最新4-1：和圆有关的比例线段-教案

和圆有关的比例线段(三)数学教案
主题：和圆有关的比例线段（三）
一、教学目标：
1. 让学生理解和掌握与圆相关的比例线段的概念和性质。

2. 提高学生的空间想象力和逻辑思维能力。

3. 培养学生解决实际问题的能力。

二、教学重点和难点：
重点：理解和掌握与圆相关的比例线段的概念和性质。

难点：如何运用这些概念和性质解决实际问题。

三、教学过程：
1. 导入新课：
可以通过回顾之前学过的关于圆的知识，引入新的课题——与圆相关的比例线段。

2. 新课讲解：
(1) 概念介绍：解释什么是与圆相关的比例线段，包括相交弦定理、切割线定理等。

(2) 性质讲解：详细解释每个性质的内容及其应用场合。

(3) 例题解析：通过具体的例子，让学生更好地理解这些概念和性质。

3. 实践操作：
设计一些练习题，让学生自己动手做，然后集体讨论，老师再进行点评和总结。

4. 小结：
回顾本节课的主要内容，强调重要的知识点。

5. 作业布置：
设计一些相关的习题，让学生在课后完成。

四、教学方法：
采用讲解、示范、练习、讨论等多种教学方式，注重理论联系实际，引导学生主动参与，提高他们的学习兴趣和效果。

五、教学评价：
通过课堂观察、提问、讨论、作业等方式，对学生的学习情况进行全面的评价。

人教版高中选修4-1五与圆有关的比例线段课程设计一、教学目标1.知识目标1.理解比例线段的概念2.掌握五与圆有关的比例线段的相关定理3.能够应用相关定理解决实际问题2.能力目标1.培养学生分析问题、解决问题的能力2.培养学生的推理和证明能力3.提高学生解决实际问题的能力3.情感态度目标1.培养学生的好奇心和求知欲2.提高学生的自学能力和团队合作意识3.培养学生的责任感和集体荣誉感二、教学重点1.五与圆有关的比例线段的概念和相关定理2.如何运用相关定理解决实际问题三、教学难点1.如何运用五与圆有关的比例线段解决实际问题2.理解相关定理的严密推导四、教学内容1.五与圆有关的比例线段1.径截圆上的定理2.弦截圆定理2.例题分析以下为一些例题的分析：例题1如图，直线EF与圆O相交于点A和点B，C为圆O上一点，AC、BC相交于点D，C点下方DE平行EF，且DE=5cm，EF=12cm，求AD:DB。

例题1解题思路：根据圆的弦截线定理，有：$AD \\times BD = CD \\times ED$又因为C点下方DE平行EF，所以有$AD:DB = \\frac{CE}{CB}$根据正弦定理，有$\\frac{CE}{CB} = \\frac{\\sin \\angle CAB}{\\sin \\angle ABC}$因为圆心角是圆周角的一半，所以有$\\angle CAB = \\frac{1}{2} \\angle AOB$,$\\angle ABC = \\frac{1}{2} \\angle AEB$代入以上公式，得到$AD:DB = \\frac{ED}{CD} \\times \\frac{\\sin \\angle AOB}{\\sin\\angle AEB}$代入数据计算得到AD:DB ≈ 2:1。

五、教学方法1.讲解法：对五与圆有关的比例线段的概念和相关定理进行讲解，逐个例题进行分析和讲解。

数学教案－和圆有关的比例线段1. 简介本教案主要围绕着和圆有关的比例线段展开，通过引入相关概念并辅以例题和练习，帮助学生掌握解决与圆相关的比例线段问题的方法和技巧。

2. 目标与要求本教案的目标是使学生能够通过本节课程掌握以下能力： * 理解比例线段的定义和性质； * 掌握解决与圆有关的比例线段问题的方法； * 能够应用所学知识解决实际问题。

3. 知识点讲解3.1 比例线段在开始讲解和圆有关的比例线段之前，我们先回顾一下比例线段的概念。

比例线段是指当两个线段之间的比例关系保持不变时，这两个线段称为比例线段。

3.2 圆的性质和相关公式在学习和圆有关的比例线段之前，我们需要了解一些和圆相关的性质和公式，这些内容将会在本课程中用到。

圆的性质： * 圆是一个平面上的封闭曲线，由距离等于半径的所有点组成； * 圆上的任意两点与圆心的距离相等； * 圆的直径是通过圆心的一条直线，并且它的长度是半径的两倍； * 圆的周长公式：$C = 2\\pi r$； * 圆的面积公式：$S = \\pi r^2$。

