<，则sin ,cos OO OA AO OA θθ''==，又,OA R AO r '==，所以sin ,cos OO R r R θθ'==，所以sin DO R R θ'=+，在ABC 中，π3BAC ∠=，由正弦定理可得π2sin cos 3BC r θ==，由余弦定理可得222π2cos3AB AC AB AC BC +-⋅=，所以22AB AC AB AC BC ⋅-⋅≤，故223cos AB AC R θ⋅≤，所以ABC 的面积221πsin cos 23S AB AC θ=⋅≤，当且仅当AB AC =时等号成立，所以()()12232111cos sin cos sin 133D ABC V S D O R R R θθθθ-=⋅≤⋅⋅+=⋅⋅+'，设()2cos sin 1y θθ=⋅+，令sin t θ=，则()()211y t t =-⋅+，01t ≤<所以()()2321311y t t t t '=--+=--+，当103t ≤<时，0y >' ，函数()()211y t t =-⋅+在10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，当113t <<时，0'<y ，函数()()211y t t =-⋅+在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当13t =时，函数()()211y t t =-⋅+，01t ≤<取最大值，最大值为3227，所以13D ABC V -≤，所以()max A BCD V -为327R ，此时1sin 3h OO R R θ'===，（2）由(1)点D 与点1D 重合，33AB AC BC R ===，又π3BAC ∠=，取AB 的中点E ，连接OE ，CE ，则,OE AB CE AB ⊥⊥，OE CE E ⋂=，,OE CE ⊂平面OCE ，所以AB ⊥平面OCE ，过C 作KC OE ⊥，垂足为K ，因为KC ⊂平面OCE ，所以AB KC ⊥，AB OE E ⋂=，,AB OE ⊂平面OAB ，所以KC ⊥平面OAB ，由(1)AB BC AC ===，OA OB OC R ===，1133OO OA R '==，所以3OE R ==，CE ==，所以3O E '=，因为π2OO E CKE OEO CEK ''∠=∠=∠=∠，，所以CEK OEO ' ，所以EK CE EO OE ='，所以3EK R =，所以2EK OE =，所以O 为EK 的中点，又EO OO '⊥，所以E 到直线OO '的距离为3EO R '=，过K 作KM OO '⊥，垂足为M ，故点K 到OO '的距离为KM ，所以K 到直线OO '的距离为13d KM EO R '===，因为OO '⊥平面ABC ，O '为垂足，所以点O 到平面ABC 的距离为13OO R '=，过K 作KN CE ⊥，垂足为N ，则//KN OO '，所以KN ⊥平面ABC ，故点K 到平面ABC 的距离为KN ，又223KN OO R '==所以点K 到平面ABC 的距离为223d R =.20．(1)()15252⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭nn S n ；(2)()15252⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭nn S n ；(3)裂项过程见解析，证明见解析.【分析】(1)写出n S 的表达式，两边同乘12，与原式相减，利用等比数列求和公式化简即可；(2)对()1212nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭进行裂项，结合裂项相消法求和；(3)对()21232nn c n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭进行裂项，利用裂项相消法求和，由此证明结论.【详解】（1）因为()1212nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()123111111357212122222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()12341111113572121222222nn n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()1123111111322221222222nn n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，所以()1111112212222n n n S n -+⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎝⎝-⎪⎪⎭⎭，所以()15252⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭nn S n ；（2）因为()1212nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()()111122n nn a A n B An B --⎭⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-++ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎝⎭，则()122nn a An A B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以2A =，5B =，故()()111232522n nn a n n -⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎝⎝-⎪⎭⎭所以()()112171111115723252292222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎝⎝-⎭⎭-，所以()15252⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭nn S n ；（3）因为()21232nn c n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，设()()()122111122n nn c Dn En F D n E n F -⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++++++ ⎪⎪⎣⎦-⎝⎭⎝⎭，则()2122nn c Dn E D n F D E ⎛⎫⎡⎤=+-+- ⎦⎝-⎪⎣⎭，则1,4,8D E F ===，所以()()122114861322n nn c n n n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-，即()()12211243422n nn c n n -⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤=++++ ⎪⎪⎣⎦⎦⎝⎝-⎣⎭⎭，所以()()()()()()2111222222111111342444445434222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝-⎭⎝⎭⎝+--⎭++所以()21613132nn T n n ⎛⎫=++ -⎪⎝⎭，所以()()()22811152513613188182212nnn nn n n n n n S T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+<⎝⎭21．(1)C 点轨迹方程为22143x y +=，轨迹形状是以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆.(2)点P 的轨迹方程为：221()2113416x y ++=，其轨迹形状是以1(,0)2-为对称中心，焦点在x 轴上，长轴长为1的椭圆；点Q 的轨迹方程为：221()2113416x y -+=，其轨迹形状是以1(,0)2为对称中心，焦点在x 轴上，长轴长为1的椭圆.(3)点D 的轨迹方程为：22134y x +=，其轨迹形状是焦点在x 轴上，以11(,0),(,0)22-为焦点，以2为长轴长的椭圆.【分析】(1)根据椭圆的定义即可求解；(2)设出直线12,l l 的方程，与曲线方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式即可求解；(3)根据（2）的结论，先得出340mt +=，再求出D 点的坐标，结合,m t 的关系式即可求解.【详解】（1）由题意可知：24F E =，1CF CE =，因为12221242CF CF CE CF EF F F +=+==>=，所以C 点的轨迹是以12,F F 为焦点，24a =为长轴长的椭圆，则2223b a c =-=，所以C 点轨迹方程为22143x y +=，轨迹形状是以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆.（2）当直线1l 与x 轴重合时，点(0,0)P ；当直线1l 与x 轴不重合时，设直线1l 的方程为：1x ty =-，1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程组221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理可得：22(34)690t y ty +--=，则122634t y y t +=+，122934y y t -=+，所以212122268()223434t x x t y y t t -+=+-=-=++，则12212242343234P P x x x t y y t y t +-⎧==⎪⎪+⎨+⎪==⎪+⎩，消参可得：221212160x x y ++=，即221()21(0)13416x y x ++=≠，综上所述：点P 的轨迹方程为：221()2113416x y ++=，点P 的轨迹形状是以1(,0)2-为对称中心，焦点在x 轴上，长轴长为1的椭圆；同理当直线2l 与x 轴重合时，点(0,0)Q ；当直线2l 与x 轴不重合时，设直线2l 的方程为：1x my =+，3344(,),(,)M x y N x y ，联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得：22(34)690m y my ++-=，则342634my y m -+=+，342934y y m -=+，所以234342268()223434m x x t y y m m -+=++=+=++，则34234242343234Q Qx x x m y y m y m +⎧==⎪⎪+⎨+-⎪==⎪+⎩，消参可得：221212160x x y -+=，即221()21(0)13416x y x -+=≠，综上所述：点Q 的轨迹方程为：221()2113416x y -+=，点Q 的轨迹形状是以1(,0)2为对称中心，焦点在x 轴上，长轴长为1的椭圆；（3）由（2）知：2243(,)3434tP t t -++，2243(,)3434m Q m m -++，因为//PQ x 轴，所以22333434t mt m -=++，即(34)()0mt m t ++=，又因为且12l l D ⋂=，所以340mt +=，也即43m t=-，联立12,l l 可得：11x ty x my =-⎧⎨=+⎩，解得：212D D t x t my t m ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩消参可得：24123(1)y x x ++=+，即22134y x +=，所以点D 的轨迹方程为：22134y x +=，其轨迹形状是焦点在x 轴上，以11(,0),(,0)22-为焦点，以2为长轴长的椭圆.22．