定积分的应用平面图形面积

面积元素 dA ? 1[? (? )]2d?
o
? ?? ?
x
2
? 曲边扇形的面积 A ? ? 1[? (? )]2 d? . ?2
例 4 求双纽线 ? 2 ? a 2 cos 2? 所围平面图形
的面积 .
解 由对称性知总面积 =4倍第
一象限部分面积
y? x
A ? 4 A1
? A ?
4
? 4
1 a2 cos 2?d?
两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小 .
解: 设抛物线上切点为
则该点处的切线方程为
B
M
它与 x , y 轴的交点分别为
A
所指面积
得[ 0 , 上1]的唯一驻点 且为最小点 . 故所求切线为
B M
A
如果曲边梯形的曲边为参数方程
? ? ?
x y
? ?
? ?
(t) (t)
? 曲边梯形的面积 A ? ?t2 (t )? ?(t )dt. t1
成的图形的面积 .
解 两曲线的交点
? y2 ? 2x ? ?y? x?4
? (2,? 2), (8,4).
选 y 为积分变量 y ? [ ? 2, 4]
y? x?4
y2 ? 2x
dA ? ?? y ? 4 ? y2 ??dy
?
2?
4
? A ? dA ? 18. ?2
练习:求抛物线
在(0,1) 内的一条切线 , 使它与
3、 r ? 2a ( 2 ? cos? ) ； 4、摆线 x ? a(t ? sin t ) , y ? a(1 ? cos t)(0 ? t ? 2? ) 及
x 轴； 5、r ? 3 cos ? 及r ? 1 ? cos? 的公共部分； 6、笛卡尔叶形线 x 3 ? y 3 ? 3axy .
思考题
设曲线 y ? f ( x ) 过原点及点(2,3) ，且 f ( x )
为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任 取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线
与 x 轴和曲线 y ? f ( x ) 围成的面积是另一条平 行线与 y 轴和曲线 y ? f ( x ) 围成的面积的两
倍，求曲线方程.
图形的面积.
解 两曲线的交点
(0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x ? [0,1]
x ? y2 y ? x2
面积元素 dA ? ( x ? x 2 )dx
1
A ?Hale Waihona Puke Baidu?0 (
x
?
x 2 )dx
?
?2 3 ??3 x 2
?
x
3
1
?
3 ??0 ?
1. 3
例 2 计算由曲线 y2 ? 2 x 和直线 y ? x ? 4所围
思考题解答
S2 ? 2S1
y
y ? f (x)
S1 (x, y)
?S2
?
x
?0
f
( x )dx
S2
o
x
x
S1 ? xy ? S 2 ? xy ? ?0 f ( x )dx
?
x
?0
f
( x )dx
?
2[
xy
?
x
?0
f ( x)dx]
x
? ? 3 f ( x )dx ? 2xy, 两边同时对 x 求导 0
一、直角坐标系情形
y y ? f (x)
y
y ? f2(x)
o a x x ? ? xb x 曲边梯形的面积
b
A ? ?a f ( x )dx
oa
y ? f1(x)
x? x b x
曲边梯形的面积
A ? ?ab[ f 2( x ) ? f1( x )]dx
例 1 计算由两条抛物线 y2 ? x 和 y ? x 2 所围成的
3 f (x) ? 2 y ? 2xy? ? 2xy?? y
积分得 y2 ? cx,
因为曲线 y ? f ( x )过点(2,3) ? c ? 9
2
? y2 ? 9 x, 2
因为 f ( x )为单调函数
所以所求曲线为 y ? 3 2 x . 2
练习题
一、 填空题： 1、由曲线 y ? e x , y ? e及 y 轴所围成平面区域的面积 是______________ . 2、由曲线 y ? 3 ? x 2 及直线 y ? 2 x 所围成平面区域的 面积是 _____ . 3、由 曲 线 y ? x 1 ? x 2 , y ? 1 , x ? ? 1 , x ? 1 所 围 成平面区域的面积是 _______ . 4、计算 y 2 ? 2x 与 y ? x ? 4所围的区域面积时，选用 ____作变量较为简捷 . 5、由曲线 y ? e x , y ? e ? x 与直线x ? 1 所围成平面区 域的面积是_________ .
?
a2.
02
A1
? 2 ? a2 cos 2?
例 5 求心形线 r ? a(1 ? cos? )所围平面图形
的面积(a ? 0).
解 dA ? 1 a2(1 ? cos? )2 d?
d?
2
利用对称性知
? A ? 2 ?1 a2 ? (1 ? cos? )2 d? 20
? ? a2
?
(1 ? 2cos? ? cos2 ? )d?
6 曲线 y ? x 2 与它两条相互垂直的切线所围成平面图 形的面积S ，其中一条切线与曲线相切于点 A( a , a 2 )，a ? 0，则当a ? __时，面积S 最小 .
二、求由下列各曲线所围成的图形的面积： 1、 y ? 1 与直线 y ? x 及 x ? 2 ； x 2、 y ? x 2 与直线 y ? x 及 y ? 2 x ；
a
0
A?
4?0
ydx
?
?4 b sin td (a cos t) ?
2
?
? ? 4ab 2 sin 2 tdt ? ? ab. 0
二、极坐标系情形
? ? d?
设由曲线r ? ? (? )及射线 ? ? ? 、? ? ? 围成一曲边扇 形，求其面积．这里，? (? )
???
r ? ? (? )
d?
在[? , ? ]上连续，且? (? ) ? 0 ．
0
?
a2
?3 ??2
?
?
2 sin ?
?
1 4
sin
2?
?? ?? 0
?
3 ?a2. 2
三、小结
求在直角坐标系下、参数方程形式 下、极坐标系下平面图形的面积.
（注意恰当的 选择积分变量 有助于简化 积分运算）
直角坐标方 边界方程 参 程数方程
极坐标方程
b
A ? ?a f1(x) ? f2 (x) dx
（其中t1和t2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[t1,t2 ]（或[t2 ,t1 ]）上x ? ? (t ) 具有连续导数， y ? ? (t )连续.
例3
求椭圆 x 2 a2
?
y2 b2
?
1的面积.
解
椭圆的参数方程
?x ?
? ?
y
?
a cos t bsin t
由对称性知总面积等于 4倍第一象限部分面积．