平面图形面积关系

一.公式：1.长方形：周长=(长+宽)×2——【长=周长÷2-宽；宽=周长÷2-长】字母公式：C=(a+b)×2面积=长×宽字母公式：S=ab2.正方形：周长=边长×4字母公式：C=4a面积=边长×边长字母公式：S=a3.平行四边形的面积=底×高字母公式： S=ah4.三角形的面积=底×高÷2 ——【底=面积×2÷高；高=面积×2÷底】字母公式： S=ah÷25.梯形的面积=（上底+下底）×高÷2字母公式： S=（a+b）h÷2【上底=面积×2÷高－下底，下底=面积×2÷高-上底；高=面积×2÷（上底+下底）】二.平行四边形面积公式推导：剪拼、平移1.三角形面积公式推导：旋转平行四边形可以转化成一个长方形；两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，长方形的长相当于平行四边形的底；平行四边形的底相当于三角形的底；长方形的宽相当于平行四边形的高；平行四边形的高相当于三角形的高；长方形的面积等于平行四边形的面积，平行四边形的面积等于三角形面积的2倍，因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。

因为平行四边形面积=底×高，所以三角形面积=底×高÷22.梯形面积公式推导：旋转两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底相当于梯形的上下底之和；平行四边形的高相当于梯形的高；平行四边形面积等于梯形面积的2倍，因为平行四边形面积=底×高，所以梯形面积=(上底+下底)×高÷2 等底等高的平行四边形面积相等；等底等高的三角形面积相等；等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。

长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。

周长：圆、椭圆或其他‎闭合的曲线‎的周界长度‎。

面积：物体的表面‎—平面图形的‎大小，叫做它们的‎面积。

圆面积推导‎过程：1、把圆16等‎份分割后拼‎插成近似的‎平行四边形‎,平行四边形‎的底相当于‎圆周长的四‎分之一（C/4=πr/2）,高等于圆半‎径的2倍(2r),所以S=πr/2·2r=πr2‎2、把圆16等‎份分割后可‎拼插成近似‎的等腰三角‎形。

三角形的底‎相当于圆周‎长的1/4,高相当于圆‎半径的4倍‎,所以S=1/2·2πr/4r=πr2‎3、把圆分割后‎,可拼成近似‎的等腰梯形‎。

梯形上底与‎下底的和就‎是圆周长的‎一半,高等于圆半‎径的2倍,所以S=1/2·πr·2r=πr2‎。

4、小结:无论我们把‎圆拼成什么‎样的近似图‎形,都能推导出‎圆的面积公‎式S=πr2,验证了原来‎猜想的正确‎。

说明在求圆‎的面积时,都要知道半‎径。

三角形面积‎推导过程：1：把一个等腰‎三角形对折‎，然后从中间‎剪开拼成了‎一个长方形‎，这个长方形‎的底是三角‎形的底的一‎半，高是三角形‎的高，因为长方形‎的面积是长‎×宽，长方形的面‎积等于三角‎形的面积，所以三角形‎的面积是底‎×高÷2。

2：把一个直角‎三角形的上‎面对折下来‎，然后剪开，把它补在一‎边，拼成了一个‎长方形。

这个长方形‎的长是三角‎形的底，高是三角形‎高的一半，所以也能推‎出三角形的‎面积是底×高÷2。

3：把一个三角‎形沿着两边‎的重点对折‎，然后又把底‎边的重点这‎样对折，折成了一个‎长方形，这个长方形‎的底是三角‎形底的一半‎，宽是三角形‎高的一半，再乘以2，也可以推出‎三角形的面‎积是底×高÷24：把一个长方‎形沿对角线‎折叠，因为长方形‎的面积是长‎×宽，长方形是两‎个三角形拼‎成的，所以，三角形的面‎积是底×高÷2梯形面积推‎导过程：1、用两个完全‎一样的梯形‎通过旋转拼‎成了一个长‎方形，观察后发现‎：梯形的上下‎底之和相当‎于长方形的‎长、梯形的高相‎当于长方形‎的宽、梯形的面积‎=长方形的面‎积÷2（或梯形的面‎积等于长方‎形的面积的‎一半），根据拼成图‎形的面积公‎式是：长方形的面‎积=长×宽，所以：梯形的面积‎=（上底+下底）×高÷22、梯形的上下‎底之和相当‎于平行四边‎形的底，梯形的高相‎当于平行四‎边形的高，梯形的面积‎相当于平行‎四边形面积‎的一半。