(1)证明见解析；(2)(],1-∞-【分析】（1）利用同构，转化为()()1e ln e e kx kx f x x x =-.构造函数1ln ey t t =-，利用导数求出最小值，即可证明；（2）把()211e≥+f x 转化为()()ln 12e ln 1e 2x kx kx x +---+-≥--对()0,x ∀∈+∞恒成立.构造函数()e mg m m =-，利用导数判断出单调性，转化为2ln 1kx x +-≤-对()0,x ∀∈+∞恒成立，分离参数后，构造函数()()ln ,01xh x x x=-->，利用导数求出()min h x ，即可求解.【详解】（1）函数()11e ln -=-+kx f x x kx x 的定义域为()0,∞+.()11e ln-=-+kx f x x kx x 1e ln e kxx kx x =--()1e ln e ekx kx x x =-.令(),0e kxt x t =>，则1ln ey t t =-.因为11e e e t y t t -'=-=，所以当0<e t <时，0'<y ，1ln ey t t =-单减；当t e >时，0'>y ，1ln ey t t =-单增.所以1e ln e=0ey ≥⨯-，即0y ≥，所以()0f x ≥成立.（2）()211e≥+f x 即为121e ln e 1kx x kx x ---+≥+，亦即为ln 12e e ln 1e 2x kx kx x ----+≥+，可化为()()ln 12eln 1e 2x kx kx x +---+-≥--对()0,x ∀∈+∞恒成立.不妨设()e m g m m =-，则()e 1mg m '=-.当0m <时，()0g m '<，()e m g m m =-单减；当0m >时，()0g m '>，()e mg m m =-单增.所以当0ln 1kx x +-<时，有2ln 1kx x +-≤-对()0,x ∀∈+∞恒成立.即l 1n xk x--≤.令()()ln ,01x h x x x =-->，则()2ln xh x x'=.所以当01x <<时，()0h x '<，()h x 单减；当1x >时，()0h x '>，()h x 单增所以()()min 11h x h ==-.即1k ≤-.综上所述：k 的取值范围为(],1-∞-.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）利用导数证明不等式．。

衡水中学2013—2014学年度上学期三调考试高三年级数学试卷（文）本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．设全集U=R +，集合A={x|x 2﹣2x ＜0}，B={x|lgx≥0}，则“x∈A”是“x∈∁U B”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件2. 已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题0,:2>∈∀x R x q ，则( )A.命题q p ∨是假命题B.命题q p ∧是真命题C.命题)(q p ⌝∧是真命题D.命题)(q p ⌝∨是假命题 3.在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若129m a a a a =+++，则m 的值为（ ） A ．37 B ．36 C ．20 D ．194. 已知011<<ba ，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab<b 2C ．2>+abb a D ．|a|+|b|>|a+b| 5. 已知a 是函数的零点，若0＜x 0＜a ，则f （x 0）的值满足（ ）A ．f （x 0）=0B ．f （x 0）＞0C ．f （x 0）＜0D ．f （x 0）的符号不确定6. 已知f （x ）=x 2+（sin θ﹣cos θ）x+sin θ（θ∈R ）的图象关于y 轴对称，则2sin θcos θ+cos2θ的值为（ ） A ． B ．2 C ．D ．17. 设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 的值为（ ）A.1B.2 C .3 D.48. 已知正数x ,y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则y xz )21(4⋅=-的最小值为( )A ．1B ．3241 C ．161 D ．3219. ABC ∆中，若2lg sin lg lg lg -==-B c a 且)2,0(π∈B ，则ABC ∆的形状是( )A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形 10. 函数 ()sin x f x e x -=的单调递增区间（ ） A.52,244k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ ()k Z ∈ B.32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ ()k Z ∈ C.32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ ()k Z ∈ D.52,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k Z ∈ 11. 设动直线m x =与函数x x g x x f ln )(,)(2==的图象分别交于点M 、N ，则|MN|的最小值为( ) A ．2ln 2121+ B ．2ln 2121- C ． 2ln 1+ D ．12ln - 12. 定义在R 上的函数f （x ）满足f （3）=1，f （﹣2）=3，f′（x ）为f （x ）的导函数，已知y=f′（x ）的图象如图所示，且f′（x ）有且只有一个零点，若非负实数a ，b 满足f （2a+b ）≤1，f （﹣a ﹣2b ）≤3，则的取值范围是（ ）A. ]10,31[B. ),10[]31,0(+∞C. ]107,31[D. ),107[]31,0(+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、 填空题（每题5分，共20分。

2023届河北省衡水市第十三中学高三上学期质检（三）数学试题一、单选题1．已知集合，则（ ）}{}2,2A B x x =≤=<A B = A ．B ．{}22x x -<<{}02x x ≤<C ．D ．{}2x x ≤{}22x x -<≤【答案】B 【分析】计算，再计算交集得到答案.{}{}04,22A x x B x x =≤≤=-<<【详解】，}{}{}{}204,222A x x B x x x x =≤=≤≤=<=-<<所以.{}02A B x x ⋂=≤<故选：B 2．已知，则的虚部为（ ）()1i 4z ⋅+=z A ．B ．2C ．D ．2-2i-2i【答案】A【分析】根据复数的四则运算运算求解.【详解】因为，所以，所以的虚部为.()1i 4z ⋅+=422i 1i z ==-+z 2-故选:A.3．已知，则（ ）1.1ln3,log 2a b c -===A ．B ．b a c <<a c b <<C ．D ．a b c <<b c a<<【答案】D【分析】利用“分段法”确定正确答案.0,1【详解】因为，()1.10.2 1.1ln3ln e 1,log log 10,20,112a b c -=>==<=∈==所以.b c a <<故选：D4．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥是阳马，上平面，且，若，，，则P ABCD -PA ABCD 2EC PE = AB a =AC b = AP c =（ ）DE =A ．B ．122333a b c -+ 122333a b c ++C ．D ．2233a b c-+ 2233a b c+- 【答案】C【分析】运用空间向量的加减运算，把已知向量用空间中一组基底表示.【详解】，1121()3333AE AP PE AP PC AP AC AP AP AC=+=+=+-=+，AD BC AC AB ==- 所以．22223333DE AE AD AB AC AP a b c=-=-+=-+ 故选：C5．若直线是曲线的一条切线，则实数（ ）30x y a +-=214ln 2y x x =-=a A ．B ．C ．D ．12325272【答案】D【分析】利用导数，根据斜率求得切点坐标，进而求得.a 【详解】因为，所以，令，即，214ln 2y x x =-4y x x '=-43x x -=-2340x x +-=得或（舍去），所以切点是，代入，1x =4x =-11,2⎛⎫⎪⎝⎭30x y a +-=得，.1302a +-=72a =故选：D6．抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小2:12C y x =-F P C (5,2)A -PA PF +值为（ ）A ．8B ．6C ．5D ．9【答案】A【分析】根据抛物线的定义结合几何图形求解.【详解】如图，设抛物线的准线为，过作于，过作于，C l P PC l ⊥C A AB l ⊥B 因为，所以当，，三点共线时，||||PF PC =A P C 取得最小值，故的最小值为．||||PA PF +||||PA PF +|5|82p -+=故选:A.7．《几何原木》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，、是直角圆锥的两个轴截面，且，则SAB △SCD SO 1os 3c BOC =∠异面直线与所成角的余弦值为（ ）SA BCA ．