2019届河北省衡水中学高三数学(理)模拟试题

衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D2.已知全集U=R，则A. B.C. D.【答案】C3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D4.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】C5.已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，A. B. C. D.【答案】B6.已知椭圆和直线，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】A7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则A. B.C. D.【答案】C8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体( )A. 有四个两两全等的面B. 有两对相互全等的面C. 只有一对相互全等的面D. 所有面均不全等【答案】B9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】A 10.已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是 A.B.C.D.【答案】C11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为A. B.C.D.【答案】A 12.如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为A. B.C. D.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届河北省衡水中学高三第三次质检数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|1}A x x =<，{|1x B x e =< }，则（ ） A ．{|1}A B x x ⋂=< B ．()R A C B R ⋃=C ．{|}A B x x e ⋃=<D ．(){|01}R C A B x x ⋂=<< 【答案】B【解析】求出集合A={x|x ＜1}，B={x|e x ＜1}={x|x ＜0}，从而R C B ={x|x≥0}，R C A ={x|x≥1}，由此能求出结果． 【详解】∵集合A={x|x ＜1}，B={x|e x ＜1}={x|x ＜0}，R C B ={x|x≥0}，R C A ={x|x≥1}，∴A∩B={x|x ＜0}，故A 错误； A ∪B={x|x ＜1}，故C 错误；()R A C B R ⋃=，故B =正确；()R C A B ∅⋂=，故D 错误．故选B ． 【点睛】本题考查集合与集合的关系的判断，考查补集、交集、并集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题． 2．已知i 为虚数单位，若1i(,)1ia b a b =+∈-R ，则b a =（ ）A ．1 BC ．2D ．2【答案】C【解析】根据复数的除法运算得到1112i a bi i +==+-，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果. 【详解】i 为虚数单位，若1(,)1a bi a b R i =+∈-，1112ia bi i +==+-根据复数相等得到1 2 1 2ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.1212().2ba==故答案为C.【点睛】这个题目考查了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数a bi+与ic d+相等的充要条件是a c=且b d=．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．3．向量,,a b cr r r在正方形网格中的位置如图所示.若向量a bλ+r r与cr共线,则实数λ=（）A．2-B．1-C．1D．2【答案】D【解析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用,a brr表示出cr，进而可得出λ. 【详解】由题中所给图像可得：2a b c+=rr r，又cr=a brrλ+，所以2λ=.故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.4．函数f(x)=15sin(x+3π)+cos(x−6π)的最大值为A．65B．1 C．35D．15【答案】A【解析】由诱导公式可得ππππcos cos sin6233x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()1ππ6πsin sin sin53353f x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,函数()f x的最大值为65. 所以选A.【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．932B ．516C ．38D ．716【答案】C【解析】分析：由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和．详解：设小正方形的边长为12，2；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为2，大正方形的边长为2，所以21222322P 82222⨯⨯==⨯， 故选C ．点睛：本题主要考查几何概型，由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，通过分析观察，求得黑色平行四边形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角边和斜边长，进而计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和，再将黑色部分面积除以大正方形面积可得概率，属于较易题型．6．已知0a >，且，函数()()log 6a f x ax =-，则“13a <<”“是()f x 在()1,2上单调递减”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先将函数()()log 6a f x ax =-转化为y ＝log a t ，t ＝6ax -，两个基本函数，再利用复合函数求解． 【详解】0a Q >,且1a ≠，6t ax ∴=-为减函数.若()f x 在()1,2上单调递减，则1a >.且620a -⨯≥，则13a <≤.13a <<是13a <≤的充分不必要条件.故选A . 【点睛】本题主要考查复合函数，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围,属于基础题．7．一给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意1(0,1)a ∈，由关系式1()n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<.则该函数的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用已知条件推出n n f a a （）＜，判断函数的图象，推出选项即可． 【详解】由题对于给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意()10,1a ∈，由关系式()1n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<．则可得到n n f a a （）＜，所以11f a a （）＜在101a ∀∈（，）上都成立，即01x f x x ∀∈（，），（）＜，所以函数图象都在y x =的下方． 故选A ． 【点睛】本题考查函数图象的判断，数列与函数的关系，属基础题．8．某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由高为2三角形构成，俯视图由半径为3的圆与其内接正三角形构成，则该几何体的体积为( )A ．936π+B ．9318π+C ．336π D ．3318π 【答案】A【解析】由三视图知该几何体由底面边长是33高为2的正三棱锥和底面半径是3高为2的圆锥组合而成，利用锥体的体积公式可得结果. 【详解】由三视图知该几何体由底面边长是33高为2的正三棱锥和底面半径是3，高为2的圆锥组合而成，正三棱锥的体积是(21393332342⨯⨯=， 圆锥的体积是213263ππ⨯⨯⨯=，所以组合体的体积936π+，故选A. 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ， 122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭， 22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且11232PF PQ F F +>恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．71,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B．,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C．76⎛ ⎝⎭D．1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令x =c代入双曲线的方程可得2by a==±， 由22F Q F A >,可得232a b a>，即为3a 2>2b 2=2(c 2−a 2)，即有2c e a =<① 又11232PF PQ F F +>恒成立， 由双曲线的定义,可得2a +|PF 2|+|PQ |>3c 恒成立， 由F 2,P ,Q 共线时,|PF 2|+|PQ |取得最小值|F 2Q |=32a ， 可得3c <2a +32a ， 即有c e a =<76②由e >1，结合①②可得， e 的范围是(1,7 6). 故选：A.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10．已知实数x y ，满足124242,240,330,x y x y x y x y --⎧+≥+⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若(1)1y k x ≥+-恒成立，那么k 的取值范围是( ) A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)3,+∞ D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题意，作出不等式组对应的可行域，根据()11y k x =+-的图象是过点()1,1--，斜率为k 的直线，结合图象，即可求解.【详解】由题意,实数,x y 满足124242240330x y x y x y x y --⎧+≥+⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，即220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又因为函数()11y k x =+-的图象是过点()1,1--，斜率为k 的直线，要使得不等式()11y k x ≥+-恒成立，即11y k x +≤+恒成立， 结合图象可知，当直线过点()1,0B 时，斜率取得最小值12，所以实数k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选D.【点睛】本题主要考查了简单线性规划的应用，其中解答中正确求解约束条件所对应的不等式组，作出约束条件所表示的平面区域，再根据斜率公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，推理与计算能力.11．已知三棱锥A BCD -中，2AB AC BD CD ====，2BC AD =， 直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的表面积为 （ ） A ．8π B ．6πC ．9πD ．5π【答案】A【解析】取BC 的中点O ，判断O 为三棱锥外接球的球心，即可求出结果. 【详解】取BC 中点O ，则AO BC ⊥，DO BC ⊥，AO DO =， 因为直线AD 与底面BCD 所成角为3π，所以AO DO AD ==， 因为2BC AD =，所以AO DO BO CO ===，即O 为三棱锥外接球的球心， 因为2AB AC BD CD ====，所以122AO BC == 所以三棱锥外接球的表面积为4π28π⨯=. 故选A 【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，熟记球的表面积公式即可，属于常考题型.12．己知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()112,0212,22x x f x f x x --⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-在[)6-+∞,上的所有零点之和为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】由已知可分析出函数()g x 是偶函数，则其零点必然关于原点对称，故()g x 在[]6,6-上所有的零点的和为0，则函数()g x 在[)6-+∞,上所有的零点的和，即函数()g x 在(6,)+∞上所有的零点之和，求出(6,)+∞上所有零点，可得答案．【详解】解：Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-． 又Q 函数()()1g x xf x =-，()()()1()[()]1()1()g x x f x x f x xf x g x ∴-=---=---=-=，∴函数()g x 是偶函数，∴函数()g x 的零点都是以相反数的形式成对出现的．∴函数()g x 在[]6,6-上所有的零点的和为0，∴函数()g x 在[)6-+∞,上所有的零点的和，即函数()g x 在(6,)+∞上所有的零点之和．由02x <…时，|1|1()2x f x --=，即22,01()2,12x x x f x x --⎧<=⎨<⎩…… ∴函数()f x 在(]0,2上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当2x =时，()1f x =又Q 当2x >时，1()(2)2f x f x =- ∴函数()f x 在(]2,4上的值域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在(]4,6上的值域为11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在(]6,8上的值域为11,168⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当8x =时，1()8f x =，函数()f x 在(]8,10上的值域为611,213⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当10x =时，1()16f x =，故1()f x x<在(]8,10上恒成立，()()1g x xf x =-在(]8,10上无零点，同理()()1g x xf x =-在(]10,12上无零点， 依此类推，函数()g x 在(8,)+∞无零点，综上函数()()1g x xf x =-在[)6-+∞,上的所有零点之和为8 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点，函数的图象和性质，其中在寻找(6,)+∞上零点个数时，难度较大，故可以用归纳猜想的方法进行处理．二、填空题 13．曲线y =y x =所围成的封闭图形的面积为__________．【答案】16【解析】由定积分的几何意义可得：封闭图形的面积()132120211|326S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰. 14．()5221111x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为________. 【答案】15【解析】写出()521x +展开式的通项，求出含2x 及4x 的项，则答案可求．【详解】 解：25252525221111(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x+++=+++++Q 且25(1)x +展开式的通项为215r r r T C x +=． 由22r =，得1r =；由23r =，得32r =（舍)；由24r =，得2r =． ()5221111x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∴展开式中2x 的系数为125515C C +=．故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，解题时应灵活应用二项展开式的通项公式，属于基础题． 15．过抛物线的焦点的直线交于两点，在点处的切线与轴分别交于点，若的面积为，则_________________。

