2019-2020年河北省衡水中学高三(下)3月月考数学试卷

2019-2020学年度下学期第三次调研考试答案一．选择题（共12小题）1．解：∵集合A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，∴A∩B＝{x|﹣1≤x＜2}＝[﹣1，2）．故选：D．2．解：由z（1+2i）＝2﹣i，得z＝，∴|z|＝||＝．故选：A．3．解：由条形图得到：全国从2014年到2018年国内生产总值逐年增加，增长速度较为平稳．国内生产总值相比上一年年增长额最大在2017年；故选：C．4．解：由函数y＝f（x）是定义在R上的增函数，则函数f（|x﹣2|）为复合函数单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间（﹣∞，2），再根据复合函数的单调性同增异减，可得函数的单调递减区间为（﹣∞，2）．故选：B．5．解：由双曲线的性质可知：|F2M|﹣|F1M|＝2a＝4，|F1N|﹣|F2N|＝2a＝4，∴|F2M|＝|F1M|+4，|F1N|＝|F2N|+4，∵∠F2MN＝∠F2NM，∴|F2M|＝|F2N|，∴|F1N|＝|F1M|+8，∴|MN|＝|F1N|﹣|F1M|＝8．故选：C．6．解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，且，解得n＝75．故选：D．7．解：∵，且，∴3（cos2α﹣sin2α）＝（cosα﹣sinα），∴3（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）＝（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα＝①，或cosα﹣sinα＝0，（舍去），∴两边平方，可得：1+sin2α＝，解得：sin2α＝﹣，∴cosα﹣sinα＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣，②∴由①+②可得：cosα＝，可得：cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（）2﹣1＝﹣．故选：A．8．解：由已知AC＝4，∠ADC＝120°，如图所示；可构造△ADC的外接圆，其中点D在劣弧AC上运动，当运动到弧中点时，△ADC面积最大，此时△ADC为等腰三角形，＝×AC•tan30°×AC＝××＝4．其面积为S△ADC故选：D．9．解：根据三视图，可得三棱锥P﹣ABC的直观图如图所示，其中D为AB的中点，PD⊥底面ABC．所以三棱锥P﹣ABC的体积为，，PA，PB，PC不可能两两垂直，三棱锥P﹣ABC的侧面积为．故选：C．10．解：函数f（x）＝sin（2x﹣）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，与g（x）＝cos（x+）在区间（）上单调递减，在上单调递增，所以：这两个函数在区间上单调递减，故：b＝，即所求的最大值．故选：B．11．解：由题意知函数的定义域为（0，+∞），，∵函数f（x）恰有一个极值点1，∴f′（x）＝0有且仅有一个解，即x＝1是它的唯一解，也就是另一个方程无解，令，则，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，从而，所以当时，方程无解，故选：C．12．解：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）、D （x 4，y 4），由，即（1﹣x 1，1﹣y 1）＝λ（x 3﹣1，y 3﹣1），则x 1+λx 3＝1+λ，y 1+λy 3＝1+λ，由，同理可得：x 2+λx 4＝1+λ，y 2+λy 4＝1+λ．则（y 1+y 2）+λ（y 3+y 4）＝（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4），将点A ，B 的坐标代入椭圆方程作差可得：＝﹣•，由题意可得：AB ∥CD ，∴k AB ＝k CD ＝﹣．则a 2（y 1+y 2）＝4b 2（x 1+x 2）①，同理可得：a 2（y 3+y 4）＝4b 2（x 3+x 4），∴λa 2（y 3+y 4）＝4λ2（x 3+x 4），②①+②得：a 2[（y 1+y 2）+λ（y 3+y 4）]＝4b 2[（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4）]，∴a 2[（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4）]＝4b 2[（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4）]，∴a 2＝4b 2，则椭圆的离心率e ＝＝＝．故选：A ．二．填空题（共4小题）13．解：向量＝（3，﹣2），＝（1，m ），则﹣＝（2，﹣m ﹣2），又⊥（），所以•（﹣）＝0，即3×2﹣2×（﹣m ﹣2）＝0，解得m ＝﹣5．故答案为：﹣5．14．17种，解：按照甲乙是否在一起分为两种情况：①甲乙在一起，则都在C 病区，则丙丁分配在AB 病区，有两种。

2022-2023学年河北省衡水中学高三（下）第三次月考数学试卷1.设复数，则在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合，，则有个真子集.( )A. 3B. 16C. 15D. 43.已知且，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有( )A. 48B. 54C. 60D. 725.公差不为0的等差数列的前n项和为，且，若，，，，依次成等比数列，则( )A. 81B. 63C. 41D. 326.在中，，，，则直线AD通过的( )A. 垂心B. 外心C. 重心D. 内心7.如图，平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且，，若G是线段EF上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值是( )A.B.C.D.8.已知向量，是夹角为的单位向量，若对任意的，，且，，则m的取值范围是( )A. B. C. D.9.以下四个命题中，真命题的有( )A. 在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好B. 回归模型中残差是实际值与估计值的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高C. 对分类变量x与y的统计量来说，值越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大D. 已知随机变量X服从二项分布，若，则10.2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图像近似函数的图像，而破碎的涌潮的图像近似是函数的导函数的图像.已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为，则( )A. B.C. 的图像关于原点对称D. 在区间上单调11.在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )A. 异面直线与所成角的余弦值为B. 点P为正方形内一点，当平面时，DP的最小值为C. 过点，E，F的平面截正方体所得的截面周长为D. 当三棱锥的所有顶点都在球O的表面上时，球O的表面积为12.已知F是抛物线W：的焦点，点在抛物线W上，过点F的两条互相垂直的直线，分别与抛物线W交于B，C和D，E，过点A分别作，的垂线，垂足分别为M，N，则( ) A. 四边形AMFN面积的最大值为2 B. 四边形AMFN周长的最大值为C. 为定值D. 四边形BDCE面积的最小值为3213.的展开式的常数项是______ .14.已知点，，若线段AB与圆C：存在公共点，则m的取值范围为______ .15.已知实数，满足，则的最小值是______ .16.若正实数a，b满足，则的最小值为______ .17.已知为等差数列，求的通项公式；若为的前n项和，求18.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且求证：；求的取值范围.19.2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难，面对新冠肺炎，早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一.某社区对55位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，先到社区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.假设该疾病患病的概率是，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为，设这55位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将55位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：方案一：将55位居民分成11组，每组5人；方案二：将55位居民分成5组，每组11人；试分析哪一个方案的工作量更少？参考数据：，20.