BCD 13【答案】B【分析】设，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内垂直于6AB =O OB OS y z ABC 的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值.OB x SA BC 【详解】在圆锥中，平面，设，以点为坐标原点，、所在直线分SO SO ⊥ABC 6AB =O OB OS 别为、轴，平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，y z ABC OB x因为，所以、、、，1os 3c BOC =∠()0,3,0A -()0,3,0B ()0,0,3S ()C -，，()0,3,3SA =--()2,0BC =-- 所以，cos ,SA BC SA BC SA BC ⋅<>===⋅所以异面直线与SA BC 故选：B.8．已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，设过的直线与2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>5312,F F 2F l 的右支相交于两点，若，则（ ）C ,A B ()()112112220,F A F F F A F F BF AF λ+⋅-==λ=A ．B ．C ．D ．3-2-【答案】D【分析】由可得，由得，()()1121120F A F F F A F F +⋅-= 1122F A F F c==22BF AF λ=0λ<，再结双曲线的定义表示出，，然后在和中利用余弦定理列243BF aλ=-⋅ 2AF 1BF 12AF F △1AF B △方程可求得结果.【详解】因为离心率为，所以，所以，5353c a =53c a=因为，()()1121120F A F F F A F F +⋅-= 所以，即，22112F A F F = 1122F A F F c == 因为，所以，122F A AF a-=210422233AF c a a a a =-=-=因为，所以，，，22BF AF λ= 0λ<243BF a λ=-⋅ 224(1)3AB AF BF a λ=+=-所以，214223BF a F a aB λ=-⋅=+ 由余弦定理得22222212121112122AF AF F F AF AB BF AF AF AF AB+-+-=，2222222164164(1)244939442222(1)33c a a a c a c c a c a λλλ⎛⎫+---⋅+- ⎪⎝⎭=⋅⋅⋅⋅-化简得，2242542(1)(1)(1)9993λλλ-=+---解得，2λ=-故选：D二、多选题9．如图，在直三棱柱中，，若，则D 可能为（ ）111ABC A B C -1AB BC AC AA ===1BD AC ⊥A ．的中点B ．AC 的中点1A C C ．的中点D ．的重心1CC ABC 【答案】BCD【分析】设E ，F 分别为AC 和的中点，证明平面BEF ，得点在平面BEF 内，从而可1CC 1A C ⊥D 得正确选项．【详解】设E ，F 分别为AC 和的中点，因为是直三棱柱，所以平面ABC ，1CC 111ABC A B C -1A A ⊥平面ABC ，所以，又因为，E 为AC 的中点，所以，因为BE ⊂1A A BE ⊥AB BC =BE AC ⊥，平面，所以平面，而平面，则1A A AC A = 1,AA AC ⊂11A ACC BE ⊥11A ACC 1AC ⊂11A ACC ，又因为，是正方形，与正方形的对角线平行，1BE A C ⊥11AC AA CC ==11ACC A EF 11ACC A 1AC 所以，又，平面BEF ，所以平面BEF ，因为，所1EF A C⊥EF BE E = ,EF BE ⊂1A C ⊥1BD A C⊥以点D 在平面BEF 内．故选：BCD.10．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，下列结论正确2:4C x y =F F C ,A B 的是（ ）A ．若，则()4,4A 5AF =B ．若，则的最小值为5()2,3E AE AF+C ．以线段为直径的圆与直线相切AB 1y =-D ．若，则直线的斜率为3AF FB = AB 【答案】AC【分析】根据抛物线的焦半径公式即可判断A ；过点作准线的垂线，垂足为，根据抛物A 1y =-A '线的定义结合图象即可判断B ；设点的坐标分别为，直线的方程为，,A B ()()1122,,,x y x y AB 1y kx =+联立方程，利用韦达定理求得，从而可得线段的中点坐标及长度，再求出中点到准1212,x x x x +AB 线的距离即可判断C ；根据，可得，结合C 选项即可判断D.3AF FB =()()1122,13,1x y x y --=-【详解】解：抛物线的准线方程为，24x y =1y =-对于A ，由，得，故A 正确；()4,4A 415AF =+=对于B ，过点作准线的垂线，垂足为，A 1y =-A '则，14E AE AF AE AA y '+=+≥+=当且仅当三点共线时，取等号，,,A E A '所以的最小值为4，故B 错误；AE AF+对于C ，设点的坐标分别为，直线的方程为，,A B ()()1122,,,x y x y AB 1y kx =+联立方程，消去得，241x y y kx ⎧=⎨=+⎩y 2440x kx --=则，21212124,4,42x x k x x y y k +==-+=+则，线段的中点为，212244AB y y k =++=+AB ()22,21G k k +点到直线的距离为，G 1y =-21222d k AB =+=所以以为直径的圆与直线相切，故C 正确；AB 1y =-对于D ，因为，所以，可得，3AF FB =()()1122,13,1x y x y --=-213x x =-由，121221443x x kx x x x+=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩得，解得D 错误.222234x k x -=⎧⎨-=-⎩k =故选：AC.11．已知动点到原点与的距离之比为2，动点的轨迹记为，直线，P O (2,0)A P C :3430l x y --=则下列结论中正确的是（ ）A ．的方程为C 2281639x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭B ．动点到直线P l 17,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．直线被l CD ．上存在三个点到直线的距离为C l 13【答案】AD【分析】根据两点之间距离公式和题意确定方程，结合圆心到直线的距离即可求解，圆的弦长公式求法即可进一步求解.【详解】设，因为(,)P x y ||2||PO PA ==所以的方程为，故A 正确；C 2281639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭因为圆心到直线的距离，8,03C ⎛⎫ ⎪⎝⎭:3430l x y --=54153d r ==<=所以直线与圆相交，且弦长为C 错误；l C =动点到直线的距离的取值范围为，故B 错误，D 正确．P l 70,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：AD.12．设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，R ()f x ()g x ()f x '()g x '()()32g x f x --=，且为奇函数，，则（ ）()()1f x g x ''=-()2g x +()11g =A ．B ．()()13g g -=()()244f f +=-C ．D ．()20221g =()202214043k f k ==-∑【答案】ABD【分析】根据逆向思维得到 ，代入推出()(1)f x g x ''=-()(1)f x a g x b +=-+()(3)2f x g x =-+的对称轴 ，即可判断A 选项；根据为奇函数推出对称中心，进一步得出()g x 1x =(2)g x +(2,0)，即的周期为4，即可判断C 选项；由是由的图像变()()2g x g x +=-()g x ()()32f xg x =--()g x 换而来，所以的周期也为4，进而判断B 选项；再算出时的函数值以及一个周期内()f x 1,2,3,4x =的值即可求解，判断D 选项.【详解】因为，所以.()()1f x g x ''=-()()1f x a g x b+=-+因为，所以，()()32g x f x --=()(3)2g x f x =-+用去替，所以，所以.3x -x ()()32f x g x =--()()321g x a g x b--+=-+因为，取代入得到，得，()11g =2x =()()121g a g b-+=+2a b -=所以，用换，所以，()()31g x g x -=-+1x x (2)()g x g x -=所以的图象关于直线对称，所以，故A 正确；()g x 1x =(1)(3)g g -=因为为奇函数，则 过, 图像向右移动两个单位得到过，故图(2)g x +(2)g x +(0,0)()g x (2,0)()g x 像关于对称，，所以，且.(2,0)()20g =(2)(2)g x g x +=--+(2)0=g 因为，所以，则的周期，()()2g x g x -=()()2g x g x +=-()g x 4T =所以，故C 错误；()()202220g g ==因为，，所以的周期也为()()32f xg x =--()()()()434232f x g x g x f x +=---=--=()f x 4，所以，，()()2121f g =-=-()()()()41232123f g g g =--=-=--=-所以，故B 正确；()()244f f +=-因为，，，，()()1222f g =-=-()()2121f g =-=-()()3022f g =-=-()43f =-所以，故D 正确.()()()()()()()202211220225058124043k f k f f f f f ==++⋅⋅⋅+=⨯-++=-∑故选：ABD.三、填空题13．若直线与直线平行，则_______.1:460l mx y +-=()2:2230l x m y +++=m =【答案】2【分析】利用两直线平行求参数即可【详解】因为，12l l ∥所以，()()()224228240m m m m m m +-⨯=+-=-+=所以或.2m =4m =-当时，，，4m =-1:2230l x y -+=2:2230l x y -+=重合；12,l l当时，，，2m =1:230l x y +-=2:2430l x y ++=，符合题意.12l l ∥故答案为：2.14．将函数的图象向左或向右平移个单位长度，得到函数的图()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0π)ϕϕ<<()g x 象，若是偶函数，则的一个取值可能为__________.()g x ϕ【答案】（或）（只需从中写一个答案即可）π125711,,1212πππ1257πππ11,,,121212π12【分析】根据三角函数图象变换的知识求得的解析式，根据是偶函数列方程，化简求得()g x ()g x 的表达式，进而求得的可能取值.ϕϕ【详解】由题意可知.