河北省衡水市2019届高三第三次模拟考试数学试卷（理）第Ⅰ卷 选择题（共60分）选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只 有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}1|,1|<=<=xe x B x x A ，则( )A. {}1|<=x x B AB. {}e x x B A <=|C. R B C A R =)(D.{}10|)(<<=x x B A C R2. 已知i 为虚数单位，若1i(,)1+ia b a b =+∈R ，则b a = （ ） A. 1 B.2 C.22D.2 3.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λ+a b 与c 共线,则实数λ=（ ）A.2-B.1-C.1D.24.函数)6cos()3sin(51)(ππ-++=x x x f 的最大值为（ ） A. 51 B. 1 C. 53 D. 565.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为 （ ）A ． 932B ．516C ．38D ． 7166.已知0>a ，)6(log )(ax x f a -=，则“31<<a ”“是)(x f 在)2,1(上单调递减”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.一给定函数)(x f y =的图象在下列四个选项中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列{}n a 满足n n a a <+1.则该函数的图象可能是( )A. B.C. D.8.某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由高为2三角形构成，俯视图由半径为3的圆与其内接正三角形构成，则该几何体的体积为( )A. B. C. D. .9.设双曲线的左、右焦点分别为， ，过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为，已知， ，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B.C. D.2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F 122F F c =2F x A 3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭22F Q F A >P C 11232PF PQ F F +>2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭71,6⎛⎫⎪⎝⎭7,62⎛ ⎝⎭1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭10.已知实数、满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-+≥+--033042242421y x y x y x y x ，若1)1(-+≥x k y 恒成立，那么k 的取值范围是( )A ．]3,21[ B ．]34,(-∞ C ．),3[+∞ D ．]21,(-∞11.已知三棱锥中，， 直线与底面所成角为，则此时三棱锥外接球的表面积为 （ ） A. B.π6 C. π9 D. π512.已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<=--,2),2(21,202)(,1|1|x x f x x f x 则函数1)()(-=x xf x g 在),7[+∞-上的所有零点之和为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.曲线x y =与直线x y =所围成的封闭图形的面积为__________．14.522)1)(111(x xx +++展开式中2x 的系数为 15.过抛物线C ：x 2=4y 的焦点F 的直线l 交C 于A ，B ，点A 处的切线与x ，y 轴分别交于点M ，N ，若△MON的面积为，则|AF |=________.16..已知锐角111C B A ∆的三个内角的余弦值分别等于钝角222C B A ∆的三个内角的正弦值，其中22π>A ，若1||22=C B ，则||3||222222C A B A +的最大值为 .三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 前5项和为50，227=a ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，13,111+==+n n S b b .（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；A BCD -2,2AB AC BD CD BC AD =====AD BCD π8（Ⅱ）若数列{}n c 满足*+∈=+++N n a b c b c b c n nn ,12211 ,求201721c c c +++ 的值18．(本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD 中2,3,300===∠AB AD A ，沿BD 将ABD ∆翻折到BD A '∆的位置，使平面⊥BC A '平面BD A '.（1）求证：⊥D A '平面BCD ；（2）在线段C A '上有一点M 满足C A M A ''λ=，且二面角C BD M --的大小060，求λ的值.19． (本小题满分12分）某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的. （1）求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是，，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得10分，求甲乙两人得分之和的期望.20．(本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知定点)0,1(F ，点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上运动，点N 为坐标平面内的动点，且满足0=∙，=+．（1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）过曲线C 第一象限上一点),(00y x R （其中10>x ）作切线交直线1-=x 于点1S ，连结RF 并延长交直线1-=x 于点2S ，求当21S RS ∆面积取最小值时切点R 的横坐标．21.(本小题满分12分）已知函数)(ln 1)(22R a ax x a x x f ∈-+-=. （1）若0>a ，求函数)(x f 的单调性；（2）若0=a 且)1,0(∈x ，求证：11)(2<-+xx e x f x 请考生在22、23、两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）选4－4 坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程是4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求曲线12,C C 的直角坐标方程；（2）设曲线12,C C 交于点,A B ，曲线2C 与x 轴交于点E ，求线段AB 的中点到点E 的距离．23．（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲 已知函数()f x x a a=--+，()2124g x x x =-++．（1）解不等式()6g x <；（2）若对任意的1x ∈R，存在2x ∈R，使得()()12g x f x -=成立，求实数a 的取值范围．【参考答案】1-12.CBDDC,AAABD,AB13. 14. 15 15. 2 16. 1017．解：（Ⅰ）设等差数列的公差为．依题意得解得，，所以. 当时，，当时，，，以上两式相减得，则，又，所以，.所以为首项为1，公比为4的等比数列，所以．（Ⅱ）因为，当时，，以上两式相减得，所以，.当时，，所以，不符合上式，所以.18．解：（1）中，由余弦定理，可得.∴，∴，∴.作于点，∵平面平面，平面平面，∴平面.∵平面，∴. 又∵，，∴平面.又∵平面，∴.又，，∴平面.（2）由（1）知两两垂直，以为原点，以方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，则，，.设，则由.设平面的一个法向量为，则由,取.平面的一个法向量可取，∴.∵，∴.19．解：（1）由题意可知共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题.故所求的概率.（2）的所有取值有1，2，3.，，，故.由题意可知，故.而，所以.20．解：（1）设，，.因为，，所以，，，所以.（2）切线：，将代入得，直线：，将代入得，，因为在抛物线上且在第一象限，所以，所以，设，，，，.21.解：解法一：（1）函数的定义域为，，若时，当时，；当时，；当时，.故在上，单调递减；在上，单调递増；（2）若且，欲证，只需证，即证.设函数，则.当时，.故函数在上单调递增.所以.设函数，则.设函数，则.当时，，故存在，使得，从而函数在上单调递增；在上单调递减. 当时，，当时，P (x 0)·P （1）<-2<0,故存在，使得，即当时，，当时，从而函数在上单调递增；在上单调递减. 因为，故当时，所以，即.解法二：（1）同解法一.（2）若且，欲证，只需证，即证.设函数，则.当时， .故函数在上单调递增.所以.设函数，因为，所以，所以，又，所以，所以，即原不等式成立.解法三：（1）同解法一.（2）若且，欲证，只需证，由于，则只需证明，只需证明，令，则222211121'()20x x x g x x x x x x---=--=<<， 则函数在上单调递减，则，所以成立，即原不等式成立.22．解：（1）曲线1C 的极坐标方程可以化为：24sin 0ρρθ-=， 所以曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y y +-=，曲线2C的极坐标方程可以化为：1sin cos 22ρθρθ+⋅=， 所以曲线2C的直角坐标方程为：40x +-=；（2）因为点E 的坐标为()4,0，2C 的倾斜角为56π, 所以2C的参数方程为：412x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 将2C 的参数方程代入曲线1C的直角坐标方程得到：2242024t t ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，整理得：()22160t t -+=，判别式0∆>，中点对应的参数为1，所以线段AB 中点到E点距离为123．解：（1）由21246x x -++<①当2x ≤-时，21246x x -+--<，得94x >-，即924x -<≤-； ②当122x -<<时，21246x x -+++<，得56<，即122x -<<； ③当12x ≥时，21246x x -++<，得34x <，即1324x ≤<；综上，不等式()6g x <解集是93,44⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）对任意的1x ∈R ，存在2x ∈R ，使得()()12g x f x -=成立， 即()f x 的值域包含()g x -的值域，由()f x x a a =--+，知()(],f x a ∈-∞， 由()2124g x x x =-++≥()()21245x x --+=，且等号能成立， 所以()(],5g x -∈-∞-，所以5a ≥-，即a 的取值范围为[)5,-+∞.。

2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学（理）试题数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．复数z =(−3−4i )i 在复平面内对应的点位于A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限2．已知全集U=R ，M ={x|−x 2≥2x }则C U M =A ． {x |−2<x <0 }B ． {x |−2≤x ≤0 }C ． {x|x <−2或x >0 }D ． {x|x ≤−2或x ≥0 }3．某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计则下列结论正确的是 A ． 与2015年相比，2018年一本达线人数减少 B ． 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍 C ． 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同 D ． 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加4．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 10=100，则a 7的值为 A ． 11 B ． 12 C ． 13 D ． 14 5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，若x >0时，f (x )=xlnx ，则x <0时，f (x )= A ． xlnx B ． xln (−x ) C ． −xlnx D ． −xln (−x ) 6．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和直线l:x 4+y 3=1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，则椭圆C 的离心率为 A ． 45 B ． 35 C ． 34D ． 15 7．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =2EO ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则ED ⃑⃑⃑⃑⃑ = A ． 13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ B ． 23AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ C ． 23AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ D ． 13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 8．某几何体的三视图如图所示，则此几何体 A ． 有四个两两全等的面 级姓名准考证号考场号座位号B ． 有两对相互全等的面C ． 只有一对相互全等的面D ． 所有面均不全等9．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF =2AF =2，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是A ． 413B ． 2√1313C ． 926D ． 3√132610．已知函数f (x )={−e x ,x ≤0,lnx,x >0 （e 为自然对数的底数），若关于x 的方程f (x )+a =0有两个不相等的实根，则a 的取值范围是A ． a >−1B ． −1<a <1C ． 0<a ≤1D ． a <111．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=45°，则双曲线的渐近线方程为A ． y =±√2xB ． y =±√3xC ． y =±xD ． y =±2x12．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别为棱BB 1，CC 1的中点，点O 为上底面的中心，过E ，F ，O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含A 1的部分为V 1，不含A 1的部分为V 2，连结A 1和V 2的任一点M ，设A 1M 与平面A 1B 1C 1D 1所成角为α，则sinα的最大值为A ． √22B ． 2√55C ． 2√65D ． 2√66 二、填空题 13．已知实数x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0,2x +y −4≤0,y ≥0, ，则z =x −2y 的最小值为________. 14．已知数列{a n }，若数列{3n−1a n }的前n 项和T n =15×6n −15，则a 5的值为________. 15．由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有____________个. 16．已知函数f (x )=−sin (π3x +φ)+|x −2|(|φ|<π2)的图像关于直线x =2对称，当x ∈[−1,2]时，f (x )的最大值为____________. 三、解答题 17．如图，在ΔABC 中，P 是BC 边上的一点，∠APC =60°，AB =2√3，AP +PB =4. （1）求BP 的长； （2）若AC =5√34，求cos∠ACP 的值.18．在ΔABC中，D，E分别为AB，AC的中点，AB=2BC=2CD，如图1.以DE为折痕将ΔADE折起，使点A到达点P的位置，如图2.如图1 如图2（1）证明：平面BCP⊥平面CEP；（2）若平面DEP⊥平面BCED，求直线DP与平面BCP所成角的正弦值。

绝密★启封前河北衡水中学2019届高考押题模拟试卷（八）理科数学全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

