第四章 相似图形 §4.1 线段的比教学目标（一）教学知识1.知道线段比的概念.2.会计算两条线段的比. （二）能力训练要求 会求两条线段的比.（三）情感与价值观要求 通过有关比例尺的计算，让学生懂得数学在现实生活中的作用，从而增强学生学习数学的信心. 教学重点会求两条线段的比. 教学难点会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一. 教学过程一、创设问题情境，引入新课大家见到过形状相同的图形吗？请举出例子来说明. 同一底片洗印出来的大小不同的照片； 两个大小不同的正方形，等等. 二、新课讲解1.两条线段的比的概念先回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？ 由比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？ 两条线段的比就是两条线段长度的比. 比如：线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，所以两线段a,b 的比为3∶6=1∶2,对吗？那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应注意什么问题呢？如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比（ratio ）AB ∶CD=m ∶n ，或写成CD AB =nm，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项.如果把nm表示成比值k ，则CD AB =k 或AB=k ·CD.注意：在量线段时要选用同一个长度单位.2.做一做量出数学书的长和宽（精确到0.1 cm ）,并求出长和宽的比. 长为21.1 cm,宽为14.8 cm,长和宽的比为21.1∶14.8=211∶148 如把单位改成mm 和m,比值还相同吗？改为mm 作单位，则长为211 mm ，宽为148 mm ，比值为211∶148改用m 作单位，则长为0.211 m ，宽为0.148 m,长与宽的比为0.211∶0.148=211∶148 从刚才的单位变换到计算比值，大家能得到什么吗？只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，它们的比值不变.3.求两条线段的比时要注意的问题 大家能说出几点？试一试.（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数. 4.例题在某市城区地图（比例尺1∶9000）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16 cm 、10 cm.（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 解：（1）根据题意，得 90001=新安大街的实际长谎新安大街的图上长度 90001=光华大街的实际长度光华大街的图上长度 因此，新安大街的实际长度是 16×9000=144000（cm ）, 144000 cm=1440 m; 光华大街的实际长度是 10×9000=90000（cm ） 90000 cm=900 m.（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是16∶10=8∶5新安大街的实际长度与光华大街的实际长度之比是144000∶90000=8∶5 由例2的结果可以发现：光华大街的图上长度新安大街的图上长度光华大街的实际长度新安大街的实际长度=三、随堂练习1.在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm ×2 cm ，矩形运动场的实际尺寸是多少？解：根据题意，得矩形运动场的图上长度∶矩形运动场的实际长度=1∶8000 因此，矩形运动场的长是2×8000=16000（cm ）=160（m ）矩形运动场的宽是1×8000=8000（cm ）=80（m ）所以，矩形运动场的实际尺寸是长为160 m,宽为80 m. 四.课时小结1.相似图形→两条线段的比.2.两条线段的比定义：两条线段的长度之比表示法：线段a 、b 的长度分别为m 、n,则a ∶b=m ∶n.求法：先用同一长度单位量出线段的长度，再求出它们的比. 注意点：（1）两线段的比值总是正数. （2）讨论线段的比时，不指明长度单位.（3）对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示.比例尺：图上长度与实际长度的比.五.课后作业：习题4.1六.活动与探究为了参加北京市申办2008年奥运会的活动，如果有两边长分别为1，a（其中a＞1）的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有剩余），使每条彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，画出两种不同裁剪方法的示意图，并写出相应的a的值.解：方案（1）：∵长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，∴1311aa=解得：a=3方案（2）：由（*）得axa112111-==∴x=a1,a=2方案（3）：由（*）得211ya=∴y=a21且11za=∴z=a1由aa211+=a 得a=621方案（4）：由（*）得anaba11111-==maaa11-=∴b=a1n=1－21am=a2－1∵m+n=1 ∴1－21a+a 2－1=1 ∴a=2522+（负值舍去） §4.1.2 线段的比（二）教学目标（一）知识认知要求 1.