()()sin 2sin 2233ππg x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=±+=+± ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭因为是偶函数，所以，()g x πππ2,Z 32k k ϕ±=+∈所以.ππ,Z 212k k ϕ±=+∈因为，0πϕ<<所以的取值可能为.ϕ57πππ11,,,121212π12故答案为：（或）（只需从中写一个答案即可）π125711,,1212πππ1257πππ11,,,121212π1215．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，，，则ABC 6b =30B =︒22a c +=的面积为______．ABC【分析】由余弦定理及已知条件可得，再由三角形的面积公式即可得答案.ac =【详解】解：因为，，6b =30B =︒所以，2222262cos30a c ac a c =+-︒=+因为，22a c +=所以，36=得，ac =故1sin 2ABC S ac B ==四、双空题16．设椭圆的上顶点为，且长轴长为的标准方程为___________；过任C (0,1)D C D 作两条互相垂直的直线分别另交椭圆于，两点，则直线过定点___________．C A B AB 【答案】 2212x y +=10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】设，根据是椭圆的上顶点，得到，再根据长轴长为2222:1(0)x y C a b a b +=>>(0,1)D C 1b =，得到的方程为，与椭圆方程联立，由求解.a =AB y kx m =+0DA DB ⋅=【详解】解：设，2222:1(0)x y C a b a b +=>>因为是椭圆的上顶点，所以．(0,1)D C 1b =因为长轴长为a =所以椭圆的标准方程为．C 2212x y +=易知直线的斜率存在，设直线的方程为，，，AB AB y kx m =+()11,A x y ()22,B x y 由可得，22,22,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩()()222124210k x kmx m +++-=所以，，122412kmx x k +=-+()21222112m x x k -=+因为，，()11,1DA x y =-()22,1DB x y =-所以，()()()()121212121111DA DB x x y y x x kx m kx m ⋅=+--=++-+-，()()2212121(1)(1)k x x k m x x m =++-++-，()()()()2222222211412(1)012m k k m m k m k -+--++-==+所以，解得或．23210m m --=13m =-1m =当时，直线经过点，不满足题意，1m =AB D所以直线的方程为，AB 13y kx =-故直线过定点．AB 10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：，2212x y +=10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭五、解答题17．已知数列满足，．{}n a 11a =11n n a a n +-=+(1)求的通项公式；{}n a (2)若数列的前n 项和为，求数列的前n 项和．1n a ⎧⎫⎨⎩⎭n S {}lg n S n T 【答案】(1)()12n n n a +=(2)()lg 2lg 1n T n n =-+【分析】（1）根据累加法求解即可；（2）由题知，进而根据裂项求和得，，再11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n S n =+()lg lg 2lg lg 1n S n n =+-+⎡⎤⎣⎦求和即可得答案.【详解】（1）解：因为，11n n a a n +-=+所以，当时，，，…，，2n ≥212a a -=323a a -=1n n a a n --=相加得，12n a a n -=++ 因为，所以，11a =()112122n n n a a n n +=+++=+++=因为满足，11a =()12n n n a +=所以，．()12n n n a +=（2）解：因为，11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以．11111122121223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭因为，()2lg lglg 2lg lg 11n nS n n n ==+-+⎡⎤⎣⎦+所以．()()()()lg 2lg1lg 2lg 2lg 3lg lg 1lg 2lg 1n T n n n n n =+-+-++-+=-+⎡⎤⎣⎦ 18．已知的顶点分别为，，．ABC (2,3)A -(4,5)B -(1,4)C (1)求外接圆的方程；ABC (2)直线上有一动点，过点作外接圆的一条切线，切点为，求的:34280l x y -+=P P ABC Q PQ最小值，并求点的坐标．P 【答案】(1)；2222230xy x y +-+-=(2)的最小值为的坐标为.PQP 1623,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）设出圆的一般方程，代入三个点的坐标得到方程组，解出即可；（2）设圆心为，首先判断与圆相离.根据已知条件，可得出，则当最M l ||PQ =||PM 小时，最小.又，即圆心到直线的距离，进而根据已知可求出最小时点的坐PQmin ||PM d=PQP 标.【详解】（1）设外接圆的方程为，ABC 220x y Dx Ey F ++++=代入，，，可得，(2,3)A -(4,5)B -(1,4)C ()()22222223230454501440D E F D E F D E F ⎧-+-++=⎪⎪+-+-+=⎨⎪++++=⎪⎩即，解得，13230414501740D E F D E F D E F -++=⎧⎪+-+=⎨⎪+++=⎩2223D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以外接圆的方程为．ABC 2222230x y x y +-+-=（2）由（1）知，外接圆可化为，ABC 22(1)(1)25x y -++=圆心设为，半径.(1,1)M -5R =设为点到直线的距离，则，所以与圆d M :34280l x y -+=35755d R =>=l 相离.由已知，是圆的一条切线，切点为，则，PQ M Q PQ QM ⊥在中，有最小，只需最小．PQM ||PQ ==||PQ ||PM 当时，最小，即，PM l ⊥||PM min ||7PM d ==min ||PQ ==设，因为，可设直线方程为，(,)P x y PM l ⊥PM 430x y m ++=又，所以，所以.(1,1)M -()41310m ⨯+⨯-+=1m =-所以，直线方程为，又在上，PM 4310x y +-=P l 联立与的方程，解得，即．PM l 431034280x y x y +-=⎧⎨-+=⎩165235x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1623,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭19．如图，在五面体ABCDE 中，平面ABC ，，，AD ⊥ADBE 22AD ACBE ===AB BC ==(1)求五面体ABCDE的体积；(2)求二面角的正弦值．A CE D --【答案】【分析】（1）可将该五面体分割成多个简单几何体后进行体积求解.（2）建立空间直角坐标系，用空间向量先求出二面角的余弦值，再求正弦值.【详解】（1）因为平面ABC ，所以AD ⊥11122332D ABC ABC V S DA -=⋅=⨯⨯=△因为，平面BCE ，平面BCE ，AD BEAD ⊄BE ⊂所以平面BCE ，所以AD ∥12D BCE A BCE E ABC D ABC V VV V ----====所以ABCDE D ABC D BCE V V V --=+（2）如图，取AC 的中点O ，连接OB ，因为，所以，作．AB BC =OB AC ⊥Oz AD ∥以O 为坐标原点，，的方向分别为x ，y 轴的正方向建立空间直角坐以标系，则，OB OC()0,1,0A -，，，，，，)B()0,1,0C ()0,1,2D-)E()0,2,2CD =-)1,1CE =- ()0,2,0AC =．设平面CDE 的法向量为，则()111,,m x y z =111112200m CD y z m CE y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令，得．11y =()0,1,1m =设平面ACE 的法向量为，则()222,,x n y z =2222200n AC y n CE y z ⎧⋅==⎪⎨⋅-+=⎪⎩ 令，得．21x=(1,0,n =因为cos ,m n = 所以sin ,m n =故二面角．A CE D --20．如图，在长方体中，.1111ABCD AB C D -14,6AB AD AA ===(1)求到平面的距离；1C 1A BD (2)求直线与平面所成角的正弦值.AC 1A BD【答案】【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，从而求得与平面的法向量，进而利用空间1BC1A BD 向量法求得点到平面的距离；1C 1A BD（2）结合（1）中结论，求得的坐标表示，从而利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可求得结AC果.【详解】（1）根据题意，以点为原点，建立空间直角坐标系，如图，A 则，()()()()()()110,0,0,0,0,6,4,0,0,0,4,0,4,4,0,4,4,6A A B D C C 则，，()10,4,6BC =()()14,0,6,4,4,0A B BD =-=-设平面的一个法向量为，则，1A BD (),,n x y z = 1460440A B n x z BD n x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令，则，故，3x =3,2y z ==()3,3,2n =所以到平面1C 1A BD =.（2）由（1）得，平面的一个法向量为，()4,4,0AC =1A BD ()3,3,2n =设直线与平面所成角为，AC 1A BD θ则，sin cos ,AC n AC n AC nθ⋅====所以直线与平面.AC 1A BD21．