高中数学人教a版选修4-1学案：第2讲 5 与圆有关的比例线段 含解析

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五与圆有关的比例线段
温故知新
新知预习
1.圆内的两条相交弦,被交点分成的两条相等.
2.从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的相等.
3.在经过圆外一点的切线上,这点到切点之间的线段长叫做这点到圆的.
4.从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的.
5.从圆外一点引圆的两条切线,它们的相等,圆心和这一点的连线两条切线的夹角.
知识回顾
1.圆周角定理及其推论.
2.相似三角形的判定和性质.
3.切线的性质定理.
性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.
4.弦切角定理.
定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
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五与圆有关的比例线段
1．会论证相交弦、割线、切割线、切线长定理．(重点)
2．能运用相交弦、割线、切割线、切线长定理进行计算与证明．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1相交弦定理
阅读教材P34～P35“定理”及以上部分，完成下列问题．
1．文字语言
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
2．图形语言
如图2-5-1，弦AB与CD相交于P点，则P A·PB＝PC·PD.
图2-5-1
AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，AM＝4，BM＝9，则弦CD的长为__________．
【解析】 根据相交弦定理，AM ·BM ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫CD 22， 所以CD 2＝6，CD ＝12.
【答案】 12
教材整理2 割线定理
阅读教材P 35～P 36“割线定理”及以上部分，完成下列问题．
1．文字语言 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
2．图形语言
如图2-5-2，⊙O 的割线P AB 与PCD ，则有P A ·PB ＝PC ·PD .
图2-5-2
如图2-5-3，⊙O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A .若BD ⊥AE ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝__________.
图2-5-3
【解析】 由割线定理知，
AB ·AC ＝AD ·AE ，
即4×6＝3×(3＋DE )，解得DE ＝5.
【答案】 5
教材整理3 切割线定理
阅读教材P 36“切割线定理”及以上部分，完成下列问题．。

庖丁巧解牛知识·巧学一、相交弦定理.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等..定理的证明：如图，已知⊙的两条弦、相交于圆内的一点.图求证：··.证明：连结、，则由圆周角定理有∠∠，又∵∠∠，∴△∽△.∴∶∶，即··.当然，连结、也能利用同样道理，证得同样结论..由于在问题的证明中，⊙的弦、是任意的，因此，··成立，表明“过圆内一定点的弦，被点分成的两条线段长的积应为一个定值”.虽然过定点的弦有无数多条，然而在这众多的弦中有一些长度比较特殊的弦，如过点的最长或最短的弦，通过它们可以找到定值.图如图（），考察动弦，若过⊙的圆心，则为过点的最长的弦，设⊙的半径为，则·（）（）. 如图（），考察过点的弦中最短的弦，为过⊙内一点的直径，为过点且垂直于的弦，显然，由垂直定理和相交弦定理，应有··().由于⊙是定圆，为⊙内一定点，故⊙的半径与的长为定值.设，比较上述两式，其结论是一致的，即·()（），为定值.于是，相交弦定理可进一步表述为：“圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积为一定量，它等于圆的半径与交点到圆心距离的平方差.”定圆的任一弦被定点分得两线段长的积为定值，这个定值与点的位置有关，对圆内不同的点，一般来说，定值是不同的，即这个定值是相对于定点与定圆而言的.知识拓展由第二式可直接得到相交弦定理的推论:“如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.”即·.二、割线定理与切割线定理.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等..切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项..符号语言表述：如图，··.图.定理的证明：连结、，由于为切线，所以∠∠.又因为∠∠，于是△∽△，因此有∶∶，即·.同理，有·，所以··.记忆要诀应用定理应注意的两点：（）所有线段，都有一个公共端点，而另一端点在圆上；（）等积式左右两边的线段，分别在同一条割线上.误区警示使用这部分定理推论时，常常容易出现错误，因此需要结合图形，来准确表述相交弦定量、切割线定理及其推论的题设和结论.如图（１），弦ＡＢ和ＣＤ交于⊙Ｏ内一点Ｐ，则有ＰＡ·ＰＢＰＣ·ＰＤ；如图（２），ＣＤ为⊙Ｏ的弦，ＡＢ为直径，且ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｐ，则有ＰＣＰＡ·ＰＢ.常见错误是将线段关系写为ＤＰ·ＤＣＢＰ·ＢＡ，ＰＣＰＯ·ＰＢ.()()图如图（），点Ｐ是⊙Ｏ外一点，ＰＴ为切线，Ｔ为切点，ＰＡ为割线，点Ａ、Ｂ是它与⊙Ｏ的交点，则有ＰＴＰＡ·ＰＢ，常见错误是把线段关系写成ＰＴＰＡ·ＡＢ.如图（），ＰＡＢ为⊙Ｏ的割线，ＰＣＤ为⊙Ｏ的另一条割线，则ＰＡ·ＰＢＰＣ·ＰＤ.常见错误是把线段关系写成ＰＡ·ＡＢＰ·ＣＤ.如图()，把切割线定理的推论写成ＰＡ·ＰＢＰＣ·ＰＯ.() () ()图三、切线长定理.我们知道，过圆外一点可以引两条直线与圆相切，在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长称为切线长.切线长是一条线段的长，而这条线段的两端分别是圆外的已知点和切点.注意切线是一条直线，而切线长是切线上一条线段的长，属于切线的一部分. .切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角..如图，、是⊙外一点向圆作的两条切线，切点分别为和，那么连结、、，因为、与⊙相切于、两点，则有⊥，⊥，于是∠、∠都是直角.又，，所以△≌△.所以，∠∠.。

教材习题点拨探究1解：连接AD，BC，则由圆周角定理的推论可得∠A＝∠C.∴Rt△APD∽Rt△CPB。

∴错误!＝错误!。

∴P A·PB＝PC·PD。

探究2解：结论P A·PB＝PC·PD仍然成立（证明同上)．探究3解:如果CD与AB不垂直,如图所示，CD，AB是圆内的任意两条相交弦，结论（1)仍然成立．证明:连接AD，BC.∵∠A＝∠C，∠D＝∠B,∴△APD∽△CPB.∴错误!＝错误!。

∴P A·PB＝PC·PD。

探究4解：当点P在圆上时，在图1中，P A＝PC＝0,所以P A·PB＝PC·PD仍成立．当点P在圆外时，在图2中，连接AD，BC,容易证明△P AD∽PCB，所以错误!＝错误!,即P A·PB＝PC·PD.图1图2探究5解：使割线PB绕P点运动到切线的位置(如图所示）,连接AC，AD，则∠P AC＝∠PDA.又因为∠P＝∠P，所以△P AC∽△PDA，所以P APD＝错误!,即P A2＝PC·PD。

因为A,B两点重合,所以P A·PB＝PC·PD仍然成立．探究6解：使割线PD绕P点运动到切线位置时，点C与点D重合，又因为点A与点B重合，所以(1）式P A·PB＝PC·PD 变为P A2＝PC2，所以P A＝PC。

思考：解：由切割线定理能证明切线长定理．证明如下：如图,由P向圆任作一条割线PMN，由切割线定理得P A2＝PM·PN,PC2＝PM·PN.∴P A2＝PC2。

∴P A＝PC.切线长定理的空间推广：从球外一点引球的无数条切线,它们的切线长都相等．习题2。

51．解：如图，设圆的两条弦AB与CD相交于点P，P A＝12，PB＝18，PD∶PC＝3∶8。

设PD＝3x，则PC＝8x。

由相交弦定理得P A·PB＝PC·PD，∴12×18＝3x·8x，即x2＝9。