图①是直角梯形ABCD，，，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且求证：平面平面ABED；在棱上是否存在点P，使得点P到平面的距离为？若存在，求出直线EP与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.21.已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，求双曲线的方程；过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点在A、Q之间，若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求与面积之比的取值范围．22.已知为正实数，函数若恒成立，求A的取值范围；求证：…答案和解析1.【答案】D【解析】解：复数，对应点的坐标为，即在复平面内对应的点位于第四象限．故选：化简复数为代数形式，即可判断对应点所在象限．本题考查复数的运算，复数的几何意义，是基础题．2.【答案】A【解析】解：，，则，真子集个数为故选：计算，得到真子集个数．本题主要考查集合交集运算及集合真子集个数的判断，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为且，若函数为增函数，则，若函数在上单调递增，则，即，故，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的充要条件．故选：由已知结合指数函数与幂函数单调性分别求出相应的a的范围，即可判断．本题主要考查了指数函数与幂函数单调性的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：将5名大学生分为1，2，2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由种方法；按照分步乘法原理，共有种方法．故选：先分组，再考虑甲的特殊情况．本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：因为，所以，，故，设等差数列的公差为d，则，所以，因为，，，，依次成等比数列，，所以，所以，所以，故选：由条件求出数列的通项公式，再结合等比数列定义求本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：，设，，则，由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF为菱形．为菱形的对角线，平分直线AD通过的内心．故选：首先根据已知条件可知，又因为，设，，由向量加法的平行四边形法则可知四边形AEDF为菱形，从而可确定直线AD通过的内心．本题考查向量加法的平行四边形法则及其几何意义，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：设的外接圆的半径为r，则，当，即时，r由最小值为2，此时的外心为AB的中点，三棱锥的外接球的半径R满足三棱锥的外接球的面积的最小值为故选：设的外接圆的半径为r，在中，由正弦定理可得，求出r的最小值，进一步得到三棱锥的外接球的半径的最小值，则答案可求．本题考查多面体的外接球，求出外接圆半径的最小值是关键，是中档题．8.【答案】D【解析】解：已知向量，是夹角为的单位向量，则，即，即，即，设，，则函数为减函数，即，恒成立，即，即，故选：由题意可得，设，，则函数为减函数，即，恒成立，然后求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了导数的综合应用，属中档题．9.【答案】AB【解析】解：对于A，由相关指数的定义知：越大，模型的拟合效果越好，A正确；对于B，残差点所在的带状区域宽度越窄，则残差平方和越小，模型拟合精度越高，B正确；对于C，由独立性检验的思想知：值越大，“x与y有关系”的把握程度越大，C错误．对于D，，，又，，解得：，D错误．故选：根据相关指数的定义确定A；根据残差的性质确定B；根据独立性检验确定C；根据二项分布与均值的运算确定本题主要考查独立性检验，残差和独立性的定义，以及二项分布的期望公式，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：，则，由题意得，即，故，因为，所以由，可得，故选项A错误；因为破碎的涌潮的波谷为，所以的最小值为，即，得，所以，则，故选项B正确；因为，所以，所以为奇函数，则选项C正确；根据，由，得，因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上不单调，则选项D错误．故选：对于A，由题意，求导建立方程，根据正切函数的性质，可得答案；对于B，整理其函数解析式，代入值，利用和角公式，可得答案；对于C，整理函数解析式，利用诱导公式，结合奇函数的性质，可得答案；对于D，利用整体思想，整体换元，结合余弦函数的性质，可得答案．本题主要考查三角恒等变换，求三角函数的导数，函数的图像变换规律，正弦函数的图像和性质，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：对于A：因为，所以为直线与直线所成的角，所以，故A错误；对于B：取的中点M，取的中点N，取AD的中点S，连接MN，DM，DN，所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以，所以面，同理可得，所以面，又面，平面，所以点P的轨迹为线段MN，在中，过点D作，此时DP取得最小值，由题可得，，，所以，故B正确；对于C：由平面面得，过点，E，F的平面必与和有交点，设过点，E，F的平面与平面和平面分别交于与FN，所以，同理可得，过点，E，F的平面截正方体所得的截面图形为五边形，所以D为坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，，则，，，，，所以，，，，因为，，所以，，解得，，所以，，所以，，由题可知，，，，，所以，过点，E，F的平面截面正方体所得截面周长为，故C正确；对于D：取EF的中点，连接，则，过点作，且，所以O为三棱锥的外接球的球心，所以OE为外接球得半径，在中，，所以，所以，故选：对于A：根据异面直线所成角的定义可得为直线与直线所成的角，再计算，即可判断A是否正确；对于B：取的中点M，取的中点N，取AD的中点S，连接MN，DM，DN由面，找到点P的轨迹为线段MN，再计算DP的最小值，即可判断B是否正确；对于C：找到过点，E，F的平面截正方体所得的截面图形为五边形，再计算截面周长，即可判断C是否正确；对于D：取EF的中点，连接，则，求出三棱锥的外接球的半径，再计算球的表面积，即可判断D是否正确．本题考查直线与平面的位置关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：因为点在抛物线W：上，所以，，，故抛物线W的方程为：，焦点坐标为，由，得，所以，当且仅当时，等号成立，所以四边形AMFN面积的最大值为2，故A正确．由，得，即，所以四边形AMFN周长的最大值为，故B正确．设直线BC的方程为，，，联立，消x得，，判别式，，，则，同理得，，故C错误．，所以，当且仅当时，等号成立，此时，故D正确．故选：根据给定条件，求出抛物线W的方程，确定四边形AMFN形状，利用勾股定理及均值不等式计算判断A，B ；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出弦BC，DE长即可计算推理判断C，D作答．本题考查了抛物线的方程和性质以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．13.【答案】70【解析】解：，则常数项为，故答案为：先将多项式进行化简，然后利用多项式特点进行求解即可．本题主要考查二项式定理的应用，根据多项式的性质先进行化简，然后利用常数项特点进行求解是解决本题的关键，是基础题．14.【答案】【解析】解：如图，当圆和线段AB相切时，圆的半径最小，当圆过B点时，圆的半径最大．又圆C方程为：，圆心为，半径为，，当圆和线段AB相切时，，即，，解得，当圆过B点时，可得，，的取值范围为故答案为：通过图像可得当圆和线段AB相切时，圆的半径最小，当圆过B点时，圆的半径最大，据此可得m的取值范围．本题考查直线与圆的位置关系，运动变化思想，方程思想，化归转化思想，属中档题．15.【答案】9【解析】解：由已知条件得，，，又，，，，当且仅当，即时等号成立．故答案为：将已知条件通过恒等变形，再利用基本不等式即可求解．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：因为，所以，所以，即令，则有，设，只需证明，，令得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即，又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以设，所以，由得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以的最小值为故答案为：由不等式变形为，通过换元，根据不等式恒成立得出a与b的关系，从而把表示为关于a的表达式，再通过构造函数求最值即可．本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．17.【答案】解：，，，⋯，，，；当时，满足上式，所以；由可得，【解析】本题考查运用累乘法求数列的通项公式，裂项相消法求数列的前n项和，属中档题．利用累乘法可求的通项公式；由可得，利用裂项相消法求出18.