已知椭圆的长轴长为在椭圆上.2222:1(0)x y C a b a b +=>>()2,1P C (1)求椭圆的方程.C (2)设为坐标原点，过点的直线（斜率不为0）交椭圆于不同的两点（异于点O (),0(0)t t >l C ,A B ），直线分别与直线交于两点，的中点为，是否存在实数，使直线P ,PA PB x t =-,M N MN Q t 的斜率为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.PQ t【答案】(1)22182x y +=(2)4t =【分析】（1）由题可得的坐标代入椭圆方程可求出，从而可求出椭圆a =()2,1P 22b =方程；（2）由题意设直线为，，将直线方程代入椭圆方程化简再利用根与系l x my t =+1122(,),(,)A x y B x y 数的关系，然后分别表示出直线，的方程，表示出点的坐标，从而可表示出点的坐AP BP ,M N Q 标，则可表示出，化简可得结果.PQk 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为2222:1(0)x y C a b a b+=>>所以，得2a =a =所以椭圆为，22218x y b +=因为椭圆过点，所以，得，()2,1P 2222118b +=22b =所以椭圆方程为；22182x y +=（2）由题意设直线为，，l x my t =+1122(,),(,)A x y B x y 由，得，22182x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(4)280m y mty t +++-=，得，222244(4)(8)0m t m t ∆=-+->22280m t -+>则，，12224mty y m -+=+212284t y y m -=+因为，所以直线为，1112PA y k x -=-AP 1111(2)2y y x x --=--当时，，x t =-11111(1)(2)1(2)122y y t y t x x --+=+--=---所以，11(1)(2),12y t M t x ⎛⎫-+-- ⎪-⎝⎭因为，所以直线为，2212PB y k x -=-BP 2211(2)2y y x x --=--当时，，x t =-22221(1)(2)1(2)122y y t y t x x --+=+--=---所以，22(1)(2),12y t N t x ⎛⎫-+-- ⎪-⎝⎭因为的中点为，MN Q 所以，1212(1)(2)(1)(2),12(2)2(2)y t y t Q t x x ⎛⎫-+-+--- ⎪--⎝⎭所以1212(1)(2)(1)(2)2(2)2(2)2PQy t y t x x k t-+-++--=+122112(1)(2)(1)(2)2(2)(2)y x y x x x --+--=--122112(1)(2)(1)(2)2(2)(2)y my t y my t my t my t -+-+-+-=+-+-12122212122(2)()422[(2)()(2)]my y t m y y t m y y m t y y t +--++-=+-++-2222222(8)(2)(2)(42)(4)2[(8)(2)(2)(2)(4)]m t t m mt t m m t m t mt t m -+---+-+=-+--+-+222(4)4222(2)m m t t m t +-+-=-+-若为定值，则与无关，PQk PQk m 所以，解得，24014222(2)t t t -=⎧⎪-⎨=⎪--⎩4t =所以当时，直线的斜率为定值.4t =PQ 22．已知双曲线的上､下顶点分别为为虚轴的一个顶点，且.222:1(0)5y x C a a -=>,,A B M MA 1MB = (1)求的方程；C (2)直线与双曲线交于不同于的两点，若以为直径的圆经过点，且于点，l C B ,E F EF B BG EF ⊥G证明：存在定点，使为定值.H GH【答案】(1)22145y x -=(2)证明见解析【分析】（1）不妨设，求出、的坐标，根据可得答案；)MMA MB 1⋅= MB MA （2）设，当直线的斜率存在时，设其方程为，与双曲线方程联立，()()1122,,,E x y F x y l y kx m =+由韦达定理求出，，，根据求出，代1212,x x x x +12y y +12y y 0⋅=BE BF ()121212240++++=x x y y y y 入整理得，求出，当直线的斜率不存在时，设其方程为，代入双曲216360m m --=m l ()0=≠x t t 线方程，根据，求出矛盾；再由，得点在以为直径的圆上，为该0⋅=BE BF 0=t BG EF ⊥G BN H 圆的圆心，为圆的半径可得答案.GH【详解】（1）由题，不妨设，()()0,,0,-A aB a )M 所以，，()= MAa ()=- MB a 因为，所以，解得，1⋅= MB MA 251a -=24a =所以的方程为；C 22145y x -=（2）设，且，()()1122,,,E x y F x y ()0,2B -当直线的斜率存在时，设其方程为，与双曲线方程联立l y kx m =+，整理得，22145y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22250410520-++-=km k x m x 且，()()()()222225805401044520=∆=--->-+km k m m k 所以，212122210520,5454--+==--km m x x x x k k ，()2121222108225454--+=++=+=--k m my y k x x m m k k ，()()2222222221212122105205454-+-+-=+++=-k m k m k m m y y k x x mk x x m k ()2224554+=--k m k ，()()1122,2,,2=+=+BE x y BF x y 因为以为直径的圆经过点，所以，，EF B ⊥ BE BF 0⋅=BE BF所以，()()()121212*********+++=++++=x x y y x x y y y y 即，()222222455201640545454+---++=---k mm mk k k 整理得，解得或，216360m m --=18m =2m =-当时，过点，不符合题意，2m =-2y kx =-()0,2B -所以时，，直线过定点；18m =18=+y kx l ()0,18N 当直线的斜率不存在时，设其方程为，l ()0=≠x t t 代入双曲线方程，得22145y x -=所以，且，，()()12,,,E t y F t y()0,2B -所以，，2124205--=t y y ()()12,2,,2=+=+ BE t y BF t y 因为以为直径的圆经过点，所以，，EF B ⊥ BE BF 0⋅=BE BF 所以，()()22212204202205--+++=+=t t y y t 解得与矛盾；0=t 0t ≠因为，所以点在以为直径的圆上，为该圆的圆心，为圆的半径，BG EF ⊥G BN H GH由为的中点，得，，H 、B N ()08，H 1102==GH BN 所以存在定点，使得使为定值.()08，H GH10【点睛】关键点点睛：在第二问中，解题的关键点是以为直径的圆经过点，转化为EF B ，0⋅=BE BF再由韦达定理代入得，求出，考查了学生分()()()121212*********+++=++++=x x y y x x y y y y m 析问题、解决问题及运算的能力.。

数学参考答案一、选择题1．C 【解析】因为}1|{}01|{<=>-=x x x x M ，=N }0|{>y y ，所以}10|{<<=x x N M .2．B 【解析】由题意得313223131cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=α，所以9713121cos 22cos 22=-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=-=αα.3．A 【解析】由已知得2)(x b x a x f +='，所以=')1(f 1=+b a ，故212)(222=+≥+b a b a ，当且仅当==b a 21时取等号，所以22b a +的最小值为21.4．D 【解析】因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=262sin 62cos πππx x y ⎪⎭⎫⎝⎛+=322sin πx ，将x y 2sin =的图象向右平移ϕ个单位长度后，得到)22sin()](2sin[ϕϕ-=-=x x y 的图象，所以)(2322z k k ∈+=-ππϕ，故--=πϕk )(3z k ∈π，又0>ϕ，所以 ,3,2,1---=k ，当=k 1-时，32πϕ=.5．D 【解析】由题图得21sin )0(==ϕf ，又πϕ<<0，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,0在图象的上升部分上，所以6πϕ=，由五点作图法可知236322πππω=+⋅，则1=ω，所以=)(x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62sin πx ．对于A ，)(x f 的最小正周期为ππ=22，故A 错误，对于B ，因为=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-632sin 3πππf 12sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-π，所以)(x f 的图象不关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,3π对称；故B 错误，对于C ，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，+x 2⎦⎤⎢⎣⎡∈67,66πππ，所以162sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx ，所以)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为21-，故C 错误；对于D ，123sin 65=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf ，所以)(x f 的图象关于直线65π-=x 对称，故D 正确．6．C 【解析】作出函数|tan |u y =的图象，如图所示：由图可知，函数|tan |u y =的最小正周期为π，且其单调递增区间为)(2,z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππ对于函数)(x f ，其最小正周期为4==ωπT ，可得4πω=，则=)(x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-44tan ππx 。