平面图形的推导过程及公式Prepared on 22 November 2020周长：圆、椭圆或其他闭合的曲线的周界长度。

面积：物体的表面—平面图形的大小，叫做它们的面积。

圆面积推导过程：1、把圆16等份分割后拼插成近似的平行四边形,平行四边形的底相当于圆周长的四分之一（C/4=πr/2）,高等于圆半径的2倍(2r),所以S=πr/2·2r=πr22、把圆16等份分割后可拼插成近似的等腰三角形。

三角形的底相当于圆周长的1/4,高相当于圆半径的4倍,所以S=1/2·2πr/4r=πr23、把圆分割后,可拼成近似的等腰梯形。

梯形上底与下底的和就是圆周长的一半,高等于圆半径的2倍,所以S=1/2·πr·2r=πr2 。

4、小结:无论我们把圆拼成什么样的近似图形,都能推导出圆的面积公式S=πr2,验证了原来猜想的正确。

说明在求圆的面积时,都要知道半径。

三角形面积推导过程：1：把一个等腰三角形对折，然后从中间剪开拼成了一个长方形，这个长方形的底是三角形的底的一半，高是三角形的高，因为长方形的面积是长×宽，长方形的面积等于三角形的面积，所以三角形的面积是底×高÷2。

2：把一个直角三角形的上面对折下来，然后剪开，把它补在一边，拼成了一个长方形。

这个长方形的长是三角形的底，高是三角形高的一半，所以也能推出三角形的面积是底×高÷2。

3：把一个三角形沿着两边的重点对折，然后又把底边的重点这样对折，折成了一个长方形，这个长方形的底是三角形底的一半，宽是三角形高的一半，再乘以2，也可以推出三角形的面积是底×高÷24：把一个长方形沿对角线折叠，因为长方形的面积是长×宽，长方形是两个三角形拼成的，所以，三角形的面积是底×高÷2梯形面积推导过程：1、用两个完全一样的梯形通过旋转拼成了一个长方形，观察后发现：梯形的上下底之和相当于长方形的长、梯形的高相当于长方形的宽、梯形的面积=长方形的面积÷2（或梯形的面积等于长方形的面积的一半），根据拼成图形的面积公式是：长方形的面积=长×宽，所以：梯形的面积=（上底+下底）×高÷22、梯形的上下底之和相当于平行四边形的底，梯形的高相当于平行四边形的高，梯形的面积相当于平行四边形面积的一半。

小学数学图形计算公式
一、正方形（a表示边长，C表示周长，S表示面积）
正方形的周长=边长X4
字母表示为：C=4a
正方形的面积=边长＞边长
字母表示为：S=a X a
二、长方形（a表示长，b表示宽，C 表示周长，S表示面积）
长方形的周长=（长+宽）冷
公式：C= （a+b）X
长方形的面积=长＞宽
字母表示为：S=a X b
三、三角形（s面积a底h高）
三角形的面积二底＞高煜
字母表示为：s=a 0吃
三角形的高二面积＞2殒
字母表示为：h = s ＞为
三角形的底二面积＞2嘀
字母表示为：a = s ＞讳
四、平行四边形（a表示底，h表示高，S表示面积）
平行四边形的面积二底為
字母表示为：S= a ＞h
平行四边形的高=面积殒
字母表示为：h= s为
平行四边形的底=面积嚅
字母表示为：a= s讳
五、梯形（s表示面积，a表示上底，b 表示下底，h表示高。

）
梯形的面积=（上底+下底）嘀吃字母表示为：s=（a+b） Xi £
梯形的（上底+下底）=面积X2嘀字母表示为：a+b = s ^2讳
梯形的高=面积^2* （上底+下底）字母表示为：h = s ^2为+b。