3.3 求解和圆有关的比例线段问题的方法接下来，我们将学习如何求解和圆有关的比例线段问题。

下面是一般的解题步骤： 1. 确定问题中涉及的线段和圆的关系； 2. 根据已知条件，列出方程或比例关系； 3. 解方程或比例关系，求出所需的线段长度。

4. 例题分析4.1 例题一问题描述：在一个圆中，已知线段AB的长度为8，CD为12，且AB和CD 是比例线段。

求圆的半径。

解题步骤： 1. 将已知条件写出：AB / CD = 8 / 12 2. 根据圆的性质，得到AB = 2r和CD = 2r，其中r为圆的半径。

3. 代入已知条件，得到2r / 2r = 8 / 12，化简得到r = 6。

4. 因此，圆的半径为6。

4.2 例题二问题描述：已知在一个圆中，线段EF的长度为10，EF与圆的切点距离圆心的距离为6。

求圆的半径。

第四讲 与圆有关的比例线段教学目标知识与技能：证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。

过程与方法：先猜后证，猜想的获得应用了“从特殊到一般”的思想方法。

情感态度价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。

教学难点相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。

课 时 3课时一．基础知识回顾1、如图15-44，点P 为弦AB 上一点，连结OP ，过点P 作PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ，若AP = 4，PB = 2，则PC 的长是（ ）．A ．2B ．2C ．22D ．3 答案:C .2、如图15-45，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，PC=3，PB=1， 则⊙O 的半径为（ ）．A ．25B ．3C ．4D ．29答案:C.3、如图15-46，PA 与圆切于点A ，割线PBC 交圆于点B 、C ，若PA=6，PB=4，AB 的度数为60︒，则BC= ，∠PCA= ︒，∠PAB= ︒． 答案:5,30,30.4、如图15-47，两个同心圆间的圆环的面积为16π，过小圆上任一点P 作大圆的弦AB ，则PA ·PB= ． 答案:16.二．典型例题讲解例1．如图15-48，已知⊙O 的半径为9cm ，OP=7cm ，弦AB 过P 点，且PA=2PB ，求AB ． 分析：这个图形比较容易联想到相交弦定理的基本图形，因此可以将线段OP 向两边延长．解：作过P 点的直径CD ，则PC=9－7=2cm ，PD=9＋7=16cm ． 根据相交弦定理得：PA ·PB=PC ·PD ． ∵PA=2PB ， ∴2PB 2=2×16． 解得：PB= 4cm ． ∴AB=PA ＋PB=8＋4=12cm ．评析：若设本题中⊙O 的半径为R ，则PC=R －OP ，PD=R ＋OP ， 那么PA ·PB=PC ·PD=（R －OP ）（R ＋OP ），即PA ·PB=R 2－OP 2.事实上，若⊙O 的半径为R ，如图所示，定点P 到圆心的距离为d ，过点P 的直线与⊙相交于A 、B 两点，则PA ·PB 是一个定值，这个定值为∣R 2-d 2∣.例2．如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2=EF ·EC . （1） 求证：∠P=∠EDF ；（2） 求证：CE ·EB=EF ·EP ；（3） 若CE : BE=3 : 2，DE=6，EF= 4，求PA 的长.分析：由CD∥AP 得∠C=∠ P ，因此要证明∠P=∠EDF ，只要证明BAP OOPBAO P · CBA图15-44ABPC· 图15-45O BCAP图15-46B图15-47P AP · BAO CD图15-48·PEOD CBAF 图15-49∠EDF=∠C ，问题进一步可以转化为证明ΔDEF ∽ΔCED ． 证明：（1）∵DE 2=EF ·EC ， ∴DE : CE=EF : ED ． ∵∠DEF 是公共角，∴ΔDEF ∽ΔCED ． ∴∠EDF=∠C ． ∵CD ∥AP ， ∴∠C=∠ P ． ∴∠P=∠EDF ．（2）∵∠P=∠EDF ， ∠DEF=∠PEA ，∴ΔDEF ∽ΔPEA ． ∴DE : PE=EF : EA ．即EF ·EP=DE ·EA ．∵弦AD 、BC 相交于点E ，∴DE ·EA=CE ·EB ． ∴CE ·EB=EF ·EP ．（3）解：∵DE 2=EF ·EC ，DE=6，EF= 4， ∴EC=9． ∵CE : BE=3 : 2， ∴BE=6．