【答案】证明：在中，由及正弦定理得：，又，，即，，即，，，，，；解：由得，，，由题意，及正弦定理得：，，，即，故的取值范围为【解析】结合正弦定理及正弦和角公式得，结合角度范围即可证明；结合正弦定理及三角恒等变换，结合B角范围即可求解．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．19.【答案】解：设事件A为“核酸检测呈阳性“，事件B 为“患疾病”由题意可得，，，由条件概率公式得：，即，故该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率为设方案一中每组的检测次数为X，则X 的取值为1，6，，，所以X 的分布列为X16P所以，即方案一检测的总次数的期望为，设方案二中每组的检测次数为Y，则Y 的取值为1，12，；，所以Y 的分布列为Y112P所以，即方案二检测的总次数的期望为，由，则方案二的工作量更少．【解析】设事件A为“核酸检测呈阳性“，事件 B 为“患疾病“，利用条件概率公式求解即可；设方案一和方案二中每组的检测次数为X，Y，分别求出两种方案检测次数的分布列，进而得出期望，通过比较期望的大小即可得出结论．本题主要考查了条件概率公式的应用以及均值的实际应用，属于中档题．20.【答案】解：证明：如图所示，在图①中，连接AC，交BE于O，因为四边形ABCE是边长为2的菱形，且，所以，且，在图②中，相交直线OA，均与BE垂直，所以是二面角的平面角，因为，所以，所以，所以平面平面由知，分别以直线OA，OB，为x，y，z轴建立如图②所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，，设，，则，设平面的一个法向量，则，令，则，，所以因为P到平面的距离为，所以，解得，由，得，所以，，，所以，所以设直线EP与平面所成的角为，所以【解析】在图①中，连接AC，交BE于O，可推出，且，在图②中，相交直线OA，均与BE垂直，则是二面角的平面角，由勾股定理可得，进而可得答案．由知，分别以直线OA，OB，为x，y，z轴建立如图②所示的空间直角坐标系，设，，可得的坐标，求出平面的一个法向量，由于P到平面的距离为，则，解得，设直线EP与平面所成的角为，进而可得答案．本题考查直线与平面的位置关系，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．21.【答案】解：由已知，，，，，则，，解得，，双曲线的方程为直线l的斜率存在且不为0，设直线l：，设，，由，得，则，解得①点在以线段AB为直径的圆的外部，则，②由①、②得实数k的范围是，由已知，在A、Q之间，则，且，，则，，则，，，解得，又，故的取值范围是【解析】考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．由已知，，，，由，知，故，，由此能求出双曲线的方程．直线l的斜率存在且不为0，设直线l：，设，，由，得，由此入手，能够求出的取值范围．22.【答案】解：，①若，即，，函数在区间单调递增，故，满足条件；②若，即，当时，，函数单调递减，故，矛盾，不符合题意；综上：先证右侧不等式，如下：由可得：当时，有，则，即，即则有，即，右侧不等式得证．下面证左侧不等式，如下：易知，可得，即，则有，即，，则故，综上：…【解析】求导得，分，两种情况讨论可得的取值范围；当时，有，则，可得可证右侧不等式，可得，，可证左侧不等式．本题考查导数的综合应用，考查不等式的证明，属难题．。

河北省衡水中学2020届高三年级下学期三调考试数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共4页，总分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合}2|),{(xy y x M ==，}|),{(2x y y x N ==，则B A I 中元素的个数为 ( )A ．3B ．2C ．1D ．0 2．复数iiz +=12的虚部为( )A ．－iB ．iC ．1D ．－1 3．下面四个推理中，属于演绎推理的是( )A ．观察下列各式：4972=，34373=，240174=，…，则72015的最后两位数字为43 B ．观察x x 2)'(2=，344)'(x x =，x x sin )'(cos =，可得偶函数的导函数为奇函数C ．在平面上，若两个等边三角形的边长之比为1：2，则它们的面积之比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1：2，则它们的体积之比为1：8 D ．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应4．如图，观察某一指标的统计图后，有如下判断，则其中不正确的判断是 ( ) A ．三地中五月指标最小的为上海 B ．一月至六月指标波动最大的为上海 C ．三地中指标最稳定的为北京 D ．一月至六月指标平均值最小的为广州5．已知函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 4πx y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈67,0πx 的图象与直线m y =的三个交点的横坐标分别为)(,,321321x x x x x x <<，则=++3212x x x( )A ．43πB ．34π C ．35πD ．23π 6．设三个向量c b a ,,互不共线，则“0=++c b a ’’是“以|||,||,|c b a 为边长的三角形存在”的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间，紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等，其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的）．如图为一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，则该壶的容量约为 ( ) A ．100 cm 3 B ．200 cm 3 C ． 300 cm 3 D ．400 cm 3 8．已知函数k x x f ++=1)(，若存在区间],[b a ，使得函数)(x f 在区间],[b a 上的值域为]1,1[++b a ，则实数k 的取值范围为( )A ．),1(+∞-B ．]0,1(-C ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,41 D ．⎥⎦⎤⎝⎛-0,41 9．已知函数⎪⎭⎫⎝⎛<<+=20tan ln )(πααx x f 的导函数为)('x f ，若方程)()('x f x f =的根x 0小于1，则实数α的取值范围是( )A ．⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,0π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,6ππ D ．⎪⎭⎫⎝⎛4,0π 10．已知抛物线的方程为)0(22>=P py x ，过点)1,0(-A 作直线与抛物线交于P ，Q 两点，点B 的坐标为)1,0(，连接BP ，BQ ，设BQ ，BP 与x 轴分别相交于M ，N 两点．若直线BQ 的斜率与BP 的斜率的乘积为－3，则=∠MBN ( )A ．2πB ．4πC ．32πD ．3π11．如图，A ，B 是半径为1的圆O 上的两点，且3π=∠AOB ．若C 是圆O 上的任意一点，则BC OA ⋅的最大值为 ( )A ．23-B ．41 C ．21 D ．1 12．若点N 为点M 在平面α上的正投影，则记)(M f N α=．在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，记平面AB 1C 1D 为β，平面ABCD 为γ，P 是棱CC 1上一动点（与C ，C 1不重合），)]([1P f f Q βγ=，)]([2P f f Q γβ=，给出下列三个结论：①线段PQ 2长度的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,21； ②存在点P 使得β平面//1PQ ；③存在点P 使得21PQ PQ ⊥．其中，所有正确结论的序号是( )A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．直角坐标平面内能完全覆盖区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-002,0y y x y x ，的最小圆的面积为_________．14．已知函数⎩⎨⎧>≤+=,0,2,0,1)(x x x x f x 则满足121)(>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x f x f 的x 的取值范围是_______．15．已知数列}{n a 中，221n a n =，则数列})1{(n na -的前50项和为___________．16．若存在)1,0(0∈x ，使得003)3(0x e x ax+≥-，则实数a 的取值范围为___________．三、解答题（共70分。