平面图形的计算（周长与面积）：
平行四边形面积公式：ah S =（其中a 表示底，h 表示高，S 表示面积） 三角形面积公式：ah S 2
1=
（其中a 表示底，h 表示高） 直角三角形面积公式：ab S 21=（其中a 、b 表示两个直角边） 长方形周长公式：()b a C +=2（其中a 表示长，b 表示宽，C 表示周长）
长方形面积公式：ab S =（其中a 表示长，b 表示宽）
正方形周长公式：a C 4=（a 表示边长）
正方形面积公式：a a a S ⨯==2（a 表示边长） 梯形面积公式：()h b a S +=2
1（其中a 表示上底，b 表示下底，h 表示高） 圆的周长公式：r d C ππ2==（其中d 表示直径，r 表示半径，π为圆周率默认取值3.14） 圆的面积公式：22222⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππππC d r S （其中r 表示半径，d 表示直径，π为圆周率） 圆环面积：()
2222r -r --R R S πππ===内圆面积外圆面积（其中R 表示外圆半径，r 表示内圆半径） 扇形面积：3602
r n S π=（其中n 表示圆周角）。

第四讲-平面图形的面积（一）第四讲平面图形的面积（一）在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。

——毕达哥拉斯（古希腊数学家）【知识对对碰】基本概念：本讲中的平面图形面积计算主要指多边形及其组合图形面积的计算。

基本思路：1.切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念；2.仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的；3.适当采用增加辅助线等方法帮助解题；4.采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。

关键问题：将一般多边形及其组合图形“转化”为基本图形。

公式： (1)三角形面积=底×高÷2 (2)平行四边形面积=底×高(3)梯形面积=（上底+下底）×高÷2 (4)长方形面积=长×宽(5)正方形面积=边长 2【名题典中典】模块一、等高的三角形、平行四边形和梯形。

【例1】已知平行四边形的面积是28平方厘米，求阴影部分的面积。

28÷4=7（厘米）7-5=2（厘米）S=ah ÷2=2×4÷2=4（平方厘米）答：面积是4平方厘米。

【思路导航】4厘米既是平行四边形的高，也是阴影三角形的高，平行四边形的面积是28平方厘米，它的底为28÷4=7（厘米），平行四边形的底减去5厘米就是三角形的底，7-5=2（厘米）。

根据三角形的面积公式直接求出阴影部分的面积。

画龙点睛：求阴影部分的面积最直接的方法是利用面积计算公式直接求阴影面积；还可以用总面积减去空白面积求得阴影部分面积。

这两种是最常用最简便的方法。

（tips ：解图形题时，最好能把关键数据在图中标出，以方便观察。

如边长、高、底等。

）【我能行】1、已知平行四边形的面积是18平方分米，求阴影部分的面积。

2下面的梯形中，阴影部分的面积是150平方厘米，求梯形的面积。

3、下图中，大梯形的面积是多少？（单位：厘米）模块二：三角形的面积画龙点睛：“等积变换”是解决图形题中经常用的一种方法。

第24讲平面图形的面积【探究必备】日常生活中我们经常计算各种图形的面积。

以前我们学习过长方形和正方形面积的计算，对于平行四边形、三角形和梯形我们可以用转化的方法把它们分别转化成已经学过的图形，从而推导出它们的面积公式。

计算平行四边形和三角形的面积时，关键是要找准底和高，计算它们的面积时底和高必须对应，即用于计算面积的底和高是互相垂直的。

三角形、梯形与平行四边形的关系：1. 两个完全相同的三角形或梯形可以拼成一个平行四边形。

2. 三角形或梯形的面积等于与它等底等高平行四边形面积的一半，平行四边形的面积等于与它等底等高的三角形或梯形面积的2倍。

3. 面积相等、高相等的三角形的底是平行四边形的2倍；面积相等、底相等的三角形的高是平行四边形高的2倍。

组合图形是由两个或两个以上的简单平面图形，通过拼合、重叠或位移变换后，组合成的较复杂的图形。

正确求出组合图形的面积要注意以下几点：1. 切实掌握有关简单图形的概念、公式、牢固建立空间观念。

2. 仔细观察，认真思考，看清组合图形由哪些基本图形组合而成的。

3. 常用的解题方法有分解法和割补法。

对于较复杂的组合图形，还要用到图形转换，把其中一部分图形进行平移、翻折、旋转、对称变换，使问题化难为易。

常需要画出辅助线，标出图形各部分之间的关系。

【王牌例题】例1、一个平行四边形的底是9分米，高是底的2倍，它的面积是多少平方分米？分析与解答：平行四边形的面积=底×高，要求平行四边形的面积关键是先求出平行四边形的高，因为高是底的2倍，所以它的高为9×2=18（分米），故它的面积是9×18=162（平方分米）。