参考公式：球的体积公式其中是球半径．锥体的体积公式锥体，其中是锥体的底面积，是锥体的高．台体的体积公式台体，其中分别是台体上、下底面的面积，是台体的高．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1.已知集合{}ln(1)M x y x ==-, 集合{|,}xN y y e x R ==∈(e 为自然对数的底数),则M N =( )A.{|1}x x <B.{|1}x x >C.{|01}x x <<D.∅ 2.已知复数11iz i+=-，则复数z 的模为（ ）A. 2B.C. 1D. 03.若命题p 为：为（ ）A ．B ．C ．D ．4.一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．3696+π B ．4872+π C ．9648+πD ．4824+π5.为了弘扬我国优秀传统文化,某中学广播站在中国传统节日:春节,元宵节,清明节,端午节,中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵,那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是( ) A .0.3 B .0.4C .0.6D .0.76.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a 为( )A.4B.2C.0D.14 7.在等差数列{}n a 中，810112a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =( ) A. 8 B. 16 C. 22 D. 44 8.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<>2,0πϕω，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数y ＝f (x )的图象( ) A.关于点⎪⎭⎫⎝⎛012，π对称 B.关于点⎪⎭⎫⎝⎛012-，π对称 C.关于直线x ＝π12对称 D.关于直线x ＝－π12对称9.在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是△ABC 所在平面上的任意一点，则P A →·PB →＋P A →·PC →的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－110.已知四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，△P AD 为等腰直角三角形，P A ＝PD ＝2，则四棱锥P －ABCD 外接球的表面积为( ) A.10π B.4π C.16π D.8π11.抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38C.233D.43312.已知函数f (x )＝e －x －2x －a ，若曲线y ＝x 3＋x ＋1(x ∈[－1,1])上存在点(x 0，y 0)使得f (y 0)＝y 0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，e －3－9)∪[e ＋3，＋∞) B ．[e －3－9，e ＋3]C ．(e －3－9，e 2＋6) D ．(－∞，e －3－9)∪(e ＋3，＋∞)二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13.的展开式的常数项为__________．14.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥4，x ＋2y ≤4，y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值是______.15.设、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，满足（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为 ．16.设函数()()e 2122x f x x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是_______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必答题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.（12分）已知a ,b ,c 分别为ABC ∆三个内角A , B , C 的对边,c a sin C +c cos A ．(1)求角A ;(2)若a =ABC ∆求ABC ∆的周长．18.（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； ②设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．19.（12分）如图所示,在四棱锥P-ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB=BC=P A=1,AD=2,∠P AD=∠DAB=∠ABC=90°,点E 在棱PC 上,且CE=λCP (0<λ<1). (1)求证:CD ⊥AE.?若存在,求出(2)是否存在实数λ,使得二面角C-AE-D 的余弦值为实数λ的值；若不存在，请说明理由.20.（12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，点M ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛233，在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与直线OM 相交于点N ，且N 是线段AB 的中点，求△OAB 面积的最大值.21.（12分）已知函数f (x )＝ln x ＋ax .(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对任意x >0，均有x (2ln a －ln x )≤a 恒成立，求正数a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为22ρcos⎪⎭⎫⎝⎛+4πθ＝－1.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)过点M(－1，0)且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a∈R).(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.理科答案选择题：1.C 2.C 3.C 4.D 5.D 6.B 7.C 8.A 9.C 10.D 11.D 12.B填空题：13.-15 14.6 15.5 16.31,4e2⎡⎫⎪⎢⎣⎭17.(1)由及正弦定理，得,又,,.(2)因为三角形的面积公式所以，由余弦定理，得：，三角形的周长为.解:(1)证明:过点C作CF∥AB交AD于点F,∵AB=BC=1,AD=2,∠DAB=∠ABC=90°,∴四边形ABCF为正方形,且AF=FD=1,AC=.在Rt△CFD中,CD=,在△ACD中,CD2+AC2=4=AD2,∴CD⊥AC.∵∠PAD=90°,∴PA⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊂平面PAD,∴PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.∵PA,AC⊂平面PAC,且PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC,又AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由题知,PA,AB,AD两两垂直,以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),∴=(-1,1,0),=(0,2,0).假设存在实数λ(0<λ<1),使得二面角C-AE-D的余弦值为,设E(x,y,z),∵=λ,∴(x-1,y-1,z)=λ(-1,-1,1),∴E(1-λ,1-λ,λ),则=(1-λ,1-λ,λ).∵CD⊥平面PAC,∴平面AEC的一个法向量为n==(-1,1,0).设平面AED的法向量为m=(a,b,c),则即令c=1,则a=,b=0,∴m==(-λ,0,1-λ),∵≠0,∴可取m=(-λ,0,1-λ),∴|cos<m,n>|===,化简得3λ2-8λ+4=0,∵λ∈(0,1),∴λ=,∴存在实数λ=,使得二面角C-AE-D 的余弦值为.20.解 (1) 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，点M ⎝⎛⎭⎫3，32在椭圆C 上，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，(3)2a 2＋(3)24b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)易得直线OM 的方程为y ＝12x .当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点不在直线y ＝12x 上，故直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，与x 24＋y 23＝1联立消y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12) ＝48(3＋4k 2－m 2)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.由y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m3＋4k 2，所以AB 的中点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2，因为N 在直线y ＝12x 上，所以－4km 3＋4k 2＝2×3m 3＋4k 2，解得k ＝－32，所以Δ＝48(12－m 2)>0，得－23<m <23，且m ≠0，|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫322|x 2－x 1|＝132·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝132·m 2－4×m 2－33＝39612－m 2，又原点O 到直线l 的距离d ＝2|m |13， 所以S △OAB ＝12×39612－m 2×2|m |13＝36(12－m 2)m 2≤36(12－m 2＋m 2)24＝3，当且仅当12－m 2＝m 2，即m ＝±6时等号成立， 符合－23<m <23，且m ≠0， 所以△OAB 面积的最大值为 3.21.解 (1)f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2，x ∈(0，＋∞).①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，无极值； ②当a >0，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，f (x )在(0，a )上为减函数； x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(a ，＋∞)上为增函数， 所以f (x )在(0，＋∞)上有极小值，无极大值， f (x )的极小值为f (a )＝ln a ＋1.(2)若对任意x >0，均有x (2ln a －ln x )≤a 恒成立， 即对任意x >0，均有2ln a ≤ax＋ln x 恒成立，由(1)可知f (x )的最小值为ln a ＋1，问题转化为2ln a ≤ln a ＋1， 即ln a ≤1，故0<a ≤e ， 故正数a 的取值范围是(0，e].22.解 (1)曲线C 化为普通方程为x 23＋y 2＝1，由22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，代入x 23＋y 2＝1化简得，2t 2－2t －2＝0，设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1t 2＝－1，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝1.23.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎨⎧－x －4，x <12，3x －6，x ≥12，由f (x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <12，－x －4≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x －6≥0，解得x ≤－4或x ≥2，故不等式f (x )≥0的解集为{x |x ≤－4或x ≥2}. (2)令f (x )＝0，得|2x －1|＝5－ax ，则函数f (x )恰有两个不同的零点转化为y ＝|2x －1|与y ＝－ax ＋5的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，结合图象知当－2<a <2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以当－2<a <2时，函数f (x )恰有两个不同的零点，故实数a 的取值范围为(－2，2).。

绝密★启用前河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学本试卷4页，23小题，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上的相应位置。

2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔记签字笔写在答题卡上。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数(34)z i i =--在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集U R =，2{|2}M x x x =-≥，则U M =ðA ．{|20}x x -<<B ．{|20}x x -≤≤C ．{|20}x x x <->或D ．{|20}x x x ≤-≥或3．某所高中2018年高考考生人数是2015年考生人数的1.5倍．为了更好的对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考各层次的达线率，得到如下柱状图则下列结论正确的是A ．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B ．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C ．与2015年相比，2018年艺体达线人数不变D ．与2015年相比，2018年未达线人数有所增加4．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a =A ．11B ．12C ．13D ．145．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x >时，()ln f x x x =，则0x <时，()f x =A ．ln x xB ．ln()x x -C ．ln x x -D ．ln()x x --6．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>和直线l ：143x y +=，若过椭圆C 的左焦点和下顶点的直线与直线l 平行，则椭圆C 的离心率为A ．45B ．35C ．34 D ．157．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =A ．1233AD AB -B ．2133AD AB + C ．2133AD AB - D ．1233AD AB + 8．某几何体的三视图如图所示，则此几何体A ．有四个两两全等的面B ．有两个互相全等的面C ．只有一对互相全等的面D ．所有面都不全等9．赵爽是我国古代的数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可类似的构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成了一个大等边三角形．设22DF AF ==，若在大等边三角形中随即取一点，则此点来自小等边三角形的概率是A ．413BC ．926D 10．已知函数,0()ln ,0x e x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩（e 为自然对数的底数），若关于x 的方程()0f x a +=有两个不等的实根，则a 的取值范围是A ．1a >-B ．11a -<<C ．01a <≤D ．1a <11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线的右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为A ．y =B ．y =C ．y x =±D ．2y x =±12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱11,BB CC 的中点，点O 为上底面的中心，过,,E F O 三点的平面分别把正方体分为两部分，其中含有1A 的部分为几何体1V ，不含1A 的部分为几何体2V ，已知M 为几何体2V 中（内部与表面）的任意一点，设1A M 与平面1111A B C D 所成的角为α，则sin α的最大值为A ．BC ．5D ．6 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数,x y 满足约束条件102400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为________．14．已知数列{}n a ，若数列1{3}n n a -的前n 项和11655n n T =⨯-，则5a =________． 15．由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好由7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有______个．16．已知函数()sin()|2|(||)32f x x x ππϕϕ=-++-<的图像关于直线2x =对称，当[1,2]x ∈-时，()f x 的最大值为________． 三．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题12分）如图，在ABC ∆中，P 是边BC 上一点，60APC ∠=︒，AB =4AP PB +=．（1）求BP 的长；（2）若AC =，求cos ACP ∠的值．18．（本小题12分）在ABC ∆中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，22AB BC CD ==，如图1．以DE 为轴将ADE ∆翻折，使点A 到达点P 的位置，如图2．（1）证明：平面BCP ⊥平面CEP ；（2）若平面DEP ⊥平面BCED ，求直线DP 与平面BCP 所成角的正弦值．19．（本小题12分）某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学，从大一理工科新生中随机抽取40名，对他们2018年高考的数学分数进行分析，研究发现这40名新生的数学分数x 在[100,150)内，且其频率y 满足1020n y a =-（其中1010(1)n x n ≤<+，n N +∈） （1）求a 的值；（2）请画出这40名新生高考数学分数的频率的分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该组的中间值代替）（3）将此样本的频率估计为总体的太绿，随机调查4名该校的大一理工科新生，记调查的4名新生中“高考数学分数不低于130分”的人数为随机变量ξ，求ξ的数学期望．20．（本小题12分）已知抛物线E ：22(0)x py p =>的焦点为F ，0(2,)A y 是E 上一点，且||2AF =．（1）求E 的方程；（2）设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线3y x =-交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，求证：直线BM 过定点．21．（本小题12分）已知函数()1()ax f x e x a R =--∈．（1）当1a =时，求证：()0f x ≥；（2）讨论函数()f x 的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，注意，只能做所选定的题目，如果多做则按所做的第一道题记分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=+>；直线l的参数方程为222x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为(2,)π，||||PM PN +=，求a 的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题10分）已知函数()|2|f x x =-．（1）求不等式(1)(3)f x xf x +<+的解集；（2）若函数2()log [(3)()2]g x f x f x a =++-的值域为R ，求实数a 的取值范围．。