衡水市第十三中学2022~2023学年高三第一学期质检考试（三）数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与逻辑，不等式，函数与导数，三角函数与解三角形，复数，平面向量，数列占30%，立体几何，解析几何占70%.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2,2A B x x =≤=<，则A B = （）A.{}22x x -<<B.{}02x x ≤<C.{}2x x ≤ D.{}22x x -<≤2.已知()1i 4z ⋅+=，则z 的虚部为（）A.2- B.2C.2i -D.2i3.已知 1.1ln3,log 2a b c -===，则（）A.b a c <<B.a c b<<C.a b c<< D.b c a<<4.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥P ABCD -是阳马，PA 上平面ABCD ，且2EC PE = ，若AB a =，AC b = ，AP c = ，则DE = （）A.122333a b c -+B.122333a b c ++C.2233a b c-+ D.2233a b c+- 5.若直线30x y a +-=是曲线214ln 2y x x =-的一条切线，则实数=a （）A.12B.32 C.52D.726.抛物线2:12C y x =-的焦点为F ，P 为抛物线C 上一动点，定点(5,2)A -，则PA PF +的最小值为（）A.8B.6C.5D.97.《几何原木》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，SAB △、SCD 是直角圆锥SO 的两个轴截面，且1os 3c BOC =∠，则异面直线SA 与BC 所成角的余弦值为（）A.13B.66C.64D.638.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为53，左､右焦点分别为12,F F ，设过2F 的直线l 与C 的右支相交于,A B 两点，若()()112112220,F A F F F A F F BF AF λ+⋅-==，则λ=（）A.3- B. C. D.2-二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC AC AA ===，若1BD A C ⊥，则D 可能为（）A.1AC 的中点B.AC 的中点C.1CC 的中点D.ABC 的重心10.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 相交于,A B 两点，下列结论正确的是（）A.若()4,4A ，则5AF =B.若()2,3E ，则AE AF +的最小值为5C.以线段AB 为直径的圆与直线1y =-相切D.若3AF FB =，则直线AB 的斜率为11.已知动点P 到原点O 与(2,0)A 的距离之比为2，动点P 的轨迹记为C ，直线:3430l x y --=，则下列结论中正确的是（）A.C 的方程为2281639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭B.动点P 到直线l 的距离的取值范围为17,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.直线l 被C 截得的弦长为3D.C 上存在三个点到直线l 的距离为1312.设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，若()()32g x f x --=，()()1f x g x ''=-，且()2g x +为奇函数，()11g =，则（）A.()()13g g -= B.()()244f f +=-C.()20221g = D.()202214043k f k ==-∑三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线1:460l mx y +-=与直线()2:2230l x m y +++=平行，则m =_______.14.将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左或向右平移(0π)ϕϕ<<个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 是偶函数，则ϕ的一个取值可能为__________.15.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，6b =，30B =︒，22a c +=，则ABC 的面积为______．16.设椭圆C 的上顶点为(0,1)D ，且长轴长为C 的标准方程为___________；过D 任作两条互相垂直的直线分别另交椭圆C 于A ，B 两点，则直线AB 过定点___________．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足11a =，11n n a a n +-=+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求数列{}lg n S 的前n 项和n T ．18.已知ABC 的顶点分别为(2,3)A -，(4,5)B -，(1,4)C ．（1）求ABC 外接圆的方程；（2）直线:34280l x y -+=上有一动点P ，过点P 作ABC 外接圆的一条切线，切点为Q ，求PQ 的最小值，并求点P 的坐标．19.如图，在五面体ABCDE 中，AD ⊥平面ABC ，AD BE，22AD AC BE ===，AB BC ==（1）求五面体ABCDE 的体积；（2）求二面角A CE D --的正弦值．20.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14,6AB AD AA ===.（1）求1C 到平面1A BD 的距离；（2）求直线AC 与平面1A BD 所成角的正弦值.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为()2,1P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程.（2）设O 为坐标原点，过点(),0(0)t t >的直线l （斜率不为0）交椭圆C 于不同的两点,A B （异于点P ），直线,PA PB 分别与直线x t =-交于,M N 两点，MN 的中点为Q ，是否存在实数t ，使直线PQ 的斜率为定值？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.22.已知双曲线222:1(0)5y x C a a -=>的上､下顶点分别为,,A B M 为虚轴的一个顶点，且MA .1MB = （1）求C 的方程；（2）直线l 与双曲线C 交于不同于B 的,E F 两点，若以EF 为直径的圆经过点B ，且BG EF ⊥于点G ，证明：存在定点H ，使GH 为定值.衡水市第十三中学2022~2023学年高三第一学期质检考试（三）数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与逻辑，不等式，函数与导数，三角函数与解三角形，复数，平面向量，数列占30%，立体几何，解析几何占70%.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】D二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD 【10题答案】【答案】AC 【11题答案】【答案】AD 【12题答案】【答案】ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】2【14题答案】【答案】π12（或5711,,1212πππ12）（只需从57πππ11,,,121212π12中写一个答案即可）【15题答案】【答案】332【16题答案】【答案】①.2212x y +=②.10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【17题答案】【答案】（1）()12n n n a +=（2）()lg 2lg 1n T n n =-+【18题答案】【答案】（1）2222230x y x y +-+-=；（2）PQ 的最小值为，点P 的坐标为1623,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.【19题答案】【答案】（1（2）3【20题答案】【答案】（1）1222 11（2）311 11【21题答案】【答案】（1）221 82x y+=（2）4t=【22题答案】【答案】（1）221 45y x-=（2）证明见解析。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1.已知集合{}2|1log A x N x k =∈<<,集合A 中至少有3个元素,则（ ）A ．8k >B ．8k ≥C ．16k >D ．16k ≥2.复数212i i+-地共轭复数地虚部是（ ）A ．35-B ．35C ．-1D ．13. 下列结论正确地是（ ）A ．若直线l ⊥平面α,直线l ⊥平面β,则//αβB ．若直线//l 平面α,直线//l 平面β,则//αβC ．若两直线12l l 、与平面α所成地角相等,则12//l l D ．若直线l 上两个不同地点A B 、到平面α地距离相等,则//l α4.等比数列{}n a 地前n 项和为n S ,已知2532a a a =,且4a 与72a 地等差中项为54,则5S =（ ）A ．29 B ．31 C ．33 D ．365.已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩,则22x y z x ++=地取值范围为（ ）A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭6.若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+,则a b +地最小值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27.阅读如下图所示地程序框图,则该算法地功能是（ ）A ．计算数列{}12n -前5项地和B ．计算数列{}21n-前5项地和 C ．计算数列{}21n -前6项地和 D ．计算数列{}12n -前6项地和8.ABC ∆中,"角,,A B C 成等差数列"是")sin sin cos C A A B =+"地（ ）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.已知a b >,二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立,又0x R ∃∈,使20020ax x b ++=成立,则22a b a b+-地最小值为（ ）A ．1 BC ．2 D．10.已知等差数列{}{},n n a b 地前n 项和分别为,n n S T ,若对于任意地自然数n ,都有2343n n S n T n -=-,则()3153392102a a a b b b b ++=++（ ）A ．1941 B ．1737 C ．715 D ．204111.