全国高三统一联合考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}3,4,5A =，{}1,3,6B =，则集合{}2,7,8是( ) A.A B UB.A B IC.()U C A B ID.()U C A B U2.已知复数z 的实部不为0，且1z =，设1z z ω=+，则ω在复平面上对应的点在( )A.实轴上B.虚轴上C.第三象限D.第四象限3.将()2nx -的展开式按x 的升幂排列，若倒数第三项的系数是40-，则n 的值是( ) A.4B.5C.6D.74.如图所示是三棱柱与球的组合体的三视图，则三棱柱的体积与球的体积之比是( )33B.6πC.9π435.设1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，以1F 为圆心、12F F 为半径的圆与双曲线左支的其中一个交点为A ，若12120AF F =∠°，则该双曲线的离心率是( ) 233131+6.若函数()()()2sin 20f x a x θθπ=+<<，a 是不为零的常数)在R 上的值域为[]2,2-，且在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调减函数，则a 和θ的值是( )A.1a =，3πθ=B.1a =-，3πθ=C .1a =，6πθ=D.1a =-，6πθ=7.已知函数()32f x x ax bx c =+++(a ，b ，c 均为常数)的图象关于点()1,0-对称，则b c -的值是( ) A.4-B.4C.2-D.28.已知“x a x b ≥⇒>”，且“x a x c <⇒≤”，则“x c ≤”是“x b ≤”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.“三个臭皮匠，楔个诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大，假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A.3B.4C.5D.610.已知向量()cos ,sin AB αα=u u u r ，()cos ,sin BC ββ=u u u r ，()cos ,sin CA γγ=u u u r，其中02αβγπ<<<<，则AB BC ⋅u u u r u u u r的值是( )A.12B.12-C.32-D.3 11.设函数()f x 定义如下表： x1 2 3 4 5 ()f x14253执行如图所示的程序框图，则输出的x 的值是( )A.4B.5C.2D.312.已知异面直线a ，b 所成的角为90°，直线AB 与a ，b 均垂直，且垂足分别为A ，B ，若动点P 在直线a 上运动，动点Q 在直线b 上运动，4PA QB +=，则线段PQ 的中点M 的轨迹所围成的平面区域的面积是( ) A.2B.4C.8D.12二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线24y x =-的焦点到它的准线的距离是____________.14.若实数x ，y 满足100x y x y +≥-⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =+取得最大值时对应的最优解是____________.15.已知在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，5cos A =，10cos B =，2c =，则a =____________.16.已知函数()xxf x e =，关于x 的方程()()220f x f x c -+=⎡⎤⎣⎦有以下四个结论： ①当0c =时，方程有3个实根；②当221c c e -=时，方程有3个实根；③当2211e c e -<<时，方程有2个实根；④当221e c e -<时，方程有4个实根. 以上结论中正确的有____________(填序号).三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知正项等比数列{}n a 满足()*14n n n a a n N +=∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2211log log n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC AB AA ===，过1AA 的平面分别交BC ，11B C 于点D ，1D .(1)求证：四边形11ADD A 为平行四边形；(2)若1AA ⊥平面ABC ，D 为BC 中点，E 为1DD 中点，求二面角1A C E C --的余弦值. 19.最近，在“我是演说家”第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友圈不断被转发，点赞的人数更是不断增加，对一周(7天)内演讲视频被转发的天数x 与点赞的人数y 进行了统计，数据见下表：根据所给数据(),x y ，画出了散点图以后，发现演讲视频被转发的天数x 与点赞的人数y 的关系可以近似地表示为x y a b =⋅(,a b 均为正常数). (题中所有数据的最后计算结果都精确到0.01) (1) 建立y 关于x 的回归方程；(2) 试预测，至少经过多少天，点赞的人数超过12000？附：①对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线$y x aβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为µβ=µy x β-. ②参考数据：20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆E 上一点A 在x 轴上的射影恰好为1F ，且直线2AF 的斜率为(1)求椭圆E 的离心率；(2)当2a =时，过点()0,2Q -的射线与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，若点P 在射线QM 上，且满足2QM QN QP ⋅=u u u u r u u u r u u u r ，求点P 的横坐标0x 的取值范围.21.已知函数()ln f x x =.(1)设()()()()'F x f k x k f k =-+(其中0k >)，求证：()()f x F x ≤.(2)若曲线()y f x =与抛物线()22y ax a x =+-有两个公共点，求实数a 的取值范围.22.已知圆C 的极坐标方程为2sin 104πρθ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，直角坐标系xOy 的坐标原点O 与极点重合，x 轴的正半轴与极轴重合. (1)求圆C 的标准方程和它的一个参数方程； (2)设(),P x y 是圆C 上的任意一点，求xy 的最大值. 23.已知函数()1f x x x =+-. (1)解不等式()3f x ≥；(2)若()()2f x f y +≤，求x y +的取值范围.。

2019-2020学年高三第二学期3月月考数学试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{x|2x+1＞﹣3}，B＝{x|2x＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣2）B．∅C．（﹣2，1）D．（1，+∞）2．设z＝i（i﹣3），则|z|＝（）A．B．3C．2D．3．已知向量＝（，1），＝（2，2），则向量，的夹角为（）A．B．C．D．4．曲线y＝sin x在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝2x B．y＝x C．y＝﹣2x D．y＝﹣x 5．“平面α内存在无数条直线与直线1平行”是“直线1∥平面α“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知一组数据的茎叶图如图所示．下列说法错误的是（）A．该组数据的极差为12B．该组数据的中位数为21C．该组数据的平均数为21D．该组数据的方差为117．执行如图所示程序框图，则输出的S＝（）A．B．C．D．8．若将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，平移后所得图象为曲线y ＝f（x），下列四个结论：①f（x）＝sin（2x﹣）②f（x）＝sin（2x+）③曲线y＝f（x）的对称中心的坐标为（+，0），（k∈Z）④曲线y＝f（x）的对称中心的坐标为（+π，0）（k∈Z）其中所有正确的结论为（）A．①④B．②③C．②④D．①③9．在△ABC中．角A、B、C所对边分别为a、b、c，若a cos A sin C＝（2b﹣a）sin A cos C，则角C的大小为（）A．B．C．D．10．已知A，B为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上的两个不同点，M为AB的中点，O为坐标原点，若k AB•k OM＝，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．11．已知点A（0，），抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C 相交于点M，与其准线相交于点N．若|FM|：|MN|＝1：2，则p的值等于（）A．1B．2C．3D．412．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，且函数y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）对称．