最新人教版高中数学选修4-1《与圆有关的比例线段(1)》课后导练
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课后导练
基础达标
1.圆内两条弦AB 和CD 交于P 点,AB=8,AB 把CD 分成3和4两部分,那么AP 等于( ) A.2 B.6 C.2或6 D.3或5 解析:设AP=x,则BP=8-x, 由相交弦定理得x(8-x)=3×4. ∴x=2或6. 答案:C
2.如图2-5-7,AD 为⊙O 直径,BC 切⊙O 于E 点,AB ⊥BC,DC ⊥BC,AB=4,DC=1,则AD 等于( )
图2-5-7
A.23
B.4
C.5
D.33 解析:连结DF 、OE,
∵AD 是直径,∴∠AFD=90°.
又AB ⊥BC,DC ⊥BC,∴四边形BCDF 是矩形. ∴BF=DC.由切割线定理得 BE 2=BF·BA=1×4=4,BE=2. ∵OE ⊥BC,DC ⊥BC,AB ⊥BC, ∴CD ∥OE ∥AB.O 为AD 中点, ∴E 为BC 中点. ∴BC=4.∴DF=4. 在Rt △ADF 中,AD=
22DF AF +=5.
答案:C
3.如图2-5-8,PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线,若PA=5,AB=7,CD=11,则AC ∶BD 等于( )
图2-5-8
A.1∶3
B.5∶12
C.5∶7
D.5∶11 解析:由割线定理得PA·PB=PC·PD, ∴5×(5+7)=PC(PC+11). ∴PC=4或PC=-15(舍去). 又∵PA·PB=PC·PD,PB
PC
PD PA =,∠P=∠P, ∴△PAC ∽△PDB.
∴
3
1
155===PD PA BD AC . 答案:A
4.如图2-5-9,AB 、CD 是⊙O 的两条平行切线,B 、D 为切点,AC 为⊙O 的切线,切点为E 点,若AB=4,CD=9,则⊙O 的半径为( )
图2-5-9
A.9
B.8
C.6
D.5 解析:连结OB,并作BO 的延长线,过A 作AF ⊥CD,F 为垂足. ∵AB 切⊙O 于B,∴OB ⊥AB. ∵AB ∥CD,∴BO ⊥CD.
∴BO 经过D 点.∴BD 为⊙O 直径. 又∵AF ⊥CD,
∴四边形ABDF 是矩形. 在Rt △ACF 中,AF=
22CF AC -.
由切线长定理得AB=AE,CE=CD.
∴AC=AE+CE=AB+CD=13,CF=CD-DF=CD-AB=5. ∴AF=22513-=12,OB=6.
答案:C
5.如图2-5-10,PA 切⊙O 于A,PB 切⊙O 于B,OP 交⊙O 于C,下列结论中错误的是( )
图2-5-10
A.∠1=∠2
B.AB ⊥OP
C.PA=PB
D.PA 2=PC·PO 解析:由切线定理知,A 、C 正确. 由等腰三角形三线合一知B 正确. D 无依据. 答案:D 综合运用
6.如图2-5-11,⊙O 中半径OB 垂直于直径AC,M 为OA 上一点,BM 延长线交⊙O 于N,过N 的切线交CA 的延长线于P 点. 求证:PM 2=PA·PC.
图2-5-11
证明:连结ON,∵PN 切⊙O 于N, ∴ON ⊥PN.
∴∠MNP+∠ONM=90°. ∵OA ⊥OB,
∴∠B+∠OMB=90°,∠OMB=∠PMN. ∴∠MNP=∠PMN.∴PM=PN. 由切割线定理得PN 2=PA·PC, ∴PM 2=PA·PC.
7.如图2-5-12,已知AB 是⊙O 的直径,CA 交弦BF 延长线于E,DE ⊥AC 于E,CB 交⊙O 于D 且AB=AC,求证:AE·EC=BE·EF.
图2-5-12 证明:连结OD 、AD,∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB=90°.∴AD=BC. ∵AB=AC,∴BD=DC. ∵BO=OA,∴OD ∥AC. ∵DE ⊥AC,∴DE ⊥OD.
∴DE 是⊙O 切线,∴DE 2=EF·EB.① 在Rt △ACD 中,DE ⊥AC, ∴DE 2=AE·EC.② ∴由①②得AE·EC=BE·EF.