已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =地图象上存在关于x 轴对称地点,则实数a 地取值范围是（ ）A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦ D ．)22,e ⎡-+∞⎣12.如图,在OMN ∆中,,A B 分别是,OM ON 地中点,若(),OP xOA yOB x y R =+∈ ,且点P 落在四边形ABNM 内（含边界）,则12y x y +++地取值范围是（ ）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分,满分20分,将解析填在答题纸上）13.若实数()0,1a b ∈、,且满足()114a b ->,则a b 、地大小关系是_____________．14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭,则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭地值为___________．15.一个几何体地三视图如下图所示,则此几何体地体积是_____________．16.已知函数()()2lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩,若关于x 地方程()()210f x bf x -+=有8个不同根,则实数b 地取值范围是______________．三、解答题 （本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知()2sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭,集合(){}|2,0M x f x x ==>,把M 中地元素从小到大依次排成一列,得到数列{}*,n a n N ∈．　（1）求数列{}n a 地通项公式；（2）记211n n b a +=,设数列{}n b 地前n 项和为n T ,求证:14n T <．18.（本小题满分12分）已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭,记()f x m n=．　（1）若()1f x =,求cos 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭地值；　（2）在锐角ABC ∆中,角,,A B C 地对边分别是,,a b c ,且满足()2cos cos a c B b C -=,求()2f A 地取值范围．19.（本小题满分12分）如下图所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,平面1A BC ⊥侧面11A B BA ,且12AA AB ==．（1）求证:AB BC ⊥；（2）若直线AC 与平面1A BC 所成角地正弦值为12,求锐二面角1A A C B --地大小．20.（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．（1）若曲线 ()()g x f x x =+上点()()1,g 1处地切线过点()0,2,求函数()g x 地单调减区间；（2）若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点,求a 地最小值．21.（本小题满分12分）已知()(),,,1p x m q x a ==+,二次函数()1f x p q =+ ,关于x 地不等式()()2211f x m x m >-+-地解集为()(),1,m m -∞++∞ ,其中m 为非零常数,设()()1f xg x x =-．（1）求a 地值；（2）若存在一条与y 轴垂直地直线和函数()()ln x g x x x Γ=-+地图象相切,且切点地横坐标0x 满足0013x x -+>,求实数m 地取值范围；（3）当实数k 取何值时,函数()()()ln 1x g x k x ϕ=--存在极值？并求出相应地极值点．请从下面所给地22 , 23 ,24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做地第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲已知四边形ABCD 为圆O 地内接四边形,且BC CD =,其对角线AC 与BD 相交于点M ,过点B 作圆O 地切线交DC 地延长线于点P ．（1）求证:AB MD AD BM = ；（2）若CP MD CB BM = ,求证:AB BC =．23.本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l地参数方程为x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴地正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 地极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=,且曲线C 地左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点,求FA FB 地值；（2）求曲线C 地内接矩形地周长地最大值．24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立．（1）求满足条件地实数t 地集合T ；（2）若1,1m n >>,对t T ∀∈,不等式23log log m n t ≥ 恒成立,求m n +地最小值．。

2010-2023历年河北省衡水中学高三第三次模拟考试文科数学试卷（带解析）第1卷一.参考题库(共10题)1.已知函数的图象与直线有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为，则等于( ) A．B．C．D．2.(本题满分12分）已知数列的通项公式为，数列的前n项和为，且满足（1）求的通项公式；（2）在中是否存在使得是中的项，若存在，请写出满足题意的一项（不要求写出所有的项）；若不存在，请说明理由．3.复数的虚部为（）A．B．C．D．4..函数的零点的个数为( )A．0B．1C．2D．35.“”是“”的( )条件A．充分而不必要B．必要而不充分C．充要D．既不充分也不必要6.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线准线与x轴交于C点，若，则|AF|-|BF|的值为( )A. B. C. D.7.已知α、β是不同的平面，m、n是不同的直线，给出下列命题：①若②若则③如果，m、n是异面直线，那么n与α相交。

④若，则n//α且n//β。

其中正确命题的个数是（）A．4B．3C．2D．18.将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A．B．C．D．9.已知10.（本题满分12分）过点作直线与抛物线相交于两点，圆（1）若抛物线在点处的切线恰好与圆相切，求直线的方程；（2）过点分别作圆的切线，试求的取值范围.第1卷参考答案一.参考题库1.参考答案：D试题分析：函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）仅有三个公共点，其图象如下：设三个公共点横坐标分别为c,b,a(c<b<a),由图可知，c=0，，在区间（）函数f（x）=|sinx|=-sinx的图象与直线y=kx（k＞0）相切，∴k=，同时，由y′=-cosx， k=-cosa，即=-cosa，所以a=故选D。

考点：本题主要考查三角函数图象和性质，直线的斜率与倾斜角，导数的几何意义。

点评：典型题，本题综合考查了三角函数图象和性质，直线的斜率与倾斜角，导数的几何意义，考查知识覆盖面广，且对考生的灵活思维能力有较好的考查。

一、单选题二、多选题1.若函数在处取得最大值，则A．一定是偶函数B．一定是偶函数C．一定是奇函数D ．一定是奇函数2. 已知，则（ ）A．B．C．D．3. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为A．B．C．D．4. 已知定义在上的函数满足恒成立（其中为函数的导函数），则称为函数，例如，便是函数.任给实数，，对于任意的函数，下列不等式一定正确的是（ ）A．B．C．D．5. 某大型企业开发了一款新产品，投放市场后供不应求，为了达到产量最大化，决定增加生产线．经过一段时间的生产，统计得该款新产品的生产线条数与月产量（件）之间的统计数据如下表：4681030406070由数据可知，线性相关，且满足回归直线方程，则当该款新产品的生产线为12条时，预计月产量为（ ）A ．73件B ．79件C ．85件D ．90件6. 在中，点在边上且平分.若，，，，则（ ）A．B．C．D．7. 设，为非零向量，，两组向量和均由2个和2个排列而成. 若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为A．B．C．D．8. 下列说法不正确的是（ ）A ．若直线a 不平行于平面，，则内不存在与a 平行的直线B ．若一个平面内两条不平行的直线都平行于另一个平面，则C ．设l ，m ，n 为直线，m ，n 在平面内，则“”是“且”的充分条件D ．若平面平面，平面平面，则平面与平面所成的二面角和平面与平面所成的二面角相等或互补河北衡水中学2023届高三模拟数学试题(1)河北衡水中学2023届高三模拟数学试题(1)三、填空题四、解答题9. 已知等比数列的公比为q ，前n项和为，且，下列命题正确的是（ ）A ．若，则B．若恒成立，则C ．若，，成等差数列，则D．当时，不存在，使得，，成等差数列10. 已知，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数的最小正周期为B．函数在上单调递减C ．函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到D ．是函数图象的一个对称中心11.已知函数，若的最小值为，则实数a 的值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412. 已知a ，b为正实数，且，则的取值可以为（ ）A ．1B ．4C ．9D ．3213.已知三棱柱，面，为内的一点（含边界），且为边长为2的等边三角形，，、分别为、的中点，下列命题正确的有______．①若为的中点时，则过、、三点的平面截三棱柱表面的图形为等腰梯形；②若为的中点时，三棱锥的体积；③若为的中点时，；④若与平面所成的角与的二面角相等，则满足条件的的轨迹是椭圆的一部分．14.已知函数，则的解集为________．15. 袋中装有3个红球2个白球，从中随机取球，每次一个，直到取得红球为止，则取球次数的数学期望为_____．16. 已知函数．（1）若在上为增函数，求实数的取值范围；（2）若在上最小值为，求实数的值；（3）若在上只有一个零点，求实数的取值范围．17. 文明交通，安全出行，是一座城市文明的重要标志．