若不等式f（mx2+2m）+f（4x）＜0对任意x∈[1，2]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣∞，﹣）C．（，+∞）D．（﹣∞，）二、填空题13．已知3sinα＝1，则的值为．14．若x，y满足，则z＝4x+3y的最小值是．15．已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法：甲说：我去过北京，乙去过上海，丙去过北京；乙说：我去过上海，甲说的不完全对；丙说：我去过北京，乙说的对．若甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则去过北京的是．16．如图．圆形纸片的圆心为O，半径为4cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O．E，F，G，H为圆O上的点，ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕，折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当AB＝2cm时，该四棱锥的表面积为；该四棱锥的外接球的表面积为．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB ＝AP＝PD＝2．（1）证明：AB⊥平面PAD；（2）求点B到平面PCD的距离．18．某高速路交通服务站点对拥挤等级与某时段（单位：天）的机动车通行数量m（单位：百辆）的关系规定如表：数量n n∈[0，100）n∈[100，200）n∈[200，300）n≥300等级优良拥堵严重拥堵该站点对一个月（30天）内每天的机动车通行数量作出如图的统计数据：（1）如表是根据统计数据得到的频率分布表．请估计一个月内通过该服务站点的所有机动车数量的平均值（同一组中的數据用该组区间的中点值为代表）；[0，100）[100，200）[200，300）[300，400]机动车数量（单位：百辆）天数a1041频率b（2）假设某家庭选择在该月1日至5日这5天中任选2天到景区游玩并通过该服务站点（这2天可以不连续）．求该家庭这2天遇到拥挤等级均为“优”的概率．19．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且S2＝2a2﹣2，S5＝3a5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝a n•2n﹣1，记数列{b n}的前n项和为T n，若T n＞300．求正整数n的取值范围．20．已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．短轴的两个顶点与F1，F2构成面积为2的正方形，（1）求Γ的方程：（2）如图所示，过右焦点F2的直线1交椭圆Γ于A，B两点，连接AO交Γ于点C，求△ABC面积的最大值．21．已知函数f（x）＝（x2+ax）lnx﹣x2﹣ax．（1）求函数f（x）的极值；（2）若f（x）＞0对x＞1恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中．直线1的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣12＝0，定点A（4，0）．点P是曲线C1上的动点．Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线1与曲线C2交于A．B两点，若|AB|＝，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣3|．（1）若f（t+1）+f（2+t）≥3，求实数t的取值范围；（2）若∀x∈[1，2]，使得f（x）+|x+a|≤3成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|2x+1＞﹣3}，B＝{x|2x＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣2）B．∅C．（﹣2，1）D．（1，+∞）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞﹣2}，B＝{x|x＜1}，∴A∩B＝（﹣2，1）．故选：C．2．设z＝i（i﹣3），则|z|＝（）A．B．3C．2D．【分析】根据复数的基本运算进行化简，然后求出z的模．解：∵z＝i（i﹣3）＝﹣1﹣3i，∴|z|＝．故选：A．3．已知向量＝（，1），＝（2，2），则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【分析】根据向量的坐标即可求出，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角的大小．解：＝，且，∴的夹角为．故选：D．4．曲线y＝sin x在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝2x B．y＝x C．y＝﹣2x D．y＝﹣x【分析】求出原函数的导函数，可得曲线在x＝0处的导数，再由直线方程的点斜式得答案．解：由y＝sin x，得y′＝cos x，可得切线的斜率k＝cos0＝1，∴曲线y＝sin x在点（0，0）处的切线方程为y＝x．故选：B．5．“平面α内存在无数条直线与直线1平行”是“直线1∥平面α“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据直线和平面的关系以及充分必要条件判断即可．解：当直线l平行平面α内的无数条平行直线时，则直线a不一定平行于平面α，也可能l⊂α，当直线1∥平面α，则平面α内存在无数条直线与直线1平行，故“平面α内存在无数条直线与直线1平行”是“直线1∥平面α“的必要不充分条件，故选：B．6．已知一组数据的茎叶图如图所示．下列说法错误的是（）A．该组数据的极差为12B．该组数据的中位数为21C．该组数据的平均数为21D．该组数据的方差为11【分析】根据茎叶图，对选项进行排查，得到答案．解：由题意，极差为26﹣14＝12，中位数为21，平均数＝21，方差＝，D错误，故选：D．7．执行如图所示程序框图，则输出的S＝（）A．B．C．D．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得S＝0，n＝1满足条件n≤5，执行循环体，S＝0，n＝2满足条件n≤5，执行循环体，S＝，n＝3满足条件n≤5，执行循环体，S＝+，n＝4满足条件n≤5，执行循环体，S＝++，n＝5满足条件n≤5，执行循环体，S＝+++＝，n＝6此时，不满足条件n≤5，退出循环，输出S的值为．故选：D．8．若将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，平移后所得图象为曲线y ＝f（x），下列四个结论：①f（x）＝sin（2x﹣）②f（x）＝sin（2x+）③曲线y＝f（x）的对称中心的坐标为（+，0），（k∈Z）④曲线y＝f（x）的对称中心的坐标为（+π，0）（k∈Z）其中所有正确的结论为（）A．①④B．②③C．②④D．①③【分析】先根据图象的平移变换，得到f（x）＝sin（2x﹣），于是可判断①②，再根据正弦函数的对称中心，求出函数f（x）的对称中心，可判断③④．解：y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位得到f（x）＝sin[2（x﹣）+]＝sin（2x﹣），即①正确，②错误；令2x﹣＝kπ，得，即③正确，④错误，故选：D．9．在△ABC中．角A、B、C所对边分别为a、b、c，若a cos A sin C＝（2b﹣a）sin A cos C，则角C的大小为（）A．B．C．D．【分析】由a cos A sin C＝（2b﹣a）sin A cos C，得a sin B＝2b sin A cos C，由正弦定理得：ab ＝2ab cos C，从而求出C．解：由a cos A sin C＝（2b﹣a）sin A cos C，得a sin B＝2b sin A cos C，由正弦定理得：ab＝2ab cos C，∴cos C＝，又∵C∈（0，π），∴C＝，故选：C．10．已知A，B为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上的两个不同点，M为AB的中点，O为坐标原点，若k AB•k OM＝，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法，结合M是线段AB的中点，可得，即可求出椭圆的离心率．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝2x M，y1+y2＝2y M，由可得．∴，即k AB•k OM＝＝，则双曲线的离心率为e＝．故选：D．11．已知点A（0，），抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C 相交于点M，与其准线相交于点N．若|FM|：|MN|＝1：2，则p的值等于（）A．1B．2C．3D．4【分析】作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a．解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，∵|FM|：|MN|＝1：2，∴|KN|：|KM|＝：1，∴p＝2，∴p＝2．故选：B．12．