与圆有关的比例线段

27.7与圆有关的比例线段前面，我们已经学习了和圆有关的角，现在我们通过圆内一点引圆的两条弦，他们之间又有什么关系呢？实际上，它们之间存在着数量关系．如图27.7.1，从⊙O 内一点P 引圆的两条弦AB ,CD ，我们称它们为相交弦，这时，各弦分别被P 点分成两条线段，只要联结AD ,BC ，我们马上发现这四条线段在两个△P AD 和△PBC 中，容易证得，△P AD ∽△PBC ，于是得到了PB PD PC PA =，转化成乘积式后为PD CP PB AP ⋅=⋅，便得到相交两条弦的重要性质．相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等．当圆的两条相交的弦在特殊位置时，如图27.7.2，AB 是直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点P ，则CP =PD =21CD ,这时2CP PB AP =⋅．也就是说，如果弦和直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所得两条线段的比例中项．再来讨论两条割线相交于圆外一点时的有关比例线段．如图27.7.3，⊙O 的两条割线P AB 、PCD 交于圆外一点P ，得弦AB 、CD 以及有关线段P A 、PB 、PC 、PD ．由相交弦定理，能否也有PD CP PB AP ⋅=⋅．类似于相交弦定理的推导，可得同样结论．如图27.7.4，分别联结AD 与BC ，∵∠ADC 与∠ABC 所对的弧是AC ，∴∠ADC =∠ABC ．又∵∠P =∠P ，∴△P AD ∽△PCB ．∴PBPD PC PA =．∴PD PC PB PA ⋅=⋅． 于是，得到如下定理：割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段的积相等． 如果两条割线中的一条变为切线呢？又能得到什么结论？如图27.7.5，过⊙O 外一点P 引圆的一条割线P AB 和切线PC ，得弦AB 以及有关线段P A 、PB 、PC ．它们有怎样的关系呢？如图27.7.6，分别联结AC 与BC ．∵∠ACP 与∠ABC 所对的弧是AC ，PC 切⊙O 于点C ，∴∠ACP =∠ABC ．又∵∠P =∠P ，∴△P AC ∽△PCB ∴PB PC PC PA =． ∴PB PA PC ⋅=2．于是得到以下定理：切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项． 例1 AB 为⊙0直径，点C 在⊙O 上，过点C 引直径AB 的垂线，垂足为D ，点D 分这条直径为2：3的两部分，如果⊙O 的半径等于5，求BC 的长．解 如图27.7.7，延长CD 交⊙O 于点E ，设AD =2x ，则BD =3x （或AD =3x ，BD =2x ）．∵r =5，∴AB =10．∴2x +3x =10．即x =2．∴AD =4（或AD =6）．当AD =4时，BD =6；当AD =6时，BD =4．由相交弦定理，得BD AD ED CD ⋅=⋅．∵直径AB ⊥CE ．∴CD =ED ．∴BD AD CD ⋅=2．∴6264=⨯=CD ．当BD =6时，BC =1523624=+；当BD =4时，BC =1021624=+．例 2 已知：如图27.7.8，AE ⊥BC 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，AE 、BD 相交于点F ，求证：BD BF AE AF AB ⋅+⋅=2．证明 作△BEF 的外接圆，设圆心为0，交AB 于M ．联结FM ，由切割线定理，得AB AM AE AF ⋅=⋅． ∵∠BEF =90°，∴BF 是⊙0的直径．∴∠BMF =∠BDA ．∵∠FBM =∠ABD ．∴△BMF ∽△BDA ． ∴BD BM AB BF =, 即BM AB BD BF ⋅=⋅． ∴2AB BM AB AB AM BD BF AE AF =⋅+⋅=⋅+⋅例3 已知：如图27.7.9，P 是平行四边形ABCD 的边AB 的延长线上一点，DP 与AC 、BC 分别交于点E 、F ，EG 是过B 、F 、P 三点的圆的切线，G 为切点．求证：EG =DE ．证明 ∵AD ∥BC ，∴△AED ∽△CEF ．∴DE :EF =AE :EC ． ①又∵AP ∥DC ，∴△AEP ∽△CED ．∴AE :EC =EP :DE ． ②由①、②得，DE :EF =EP :DE ；即EP EF DE ⋅=2．而EG 是过B 、F 、P 三点的圆的切线，EFP 为此圆的割线∴EP EF EG ⋅=2．∴22EG DE =．∴DE =EG练习27．7（1）1．如图，⊙0的直径AB =10，P 是OA 上一点，弦MN 过点P ，且AP =2，MP =22，求弦心距OQ ．2．已知：如图，AB 是⊙0的直径，P 是⊙0外一点，PD ⊥AB 于D ，交⊙0于E ，P A 交⊙0于C ，BC 交PD 于F ．求证：DP DF DE ⋅=2．3．已知：如图，AB 是⊙0的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，弦AQ 交CD 于点P ．如果AB =10．CD =8，求：（1）DE 的长；（2）AE 的长；（3）AQ AP ⋅的值．4．如图，A 、B 、C 、D 在同一圆上，BC =CD ，AC 、BD 交于E ．若AC =8，CD =4，且线段BE 、ED 为正整数，求BD 的长．5．如图，P AB 为过圆心O 的割线，且P A =OA =4，PCD 为⊙0的另一条割线，且PC =DC ．求：（1）PC 的长；（2）S △P AC :S △PDB ．6．已知：△ABC 是⊙0的内接三角形，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙0于E ．求证：DC BD AD AC AB ⋅+=⋅2过一点P 做与圆有关的两条直线，点P 与圆的不同位置有两种：当点P 在圆内时，这两条直线分别交圆于A 、B 和C 、D ，则PD PC PB PA ⋅=⋅，这就是相交弦定理，如图27.7.10（1）．当点P 在圆外时，分两种情况：（1）这两条直线与圆都有两个交点，分别为A 、B 与C 、D ，则PD PC PB PA ⋅=⋅称作割线定理，如图27.7.10（2）（2）当这两条直线中一条与圆有两个交点，另一条只有一个交点（切点）M 时，得到割线定理：2PM PB PA =⋅相交弦定理、切割线定理及切割线定理的推论（割线定理），我们统称为圆幂定理．圆幂定理在形式上也可以进一步统一．如图27．7．10（3），点P 在圆内时，像所做的虚线那样，联结OP ，过点P 作弦EF ⊥OP ，交圆于E 、F ，由于PE =PF ，故222-OP r PF PF PE PD PC PB PA ==⋅=⋅=⋅，其中r 为⊙0的半径．如图27．7．10（4），点P 在圆外时，联结OM 、ON 、OP ，有222r OP PM PN PM PD PC PB PA -==⋅=⋅=⋅．综上所述，圆幂定理可以统一为|-|22OP r PB PA =⋅．换言之，圆幂定理可叙述为：通过不在⊙0上一定点P 向⊙0任作一直线交⊙0于A 、B 两点，则有|-|22OP r PB PA =⋅（22-OP r 叫做点P 对于⊙0的幂）．圆幂定理揭示了园中线段的比例关系，对于涉及相交弦，切割线的有关计算，常可利用圆幂定理去求．例1 如图27.7.11，AB 是⊙0的直径，AC 是⊙0的切线，A 为切点，割线CDF 交AB 于E ，并且CD :DE :EF =1:2:1，AC =4，求⊙0的直径AB ．解 设CD =k ，则DE =2k ，EF =k ，CF =4k ，由切割线定理，有CF CD AC ⋅=2． ∴k k 442⋅=，k =2．∴CE =6，DE =4，EF =2．在Rt △ACE 中，由勾股定理， 有52462222=-=-=AC CE AE ．根据相交弦定理，得EF DE EB AE ⋅=⋅．∴2452⨯=⋅EB ，554=EB ．。