驾驶非机动车走机动车道（简称：不依规行驶）是一大交通顽疾，某市加大整治力度，不依规行驶现象明显减少，下表是2021年1月——5月不依规行驶的次数统计：月份12345违章人数5140352821（1）求关于的经验回归方程，并预测6月份不依规行驶的次数（精确到个位）；（2）交警随机抽查了非机动车司机50人，得到如下2×2列联表：不依规行驶依规行驶合计老年人22830青年人81220合计302050依据的独立性检验，能否认为依规行驶与年龄有关联？附：①对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．②临界值表：0.100.050.0100.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.828计算公式：其中18. 已知椭圆过点，且离心率．(1)求椭圆的方程；(2)若斜率为的直线交椭圆于、两点，交轴于点，问是否存在实数使得以为直径的圆恒过点？若存在，求的值，若不存在，说出理由．19. 将函数的图象向右平移个长度单位，得到的图象，再把的图象上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.（1）求的最小值和的解析式；（2）当时，求函数的单调递减区间.20. 雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分.某社区拟开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动.为了调查不同年龄人对此项活动所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示.分组区间人数30751056030支持态度人数2466904218(1)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与所持态度有关；年龄在50周岁及以上年龄在50周岁以下总计支持态度人数不支持态度人数总计(2)以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁及以上的人中随机抽取4人，记为4人中持支持态度的人数，求的分布以及数学期望.参考数据：参考公式：21. 已知双曲线的离心率是，点在双曲线C上．(1)求双曲线C的方程；(2)设，M为C上一点，N为圆上一点（均不在x轴上）．直线的斜率分别记为，且，判断：直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．。

一、单选题二、多选题1. 设是不共线的向量，则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2. 某部门对一家食品店的奶类饮品和面包类食品进行质检，已知该食品店中奶类饮品占，面包类食品占，奶类饮品不合格的概率为0.02，面包类食品不合格的概率为0.01．现从该食品店随机抽检一件商品，则该商品不合格的概率为（ ）A ．0.03B ．0.024C ．0.012D ．0.0153.如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，把该抛物线在x 轴及其上方的部分记作，将向右平移得到，与x 轴交于B ，D两点，如果直线与，共有3个不同交点，则k的最大值是A．B．C．D．4.若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（ ）A．B ．1C ．2D ．35. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．6. 已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，若该圆台的体积为，则其母线长为（ ）A．B．C ．4D．7. 某产品近期销售情况如下表：月份23456销售额（万元）15.116.317.017.218.4根据上表可得回归方程为，据此估计，该公司8月份该产品的销售额为A ．19.05B ．19.25C ．19.5D ．19.88. 将函数的图像按向量平移得到函数的图像，则（ ）A．B．C．D．9. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）河北省衡水市第二中学2023届高三三模数学试题河北省衡水市第二中学2023届高三三模数学试题三、填空题四、解答题A．B．函数图象的对称轴为直线C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象D ．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为10. 如图，正四棱锥S －BCDE 底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥A －SBE 底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是（ ）A ．AS ⊥CDB ．正四棱锥S －BCDE的外接球半径为C ．正四棱锥S －BCDE的内切球半径为D ．由正四棱锥S －BCDE 与正三棱锥A －SBE 拼成的多面体是一个三棱柱11. 已知函数的图象关于直线对称，那么（ ）A ．函数为奇函数B．函数在上单调递增C ．若，则的最小值为D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象12. 在棱长为1的正方体中，P 是底面内的动点，若，则（ ）A．B．平面C ．四面体的体积为定值D ．与底面所成的角最大为13. 抛物线的焦点到直线的距离为，点是上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值是______.14. 已知定义域为的函数有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为，则_______.15. 第14届国际数学教育大会将于7月在上海举办，大会一共进行8天.若有4位学者分别作个人大会报告，一天只能安排一个报告，且第一天和最后一天不安排报告，则不同的安排方案种数为___________(用数字作答).16. 已知函数（）的最小正周期为，最小值是，且图象经过点，求该函数的解析式并求其单调递增区间.17. 甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊比赛，比赛规则如下：每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率均为（每场单打比赛不考虑平局的情况）．(1)求五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队1分的概率；(2)设比赛结束后甲队的得分为随机变量，求的分布列和数学期望．18. 正四棱台的上、下底边长为4m和6m．(1)若侧面与底面所成的角是60°，求此四棱台的表面积；(2)若侧棱与底面所成的角是60°，求此四棱台的体积.19. 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；（Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率20. 某市随机抽取名市民进行智能手机使用情况调查，使用5G手机（A类）和使用4G及以下或不使用手机（B类）的人数占总人数的比例统计如下表：A类B类大于或等于60岁小于60岁(1)若用样本的频率作为概率的估计值，在全体市民中任选3人，记为3人中小于60岁的人数，求的分布列和数学期望；(2)若以60岁为年龄分界，讨论当取不同值时，依据小概率值的独立性检验，能否判断使用手机类型与年龄有关？附：．0.0 50.010.0013.8416.63510.82821. 如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，，．(1)证明：平面平面；(2)若，且，求二面角的正弦值．。

河北省衡水市第二中学2023届高三三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________⎝A ．－2B 7．若10e10a =，10e b =-二、多选题三、填空题四、双空题五、填空题六、解答题(1)证明：平面PBC⊥平面参考答案：5．D【分析】应用分步计数原理先分组再讨论相同预约计算即可【详解】由题意知这4人中恰有首先将4人分成2组，有2422C3A=种不同的分法，下面分2种情况：若预约2个馆的若预约2个馆的2人有预约1馆相同，有所以每个馆恰有2人预约的不同方案有故选：D.等价于BC 边在外接圆上固定不到，高AD 最大，AD 的最大值tan 2BC =⨯三棱锥O ABC -体积的最大值故选：A.9．ACD【分析】根据异面直线所成角判断【详解】如图，连接BC 因为BC AD ∥，所以∠显然，1D BC ∠为直线因为在正方体ABCD -在Rt 1BCD 中，tan ∠故选：ACD.10．AC【分析】根据偶函数的概念判断义判断C ；利用特例法判断【详解】由题意知()f x 的定义域为因为()f x -=()(tan sin x -因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x '所以()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故因为()π0f k =，则(πf k '所以()f x 的图象在点(π,0k 因为π242f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，7π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：AC 11．ACD【分析】根据双曲线方程的形式特征判断可判断C ；设点的坐标，求解斜率之积即可判断【详解】若C 是双曲线，则此时曲线22:11y x C m m-=-由题意得1C 与2C 相内切，又2:(C x -所以222123451C C a a a a =+=+-17．(1)证明见解析(2)()122n n -+⨯【分析】（1）根据n S 与n a 的关系化简，可得（2）由（1）求出n a ，再由累乘法求解【详解】（1）由1122n n n S a -=-，得所以()111122n n n n n S S a a -++-=--，即111122n n n n a a a -++=--，整理得n a 上式两边同时除以2n ，得1122n n n n a a +--又1122n n n S a -=-，所以11112a a =-（2）由（1）知，BE ⊥平面所以BE EF ⊥，BE CP ⊥，所以在Rt BEC 中，12CE CP =则221BE BC CE =-=，则因为CP CD ⊥，EF CD ，所以所以CP ，EF ，BE 两两垂直，以E 为坐标原点，向量EP显然直线l 不垂直于x 轴，设直线由221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得：(234k +。