∵CE ·EB=EF ·EP ，∴9×6=4×EP ．解得：EP=227． ∴PB=PE －BE=215， PC=PE ＋EC=245． 由切割线定理得：PA 2=PB ·PC ， ∴PA 2=215×245． ∴PA=3215．评析：本题中DE 2=EF ·EC 这一条件是解决问题的突破口.当要证明成比例的线段在同一直线上时，往往寻找过渡乘积式来解决问题.应用相交弦定理、切割线定理及推论的证明题的解决方法较多，常见的有：（1）找过渡乘积式证明等积式成立；（2）为三角形相似提供对应边成比例的条件；（3）利用等积式来证明有关线段相等.例3．已知：⊙O 1与⊙O 2相交于点A 、B ，AC 切⊙O 2于点A ，交⊙O 1于点C .直线EF 过点B ，交⊙O 1于点E ，交⊙O 2于点F ．（1）设直线EF 交线段AC 于点D （如图15-50（1））．①若ED=12，BD=25，BF=11，求DA 和DC 的长； ②求证：AD ·DE=CD ·DF ．（2）当直线EF 绕点B 旋转交线段AC 的延长线于点D 时（如图15-50（2）），试问AD ·DE=CD ·DF 是否仍然成立？证明你的结论．分析：根据条件DA 与⊙O 2相切，因此可以先通过切割线定理求出线段DA 的长，再根据相交弦定理求出线段DC 的长．解：（1）①在⊙O 2中，DA 切⊙O 2于A ，DBF 交⊙O 2于B 、F ． ∴DA 2=DB ·DF=25×（25＋11）， ∴AD=30． 在⊙O 1中，弦AC 、BD 交于D ， ∴DE ·DB=AD ·CD ．∴12×25=30×CD ． 解得CD=10． （2）证明：方法一：连结AB 、AF 、EC ．∵DA 和⊙O 2切于点A ， ∴∠DAB=∠F ． ∵∠E=∠DAB ， ∴∠E=∠F ． ∴EC ∥AF ． ∴DE ∶DF=DC ∶DA ． ∴AD ·DE=DF ·DC ．方法二：根据圆的切割线定理和相交弦定理得：AD 2=DB ·DF ，AD ·DC=DB ·DE ． ∴AD ∶DB=DF ∶AD ，AD ∶DB=DE ∶DC ． ∴DF ∶AD=DE ∶DC ． ∴AD ·DE=DF ·DC ． （2）仍然成立.证明：方法一：连结AB 、AF 、EC ．∵ACEB 是⊙O 1的内接四边形， ∴∠DEC=∠CAB ． ∵DA 是⊙O 2的切线， ∴∠CAB=∠F ．D· O 2O 1 FE CBA· 图15-50（1）·O 2AB FDE C·O 1 图15-50（2）∴CE ∥AF ， ∴DC ∶DA=DE ∶DF ． 即： AD ·DE=DF ·DC ． 方法二：根据圆的切割线定理及其推论得：DA 2=DB ·DF ，DC ·DA=DE ·DB ， ∴AD ∶DB=DF ∶AD ，AD ∶DB=DE ∶DC ． ∴DF ∶AD=DE ∶DC ． ∴AD ·DE=DF ·DC ．评析：这是一道关于相交两圆的问题，既可以通过连结两圆的公共弦，得到角的等量关系，利用平行线的性质解题，也可以将圆的相交弦定理和切割线定理有机的结合在一起，通过等比代换证明.第（2）题的图形位置虽然发生了变化，但是使原结论成立的条件没有变化，因此结论仍然成立．三．精选试题演练1、⊙O 中，弦AB 平分弦CD 于点E ，若CD=16，AE ∶BE=3∶1，则AB= ． 答案:3332；. 2、AB 是⊙O 的直径，OA=2.5，C 是圆上一点，CD ⊥AB ，垂足为D ，且CD=2， 则AC= ．答案: 5或25.3、如图15-51，PAB 是⊙O 的割线，AB=4，AP=5，⊙O 的半径为6，则PO= ． 答案: 9.4、如图15-52，AEB 、ADC 是⊙O 的割线，AT 切⊙OY 于T ，若AD=4，DE=2，AE=3，AT=6，则DC= ，BC= ． 答案: 5，6.5、半径为5的⊙O 内有一点A ，OA=2，过点A 的弦CD 被A 分成两部分，则A C·CD= ． 答案: 21.6、如图15-53，PC 切⊙O 于C ，割线PAB 过圆心O ，∠ACP=30°，⊙O 的半径为4，则∠P= °，PC= ． 答案: 30，43.7、如图15-54，过⊙O 的直径BA 延长线上一点P 作PM 切⊙O 于M ，PM=OM ，则PA ∶PB= ． 答案:（12-）∶（12+）.8、如图15-55，⊙O 的弦CD 与直径AB 垂直，垂足为P ，过B 点的直线交⊙O 于M ，交CD 的延长线于F ，AM 交PD 于E ，且PC=6，PE=4，求EF ．提示：证ΔEFM ∽ΔEAP ，可得E F·EP=EM·EA，利用EM·EA=EC·ED 得EF=5；9、如图15-56，已知PC 切⊙O 于C ，M 为PC 中点，割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，连结BM 交⊙O 于D ，求证：∠MPD=∠PBM ．