绝密★启封前河北衡水中学2019届高考押题模拟试卷（三）理科数学全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

参考公式：球的体积公式其中是球半径．锥体的体积公式锥体，其中是锥体的底面积，是锥体的高．台体的体积公式台体，其中分别是台体上、下底面的面积，是台体的高．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1．已知集合2{|430}A x x x =-+<， {|21,0}x B y y x ==-≥，则A B ⋂=（ ） A ．∅ B ．[)()0,13,⋃+∞ C ．A D ．B2．已知 ，则不等式 ，，中不成立的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．若 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列说法中正确的是 A ． ∥ ∥ B ． ∥C ． ∥ ∥D ． ∥ ∥4．将函数y ＝sin(x ＋)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，所得到的图象解析式是A ．B ．C ．D ．5．已知向量 ，满足，，且在 方向上的投影与在 方向上的投影相等，则等于A ．1B ．C ．D ．36．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为A ．7B ．8C ．9D ．107．定义域为 的函数 满足 ， ，若 ，且 ，则A ．B ．C ．D ． 与 的大小不确定8．数列 满足 ，且 ，若，则 的最小值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．69．已知0a >，0b >3a 与3b的等比中项，则49aba b+的最大值为A ．124 B ．125C ．126D ．127 10．一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为A ．B ．C ．D ．11．向量 ， ， 满足： ， ，，则 最大值为A ．B ．C ．D ．12．设函数 ，其中 ，若仅存在两个正整数 使得 ，则 的取值范围是A ．B ．C ．D ．二、填空题13．设变量 ， 满足约束条件，则目标函数 的最小值为__________14．已知数列 的前 项和为 ， ， ，,则 ______________15．已知正方体1111ABCD A BC D -的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于点B C ，） ，点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111ABCD A BC D -所得的截面为四边形，则线段BM 长的取值范围为__________ ．16．设数列{}n a 是首项为0的递增数列， ()()[]*11sin,,,n n n n f x x a x a a n N n+=-∈∈，满足：对于任意的[)()0,1,n b f x b ∈=总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式为_________三、解答题17．如图，菱形 与正三角形 的边长均为2，它们所在平面互相垂直， 平面 ，且 ．（Ⅰ）求证： 平面 ；（Ⅱ）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．18．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（Ⅰ）若曲线 上一点 的极坐标为，且 过点 ，求 的普通方程和 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点 ， 与 的交点为 ，求的最大值. 19．已知函数．（I ）若函数 在区间 上不是单调函数，求实数 的取值范围；（II ）是否存在实数 ，使得函数 图像与直线 有两个交点？若存在，求出所有 的值；若不存在，请说明理由．20．已知 中，内角 的对边分别为 ，且 成等差数列， . （I ）求 ； （II ）设（ ），求 的面积的最小值.21．若数列 是公差为2的等差数列，数列 满足 ， ，且 ． （1）求数列 ， 的通项公式； （2）设数列 满足，数列 的前 项和为 ，若不等式对一切恒成立，求实数λ的取值范围．22．已知 ，函数（I ）若 在 上为单调增函数，求实数 的取值范围 （II ）证明：数学答案参考答案1．C【解析】试题分析：由题意得，集合=，集合=，那么= =,故选C.考点：1.集合的交并集运算；2.一元二次不等式；3.指数函数的性质.2．D【解析】取，则，但是此时，取，则，但是此时，即题中所给的三个不等式均错误.本题选择D选项.3．C【解析】【分析】利用线面平行与垂直的判定与性质定理即可判断出正误．【详解】对于A. ∥∥，错误，与又饿可能异面；对于B. ∥，错误，与有可能相交；对于C. ∥∥，利用直线与平面垂直的判定定理可得结论正确；对于D. ∥∥，错误，与有可能相交.故选C.【点睛】】本题考查了线面平行与垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与空间想象能力，属于基础题．4．A【解析】【分析】利用三角函数的伸缩变换将y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+）图象，再利用平移变换可得答案．【详解】函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+）图象，再将函数y=sin（2x+）图象向右平移个单位，所得图象的函数解析式为y=sin[2（x﹣）+）]=sin （2x﹣），故选：D．【点睛】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，掌握其平移变换与伸缩变换的规律是关键，属于中档题．5．C【解析】【分析】根据投影相等可得=0，计算（）2即可得出||．【详解】∵在方向上的投影与在方向上的投影相等，∴=，∴=0，∴（）2==5，∴||=，故选：C．【点睛】本题考查了平面向量投影公式，模长计算，属于中档题．6．B【解析】试题分析：设该女子第一天织布尺，则，解得，所以前天织布的尺数为，由，得，解得的最小值为，故选B．考点：等比数列的应用．7．A【解析】【分析】由题设中条件f（4﹣x）=f（x）可得出函数关于x=2对称，由（x﹣2）f′（x）＜0可得出x＞2时，导数为负，x＜2时导数为正，由此可必出函数的单调性利用单调性比较大小即可选出正确答案【详解】由题意f（4﹣x）=f（x），可得出函数关于x=2对称又（x﹣2）f′（x）＜0，得x＞2时，导数为负，x＜2时导数为正，即函数在（﹣∞，2）上是增函数，在（2，+∞）上是减函数又x1＜x2，且x1+x2＞4，下进行讨论若2＜x1＜x2，显然有f（x1）＞f（x2）若x1＜2＜x2，有x1+x2＞4可得x1＞4﹣x2，故有f（x1）＞f（4﹣x2）=f（x2）综上讨论知，在所给的题设条件下总有f（x1）＞f（x2）故选：A．【点睛】本题考查函数单调性与导数的关系以及利用单调性比较大小，求解本题的关键是根据导数的符号判断出函数的单调性，在比较大小时根据所给的条件灵活变形，将两数的大小比较转化到一个单调区间上比较也很重要，本题考查了转化化归的能力．8．C【解析】【分析】依题意，得，可判断出数列{2n a n}为公差是1的等差数列，进一步可求得21a1=2，即其首项为2，从而可得a n=，继而可得答案．【详解】∵，即，∴数列{2n a n}为公差是1的等差数列，又a1=1，∴21a1=2，即其首项为2，∴2n a n=2+（n﹣1）×1=n+1，∴a n=．∴a1=1，a2=，a3=，a4=＞，a5==＜=，∴若＜，则n的最小值为5，故选：C．【点睛】本题考查数列递推式，判断出数列{2n a n}为公差是1的等差数列，并求得a n=是关键，考查分析应用能力．属于中档题．9．B【解析】试题分析：依题意有333,1a b a b⋅=+=，所以()111114949494913122513aba ba ba bb a b ab a===≤=++⎛⎫++++⋅+⎪⎝⎭.考点：基本不等式.10．D【解析】【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以2为高的正三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积．【详解】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的正三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面边长为4，可得底面外接圆的半径为：．由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为，故选：C故外接球的表面积S=4 r2=4 ×=故选：D．【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．11．D【解析】分析：先利用平面向量的数量积公式得到的夹角和的夹角，再利用圆的性质进行求解．详解：因为，，所以的夹角为，因为，所以的夹角为；作（如图1、图2所示），则，由图象，得的最大值为4．图1 图2点睛：解决本题的关键是利用平面向量的数量积定义判定的夹角和的夹角互补且为二倍关系，所以借助圆周角和圆心角的关系、圆内接四边形的性质进行判定，再利用圆的直径是最长的弦进行求解．12．A【解析】【分析】根据题意，分析出所求a的范围需满足仅有两个整数使得。