知识点、重点、难点在圆中,有相交弦定理、切割线定理及其推论,这些定理统称圆幂定理。

1.相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等。

推论：若弦与直径垂直相交,则弦的一半是它分直径所成的两部分的比例中项。

2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

推论：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等。

3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法：(1)直接应用圆幂定理； (2)找相似三角形,当证明有关线段的比例式、等积式不能直接运用基本定理时,通常是由“三点定形法”证三角形相似,其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形。

圆幂定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系,它们之间有着密切的联系,我们应当熟悉以下基本图形。

例题精讲例1：如图,已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点,过点A 作⊙1O 的切线,交⊙2O 于点C ,过点B 作两圆的割线分别交⊙1O 、⊙2O 于点D 、E ,DE 与AC 相交于点P .当AD 与⊙2O 相切,且PA = 6,PC =2,PD =12时,求AD 的长。

解 连结AB .因为CA 切⊙1O ；于点A ,所以∠1 =∠D ．又∠1=∠E ,所以∠D =∠E .又∠2=∠3,所以△APD ∽△CPE ,所以PA PDPC PE=, 即PA ·PE = PC ·PD ．因为PA =6,PC =2,PD =12,得6×PE =2×12,得PE =4.由相交弦定理得PE ·PB =PA ·PC ,所以4PB =6×2,得PB =3.所以BD = PD －PB =9,DE =DP ＋PE =12＋4=16.因为DA 切⊙2O 于点A ,所以DA 2= DB ·DE ,即AD 2=9×16,得AD ＝12.例2：如图,已知圆内接四边形ABCD ,延长AB 、DC 交于E ,延长AD 、BC 交于F ,EM 、FN 为圆的切线,分别以E 和F 为圆心、EM 和FN 为半径作弧,两弧交于K ,求证：EK ⊥FK ．证明 连结EF ,过B 、C 、E 三点作圆交EF 于H ,连结CH .因为B 、C 、H 、E 共圆,所以∠1=∠2.因为A 、B 、C 、D 共圆,所以∠1=∠3,于是∠2 =∠3,故D 、C 、H 、F 共圆．由切割线定理得EM 2=EC ·ED=EH ·EF ,FN2= FC ·FB=FH ·FE ,所以EM2＋FN 2=(EH ＋FH )·EF =EF 2．又因为EM=EK ,FN=FK ,所以EK 2＋FK 2=EF 2．故△EKF 为直角三角形,且∠EKF =90°,即EK ⊥FK .例3：如图,⊙1O 与⊙2O 相交于P 、Q 两点,在公共弦QP 延长线上取一点M ,过M 作两圆割线分别交两圆于A 、B 、C 、D . 求证：.AD BD DMAC CB CM=证明 由切割线定理得MA ·MB = MP ·MQ =MC ·MD ,所以A 、B 、D 、C 四点共圆,可得∠ADB =∠ACB .又11sin ,sin 22ADB ACB S AD BD ADB S AC BC ACB ∆∆=∠=∠,所以.ADB ACB S AD BDS AC BC∆∆=过C 作CG ⊥MB ,垂足为G ,过D 作DH ⊥MB ,垂足为H .所以CG ∥DH ,得△MGC ∽△MHD ,得.ADB ACB S DH DMS CG CM∆∆==所以AD BD AC BC =.DMCM例4：如图,两个同心圆的圆心为O ,大圆的弦AD 交小圆于B 、C ,大 圆的弦AF 切小圆于E ,经过B 、E 的直线交大圆于M 、N ,求证：(1) AE 2= BN ·EN ；(2)若AD 经过圆心O ,且AE = EC ,求 ∠AFC 的度数。