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，且函数y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）对称．若不等式f（mx2+2m）+f（4x）＜0对任意x∈[1，2]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣∞，﹣）C．（，+∞）D．（﹣∞，）【分析】由y＝f（x）的图象可由y＝f（x﹣2）的图象向左平移2个单位可得，则f（x）为奇函数，且f（x）是定义在R上的增函数，可得f（mx2+2m）+f（4x）＜0即为mx2+2m ＜﹣4x，由参数分离和对勾函数的单调性，结合恒成立思想可得所求范围．解：函数y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）对称，由y＝f（x）的图象可由y＝f（x﹣2）的图象向左平移2个单位可得，则f（x）的图象关于原点对称，即f（x）为奇函数，且f（x）是定义在R上的增函数，f（mx2+2m）+f（4x）＜0即为f（mx2+2m）＜﹣f（4x）＝f（﹣4x），由f（x）为R上的增函数，可得mx2+2m＜﹣4x，即有m＜﹣对任意x∈[1，2]恒成立，又2≤x+≤3，有2≤≤3，即≤≤，即﹣≤﹣≤﹣，则m＜﹣，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知3sinα＝1，则的值为．【分析】由已知利用二倍角的三角函数公式可得cos2α的值，进而得解．解：∵3sinα＝1，∴sinα＝，可得cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣＝，∴＝＝．故答案为：．14．若x，y满足，则z＝4x+3y的最小值是．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝4x+3y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线＝﹣x+z经过点A时，直线＝﹣x+z的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（﹣，），代入目标函数z＝4x+3y得z＝．即目标函数z＝4x+3y的最小值为．故答案为：15．已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法：甲说：我去过北京，乙去过上海，丙去过北京；乙说：我去过上海，甲说的不完全对；丙说：我去过北京，乙说的对．若甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则去过北京的是丙．【分析】若甲说得不对，则乙、丙说得对，若乙或丙说得不对，则得出与”甲、乙、丙三人中恰有1人说得不对“矛盾，从而得到去过北京的是丙．解：若甲说得不对，则乙、丙说得对，即乙一定去过上海，丙一定去过北京，甲只去过上海，若乙或丙说得不对，则得出与”甲、乙、丙三人中恰有1人说得不对“矛盾，故去过北京的是丙．故答案为：丙．16．如图．圆形纸片的圆心为O，半径为4cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O．E，F，G，H为圆O上的点，ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕，折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当AB＝2cm时，该四棱锥的表面积为16cm2；该四棱锥的外接球的表面积为．【分析】由已知求得四棱锥的高，设出球心，再由勾股定理列式求得外接球半径，由球的表面积公式及正四棱锥的表面积公式求解．解：连接OE交AB于点I，设E，F，G，H重合于点P，正方形的边长为2，则OI＝1，IE＝3，AE＝，设该四棱锥的外接球的球心为Q，半径为R，则OC＝，OP＝，则，解得R＝，外接球的表面积S＝cm2；该四棱锥的表面积为cm2．故答案为：16cm2；．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB ＝AP＝PD＝2．（1）证明：AB⊥平面PAD；（2）求点B到平面PCD的距离．【分析】（1）由AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，能证明AB⊥平面PAD．（2）设点B到平面PCD的距离为d，由V P﹣BCD＝V B﹣PCD，能求出点B到平面PCD的距离．解：（1）证明：∵AB⊥AD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，平面PAD⊥平面ABCD，∴AB⊥平面PAD．（2）解：∵AB⊥平面PAD，AB∥CD，∴CD⊥平面PAD，CD⊥PD，∵CD＝PD＝2，∴S△PCD ＝，设点B到平面PCD的距离为d，由V P﹣BCD＝V B﹣PCD ，得＝，解得d ＝，∴点B到平面PCD 的距离为．18．某高速路交通服务站点对拥挤等级与某时段（单位：天）的机动车通行数量m（单位：百辆）的关系规定如表：数量n n∈[0，100）n∈[100，200）n∈[200，300）n≥300等级优良拥堵严重拥堵该站点对一个月（30天）内每天的机动车通行数量作出如图的统计数据：（1）如表是根据统计数据得到的频率分布表．请估计一个月内通过该服务站点的所有机动车数量的平均值（同一组中的數据用该组区间的中点值为代表）；[0，100）[100，200）[200，300）[300，400]机动车数量（单位：百辆）天数a1041频率b（2）假设某家庭选择在该月1日至5日这5天中任选2天到景区游玩并通过该服务站点（这2天可以不连续）．求该家庭这2天遇到拥挤等级均为“优”的概率．【分析】（1）根据题意，求出a，b，再求出平均数；（2）根据古典概型求出即可．解：（1）因为有机动车通行数量在[0，100）范围内的天数为15天，所以a＝15，b ＝，通行数量的平均值为50×＝120（百辆）；（2）设该家庭这2天拥挤等级均为优的事件为A，从5天中任取两天的选择方案有10种情况，满足条件的有（1，4），（1，5），（4，5），有3种，故P（A）＝0.3．19．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且S2＝2a2﹣2，S5＝3a5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝a n•2n﹣1，记数列{b n}的前n项和为T n，若T n＞300．求正整数n的取值范围．【分析】本题第（1）题先设等差数列{a n}的公差为d，根据等差数列的通项公式和求和公式列出关于首项a1和公差d的方程，解出a1和d的值，即可得到数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用错位相减法计算出前n项和T n．再根据数列{T n}的单调性可计算出满足T n＞300时正整数n的取值范围．解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则，解得．∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n，n∈N*．（2）由（1）知，b n＝a n•2n﹣1＝n•2n．则T n＝b1+b2+b3+…+b n＝1•21+2•22+3•23+…+n•2n，2T n＝1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1．两式相减，可得﹣T n＝2+22+23+…+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2．∴T n＝（n﹣1）•2n+1+2．构造数列{T n}：令T n＝（n﹣1）•2n+1+2，则T n+1﹣T n＝n•2n+2﹣（n﹣1）•2n+1＝（n+1）•2n+1＞0，故数列{T n}是单调递增数列．∵T5＝4•26+2＝258＜300，T6＝5•27+2＝642＞300，∴满足T n＞300的正整数n的取值范围为{n|n≥6，n∈N*}．20．已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．短轴的两个顶点与F1，F2构成面积为2的正方形，（1）求Γ的方程：（2）如图所示，过右焦点F2的直线1交椭圆Γ于A，B两点，连接AO交Γ于点C，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）根据题意b＝c及，即可求得b的值，求得椭圆方程；（2）分类讨论，当直线的斜率存在，设直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及弦长公式求得|AB|，表示出△ABC的面积，化简即可求得△ABC面积的最大值．解：（1）因为椭圆C的短轴的两个顶点与F1，F2构成面积为2的正方形，所以b＝c，S＝a2＝2，则，b＝c＝1，故椭圆Γ的方程；（2）①当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），联立方程组，消去y，整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），得，，所以，点O到直线kx﹣y﹣k＝0的距离，因为O到线段AC的中点，所以点C到直线AB的距离为，所以△ABC面积＝＝＜，②当直线AB的斜率不存在时不妨取，，，故△ABC面积为，综上，当直线AB的斜率不存在时，△ABC面积的最大值为．21．已知函数f（x）＝（x2+ax）lnx﹣x2﹣ax．