河北省衡水中学2019届高三原创模拟押题试卷（三）理科数学本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合2{|30}A x x x =-≤， (){|lg 2}B x y x ==-，则A B ⋂=（ ）A. {|02}x x ≤<B. {|13}x x ≤<C. {|23}x x <≤D. {|02}x x <≤ 2．计算()212i i i++-等于 （ ） A ．45i - B ．34i - C ．54i - D ．43i -3．已知命题:p R x ∀∈，cos 1x >，则p ⌝是 （ ） A ．R x ∃∈，cos 1x < B ．R x ∀∈，cos 1x < C ．R x ∀∈，cos 1x ≤ D ．R x ∃∈，cos 1x ≤4.已知函数()(1)()为偶函数，且在（0，+）单调递减，则(3)0的解集为（ ）f x x ax b f x =-+∞-<A ．（2 ，4） B ．(,2)(4,)-∞+∞ C ．(1,1)- D ．(,1)(1,)-∞-+∞5．执行如下的程序框图，最后输出结果为k=10，那么判断框应该填入的判断可以是（ ）A .B ．C ．D ．6．已知函数()cos (0)6f x x ωπωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则函数()f x 的图像（ ）A. 可由函数()cos2g x x =的图像向左平移3π个单位而得 B. 可由函数()cos2g x x =的图像向右平移3π个单位而得C. 可由函数()cos2g x x =的图像向左平移6π个单位而得 D. 可由函数()cos2g x x =的图像向右平移6π个单位而得 7．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则它的体积为A ．1603 B ．160 C ．2563 D ．648.已知ABCD 为正方形，其内切圆I 与各边分别切于E ，F ，G ，H ，连接EF ，FG ，GH ，HE ．现向正方形ABCD 内随机抛掷一枚豆子，记事件A ：豆子落在圆I 内，事件B ：豆子落在四边形EFGH 外，则(|)P B A =（ ） A ．14π-B ．4π C ．21π-D ．2π9．已知非零向量AB 与AC 满足 ()AB AC BC ABAC0+=，且AB AC AB AC12=，则ABC 为( ）A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形 10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( )A ．13n －1B ．)1(2+n nC ．)2)(1(6++n n D ．5－2n 311．已知1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，A 是椭圆上的点，212F A F A c ⋅=（c 为椭圆的半焦距），则椭圆离心率的取值范围是（ ）A．0⎛ ⎝B． C． D．1⎫⎪⎪⎭12．已知定义在R 上的函数() y f x =对任意的x 都满足() 2() f x f x +=，当11x -≤＜时，()sin2f x x π=，若函数()() log a g x f x x =-至少有6个零点，则a 的取值范围是( ) A ．()10,5,5⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦B ．[)10,5,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()11,5,775⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)11,5,775⎛⎫⎪⎝⎭二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．(x x )2521+-的展开式中，x 3的系数为_________．14．变量x 、y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22)2(y x +-的最小值为_________．15．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45︒，若SAB △的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．16.已知函数()ln x f x e m x =+(m∈R,e 为自然对数的底数),若对任意正数,x x 12当x 1>x 2时都有f(x 1)-f(x 2)>x 1-x 2成立,则实数m 的取值范围是 . 三解答题17.（10分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c o s s i n a B b A c +=．（1）求角A 的大小； （2）若a =ABC ∆，求b c +的值． 18.（12分） 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＋a 7＝－9，S 9＝－992.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝12S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＞－34.19.（12分） 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种：方案a ，从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b ，从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．2．抽奖条件是，顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a 抽奖一次；满150元，可根据方案b 抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a 抽奖两次或方案b 抽奖一次或方案a ，b 各抽奖一次)．已知顾客A 在该商场购买商品的金额为350元．(1)若顾客A 只选择根据方案a 进行抽奖，求其所获奖金的期望值； (2)要使所获奖金的期望值最大，顾客A 应如何抽奖？20.（12分）已知五边形ABECD 由一个直角梯形ABCD 与一个等边三角形BCE 构成，如图1所示，AB ⊥BC ，且AB ＝BC ＝2CD .将梯形ABCD 沿着BC 折起，如图2所示，且AB ⊥平面BEC .(1)求证：平面ABE ⊥平面ADE ； (2)求二面角A ­DE ­B 的余弦值． 21（12分）已知点1(0,)2F ，直线l ：12y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为H ，且满足()0HF PH PF ⋅+=．（1） 求动点P 的轨迹C 的方程； （2） 过点F 作直线'l 与轨迹C 交于A ，B 两点，M 为直线l 上一点，且满足MA MB ⊥，若MAB ∆的面积为'l 的方程．22.（12分）若函数()ln f x x ax =-恰有两个不同零点12,x x（1）求实数a 的取值范围； （2）求证12112ln ln x x +>.高三理科数学参考答案1A 2A 3D 4B 5D 6D 7A 8C 9D 10B 11B 12A13．40 14．5 15． 16 [0,+∞)17.解：(1)由已知及正弦定理得：sin cos sin sin sin A B B A C +=，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin in cos sin Bs A A B ∴=，sin 0sin cos B A A≠∴=(0,)4A A ππ∈∴=(2) 11sin 2242ABCSbc A bc ===∴=又22222cos 2()(2a b c bc A b c bc=+-∴=+-所以，2()4, 2.b c b c +=+=．18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则由已知条件可得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋6d ＝－99a 1＋36d ＝－992，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－32，d ＝－1.(4分)于是可求得a n ＝－2n ＋12.(6分)(2)证明：由(1)知，S n ＝-(2)2n n +，故b n ＝－1(2)n n +＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，(8分)故T n ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n －⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14＋15＋…＋1n ＋2 ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2，(10分)又因为32－1n ＋1－1n ＋2＜32，所以T n ＞－34.(12分)19．解：(1)由题意知顾客A 只选择根据方案a 进行抽奖，此时可抽奖3次，且选择方案a 抽奖1次，获得奖金30元的概率为C C 2225＝0.1.(1分)设顾客A 所获奖金为随机变量X ，则X 的所有可能取值为0,30,60,90，则P(X ＝0)＝0.729，P(X ＝30)＝0.243，P(X ＝60)＝0.027，P(X ＝90)＝0.001，∴E(X)＝0×0.729＋30×0.243＋60×0.027＋90×0.001＝9.(2)由题意得选择根据方案b 抽奖1次，获得奖金15元的概率为2325C C ＝0.3.设顾客A 只选择根据方案b 抽奖，此时可抽奖2次，所获奖金为随机变量Y ，则Y 的所有可能取值为0,15,30，则P(Y ＝0)＝0.49，P(Y ＝15)＝0.42，P(Y ＝30)＝0.09，∴E(Y)＝0×0.49＋15×0.42＋30×0.09＝9.设顾客A 选择根据方案a 抽奖2次、方案b 抽奖1次时所获奖金为随机变量Z ，则Z 的所有可能取值为0,15,30,45,60,75，则P(Z ＝0)＝0.567，P(Z ＝15)＝0.243，P(Z ＝30)＝0.126，P(Z ＝45)=0.054，P(Z ＝60)＝0.007，P(Z ＝75)＝0.003，∴E(Z)＝0×0.567＋15×0.243＋30×0.126＋45×0.054＋60×0.007＋75×0.003＝10.5.∴E(Z)＞E(X)＝E(Y)，顾客A 应选择根据方案a 抽奖2次、方案b 抽奖1次，可使所获奖金的期望值最大．20．解：(1)证明：取BE 的中点F ，AE 的中点G ，连接FG 、GD 、CF ，则GF=12AB.∵DC=12AB ，∴CD=GF ，∴四边形CFGD 为平行四边形，∴CF ∥DG.∵AB ⊥平面BEC ，∴AB ⊥CF.∵CF ⊥BE ，AB ∩BE ＝B ，∴CF ⊥平面ABE.∵CF ∥DG.∴DG ⊥平面ABE.∵DG ⊂平面ADE ，∴平面ABE ⊥平面ADE.(2)解：过E 作EO ⊥BC 于O.∵AB ⊥平面BEC ，∴AB ⊥EO.∵AB ∩BC ＝B ，∴EO ⊥平面ABCD 以O 为坐标原点，OE 、BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，过O 且平行于AB 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝4，则A(0，－2,4)，B(0，－2,0)，D(0,2,2)，E(23，0,0)，∴ED →＝(－23，2,2)，EA →＝(－23，－2,4)，EB →＝(－23，－2,0)．设平面EAD 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则有⎩⎨⎧－3x 1＋y 1＋z 1＝0，－3x 1－y 1＋2z 1＝0.取z 1＝2得x 1＝3，y 1＝1，则n ＝(3，1,2)， 设平面BDE 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧－3x 2＋y 2＋z 2＝0，3x 2＋y 2＝0，取x 2＝1，得y 2＝－3，z 2＝23，则m ＝(1，－3，23)．∴cos 〈n ，m 〉＝64. 又由图可知，二面角A ­DE ­B 的平面角为锐角，∴其余弦值为64. 21.解：（1）设(,)P x y ，则1(,)2H x -，1(,1),(0,),2HF x PH y ∴=-=-- 1(,)2PF x y =--，(,2)PH PF x y +=--，()0HF PH PF +=，220x y ∴-=，即轨迹C 的方程为22x y =.（II ）显然直线l '的斜率存在，设l '的方程为12y kx =+， 由2122y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去y 可得：2210x kx --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，1(,)2M t -，121221x x kx x +=⎧∴⎨⋅=-⎩，112211(,),(,)22MA x t y MB x t y =-+=-+MA MB ⊥，0MA MB ∴=，即121211()()()()022x t x t y y --+++=2121212()(1)(1)0x x x x t t kx kx ∴-+++++=，22212210kt t k k ∴--+-++=，即2220t kt k -+=∴2()0t k -=，t k ∴=，即1(,)2M k -，∴212|||2(1)AB x x k =-==+，∴1(,)2M k -到直线l '的距离2d ==，3221||(1)2MABS AB d k ∆==+=，解得1k =±， ∴直线l '的方程为102x y +-=或102x y -+=． 22（1）1()f x a x'=-解法1： 0,()0(0,)a f x '≤>+∞当时在上恒成立()(0,),f x +∞在上单增不合题意110,()00()0a f x x f x x a a''>>⇒<<<⇒>当时由；由11()(0,),(,)f x a a∴+∞在上单增在上单减0,();,()x f x x f x →→-∞→+∞→-∞当时时111()ln 100f a a a e∴=-><<只需即ln (,ln )y ax y x P t t ==解法2：设直线与曲线切于点11,ln a t e a t e t at ⎧=⎪⇒==⎨⎪=⎩则10a e<<结合图象得： （2）11121222ln ln ln ()ln x ax x x a x x x ax =⎧⇒-=-⎨=⎩1212121221212121212ln ln ()11ln ln ln ln ln ln x x a x x x x x x x x x x a x x x x x x ++-++===⋅- 1212121()ln x x x x x x =- 1122,0,(0,1)x t x x t x =<<∈令不妨假设则 1211112,()2ln ln ln t x x t t∴+>->要证即证 12ln t t t -<即证1()2ln ,()0(0,1)h t t t h t t=+->令即证在上恒成立222221(1)()0(0,1)t t t h t t t -+---'==<在上恒成立()(0,1),()(1)0h t h t h >=在上单减故12112ln ln x x +>即成立。

河北省衡水中学2019届高三第一次模拟考试-数学理试卷·2·河北省衡水中学2019～2019学年度第二学期高三年级一模考试数学（理科）试卷（A 卷）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．设全集为实数集R ，{}{}24,13M x x N x x =>=<≤,则图中阴影部分表示的集合是( ) A ．{}21x x -≤< B ．{}22x x -≤≤C ．{}12x x <≤D ．{}2x x <2．设,a R i ∈是虚数单位，则“1a =”是“a i a i +-为纯虚数”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3．若{}n a 是等差数列，首项10,a >201120120a a +>，201120120a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2019 B ．2019 C．4022 D ．4023·3··4··5·11.已知圆的方程422=+y x ，若抛物线过点A(0，－1)，B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是( ) A.x23＋y24＝1(y≠0) B.x24＋y23＝1(y≠0) C.x23＋y24＝1(x≠0) D.x24＋y23＝1 (x≠0) 12. 设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足(2)()32xf x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =（ ） A.200722006+ B ．200622008+ C ．200722008+ D ．200822006+第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13.在区间[－6，6]，内任取一个元素xO ，若抛物线y=x2在x=xo 处的切线的倾角为α，则3,44ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的概率为 。