例2、一个平行四边形的停车场，底是63米，高是25米。

平均每辆车占地15平方米，这个停车场可以停车多少辆？分析与解答：这是一道关于平行四边形面积的应用问题。

要求这个停车场可以停车多少辆，由于平均每辆车占地15平方米，首先应求出这个停车场有多少平方米，也就是求它的面积，即它的面积为63×25=1575（平方米），由于由于平均每辆车占地15平方米，因此这个停车场可以停车1575÷15=105（辆）。

平面图形的面积问题在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思维能力，比如抽象思维，推理等等。

难度自不必说，思维的层次也大为不同。

甚至一些证明，必须用演绎推理来完成，比如“两直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，这个命题就需要演绎推理思维，学生必须要在自己的心中构建直观图形，难度加大了。

如“三角形的内角和等于180°”这个定理，在小学教材中是由实验得出的，学生较熟悉。

因此，在教学中既让学生通过实验得出结论，又要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。

求几何图形面积常见方法及运用：【解题技巧】常见模型例1．（2022春·六年级统考期末）下图中阴影部分的面积是( )平方厘米。

【答案】8平方厘米【分析】观察图形可知，小正方形部分阴影面积等于长方形空白处面积，如下图：阴影部分面积等于长是（2＋2）厘米，宽是2厘米长方形面积；根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。

【详解】（2＋2）×2＝4×2＝8（平方厘米）【答案】4平方厘米【分析】通过观察图形可知，把阴影部分通过“旋转”或“割补”法，把阴影部分拼成三角形的面积，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，求出大三角形的面积，再除以2，即可求出阴影部分的面积。

【详解】如图：4×4÷2÷2＝16÷2÷2＝8÷2＝4（平方厘米）变式1．（2023秋·北京西城·五年级统考期末）将等腰三角形ABC沿虚线对折，折下来的部分恰好拼成了一个长方形（如图）。

已知三角形ABC的底是6cm，高是4cm，图中涂色部分的面积是（）cm2。

A．24 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】如图：观察图形可知，三角形ABC左右两边的涂色小三角形完全一样，把左边的涂色小三角形平移至右边，与右边涂色小三角形组合成一个与①一样大的三角形；这样三角形ABC平均分成4份，涂色部分占其中的一份；根据三角形的面积＝底×高÷2，求出三角形ABC的面积，再除以4即是涂色部分的面积。

第一讲 平面图形面积知识平台：1．常见的几种规则图形（1）三角形定义：由三条线段首尾直接围成的图形叫做三角形。

锐角三角形（三个角都是锐角） 三角形直角三角形（有一个角是直角）（按角分） 钝角三角形（有一个角是钝角）不等边（腰）三角形三角形 只有两条边相等的三角形（按边分） 等腰三角形等边三角形直角梯形梯形 等腰梯形长方形四边形 平行四边形 菱形2．面积计算公式（1）三角形（2）四边形范例点击例1 已知大正方形的边长是5厘米，小正方形的边长是3厘米，求阴影部分面积。

阴影部分的面积为两个正方形面积之和减去两个空白三角形的面积。

52+32-52÷2-（5+3）×3÷2=9。

5平方厘米例2 如图，已知BCEF 是平行四边形，三角形ABC 是直角三角形，BC 长8厘米，AC 长7厘米，阴影部分面积比三角形ADH 面积大12平方厘米，求HC 的长度是多少？阴影部分面积比三角形ADH 面积大12平方厘米，则平行四边形面积比三角形ABC 的面积大12平方厘米。

求出平行四边形面积后就可求出平行四边形的高。

8×7÷2+12=40平方厘米 40÷8=5厘米。

例3 如图，已知阴影部分的面积为120平方厘米，P 、M 分别是AB 、BC 的中点，长方形宽是16厘米，求长方形的长是多少？若以三角形BPM 的面积为一个单位，三角形ADP 和三角形CDM 的面积均为三角形BPM 的2倍，而长方形面积是三角形BPM 的8倍，那么阴影部分面积是三角形BPM 的3倍，A B C D E FH所以，长方形面积为：120÷3×8=320平方厘米，可求出长方形的长：320÷16=20厘米。