（1）求函数f（x）的极值；（2）若f（x）＞0对x＞1恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）先对函数求导，然后结合a的范围取得导数的符号，进而可求函数的单调性，即可求解极值；（2）结合（1）中单调性的讨论，不等式的恒成立问题可转化为求解函数的最值或范围问题，可求．解：（1）函数的定义域（0，+∞），f′（x）＝（x+a）lnx，①a≥0时，x+a＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，故当x＝1时，函数取得极小值f（1）＝；②当﹣1＜a＜0时，0＜x＜﹣a时，f′（x）＞0，函数单调递增，﹣a＜x＜1时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，故当x＝﹣a时，函数取得极小值f（﹣a）＝，当x＝1时，函数取得极大值f（1）＝﹣a﹣；③a＝﹣1时，0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数单调递增，x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，即函数为单调函数，没有极值；④当a＜﹣1时，0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数单调递增，﹣a＞x＞1时，f′（x）＜0，函数单调递减，x＞﹣a时，f′（x）＞0，函数单调递增，故当x＝1时，函数取得极大值f（1）＝﹣a﹣，当x＝﹣a时，函数取得极小值f（﹣a）＝，综上可得，a≥0时，函数极小值f（1）＝，没有极大值；a＝﹣1时，没有极值；﹣1＜a＜0时，函数极小值f（﹣a）＝，函数取得极大值f（1）＝﹣a﹣；a＜﹣1时，函数极大值f（1）＝﹣a﹣，当x＝﹣a时，函数极小值f（﹣a）＝；（2）由（1）可得，当a≥﹣1时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，x＞1时，f（x）＞f （1），由f（1）＝﹣a﹣＞0可得a，所以﹣1，当a＜﹣1时，由题意可知，只要f（﹣a）＝＞0，化简可得，ln（﹣a），即a＞﹣e，所以﹣e＜a＜﹣1，综上可得a的范围（﹣e，﹣]．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中．直线1的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣12＝0，定点A（4，0）．点P是曲线C1上的动点．Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线1与曲线C2交于A．B两点，若|AB|＝，求实数a的值．【分析】（1）参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，曲线的伸缩变换的应用．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣12＝0，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣4y﹣12＝0．设P（x′，y′），Q（x，y），由中点坐标公式得：代入x2+y2﹣4y﹣12＝0，得到（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4．（2）直线1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为y＝ax，利用（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，由于|AB|＝，所以圆心到直线的距离公式的应用d＝，解得a＝1或．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣3|．（1）若f（t+1）+f（2+t）≥3，求实数t的取值范围；（2）若∀x∈[1，2]，使得f（x）+|x+a|≤3成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）不等式化为|t﹣2|+|t﹣1|≥3，利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式的解集即可；（2）x∈[1，2]时不等式f（x）+|x+a|≤3化为|x+a|≤x，根据绝对值的定义求出不等式成立时a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝|x﹣3|，所以不等式f（t+1）+f（2+t）≥3，化为|t﹣2|+|t﹣1|≥3，等价于，或，或；解得t≤0或t≥3；所以实数t的取值范围是（﹣∞，0]∪[3，+∞）．（2）当x∈[1，2]时，f（x）+|x+a|＝3﹣x+|x+a|；∀x∈[1，2]，使得不等式f（x）+|x+a|≤3成立，即|x+a|≤x成立，所以﹣x≤x+a≤x成立，所以﹣2x≤a≤0成立；所以∀x∈[1，2]，使得，所以实数a的取值范围是[﹣2，0]．。

河北衡水中学2019—2020学年高三年级下学期第二次质检考试数学试题（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。

3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效。

第Ⅰ卷选择题（共60分）一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。

1.已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{y|y＝2x+3}，则A∪B＝（）A．[3，4）B．（﹣1，+∞）C．（3，4）D．（3，+∞）2.已知复数z1＝3﹣bi，z2＝1﹣2i，若是实数，则实数b的值为（）A．6 B．﹣6 C．0 D．3.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（）A. B. C. D.4.设1tan2α=，4cos(π)((0,π))5ββ+=-∈，则tan(2)αβ-的值为（）A．724-B．524-C．524D．7245.大衍数列来源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（） A.22n n-B.212n -C.212n(-)D.22n6.如图所示，某几何体的正视图与俯视图均为边长为4的正方形，其侧视图中的曲线为圆周，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7.已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝（4x+4﹣x）|x| B．f（x）＝（4x﹣4﹣x）log2|x|C．f（x）＝（4x+4﹣x）log2|x| D．f（x）＝（4x+4﹣x ）|x |8.五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”。

2019届河北省衡水市高三下学期第三次质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则( )A．B．C．D．【答案】C【解析】【详解】分析：先化简集合，再按选项依次验证可解.详解：因为集合，所以故选C.点睛：本题主要考查集合的交、并、补运算，在解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2．已知为虚数单位，若，则A．B．C．D．【答案】C【解析】先根据复数相等得，再代入求结果.【详解】由，得，所以. 故选B.【点睛】本题考查复数相等以及指数运算，考查基本分析求解能力，属基本题.3．向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用表示出，进而可得出. 【详解】由题中所给图像可得：，又，所以.故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.4．函数的最大值为（）A．B．1 C．D．【答案】D【解析】先将函数解析式化简整理，由正弦函数的值域即可求出结果.【详解】因为，所以的最大值为.故选D【点睛】本主要考查三角函数的最值问题，熟记辅助角公式以及正弦函数的值域即可，属于基础题型.5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和。

详解：设小正方形的边长为1，可得黑色平行四边形的底为高为；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为2，大正方形的边长为2，所以，故选C。

点睛：本题主要考查几何概型，由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，通过分析观察，求得黑色平行四边形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角边和斜边长，进而计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和，再将黑色部分面积除以大正方形面积可得概率，属于较易题型。