知道比例线段的概念.2.熟记比例的基本性质，并能进行证明和运用. （二）能力训练要求1.通过变化的鱼来推导成比例线段，发展学生的逻辑推理能力.2.通过例题的学习，培养学生的灵活运用能力. （三）情感与价值观要求认识变化的鱼，建立初步的空间观念，发展形象思维；并通过有趣的图形，培养学生学习数学的兴趣. 教学重点比例的基本性质及运用. 教学难点比例的基本性质及运用. 教学过程一、创设问题情境，引入新课小学里已学过了比例的有关知识，那么，什么是比例？怎样表示比例？说出比例中各部分的名称，比例的基本性质是什么？表示两个比相等的式子叫比例.如果a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，那么dc b a =或a ∶b=c ∶d,这时组成比例的四个数a,b,c,d 叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a 、d 为外项，c 、b 为内项.比例的基本性质为：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积.用式子表示就是：如果dcb a =（b,d 都不为0），那么ad=bc. 二、新课讲解1.成比例线段的定义你还记得八年级上册中“变化的鱼”吗？如果将点的横坐标和纵坐标都乘以（或除以）同一个非零数，那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变化？下图（1）中的鱼是将坐标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）的点O ，A ，B ，C ，D ，B ，E ，O 用线段依次连接而成的；（2）中的鱼是将（1）中鱼上每个点的横坐标，纵坐标都乘以2得到的.（1）线段CD 与HL ，OA 与OF ，BE 与GM的长度分别是多少？（2）线段CD 与HL 的比，OA 与OF 的比，BE 与GM 的比分别是多少？它们相等吗？ （3）在图（2）中，你还能找到比相等的其他线段吗？ （1）CD=2，HL=4，OA=415422=+, OF=41281022=+ BE=52122=+, GM=524222=+ （2）2141412,2142====OF OA HL CD , 21525==GM BE . 所以，21===GM BE OF OA HL CD . （3）其他比相等的线段还有 21====GL BD GH BC FG AB OM OE . 由上面的计算结果，对照比例的概念，说出怎样的四条线段叫做成比例线段？四条线段a,b,c,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =,那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments ）.2.比例的基本性质两条线段的比实际上就是两个数的比.如果a,b,c,d 四个数满足dcb a =,那么ad=bc 吗？反过来，如果ad=bc,那么dcb a =吗？因为根据等式的基本性质，两边同时乘以bd,得ad=bc,同理可知ad=bc （a,b,c,d 都不等于0），那么dc b a =. 3.线段的比和比例线段的区别和联系线段的比是指两条线段之间的比的关系，比例线段是指四条线段间的关系. 若两条线段的比等于另两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段.线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性.如dcb a =是线段a 、b 、c 、d 成比例，而不是线段a 、c 、b 、d 成比例. 4.例题（1）如图，已知dc b a ==3,求b b a +和d dc +; （2）如果dc b a ==k （k 为常数），那么d dc b b a +=+成立吗？为什么？ 解：（1）由d cb a ==3,得a=3b,c=3d.因此，b bb b b a +=+3=4 d dd d d c +=+3=4 （2）d d c b b a +=+成立. 因为有dcb a ==k,得a=bk,c=dk.所以b b bk b b a +=+=k+1,d d dk d d c +=+=k+1. 因此：ddc b b a +=+. 5.想一想（1）如果dc b a =,那么d dc b b a -=-成立吗？为什么？ （2）如果f e d c b a ==,那么baf d b e c a =++++成立吗？为什么？ （3）如果dc b a =,那么d dc b b a ±=±成立吗？为什么. （4）如果d c b a ==…=nm（b+d+…+n ≠0）,那么b a n d b m c a =++++++ 成立吗？为什么.