例4 如图，长方形ABCD 中，BC=15厘米，CD=8厘米，三角形AFB 的面积比三角形DEF 的面积大30平方厘米，求DE 的长是多少厘米？三角形ABF 的面积比三角形BCE 的面积大30平方厘米，则有长方形ABCD 的面积比三角形BCE 的面积大30平方厘米。

06·图形中面积与边长的关系【知识要点】平面图形所围成的平面的大小叫做平面图形的面积，常见的几种规则图形的面积计算公式有： 1.三角形面积公式：S=21ah ，其中h 表示三角形一条边a 上的高。

2.正方形：S=a23.长方形：S=ab4.平行四边形：S=ah5.梯形：S=21（a+b ）h一般的平面图形是不规则的，但多数是由上述这些基本图形拼合组成的，因而这些平面图形的计算方法，是先将这些不规则的图形进行分割、拼补，并转化成规则图形的和、差关系，再由这些规则图形面积及其和差关系来求出这些不规则图形的面积。

【典型例题】【1】下图长方形，长18厘米、宽12厘米，AE 、AF 两条线段把长方形面积三等分，求△AEF 的面积。

分析：根据已知条件，结合图形，△AEF 的面积显然没有办法直接利用三角形的面积计算公式底×高÷2求得，只能采用间接的办法，从整体中减去部分的面积即可。

解：长方形的面积：18×12=216（平方厘米）；△ABE 、△ADF 、四边形AECF 的面积：216÷3=72（平方厘米）； BE 的长：72×2÷12=12（厘米）； DF 的长：72×2÷18=8（厘米）；EC 、FC 的长分别是：18-12=6（厘米），12-8=4（厘米）； △EFC 的面积：6×4÷2=12（平方厘米）； △AEF 的面积：72-12=60（平方厘米）。

答：△AEF 的面积是60平方厘米。

【2】下图长方形ABCD 的面积是16平方厘米，E 、F 都是所在边的中点，那么阴影部分△AEF 的面积是多少平方厘米？【3】已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形比小正方形的面积大40平方厘米。

求小、大正方形的面积各是多少平方厘米？分析：如图所示，大正方形比小正方形多的部分，可以分成两个相等的长方形A、B和一个边长为2的正方形，由此可以求得长方形A、B的长，即小正方形的边长，进而求出两个正方形的面积。

小学面积知识点总结一、初步认识面积1. 什么是面积？面积是一个平面内所围成的空间大小的概念。

通常用来表示一个平面图形所占据的空间大小。

2. 面积的计算方法对于矩形和正方形，可以使用公式：面积=长×宽来计算。

对于三角形，可以使用公式：面积=底边×高÷2来计算。

对于圆形，可以使用公式：面积=π半径²来计算。

对于其他不规则图形，可以通过将其分成几个规则的图形，然后分别计算其面积再加起来得到其总面积。

3. 面积的单位面积的常见单位包括平方厘米（cm²）、平方米（m²）和平方千米（km²）等。

4. 面积的运算可以利用面积的计算公式进行面积的计算。

对于不规则图形，需要将其分解成规则图形进行计算。

二、矩形和正方形的面积1. 矩形和正方形的特点矩形和正方形是规则的四边形，其中矩形的对角线不相等，而正方形的对角线相等，因此其特点也略有不同。

2. 矩形和正方形的面积计算公式矩形的面积计算公式为：面积=长×宽正方形的面积计算公式为：面积=边长×边长3. 矩形和正方形的面积计算实例例如，一个矩形的长为6厘米，宽为4厘米，则其面积为6×4=24平方厘米。

一个正方形的边长为5厘米，则其面积为5×5=25平方厘米。

4. 计算练习通过练习，学生可以掌握矩形和正方形面积的计算方法，并且巩固对平方厘米、平方米和平方千米等面积单位的认识。

三、三角形的面积1. 三角形的特点三角形是一种三边形状的图形，其面积计算相对矩形和正方形稍微复杂一些。

2. 三角形的面积计算公式三角形的面积计算公式为：面积=底边×高÷23. 三角形的面积计算实例例如，一个三角形的底边为8厘米，高为6厘米，则其面积为8×6÷2=24平方厘米。

4. 计算练习通过练习，学生可以掌握三角形面积的计算方法，同时锻炼其对面积单位的换算能力。