2020届河北省衡⽔中学⾼三下学期三模数学（理）试题含答案2019—2020学年度第⼆学期⾼三年级三模考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷⼀、选择题1. 设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则A B =（）A. {}0,2B. {}2,2-C.2,0,2D. {}2,1,0,1,2--2. 若复数z 满⾜1z i i ?=-+，则z 的共轭复数z -在复平⾯内对应的点位于（） A. 第⼀象限B. 第⼆象限C. 第三象限D. 第四象限3. 设实数x ，y 满⾜条件202300x y x y x y +-≤??-+>??-≤?则1x y ++的最⼤值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 平⾯向量a 与b 的夹⾓为60?，()2,0,1a b ==，则2a b+等于( ) A.B.C. 12D.5. 如图，是函数()f x 的部分图象，则()f x 的解析式可能是（）A. ()|sin cos |f x x x =+B. 22()sin cos f x x x =+C. ()|sin ||cos |f x x x =+D. ()sin ||cos ||f x x x =+6. 已知⼆项式121(2)n x x+的展开式中，⼆项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（） A. 240B. 120C. 48D. 367. 祖冲之是中国南北朝时期的数学家和天⽂学家，他在数学⽅⾯的突出贡献是将圆周率的精确度计算到⼩数点后第7位，也就是3.1415926和3.1415927之间，这⼀成就⽐欧洲早了1000多年，我校“爱数学”社团的同学，在祖冲之研究圆周率的⽅法启发下，⾃制了⼀套计算圆周率的数学实验模型.该模型三视图如图所⽰，模型内置⼀个与其各个⾯都相切的球，该模型及其内球在同⼀⽅向有开⼝装置.实验的时候，同学们随机往模型中投掷⼤⼩相等，形状相同的玻璃球，通过计算落在球内的玻璃球数量，来估算圆周率的近似值.已知某次实验中，某同学⼀次投掷了1000个玻璃球，请你根据祖冲之的圆周率精确度（取⼩数点后三位）估算落在球内的玻璃球数量（）A. 297B. 302C. 307D. 3128. 设函数()2sin()f x x ω?=+，x ∈R ，其中0>ω，||?π<.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最⼩正周期⼤于2π，则 A.23ω=，12π=B.23ω=，12?11π=-C. 13ω=，2411π=- D. 13ω=，724π= 9. 甲、⼄、丙、丁四⼈参加冬季滑雪⽐赛，有两⼈获奖．在⽐赛结果揭晓之前，四⼈猜测如下表，其中“√”表⽰猜测某⼈获奖，“×”表⽰猜测某⼈未获奖，⽽“〇”则表⽰对某⼈是否获奖未发表意见．已知四个⼈中有且只有两个⼈的猜测是正确的，那么两名获奖者是（）的A. ⼄丁B. ⼄丙C. 丙丁D. 甲丁10. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ．2F 也是抛物线()2:20E y px p =>的焦点，点A 为C 与E 的⼀个交点，且直线1AF 的倾斜⾓为45?，则C 的离⼼率为（）A.121C. 3111. 已知0a <，不等式1ln 0a x x e a x +?+≥对任意实数1x >都成⽴，则实数a 的最⼩值为（）A. 2e -B. e -C. e2-D. 1e-12. 已知正⽅体1111ABCD A B C D -的外接球的表⾯积为27π，1A DB △与11A DC △的重⼼分别为E ，F ，球O 与该正⽅体的各条棱都相切，则球O 被EF 所在直线截的弦长为（）A.2B. C. D.第Ⅱ卷⼆、填空题13. 已知双曲线的⼀个焦点与抛物线28y x =的焦点F 重合，抛物线的准线与双曲线交于A ，B 两点，且OAB 的⾯积为6（O 为原点），则双曲线的标准⽅程为______． 14. 2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.⾯对“突发灾难”，举国上下⼼，继解放军医疗队于除⼣夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投⾝疫情防控与病⼈救治之中.为分担“逆⾏者”的后顾之忧，某⼤学学⽣志愿者团队开展“爱⼼辅学”活动，为抗疫前线⼯作者⼦⼥在线辅导功课.现随机安排甲、⼄、丙3名志愿者为某学⽣辅导数学、物理、化学、⽣物4门学科，每名志愿者⾄少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为______. 15. 海洋蓝洞是地球罕见⾃然地理现象，被喻为“地球留给⼈类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所⽰的蓝洞的⼝径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=?，15BDC DCA ∠∠==?，120ACB ∠=?，则A ，B 两点的距离为________．的16. 已知圆22:4O x y +=点()2,2A ，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，点E 在直线l 上且满⾜2PQ QE →→=.若22248AE AP +=，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为_____________.三、解答题17. 已知等差数列{}n a 的公差为d ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，等⽐数列{}n b 的公⽐为()1q q ≠，n T 是数列{}n b 的前n 项和，330a b +=，11b =，33T =，d q =-．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）是否存在正整数λ，使得关于k 的不等式()3010k S λ+≤有解？若λ存在，求出λ的值；若λ不存在，说明理由．18. 如图，在多⾯体ABCDP 中，ABC 是边长为4的等边三⾓形，PA AC =，BD CD ==PC PB ==，点E 为BC 的中点，平⾯BDC ⊥平⾯ABC ．（1）求证：//DE 平⾯PAC（2）线段BC 上是否存在⼀点T ，使得⼆⾯⾓T DA B --为直⼆⾯⾓？若存在，试指出点T 的位置；若不存在，请说明理由．19. 如图在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，短轴长为4．（I ）求椭圆C 的⽅程；（2）若与原点距离为1的直线1:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线2l 与1l 平⾏，且与椭圆C 相切于点M （O ，M 位于直线1l 的两侧）．记MAB △，OAB 的⾯积分别为1S ，2S 若12S S λ=，求实数λ的取值范围．20. 2019年由“杂交⽔稻之⽗”袁隆平团队研发的第三代杂交⽔稻10⽉21⽇⾄22⽇⾸次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3千克．第三代杂交⽔稻的综合优势，可以推动我国的⽔稻⽣产向更加优质、⾼产、绿⾊和可持续⽅向发展．某企业引进⼀条先进的年产量为100万件的⾷品⽣产线，计划以第三代杂交⽔稻为原料进⾏深加⼯．已知该⽣产线⽣产的产品的质量以某项指标值[]()70,100k k ∈为衡量标准，其产品等级划分如下表．为了解该产品的⽣产效益，该企业先进⾏试⽣产，并从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直⽅图．（1）若从质量指标值不⼩于85的产品中，采⽤分层抽样的⽅法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件，求产品的质量指标值[)90,95k ∈的件数X 的分布列及数学期望；（2）将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的产品中⾄少有1件是合格及以上等级”为事件A ．求事件A 发⽣的概率；（3）若每件产品的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如下表所⽰；（14t <<）试确定t 的值，使得该⽣产线的年盈利取得最⼤值，并求出最⼤值（参考数值：ln 20.7≈，ln3 1.1≈，ln5 1.6≈）21. 已知函数()l e n x m f x x xx =+-()m ∈R ．（1）当1em =时，求函数()f x 的最⼩值；（2）若2e 2m ≥，()22e x m x g x x-=，求证：()()f x g x <．选考题选修4-4：坐标系与参数⽅程22. 在直⾓坐标系xOy 中．直线l参数⽅程为00cos sin x x t y y t ?=+=+（t 为参数，[)0,?π∈）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建⽴极坐标系，圆C 的极坐标⽅程为8cos 3πρθ??=-．（1）化圆C 的极坐标⽅程为直⾓坐标标准⽅程；（2）设点()00,P x y ，圆⼼()002,2C x y ，若直线l 与圆C 交于M 、N 两点，求PM PN PN PM +的最⼤值．选修4-5：不等式选讲23. 已知函数()3f x ax =-，不等式()2f x ≤解集为{}15x x ≤≤．的（1）解不等式()()211f x f x <+-；（2）若3m ≥，3n ≥，()()3f m f n +=，求证：141m n+≥．。