河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试数学试题

河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试

数学试题

2020．9

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合A ＝{

}

2

430x x x -+≤，B ＝{}

15x Z x ∈<<，则A

B ＝

A ．{2}

B ．{3}

C ．{2，3}

D ．{1，2，3} 2．若复数1i z =-，则

1z

z

-＝

A ．1

B

C ．

D ．4

3．某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为

A ．19

B ．38

C ．55

D ．65

4．数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．在该数列的前2020项中，偶数的个数为 A ．505 B ．673 C ．674 D ．1010 5．已知非零向量a ，b 满足a b =，且2a b a b +=-，则a 与b 的夹角为

A ．

23π B ．2π C ．3π D ．6

π 6．为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现对20名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为p ，且检测次数的数学期望为20，则p 的值为

A ．120

11()20

- B ．12111()20- C ．12011()21- D ．1

2111()21-

7．已知未成年男性的体重G （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）的关系可用指数模型G e

bx

a =来描述，根据大数据统计计算得到a ＝2.004，

b ＝0.0197．现有一名未成年男性身高为110cm ，

体重为17.5kg ．预测当他体重为35kg 时，身高约为(ln2≈0.69)

A ．155cm

B ．150cm

C ．145cm

D ．135cm

8．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为CC 1的中点，点N 在侧面ADD 1A 1内，若BM ⊥A 1N ．则△ABN 面积的最小值为

A ．

5 B ．5

C ．1

D ．5 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项

中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知3cos()5

5π

α+

=

，则3sin(2)5

π

α-

＝ A ．2425-

B ．1225-

C ．12

25

D ．2425 10．已知抛物线C ：y 2＝4x ，焦点为F ，过焦点的直线l 与抛物线C 相交于A(1x ，1y )，B(2x ，

2y )两点，则下列说法定正确的是

A ．A

B 的最小值为2 B ．线段AB 为直径的圆与直线x ＝﹣1相切

C ．12x x 为定值

D ．若M(﹣1，0)，则∠AMF ＝∠BMF 11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x ＝1对称，则

A ．(4)()f x f x +=

B ．()f x 在区间(﹣2，0)上单调递增

C ．()f x 有最大值

D ．()sin

2

x

f x π=是满足条件的一个函数

12．若存在实数t ，对任意的x ∈(0，s ]，不等式2

(2)(1)0x x t t x ----≤恒成立．则s 的值

可以为

A B C D

三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置

上）

13．已知F 1，F 2为双曲线2

2

14

y x -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，且12PF 2PF =，则△PF 1F 2的面积为 ．

14．已知实数a ，b ∈，+∞)，且满足

2211ln b

a b a

->，则a ，b 的大小关系是 ． 15．数学多选题有A ，B ，C ，D 四个选项，在给出选项中，有多项符合题目要求全都选对的

得5分，部分选对的得3分，有选错的不得分，已知某道数学多选题正确答案为B ，D ，

小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为 ． 16．在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥AB ，PA ＝4，AB ＝3，二面角P —AB —C 的大小为30°，

在侧面△PAB 内（含边界）有一动点M ，满足M 到PA 的距离与M 到平面ABC 的距离相等，则M 的轨迹的长度为 ．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）

在①对任意n ＞1，满足112(1)n n n S S S +-+=+，②12n n n S S a +-=+，③1n n S na +=-

(1)n n +这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．

问题：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =， ，若数列{}n a 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式；若数列{}n a 不一定是等差数列，说明理由．

（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分）

18．（本小题满分12分）

振华大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数，记录了某天所有工人每

于3），试求样本中制造电子产品的件数在[70，80)的人数x 的取值范围；（同一区间数据用该组区间数据的中点值作代表）

（2）若电子厂共有工人1500人，且每位工人制造电子产品的件数X~N(70，112)，试估计制造电子产品件数小于等于48件的工人的人数．

附：若X~N(μ，2

σ)，则P(x μσμσ-<≤+)≈0.68，P(22x μσμσ-<≤+)≈0.96．

19．（本小题满分12分）

如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，OB ·sin ∠ABD ＝OD ·sin ∠ADB ，∠ABC ＝

3

π

，AB ＝3BC ＝3． （1）求sin ∠DAC ；