解：（1）如果dc b a =,那么d dc b b a -=-. ∵dc b a = ∴d cb a =-1－1∴d d c b b a -=-. （2）如果f e d c b a ==,那么baf d b e c a =++++设fe d c b a ===k ∴a=bk,c=dk,e=fk∴ba k fd b f d b k fd b fk dk bk fd be c a ==++++=++++=++++)(（3）如果dc b a =,那么d dc b b a ±=± ∵dc b a = ∴d c b a =+1+1∴dd c b b a +=+ 由（1）得ddc b b a -=- ∴dd c b b a ±=±. （4）如果d c b a ==…=n m（b+d+…+n ≠0）那么b a n d b m c a =++++++设d c b a ==…=nm =k ∴a=bk,c=dk,…,m=nk∴ba k nd b m d b k nd b nk dk bk nd b m c a ==++++++=++++++=++++++ )(.三、课堂练习1.已知dc b a ==3,求b b a -和d d c -, b b a -=d dc -成立吗？ 2.已知d c b a ==fe=2,求f d b e c a ++++（b+d+f ≠0）四、课时小结1.熟记成比例线段的定义.2.掌握比例的基本性质，并能灵活运用. 五.课后作业 习题4.2§4.2 黄金分割教学目标1.知道黄金分割的定义，会找一条线段的黄金分割点并判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.2.通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力.3.理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用. 教学重点了解黄金分割的意义，并能运用. 教学难点找黄金分割点和画黄金矩形. 教学过程一、创设问题情境，引入新课生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点C 把AB 分成两段AC 和BC ，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题. 二、讲授新课在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC 、BC 的长度，然后计算AB AC 、ACBC,它们的值相等吗？1.黄金分割的定义在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBCAB AC,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中ABAC≈0.618.黄金分割在几何作图上有很多应用，如五角星形的各边是按黄金分割划分的，其中点C 就是线段AB 的一个黄金分割点.作圆的内接正十边形也能归结为黄金分割.黄金分割也被广泛用在建筑设计、美术、音乐、艺术等方面.如在设计工艺品或日用品的宽和长时，常设计成宽与长的比近似为0.618,这样易引起美感；在拍照时，常把主要景物摄在接近于画面的黄金分割点处，会显得更加协调、悦目；舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞台的黄金分割点处，这样音响效果就比较好，而且显得自然大方，等等.黄金分割在工厂里也有着普遍的应用.如“优选法”中常用的“0.618法”就是黄金分割的一种应用.下面我们来学习如何找一条线段的黄金分割点. 2.作一条线段的黄金分割点.如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD=21AB. （2）连接AD ，在DA 上截取DE=DB.（3）在AB 上截取AC=AE.则点C 为线段AB 的黄金分割点.若点C 为线段AB 的黄金分割点，则点C 分线段AB 所成的线AC 、BC 间须满足ACBCAB AC =.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB=1.证明：∵AB=1,AC=x,BD=21AB=21 ∴AD=x+21在Rt △ABD 中，由勾股定理，得（x+21）2=12+（21）2∴x 2+x+41=1+41∴x 2=1－x ∴x 2=1·（1－x ）∴AC 2=AB ·BC 即：ACBC AB AC =即点C 是线段AB 的一个黄金分割点，在x 2=1－x 中整理，得x 2+x －1=0 ∴x=2512411±-=+±- ∵AC 为线段长，只能取正∴AC=215-≈0.618 ∴ABAC≈0.618 ∴黄金比约为0.618. 3.想一想古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple ）.把它的正面放在一个矩形ABCD 中，以矩形ABCD 的宽AD 为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇地发现，BCABBE BC =,点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.你会作了吗？三、课堂练习P100四、课时小结1.黄金分割点的定义及黄金比.2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形.3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.五.课后作业习题4.3六.活动与探究要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合适，要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在1000和2000之间，那么，可以把1000和2000看作线段的两个端点，选择AB的黄金分割点C作为第一个试验点，C点的数值可以算是1000+（2000－1000）×0.618=1618.