8.如图2-5-13,已知AT 切⊙O 于T,ADB 是割线,BC 是直径,在AB 上截取AE=AT,过E 作AB 的垂线EF,交AC 延长线于F. 求证:AB·AC=AE·AF.
图2-5-13
证明:连结CD,
由切割线定理得AT 2=AD·AB,
∵AE=A T,∴AE 2
=AD·AB. ∴
AD
AE
AE AB =.① ∵BC 是直径,∴∠BDC=90°,即CD ⊥AB. 又EF ⊥AB,∴CD ∥EF.∴
AC
AF
AD AE =.②
由①②得
AC
AF
AE AB .∴AB·AC=AE·AF.
9.如图2-5-14,已知AB 是⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,CD ⊥AB 于D,以C 为圆心,CD 为半径作⊙C 交⊙O 于E 、F,连结EF 交CD 于M. 求证:CM=MD.
图2-5-14
证明:双向延长CD 分别交⊙O 、⊙C 于Q 、P, ∵AB 是⊙O 的直径,CD ⊥AB, ∴CD=DQ.
∵CD=PC,∴PC=DQ. 根据相交弦定理得CM·MQ=EM·MF=MD·MP. ∴CM(MD+DQ)=MD(MC+PC). ∴CM·MD+CM·DQ=MD·MC+MD·PC. ∴CM·DQ=MD·PC. 又∵DQ=PC, ∴CM=MD. 拓展探究
10.如图2-5-15,⊙O 1和⊙O 2相交于点A 、B,⊙O 2和⊙O 3相交于C 、D,分别延长BA 、DC 相交于P,过P 作⊙O 1和⊙O 3的切线PM 、PN,M 、N 为切点,连结MN,求证:∠PMN=∠PNM.
图2-5-15
证明:由切割线定理得PM 2=PA·PB, PN 2=PC·PD.
又由割线定理得PA·PB=PC·PD, ∴PM 2=PN 2.∴PM=PN. ∴∠PMN=∠PNM. 备选习题
11.如图2-5-16,△ABC 中,∠C=90°,⊙O 的直径CE 在BC 上,且与AB 相切于D 点,若CO ∶OB=1∶3,AD=2,则BE=____________.
图2-5-16
解析:∵CO∶OB=1∶3,OC=OE,
∴BE∶EC=1∶1.
设BE=x,则BC=2x.
由切割线定理得BD2=BE·BC=2x2,
2.
∴BD=x
又由切线长定理得AD=AC,
在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,
2+2)2=22+(2x)2.
∴(x
2.
解得x=2
2
答案:2
12.如图2-5-17,⊙O分别与△ABC的边AB、AC切于M、N点,交边BC于E、F点,且BE=EF=FC. 求证:∠B=∠C.
图2-5-17
证明:由切线长定理得AM=AN,
由切割线定理得BM2=BE·BF,CN2=CF·CE.
∵BE=EF=FC,∴BE·BF=CF·CE.
∴BM2=CN2.∴BM=CN.
∴AM+BM=AN+CN,即AB=AC.
∴∠B=∠C.
13.如图2-5-18,已知⊙O1与⊙O2相交于E、F两点,过E任作直线分别交⊙O1与⊙O2于A、B 两点,G为AB的中点,直线FG分别交两圆于C、D.
求证:CG=DG.
图2-5-18
证明:由相交弦定理得AG·GE=CG·GF.
由割线定理得BG·GE=GD·GF.
∵AG=BG,∴AG·GE=BG·GE.
∴CG·GF=GD·GF.∴CG=DG.
14.如图2-5-19,△ABC内接于⊙O,AB=AC,AD是⊙O的切线,BD∥AC,BD交⊙O于点E,连结AE,求证:AE2=DE·DB.
图2-5-19
证明:∵AD是⊙O切线,
∴∠DAE=∠ABD.
∵BD∥AC,∴∠CAB=∠ABD.
∴∠DAE=∠CAB.∵∠AED=∠C,
∴△ADE∽△ABC.
∴∠D=∠ABC.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.
∴∠D=∠AED.∴AD=AE.
∵AD2=DE·DB,
∴AE2=DE·DB.。