河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数()34z i i =--在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知全集22x x -≥，则 A.{}20x x -<<B.{}20x x -≤≤C.{}20x x x <->或D.{}20x x x ≤-≥或3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计则下列结论正确的是A.与2015年相比，2018年一本达线人数减少B.与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C.与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D.与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加4.已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a 的值为 A.11B.12C.13D.145.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x >时，()ln f x x x =，则0x <时，()f x = A.ln x xB.()ln x x -C.ln x x -D.()ln x x --6.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>和直线:143x y l +=，若过C 的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆C 的离心率为A.45B.35C.34D.157.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2A E E O =，则ED =A.1233AD AB - B.2133AD AB + C.2133AD AB - D.1233AD AB + 8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体A.有四个两两全等的面B.有两对相互全等的面C.只有一对相互全等的面D.所有面均不全等9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是A.413B.13C.926D.2610.已知函数(),0,ln ,0x e x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩（e 为自然对数的底数），若关于x 的方程()0f x a +=有两个不相等的实根，则a 的取值范围是A.1a >-B.11a -<<C.01a <≤D.1a <11.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为A.y =B.y =C.y x =±D.2y x =±12.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E ，F ，O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连结1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111A B C D 所成角为α，则sin α的最大值为A.C.5D.6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018-2019学年度第二学期高三年级一模考试数学（理科）试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知全集为R ，集合{1,0,1,5}A =-，{}2|20B x x x =--≥，则R AB =ð（ ）A. {1,1}-B. {0,1}C. {0,1,5}D. }1,0,1{-【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合B,再求R A B ð得解. 【详解】由题得B={x|x ≥2或x ≤1-}, 所以{|12}R C B x x =-<<， 所以{0,1}R A B =ð.故选：B【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.若复数z 满足(1i)|1|z +=，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】先求出复数z 和z ,再求出在复平面内z 的共轭复数对应的点的位置得解. 【详解】由题得22(1)1(1)(1)(1i)i z i i i -===-++-，所以1z i=+，所以在复平面内z的共轭复数对应的点为（1,1），在第一象限.故选：A【点睛】本题主要考查复数的模和复数的除法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3. 某单位共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，则青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为（）A. 25B.35C. 2536D.1136【答案】B【解析】试题分析：按分层抽样应该从青年职工组中抽取人,其中青年组共有人,这六人中抽取两人的基本事件共有种，甲乙至少有一人抽到的对立事件为甲乙均没被抽到，基本事件为种，因此青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为，故选B．考点：1．分层抽样；2．古典概型．4.如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A. 2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省.B. 与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长.C. 去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元.D. 2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个. 【答案】D 【解析】分析：解决本题需要从统计图获取信息，解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所代表的实际意义获取正确的信息．详解：由折线图可知A 、B 正确；()4067.41 6.6%38154000÷+≈<，故C 正确；2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.故D 错误. 故选D.点睛：本题考查条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图得到必要的住处是解决问题的关键．5.P 是双曲线22:12x C y -=右支上一点, 直线l 是双曲线C 的一条渐近线.P 在l 上的射影为Q ,1F 是双曲线C 的左焦点, 则||||1PQ PF +的最小值为( ) A. 1B. 25+C. 45+D. 122+【答案】D 【解析】设双曲线C 的右焦点为2F ，连接2PF，则12PF PQ PF PQ +=+d ≥（d为点2F到渐近线0x =的1=），即1PF PQ +的最小值为122+；故选D.点睛：本题考查双曲线的定义和渐近线方程；在处理涉及椭圆或双曲线的点到两焦点的距离问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义，将曲线上的点到一焦点的距离合理转化到另一个焦点间的距离.6.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为6π，当1B M 最小时，=∠AMB （ ）A.512πB.3π C.4π D.6π 【答案】B 【解析】 【分析】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB ∠的大小．【详解】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1=1AB AC AA ==，设CN b =，BM a =，则(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)， (0AM =，1，)a ，(1AN =，0，)b ，设平面AMN 的法向量(n x =，y ，)z ，·0·0AM n y az AN n x bz ⎧=+=⎨=+=⎩，取1=z ，得(n b =-，a -，1)， 平面ABC 的法向量(0m =，0，1)， 平面AMN 与平面ABC 所成（锐)二面角为6π， 2||cos6||||m n m n a π∴==+，解得22331a b +=，∴当|1|B M 最小时，0b =，BM a ==，tan AB AMB BM ∴∠== 3AMB π∴∠=．故选：B ．【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.已知函数sin()()xx f x a ωϕπ+=(0,0,)a R ωϕπ><<∈，在[]3,3-的大致图象如图所示，则aω可取（ ）A.2πB. πC. 2πD.4π【答案】B 【解析】分析：从图像可以看出()f x 为偶函数，结合()f x 的形式可判断出()sin y x ωϕ=+为偶函数，故得ϕ的值，最后通过()10f =得到ω的值．详解：()f x 为[]3,3-上的偶函数，而xy a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k Z πϕπ=+∈．因为0ϕπ<<，故2πϕ=，()()sin cos 2x xx x f x a a πωωππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==． 因()10f =，故cos 0ω=，所以2k πωπ=+，k ∈N ．因()02f =，故0cos 012a aπ==，所以21=a ． 综上()21k aωπ=+，k ∈N ，故选B ．点睛：本题为图像题，考察我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围．8.《九章算术》中描述的“羡除”是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形.已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为（ ）A. 20B. 24C. 28D. 32【答案】B 【解析】 【分析】画出五面体的直观图，利用割补法求其体积. 【详解】五面体对应的直观图为：由三视图可得：,4,2,6EF BC AD BC EF AD ===，三个梯形均为等腰梯形且平面FADE ⊥平面ABCDF 到底面ABCD 的距离为4d =，,AD BC 间的距离为3.如下图所示，将五面体分割成三个几何体，其中,F AGHB E IDCJ --为体积相等的四棱锥，且2AG GI ID ===，1,2BH JC HJ ===，则棱柱FGH EIJ -为直棱柱，EIJ ∆为直角三角形.又()114123632F AGHB E IDCJ V V --==⨯⨯⨯+⨯=； 1243122FGH EIJ V -=⨯⨯⨯=，故五面体的体积为121224+=.故选A.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．而不规则几何体的体积的计算，可将其分割成体积容易计算的规则的几何体.9.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,且BC 边上的高为a 63,则c b b c + 的最大值是（ ） A. 8 B. 6C.D. 4【答案】D 【解析】22b c b c c b bc ++=，这个形式很容易联想到余弦定理：cos A 2222b c a bc+-=，①而条件中的“高”容易联想到面积，1122a =bc sin A ，即a 2＝23bc sin A ，② 将②代入①得：b 2＋c 2＝2bc (cos A ＋3sin A )，∴b c c b+＝2(cos A ＋3sin A )＝4sin(A ＋6π)，当A ＝3π时取得最大值4，故选D ．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若12>0x x ，且()()120f x f x +=，则12x x +的最小值为（ ） A.6π B. 3π C.2π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】先分析得到12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，再求函数的绝对值最小的零点即得解.【详解】由题得12+x x 等于函数的零点的2倍，所以12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍， 令()sin =03f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以,3x k k Z ππ-=∈,所以=+,3x k k Z ππ∈，所以绝对值最小的零点为3π， 故12x x +的最小值为23π. 故选：D【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.过抛物线24y x =的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，正三角形ABC 的顶点C 在直线1x =-上，则ABC ∆的边长是（ ） A. 8 B. 10C. 12D. 14【答案】C 【解析】【分析】设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN 垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ， 设AFx θ∠=，求出31sin =θ，利用弦长公式，可得结论．【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN 垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ，设AFx θ∠=，由抛物线定义知：1111||(||||)||22MN AA BB AB =+=，|||MC AB =，|||MN MC ∴=， 90CMN θ∠=︒-，∴||cos cos(90)||MN CMN MC θ∠=︒-=31sin =θ，所以直线AB 的斜率k=tan θ=所以直线AB 的方程为1)y x -， 联立直线AB 方程和抛物线方程得21010x x -=+，所以1212+=10||10212x x AB x x p ∴=++=+=，. 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是关键．12.设函数()(1x g x e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. 2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B. )+∞C. )+∞D. ,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】先构造函数()()212T x f x x =-，由题意判断出函数()T x 的奇偶性，再对函数()T x 求导，判断其单调性，进而可求出结果.【详解】构造函数()()212T x f x x =-， 因为()()2f x f x x -+=，所以()()()()()()()22211022T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=， 所以()T x 为奇函数，当0x ≤时，()()''0T x f x x =-<，所以()T x 在(],0-∞上单调递减， 所以()T x R 上单调递减.因为存在()()0112x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭， 所以()()000112f x f x x +≥-+， 所以()()()220000011111222T x x T x x x ++≥-+-+，化简得()()001T x T x ≥-， 所以001x x ≤-，即012x ≤令()()12xh x g x x e a x ⎛⎫=-=-≤⎪⎝⎭，因为0x 为函数()y g x x =-的一个零点， 所以()h x 在12x ≤时有一个零点 因为当12x ≤时，()12'0x h x e e =≤=，所以函数()h x 在12x ≤时单调递减，由选项知0a >，102<<，又因为0h ea e⎛=-=> ⎝，所以要使()h x 在12x ≤时有一个零点，只需使102h a ⎛⎫=≤⎪⎝⎭，解得2a ≥， 所以a的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.若实数x ，y 满足约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，则3z x y =+的最小值为__________. 【答案】2 【解析】 分析】先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值．【详解】作出约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由10y x x y =⎧⎨+-=⎩得A （12,12），由z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ，平移y ＝﹣3x ， 易知过点A 时直线在y 上截距最小， 所以3z x y =+的最小值为32+122=． 故答案为：2．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义．14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________． 【答案】0 【解析】试题分析：由110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，解得tan 3α=，又2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭22sin 2cos 2cos 222αααααα=++=+-222cos sin cos 2ααααα+=-+20tan 12αα+=-=+． 考点：三角函数的化简求值．15.函数()f x 图像上不同两点),(11y x A ，),(22y x B 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，AB 为A B 、两点间距离，定义(,)A B k k A B ABϕ-=为曲线()f x 在点A 与点B 之间的“曲率”，给出以下命题：①存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数；②函数32()1f x x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，则 “曲率”(,)A B ϕ> ③函数2()(0,)f x ax b a b R =+>∈图像上任意两点A B 、之间 的“曲率”(,)2A B a ϕ≤；④设),(11y x A ，),(22y x B 是曲线()xf x e =上不同两点，且121x x -=，若·(,)1t A B ϕ<恒成立，则实数 t 的取值范围是(,1)-∞。