试验的结果，如果按1618倍，水兑得过多，稀释效果不理想，可以进行第二次试验.这次的试验点应该选AC的黄金分割点D，D的位置是1000+（1618－1000）×0.618，约等于1382，如果D点还不理想，可以按黄金分割的方法继续试验下去.如果太浓，可以选DC之间的黄金分割点；如果太稀，可以选AD之间的黄金分割点，用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据.这种方法叫做“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找到最佳的数据，既节省了时间，也节约了原材料.§4.3 形状相同的图形教学目标1.在诸多图形中能找出形状相同的图形，并能画形状相同的图形.2.通过找形状相同的图形，培养学生的观察能力；通过画形状相同的图形，训练大家的动手能力.同时，同学间还要互相合作交流，锻炼了大家的合作交流能力.3.通过认识和动手画形状相同的图形，使学生掌握基本的识图、作图技能.丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维.教学重点认识和会画形状相同的图形.教学难点会画形状相同的图形.教学过程一、创设问题情境，引入新课到目前为止，我们已接触过很多图形，有规则的，也有不规则的；有形状相同的，也有形状不相同的，本节课我们就来研究形状相同的图形.二、新课讲解1.观察图形找特点（投影）请看课本103页，回答下列问题（1）如图（1）同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，人物的形状改变了吗？（2）如图（2），两个足球的形状相同吗？它们的大小呢？（3）如图（3），两个正方体物体的形状相同吗？（4）如图（4），复印前后纸上对应图形之间分别有什么关系？（1）同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，人物的形状没有改变，只是大小不同；（2）两个足球的形状相同，大小不同；（3）两个正方体物体的形状相同；（4）复印前后纸上对应图形之间形状相同，大小不同.大家从刚才看到的四对图形中，发现每一对图形中有什么特点呢？每对图形都是形状相同的图形，从上面的图形中我们大概了解了形状相同的图形的特点，下面我们通过观察，找出形状相同的图形.2.找形状相同的图形在实际生活和数学学习中，我们常常会看到许多形状相同的图形，请从下图中找出形状相同的图形.（1）与（3）；（2）与（13）；（4）与（11）；（5）与（10）；（6）、（7）、（8）、（9）分别是形状相同的图形.3.画形状相同的图形做一做：利用下面的方法可以近似地将一个图形放大：1.将2个长短相同的橡皮筋系在一起.2.选取一个图形，在图形外取一个定点.3.将系在一起的橡皮筋的一端固定在定点，把一枚铅笔固定在橡皮筋的另一端.4.拉动铅笔，使2个橡皮筋的结点沿所选图形的边缘运动，当结点在已知图形上运动一圈时，铅笔就画出了一个新的图形.这个新图形与已知图形形状相同.请看课本52页中按上述步骤画出的图形.下面请大家自己确定一个图形，然后按照上述步骤画形状相同的图形.如：三、课堂练习1.解：（1）在直角坐标系中描出点O（0，0），A（1，2），B（2，4），C（3，2），D（4，0），先用线段顺次连接点O，A，B，C，D，然后用线段连接A，C两点，得到了字母A的图形，（2）填表：（x,y）O（0,0）A（1,2）B（2,4）C（3,2）D（4,0）（2x,y）O1（0,0）A1（2,2）B1（4,4）C1（6,2）D1（8,0）分别连接O1A1，A1B1，B1C1，C1D1，A1C1得下图.得到的图形还是字母A.填写表如下：（x,y）O（0,0）A（1,2）B（2,4）C（3,2）D（4,0）（x,2y）O2（0,0）A2（1,4）B2（2,8）C2（3,4）D2（4,0）连接如下图所得图形还是字母A.（x,y）O（0,0）A（1,2）B（2,4）C（3,2）D（4,0）（2x,2y）O3（0,0）A3（2,4）B3（4,8）C3（6,4）D3（8,0）得到的图形还是字母A.（3）在上述所得图形中，第1个图形和第4个图形形状相同. 四.课后作业 习题4.4 五.课时小结本节课我们认识了形状相同的图形，并能找出形状相同的图形，还学习了如何画形状相同的图形.六.活动与探究从上题的第1图和第4图中可知. OB=52204222==+=BD AC=2O 3B 3=5454808422===+=B 3D 3A 3C 3=4∴O 3B 3=2OB A 3C 3=2AC B 3D 3=2BD由此可知：形状相同的图形中，对应线段成比例.如△ABC 与△A ′B ′C ′形状相同，其AB=2 cm,BC=4 cm,A ′B ′=4 cm ，求B ′C ′.解：因为形状相同的图形中对应线段成比例，所以C B BC B A AB ''='' 即CB ''=442 所以B ′C ′=8 cm.§4.4 相似多边形教学目标：1.使学生理解相似多边形的定义，掌握定义中的两个条件，理解相似比的意义．2.经历探究图形的形状、大小，图形的边、角之间的关系，掌握相似多边形的定义以及相似比，并能根据定义判断两个多边形是否是相似多边形．3.通过观察、推断可以获得教学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性． 教学重点：探索相似多边形的定义的过程 教学难点：找出相似三角形的对应边和对应角。