提示：证ΔMPD ∽ΔMBP ；10、如图15-57，PC 是ΔABC 外接圆的切线，C 是切点，PBD 是割线，PE ∥AB ，与AC 、BC 分别交于E 、F ，求证：P E·PF=PB·PD． 提示：证ΔPCF ∽ΔPEC ；ABPO图15-51O图15-52DATBEC· OA BP图15-53· CMOABP 图15-54 O AB P图15-55C· FED M O ABP图15-56C·M D图15-57 ABPCE DF11、如图15-58，已知PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过O 的割线，PA=10，PB=5，∠BAC 的平分线BC 和⊙O 分别交于点D 、E ，求（1）⊙O 的半径；（2）sin ∠BAP 的值；（3）AD·AE 的值．答案:（1）7.5；（2）55；（3）连结CE ，证ΔADB ∽ΔACE ，A D·AE=90；12、已知，如图15-59，⊙O 1和⊙O 2内切于点T ，⊙O 2的弦CD 切⊙O 1于点E ，连结TC 、TD 分别交⊙O 1于点A 、B ，TE 的延长线交⊙O 2与F ，连结AB 、FD ． 求证：（1）AB ∥CD ； （2）∠CTF=∠DTF ； （3）DF 2－EF 2= CE ·DE ． 提示：（1）过T 作两圆的公切线MN .∵MN 是两圆的公切线，∴∠MTC=∠ABT ，∠MTC=∠CDT ． ∴∠ABT=∠CDT ，∴AB ∥CD（2）连结BE ．∵CD 切⊙O 1于E ， ∴∠DEB=∠DTE ．∵AB ∥CD ， ∴∠DEB=∠ABE ． ∵∠ABE=∠ATE ，∴∠ATE=∠DTE ． 即：∠CTF=∠DTF ． （3）∵TF 、CD 是⊙O 2的两条相交弦，∴CE ·DE=EF ·TE=EF ·（TF －EF ）=EF ·TF －EF 2． ∵∠FDE=∠CTF=∠DTF ，∠F 是公共角，∴ΔFDE ∽ΔFTD ． ∴EF ∶DF=DF ∶TF ． ∴DF 2=EF ·TF ．∴CE ·DE=DF 2－EF 2． 即DF 2－EF 2= CE ·DE ．13、已知：如图15-60，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，O 1在⊙O 2上，⊙O 2的弦BC 切⊙O 1于B ，延长BO 1、CA 交于点P ，PB 与⊙O 1交于点D ． （1）求证：AC 是⊙O 1的切线； （2）连结AD 、O 1C .求证：AD ∥O 1C ；（3）如果PD=1，⊙O 1的半径为2，求BC 的长．提示：（1）连结O 1A ，证∠O 1AC=90°；（2）连结AB ，利用弦切角证明∠PDA=∠ABD=∠ACO 1；（3）利用切割线定理和切线长定理及AD 与O 1C 的平行关系可求得BC=25．四．教学反思1、和圆有关的比例线段指的是相交弦定理及推论、切割线定理及推论.它们的基本图形、条件及结论如下：条件：弦AB 和CD 交于⊙O 内一点P 条件：CD 是弦，AB 是直径，CD ⊥AB 于P 结论：PA ·PB = PC ·PD 结论：PC 2= PA ·PB条件：PT 切⊙O 于T ，PA 是割线， 条件：PA 、PC 是⊙O 的两条割线，分别交交⊙O 于A 、B ⊙O 于B 、DA图15-58BPCE DO · E O 2 O 1 · · TCA BFD 图15-59· O 2O 1图15-60AP DB CP· O CA BD P A·BDC O T· BAOP· PBAODC结论：PT 2= PA ·PB 结论：PA ·PB = PC ·PD2、相交弦定理、切割线定理及它们的推论和前面的切线长定理一样，揭示了和圆有关的一 些线段间的数量关系，这些定理的证明及应用又常常和相似三角形联系在一起，因此在解题 中要善于观察图形，对复杂的图形进行分解，找出基本图形和结论，从而准确地解决问题. 另外在和圆有关的比例线段的计算问题中，要注意方程的思想的运用.3、若⊙O 的半径为R ，如图所示，定点P 到圆心的距离为d ，过点P 的直线与⊙相交于A 、 B 两点，则PA ·PB 是一个定值，这个定值为∣R 2-d 2∣.4、在与圆和圆的位置关系相关的一些问题中，常常需要探求线段相等或倍分或成比例、角 相等或倍分，其实质与探求一个圆中的对应问题基本类似，只不过在两个圆中，需要仔细观 察图形，注意某些线段或角是两个圆的公共元素，解决问题时又常常通过这些公共元素将其 他元素联系在一起.另外要注意分类讨论这一思想方法的应用.BAP OOPBA。