河北省衡水中学2019届高三第三次模拟考试数学（理）试题本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2210M x x x =--<，{}20N x x a =+>，U R =，若U M C N φ⋂=，则a 的取值范围是( ) A.1a >B.1a ≥C.1a <D.1a ≤2.若直线y kx =与双曲线22194x y -=相交，则k 的取值范围是( )A.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C.22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.在ABC △中，3AB =，2AC =，12BD BC =，则AD BD ⋅=( ) A.52-B.52C.54-D.544.已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，正项等比数列{}n b 中，23b a = ，()23142,n n n b b b n n N +-+=≥∈，则2log n b =( )A.1n -B.21n -C.2n -D.n5.已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B ，且ABC △为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A.17或1- B.1- C.1 D.1或1-6.在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B ⋅+的值为( ) A.2013B.1C.0D.20147.已知点()(),0M a b ab ≠是圆222:C x y r +=内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为2bx ay r -=，那么( ) A.l m ⊥且m 与圆C 相切 B.l m ∥且m 与圆C 相切 C.l m ⊥且m 与圆C 相离D.l m ∥且m 与圆C 相离8.若圆22210x y ax y +-++=和圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点(),C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是( )A.24480y x y -++=B.22220y x y +-+=C.24480y x y +-+=D.2210y x y --+=9.平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD AD ⋅=-，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅的最大值为( )11C.0D.210.已知椭圆()222210,0x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α=∠，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎤⎥⎣⎦B.1⎤⎥⎣⎦C.⎣⎦D.⎣⎦11.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )1 112.已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意x R ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，则直线l 斜率k 的取值范围是( ) A.80,11⎛⎫⎪⎝⎭B.110,8⎛⎫ ⎪⎝⎭C.80,19⎛⎫ ⎪⎝⎭D.190,8⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1b =，ABC △的面，则sin sin b cB C++的值为_______________. 14.已知平面上有四点,,,O A B C ，向量OA ，OB ，OC 满足：0OA OB OC ++=，1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-，则ABC △的周长是_______________.15.已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π=∠，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______________.16.已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式()2235n n n a λ--<-对*n N ∀∈恒成立，则整数λ的最大值为________________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且满足3m n +=.(1)求角A 的大小；(2)若b c +，试判断ABC △的形状.18.已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P . (1)求圆C 的方程；(2)在圆C 上是否存在两个点M ，N 关于直线1y kx =-对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.19.各项均为正数的数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*n N ∈，有()222n n n S pa pa p p R =+-∈.(1)求常数p 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式； (3)记423nn n S b n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率e =，原点到过点(),0A a ，()0,B b -的直线.(1)求椭圆C 的方程；(2)如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ，且,E F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.21.已知定点()0,1F ，定直线:1m y =-，动圆M 过点F ，且与直线m 相切. (1)求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线与曲线C 相交于,A B 两点，分别过点,A B 作曲线C 的切线1l ，2l ，两条切线相交于点P ，求PAB △外接圆面积的最小值.22.设函数()21ln 2f x x ax bx =--.(1)当12a b ==时，求函数()f x 的最大值； (2)令()()212a F x f x ax bx x =++-，()03x <≤其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当0a =，1b =-，方程()22mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值.数学(理)试卷答案一、选择题1-5:BCCDD 6-10:ACCDB 11、12：CA二、填空题13.2 14. 16.4 三、解答题17. 解：(1)∵()()2223m n m n ++⋅=，代入33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有33112cos cos sin sin 32222A A A A ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴331cos cos sin sin 22222A A A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即31cos 222A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1cos 2A =，60A =°. (2)法一：∵1cos 2A =，∴222122b c a bc --=①又∵b c +=②联立①②有，222bc b c =+-，即222520b bc c --=，解得2b c =或2c b =，又∵b c -，若2b c =，则a =，∴)2222224a c c c b +=-==，ABC △为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC △也为直角三角形.18.(1)由已知，得圆心在经过点()4,0P 且与28y x =-垂直的直线122y x =-+上，它又在线段OP 的中垂线2x =上，所以求得圆心()2,1C .所以圆C 的方程为：()()22215x y -+-=.(2)假设存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，则1y kx =-通过圆心()2,1C ，求得1k =， 所以设直线MN 为y x b =-+，代入圆的方程得()2222220x b x b b -++-=， 设()11,M x x b -+，()22,N x x b -+，则()121222230OM ON x x b x x b b b ⋅=-++=-=， 解得0b =或3b =，这时0∆>，符合题意，所以存在直线MN 为y x =-或3y x =-+符合条件.19.解：(1)由11a =及()2*22n n n S pa pa p n N =+-∈，得：22p p p =+-，∴1p =.(2)由2221n nn S a a =+-①，得2111221n n n S a a +++=+-② 由②－①，得()()2211122n n n n n a a a a a +++=-+-，即：()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=， ∴()()112210n n n n a a a a +++--=，由于数列{}n a 各项均为正数，∴1221n n a a +-=，即112n n a a +-=， ∴数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列， ∴数列{}n a 的通项公式是()111122n n a n +=+-⨯=. (3)由12n n a +=，得：()34n n n S +=，∴4223n n n n S b n n =⋅=⋅+，∴231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅…()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯…，()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⨯=--⋅--…()1122n n T n +=-⋅+. 20.解：(1)因为c a =，222a b c -=，所以2a b =， 因为原点到直线:1x yAB a b -=的距离d ==，解得4a =，2b =， 故所求椭圆C 的方程为221164x y +=.(2)由题意2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()22148120k x kx ++-=，可知0∆>，设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，则2324214M x x kx k +-==+，21114M M y kx k =+=+， 所以21M BM M y k x k +==-，所以20M M x ky k ++=，即224201414k k k k k -++=++，又因为0k ≠，所以218k =，所以k =21.解：(1)设点M 到直线l 的距离为d ，依题意2M d =，设(),M x y ，则有1y +，化简得24x y =.所以点M 的轨迹C 的方程为24x y =.(2)设:1AB l y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x ⋅=-，所以()21241AB x x k -=+，因为2:4C x y =，即24x y =，所以2xy =，所以直线1l 的斜率为112x k =，直线2l 的斜率为222x k =，因为121214x x k k ==-，所以PA PB ⊥，即PAB △为直角三角形.所以PAB △的外接圆的圆心为线段AB 中点，线段AB 是直径，因为()241AB k =+， 所以当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π. 22.解：(1)依题意，知()f x 的定义域为()0,+∞， 当12a b ==时，()211ln 42f x x x x =--， ()()()21111'222x x f x x x x-+-=--=， 令()'0f x =，解得1x =.(∵0x >)因为 ()0g x =有唯一解，所以()20g x =，当01x <<时，()'0f x >，此时()f x 单调递增； 当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()314f =-，此即为最大值.(2)()ln aF x x x =+，(]0,3x ∈，则有()00201'2x a k F x x -==≤，在(]00,3x ∈上恒成立，所以200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，(]00,3x ∈. 当01x =时，20012x x -+取得最大值12，所以12a ≥.(3)因为方程()22mf x x =有唯一实数解， 所以22ln 20x m x mx --=有唯一实数解， 设()22ln 2g x x m x mx =--，则()2222'x mx mg x x--=，令()'0g x =，20x mx m --=，因为0m >，0x >，所以10x =<(舍去)，2x =当()20,x x ∈时，()'0g x <，()g x 在()20,x 上单调递减；当()2,x x ∈+∞时，()'0g x >，()g x 在()2,x +∞上单调递增； 当2x x =时，()2'0g x =，()g x 取最小值()2g x .则()()220'0g x g x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即22222222ln 200x m x mx x mx m ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，所以222ln 0m x mx m +-=，因为0m >，所以222ln 10x x +-=(*) 设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时， ()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解，因为()10h =，所以方程(*)的解为21x =1=，解得12m =.。

绝密★启用前河北省衡水中学2019届高三第二学期一模考试理科数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知全集为R ，集合{1,0,1,5}A =-，{}2|20B x x x =--≥，则R A B =ð（ ）A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{0,1,5}D ．}1,0,1{-2．若复数z 满足(1i)|1|z +=+，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．某单位共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，则青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图是2017年第一季度五省 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）………外…………………○…………线…………○……※※题※※………内…………………○…………线…………○……A ．2017年第一季度 增速由高到低排位第5的是浙江省.B ．与去年同期相比，2017年第一季度的 总量实现了增长.C ．去年同期河南省的 总量不超过4000亿元.D ．2017年第一季度 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个.5．P 是双曲线22:12x C y -=右支上一点, 直线l 是双曲线C 的一条渐近线. P 在l 上的射影为Q ,1F 是双曲线C 的左焦点, 则1PF PQ +的最小值为( ) A ．1 B ．25+C ．45+ D ．1 6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为6π，当1B M 最小时，=∠AMB （ ）A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π………订…………线…………○__________考号：____………订…………线…………○示，则可取（ ）A ．B ．C ．D ．8．《九章算术》中描述的“羡除”是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形.已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为（ ）A ．20B ．24C ．28D ．329．在 中，内角 所对的边分别是 ,且 边上的高为,则的最大值是（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若12>0x x ，且()()120f x f x +=，则12x x +的最小值为（ ） A ．6π B ．3π C ．2πD ．23π 11．过抛物线24y x =的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，正三角形ABC 的顶点C 在直线1x =-上，则ABC ∆的边长是（ ） A ．8B ．10C ．12D ．1412．设函数 （ ， 为自然对数的底数）,定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ．若存在，且 为函数 的一个零点，则实数 的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．若实数，满足约束条件，，，则的最小值为__________. 14．若，则的值为___________．15．函数图像上不同两点，处的切线的斜率分别是，，为、两点间距离，定义为曲线在点与点之间的“曲率”，给出以下命题：①存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数；②函数图像上两点与的横坐标分别为1,2，则“曲率”；③函数图像上任意两点、之间的“曲率”；④设，是曲线上不同两点，且，若恒成立，则实数的取值范围是。

2019届河北省衡水中学高三第三次质检数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|1}A x x =<，{|1x B x e =< }，则（ ） A ．{|1}A B x x ⋂=< B ．()R A C B R ⋃=C ．{|}A B x x e ⋃=<D ．(){|01}R C A B x x ⋂=<< 【答案】B【解析】求出集合A={x|x ＜1}，B={x|e x ＜1}={x|x ＜0}，从而R C B ={x|x≥0}，R C A ={x|x≥1}，由此能求出结果． 【详解】∵集合A={x|x ＜1}，B={x|e x ＜1}={x|x ＜0}，R C B ={x|x≥0}，R C A ={x|x≥1}，∴A∩B={x|x ＜0}，故A 错误； A ∪B={x|x ＜1}，故C 错误；()R A C B R ⋃=，故B =正确；()R C A B ∅⋂=，故D 错误．故选B ． 【点睛】本题考查集合与集合的关系的判断，考查补集、交集、并集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题． 2．已知i 为虚数单位，若1i(,)1ia b a b =+∈-R ，则b a =（ ）A ．1 BC ．2D ．2【答案】C【解析】根据复数的除法运算得到1112i a bi i +==+-，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果. 【详解】i 为虚数单位，若1(,)1a bi a b R i =+∈-，1112ia bi i +==+-根据复数相等得到1 2 1 2ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.1212().2ba==故答案为C.【点睛】这个题目考查了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数a bi+与ic d+相等的充要条件是a c=且b d=．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．3．向量,,a b cr r r在正方形网格中的位置如图所示.若向量a bλ+r r与cr共线,则实数λ=（）A．2-B．1-C．1D．2【答案】D【解析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用,a brr表示出cr，进而可得出λ. 【详解】由题中所给图像可得：2a b c+=rr r，又cr=a brrλ+，所以2λ=.故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.4．函数f(x)=15sin(x+3π)+cos(x−6π)的最大值为A．65B．1 C．35D．15【答案】A【解析】由诱导公式可得ππππcos cos sin6233x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()1ππ6πsin sin sin53353f x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,函数()f x的最大值为65. 所以选A.【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．932B ．516C ．38D ．716【答案】C【解析】分析：由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和．详解：设小正方形的边长为12，2；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为2，大正方形的边长为2，所以21222322P 82222⨯⨯==⨯， 故选C ．点睛：本题主要考查几何概型，由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，通过分析观察，求得黑色平行四边形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角边和斜边长，进而计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和，再将黑色部分面积除以大正方形面积可得概率，属于较易题型．6．已知0a >，且，函数()()log 6a f x ax =-，则“13a <<”“是()f x 在()1,2上单调递减”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先将函数()()log 6a f x ax =-转化为y ＝log a t ，t ＝6ax -，两个基本函数，再利用复合函数求解． 【详解】0a Q >,且1a ≠，6t ax ∴=-为减函数.若()f x 在()1,2上单调递减，则1a >.且620a -⨯≥，则13a <≤.13a <<是13a <≤的充分不必要条件.故选A . 【点睛】本题主要考查复合函数，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围,属于基础题．7．一给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意1(0,1)a ∈，由关系式1()n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<.则该函数的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用已知条件推出n n f a a （）＜，判断函数的图象，推出选项即可． 【详解】由题对于给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意()10,1a ∈，由关系式()1n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<．则可得到n n f a a （）＜，所以11f a a （）＜在101a ∀∈（，）上都成立，即01x f x x ∀∈（，），（）＜，所以函数图象都在y x =的下方． 故选A ． 【点睛】本题考查函数图象的判断，数列与函数的关系，属基础题．8．某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由高为2三角形构成，俯视图由半径为3的圆与其内接正三角形构成，则该几何体的体积为( )A ．936π+B ．9318π+C ．336π D ．3318π 【答案】A【解析】由三视图知该几何体由底面边长是33高为2的正三棱锥和底面半径是3高为2的圆锥组合而成，利用锥体的体积公式可得结果. 【详解】由三视图知该几何体由底面边长是33高为2的正三棱锥和底面半径是3，高为2的圆锥组合而成，正三棱锥的体积是(21393332342⨯⨯=， 圆锥的体积是213263ππ⨯⨯⨯=，所以组合体的体积936π+，故选A. 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ， 122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭， 22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且11232PF PQ F F +>恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．71,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B．,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C．76⎛ ⎝⎭D．1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令x =c代入双曲线的方程可得2by a==±， 由22F Q F A >,可得232a b a>，即为3a 2>2b 2=2(c 2−a 2)，即有2c e a =<① 又11232PF PQ F F +>恒成立， 由双曲线的定义,可得2a +|PF 2|+|PQ |>3c 恒成立， 由F 2,P ,Q 共线时,|PF 2|+|PQ |取得最小值|F 2Q |=32a ， 可得3c <2a +32a ， 即有c e a =<76②由e >1，结合①②可得， e 的范围是(1,7 6). 故选：A.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10．已知实数x y ，满足124242,240,330,x y x y x y x y --⎧+≥+⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若(1)1y k x ≥+-恒成立，那么k 的取值范围是( ) A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)3,+∞ D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题意，作出不等式组对应的可行域，根据()11y k x =+-的图象是过点()1,1--，斜率为k 的直线，结合图象，即可求解.【详解】由题意,实数,x y 满足124242240330x y x y x y x y --⎧+≥+⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，即220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又因为函数()11y k x =+-的图象是过点()1,1--，斜率为k 的直线，要使得不等式()11y k x ≥+-恒成立，即11y k x +≤+恒成立， 结合图象可知，当直线过点()1,0B 时，斜率取得最小值12，所以实数k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选D.【点睛】本题主要考查了简单线性规划的应用，其中解答中正确求解约束条件所对应的不等式组，作出约束条件所表示的平面区域，再根据斜率公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，推理与计算能力.11．已知三棱锥A BCD -中，2AB AC BD CD ====，2BC AD =， 直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的表面积为 （ ） A ．8π B ．6πC ．9πD ．5π【答案】A【解析】取BC 的中点O ，判断O 为三棱锥外接球的球心，即可求出结果. 【详解】取BC 中点O ，则AO BC ⊥，DO BC ⊥，AO DO =， 因为直线AD 与底面BCD 所成角为3π，所以AO DO AD ==， 因为2BC AD =，所以AO DO BO CO ===，即O 为三棱锥外接球的球心， 因为2AB AC BD CD ====，所以122AO BC == 所以三棱锥外接球的表面积为4π28π⨯=. 故选A 【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，熟记球的表面积公式即可，属于常考题型.12．己知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()112,0212,22x x f x f x x --⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-在[)6-+∞,上的所有零点之和为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】由已知可分析出函数()g x 是偶函数，则其零点必然关于原点对称，故()g x 在[]6,6-上所有的零点的和为0，则函数()g x 在[)6-+∞,上所有的零点的和，即函数()g x 在(6,)+∞上所有的零点之和，求出(6,)+∞上所有零点，可得答案．【详解】解：Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-． 又Q 函数()()1g x xf x =-，()()()1()[()]1()1()g x x f x x f x xf x g x ∴-=---=---=-=，∴函数()g x 是偶函数，∴函数()g x 的零点都是以相反数的形式成对出现的．∴函数()g x 在[]6,6-上所有的零点的和为0，∴函数()g x 在[)6-+∞,上所有的零点的和，即函数()g x 在(6,)+∞上所有的零点之和．由02x <…时，|1|1()2x f x --=，即22,01()2,12x x x f x x --⎧<=⎨<⎩…… ∴函数()f x 在(]0,2上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当2x =时，()1f x =又Q 当2x >时，1()(2)2f x f x =- ∴函数()f x 在(]2,4上的值域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在(]4,6上的值域为11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在(]6,8上的值域为11,168⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当8x =时，1()8f x =，函数()f x 在(]8,10上的值域为611,213⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当10x =时，1()16f x =，故1()f x x<在(]8,10上恒成立，()()1g x xf x =-在(]8,10上无零点，同理()()1g x xf x =-在(]10,12上无零点， 依此类推，函数()g x 在(8,)+∞无零点，综上函数()()1g x xf x =-在[)6-+∞,上的所有零点之和为8 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点，函数的图象和性质，其中在寻找(6,)+∞上零点个数时，难度较大，故可以用归纳猜想的方法进行处理．二、填空题 13．曲线y =y x =所围成的封闭图形的面积为__________．【答案】16【解析】由定积分的几何意义可得：封闭图形的面积()132120211|326S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰. 14．()5221111x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为________. 【答案】15【解析】写出()521x +展开式的通项，求出含2x 及4x 的项，则答案可求．【详解】 解：25252525221111(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x+++=+++++Q 且25(1)x +展开式的通项为215r r r T C x +=． 由22r =，得1r =；由23r =，得32r =（舍)；由24r =，得2r =． ()5221111x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∴展开式中2x 的系数为125515C C +=．故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，解题时应灵活应用二项展开式的通项公式，属于基础题． 15．过抛物线的焦点的直线交于两点，在点处的切线与轴分别交于点，若的面积为，则_________________。

2018-2019学年度上学期高三第二次模拟考试数学（理科）试卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中只有一项是符合题意的）1.设集合{}2log (1)0,M x x =-<集合{}2,N x x =≥-则NM =A.{}22x x -≤<B.{}2x x ≥-C.{}2x x <D.{}12x x << 2.已知1sin 54πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.78-B.78C.18D.18- 3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37101145,7,a a a a a +-=-=则13S = A.152 B.154 C.156 D.1584.要得到函数2y x =的图象，只需将函数24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点A.向左平行移动4π个单位长度 B.向右平行移动8π个单位长度C.向右平行移动4π个单位长度D.向左平行移动8π个单位长度5.若关于x 的方程()13log 32xa x -=-有解，则实数a 的最小值为A.4B.6C.8D.26.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121,2,a a ==且对于任意1,,n n N *>∈满足()1121,n n n S S S +-+=+则10S =A.91B.90C.55D.1007.已知函数()4sincos(0)22xxf x ωωω=>在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围为 A.(]0,1 B.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[)1,+∞8.已知()f n 表示正整数n 的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1,2,3,4,6,12，则(12)3f =；21的因数有1,3,7,21，则(21)21,f =那么10051()i f i =∑的值为A.2488B.2495C.2498D.25009.如图，半径为2的圆O 与直线MN 相切于点P,射线PK 从PN 出发，绕点P 逆时针方向转到PM,旋转过程中，PK 与圆O 交于点Q,设,POQ x ∠=弓形PmQ 的面积()S S x =，那么()S x 的图象大致是10.已知函数()22ln f x x x =-与()()sin g x x ωϕ=+有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函数()g x =A.sin 2x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B.sin 2x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭C.sin 2x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭ D.sin 22x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120,x f x x f x x x -<-记0.2 2.10.20.2 2.10.2(log 4.1)(4.1)(0.4),,4.10.4log 4.1f f f a b c ===，则 A.a c b<< B.a b c<< C.c b a<< D.b c a<<12.已知函数2(0),()ln (0).x e x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩则下列关于函数()11(0)y f f kx k =++≠⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断正确的是A.当k>0时，有3个零点；当k<0时，有4个零点B.当k>0时，有4个零点；当k<0时，有3个零点C.无论k 为何值，均有3个零点D.无论k 为何值，均有4个零点第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知函数21()tan 3()22f x x x πθθ=++≠在区间3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，其中θ是直线l 的倾斜角，则θ的所有可能取值范围是 .14.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列{}n a 满足：12121,1,(3,)n n n a a a a a n n N *--===+≥∈，记其前n 项和为n S ，设2018a t =（t 为常数），则2016201520142013S S S S +--= .（用t 表示） 15.设锐角ABC 三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若cos cos )2sin ,a B b A c C +=1,b =则c 的取值范围为 .16.若存在两个正实数x,y 使等式2(2)(ln ln )0x m y ex y x +--=成立（其中e=2.71828...）,则实数m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分。